Easy Steps to MAR Plus: Elektrotechnik

Easy steps to MAR Plus
MAR Plus in der Elektrotechnik
1
Grundlagen der Elektrizitätslehre
2
Elektrischer Netzplan
3
Lösung des elektrischen Netzplans
4
Lösung mit MAR Plus
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Easy steps to MAR Plus
Grundlagen der Elektrizitätslehre
R1
Masche
Ohmsches Gesetz
I1
Die Stromstärke verhält sich proportional zur Spannung und
umgekehrt proportional zum Widerstand:
U [V ]
I [ A] 
R[]
U0
I0 I2
R2
I3
R3 I5
R5
Knoten
R4
I4
1. Kirchhoffsches Gesetz (Knotensatz)
Die Summe aller in einem Verzweigungspunkt (Knoten) zu- und
abfließenden Ströme ist gleich Null:
n
I
0
k
Aus der Knotenregel kann man den Gesamtwiderstand
Rges einer Parallelschaltung von M Widerständen herleiten:
M
1
1

RGes k 1 Rk
k 1
2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschensatz)
Die Summe aller Spannungen innerhalb eines geschlossenen
Stromkreises (Masche) ist gleich Null:
m
U
j
0
Aus der Maschenregel kann man den Gesamtwiderstand
Rges einer Reihenschaltung von M Widerständen herleiten:
M
RGes   Rk
k 1
j 1
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Easy steps to MAR Plus
Elektrischer Netzplan
Die grafische Darstellung der Abhängigkeiten von elektrischen
Bauelementen geschieht in einem Netzplan:
R1
(1)
(2)
I1
U0
R2
I0 I2
(5)
R3 I
5
I3
(4)
R5
(6)
R4
R1 = 120 
R2 = 284 
R3 = 100 
R4 = 20 
R5 = 60 
U0 = 142 V
Lineare quadratische Gleichungssysteme treten häufig in
Aufgabenstellungen der Technik, Wirtschaft und des
Finanzwesens auf.
(3)
I4
Die mathematische Beschreibung von Netzplänen geschieht durch
lineare quadratische Gleichungssysteme mit Hilfe der Gesetze von
Ohm und Kirchhoff:
(Gl.1)
(Gl.2)
(Gl.3)
(Gl.4)
(Gl.5)
(Gl.6)
I0
 I1
I1
R1 I1
 I2
 I3
I3
R2 I 2
 R2 I 2
 R3 I 3
 R3 I 3
 I4
 I5
 I5
 R4 I 4
 R5 I 5
 0
 0
 0
 U0
 0
 0
Eine wichtige Anwendung ist die Beschreibung elektrischer
Netzpläne in der Elektrotechnik.
Ohmsches Gesetz: U = R I
Knotensatz
Kirchhoff’sche Gesetze:
Knotensatz: I1 + I2 + I3 + ... +IN = 0
Maschensatz
Maschensatz: U1 + U2 + U3 + ... + UN = 0
Das elektrische Netzwerk dieses Beispiels ist bewußt einfach gehalten, um die prinzipielle Anwendung zu zeigen.
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Lösung des elektrischen Netzplans
Für die Lösung des linearen quadratischen Gleichungssystems
wird die Matrizenschreibweise verwendet:
[Ai,j] {xi} = {bi}
Lösungsvektor
[Ai,j] {xi} = {bi}
Vektor der Absolutglieder
Durch Einsetzen der Werte unseres Beispiels erhält man folgendes
lineares Gleichungssystems mit den Stromstärken als Lösungsvektor:
1
0
0 0  I 0   0 
1  1
0 1
0
1
0  1  I1   0 

    
284
0
0 0   I 2  142
0 0
0 120  284 100 20 0    I    0 

  3  
0
1
 1 1  I 4   0 
0 0
0 0
0
 100 0 60   I 5   0 
Die Werte der einzelnen Stromstärken Ii, für die alle Gleichungen
erfüllt sind, sind die Lösungen des linearen Gleichungsystems:
Ii = {1.3; 0.8; 0.5; 0.3; 0.8; 0.5} für i = 0, 1, ... 5
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Reguläre Koeffizientenmatrix
Das Gleichungssystem wird so umorganisiert, dass kein
Diagonalterm der Koeffizientenmatrix Null ist.
Die Reihenfolge der Gleichungen ist nun:
(1) – (2) – (4) – (5) – (3) – (6)
Ein lineares Gleichungssystem kann
• keine Lösung
• eine Lösung
• unendlich viele Lösungen
haben.
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R1
Lösung mit MAR Plus
I1
Das Vorgehen in MAR Plus ist denkbar einfach:
1
2
3
Eingabe der Anzahl der Gleichungen
Eingabe der Koeffizientenmatrix und der Absolutglieder (erweiterte Matrix)
Anklicken der Schaltfläche „Rechne!“
U0
I0 I2
R2
I3
R3 I5
R4
I4
1
2
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3
Das Ergebnis sind die Werte der
einzelnen Stromstärken im Netzplan:
I 0 
I 
 1
 I 
  2
I3 
I 4 
 
 I 5 
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