Verteilungsfunktionen. I

813
The abundance figures as given in the table are now:
ASTON
ZEEMAN-DE GIER
~
010
Mass numbers
abundance
58
67.5
60
27,0
~
0/0
Mass numbers
abundance
58
68,1
60
27,2
62
3,8
61
1,7
62
3,8
64
0,9
Sept. 1935.
Laboratory "Physica" of the University
of Amsterdam.
Mathematks. - Verteilungsfunktianen. Von
(Erste Mitteilung).
J.
G.
VAN DER CORPUT.
(Communicated at the meeting of September 28, 1935).
Einleitung.
Die in dieser Arbeit auftretenden Zahlen werden alle reell vorausgesetzt.
Verteilungsfunktionen treten auf bei Folgen; eine Folge ist eine abzählbar
unendliche angeordnete Zahlenmenge. Ist U die Folge U1' U2, ••• , ':'0
bezeichne ich mit U; ,(x) die Anzahl der Zahlen u~ < y mit ~:;;, x. Desgleichen bezeichne ich, falls V die Folge V1, V2'" darstellt, mit V y(x) dIe
Anzahl der Vg<y mit ~:;;,x; desgleichen W ,, (x), Ty(x), U.s.W.
Ist es möglich, bei der Folge U die natürliche Zahl x unbeschränkt so
wachsen zu lassen, dasz U y(x) für jedes
x
v
'
nach einem Grenzwert '!jJ(y)
strebt. so nenne ich diesen Grenzwert '!jJ (y) eine Verteilungsfunktion der
Folge U. In dies en Mitteilungen werde ich beweisen:
Satz 1: Jede Falge U besitzt wenigstens eine Verteilungsfunktian.
Hieraus folgt
Satz 2:
Ist es bei gegebener Falge U und bei gegebenem
'f}
mäglich, die
natürliche Zahl x unbeschränkt sa wachsen zu lassen. dasz U-r, (x) nach
x
einem Grenzwert i; strebt, sa besitzt die F alge U wenigstens eine Verteilungsfunktian. die in 'f} den Wert i; annimmt.
Denn dann gibt es eine Folge von monoton wachsenden Zahlen Xl' x2, ...
mit
(1)
Die Folge u x " u x , ••• , besitzt nach Satz 1 wenigstens eine Verteilungsfunktion. Diese ist auch Verteilungsfunktion der Folge U und nimmt
wegen (1) in 'f} den Wert i; an.
821
ordnet werden, dasz V' (y) die Verteilungsfunktion mod. 1 der
neten Folge darstellt 1).
Satz 9 geht über in
Satz 17:
umgeord~
Sind, cp(y) und cp(y) im abgeschlossenen Intervall (0,1)
mit
monoton~nichtabnehmend
cp (y) -= cp (y);
cp (0) = cp (0)
= 0;
cp (1) = Cp (1) = 1.
so kann jede im Intervall (0, 1) überall dichte Folge so umgeordnet werden,
dasz die Menge der Verteilungsfunktionen mod. 1 der umgeordneten Folge
aus den monoton~nichtabnehmenden Funktionen ljJ (y) mit cp (y) ~ V' (y) ;;;
cp (y) besteht.
Satz 12 schlieszlich liefert:
Satz 18: Es sei U eine Folge, und es seien V'dr), .... V',,(y) im
vall 0 ~ y ~ 1 monoton~nichtabnehmende Funktionen mit
V'x(O) = 0
und
V'x(l) = 1
(x
lntec~
= 1. 2•.... k) ;
für jedes Zahlpaar (a. {J) mit 0 ~ a < {J ~ 1. dem mindestens ein
x (1 ~,,~ k) mit V'x (a) < V'x ({J) entspricht, enthalte U unendlich viele
Zahlen u mit a ~ u < {J. Dann kann U so umgeordnet werden, dasz die
Menge der Verteilungsfunktionen modo Eins der umgeordneten Folge aus
den linearen Komposita À,l '!jJl(y) + ... +À,,,1jJk(y) besteht, wobei die
k Koeffizienten ~ 0 sind und die Summe Eins besitzen. '
Denn die Funktionen V'x (y) (x = 1. 2•... k) besitzen. faUs sie für y < 0
gleich NuU und für y> 1 gleich Eins gesetzt werden, die Eigenschaft @ (U).
1) Dieser Satz kommt schon var bei J. VON NEUMANN, Gleichmässig dichte Zahlenfolgen (Mat. fiz. Lap. 32 (1925), S. 32-40) (Ungarisch mit deutschem Auszug).
814
Besitzt eine FolgenUl: eine Verteilungsfunktion. so heiszt diese die Verteilungsfunktion der Folge. Aus Satz 2 geht hervor
Satz 3: Besitzt eine F olge U die Verteilungsfunktion
jedes feste r
Urn Ur (x)
x~oo
x
1jJ (y
), so ist für
= 1jJ (/,).
Denn sonstkönnte man wegen 0:;;; U'I (x) :;;; 1 ein 'YJ und eine Folge
x
Einden; dann hätte die Folge U x1 • ux •• • • • • (also aueh die Folge U) naeh
Satz 2 wenigstens eine Verteilungsfunktion. die im Punkte 'YJ einen Wert
i:. 1jJ{'YJ) annimmt. sodasz dann 1jJ(y) nicht die einzige Verteilungsfunktion
der Folge U wäre.
Der Beweis des folgenden Satzes ist sehr leicht und findet sich in der
folgenden Mitteilung vor.
Satz 4: lede im Intervall ( - 00. (0) überall dichte Folge kann so umgeordnet werden, dasz die umgeordnete Folge dieselben Verteilungsfunktionen besitzt wie eine beliebig vorgegebene Folge, die aus untereinander
verschiedenen Zahlen besteht.
Dasz alle Verteilungsfunktionen einer Folge monoton-nichtabnehmend,
;;;: 0 und :;;; 1 sind. ist klar. leh suehe nun zunäehst eine notwendigeund hinreichende Bedingung. damit eine vorgegebene Funktionenmenge die Menge
der Verteilungsfunktionen ist für eine geeignet gewählte Folge. die aus
untereinander versehiedenen Zahlen besteht.
rm
Satz 5: Besteht
aus rnonoton-nichtabnehmenden Funktionen ;;;: 0
und :;;; 1, so ist ill1 dann und nur dann die M enge der Verteilungsfunktionen
einer geeignet gewählten aus untereinander verschiedenen Zahlen bestehenden Folge, wenn es eine Folge
gJ)
(r).
gJ2
(2)
(y) • .•.
stetiger rnonoton-nichtabnehmender Funktionen ~ 0 und :;;; 1 gibt rnit den
folgenden Eigenschaften:
1. lede Grenzfunktion der in (2) genannten Folge gehört zu
d.h.
enthält die F olge (2) eine T eilfolge
rm;
'Ijl)
(y).
1jJ2
rm.
(y) • .••
mit Urn
1jJn
(y)
= 'Ijl (y).
so gehört 1jJ (y) zu
2. lede zu
gehörige Funktion ist eine Grenzfunktion der in (2)
genannten Folge.
rm
815
3.
Schlieszlich ist
lirn (CPn + 1 (1') - cpn (1'))
n-+Oo
=0
(3)
.
Dasz diese Bedingung notwendig ist, ist leicht zu zeigen. Denn ist WC
die Menge der Verteilungsfunktionen einer aus untereinander verschiedenen Zahlen bestehenden Folge W, so ist W y(x) für jedes feste ganze
x
x;:;: 1 eine monoton-nichtabnehmende abteilungsweise konstante Funktion
von 1" deren Sprünge gleich
~ sind,
x
abnehmende Funktion CP" (I') mit
o-=-= cp" (1') -== 1
und
sodasz es eine stetige monoton-nicht-
1W: (x) -
cp" (1')
1-= ~
(4)
gibt. Dasz die so definierte Folge cpd 1'). CP2 (1'), ... die drei in Satz 5
genannten Eigenschaften besitzt, ist klar; denn jede Grenzfunktion der
Folge cp! (1'), CP2 (I'). ... ist wegen (4) auch Grenzfunktion der Folge
W{ (l), W~ (2), ... , gehört somit zu WC, und umgekehrt; auszerdem ist für
jedes ganze x
~
1
__
1_ -=-= W
x+ 1 -
(_1
__ ~)::::::
W y (x+ 1) _ W y (x)
x+ 1
x x+ 1
x
(x)
y
-=-= W y (x) + 1 _ W y(x) -= _1_
x+l
x = x+ l'
also wegen (4)
1cp,,+dr)-cpx(r) 1-=-=
1
W:~-r 1) -
W:(x)
I
+ x~ 1 + ~
-+
0
für x~ 00.
Dasz die in Satz 5 erwähnte Bedingung auch hinreichend ist, werde
ich später beweisen.
Aus Satz 5 geht zunächst hervor, dasz jeder stetigen monoton-nichtabnehmenden Funktion 'ljJ (I') mit 0;;::; 'ljJ (I') ;;::; 1 eine Folge mit der Verteilungsfunktion 'ljJ (I') entspricht; denn für (2) kann ich dann die Folge
'ljJ(r). 'ljJ (1'), ... wählen. Nach Satz 4 kann dann jede im Intervall ( - 00, 00 )
überall dichte Folge durch Umordnung in eine Folge mit der Verteilungsfunktion 'ljJ( 1') übergeführt werden. Unter der zusätzlichen Bedingung
Urn
)' -+ -
'ljJ
00
(1')
=0
Urn
und
:'
-+ 00
'ljJ
werde ich noch etwas mehr beweisen, nämlich:
(1')
=1
(5)
816
Satz 6: Ist 1p( y) irgend eine stetige monoton~nichtabnehmende Funk~
tion mit (5). so kann jede im Intervall ( - 00. 00) überall dichte F alge
durch U mordnung in eine F alge W mit der Verteilungsfunktion 1p (y )
übergefühct werden, und zwar sa. dasz für jedes y und jede natürliche
2ahl x
I W;,(x)-X1p(Y) 1< 2 + 2 log x
(6)
ist.
Es ist mir nicht gelungen dies es Resultat wesentlich zu verschärfen. leh
weisz sogar nicht, ob es eine Folge W und eine stetige Funktion 1p (y )
gibt. der art dasz
W,,(x) - X1p(y)
log x
für x ~ 00 gleichmässig in y nach Null strebt. Ich weisz auch nicht, ob es
eine Folge W. eine stetige Funktion 1p(y) und eine Konstante K gibt. die
für jedes y und jede natürliche Zahl x der Ungleichung
I W;.(x) - X1p(y) I < K
genügen.
Jeder monoton~nichtabnehmenden Funktion 1p( y) ~ 0 und ~ 1 entspricht
eine Folge stetiger monoton~nichtabnehmender Funktionen ~ 0 und ~ 1
mit der einzigen Grenzfunktion 'Ij! (y). Aus den Sätzen 5 und 4 geht somit
hervor:
Satz 7: Ist 1p(y) irgend eine monoton~nichtabnehmende Funktion ~ 0
und ~ 1. sa kann jede im Intervall (- 00. 00) überall dichte F alge sa um~
geard net werden. dasz 1p (y) die Verteilungsfunktion der umgeordneten
Folge darstellt.
Etwas allgemeiner ist
Satz 8: Sind 1pl (y) • ...• 1jJ k (y) monoton~nichtabnehmende Funktionen
0 und ~ 1. sa kann jede im Intervall ( - 00. 00) überall dichte F alge sa
umgeordnet werden, dasz die Menge der Verteilungsfunktionen der umgeordneten Folge aus den linearen Komposita À,l1pl (y) + ...
À,k 1pk (y)
besteht, wobei die k Koeffizienten ~ 0 sind und die Summe Eins besitzen.
Denn · da diese linearen Komposita monoton~nichtabnehmend. ~ 0 und
:s; 1 sind. brauche ich nur eine Folge CPl (y). rP2 (y). ;.. mit den drei in
Satz 5 genannten Eigenschaften anzugeben. Das habe ich schon für den
Spezialfall k = 1 vor Satz 7 getan. leh darf also k;;;;: 2 vorau~setzen und
eine Folge Xl (y). X2 (y). ... annehmen. die die drei in Satz 5 erwähnten
Eigenschaften besitzt. wenn darin ill1 ersetzt wird durch die Menge ill1*
der linearen Komposita der Gestalt f-ll 1pl (y) + ... + f-lk - t 1pk-t( y); hierbei
sind die k - 1 Koeffizienten ~ 0 und besitzen die Summe Eins. leh
wähie nun irgend eine Folge Wl (y ) • W2 (y ) : ... stetiger monotoiHiicht~
~
+
817
abnehmender Funktionen ;;;:; 0 und
V'k (y). Ich setze für ganzes n;;;:; 1
_ h Xn (y)
rpn'+h (Y) -
+ (n -
h)
~
1 mit der einzigen Grenzfunktion
W n (r)
für h =0.1. ...• n
n
_ (2 n -h)Xn (y)+(h-n)wn(y)
n
für h=n
+ 1. .. .. 2n
(
(7)
und ich werde zeigen. dasz die so definierte Folge rp1 (y ) • rp2 (y). ... die
drei verlangten Eigenschaften besitzt.
1. Jede Grenzfunktion der Folge rpd y ) • rp2 (y ). ... hat die Gestalt
eX (y) + (1 - e) V'k (y). woO ~ e ~ 1 ist und X(y ) 'eine Funktion von 1))1*
bezeichnet. Folglich ist jede Grenzfunktion der Folge rpd y). rp2 (y) • ... ein
lineares Kompositum der Funktionen '11'1 (y) • .... V'd y) mit Koeffizienten
;;;:; O. deren Summe gleich Eins ist.
2. redes lineare Kompositium der Funktionen '11'1 (y) • .... V'd y). dessen
Koeffizienten ~ 0 sind und die Summe Eins besitzen. kann auf die
Gestalt eX (y) + (1 -:-- e) V'k (y) gebracht werden. wo 0 ~ e ~ 1 ist und
X(y) eine Funktion von 9)(* bezeichnet. Ich kann also das ganze n unbe~
schränkt so wachsen lassen. dasz xJy) nach x(y) und zugleich wJy) nach
V'k (y) strebt. Wird jedem dieset n ein ganzes h mit
o-= h -== n.
zugeordnet. so strebt rpn' + h (y) wegen (7) nach eX (y) + (1 - e) V'k (y).
sodasz das betrachtete lineare Kompositum eine Grenzfunktion der Folge
rp1 (y), rp2(y) ... · ist.
3. Fürh=0.1. .... 2n-list
und auszerdem ist
I IFn'+2n+ 1 (y) -rpn'+2n (r) I
=I
W
n + 1 (y) -
W
n (y) I ~ o.
woraus (3) hervorgeht. Hiermit ist Satz 8 vollständig bewiesen.
In dies en Mitteilungen werde ich aus Satz 5 noch einen andren Satz
ableiten. nämlich
Satz 9: Sind rp (y) und cp (y) monoton~nichtabnehmende Funktionen
mit 0 ~ rp (y) ~ cp ( y) ~ 1. sa kann jede im Intervall überall dichte F alge
durch Umordnung übergeführt werden in eine Folge W van der Art. dasz
die Menge der Verteilungsfunktionen der umgeordneten Folge aus den
monoton~nichtabnehmenden Funktionen V' (y) mit rp( y) ~ V'(Y) ~ cp (y)
besteht.
818
In diesem Satz sind lP (y) und q> (y) die Schranken der Verteilungs~
funktionen. d.h. es ist
lirn inf W y (x) = lP (y)
x
y
lirn sup W (x) = 4> (y).
und
,,~oo
,,~oo
X
Zugleich sind hier lP (y) und 4> (y) selbst Verteilungsfunktionen. Dasz
übrigens nicht bei jeder Folge die Schranken der Verteilungsfunktionen
selbst Verteilungsfunktionen sind. geht aus folgendem Beispiel hervor.
wob ei U die Folge
t
i l
t
y.
4'
ll.
4'
1
ll.
I
3"
1
t
1
4' 4' 4' 4' Tt 2 ' · · · ' "
1
4'
1.
4'
1
3
4 ' · · · ' 4-·· •.
~~~~
21 Glieder
3 ! Glieder
'i ! Glieder
5 ! Glieder
ist. Wie man leicht einsieht. hat bei dies er Folge U die untere Schranke
der Verteilungsfunktionen im Intervall y ~ ~ den Wert O. im Intervall
~ < y ~ i den W ert ~ und im Intervall y> i den Wert 1; die obere Schranke
der Verteilungsfunktionen hat im Intervall y ~ à den Wert O. im Intervall
i < y ~ ~ den W ert ~ und im Intervall y > ~ den Wert 1. Für gerades x
und für 0 ~ y < à ist
+ U1-y{x)=tx.
Uy(x)
sodasz jede Verteilungsfunktion
Eigenschaft
1p (y)
der Folge U für 0;;;;' y <
1p (y )
+ 1p (1 -
y)
i die
=t
besitzt; die Schranken der Verteilungsfunktionen besitzen diese Eigenschaft nicht. sind also keine Verteilungsfunktionen der Folge U.
Es folgen noch einige notwendige Bedingungen. damit eine vorgegebene Menge die Menge der Verteilungsfunktionen einer geeignet gewählten Folge ist. Nicht in Widerspruch zu der Tatsache. dasz die
Schranken der Verteilungsfunktionen selbst keine Verteilungsfunktionen
zu sein brauchen. ist
Satz 10: Bei jeder Folge U bilden die Verteilungsfunktionen eine
abgeschlossene Menge, d.h. sind 1pl (y ).1p2 (y). ... Verteilungsfunktionen
von U, und besteht für jedes y der Grenzwert
lirn
1pn (y).
n~OO
so ist diesel' Grenzwert auch eine Verteilungsfunktion von U .
Satz 11: Ist U irgend eine Folge und ist 1J irgend eine Zahl, so bilden
die Zahlen l;, denen eine Verteilungsfunktion 1p (y) von U rnit 1p ( 1J) = '"
zugeordnet werden kann, ein abgeschlossenes Interval!.
819
Allgemeiner: Sind 'YJ1 ••••• 'YJk beliebige Zahlen, sobilden die Punkte
'k). denen eine Verteilungsfunktion 'ijl (y) von U mit
( , l' ...•
zugeordnet werden kann, eine k-dimensionale Menge, die ent weder aus
nur einem Punkt besteht oder ein Kontinuum ist, d.h. es ist unmöglich,
diese Menge in zwei nicht-Ieere abgeschlossene Punktmengen zu zerlegen.
die keine gemeinsame Punkte besitzen.
Die in den früheren Sätzen auftretende Voraussetzung. dasz die betrachtete Folge U überall dicht liegt. ist dort nicht überflüszig. Denn enthält
ein Intervall a:S; u < f3 keine oder nur endlich viele Punkte einer Folge U.
so sind in diesem Intervall für jede Folge. die durch Umordnung aus U
entstehen kann. alle Verteilungsfunktionen. also auch die zwei Schranken
der Verteilungsfunktionen. konstant. Zur Behandlung der Folgen. die im
Intervall ( - 00. 00) nicht überall dicht liegen. führe ich die folgende
Definition ein:
Definition 1: Bei beliebig gegebener Folge U sage ich. dasz eine
Funktion 'ijl (y) die Eigenschaft @ (U) besitzt. wenn sie für jedes y definiert.
monoton-nichtabnehmend. ~ 0 und :s; 1 ist. und auszerdem die folgenden
Bedingungen erfüllt:
1. Sind a und f3 zwei beliebige Zahlen mit 'ijl (a) < 'ijl (f3). so enthält U
unendlich viele Zahlen u mit a:S; u < f3.
2. Ist a eine beliebige Zahl mit 'IJl(a) < 1. so enthält U unendlich viele
Zahlen u ~ a.
3. Ist f3 eine beliebige Zahl mit 'IJl(f3) > O. so enthält U unendlich viele
Zahlen u < f3.
Aus dieser Definition folgt u.a.: Ist U irgend eine Folge. so besitzen
für jede Folge. die durch Umordnung aus U entstehen kann und sogar
für jede Teilfolge von U alle Verteilungsfunktionen und auch die zwei
Schranken dies er Verteilungsfunktionen die Eigenschaft @ ( U). Ich nenne
T eine Teilfolge von U. wenn jede Zahl mindestens ebenso oft in U wie in
T vorkommt.
Die Sätze 8 und 9. sinngemäsz verallgemeinert. liefern die folgenden
Sätze 12 und 13; dasz die zwei ersten Sätze nur Spezialfälle der zwei
Ietzten sind. folgt unmittelbar aus der Tatsache. dasz bei einer im Intervall
( - 00. 00) überall dicht liegende Folge U jede monoton-nichtabnehmende
Funktion ~ 0 und :s; 1 die Eigenschaft @ (U) besitzt.
Satz 12: Ist U eine Folge, und besitzen die Funktionen 'IJld y). .... 'IJlk(y)
die Eigenschaft @ (U), so kann Uso omgeordnet werden, dasz die Menge
der Verteilungsfunktionen der umgeordneten F olge aus den linea ren
Komposita ,1.1'1Jl1(y) + ... +Àk 'IJlk(y) besteht, wobei die k Koeffizienten ~O
sind und die Summe Eins besitzen.
Satz 13: Ist U eine Folge, und besitzen cp (y) und <P (y) die Eigenschaft
820
@( U) mit cp (I') :s; 4> (I' ), dann kann U so umgeordnet werden, dasz die
Menge der Verteilungsfunktionen der umgeordneten Folge aus den Funk~
tionen 'tjJ(y) mit Eigenschaft @(U) und cp(y) ;;;;;'tjJ(y) ;;;;;4>(1') besteht.
Die obi gen Sätze können mit Erfolg auf die Theorie der Verteilungs~
funktionen modulo Eins angewendet werden 1). Bei einer Folge
bezeichne ich für jedes im abgeschlossenen Intervall (0, 1) liegende I' mit
U·y (x) die Anzahl der Zahlen ~<x mit u.[u.]
<I'; hierin ist [u] die
>
,
gröszte ganze Zahl ;;;;; u. Folglich ist U~ (x) =0 und U~ (x) = 1. Ist es
möglich, die natürliche Zahl x unbeschränkt so wachsen zu lassen, dasz
U; (x)
für jedes im abgeschlossenen Intervall (0, 1) liegende I' nach einem
x
Grenzwert 'tjJ (I') strebt, so nenne ich den im abgeschlossenen Intervall
(0, 1) definierten Grenzwert 'tjJ (I') eine Verteilungsfunktionen mod. 1 der
Folge U. Die Verteilungsfunktionen modo 1 einer Folge ändern sich nicht,
wenn die Zahlen der Folge urn ganze Zahlen vermehrt oder vermindert
werden. Bei der Untersuchung der Verteilungsfunktionen modo 1 kann
man also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dasz die
Zahlen der betrachteten Folge alle ;;;: 0 und < 1 sind. Die Begriffe der
Verteilungsfunktionen mod. 1 einerseits und der Verteilungsfunktionen
andrerseits sind dann im abgeschlossenen Intervall (0, 1) identisch, sodasz
die Theorie der Verteilungsfunktionen insbesondere die Theorie der Verteilungsfunktionen modo 1 enthält. Satz 1 liefert so
Satz 14: Jede Folge U besitzt wenigstens eine Verteilungsfunktion
mod.1.
Besitzt eine Folge nur eine Verteilungsfunktion mod. I, so heiszt diese
die Verteilungsfunktion mod. 1 der Folge. Aus Satz 3 geht hervor:
Satz 15:
Besitzt eine Folge U modulo Eins die Verteilungsfunktion
'tjJ(y), so ist für jedes im abgeschlossenen Intervall (0,1) liegende I'
.
U/(x)
lzm - - =
x
x~oo
'tjJ
(1').
Satz 7 verwandelt sich in
Satz 16: Ist 'tjJ(y) irgend eine monoton~nichtabnehmende Funktion ;;;:0
und :s; 1. so kann jede im Intervall (0,1) überall dichte Folge so umge~
1) Verg!. J. F. KOKSMA, Diophantische Approximationen, Kapitel VIII, § 1 (Ergebnisse der Mathematik IV, 4; J. SPRINGER, Berlin) . Bei KOKSMA treten nicht die Funktionen auf, die von mir Verteilungsfunktionen modo 1 genannt werden, sondern nur die
zwei Schranken dieser Verteilungsfunktionen; diese zwei Schranken nennt er kurzweg<
Verteilungsfunktionen modo Eins.