10 Strömende inkompressible Flüssigkeiten

10 Strömende inkompres ible Flüssigkeiten
160
2. Wie groß ist die Masse eines Messingstücke (QM = 8,9 g/cm 3), das bei normaler Luftdichte
(QL = 0,00 129 g/cm 3) die scheinbare Masse von genau I kg hat?
Aus der für die wahre Masse abgeleiteten Gleichung m =
m =
m' QM folgt
QM -QL
1 ka . 8 9 ko . dm 3
0'
0
= 1 000145 kg
dm 3 (8 , 9 - 0, 00]29) kg
,
10 Strömende inkompressible Flüssigkeiten
Bewegungen von Flüssigkeiten und Gasen heißen Strömungen. Zwischen beiden besteht
der Unterschied, daß Flüssigkeiten praktisch inkompressibel sind, während das Volumen
der Gase stark vom Druck abhängt, wie von 9.3.2 her bekannt ist. Bei Strömungsgeschwindigkeiten bis zur Schallgeschwindigkeit (340 mls) spielen jedoch Volumenänderungen nur
eine geringfügige Rolle. Bis zu dieser Grenze werden also beide als volumenbeständig behandelt, so daß für Flüssigkeiten und Gase meist die gleichen Gesetze gelten. Wird ferner
von der inneren Reibung (s. 10.2.1) abgesehen, so wird von einer idealen Flüssigkeit im
Gegensatz zu einer realen (wirklichen) Flüssigkeit gesprochen.
10.1
10.1.1
Reibungsfreie Strömungen
Grundbegriffe des Strömungsfeldes
Strömungen können nur zustande kommen, wenn die einzelnen Teilchen einer Flüssigkeit beschleunigenden Kräften unterliegen. Solche können sowohl von außen her einwirken, wie z. B. die Schwerkraft, als auch ihren Ursprung im Innern der Flüssigkeit selbst
haben, wie etwa Stellen unterschiedlichen Druckes. Im Gegensatz zu den bisherigen Betrachtungen befinden sich diese Kräfte aber nicht im Gleichgewicht, sondern veranlassen
die einzelnen Flüssigkeitsteilchen zu bestimmten Bewegungen. Diese müssen den bereits
dargestellten Gesetzen der Dynamik gehorchen.
Überblickt man jedoch das Verhalten der Flüssigkeit im ganzen, so treten im Zusammenwirken aller Einzelbewegungen charakteristische Erscheinungen auf. Der Raum, in dem
sie beobachtet werden, heißt das Strömungsfeld. In diesem Strömungsfeld hat jedes Flüssigkeitsteilchen eine nach Betrag und Richtung ausgezeichnete Geschwindigkeit. Jedem
Teilchen kann daher ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet werden, der sich zudem von
einem Augenblick zum nächsten verändern kann. Die Gesamtheit all dieser Vektoren bildet
das Geschwindigkeitsfeld, dessen Aussehen u. U. fortgesetzt wechselt.
Einfacher läßt sich der Bewegungablauf mit Hilfe von Stromlinien darstellen. Die Tangente in einem beliebigen Punkt einer Stromlinie gibt die Richtung der dort vorhandenen
Geschwindigkeit an (Bild 10.1).
10.1
Reibungsfreie Strömungen
161
Bild 10. 1: Strömungsfeld mit einigen Stromlinien
und Geschwindigkeitsvektoren
Die Tangenten einer Stromlinie geben die Richtungen der längs der Stromlinie
vorhandenen Geschwindigkeiten an. Die Gesamtheit aller Stromlinien ist ein
Bild der Strömung in einem bestimmten Augenblick.
Der zeitliche Ablauf der Strömung wird nun besonders einfach, wenn jedes Flüssigkeitsteilchen immer genau an die Stelle weiterrückt, an der sich das nächste auf derselben Stromlinie zuvor befand. Dann stimmen die Bahnen der Teilchen mit den Stromlinien überein.
Hält dieser Zustand längere Zeit an, so heißt die Strömung stationär. Im allgemeinen ist
dies bei langsamen Strömungen der Fall, in denen die Stromlinien dauernd ihre anfängliche
Form beibehalten.
Stromlinien lassen sich durch Aufstreuen von Aluminiumpulver auf die Oberfläche oder
Einbringen von Holzmehl oder gefarbten Flüssigkeitsfäden ins Innere der Flüssigkeit leicht
sichtbar machen.
a)
b)
Bild 10.2: Strömung bei Eintritt in
eine verengte Stelle
a) Beginn, b) weiterer Verlauf
Die Bilder 10.2a, b sind dadurch hergestellt, daß in eine schmale Kammer von oben her
langsam reine und aus einer Reihe von Düsen gefarbtes Wasser einfließt.
Bild 10.3: Stromröhre
Strömungen im Innern von Flüssigkeiten aber ind Vorgänge im Raum. Sie lassen sich
übersichtlich zusammenfassen, wenn eine geschlossene Kurve, z. B. ein Kreis, senkrecht
zu den Stromlinien gelegt wird. Sie umfaßt dann eine Stromröhre (Bild 10.3), deren Mantelfläche von Stromlinien gebildet wird. Ist der Querschnitt einer Stromröhre sehr klein, so
10 Strömende inkompressible Flüssigkeiten
162
wird sie von einem Stromfaden durchflossen. Schließlich heißt das in einer bestimmten
Zeit durch den Querschnitt der Stromröhre fließende Volumen Volumenstrom V.
Der Volumenstrom ist der Quotient aus dem durch einen bestimmten Querschnitt tretenden Flüssigkeitsvolumen und der dazu benötigten Zeitdauer.
ETI
v
V=-
Volumenstrom (mittlerer)
t
.
[V]
(10.1)
[V]
m3
= = (Kubikmeter je Sekunde)
[t]
s
Häufig verwendete SI-fremde Einheiten:
l1/s (Liter je Sekunde) = 10- 3 m3 /s
1 m3/h (Kubikmeter je Stunde) =2, 78· 10-4 m 3 /s
Bei einer genaueren Definition ist der Quotient durch den Differentialquotienten zu ersetzen.
Die wichtigste Eigenschaft einer Stromröhre ist, daß keine Stromlinien in ihre Mantelfläche
ein- oder austreten können. Sie kann also in Gedanken aus der Flüssigkeit herausgenommen
und rechneri ch wie ein wirkliches Rohr behandelt werden. Da nun die Flüssigkeit nicht
kompressibel ist, können innerhalb des Rohres nirgendwo Stauungen oder Verdünnungen
auftreten. Es muß in einer bestimmten Zeit ebensoviel Flüssigkeit in ein Rohr eintreten,
wie am anderen Ende herauskommt. Mit anderen Worten heißt das:
Der Volumenstrom ist an allen Stellen einer Stromröhre konstant.
(10.2)
Es werde nun eine Stromröhre betrachtet, die nach Bild 10.4 zylindrische Form hat. Jedes
FlüssigkeitsteiJchen möge die Geschwindigkeit v haben. Ist die Front der vorrückenden
Flüssigkeit zunächst in Stellung J, dann wird sie nach Ablauf der Zeit t bei 2 angelangt
sein und dabei die Strecke s = vt zurückgelegt haben. Dann hat in dieser Zeit ein Flüssigkeitszylinder vom Querschnitt A und der Länge s = vt die Stelle J passiert. Wegen
V = Avt ist dann der Volumenstrom
.
V
Avt
V - --- -
t
t
Volumenstrom
(10.3)
Jetzt wird ein Schritt weiter gegangen und an eine Stromröhre gedacht, die nach Bild 10.5
aus zwei Teilen mit den Querschnitten A I und A2 besteht. Nach dem vorhin ausgesprochenen Satz (10.2) ist der Volumenstrom in beiden Rohrabschnitten gleich groß. Auf Grund
der letzten Gleichung (10.3) ergibt sich damit sofort
I AI VI =
A2 V 2
I
Kontinuitätsgleichung
(10.4)
In engen Rohren und schmalen Stellen eines Flußbettes herrschen demnach größere Strömungsgeschwindigkeiten als an weiten Stellen. Eine derartige Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit ist am Stromlinien bild gut zu erkennen. Auf Bild 1O.2b ist erkennbar, wie
die Stromlinien im Gebiet zunehmender Geschwindigkeit enger zusammenrücken und in
der langsamer werdenden Strömung wieder auseinandertreten.
10.1
Reibungsfreie Strömungen
163
S2
Bild 10.4: Strömung bei konstantem
Querschnitt
Bild 10.5: Strömung bei veränderlichem Querschnitt
10.1.2 Gesetz von BernouJli
Nach der Kontinuitätsgleichung 00.4) ändert die reibungsfrei durch eine Stromröhre gleitende Flüssigkeit bei jeder Veränderung des Quer chnitte ihre Geschwindigkeit. Demnach
muß auch ihre kinetische Energie zunehmen, wenn sich der Querschnitt verengt, und umgekehrt.
Zweifellos kommt aber die Beschleunigung der Flüssigkeit nur zustande, wenn eine bestimmte Druckdifferenz vorhanden ist, die auf sie einwirkt. Hat dieser Druck im weiteren
Teil der Stromröhre zunächst den Wert PI, so wirkt auf den Quer chnitt eine betrachteten
Volumenteils die Kraft Pl A I, die entsprechend der Geschwindigkeit VI da Volumenteil
um die Strecke SI verschiebt (Bild 10.6). Dies entspricht der Arbeit WI = PI A I SI. 1m
engeren Teil der Stromröhre legt dasselbe Volumen in der gleichen Zeit die Strecke S2 zurück, was die Arbeit W2 = P2A2S2 ergibt. Da das Volumen V aber kon tant bleibt, ist
V = Aisl = A2S2, so daß der Zuwachs an kinetischer Energie nur aus der Differenz der
beiden Arbeiten WI = PI V und W2 = P2 V stammen kann.
P1
P2
Bild 10.6: Arbeit de
Es gilt also die Energiebilanz
Wird die Gleichung beiderseit durch V dividiert,
PI -
P2
Q 2
= -V2 -
2
Q 2
-VI
2
0
wird
oder, anders ge chrieben,
tati ehen Druckes
10
164
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
Liegt die betrachtete Stromröhre nicht waagerecht, sondern geneigt, so ändert sich nicht
nur die kineti che, sondern auch die potentielle Energie. Die Energlebilanz ist um das Glied
t:.E pot = mghl - mgh2 zu ergänzen. Gleichung (10.5) nimmt dann die Form an:
Der Druck p wird als statischer Druck bezeichnet. Die Glieder (2gh und
~v2 haben eben-
2
falls die Dimension eines Druckes. Sie heißen geodätischer Druck (oft auch hier Schweredruck genannt) und dynamischer Druck ( = Staudruck).
Daß das zweite Glied die Einheit eines Druckes hat, ist erkennbar durch Einsetzen der
Einheiten. Mit [(2] = kg/m 3 und [v 2 ] = m 2 /s 2 wird die Einheit des Produktes
2
[(2v ]
=
kg . m2
m3 . s2
kg . m
1
N
= ~ . m2 = m2 = Pa = [p]
Der statische Druck kann mit jedem Manometer gemessen werden, dessen Öffnung parallel zur Strömungsrichtung in die Strömung einmündet. Da gegen den jeweils vorhandenen
Luftdruck gemessen wird, zeigt das Manometer den statischen Überdruck Pes an. Der Staudruck jedoch bestimmt weitgehend die Kraft, mit der die Strömung auf entgegenstehende
Hindernisse wirkt. Allerdings kommt es dabei noch sehr auf die Form des Körpers an und
damit, in welcher Weise die Flüssigkeit das Hindernis umströmt. Noch kürzer gefaßt lautet
Gleichung (10.5)
I p + ~v2 = const.
Gesetz von Bernoulli für horizontale
Strömung
(10.6)
oder in Worten:
Die Summe aus statischem und dynamischem Druck hat innerhalb einer Stromröhre stets den gleichen Wert.
Der wichtigste Inhalt des BERNOULLlschen Gesetzes besteht somit in der Klärung der in
einer Strömung herrschenden Druckverhältnisse. Es zeigt vor allem auf, daß der statische,
d. h. der mit einem Manometer meßbare Druck an allen Stellen einer Strömung geringer
ist als dort, wo die Flüssigkeit ruht.
Solche ruhende Stellen treten auf, wenn ein festes Hindernis in die Strömung gestellt wird.
Bild 10.7 zeigt z. B. den Querschnitt eines langsam umströmten Kreiszylinders. Die Stromlinien laufen ohne Unterbrechung um den Körper herum. An den beiden Stellen jedoch, wo
sie senkrecht gegen die Oberfläche treffen, haben sie ein Ende. An der vorderen, der ankommenden Strömung zugewandten Seite liegt der Staupunkt. Hier und auch an seinem
Gegenpunkt kann keine Strömung vorhanden sein. Wird Gleichung (10.5) auf den Staupunkt angewendet, so ist dort die Strömungsgeschwindigkeit V2 = O. Der statische Druck
P2 muß dann gleich der Summe aus dem statischen und dynamischen Druck PI
der Strömung sein.
+ ~vf in
2
10.1
Reibungsfreie Strömungen
165
Diese Summe nennt man den Gesamtdruck PO. Er ist der maximale Wert des in der Strömung möglichen statischen Druckes:
I po=p+~ I
Gesamtdruck für horizontale Strömung
(10.7)
Im Staupunkt einer Strömung hat der statische Druck seinen Maximalwert.
Bei einer schräg zur Strömung orientierten Platte (Bild 10.8) liegen der Staupunkt und ein
Gegenpunkt unsymmetrisch. Die dort befindlichen Druckmaxima üben dann ein Drehmoment aus, das die Platte nicht etwa parallel, sondern rechtwinklig zur Strömung zu drehen
sucht. Wird beispielsweise ein Blatt Papier in schräger Anfangslage losgela sen, so faHt
es unter Schaukelbewegungen langsam zu Boden. Es pendelt um die waagerechte, d. h.
rechtwinklig zur Strömung gerichtete stabile Lage hin und her.
Bild 10.7: Langsame Strömung um
einen Kreiszylinder
Bild 10.8: Strömung um eine
schräge Platte
10.1.3 Ausfluß aus Gefaßen
Strömt Flüssigkeit aus der Öffnung eines Behälters, 0 spricht man vom Ausfluß. Der Vorgang kann nur stattfinden, wenn der Druck an der Öffnung niedriger als im Innenraum
ist. Im Innern des Gefäßes, wo die Flüssigkeit bzw. das Gas prakti ch ruht, besteht der Gesamtdruck PO. Gelangt der Strahl ins Freie, so unterliegt er dem dort bestehenden stati chen
Druck. Im freien Luftraum ist es der atmosphärische Luftdruck P = Pamb. Hinzu kommt
aber noch der dynamische Druck der Strömung. Daher ist (10.7) unmittelbar anwendbar
und liefert die Ausflußgleichung:
Ausströmgeschwindigkeit
(10.8)
Hierbei wurde der Überdruck PO - Pamb der Kürze halber mit Pe bezeichnet.
Das gleiche Gesetz gilt auch für oben offene Behälter, die unten einen Abfluß haben (Bild
10.9). Als Überdruck wirkt hier der Schweredruck der Flüs. igkeit, der sich nach (9.6) zu
10
166
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
h(}g ergibt. Nach Einsetzen dieses Ausdruckes in (10.8) folgt das Torricellische Ausfluß-
gesetz:
Ausflußgeschwindigkeit
(10.9)
Bei experimenteller Prüfung der Gleichungen (l0.8) und (10.9) ergeben sich jedoch für v
weit kleinere Werte, und zwar vor allem aus zwei Gründen: Die innere Reibung (Zähigkeit)
verursacht Verlu te, die bei Wasser im Mittel 3 % ausmachen . Noch mehr ins Gewicht
fällt die Einschnürung des Strahls, besonders wenn die Öffnung nicht abgerundet, sondern
scharfkantig in dünner Wand sitzt. Je nach Form und Lage der Öffnung ergeben sich dann
bestimmte Ausflußzahlen 11-, so daß v = I1-J2gh ist. (Bei scharfkantiger Öffnung in dünner
Wand ist 11- =0,60 bis 0,64.)
-------
::
-
~
... -s,
_ :::;
- --
)_._
.. _--'
Bild 10.9: Ausfluß und Druckhöhe
10.1.4
Weitere Anwendungen der Bernoullischen Gleichung
In einer freien Luftströmung ist der statische Druck stets kleiner als derjenige in der umgebenden ruhenden Luft. Das führt zu manchmal paradox anmutenden Erscheinungen. Wird
in ein Rohr mit abgeflachter Ausmündung geblasen, so hebt sich ein davor gehaltenes Blatt
flatternd gegen die Öffnung (Bild 10.10). Die Tragflügel der Flugzeuge sind an der Oberseite gewölbt (Bild 10.11). Dadurch ist die Strömungsgeschwindigkeit dort größer als an der
Unterseite. Die Differenz der statischen Drücke bewirkt einen zusätzlichen dynamischen
Auftrieb.
--
--
-I
1-
t tt t
Bild 10. 10: Der Luftstrom saugt das Blatt an
-
~::~-"
-
--
---
.-::.-~
- ~
~-
-
--
-
-
Bild 10.11: Tragflügelprofil
Beim Zerstäuber erzeugt der Luftstrom über einer Düse statischen Unterdruck, der die
Flüssigkeit im Saugröhrchen anhebt. Am Düsenrand wird sie dann in kleine Tröpfchen
zerrissen.
10.1
Reibungsfreie Strömungen
167
Zum Heben von Wasser kann ein zur Verfügung stehender Wasserstrom benutzt werden,
der durch ein taillenförmig eingeengtes Rohr fließt (Bild 10.12). Hier ist der statische Druck
kleiner als der Luftdruck. Eine Abzweigung wirkt als Saugrohr.
---
S
"IIIL...-o--
Bild 10.12: Heben von Wasser
D
Bild 10.13: Wasser trahlpumpe
Zur einfachen Herstellung luftverdünnter Räume dient die Wasserstrahlpumpe (Bild
10.13). Ein schneller Wasserstrahl S fließt in die trichterartige Dü e D. Die arn freien Teil
des Strahls anhaftende Luftschicht nimmt infolge der inneren Reibung (Bild 10.19) auch
die benachbarten Luftschichten mit, wodurch eine Zone statischen Unterdruck entsteht.
Bei Wasserdampf als Treibmittel werden etwa 2 hPa erreicht, bei Verwendung von Quecksilberdampf kommt man bis auf 1 Pa.
Auf dem BERNOULLlschen Gesetz beruhen auch einige im Bau sehr einfache Strömung meßgeräte. Das Venturi-Rohr ist ein eingeschnürtes Rohr, dessen seitliche An ätze ein
Manometer verbindet (Bild 10.14). Das Manometer zeigt den Unter chied der statischen
Drücke PI und P2 an. Das VENTURI-Rohr dient auch zur Messung großer Volumen tröme in Wasserwerken, wobei der Druckunterschied die Geschwindigkeit kennzeichnet (Bild
10.15).
~~~~~~~~
P1
ct'
I
II---.-+ct
Bild 10.14: VENTURI-Rohrfür
Gasströmung
Bild 10.15: Technische Ausführung eine. VE TURI-Rohres
10
168
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
Das Pitot-Rohr ist ein in die Strömung hineinragendes Rohr (Bild 10.16), dessen Mündung
quer zur Strömung gerichtet ist. Die Strömung staut sich vor dessen Öffnung 0, so daß
dort die Geschwindigkeit gleich null ist. Nach dem BERNOULLIschen Gesetz ist hier der
Druck gleich dem der vor der Rohrmündung ruhenden Flüssigkeit. Das PITOT-Rohr mißt
demnach den Gesamtdruck PO = P + (2v 2/2 nach Gleichung (10.7) gegen den jeweils am
Meßort vorhandenen Luftdruck, also den Gesamt-Überdruck PO - Pamb .
S
Po - Pamb
..
Dl
s•
\
.
~
I
il
CD
Bild 10.16: PITOT-Rohr
Bild 10.17: PRANDTLsches Staurohr
Das Prandtlsche Staurohr wird vorrangig zum Messen von Luftströmungen verwendet
(Bild LO.17). An der Staudüse D besteht, wie beim PITOT-Rohr, der Gesamtdruck PO, während die an der Oberfläche des Meßkörpers ausmündenden Düsen S den in der Strömung
herr chenden statischen Druck P anzeigen. Sowohl die Düsen S als auch D werden mit
den beiden Schenkeln eines Manometers verbunden, das die Druckdifferenz öp = PO - P
anzeigt. Diese aber ist nach (10.7) Po - P = (2v 2 /2. Das PRANDTLsche Staurohr mißt
deshalb unmittelbar den Staudruck unabhängig vom jeweils vorhandenen Luftdruck.
Beispiele:
I. Der Querschnitt eines VENTURJ-Rohres verengt sich auf 1/4, die Quecksilberspiegel in den Schenkeln des Manometers haben einen Höhenunterschied von 36 nun. Welche Druckdifferenz zeigt das
Manometer an, und mit welcher Eintrittsgeschwindigkeit strömt das Wasser?
Die Druckdifferenz ergibt sich aus (9.6) zu t::.p = QQgh.
Mit der Quecksilberdichte QQ = 13, 6 g/cm 3 wird
t::.p
=
13,6 · 103 kg· 9, 81 m . 0, 036 m
3 2
m .s
= 4, 8 kPa
Nach der Kontinuitätsgleichung (10.4) strömt das Wasser an der engen Stelle mit der Geschwindigkeit
V2
= ~VI
= 4VI, wenn VI
A2
die Eintrittsgeschwindigkeit bezeichnet.
Damit ist wegen (lO.5)
t::.p
VI
= PI
=
- P2
HJi
t::.p
-15
= T(V~
nw =
"
- vh = T .15vT
2 . 4, 8 . 103 N . m3
15 . m2 . I . 103 kg
bzw.
= 0, 80 m/s
2. Das an ein PR ANDTLsches Staurohr angeschlossene Wassermanometer zeigt eine Druckdifferenz
t::.p = 88,3 Pa an. Welche Geschwindigkeit hat der anströmende Wind?
Q 2 ist v = j2t::.P
Wegen t::.p = -v
--.
2
Q
10.2
169
Strömungen mit Reibung
Mit der Luftdichte Q = 1,29 kg/m 3 folgt
2 . 88, 3 kg . m 3
---=---=---2
V=
10.2
10.2.1
m . 8 . 1, 29 kg
= 11 , 7 mj 8
Strömungen mit Reibung
Innere Reibung
Nicht nur zwischen festen Körpern, sondern auch bei der Bewegung von Flü igkeiten
und Gasen treten Reibungskräfte auf. Sie werden durch die den einzelnen Teilchen aufgezwungene gegenseitige Bewegung verursacht und unter dem Begriff der inneren Reibung
zusammengefaßt. Beim Wasser ist sie nicht so auffällig wie bei dickflü igen Ölen, Sirup
oder Pech, deren Viskosität (Zähflüssigkeit) bedeutend größer ist.
Um den Begriff der inneren Reibung zu klären, wird eine dünne ebene Platte, z. B. eine
Messerklinge, in eine zähe Flüssigkeit, etwa Leim oder Sirup, getaucht. Wird die Platte
parallel zu sich selbst herausgezogen , so ist ein deutlicher Widerstand zu verspüren (Bild
10.18). Er wird durch die Reibungskraft FR vermsacht, die der Bewegung richtung entgegengesetzt ist.
t
F
ft1111 1ITfft ""
x
FR~
Bild 10.18: Bewegung einer Platte
in zäher Flüssigkeit
Bild 10.19: Zur Entstehung der inneren
Reibung
Andererseits ist erkennbar, daß zwischen der Platte und der unmittelbar angrenzenden Flü sigkeit keine Reibung auftreten kann; denn unmittelbar an der Platte bildet sich eine relativ
zur Platte ruhende, fest anliegende Flüssigkeit haut. Beider eits dieser Haut wird die Rü sigkeit von der Platte nur noch zum Teil mitgenommen, in größerer Entfernung von der
Platte verbleibt die Flüssigkeit in Ruhe.
Die Schicht, in der eine Mitnahme der Flüssigkeit erfolgt, heißt Grenzschicht.
10
170
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
Nun ist vorstellbar, daß diese Grenzschicht wiederum aus einzelnen parallel zur Bewegungsrichtung verlaufenden Schichten besteht. Diese können aufeinandergleiten, wie etwa
die glatten Blätter eines Kartenspiels. Auf Bild 10.19 hat also die an der bewegten Platte
haftende Schicht 1 die gleiche Geschwindigkeit VI wie die Platte selbst. Wegen der zwischen den Schichten vorhandenen Reibung wird die nächste Schicht 2 von der Schicht 1
teilweise mitgenommen und bleibt daher hinter Schicht 1 zurück. Ihre Geschwindigkeit ist
um einen kleinen Betrag geringer als die von Schicht 1. Durch dieses Zurückbleiben übt
sie auf die Bewegung der Platte einen hemmenden Einfluß aus. Schicht 3 bleibt wiederum
hinter Schicht 2 zurück usw. So nimmt die Geschwindigkeit von Schicht zu Schicht ab, so
daß die letzte Schicht nur noch die Geschwindigkeit V2 < VI hat.
Die Erfahrung zeigt nun, daß die Reibungskraft um so größer wird, je schneller die Platte
relativ zur Flüssigkeit bewegt wird. Soll ein Messer rasch aus einem Honigglas herausgezogen werden, kann es beispielsweise geschehen, daß das ganze Glas mitgenommen wird.
Die Relativgeschwindigkeit gegenüber einer willkürlich herausgegriffenen Schicht nimmt
aber mit wachsendem Abstand x von der Platte immer mehr zu. Um trotzdem ein eindeutiges Maß dafür zu haben, wird daher eine Größe benötigt, die von diesem Abstand
unabhängig ist. Diese ist das (mittlere)
Llv
Geschwindigkeitsgefälle -
Llx
Auf Bild 10.19 ist angenommen, daß die Geschwindigkeit mit zunehmender Entfernung
von der bewegten Platte linear abfällt. In diesem einfachen Fall verteilt sich die gesamte
Geschwindigkeitsabnahme VI - V2 auf die gesamte Schichthöhe XI - X2. Das Geschwindigkeitsgefälle ist daher durch den Ausdruck
VI - V2
XI -X2
gegeben. Dieser Differenzenquotient ist im ganzen Bereich der Grenzschicht konstant. Es
kann daher gesagt werden, daß die von der inneren Reibung verursachte Gegenkraft diesem Geschwindigkeitsgefälle proportional ist. Außerdem muß die Reibungskraft noch der
Fläche A proportional sein, mit der die bewegte Platte die Flüssigkeit berührt. Der Proportionalitätsfaktor schließlich, der die charakteristische stoffliche Eigenart der Flüssigkeit
berücksichtigt, ist die (dynamische) Zähigkeit oder Viskosität TJ. Somit entsteht
Llv
FR = TJALlx
Das Geschwi ndigkeitsgefälle braucht nicht notwendig Linear zu verlaufen. Die Oberfläche der von
der Platte mitgenommenen Flüssigkeit kann z. B. wie auf Bild 10.18 auch gekrümmt sein. Dann wird
das Geschwindigkeitsgefälle besser durch den Differentialquotienten beschrieben. Allgemeingültiger
lautet das Newtonsehe Reibungsgesetz:
Betrag der Reibungskraft zwischen
Flüssigkeitsschichten
(10.10)
10.2
Strömungen mit Reibung
171
Dabei bedeutet dv den Geschwindigkeitsunterschied benachbarter Flüssigkeitsschichten, x
die Koordinate senkrecht zu den Schichten und damit dv/dx das Geschwindigkeitsgefälle
in x-Richtung. Die Einheit der dynamischen Viskosität folgt aus der Gleichung
[F][dx]
N· m . s N · s
[17] = [A][dv] = m 2 . m = m 2 = Pa· s
(Pascalsekunde)
Ungesetzliche Einheit: 1 cP (Zentipoise) = 10-3 Pa· s.
Zähigkeit einiger Stoffe
Stoff
Temperatur
in oe
Luft
0
20
Luft
Wasser
Wasser
Wasser
Ethanol (Alkohol)
Diethylether (Äther)
Propantriol (Glyzerin)
Schmieröl, dick
Pech
Wasserstoff
0
20
98
20
20
20
20
20
0
Dynamische Viskosität
in mPas
0,0171
0,0181
1,8
1,0
0,3
1,2
0,26
860
350 ... 3000
ca. 30· 109
0,00857
10.2.2 Anwendungen des Reibungsgesetzes
Die gedankliche Zerlegung der Flüssigkeit in einzelne, parallel aufeinander gleitende
Schichten spiegelt sich auch im äußeren Aussehen vieler Strömungen wider. So ist auf
den Bildern 10.7 und 10.8 das Aneinandervorbeig1eiten der Schichten deutlich zu sehen .
Derartige Strömungen bilden sich in allen langsam fließenden Flüssigkeiten und Ga en aus.
Sie heißen daher Schichten- oder laminare Strömungen. In solchen Fällen läßt sich da
NEWTONsche Reibungsgesetz anwenden.
Von großer praktischer Bedeutung ist z. B. die Berechnung der durch ein Rohr fließenden
Flüssigkeitsmenge. Sie muß zweifellos durch die innere Reibung stark beeinAußt werden;
denn diese bedeutet einen mehr oder weniger großen Energieverlust, der proportional mit
der Rohrlänge anwachsen muß. Das läßt sich sehr anschaulich mit einer längeren , horizontal liegenden Röhre zeigen, die nach Bild 10.20 mit einem Wasserbehälter verbunden ist.
In gleich großen Abständen zweigen Steigröhren ab, die als Druckmesser dienen.
Entsprechend der Kontinuitätsgleichung (10.4) muß bei konstantem Rohrquerschnitt die
Strömungsgeschwindigkeit in allen Rohrabschnitten gleich groß sein. Dann ist auch die
kinetische Energie überall konstant. Ein längs des Rohres eintretender Energieverlust kann
dann nur auf Kosten der potentiellen Energie gehen. Diese ist aber durch den jeweils herrschenden Druck gegeben. Die angesetzten Manometer zeigen in der Tat, daß der statische
Druck bis zur Rohrmündung linear abfällt. Die BERNO ULLIsche Gleichung, nach der bei
10
172
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
~-- --
"
''" ,
r -"
-f-r--,
--
r- -
r---
Ro/Jracllse
Rohrwand
"
Strömungsgescllwindigkeit
y-
~
Bild 10.20: Verlust an potentieller
Energie durch innere Reibung
Bild 10.21: Geschwindigkeitsverteilung der laminaren Strömung durch ein Rohr; Längsschnitt durch die
Rohrachse
konstanter Geschwindigkeit auch der statische Druck konstant bleiben muß, trifft hier nicht
zu. Sie gilt nur für reibungsfreie Strömungen!
Der im Rohr auftretende Volumenstrom V läßt sich nur unter Einbeziehung der Viskosität
und der Rohrlänge berechnen. Für den Fall, daß es sich um enge und inwendig glatte Rohre
mit laminarer Strömung handelt (Bild 10.21), gilt das Gesetz von Hagen-PoiseuiUe
.
nr 4 b,.p
v=-8TJl
Volumenstrom bei laminarer Strömung
im Rohr
Hierbei bedeutet b,.p die Druckdifferenz PI Rohrradius und l die Rohrlänge.
P2
(10.11 )
zwischen den beiden Rohrenden, r den
Bild 10.22: Zur Herleitung des
HAGEN-POISEUlLLEschen Gesetzes
Herleitung: Es wird aus der Strömung ein kleiner Zylinder vom Radius x und der Länge I herausgeschnitten (Bild 10.22). Auf seinen Querschnitt wirkt die Kraft n x 2 (PI - P2)' Sie steht im
Gleichgewicht mit der längs der Mantelftäche wirkenden Reibungskraft (10.10) FR
Nach Gleichsetzen beider Kräfte wird
=
T} du ·2n x l.
dx
Zwischen den Grenzen x und r integriert, ergibt sich d.ie Geschwindigkeit v als Funktion des Abstandes x von der Achse:
v=
(PI - pz)(r 2 - x 2 )
4T}!
10.2 Strömungen mit Reibung
173
Durch eine kleine Ringfläche dA vom Radius x und der Breite dx fließt der Volumenstrom
dV
= v dA = (PI
2
2
- P2)(r - x ) . 2nx dx
4T}l
was, zwischen den Grenzen 0 und r integriert, (10.11) ergibt.
Auch sehr kleine Kugeln werden beim Absinken in einer Flüssigkeit oder in Luft von einer
Schichten strömung umflossen (Nebeltröpfchen!). Für den Widerstand Fw, d. i. die Kraft,
die auf die bewegte Kugel einwirkt, gilt das Stokessehe Gesetz:
Widerstandskraft auf laminar
umströmte Kugel
I Fw = 6nT/vr I
(10.12)
Hier bedeutet v die Geschwindigkeit der bewegten Kugel und r den Kugelradius. Die
Herleitung erfordert schwierige mathematische Rechnungen. Das Gesetz ist u. a. von Bedeutung für die Absetzgeschwindigkeit von in Flüssigkeiten aufgeschlämmten Stoffen, die
dann mehr oder weniger schnell sedimentieren (zu Boden sinken).
Es läßt sich daraus auch die Fallgeschwindigkeit v berechnen, wenn die Dichte {ll der Teilchen und die der Flüssigkeit {l2 bekannt sind. Die Gewichtskraft eines kugelförmig angenommenen Teilchens ist dann Vg({ll - (l2) und gleich der Widerstandskraft (10.12).
Deshalb ist
g ({lI - (l2) .
4nr 3
- - - - - - - = 6nT/vr
3
Damit wird
Sinkgeschwindigkeit einer
kleinen Kugel
(10.13)
Beispiele:
1. Eine Staumauer hat 1,5 m unter dem Spiegel eine röhrenförmige Öffnung von 2 mm Radiu und
2 m Länge. Wieviel Wasser von 20 oe geht hierdurch an einem Tag verloren?
Mit dem Schweredruck (9.6) P = Qgh für die Druckdifferenz IJ.p in Gleichung (l 0. 11) folgt
V=
nr 4 Qgh
=
nr 4 Qgh
8
. t wegen (10.1). Mit der Viskosität T}
8'7l
T}l
le) ergibt sich das verlorengehende Wasservolumen zu
bzw. V
=
I mPa · s (s . Tabel-
(2.10- 3 )4 m4 . 103 kg/m 3 ·9, 81 m/s 2 . 1,5 m · 86400 s
3
=4m
8 . 10- 3 Pa . 2 m
2. Berechne die Sinkgeschwindigkeit von Sandkörnchen (r = 1 ~m) in Wasser von 20
V
=
1 g/cm 3 , QI =
Es ist Q2 =
Einsetzen dieser Werte
v
2, 65
g/cm 3
oe.
und wiederum '7 = I mPa . s. Aus (10.13) folgt nach
2· (2650 - 1000) kg· 9, 81 m· 10- 12 m2 m2
m3 s2 . 9 . 0, 001 N s
3,6 . 10- 6 m/ s = 3, 6 ~m/s
Hieraus ist zu erkennen, wie langsan1 sich derartig feine Teilchen zu Boden etzen. In den Zentrifugen
wirkt statt der Gewichtskraft die viel größere Zentrifugalkraft. Auf diese Weise können selbst fein ste
Aufschwemmungen von der Flüssigkeit getrennt werden.
10
174
10.2.3
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
Grenzschicht und Wirbelbildung
Bei den letzten Betrachtungen stand die innere Reibung der Flüssigkeit im Vordergrund.
Die zur Bewegung der Flüssigkeit selbst erforderlichen Kräfte wurden dagegen vernachlässigt. Bei langsamen Strömungen ist dies auch statthaft, da die zur Überwindung der
Trägheit erforderliche Energie gegenüber Reibungsarbeit nicht ins Gewicht fällt. Bei raschen Strömungen tritt jedoch eine neue Erscheinung auf. Es bilden sich spiralige Wirbel,
die als zusätzliche Flüssigkeitsbewegungen eine Vergrößerung des Strömungswiderstandes
bewirken. Wirbel sind starke Energieverbraucher, da die in ihnen enthaltene Flüssigkeit
sehr rasch in kreisende Bewegung versetzt werden muß.
x
----0-1
1--<::"
~,------1
2--~
~----2
3 A
•
B
-3
C
Bild 10.23: Strömung um einen
Kreiszylinder
_\
_\
t
1'/ / / /
---
./
////////
v
Bild 10.24: GeschwindigkeitsgefaIle
in einer Grenzschicht
In besonderem Maße treten solche Wirbel an umströmten festen Körpern auf. Dabei ist es
gleichgültig, ob ein ruhender Körper von der Flüssigkeit umströmt wird oder ob sich der
Körper durch die ruhende Flüssigkeit bewegt. Experimentell einfacher läßt sich der erste
Fall untersuchen. Als Beispiel diene zunächst nach Bild 10.23 ein in der Strömung ruhender
Kreiszylinder.
An seiner Oberfläche haftet eine Haut unbewegter Flüssigkeit. Von hier aus beginnt die
schon in Abschnitt 10.2.1 erwähnte Grenzschicht, in der die Strömungsgeschwindigkeit
vom Wert 0 bis zu ihrem Endwert in der freien Strömung zunimmt. Dabei durchläuft v
ein Maximum, da, bedingt durch die Querschnittsverringerung in der Strömung, die Strömungsgeschwindigkeit in der Nähe des Zylinders gegenüber der freien Strömung erhöht
ist. Auf Bild 10.24 ist die Dicke der Grenzschicht mit 8 angegeben. Im Gegensatz zu Bild
10.18 nimmt hier die Geschwindigkeit der Strömung gegen die feste Oberfläche hin ab. Ein
dieser Grenzschicht angehörendes Flüssigkeitsteilchen steht sowohl unter der beschleunigenden Wirkung der freien Strömung als auch unter dem bremsenden Einfluß der Wand.
Es möge sich dabei längs der Stromlinie I bewegen (Bild 10.23).
Wird die Stromlinie 1 verfolgt, so nimmt von a) bis c) die Geschwindigkeit v zu und der
statische Druck ab. Das Teilchen wird in das Druckgefälle hineingezogen. Von c) an nimmt
v ab und der statische Druck wieder zu. Das Teilchen muß nun gegen erhöhten Druck
anlaufen Lind würde ohne weiteres bis e) kommen, wenn seine bis c) erreichte kinetische
Energie voll erhalten bhebe. Infolge der Bremsung in der Grenzschicht gelangt es nicht
bis e), denn es wird ihm Energie entzogen. Es kommt vorzeitig zur Ruhe, und etwa bei
d) sammelt sich eine Schicht ruhender Flüssigkeit an. Die darübergleitenden schnelleren
Schichten bewirken daher ein Einrollen der steckenbleibenden Grenzschicht nach der Wand
10.2
Strömungen mit Reibung
175
a)
b)
cl
dJ
e)
f)
Bild 10.25: Entstehung von Wirbeln hinter einem umströmten Kreiszylinder
zu, es entsteht eine Drehbewegung im Linkssinn, d. h. ein kleiner Wirbel. Dieser wandert
mit der Strömung, neue Wirbel bilden sich und wachsen. Sie lösen sich schließlich los und
schwimmen mit der Strömung davon. Die vorher anliegende Strömung reißt ab, indem die
Stromlinien um die verwirbelte Zone herum ausbiegen (Bild 10.25). Auf diese Weise zieht
jeder bewegte Körper ein verwirbeltes Feld, eine Wirbelstraße, hinter sich her.
10.2.4
Strömungswiderstand von Körpern
Die soeben geschilderte Wirbelbildung zusammen mit der inneren Reibung bedeutet, daß
ein Körper nur unter Energieaufwand in einer Flüssigkeit bewegt werden kann. Das äußert sich in einer der Bewegung entgegenwirkenden Kraft, dem Strömungswiderstand .
Einen ersten Anhaltspunkt für die Größe dieser Kraft liefert der folgende, von NEWTON
stammende Gedankengang (Bild 10.26):
Hat der Körper die Geschwindigkeit v, den Querschnitt A und die FIü igkeit die Dichte
e
Q, so verdrängt er innerhalb der Zeit panne b.t eine Flüssigkeitsmenge der Ma
b.m
= Qb. V = QAvb.f
176
10
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
Bild 10.26: Verdrängung von flüssigkeit bei der Bewegung eines Körpers
Dadurch erhält der Körper die Impulsänderung
Nach Gleichung (7.2) ist aber die zeitliche Änderung des Impulses gleich der wirkenden
Kraft:
!:"(mv)
2
F= - - =AQv
!:"t
Die Überlegung trifft allerdings nicht ganz den wahren Sachverhalt, denn die an der Vordereite de Körpers verdrängte Flü sigkeit gelangt auf mehr oder weniger großen Umwegen
zur Rückseite des Körpers und gibt ihm einen Teil des Impulses wieder zurück. Bei laminarer, reibungsfreier Umströmung z. B. ist die Impulsänderung insgesamt null, d. h., der
Körper erfahrt keine Mitnahmekraft. Bei vorhandener Reibung und vor allem bei turbulenter Strömung kann dann aber immer noch angenommen werden - und dies wird durch
die experimentelle Erfahrung auch bestätigt -, daß der Strömungswiderstand dem Produkt
AQv 2 proportional i t. Wird an die Stelle des Produktes Qv 2 der Staudruck %v 2 gesetzt, so
gilt:
Der Strömungswiderstand ist dem Querschnitt des Körpers und dem Staudruck der Flüssigkeit proportional.
Der ProportionaJitätsfaktor ist eine dimensionslose Größe, eine Zahl, deren Wert von der
Form des Körpers und dem Charakter der Strömung abhängt.
Er wird Widerstandsbeiwert Cw genannt. Damit ist
Strömungswiderstand bei turbulenter
Strömung
(10.14)
Dabei bedeutet A die Stirnfläche des umströmten Körpers (d. i. der größte der Strömung
entgegenstehende Querschnitt).
Wegen des komplizierten Verlaufes der Thrbulenz (Verwirbelung) läßt ich die Zahl cw
nicht berechnen, ondern muß durch Ver uche ermittelt werden. Der Körper wird im Strömungs- bzw. Windkanal aufgehängt und der Strömungswiderstand mit einer Waage bestimmt.
10.2
Strömungen mit Reibung
177
Widerstands beiwerte einiger Körper
Dünne ebene Platte, senkrecht zu r Stromrichtung
1,1
Offene Halbkugel , Höhlung gegen die Strömung
1,3 ... 1,6
DesgI. , Rundung gegen die Strömung
0,35
Kugel
0,2 ... 0,4
Strornlinienkörper
0,055
PKW
0,35 ... 0,6
LKW
0,8 ... 1,5
Um den Widerstand zu vermindern, ist der Körper jeweil 0 zu ge talten, daß ich möglichst keine Wirbel bilden. Die Strömung darf sich an keiner Stelle von der Oberfl äche ablösen. Die Stromlinien verlaufen dann wie in einer laminaren Strömung. Man nennt einen
olchen Körper stromlinieniormig. Er ist vorn nicht etwa spitz, ondern sanft gerundet
und läuft hinten mit schlanker Spitze aus.
Mit zunehmender Bodennähe flacht sich die untere Seite ab (Bild 10.27). Die richtige Form
wird durch Modellversuche ermittelt. Bei Lokomotiven, Kraftfahrzeugen und Flugzeugen
ist die reine Stromlinienform aus technischen Gründen kaum zu verwirklichen (herau. ragende Teile, wie Räder, Stoßstangen usw. !). Die we entIichste Erkenntni ist hier, daß
die Hauptursache des Widerstandes nicht vom, sondern am hinteren Ende de Fahrzeuges zu suchen ist. Hier muß dafür gesorgt werden, daß der Quer chnitt allmählich auf null
abnimmt, um zu verhindern, daß der freien Strömung entgegengerichtete und energieverzehrende Wirbel entstehen können. Die Reibung an der dadurch vergrößerten Oberfläche
spielt demgegenüber nur eine ehr untergeordnete Rolle.
äf(--3>-b)
,~-
/~-~
c)
.....
_---
Bild 10.27: Verdrängung von Flüs igkeit bei der
Bewegung eine Körper
Die Formverbesserung der Fahrzeuge i t be onder de wegen wichtig, weil die erforderliche Antriebsleistung mit der 3. Potenz der Geschwindigkeit ansteigt. Da nach (5.15)
die Leistung P = Fv ist, ergibt sich auf Grund von (10.14)
Leistung bei Bewegung gegen die Strömung
Beispiele:
(10.15)
I . Berechne die Druckkraft gegen I m2 der Stirnftäche eines Schornsteins bei einer für das Binnenland angenommenen maximalen Windgeschwindi gkeit von 45 mts und der im Modellversuch
ermittelten Widerstandszahl cw = 0, 67.
Fw =
CWAQv2
2
=
8
0.67 · I m2 . 1,293 kg· 45 2 m2
= 77,1
m3 . s2. 2
= 0. 88 k
10 Strömende inkompressible Flüssigkeiten
178
2. Welche Antriebsleistung erfordert die Überwindung des Luftwiderstands eines PKWs
(CW = 0, 33) bei einer Geschwindigkeit von 162 kmIh und einer Stimftäche von 2,0 m2 ?
0, 33 . 2,
10.2.5
°
2
3 3
m . I, 293 kg . 45 m = 39 kW
2 m 3 . s2
ÄhnliChkeitsgesetz der Strömungen
Obwohl die in der obigen Tabelle angegebenen Widerstands beiwerte cw für die meisten
Fälle der technischen Praxis ausreichend sind, zeigen genauere Untersuchungen, daß der
Widerstandsbeiwert eines Körpers von bestimmter Form keine Konstante ist. Sein jeweiliger Zahlenwert kann nur für ein nach Aussehen und relativer Ausdehnung genau definiertes
Strömungs- bzw. Wirbelfeld Gültigkeit haben. Die exakte Berechnung des Widerstandsbeiwertes unter Berücksichtigung aller Feinheiten ist somit nicht möglich.
Nur in einigen wenigen Fällen wirbelfreier Strömungen läßt er sich genau angeben, z. B.
für eine laminar umströmte Kugel. Für deren Widerstandskraft wurde das STOKESsche
Gesetz (10.12) genannt. Wird diese Kraft gleich dem Strömungswiderstand nach Gleichung
(10.14) gesetzt, so folgt
und daraus
121]
Cw=Qrv
Hier läßt sich folgendes herauslesen: Der Widerstandsbeiwert cw bleibt unverändert, wenn
der Kugelradius im gleichen Maße verkleinert wird, wie man die Strömungsgeschwindigkeit v erhöht. Oder auch: Der Wert für cw bleibt unverändert, wenn das Medium mit geringer Zähigkeit 1] durch ein anderes Medium mit größerer Zähigkeit ersetzt wird, das eine
entsprechend größere Dichte Q hat. Dann muß auch das Produkt rv bzw. der Quotient 1]/ Q
konstant bleiben.
Es hat sich nun erwiesen, daß dieses Gesetz nicht nur bei einer laminar umströmten Kugel,
sondern auch bei allen anderen umströmten Körpern gilt. Stets ist der Widerstands beiwert
irgendeine, wenn auch i. allg. nicht weiter bekannte Funktion des Ausdruckes IVQ/1]. Hierbei bedeutet l eine für die jeweilige Körperform charakteristische Länge, wie z. B. bei der
Kugel den Radius r. Dieser Ausdruck ist, wie sich durch Einsetzen der Einheiten leicht
bestätigt, dimensionslos.
Reynoldssche Zahl
(10.16)
Mit Hilfe der obigen Rechnung läßt sich für die Kugel die Funktion cw = f(Re) konkret
12
angeben: Cw = - .
Re
Liegen demnach bei zwei verschiedenen Strömungs vorgängen an geometrisch ähnlichen
Körpern gleich große REYNOLDSSche Zahlen vor, dann sind auch die Widerstandsbeiwerte
gleich groß. Da einem bestimmten Cw-Wert ein ganz bestimmtes Strömungsbild entspricht,
müssen dann auch die Stromlinien selbst geometrisch ähnlich verlaufen:
10.2
Strömungen mit Reibung
179
Ähnlichkeitssatz der Strömungen:
Bei gleicher Reynoldsscher Zahl liefern geometrisch ähnliche Körper auch geometrisch ähnliche Strömungen. Thre Widerstandszahlen haben den gleichen
Wert.
Damit ist es ohne weiteres möglich, bei strömungstechnischen Untersuchungen stark verkleinerte Modelle zu verwenden, wenn nur die Windgeschwindigkeit entsprechend erhöht
wird. Auch die Möglichkeit der Dichtevergrößerung wird genutzt (Überdruck-Luftkanäle).
Vorgänge, die in Wirklichkeit in Luft verlaufen, können auch in Wasser studiert werden,
wenn beachtet wird, daß Wasser einerseits eine größere Viskosität 11 und andererseit eine
größere Dichte Q hat. Beides zusammen wirkt sich so aus, daß 11 / Q bei Wasser rund 14mal
kleiner ist als bei Luft. Folglich ist für entsprechend größere Geschwindigkeit zu orgen.
Der Quotient aus der Viskosität und der Dichte eines Stoffes heißt kinematische Viskosität.
(10.17)
Kinematische Viskosität
N
Pa ·s
m2's
N·m ·s
kg·m·m·s
m2 (Quadratmeter
[v]=-=-=--=
=
=[Q]
kg
kg
kg
s2 . kg
s je Sekunde)
[11]
m3
m3
Ungesetzliche Einheit: 1 cSt (Zentistokes) = 10- 6 m2/s.
Zur Messung der kinematischen Viskosität dient heute noch oft das Viskosimeter von
Engler. Es ist ein Gefäß, aus welchem durch ein Röhrchen 200 cm 3 der zu messenden
Flüssigkeit ausfließen. Als Vergleich dient Wasser von 20 oe, das bei vorschriftsmäßigem
Bau des Apparates 50 bis 52 s zum Abfluß benötigt. Die Zähigkeit in ENGLER-Graden ist
das Verhältnis der Abflußzeiten des Öles zu der des Wassers. Die unechte und unge etzliche
Einheit Grad EngLer (OE) ist daher nicht exakt definiert. Zur Umrechnung dienen besondere
Tabellen. Von etwa 5 OE an aufwärts sind jedoch die Angaben in ENGLER-Graden denen
in Zentistokes praktisch proportional, und es gilt:
Kinematische Viskosität in m 2 /s
Wasser 0 oe
Wasser 20 oe
1,79· 10- 6
1,01 . 10-6
Luft 0 oe und 1013,25 hPa
Luft 20 oe und 1013,25 hPa
1,32· 10- 5
1,50· 10- 5
Das für die Bewegung kleiner Kugeln gültige STOKES che Gesetz (10.12) gilt für
Re = LVQ < 0,4. Bis dahin ist die Strömung laminar und fast auschließlich durch die
11
Viskosität bedingt. Bei Überschreiten der kritischen REYNOLDS Schen Zahl R ekrit = 0,4
wird die Strömung instabil und kann in die turbulente Strömung umschlagen.
10
180
Strömende inkompressible Flüssigkeiten
Beispiele:
I. Zur Bestimmung des Widerstandes eines Kraftwagens von 4 m Länge bei 36 kmIh wird im Windkanal ein auf 10 : 1 verkleinertes ModeU untersucht. Welchen Wert hat die REYNOLDSSche Zahl , und
wie groß ist die erforderliche Windgeschwindigkeit?
Iv
Re = -
v
=
4m·IOm/s
1,5· 1O-5 m2 /s
6
= 2, 67 . 10
Entsprechend dem Verkleinerungs maßstab von 10 : I muß die Anblasgeschwindigkeit
v = 360 kmIh = 100 mJs sein.
2. Eine Kugel von 14 cm Durchmesser befindet sich in einem Luftstrom (20°C) von der Geschwindigkeit 20 rnIs. Wie groß muß die Kugel sein, wenn sich in einem Wasserstrom (20°C) bei der
Geschwindigkeit 10 mJs das gleiche Strömungsbild ergeben soll?
Werden die in Luft gültigen Größen mit! , v, v und die in Wasser gültigen rrtit/ ' , v I,
so ist wegen der Gleichheit (10.16) der REYNOLDSSchen Zahlen
Iv
I' V I
V
Vi
und hiernach der erforderliche Durchmesser im Wasser
I
Ivv '
1=-=
VV '
O,J4m.20m/s·l,OI.1O- 6 m 2 /s
=0, 0189m=l,9cm
1,5· 1O-5 m2 /s· 10 m/s
Vi
bezeichnet,
12.1
Der freie harmonische Oszillator
195
12 Dynamik schwingender Körper
12.1
Der freie harmonische Oszillator
Das einfachste schwingungsfahige System besteht aus einer trägen Masse, die unter der
Einwirkung einer ,,rückstellenden" Kraft nach einmaligem Anstoßen harmonische Schwingungen ausführt. Die träge Ma se kann auch ein Massenträgheitsmoment sein, das durch
ein Drehmoment gesteuert wird. Bekannte Beispiele für solche Systeme sind ein einfaches
Feder-Masse-Pendel (Bild 12.1) oder das im letzten Abschnitt erwähnte Schwerependel,
bei dem eine Masse Drebschwingungen im Schwerefeld der Erde durchführt.
Bild 12.1: Feder-Masse-Oszillator
Was sind die Voraussetzungen für die Kraft bzw. das Drehmoment, um eine solche harmonische Schwingung zu ermöglichen?
12.1.1
Lineare Federschwingung
Betrachten wir zunächst wieder den Fall der linearen Schwingung mit einem Freiheitsgrad.
Die Zeitabhängigkeit der Beschleunigung der schwingenden Masse wurde in (11.8) hergeleitet. Ersetzt man die Sinus-Funktion in (11.8) durch die Auslenkungsfunktion, so erhält
man folgenden Zusammenhang zwi chen Beschleunigung und Auslenkung:
Beschleunigung beim linearen
Oszillator
(12.1 )
Multiplikation von a mit der Masse m liefert die benötigte Kraft F:
Rückstellkraft bei der linearen
harmonischen Schwingung
(J 2.2)
Die zur Aufrechterhaltung der harmonischen Schwingung eines Massenpunkts
erforderliche Kraft ist der Auslenkung entgegengerichtet und proportional
zum Betrag der momentanen Auslenkung.
Eine Kraft mit dieser Eigenschaft hatten wir schon in Abschn. 3.5 bei der linear-elastischen
Verformung einer Schraubenfeder kennengelernt. Der Proportionalitätsfaktor zwischen der
12 Dynamik schwingender Körper
196
Rückstellkraft der Feder und der Auslenkung wurde dort als Federkonstante c bezeichnet.
Durch Vergleich erhält man c = mw 2 = mW6 bzw. nach der Kreisfrequenz wo aufgelöst
Kennkreisfrequenz eines
Feder-Masse-Systems
(12.3)
Da die Kreisfrequenz eine "Systemkonstante" ist - sie hängt nur von c und m ab -, wird
sie auch als Eigen- oder Kennkreisfrequenz WO bezeichnet.
Das Ergebnis läßt sich statt durch die Eigenfrequenz auch durch die Periodendauer der
Schwingung ausdrücken:
Periodendauer der harmonischen
Schwingung eines Feder-Masse-Systems
(12.4)
Die Periodendauer To der harmonischen Schwingung eines Feder-Masse-Systems
- ist unabhängig von der Auslenkungsamplitude )I,
- wächst mit zunehmendem Wert der trägen Masse m,
- fällt mit zunehmendem Wert der Federkonstanten c.
In der Praxis sind diese Zusammenhänge nur näherungsweise erfüllt. Abgesehen von der
unvermeidlichen Dämpfung, die zu einem ganz anderen Zeitverhalten der Schwingung
führt, ist ein harmonischer Oszillator kaum zu realisieren. Die Forderung nach einer strikten
Proportionalität zwischen Federkraft und Auslenkung ist allenfalls für kleine Auslenkungen erfüllt. Nur dann aber verhält sich das System linear. Nichtlinearitäten in dem Kraftgesetz führen zu einem komplizierten anharmonischen Schwingungsverhalten der Masse, die
durch eine einfache Sinusfunktion nicht mehr beschrieben werden kann. Insbesondere die
Schwingungsdauer wird dann abhängig von der Auslenkungsamplitude.
Beispiele:
I. Ein PKW besitzt eine Eigenrnasse von 1000 kg. Durch eine Zuladung von 380 kg senkt sich die
Karosserie um 80 mm. Wie groß ist die Kennfrequenz des PKW im beladenen Zustand?
Die Federung des PKW besitzt eine Federsteife von
c
=
F
380 kg . 9, 81 m
y = 80.10- 3 m. s2
= 46, 6 kN/ m
Die Kennfrequenz mjt Zuladung ist
I
2Jt
fo = -
.
g
1
-m = 2·Jt
46 , 6 . 103N
1380kg·m
= 0, 925 Hz
2. Eine Schraubenfeder wird einmal mit einem Gewicht so belastet, daß die Feder gedehnt wird,
ohne daß es zu einer Schwingung kommt. Wie groß ist die maximale Auslenkung der Feder, wenn
das Gewicht an der ungedehnten Feder plötzlich losgelassen wird?
Die Auslenkungsamplitude der Schwingung entspricht der Auslenkung der Feder bei der nichtschwingenden Belastung. Die maximale Auslenkung der Feder ist daher doppelt so groß.
12.1
12.1.2
Der freie harmonische Oszillator
197
Drehschwinger
Eine zum Feder-Masse-System analoge Anordnung für Drehschwingungen erhält man,
wenn ein Rotationskörper, der um eine feste Achse drehbar ist, dem rückstelIenden Drehmoment einer Schneckenfeder ausgesetzt ist.
Bild 12.2: Drehschwinger
Bei dem in Bild 12.2 gezeigten System wird die Kreisscheibe nach einer Drehung um die
vorgegebene Drehachse durch die verdrillte Feder beschleunigt. So wie die Rückstellkraft
der Feder proportional zur Auslenkung der Masse war, ist auch hier bei kleinen Drehungen
das Rückstellmoment häufig proportional zum Drehwinkel, d. h. , es gilt
Rückstellmoment einer Schneckenfeder
(12.5)
D Direktions- oder Richtmoment (entspricht der Federkonstanten)
[D] = N . rn/rad
Drehmoment und Winkel in (12.5) sind vorzeichenbehaftete Betragsgrößen. Bei einer Drehung um einen positiven Winkel (1jf > 0) ist das entsprechende Drehmoment rechtsdrehend. Die Winkelbeschleunigung, die der Drehkörper erfährt, ergibt sich aus Gleichung
(8 .10)
Winkel beschleunigung beim
Drehschwinger
(J 2.6)
(12.6) entspricht formal Gleichung (12.1) für den linearen Feder-Masse-O zillator.
Damit folgt die Auslenkung 1jf ebenfalls einem Sinus-Verlauf, wie er in (11.17) bereits
quantitativ angegeben wurde. Die Kennkreisfrequenz des Drehschwin gers erhält man sofort durch Vergleich:
Kennkreisfrequenz des Drehschwingers
( 12.7)
Entsprechend ist die Periodendauer des Oszillators
Periodendauer des Drehschwingers
( 12.8)
12
198
Dynamik schwingender Körper
Die beim Feder-Masse-System festgestellten Abhängigkeiten gelten auch hier, nur daß an
die Stelle der Masse das Massenträgheitsmoment und an die Stelle der Federkonstante das
Richtmoment tritt.
Die in (12.5) formulierte Proportionalität zwischen Rückstellmoment und Auslenkung
(Drehwinkel) ist näherungsweise auch bei Körpern gegeben, die unter dem Einfluß der
Schwerkraft in Schwingung geraten. Beispiele für solche physischen Pendel oder Schwerependel sind ein aufgehängter Stab, ein hängendes Brett oder eine Schaukel.
Bild 12.3: Physisches Pendel
Bei dem in Bild 12.3 skizzierten Pendel ist der Schwerpunkt S um einen Abstand 1 gegenüber dem Drehlager 0 verschoben. Eine Auslenkung des Pendels aus seiner Gleichgewichtslage hat ein Drehmoment bezüglich des Drehlagers der Größe M = -mgl sin 1/f
zur Folge. Für kleine Auslenkungen läßt sich die Sinusfunktion durch den Winkel ersetzen:
sin 1/f ~ 1/f. Damit gilt näherungsweise M ~ -mgl1/f, d. h. aber, das Direktionsmoment D
lautet in diesem Fall
Direktionsmoment beim Schwerependel
(12.9)
Eingesetzt in Gleichung (12.8) ergibt dies für die Periodendauer des Schwerependels
TO =
2nj
J
mgl
Periodendauer des Schwerependels
(12.10)
Ein Sonderfall eines Schwerependels liegt vor, wenn die Masse des Oszillators in seinem
Schwerpunkt lokalisiert ist. Dann gilt für das Massenträgheitsmoment J = ml 2 und für die
Periodendauer
Periodendauer beim mathematischen Pendel
(12.11)
Sie hängt ausschließlich vom Abstand der Masse vom Drehlager und der Fallbeschleunigung ab.
Drehschwingungen eignen sich sehr gut zur experimentellen Bestimmung von Massenträgheitsmomenten. Eine Möglichkeit besteht darin, den Körper, dessen Trägheitsmoment
12.1
Der freie harmonische Oszillator
199
Bild 12.4: Ennittlung des Trägheitsmoments
einer Riemenscheibe
Bild 12.5: Ermittlung des Trägheitsmoments
eines Motorankers
ermittelt werden soll, so mit einer Aufhängung zu versehen, daß er möglich t frei um eine
Drehachse schwingen kann, die zu der gewünschten Achse parallel ist (Bild J 2.4).
Die Versuchsdrehachse sollte dabei so gewählt werden, daß eine vernünftige Messung der
Periodendauer ermöglicht wird. Mit Hilfe von (12.10) erhält man da Trägheitsmoment
bezüglich der Drehach e im Experiment und kann darau unter Verwendung des Satzes
von Steiner (8.18) das Trägheitsmoment für jede beliebige parallele Drehach e berechnen .
Eine andere Möglichkeit der Ermittlung von J beruht darauf, den Körper an einem langen
Stahldraht aufzuhängen (Bild 12.5). Nach einer kleinen Verdrehung führt er dann Tor ion schwingungen mit der Periodendauer T aus, für weIche (12.8) gilt.
Bei Kenntnis des Direktionsmoments D ließe sich daraus das Trägheit moment bezüglich
der gewählten Drehachse berechnen. Umgekehrt ist es natürlich möglich, D mit Hilfe eines
geeigneten bekannten Trägheitsmoments experimentell zu be timmen.
Beispiele:
1. Für den in Bild 12.4 gezeigten rotationssymmetrischen Drehkörper mit der Masse 800 g soll das
Massenträgheitsmoment bezüglich der Symmetrieachse bestimmt werden. Hierzu wird der Drehkörper im Abstand I = 60 mm vom Schwerpunkt frei drehbar gelagert. Die Me sung der Periodendauer
ergibt TO = 0,60 s.
Aus ( 12.10) folgt
2
J
T mgl
==
2
4n:
0,602 s2 ·0,800 kg . 9, 81 m ·0,060 m
4n: 2 . s2
= 4, 29 . I0-3 kg. m2
Mit Gleichung (8.18) ergibt sich daraus für die Symmetrieachse
JS = J - ml 2 = (4,29· 10- 3 - 0,800.0,060 2) kg· m2 = 1,41 . 10- 3 kg · m 2
2. Welche Länge muß ein Fadenpendel haben, damit eine halbe Schwingung genau I s dauert"
gT~
Aus Gleichung (12.11) folgt I = --2 =
4n:
pendels beträgt also rund I m.
9,81 m ·4, Os2
2
4· n: . s
= 0,994 m. Die Länge deo Sekunden-