Serie 10

Physik IV 2011 - Übung 10
18. Mai 2011
1. Wasserstoffatom
P
2
P
1 21
Berechnen Sie den Erwartungswert der Gesamtenergie
1 e2 1
hHi = −
2 4π0 r
des 1s und des 2p Zustandes und ermitteln Sie die Übergangsfrequenz
zwischen diesen beiden Zuständen. Verwenden Sie dazu die Wellenfunktion ψnlm (r, θ, φ) = Rnl (r)Ylm (θ, φ) mit
r
3/2
1
1
Y0,0 =
R1,0 = 2
e−r/a0
4π
a0
r
3/2 3
1
r
cos θ
R2,0 = 2
1−
e−r/(2a0 )
Y1,0 =
4π
2a0
2a0
r
3/2 3
2
r
1
±iφ
Y1,±1 = ∓
sin θe
R2,1 = √
e−r/(2a0 ) .
2π
2a
2a
3
0
0
sowie die Formel
Z
∞
rn e−ar dr = n!/an+1 .
0
2. Radialteil der Wellenfunktion des Wasserstoffatoms
Die Wahrscheinlichkeit ein Elektron im 1s Zustand mit radialer Wellenfunktion R(r) ausserhalb einer um den Kern zentrierten Kugelschale mit
Radius r0 zu finden ist durch die folgende Funktion gegeben:
Z ∞
|R(r)|2 r2 dr.
r0
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das Elektron ausserhalb des
Bohrradius a0 , d.h. mit r > a0 , zu finden.
[ 21 ]
1
(b) Berechnen Sie den den Erwartungswert von r, hri und vergleichen
Sie diesen Wert mit dem Radius rmax bei dem die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist. Erklären Sie den Unterschied.
[1]
3. Atomare Übergänge und Zeeman Effekt
In einem Magnetfeld werden die atomaren Energieniveaus durch den
Zeeman-Effekt um
eB
Lz
∆E =
2me
verschoben.
P
1 12
(a) Optische Dipol-Übergänge zwischen den Energieniveaus sind nur
dann erlaubt, wennn die Auswahlregeln ∆l = ±1 and ∆ml = 0, ±1
erfüllt sind. Wie lauten die möglichen Übergänge zwischen der n = 1
und der n = 2 Schale des Wasserstoffatoms?
[ 12 ]
(b) Was wird bei einer spektroskopischen Messung dieser Übergänge
beobachtet, wenn die Stärke des Magnetfeldes erhöht wird?
[ 12 ]
(c) Berechnen Sie die Zeeman-Aufspaltung der Spektrallinien in einem
Magnetfeld von
[ 21 ]
i. B = 10 T.
ii. B = 10−4 T (dem Erdmagnetfeld).
4. Stern-Gerlach experiment
Ein Strahl aus Wasserstoffatomen wird von einem Ofen bei der Temperatur T = 800 K augesandt und durch einen Stern-Gerlach Magneten der
Länge L = 2 m geschickt. Der Gradient des magnetischen Felds beträgt
5 T/m in z−Richtung. Berechnen Sie die mittlere Distanz zwischen den
abgelenkten Strahlen beim Verlassen des Magneten.
P
2
5. Spin-Präzession im externen Magnetfeld
Ein ruhendes Elektron befinde sich in einem externen magnetischen Feld
~ = (0, 0, Bz ). Der Hamiltonoperator ist für
in positiver z-Richtung B
~ gegeben.
dieses Problem durch Ĥ = −µ
~ˆs · B
P
3
(a) Berechnen Sie die potentielle Energiedifferenz zwischen den beiden
möglichen Spineinstellungen (| − 12 i bzw. | 21 i).
[1]
(b) Zeigen Sie durch Lösen der Schrödinger-Gleichung
1
d
1
Ĥ| ± (t)i = ih̄ | ± (t)i,
2
dt
2
2
dass die Zeitentwicklung des Zustandes | ± 21 i durch
| ± 12 (t)i = e±iωt | ± 12 (0)i gegeben ist. Berechnen Sie die Änderungsrate ω.
[1]
(c) Nehmen Sie an, das Elektron wird so präpariert,
√ dass es sich anfangs
1
1
im Superpositionszustand | 2 i + | − 2 i / 2 befindet. Berechnen
Sie die oszillierende Komponente des magnetischen Moments in der
x-Richtung, d.h. den Erwartungswert von Ŝx . Diese Oszillationsfrequenz wird Larmor-Frequenz genannt.
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Orthogonalitätsrelation h± 12 | ∓ 21 i = 0
und drücken Sie Ŝx durch Leiteroperatoren aus, Ŝx = (Ŝ+ + Ŝ− )/2. [1]
P
VII. Mathematica (optional)
The wavefunction of a particle subjected to a spherically symmetric potential V (r) is given by
ψ(x) = (x + y + 3z)f (r)
(1)
Zeigen Sie, dass diese Wellenfunktion eine Eigenfunktion des Bahndrehimpulsoperators L2 ist und schreiben Sie ψ(x) als Linearkombination
von Kugelflächenfunktionen an. Zeigen Sie anschliessend die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte mit Hilfe der Funktion Spherical3DPlot, wobei
f (r) durch den Radialteil der Wasserstoffwellenfunktion für das berechnete l und minimales n verwendet werden soll.
3
2