AKMUI-Tagung 2010 in Soest Tagung 2010 in Soest

AKMUI--Tagung 2010 in Soest
AKMUI
Norbert Christmann
FB Mathematik der TU KL
September 2010
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Programm (Ankündigung)
In Diskussion um Computereinsatz:
Mittels Computereinsatz können komplexe Inhalte
trivialisiert werden und so den SchülerInnen
zugänglich gemacht werden.
werden
Beobachtung (Lehrpläne, Diskussion mit
B t /L h
Beratern/Lehrern/Autoren/Studierenden…):
/A t
/St di
d
)
Zweifel an Nutzung dieser Chance
Statt Anreicherung eher Reduzierung ?
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Wo sind wir 2010?
Tagungsthema:
Geometrie 2030 - zwischen Kreidetafel und Holodeck
Wir haben - und 2030 sicher noch mehr - die Möglichkeit, selbst Entdeckungs, Erkundungs-, Erfahrungs- und Erklärungshandlungen durch den
Computerbildschirm selbst zu erleben und selbst nacherleben zu lassen.
lassen
Schon heute können wir das mit dem Namen Bruner verbundene EIS effizient
um neue Facetten bereichern: enaktiv Ikonisches, ikonisch Enaktives, sogar
kti Symbolisches.
S b li h (Wird das getan?)
enaktiv
Vieles, was früher mühsam zu materialisieren war, wird nun auf dem
Bildschirm (virtuell) lebendig. (Auch
Auch für die SchülerInnen?)
Was sollen und wollen wir da noch mehr erwarten?
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Rückblick: Geometrie um 1950
Trennung des MU der S1 in Algebra und Geometrie (Bücher und
Hefte)
Geometrieheft: Seiten zweispaltig:
p g
Linien für K. Beschreibung…….,
Leere Spalte für Geg. Stücke, Planfigur, Konstruktion
Konstruktion mittels Zirkel und Lineal,
Lineal geg.
geg Größen (auch Winkel)
wurden damit in Zeichnung übertragen
Parallelen konnten mittels Verschieben (Dreieck entlang Lineal)
gezeichnet werden.
g
Wichtig: Determination in Beschreibung, Punkte als Schnittpunkte
„geometrischer Örter“.
Keine Koordinaten in der S1.
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Veränderungen
Geometrie und Algebra integriert
integriert,
Geometrie vielfach reduziert (neue
Inhalte, z. B. Stochastik)
Frühzeitig Koordinaten, nur noch ein Heft
mit kariertem Papier
p
Geodreieck als Hilfsmittel
Computer, vgl.
l Zweii Spalten
l bei
b i Geogebra
b
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Koordinaten
Vorteile:
Lö
Lösungskontrolle,
k t ll
Sichern des Gebrauchs dieses wichtigen
g
Hilfsmittel
Also nicht verteufeln,
verteufeln aber doch
Kritisches Hinterfragen
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Beispiel zu Koordinatenproblem
Winkelhalbierende
werden schon früh genutzt
In G8 werden schon
in KL. 8 reelle Zahlen eingeführt
Auch die Geometrie
braucht reelle Zahlen!
Gibt es zu den beiden roten Geraden eine
Winkelhalbierende, wenn nur rationale Koordinaten
verfügbar?
fü b ?
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auf Triviales?
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Anmerkung zur L.-Ausbildung
Alte Studiengänge (in KL):
2x4 SWS Geometrie (im Wahlpflichtbereich)
I Affine Geometrie mit deren Algebraisierung (Schließungssätze
Desargues, Pappus-Pascal, Sonderfall Affine Ebenen (sparsam)),
euklidische Räume analalytisch
II
E klidi h Eb
Euklidische
Ebenen ddurch
h schrittweise
h itt i S
Spezialisierung
i li i
zur
Anschauungsebene
dabei insbesondere auch endliche euklidische Ebenen, vgl. hierzu auch
meinen Vortrag auf einer Akmui-Tagung
Akmui Tagung zu diesem Thema
Neue Studiengänge (BM):
2 SWS Euklidische Geometrie
Noch Nachdenken über endliche Geometrien im MU?
(heute!!!)
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
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Winkelsätze an Parallelen
Stufen- und Wechselwinkelsatz
Problem: Wann sind zwei Geraden parallel?
(Geodreieck erspart hier „Nachdenken“)
F l h R
Falsche
Reihenfolge:
ih f l Umkehrung
U k h
der
d zuvor
genannten Sätze nach vorn.
Euklidische Fassung des „Parallelenaxioms“
häufig nicht bekannt, wäre aber hilfreich
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
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Kennzeichnungen von //
90 °
β
β1
g
β β4
β2
β
90 °
h
s
d1
90 °
β
β3
Q
P
d2
90 °
t
Mein Favorit: g // h < == > g, h haben gemeinsames Lot
(Orthogonal „einfacher“ als generelle Winkelmessung)
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
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90 °
Es folgen die fünf Postulate:
„Gefordert soll sein:
1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann.
3 Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann
3.
kann.
4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind.
5. Und
dass , wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien
bewirkt,,
dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei
Rechte werden,
dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf
d S
der
Seite,
it
auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.“
← { Zum Schnittpunkt
Bild zum 5. euklidischen Postulat
Trivialisierung/Reduz.
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Außenwinkelsatz
Im Bild sind α1, β1, γ1
Außenwinkel des Dreiecks ABC.
Diese sind jeweils Nebenwinkel der
entsprechenden Innenwinkel,
ergänzen sich also mit diesen zu
180°.
Es gilt derAußenwinkelsatz: Ein
Außenwinkel ist größer als jeder
der beiden
de
be de nicht
c anliegenden
a ege de
Innenwinkel, also
α1 > β, γ ; β1 > α, γ ; γ1 > α, β.
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
γ
α1
C
γ
γ1
α
A
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β
β
β1
B
Euklids Beweis des Außenwinkelsatzes
F
δ
δ1
C
γ1
γ1
γ
E
α1
α2
D
α3
A
G
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
α
δ
β
β
β1
B
Im gegebenen Dreieck ABC wird
zunächst der Mittelpunkt E der Strecke
AC bestimmt. Dieser wird mit B
verbunden,, dann die Strecke BE über E
hinaus verlängert bis zum Punkt F,
wobei L(EF) = L(EB).
(F ist demnach der Schnittpunkt des
Kreises um E mit Radius L(EB) mit der
Verlängerung
l
von EB über
b E hinaus.)
hi
)
Die entstehenden Dreiecke AEF und
CEB sind dann kongruent nach sws
(L(EF) = L(EB), ((AEF) = ((CEB) als
S h it l i k l L(AE) = L(CE)).
L(CE)) Dann
D
Scheitelwinkel,
stimmen diese Dreiecke in allen
übrigen Maßen überein, insbesondere
ist α2 = γ. Wegen α1 > α2 (α2 ist ein
Teilwinkel von α1,
1 Euklid: „Das
Das ganze
ist größer als seine Teile.") gilt dann
auch α1 > γ.
Entsprechend lässt sich mit Halbierung
von AB zeigen, dass α1 > β gilt.
Christmann AKMUI Soest 2010
Wechselwinkelkriterium für //
Vorausgesetzt wird demnach β1 = β2. Zu zeigen ist,
dass sich g und h nicht schneiden. Der Beweis wird
indirekt geführt. Angenommen, die Geraden g und h
schneiden sich in einem Punkt S (im Bild durch „um
die Ecke gehen“ der Geraden angedeutet). Dann
wäre β2 ein Außenwinkel des Dreiecks ABS, müsste
daher größer als der nicht anliegende Innenwinkel β1
sein. Das kann nicht sein, weil beide Winkel als
ggleichweit vorausgesetzt
g
wurden. Somit müssen die
Geraden parallel und verschieden sein.
Bei diesem Beweis muss man bereit sein, die
Gültigkeit des Kongruenzsatzes sws zu akzeptieren.
Natürlich könnte auch dieser Satz auf andere zurück
füh t werden,
d ein
i Anfang
A f
it als
l gültig
ülti akzeptieren
k ti
geführt
mit
(Grund-) Sätzen muss aber auf jeden Fall gemacht
werden. Weil der Kongruenzsatz sws genügend
einfach ist (man denke doch an die Einfachheit der
Konstruktion eines Dreiecks nach sws), soll er hier
nicht weiter hinterfragte werden.
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
B
g
β2
β
s
S
β1
β
A
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h
Kongruenzsätze
Laut Lehrplan von RP ist es nicht erforderlich, alle
Kongruenzsätze zu besprechen.
Kleinlaut wird dann an einer andern Stelle zugegeben, dass
zu beachten ist, dass hierzu der Kongruenzsatz….
erforderlich ist.
ist
Gehört zu einer Aufgabe (hier: Welche Stücke bestimmen
ein Dreieck eindeutig?) deren vollständige Lösung?
Also: Wenn schon Kongruenzsätze, dann alle?
Verlangt dies nicht grundsätzlich die mathematische
Vorgehensweise
V
h
i (Suche
(S h aller
ll Lösungen)
Lö
)
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Empirie oder System?
C
Eine knifflige Konstruktion?
a
b
sb
B
A
Wird nur knifflig, wenn man „kniffligen“ Lösungsweg
vorschreibt: Zusammensetzen ungeordneter Schnipsel mit
Anweisungen. Übertreibung des experimentellen Vorgehens
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
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Vierecke (sind teilweise gemein)
Kongruenz aufgrund der 5 blauen Strecken?
Argumentation in einem Buch: Dreiecke eindeutig, also auch Viereck
als aus diesen Dreiecken zusammengesetzt
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DGS zwingt
i t zur Korrektur
K
kt (Vierecke
(Vi
k nicht
i ht unbedingt
b di t kkonvex, steht
t ht
in dem entsprechenden Buch auf der gleichen Seite)
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Was ist ein Viereck? Überschneidungsfrei?
Trivialisierung/Reduz.
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Kongruenzabbildungen
In RP noch vorgeschrieben, dabei Empfehlung des
Rechnereinsatzes (Verpflichtung zum Einsatz besteht, aber
nicht unbedingt bei diesem Gegenstand)
Berater: Unbedingt Kapitel so gestalten, damit auch
„rechnerfrei“ gearbeitet werden kann
(Ein Argument: Rechnerraum für MU kaum verfügbar)
In BW nur noch Achsen- und Punktspiegelung
verpflichtend
Tools
in
also
T l für
fü Abbildungen
Abbild
i DGS-Systemen
DGS S
l teilweise
il i
überflüssig?
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Begründen und Beweisen
Haben die Schüler noch eine gesicherte
Argumentationsbasis
g
((nach Rauswurf der
Diskussion von „Grundsätzen“ usw.)?
Beispiel zum Lokalen Ordnen:
Kongruenzabbildung als längentreue Abbildung,
Bild eines Dreiecks sichert Abbildung, daher
Längentreue -> Winkeltreue
Erkenntnisgewinn mit Werkzeug DGS konstruktiv
möglich – Überforderung?
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Kongruenzabbildung als längentreue Abbildung
P'
2,308101 cm
B'
C'
P
6,252793 cm
C
6,604257 cm
1418 cm
6 768784 cm
6,768784
A'
A
7,117488 cm
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B
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Beweisprinzipien außermathematisch
Satz: Zwei in einer Ebene liegende (beliebig geformte)
Pfannkuchen können stets durch einen geraden Schnitt
simultan
i lt (also
( l zugleich)
l i h) halbiert
h lbi t werden.
d
Stellen wir uns zwei in der Ebene (auf dem Tisch oder auf
einem flache Teller) liegende Pfannkuchen vor.
vor Wie kann
man diese mit einem geraden Schnitt „gerecht“ teilen?
Das Zweipfannkuchenproblem: Beide Pfannkuchen sollen
mit einem Schnitt halbiert werden
(vgl.
(vgl Davis /Hersh: Erfahrung Mathematik)
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Zwei--PfannenkuchenZwei
Pfannenkuchen-Problem
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Klassifikation z. B. von
Von Kongruenzabbildungen
Äh li hk it bbild
Ähnlichkeitsabbildungen
Normdarstellungen dieser Abbildungen
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E2
In dieser Aufgabe sollst du zeigen,
dass gleichorientierte,
g
zueinander ähnliche Dreiecke durch
eine Drehstreckung aufeinander abgebildet
werden können, wobei Drehszentrum und
Streckungszentrum übereinstimmen.
E4 In dieser Aufgabe sollst du zeigen,
dass entgegengesetzt orientierte
orientierte,
zueinander ähnliche Dreiecke durch
die Verkettung einer Achsenspiegelung
mit einer zentrischen Streckung (Spiegelstreckung)
aufeinander abgebildet werden können,
bei der das Streckungszentrum auf der Spiegelachse liegt.
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Polynombestimmung
Ausgleichsrechnung:
Fü n+1
Für
+1 P
Punkte
kt iin der
d Regel
R l Polynom
P l
vom
Grad <n suchen. Mit Knopfdruck kann man
verdeutlichen, dass Grad n unsinnig.
Lagrange-Ansatz
Lagrange
Ansatz zur Polynombestimmung
im Zusammenhang mit Rechnernutzung
besser als Ansatz
Ansat mit Gleichungssystemen
Gleich ngss stemen
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Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Weiterführende Überlegungen sinnvoll, z. B. ?
Die Beschreibung der Temperaturmesswerte durch
Regressionskurven soll weiter untersucht werden.
Bestimme die Regressionspolynome vom Grad 5
und Grad 6 und überprüfe die Qualität der
Näherung anhand von Schaubildern
Schaubildern.
Bestimme das Polynom p kleinsten Grades, das
für alle Zeitpunkte exakt die gemessenen Werte
liefert. Ist es zur Näherung der Messreihe
geeignet?
Welches Polynom würde sich in b) ergeben, wenn
die Temperatur konstant 22° wäre?
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Noch zwei Projektbeispiele
Zum Thema Mathematik und
Musik
ik
Näheres dazu in MU 1/2011
Trivialisierung/Reduz.
auf Triviales?
Christmann AKMUI Soest 2010
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!!
Dem AKMUI viel Erfolg
insbesondere auch zur
Neugestaltung des MU im
Jahr 2030
christmann@mathematik uni kl de
[email protected]