5. Elektrisches Strömungsfeld

Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Kapitel 5: Elektrisches Strömungsfeld
5
5.1
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.3
5.4
5.5
16.08.2006
Elektrisches Strömungsfeld
Definition des Feldbegriffs
Das elektrische Strömungsfeld
Strömungsfeld in einer zylindrischen Anordnung
Strömungsfeld in einer punktförmigen Anordnung
Strömungsfeld in einer linienhaften Anordnung
Elektrische Spannung und elektrischer Widerstand
Grenzbedingungen im Strömungsfeld
Aufgaben
5-1
2
2
3
4
5
7
9
10
13
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
5.
Elektrisches Strömungsfeld
5.1
Definition des Feldbegriffs
Der Feldbegriff beschreibt einen Raumzustand. Ein Feld kann dabei als energieerfüllter Raum
angesehen werden. In diesem energieerfüllten Raum erfahren Teilchen eine Kraftwirkung.
Nur über dies Wechselwirkung zwischen Teilchen und Feld ist der Nachweis des
Vorhandenseins eines Feldes möglich. Der Begriff ist dabei letztendlich eine Hilfsvorstellung
und hat keine direkte physikalische Entsprechung. Er dient der makroskopischen
Beschreibung einzelner Wechselwirkungen.
Als Beispiel soll Strömung in einer Wasserleitung dienen. Fließt Wasser bedingt durch einen
Druckunterschied durch eine Leitung, kann diese Bewegung der Wassermoleküle als ein Strömungsfeld angesehen werden. Die Strömung nimmt dabei eine bestimmte Richtung an und
kann daher als ein Vektorfeld beschrieben werden. Ein Vektorfeld hat immer eine Größe und
eine Richtung. Wird nun ein Gegenstand in dieses Strömungsfeld eingebracht, erfährt er eine
Kraftwirkung und wird sich entlang der Feldlinien dieses Strömungsfeldes bewegen. Der Gegenstand hat an bestimmten Punkten der Transportstrecke eine bestimmte potentielle Energie.
Verbindet man alle Punkte gleicher potentieller Energie miteinander, entsteht ein Skalarfeld.
Dieses Skalarfeld beschreibt dann den Zustand des Gegenstands unabhängig von der Herkunftsrichtung (Abbildung 5.1.1).
V
Äquipotentiallinien
Strömungsfeld
S
Abbildung 5.1.1: Strömungsfeld in einer Wasserleitung
Die direkte Ursache für die Bewegung des Körpers ist die Wechselwirkung zwischen den bewegten Wassermolekülen und dem Körper selbst. Da aber sehr viele Wassermoleküle auf den
Körper einwirken ist die vom einzelnen Molekül losgelöste Vorstellung des Strömungsfeldes
einfacher behandelbar.
Ein weiteres Feld ist das Gravitationsfeld von Massen. Auch hier tritt eine Wechselwirkung
zwischen Teilchen auf, die für die resultierende Kraftwirkung verantwortlich sind. Diese Teilchen sind die postulierten Gravionen. Ihr Nachweis ist bisher noch nicht gelungen, die
Wirkung jedoch allgemein bekannt. Auch das Gravitationsfeld hat eine Größe und Richtung.
Ebenso existieren Äquipotentiallinien, also Linien, entlang derer ein Körper im
Gravitationsfeld den gleichen Zustand annimmt (Abbildung 5.1.2).
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
Gravitationsfeld
E
Äquipotentiallinien
V
Abbildung 5.1.2: Gravitationsfeld eines Planeten der Klasse M5
Für die Elektrotechnik von besonderem Interesse sind das elektrische Strömungsfeld, das
elektrostatische Feld und das magnetische Feld.
Grundsätzlich lassen sich aus den vektoriellen Größen die skalaren Größen durch Integration
ableiten. So gilt für das Gravitationsfeld:
r r
Gleichung 5.1.1
V = − ∫ E ⋅ ds
Beziehungsweise im Strömungsfeld:
r r
V = − ∫ S ⋅ ds
5.2
Gleichung 5.1.2
Das elektrische Strömungsfeld
Überträgt man diese Überlegungen für Felder auf das elektrische Strömungsfeld, muß
zunächst nach der Ursache dieses Feldes gefragt werden. Das elektrische Strömungsfeld wird
durch die Bewegung von elektrischen Ladungsträgern hervorgerufen. Die Ausbildung eines
elektrischen Strömungsfeldes setzt daher das Vorhandensein eines elektrisch leitfähigen
Materials voraus. Für die Bewegung elektrischer Ladungsträger ist weiterhin eine
Potentialdifferenz notwendig, um die Bewegung anzuregen. Ein Beispiel für das elektrische
Strömungsfeld ist die gesamte Gleichstromtechnik. Betrachtet man einen homogenen Leiter
mit der Leitfähigkeit κ, der an eine Spannungsquelle angeschlossen wird, bildet sich in diesem
Leiter ein elektrischer Strom und somit ein elektrisches Strömungsfeld aus (Abbildung 5.2.1).
Die Potentialdifferenz U, allgemein als elektrische Spannung bekannt, hat bei einem leitenden
Körper einen elektrischen Strom zur Folge. Wenn dieser Körper eine räumliche Ausdehnung
besitzt, wird sich der Strom in diesem Raum ausbreiten und zum Fließen kommen. Es wird
sich eine Stromdichte S einstellen. Für diese Stromdichte gilt:
Gleichung 5.2.1
dI
S=
dA
In integraler Form gilt:
r r
r r
Gleichung 5.2.2
I = S ⋅ dA = S ⋅ n ⋅ dA
∫
∫
Entlang der Länge l des Leiters wird sich eine elektrische Feldstärke ausbilden, die aus Sicht
des Leiters und der sich darin bewegenden Ladungsträger die Ursache ihrer Bewegung ist. Für
diese Feldstärke gilt:
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
l
κ
S
A
n
E
U
I
I
Abbildung 5.2.1: Strömungsfeld im elektrischen Leiter
r
E = − grad (V )
In integraler Form ergibt sich:
r r
V = − ∫ E ⋅ dl
Gleichung 5.2.3
Gleichung 5.2.4
Damit läßt sich die Spannung am Leiter definieren:
b r
r
U ab = ∫ E ⋅ dl = Va − Vb
Gleichung 5.2.5
a
Weiterhin
r
r gilt für die Stromdichte:
Gleichung 5.2.6
S =κ ⋅E
Der Strom durch den Leiter ist an jeder beliebigen Querschnittstelle gleich groß. Die Stromdichte ändert sich abhängig von der Querschnittsfläche.
5.2.1 Strömungsfeld einer zylindrischen Anordnung
Betrachtet man eine zylindrische Anordnung (Abbildung 5.2.1.1) mit einer runden unendlich
gut leitenden Zuleitung im Zentrum mit dem Radius R0 und einer unendlich gut leitenden
Rückleitung am Außenrand des Leiter mit dem Radius R1, ergeben sich folgende
Zusammenhänge:
Für die dem Strom zur Verfügung stehende Querschnittsfläche ergibt sich:
A(r ) = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ l
Gleichung 5.2.1.1
Dabei ist l die Länge der Anordnung. Wenn die Länge sehr groß ist im Vergleich zum Radius,
kann das Problem als zweidimensionale Anordnung betrachtet werden. Für die Stromdichte
ergibt sich damit:
Gleichung 5.2.1.2
I
I
S=
=
A( r ) 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ l
Der Betrag der elektrischen Feldstärke bei einer Leitfähigkeit der Anordnung von κ ist:
Gleichung 5.2.1.3
S
I
E= =
κ κ ⋅2 ⋅r ⋅π ⋅l
Die elektrische Feldstärke breitet sich dabei in radialer Richtung aus. Für das Skalarpotential
V gilt:
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
V = − ∫ E ⋅ dr = − ∫
I
I
⋅ dr = −
⋅ ln(r ) + VC
κ ⋅ 2 ⋅ r ⋅π ⋅ l
κ ⋅ 2 ⋅π ⋅ l
Gleichung 5.2.1.4
I
κ
R1
R0
I
Abbildung 5.2.1.1: Zylindrische, leitfähige Anordnung
Das Potential VC ist dabei das am Innenleiter anliegende Potential. Betrachtet man die Potentialdifferenz zwischen Innen- und Außenleiter, so ergibt sich:
Gleichung 5.2.1.5
r r
R 
I
U = ∫ E ⋅ dr = V0 − V1 =
⋅ ln 1 
κ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ l  R0 
Der elektrische Widerstand dieser Anordnung ist damit:
Gleichung 5.2.1.6
R 
ln 1 
 R0 
U
R= =
I κ ⋅ 2 ⋅π ⋅ l
Das resultierende Feldbild dieses Strömungsfeldes ist in Abbildung 5.2.1.2 dargestellt. Die
Feldstärke nimmt dabei vom Betrag mit dem Logarithmus des Radius ab.
I
V
E
I
Abbildung 5.2.1.2: Feldbild der zylindrischen, leitfähigen Anordnung
5.2.2 Strömungsfeld einer punktförmigen Anordnung
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
Als Punktquelle soll dabei eine Kugelelektrode dienen. Im Inneren der Kugel befindet sich ein
Hohlraum, dessen Oberfläche mit einem ideal leitfähigen Material überzogen ist. An diese
Oberfläche ist ein Draht angeschlossen, der sie mit einem Strom I versorgt. Die äußere Oberfläche der Kugel ist ebenfalls mit einer ideal leitfähigen Oberfläche überzogen. An ihr wird
der Rückleiter befestigt. Die gesamte Kugel habe die homogene Leitfähigkeit κ (Abbildung
5.2.2.1). Der Innenradius beträgt R0 und der Außenradius R1.
I
κ
R1
κ=0
R0
I
Abbildung 5.2.2.1: Kugel mit Innenleiter und Außenleiter
Für die Berechnung dieser Anordnung können die gleichen Überlegungen vorgenommen werden, wie bei der Zylinderanordnung. Die dem Strom I zur Verfügung stehende
Querschnittsfläche ergibt sich zu:
Gleichung 5.2.2.1
A(r ) = 4 ⋅ r 2 ⋅ π
Die Stromdichte S ergibt sich somit zu:
Gleichung 5.2.2.2
I
I
S=
=
2
A( r ) 4 ⋅ r ⋅ π
Für den Betrag der elektrischen Feldstärke ergibt sich somit:
Gleichung 5.2.2.3
S
I
E= =
2
κ κ ⋅4 ⋅r ⋅π
Auch bei dieser Anordnung breitet sich die Feldstärke in radialer Richtung aus. Für das
Skalarpotential gilt dann wieder:
Gleichung 5.2.2.4
I
I
V = − ∫ E ⋅ dr = − ∫
⋅ dr =
+ VC
2
κ ⋅ 4 ⋅π ⋅ r
κ ⋅ 4 ⋅ r ⋅π
Die den Strom I treibende Spannung U ergibt als Potentialdifferenz zwischen Innnenfläche
der Kugel und Außenfläche.
Gleichung 5.2.2.5
I ⋅ (R1 − R0 )
I
I
U = V0 − V1 =
−
=
κ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R0 κ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R1 κ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R0 ⋅ R1
Der elektrische Widerstand der Anordnung ist damit:
R1 − R0
Gleichung 5.22.6
U
R= =
I κ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R0 ⋅ R1
Das Feldbild von elektrischer Feldstärke und Skalarpotential gleicht dem der zylindrischen
Anordnung. Seine Symmetrie erhöht sich lediglich auf die dritte Dimension. Betrachtet man
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
den Betrag der elektrischen Feldstärke, so fällt auf, daß diese mit dem Quadrat der Entfernung
vom Kugelzentrum abnimmt (Abbildung 5.2.2.2).
E
R0
R1
r
Abbildung 5.2.2.2: Verlauf der elektrischen Feldstärke
Läßt man die Kugel zu einem Prunkt zusammenschrumpfen, erhält man den Feldverlauf einer
Punktquelle. Bei dieser, nur gedanklich realisierbaren, Quelle steigt die elektrische Feldstärke
am Ursprungsort der Quelle über alle Grenzen.
5.2.3 Strömungsfeld einer linienhaften Anordnung
Betrachtet man eine Linienanordnung (Abbildung 5.2.3.1), so kann diese als eine Sequenz von
Punktquelle aufgefaßt werden.
I
y
κ
P(x1,y1)
r
y1
dI
x
l
L
x1
Abbildung 5.2.3.1: Linienquelle
Die Stromzuführung erfolgt über einen dünnen Draht, dessen Wirkung vernachlässigbar ist.
Der Raum um die Linienquelle besitzt die Leitfähigkeit κ. Der Rückleiter befindet sich im
Unendlichen. Die Linienquelle wird als eine Anreihung von Punktquellen aufgefaßt, so daß
gilt:
Gleichung 5.2.3.1
dl
dI = I ⋅
L
Für jede dieser Punktquellen gilt dann die Gleichung für das Skalarfeld einer Punktladung. Da
die Anordnung nur noch Symmetrie bezüglich ihrer Rotationsachse aufweist, wird die elektri16.08.2006
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
sche Feldstärke zwei Komponenten aufweisen. Daher ist der Lösungsansatz über das
Skalarfeld günstiger. Für das Skalarfeld einer Punktquelle gilt:
Gleichung 5.2.3.2
I
V =
κ ⋅ 4 ⋅π ⋅ r
Der Abstandsradius von einer solchen Punktquelle ergibt sich nach:
2
Gleichung 5.2.3.3
r = ( x − l) + y 2
Setzt man dies in die Gleichung für das Skalarfeld ein, ergibt sich:
Gleichung 5.2.3.4
I
V =
2
κ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ (x − l ) + y 2
Da es sich aber um eine Linienquelle mit der Länge L handelt, muß der Zusammenhang für dI
eingesetzt werden. Es gilt dann:
Gleichung 5.2.3.5
dI
I
dl
dV =
= ⋅
2
2
κ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ (x − l ) + y 2 L κ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ (x − l ) + y 2
Die elektrische Skalarpotential läßt sich damit durch Lösung des Integrals ermitteln.
L/2
I
dl
V =
⋅ ∫
L ⋅ κ ⋅ 4 ⋅ π − L / 2 ( x − l )2 + y 2
L/2
Gleichung 5.2.3.6
−I
2
⋅ ln x − l + ( x − l ) + y 2 
 − L / 2
L ⋅ κ ⋅ 4 ⋅ π  
Für das Skalarpotential ergibt sich dann:
Gleichung 5.2.3.7
2


 x + L +  x + L  + y 2 


2
2
I

V =
⋅ ln

2
L ⋅κ ⋅ 4 ⋅π


L
L


2
 x − + x−  + y 
2
2



Die elektrische Feldstärke ergibt sich durch partielles Ableiten des Skalarpotentials.
r
r
Gleichung 5.2.3.8
 r dV r dV r dV 

E = − gradV = −∇V = − e x ⋅
+ ey ⋅
+ ez ⋅
dx
dy
dz 

Das resultierende Feldbild ist in Abbildung 5.2.3.2 dargestellt.
V =
y
x
Abbildung 5.2.3.2: Skalarfeldbild einer Linienquelle
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
5.3
Elektrische Spannung und elektrischer Widerstand
Das elektrische Strömungsfeld wird durch eine am leitenden Medium anliegende Spannung
verursacht. Betrachtet man den leitfähigen Weg durch das Medium, können
Äquipotentiallinien eingetragen werden. Die sich ergebende Potentialdifferenz zwischen zwei
Äquipotentiallinien wird als elektrische Spannung bezeichnet (Abbildung 5.3.1).
V
V2
V2
V1
V1
κ
S
l
l
Abbildung 5.3.1: Äquipotentiallinien und elektrische Spannung U
Die Spannung ergibt sich dann zu:
Gleichung 5.3.1
U 12 = V1 − V2
Betrachtet man den resultierenden elektrischen Widerstand einer solchen Anordnung, so gilt
für homogene Strömungsfelder (Abbildung 5.3.2) direkt das ohmsche Gesetz: Der Widerstand
ergibt sich somit zu:
Gleichung 5.3.2
U
R=
I
Im homogenen Strömungsfeld ist der Widerstand nur von der äußeren Geometrie der Anordnung abhängig und es gilt:
V1
V2
V3
S
A
L
Abbildung 5.3.2: Homogenes Strömungsfeld
16.08.2006
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
Gleichung 5.3.3
1 L
⋅
κ A
Betrachtet man ein nicht homogenes Strömungsfeld, so gilt zwar weiterhin das ohmsche Gesetz, aber die geometrischen Zusammenhänge können nicht mehr direkt angegeben werden
(Abbildung 5.3.3).
R=
dI
dl
E, S
dA
κ
dV
Abbildung 5.3.3: Inhomogenes Strömungsfeld
Die Spannung U ergibt sich dann zu:
2 r
r
U 12 = V1 − V2 = − ∫ E ⋅ dl
Gleichung 5.3.4
Der Strom I ist:
r r
I = ∫ S ⋅ dA
Gleichung 5.3.5
1
A
Somit ergibt sich der Widerstand zu:
2 r
r
− ∫ E ⋅ dl
U
R = 12 = 1r r
I
∫ S ⋅ dA
Gleichung 5.3.6
A
Betrachtet man die Kirchhoffschen Sätze im elektrischen Strömungsfeld, so ergibt sich für die
Knotenpunktregel:
r r
Gleichung 5.3.7
S ⋅ dA = 0
∫
A
Führt man die Integration über eine geschlossene Hüllfläche aus, ergibt sich der Wert Null.
Die Summe der zufließenden Ladungen ist somit gleich der, der Abfließenden.
Für den Maschensatz ergibt sich:
r r
Gleichung 5.3.8
E ⋅ dl = 0
∫
L
Das Integral über die Feldstärke entlang eines geschlossenen Weges ergibt ebenfalls Null.
5.4
Grenzbedingungen im Strömungsfeld
Im folgenden soll die Grenzfläche zweier unterschiedlicher leitfähiger Materialien betrachtet
werden (Abbildung 5.4.1).
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
S2
κ1
S2t
S2n
S1t
κ2
S1
S1n
Abbildung 5.4.1: Grenzfläche zweier leitfähiger Materialien
Tritt der Strom I unter einem beliebigen Winkel in die Grenzschicht ein, wird er sie unter
r
r
einem anderen Winkel verlassen. Der Strom kann als Stromdichte dS = I ⋅ dA aufgefaßt
werden. Teilt man diese Stromdichte in eine Normal- und eine Tangentialkomponente auf,
kann das Integral um die Hüllfläche gebildet werden. Die Normalkomponente durchdringt die
Grenzschicht, die Tangentialkomponente nicht. Für die Normalkomponente gilt:
r r
Gleichung 5.4.1
S ⋅ dA = 0 ⇒ dS = I ⋅ dA = dS
∫
1n
2n
A
Die Normalkomponente ist somit stetig.
Das Verhalten der Tangentialkomponente ergibt sich aus den Potentialunterschieden dV entlang eines kleinen Wegstückes auf beiden Seiten der Grenzschicht. Für einen geschlossenen
Umlauf entlang eines Wegstückes links und eines rechts der Grenzfläche muß gelten:
r r
r
r
Gleichung 5.4.2
E ⋅ dl = 0 ⇒ E ⋅ dl = E ⋅ dl
∫
1t
2t
L
Daraus folgt:
r
r
Gleichung 5.4.3
1 r
1 r
E1t = E 2 t ⇒ ⋅ S1t =
⋅ S2t
κ1
κ2
Darausrfolgt für die Tangentialkomponente der Stromdichte:
Gleichung 5.4.4
κ 2 S2t
= r
κ 1 S1t
Die Tangentialkomponente der Stromdichte verhält sich an der Grenzfläche wie die Leitfähigκ1=κ
κ2=0
E
V1
V2
S
Abbildung 5.4.2: Grenzschicht zwischen Leiter und Nichtleiter
16.08.2006
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
keit.
Aus diesen Zusammenhängen ergibt sich für eine Grenzschicht bestehend aus einem Leiter
mit κ1=κ und
r Nichtleiter mit κ2=0 folgende Zusammenhänge:
Gleichung 5.4.5
κ 2 = 0 ⇒ S2t = 0
r
r
r
Weiterhin gilt E1t = E 2 t und S 2 n = 0
Der Strom verläuft somit an der Oberfläche des Leiters tangential. Die Äquipotentialflächen
stehen senkrecht dazu (Abbildung 5.4.2).
16.08.2006
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
5.5
Aufgaben
Aufgabe 5.5.1
Ein Halbkugelerder mit dem Radius R0 wird in ein Erdreich mit der Leitfähigkeit κ gebracht.
Bestimmen Sie den Widerstand des Erdreichs (Abbildung 5.5.1.1).
I
κ=0
R0
κ
Abbildung 5.5.1.1: Halbkugelerder
Aufgabe 5.5.2
Gegeben sei ein halbkreisförmig gebogener rechteckiger Leiter mit dem Innenradius R0 und
dem Außenradius R1. Die Leiterdicke sei d. An einem Ende des Leiter besteht das Potential
V=0 und am anderen Ende das Potential V=V1 (Abbildung 5.5.2.1). Der Leiter wird dann
Strom I durchflossen.
2.1 Bestimmen Sie das Potential V in Abhängigkeit von dem Winkel ϕ.
2.2 Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke im Leiter.
2.3 Bestimmen Sie den Strom I.
2.4 Bestimmen Sie den elektrischen Widerstand des Leiters.
y
y
ϕ
V=0
V=V1
x
x
I
z
z
Abbildung 5.5.2.1: Gebogener Leiter und Zylinderkoordinaten
16.08.2006
r
er
r
ez
R0
d
dA
r
n
ds=r.dϕ
R1
r
eϕ
5-13
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 5
Aufgabe 5.5.3
Berechnen Sie den Widerstand des Schalterkontaktes, mit der Leitfähigkeit κ, eines
Segmentschalters abhängig von der Anzahl n der Schaltersegmente (Abbildung 5.5.3.1). Der
Strom durchdringt das Schaltersegment gleichmäßig und im rechten Winkel zur Oberfläche.
Die Segmente haben die Höhe d.
R0
I
R1
κ
Schaltersegment
Isolator
Achse
I
Abbildung 5.5.3.1: Segmentschalter mit vier Segmenten
Aufgabe 5.5.4
Gegeben ist ein auf dem Erdboden liegender Leiterstab der Länge L. Der Leiterstab ist an eine
Spannungsquelle angeschlossen. Aus ihm strömt ein Strom I gleichmäßig in den Erdboden
(Abbildung 5.5.4.1).
Z
κ=0
I
L
K
Y
κ ≠0
X
a
b
A
B
Abbildung 5.5.4.1: Leiterstab auf dem Erdboden
4.1 Bestimmen Sie das Potential V(x,y,z) im Erdboden.
4.2 Bestimmen Sie die Spannung zwischen den Punkten A und B im Erdinnern.
4.3 Skizzieren Sie den Feldverlauf im gesamten Raum.
16.08.2006
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