Übungsaufgaben 3 - Antonkriegergasse

Änderungsmaße
Typ 1 S
Aufgabennummer: 1_004
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5)
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
S erforderlich
Hilfsmittel
S gewohnte
möglich
Typ 2 £
Technologie
£ besondere
erforderlich
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 0,1x ².
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die gegebene Funktion f zutreffend sind!
Die absolute Änderung in den Intervallen [0; 3] und [4; 5] ist gleich groß.
£
Die mittlere Änderungsrate der Funktion f in den Intervallen [0; 2]
und [2; 4] ist gleich.
£
Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 5 hat den Wert 2,5.
£
Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 2 ist größer als
die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 6.
£
Die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (3|f(3)) und B = (6|f(6))
ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 3.
£
Änderungsmaße
2
Lösungsweg
Die absolute Änderung in den Intervallen [0; 3] und [4; 5] ist gleich groß.
S
Die mittlere Änderungsrate der Funktion f in den Intervallen [0; 2]
und [2; 4] ist gleich.
Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 5 hat den Wert 2,5.
Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 2 ist größer als
die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 6.
Die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (3|f(3)) und B = (6|f(6))
ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 3.
S
Lösungsschlüssel
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.
Freier Fall
Typ 1 Typ 2 Aufgabennummer: 1_093
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: offenes Format
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
erforderlich
gewohnte Hilfsmittel
möglich
besondere Technologie
erforderlich
g
Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Weg-Funktion s(t) durch s(t) = · t2 gegeben. Dabei
2
ist g ≈ 10 m/s² die Fallbeschleunigung.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit in m/s im Zeitintervall [2; 4] Sekunden!
Freier Fall
2
Möglicher Lösungsweg
v=
s(4)–s(2)
4 –2
=
80 –20
2
= 30
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt 30 m/s.
Lösungsschlüssel
Es muss ein Lösungsweg erkennbar sein. Die Angabe der korrekten Maßzahl ohne entsprechende Einheit ist ausreichend.
Freier Fall – Momentangeschwindigkeit
Typ 1 Typ 2 Aufgabennummer: 1_094
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: offenes Format
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
erforderlich
gewohnte Hilfsmittel
möglich
besondere Technologie
erforderlich
g
Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Weg-Funktion s(t) durch s(t) = · t2 gegeben. Dabei
2
ist g ≈ 10 m/s² die Fallbeschleunigung.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden!
Freier Fall – Momentangeschwindigkeit
2
Möglicher Lösungsweg
v(t) = s'(t) = 10t
v(2) = 20
Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden beträgt 20 m/s.
Lösungsschlüssel
Es muss ein Lösungsweg erkennbar sein. Die Angabe der korrekten Maßzahl ohne entsprechende Einheit ist ausreichend.
Differenzenquotient
Typ 1 S
Aufgabennummer: 1_003
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: Lückentext
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
gewohnte Hilfsmittel
S erforderlich
Typ 2 £
besondere Technologie
S möglich
£ erforderlich
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit einer Sekante.
f(x)
f
f(x 0 )
f(x0 + h)
x
x0 + h
h
x0
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile
so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Der Ausdruck
➀
beschreibt die
➀
➁
.
➁
f(x) – f(x0 )
h
£
die Steigung von f an der Stelle x
£
f(x0 + h) – f(x0 )
h
£
die 1. Ableitung der Funktion f
£
f(x0 + h) – f(x0 )
x0
£
die mittlere Änderungsrate im
Intervall [x0; x 0 + h]
£
Differenzenqoutient
2
Lösungsweg
Der Ausdruck
➀
beschreibt die
➀
f(x0 + h) – f(x0 )
x0
.
➁
f(x) – f(x0 )
h
f(x0 + h) – f(x0 )
h
➁
die Steigung von f an der Stelle x
S
die 1. Ableitung der Funktion f
die mittlere Änderungsrate im
Intervall [x0; x 0 + h]
S
Lösungsschlüssel
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Aussagen
angekreuzt sind.
Luftwiderstand*
Typ 1 Aufgabennummer: 1_143
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: offenes Format
Grundkompetenz: AN 1.2
keine Hilfsmittel
erforderlich
gewohnte Hilfsmittel
möglich
Typ 2 besondere Technologie
erforderlich
Der Luftwiderstand FL eines bestimmten PKWs in Abhängigkeit von der Fahrtgeschwindigkeit v lässt sich durch folgende Funktionsgleichung beschreiben: FL(v) = 0,4 ∙ v 2. Der Luftwiderstand ist dabei in Newton (N) und die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
angegeben.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Zunahme des Luftwiderstandes in
Fahrtgeschwindigkeit von 20 m/s auf 30 m/s!
N
m/s
bei einer Erhöhung der
* Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 2013 publizierten Kompetenzcheck (vgl. https://www.bifie.at/node/2389) entnommen.
Luftwiderstand
2
Möglicher Lösungsweg
FL(30)–FL(20)
30 –20
=
360 –160
10
= 20
N
m/s
Lösungsschlüssel
N
Die Angabe der Einheit m/s ist nicht notwendig für die Korrektheit der Lösung (da in der
Aufgabenstellung vorgegeben); es genügt die Verwendung des korrekten Änderungsmaßes und die Ermittlung des numerischen Wertes 20.
Differenzenquotient*
Typ 1 Aufgabennummer: 1_151
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: offenes Format
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
erforderlich
Eine Funktion s: [0; 6] →
zurückgelegten Weg.
Es gilt: s (t) =
1 2
t
2
gewohnte Hilfsmittel
möglich
Typ 2 besondere Technologie
erforderlich
beschreibt den von einem Radfahrer innerhalb von t Sekunden
+ 2 t.
Der zurückgelegte Weg wird dabei in Metern angegeben, die Zeit wird ab dem Zeitpunkt
t0 = 0 in Sekunden gemessen.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Differenzenquotienten der Funktion s im Intervall [0; 6] und deuten Sie das
Ergebnis!
* Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 2013 publizierten Kompetenzcheck (vgl. https://www.bifie.at/node/2389) entnommen.
Differenzenquotient
2
Möglicher Lösungsweg
s(6)–s(0)
6 –0
=
30 – 0
6
=5
Das Ergebnis bedeutet, dass die mittlere Geschwindigkeit (auch Durchschnittsgeschwindigkeit)
des Radfahrers im Zeitintervall [0; 6] 5 m/s beträgt.
Lösungsschlüssel
Die Lösung gilt als richtig, wenn der Differenzenquotient richtig berechnet und gedeutet wurde.
Prozentrechnung
Typ 1 Aufgabennummer: 1_173
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: offenes Format
Grundkompetenz: AN 1.1
keine Hilfsmittel
erforderlich
gewohnte Hilfsmittel
möglich
Typ 2 besondere Technologie
erforderlich
Aufgrund einer Beförderung erhöht sich das Gehalt eines Angestellten von € 2.400 auf € 2.760.
Aufgabenstellung:
Um wie viel Prozent ist sein Gehalt gestiegen?
Prozentrechnung
2
Möglicher Lösungsweg
2760 –2400
2400
= 0,15
Sein Gehalt ist um 15 % gestiegen.
Lösungsschlüssel
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn der Wert exakt angegeben ist.
Bewegung eines Körpers
Typ 1 Aufgabennummer: 1_176
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: Lückentext
Grundkompetenz: AN 1.2
keine Hilfsmittel
gewohnte Hilfsmittel
erforderlich
Typ 2 besondere Technologie
möglich
erforderlich
Bei der Bewegung eines Körpers gibt die Zeit-Weg-Funktion seine Entfernung s (in m) vom
Ausgangspunkt seiner Bewegung nach t Sekunden an.
Der Differenzenquotient
s(t2 ) – s(t1 )
t2 – t1
gibt seine mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1; t2] an.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Der Ausdruck limt2 →t1
s(t2 ) – s(t1 )
t2 – t1
gibt die
an.
Momentangeschwindigkeit
Momentanbeschleunigung
durchschnittliche Beschleunigung
zwischen den Zeitpunkten t1 und t2
zum Zeitpunkt t1
zum Zeitpunkt t2
Bewegung eines Körpers
2
Lösungsweg
Momentangeschwindigkeit
zum Zeitpunkt t1
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige
Satzteil angekreuzt ist.
Mittlere Änderungsrate
Typ 1 Aufgabennummer: 1_169
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: offenes Format
Grundkompetenz: AN 1.1
keine Hilfsmittel
erforderlich
gewohnte Hilfsmittel
möglich
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x 2 + 2.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [1; 3]!
Typ 2 besondere Technologie
erforderlich
Mittlere Änderungsrate
2
Lösungsweg
f(3) –f(1)
=4
2
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die Angabe des korrekten Wertes.
Freier Fall eines Körpers
Typ 1 Aufgabennummer: 1_174
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5)
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
gewohnte Hilfsmittel
erforderlich
möglich
Typ 2 besondere Technologie
erforderlich
g
Die Funktion s mit s(t) = · t 2 (g ≈ 10 m/s²) beschreibt annähernd den von einem Körper in der
2
Zeit t (in Sekunden) im freien Fall zurückgelegten Weg s(t) (in m).
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Die erste Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t1.
Die zweite Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die momentane
Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1.
Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t2] gibt den in diesem Intervall
zurückgelegten Weg an.
Der Differenzialquotient der Funktion s an einer Stelle t gibt den Winkel an, den die
Tangente an den Graphen im Punkt P = (t|s(t)) mit der positiven x-Achse einschließt.
Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t2] gibt die mittlere Änderung
der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t1; t2] an.
Freier Fall eines Körpers
2
Lösung
Die erste Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t1.
Die zweite Ableitung s der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die momentane
Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1.
Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t2] gibt die mittlere Änderung
der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t1; t2] an.
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze
richtig gesetzt sind.
Änderung der Spannung
Typ 1 Aufgabennummer: 1_224
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: halboffenes Format
Grundkompetenz: AN 1.1
keine Hilfsmittel
erforderlich
gewohnte Hilfsmittel
möglich
Typ 2 besondere Technologie
erforderlich
Die nachstehende Abbildung zeigt den zeitlichen Verlauf t (in s) der Spannung U (in V) während
eines physikalischen Experiments.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die absolute und die relative Änderung der Spannung während der ersten
10 Sekunden des Experiments!
absolute Änderung: _________ V
relative Änderung: _________ %
Änderung der Spannung
2
Möglicher Lösungsweg
absolute Änderung: 12 V
relative Änderung: 60 %
Lösungsschlüssel
Die Aufgabe ist als richtig gelöst zu werten, wenn beide Werte korrekt angegeben sind.
Temperaturverlauf
Typ 1 Aufgabennummer: 1_286
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5)
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
gewohnte Hilfsmittel
erforderlich
Typ 2 besondere Technologie
möglich
erforderlich
Aus dem nachstehend dargestellten Graphen der Funktion T lässt sich der Temperaturverlauf
in °C in einem Reagenzglas während eines chemischen Versuchs für die ersten 7 Minuten ablesen.
Temperatur (in °C)
50
40
30
T
20
10
t (in min)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die auf den Temperaturverlauf zutreffende(n) Aussage(n) an!
Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 °C/min.
Im Intervall [0,5; 1,5] ist der Differenzenquotient größer als 25 °C/min.
Im Intervall [0; 2] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 °C/min beträgt.
Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd –10 °C/min.
Der Differenzenquotient ist im Intervall [2; t] mit 2 < t < 6 immer kleiner als
0 °C/min.
Temperaturverlauf
2
Lösung
Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 °C/min.
Im Intervall [0; 2] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 °C/min beträgt.
Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd –10 °C/min.
Der Differenzenquotient ist im Intervall [2; t] mit 2 < t < 6 immer kleiner als
0 °C/min.
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
Treibstoffpreise
Typ 1 Aufgabennummer: 1_299
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: halboffenes Format
Grundkompetenz: AN 1.1
keine Hilfsmittel
erforderlich
gewohnte Hilfsmittel
möglich
Typ 2 besondere Technologie
erforderlich
Pro Liter Diesel zahlte man im Jahr 2004 durchschnittlich T0 Euro, im Jahr 2014 betrug der
durchschnittliche Preis pro Liter Diesel T10 Euro.
Aufgabenstellung:
Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der absoluten und der relativen Preisänderung
von 2004 auf 2014 für den durchschnittlichen Preis pro Liter Diesel an!
absolute Preisänderung: _____________________________________
relative Preisänderung: _____________________________________
Treibstoffpreise
2
Möglicher Lösungsweg
absolute Preisänderung: T10 –T0
relative Preisänderung:
T10 T0
T0
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn beide Terme korrekt angegeben sind.
Temperaturverlauf
Typ 1 Aufgabennummer: 1_286
Prüfungsteil:
Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5)
Grundkompetenz: AN 1.3
keine Hilfsmittel
gewohnte Hilfsmittel
erforderlich
Typ 2 besondere Technologie
möglich
erforderlich
Aus dem nachstehend dargestellten Graphen der Funktion T lässt sich der Temperaturverlauf
in °C in einem Reagenzglas während eines chemischen Versuchs für die ersten 7 Minuten ablesen.
Temperatur (in °C)
50
40
30
T
20
10
t (in min)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die auf den Temperaturverlauf zutreffende(n) Aussage(n) an!
Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 °C/min.
Im Intervall [0,5; 1,5] ist der Differenzenquotient größer als 25 °C/min.
Im Intervall [0; 2] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 °C/min beträgt.
Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd –10 °C/min.
Der Differenzenquotient ist im Intervall [2; t] mit 2 < t < 6 immer kleiner als
0 °C/min.
Temperaturverlauf
2
Lösung
Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 °C/min.
Im Intervall [0; 2] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 °C/min beträgt.
Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd –10 °C/min.
Der Differenzenquotient ist im Intervall [2; t] mit 2 < t < 6 immer kleiner als
0 °C/min.
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.