Analysis I - Reelle Zahlen Prof. Dr. Reinhold Schneider November 17, 2008 Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Algebraische Grundbegriffe und Körper Definition Sei M 6= ∅ eine Menge. Jede Funktion f : M × M → M heißt eine (binäre, innere) Verknüpfung oder eine Operation auf M. Wir schreiben für (a, b) ∈ M × M, a ∗ b = f (a, b) ∈ M. Dabei kann das Zeichen ∗ jeweils durch ◦, +, · oder ähnlichem ersetzt werden. Versehen wir eine Menge M mit einer Operation ∗, so reden wir von einer algebraischen Struktur (M, ∗). Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Verknp̈fungen Beispiel 1 Es sei M = N, M = Q oder M = R. Die Addition auf M a, b ∈ M : (a, b) 7→ a + b ∈ M ist eine Verknüpfung. 2 Auf Q sind durch a ∗ b = max{a, b} und 1 (a + b) 2 ebenfalls Verknüpfungen bzw. Operationen definiert. a◦b = Da · ∗ · : M × M → M eine Funktion ist, folgt für eine Operation ∗ a, b ∈ M ⇒ a ∗ b ∈ M. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Gruppen Definition (Gruppen) Sei (M, ∗) eine algebraische Struktur. (G1) Kommutativität: Für alle a, b ∈ M gilt a ∗ b = b ∗ a. (G2) Assoziativität: Für alle a, b, c ∈ M gilt (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). (G3) Neutrales Element oder Einselement: Es existiert ein Element e ∈ M, so dass für alle a ∈ M gilt a ∗ e = e ∗ a = a. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Gruppen Definition (Gruppen) (G4) Inverses Element: Zu jedem a ∈ M existiert ein a−1 ∈ M mit a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e. Ist eine algebraische Struktur (M, ∗) assoziativ, d.h. ist (G2) erfüllt, so nennen wir (M, ∗) eine Halbgruppe. Eine Halbgruppe mit Einselement (M, ∗, e) heißt auch Monoid. Sind die Eigenschaften (G2),(G3) und (G4) erfüllt, so heißt (M, ∗) eine Gruppe. Falls zusätzlich auch (G1) gilt, so reden wir von einer kommutativen oder abelschen Gruppe. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beispiel 1 Die Menge der natürlichen Zahlen N versehen mit der Multiplikation · ist eine Halbgruppe mit dem neutralen Element e = 1. 2 Die Mengen N0 = N ∪ {0} versehen mit der Addition + ist eine Halbgruppe mit dem neutralen Element e = 0. 3 (Z \ {0}, ·) ist eine Halbgruppe. 4 Sowohl (Z, +) als auch (Q\{0}, ·) sind abelsche Gruppen. 5 Sei X eine Menge und G = {f : X → X : f bijektiv} die Menge der bijektiven Funktion von X nach X . Gversehen mit der Komposition ◦ : x 7→ (f ◦ g)(x) := f g(x) , x ∈ X , ist ebenfalls eine Gruppe. Das neutrale Element ist hierbei die identische Abbildung id : X → X gegeben durch id(x) := x für alle x ∈ X . Das inverse Element zu f ist die Umkehrfunktion f −1 zu f . Man beachte allerdings, dass diese Gruppe i.a. nicht kommutativ ist. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Gruppen Theorem 1 Sei (M, ∗) eine Halbgruppe mit Einselement, dann gibt es höchstens ein neutrales Element. 2 Sei (M, ∗) eine Halbgruppe mit Einselement, dann gibt es zu jedem x ∈ M höchstens ein inverses Element x −1 . 3 Sei (M, ∗) eine Gruppe, dann gilt für alle x, y , z ∈ M x ∗y =x ∗z ⇔ y = z. 4 Sei (M, ∗) eine Gruppe, dann folgt für alle x, y ∈ M mit x ∗ y = x dass y = e. 5 In einer Gruppe (M, ∗) gilt für alle x ∈ M (x −1 )−1 = x. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beweis: 1 Seien e, e0 ∈ M neutrale Elemente. Dann gelten für alle x ∈ M die Gleichungen x ∗e =e∗x =x und x ∗ e0 = e0 ∗ x = x. Wir setzen in die erste Gleichung x := e0 und in die zweite x := e ein und erhalten durch Gleichsetzen e0 = e0 ∗ e = e. 2 Sei x ∈ M beliebig und seien y , y 0 ∈ M, sofern sie existieren, beides inverse Elemente zu x, d.h. y ∗ x = x ∗ y = x ∗ y 0 = y 0 ∗ x = e. Wir verwenden das Assoziativgesetz (G2) y = y ∗ e = y ∗ (x ∗ y 0 ) = (y ∗ x) ∗ y 0 = e ∗ y 0 = y 0 . Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen 1 Wir zeigen zunächst die Implikation “⇐”. Aus y = z folgt durch Einsetzen x ∗ y = x ∗ z. Um “⇒” zu zeigen, bemerken wir zuerst, dass zu jedem x ∈ M das inverse Element x −1 ∈ M exisitiert. Hiermit folgt dann y = e ∗ y = (x −1 ∗ x) ∗ y = x −1 ∗ (x ∗ y ) = = x −1 ∗ (x ∗ z) = (x −1 ∗ x) ∗ z = e ∗ z = z. 2 Die Behauptung folgt aus Punkt 3 mit z = e. 3 Per Definition gilt e = x −1 ∗ x = (x −1 ) ∗ x = x ∗ (x −1 ). q.e.d. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Körper Definition (Körper) Eine Menge M versehen mit zwei Operationen + und · heißt ein Körper (M, +, ·), wenn 1 (M, +) eine kommutative Gruppe ist, d.h. für alle a, b, c ∈ M gelten (A1) a + b = b + a, (A2) a + (b + c) = (a + b) + c, (A3) a + 0 = a (0 ist das neutrale Element bezüglich der Addition), (A4) a + (−a) = 0 (−a ist das inverse Element zu a bezüglich der Addition), 2 (M \ {0}, ·) ebenfalls eine kommutative Gruppe ist, d.h. für alle a, b, c ∈ M \ {0} gelten (M1) a·b =b·a (M2) a · (b · c) = (a · b) · c (M3) a · 1 = a (1 ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation), (M4) a · a−1 = 1 (a−1 ist das inverse Element bezüglich der Multiplikation), 3 es gilt das Distributivgesetz, d.h. für alle a, b, c ∈ M gilt (D) (a + b) · c = (a · c) + (b · c) =: a · c + b · c. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Körper Beispiel 1 (Q, +, ·) ist ein Körper. 2 M = {0, 1} versehen mit der folgenden Addition und Multiplikation a 0 0 1 1 a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 b 0 1 0 1 a+b 0 1 1 0 a·b 0 0 0 1 ist ebenfalls ein Körper. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Körper Theorem Sei (K , +, ·) ein Körper, dann gelten für beliebige x, y ∈ K die folgenden Aussagen. 1 Es gilt −(−x) = x und −0 = 0. 2 Für alle x ∈ K gilt 0 · x = x · 0 = 0. 3 Für alle x, y ∈ K mit x 6= 0 und y 6= 0 folgt x · y 6= 0. 4 Aus der Gleichung x · y = 0 folgt x = 0 oder y = 0. 5 Falls gilt xy = xz = 1 ist y = z. 6 Es ist (−x)y = −(xy ). Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beweis 1 Diese Eigenschaft folgt aus der Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elementes einer Gruppe, vgl. Satz 6. 2 Es gilt 0 · x + 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x = 0 · x + 0 und wegen Satz 6, Punkt 4, folgt hieraus 0 · x = 0. 3 Die Aussage beweisen wir indirekt. Wir nehmen an, dass x · y = 0. Dann existieren die inversen Elemente x −1 , y −1 ∈ K und es ist 1 = (x ·x −1 )·(y ·y −1 ) = (x −1 ·y −1 )·(x ·y ) = (x −1 ·y −1 )·0 = 0. Aus diesem Widerspruch folgt die Behauptung. 4 Folgt aus 3. durch Negation. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen 5 Aus x · y = x · z = 1 folgt x 6= 0. Somit existiert x −1 und es folgt wie gehabt y = 1 · y = (x −1 · x) · y = x −1 · (x · y ) = = x −1 · (x · z) = (x −1 · x) · z = 1 · z = z. 6 Es gilt (−x) · y + x · y = (x − x) · y = 0 · y = 0. q.e.d. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Körper Falls (K , +, ·) ein Körper ist, so schreiben wir x 2 := x · x. Corollary In einem Körper gelten 1 ∀x ∈ K : (−1) · x = −x, 2 (−1)2 = 1 und 3 ∀x ∈ K : (−x)2 = x 2 . Beweis. Übung. Wir werden im folgenden einfachheitshalber kurz xy statt x · y schreiben. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Geordnete Mengen Definition Sei M eine Menge. Eine Ordnung auf M ist eine Relation, üblicherweise mit “<” bezeichnet, mit den beiden folgenden Eigenschaften: (O1) Für beliebige x, y ∈ M gilt genau eine (!) der folgenden Eigenschaften x < y, x =y oder x > y . (O2) Sind x, y , z ∈ M, so folgt aus x < y und y < z dass auch x < z gilt (Transitivität). Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Ordnungsrelationen Die Aussage “x < y ” wird als “x kleiner als y ” bzw. “x > y ” als “x größer als y ” gelesen. “x ≤ y ” bedeutet “x < y oder x = y ”. Eine geordnete M, kurz (M, <), ist eine Menge M auf der eine Ordnung “<” definiert ist. Beispiel Sowohl die natürlichen Zahlen N, die ganzen Zahlen Z als auch die rationalen Zahlen Q bilden geordnete Mengen. Die Aussage “r < s” ist gleichbedeutend mit s − r ist positiv. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Infimum und Supremum Definition Sei (M, <) eine geordnete Menge und N ⊆ M. Falls ein y ∈ M existiert mit x ≤ y für alle x ∈ N, so heißt N nach oben beschränkt und y eine obere Schranke von N. Untere Schranken werden analog definiert. Definition Sei M eine geordnete Menge und N ⊆ M eine nach oben beschränkte Teilmenge von M. Falls ein Element y ∈ M derart existiert, dass 1 y ist eine obere Schranke von N, 2 für alle x ∈ M mit x < y ist x keine obere Schranke von N, das heißt, y ist die kleinste obere Schranke von N, dann heißt y das Supremum von N, kurz y = sup N. In der gleichen Art und Weise definiert man das Infimum y = inf N alsdie größte untere Schranke von N. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Infimum und Supremum Das Infimum bzw. das Supremum von N, sofern es existiert, muss selbst kein Element von N sein. Beispiel Sei M = Q: 1 2 3 A = {1, 2, 32 , 21 }, B= { n1 : n ∈ N}, sup A = 2 ∈ A, inf A = 1 2 ∈ A. sup B = 1 ∈ B aber inf B = 0 ∈ / B. x2 C = {x ∈ Q : < 2}: C ist beschränkt, aber es existiert in M = Q weder ein Infimum noch ein Supremum. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Supremum Definition Eine geordnete Menge M besitzt die Supremumseigenschaft, falls zu jeder nichtleeren und nach oben beschränkten Teilmenge N ⊆ M ein Supremum y = sup N ∈ M existiert. Theorem Sei M eine geordnete Menge mit der Supremumseigenschaft und sei N ⊆ M nach unten beschränkt. Sei U ⊆ M die Menge aller unteren Schranken von N, d.h. U = {y ∈ M : y ≤ x für alle x ∈ N}. Dann existiert y = inf N und es gilt y = sup U ∈ U. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beweis. Da N nach unten beschränkt ist, ist U 6= ∅. Andererseits ist U ⊆ M nach oben beschränkt, denn jedes x ∈ N ist eine obere Schranke von U. Infolge der Supremumseigenschaft existiert y = sup U. Sei z < y beliebig, dann ist z keine obere Schranke von U, d.h. z ∈ / N und folglich gilt z < x für alle x ∈ N. Daraus folgt y ≤ x für alle x ∈ N und somit y ∈ U nach Definition von U. Aber es existiert wegen y = sup U kein z > y mit z ≤ x für alle x ∈ N. Das heißt, y ist die größte untere Schranke, also das Infimum von N. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Geordnete Körper Definition Sei K ein Körper und zugleich eine geordnete Menge (K , <). K heißt ein geordneter Körper, falls die Ordnungsrelation den folgenden Bedingungen genügt: (O3) Für x, y , z ∈ K mit x < y folgt x + z < y + z. (O4) Für alle x, y ∈ K mit x > 0 und y > 0 folgt x · y > 0. Ist x > 0, so heißt x positiv , falls x < 0 heißt x negativ . Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Geordnete Körper Theorem In einem geordneten Körper gelten folgende Aussagen für x, y , z ∈ K : 1 Ist x > 0, so ist −x < 0 und umgekehrt. 2 Ist x > 0 und y < z, so gilt x · y < x · z. 3 Ist x < 0 und y < z, so folgt x · y > x · z. 4 Ist x 6= 0, so ist x 2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0. 5 Ist 0 < x < y, so folgt 0 < Prof. Dr. Reinhold Schneider 1 y < x1 . Analysis I - Reelle Zahlen Geordnete Körper Beweis. 1 Aus x > 0 folgt 0 = −x + x > −x + 0 = −x, d.h. −x < 0. Die Umkehrung beweist man analog. 2 Aus z > y folgt z − y > y − y = 0 und somit x · (z − y ) > 0, also x · z − x · y > 0 bzw. x · z > x · y . 3 Aus z > y und −x > 0 folgt (−x) · (z − y ) > 0, d.h. x · y − x · z > 0 bzw. x · y > x · z. 4 5 Ist x > 0, so folgt x 2 = x · x > 0. Ist x < 0, dann ist −x > 0 und x 2 = (−x) · (−x) > 0. Angenommen es ist x1 < 0. Daraus folgt der Widerspruch 1 = x · x1 < 0. Damit gilt x1 , y1 > 0 und x1 · y1 > 0. Hieraus schließt man aus x < y dass x 1 y 1 = < = . x ·y y x ·y x Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Reelle Zahlen - Axiome Definition (Axiomatische Definition der reellen Zahlen ) Wir definieren die reellen Zahlen als einen geordneten Körper mit der Supremumseigenschaft. Dies bedeutet, eine Menge R, die 1 die Körperaxiome (A1) – (A4), (M1) – (M4), sowie (D) erfüllt, d.h. (R, +, .) ist ein Körper, 2 den Ordnungsaxiomen (O1) – (O4) genügt, d.h. (R, +, ·, <) ist ein geordneter Körper, 3 die Supremumseigenschaft aus Definition 16 besitzt, bezeichnen wir als reelle Zahlen R. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Charakterisierung des Supremum Theorem Sei ∅ = 6 A ⊂ R eine nach oben beschränkte Menge, und s ∈ R eine obere Schranke, dann sind äquivalent 1 s = sup A, 2 für jedes > 0 existiert ein a ∈ A mit s − < a. Beweis. ⇒: Sei > 0, dann ist s − keine obere Schranke von A, d.h. es existiert ein a ∈ A mit s − < a ⇐: Nach Voraussetzung gilt s ≥ sup A. Angenommen s > sup A, dann ist := s − sup A > 0, und nach 2) existiert ein a ∈ A mit a > s − = s − (s − sup A) = sup A . Im Widerspruch zur Definition des Supremums Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Haben wir die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt müssen wir darauf aufbauend die natürlichen Zahlen definieren. Die ganzen und die rationalen Zahlen folgen dann unmittelbar aus dieser Definition. Definition Eine Teilmenge N ⊆ R heißt eine induktive Menge, falls 1 1∈N 2 aus a ∈ N folgt a + 1 ∈ N. Der Durchschnitt aller induktiven Mengen heißt die Menge der natürlichen Zahlen, die mit N bezeichnet wird. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Dabei ist N = {1, 1 + 1 = 2, 3, . . .} die Menge der natürlichen Zahlen, N0 := {0, 1, 2, 3, . . .} = {0} ∪ N die Menge der natürlichen Zahlen mit 0, Z := {. . . , −2, −1.01, 1 + 1 = 2, 3, . . .} = N0 ∪ {z = −n : n ∈ N} die Menge der ganzen Zahlen und m Q = {m n : m, n ∈ Z} = { n : m, n ∈ Z teilerfremd} die Menge der rationalen Zahlen. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Theorem (Archimedische Eigenschaft) Seien x, y ∈ R mit x > 0, so existiert eine natürliche Zahl n ∈ N, so daß nx > y . Beweis. Wir führen einen indirekten Beweis. Sei A = {n · x : n ∈ N}. Angenommen die Behauptung sei falsch, dann ist A beschränkt und y eine obere Schranke von A. Wegen der Supremumseigenschaft existiert α = sup A. Da x > 0 gilt α − x < α, also ist α − x keine obere Schranke von A, d.h. es existiert m ∈ N mit α − x < mx ∈ A. Dann ist aber α < (m + 1)x. Folglich α ist keine obere Schranke. Dies steht im Widerspruch zur Annahme und daher ist die Menge A unbeschränkt. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Theorem Sei ∅ = 6 M ⊆ N eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Dann besitzt M ein Minimum, d.h. es existiert m ∈ M, so dass für alle n ∈ M gilt m ≤ n. Dieses Minimum wird mit m = min M bezeichnet und es gilt min M = inf M. Beweis. Wir bemerken zunächst, dass M ⊆ N nach unten durch 1 beschränkt ist, folglich ein Infimum besitzt. Sei n = inf M ∈ R. Angenommen es gelte n 6∈ M, dann existert ein m ∈ M mit n < m < n + 1. Nun ist entweder m = min M und damit m = inf M im Widerspruch zu n < m, oder es existiert ein l ∈ M mit l < m. Dann ist aber auch m − 1 ∈ M, was im Widerspruch steht zu m < n + 1 ⇔ m − 1 < n. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Theorem (Dichtheit von Q) Seien x, y ∈ R mit x < y , so existiert q ∈ Q mit x < q < y . Beweis. Aus x < y folgt y − x > 0. Wegen der Archimedischen Eigenschaft gibt es eine natürliche Zahl n mit n(y − x) > 1 . Desweiteren existert m ∈ N mit nx < m. Aufgrund von Satz 24 existiert eine kleinste derartige natürliche Zahl m. Diese erfüllt dann sogar m − 1 ≤ nx < m. Somit gilt nx < m ≤ 1 + nx < ny , und hieraus erhalten wir x< Prof. Dr. Reinhold Schneider m < y. n Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Die Menge N ist natürlich wieder eine induktive Menge. Eine wichtige Anwendung induktiver Mengen ist das Prinzip der vollständigen Induktion, das wir vielfach als Beweismethode verwenden werden. Der Beweis durch vollständige Induktion beruht auf dem Nachweis, dass diejenigen Zahlen n, für die A(n) richtig ist eine induktive Menge bilden. Theorem Seien A(n), n ∈ N, Aussagen, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent (i) ∀n∈N A(n), (ii) A(1) und ∀n∈N A(n) ⇒ A(n + 1). Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Beweis. Die Implikation “(i) ⇒ (ii)” ist klar, d.h. wir müssen nur noch “(i) ⇐ (ii)” zeigen. Dazu sei X := {n ∈ N : A(n)} und Y := N \ X . Aus (ii) folgt 1 6∈ Y und n + 1 ∈ Y ⇒ n ∈ Y . Wir nehmen an, dass Y 6= ∅: Wegen Satz 24 besitzt die Menge Y ⊆ N ein Minimum m mit m > 1. Damit ist aber auch m − 1 ∈ Y , was im Widerspruch zu m = min Y steht. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Um das Induktionsprinzip zu demonstrieren beweisen wir die Bernoullische Ungleichung. Lemma (Bernoullische Ungleichung) Für beliebige n ∈ N und x > −1 gilt (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dabei gilt die strenge Ungleichung nur für n > 1 und x 6= 0. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beweis. (i) Induktionsverankerung: Für n = 1 lautet die Behauptung 1 + x = 1 + x, was für alle x ∈ R richtig ist. (ii) Induktionsschritt n 7→ n + 1: Wir nehmen an, dass für ein festes n ∈ N gilt (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀x > −1. Wir müssen nun die Behauptung für n + 1 zeigen. Diese folgt aus der für alle x > −1 gültigen Ungleichungskette (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) ≥ 1 + nx + x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x. Den zweiten Teil der Aussage überprüft man analog mit der Induktionsverankerung n = 2. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen n-te Wurzel Theorem Zu jeder reellen Zahl x > 0, x ∈ R und jeder natürlichen Zahl n ∈ N existiert genau eine positive reelle Zahl y mit y n = x. Wir schreiben hierfür y = √ n 1 x oder y = x n . Beweis: Für 0 < y1 < y2 folgt 0 < y1n < y2n . Hieraus ersehen wir sofort, dass es höchstens ein y > 0 geben kann mit y n = x. Denn y1n = x = y2n steht in Widerspruch zu y1 < y2 . Damit ist die Eindeutigkeit von y bewiesen. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Wir zeigen nun die Existenz: Sei E = {τ : τ n < x}. x Für t := 1+x gilt 0 < t < min{1, x} und 0 < t n ≤ t < x, somit t ∈ E und E 6= ∅. Für beliebiges t ∈ E ist 0 < t < max{1, x}, d.h. E ist nach oben beschränkt . Die Supremumseigenschaft sichert die Existenz von y := sup E ∈ R. Es bleibt zu zeigen, dass hierfür y n = x gilt. Dies geschieht indirekt indem wir die Annahmen y n < x oder y n > x beide ad absurdum führen. Wir verwenden hierzu die folgende Identität bn − an = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + . . . + ban−2 + an−1 ), woraus für 0 < a < b die Ungleichung folgt bn − an < (b − a)nbn−1 . Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen (1) 1 Sei y n < x angenommen. Wir wählen ein h mit 0 < h < 1 und h< x − yn . n(y + 1)n−1 Wir setzen in (1) a = y und b = y + h. Dann gilt wegen (1) (y + h)n − y n < hn(y + h)n−1 < hn(y + 1)n−1 < x − y n , also (y + h)n < x, d.h. y + h ∈ E. Wegen y + h > y liegt ein Widerspruch zu y = sup E vor. 2 Im Falle y n > x setzen wir k := yn − x > 0. ny n−1 Dann ist 0 < k < y und für beliebiges t > y − k > 0, und t < y , gilt y n − t n < y n − (y − k )n < kny n−1 = y n − x. Somit gilt t n > x und t 6∈ E und folglich ist y − k eine obere Schranke zu E. Wegen y − k < y = sup E liegt hier ebenfalls ein Widerspruch vor. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Corollary Für x, y ∈ R, x, y > 0, und n ∈ N gilt 1 1 1 (xy ) n = x n · y n . Beweis. 1 1 Setze a := x n und b := y n . Dann gilt x · y = an · bn = (a · b)n . Wegen der Eindeutigkeitsaussage im letzten Satz folgt 1 1 1 (x · y ) n = ab = x n y n . Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Definition Seien a1 , a2 , . . . , aN ∈ R, die Summe aller Zahlen ai bezeichnen wir abkürzend mit N X ai := a1 + a2 + . . . + aN i=1 und das Produkt aller Zahlen ai mit N Y ai := a1 · a2 · . . . · aN . i=1 Insbesondere schreiben wir im Falle a1 = 1, a2 = 2, . . . aN = N N auch Y N! := 1 · 2 · . . . · N = i. i=1 Dabei wird N! als Fakultät von N bezeichnet. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Definition Seien n, k ∈ N natürliche Zahlen. Wir definieren für n ≥ k die Binomialkoeffizienten durch n n := := 1, 0 n und k n n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) Y n + 1 − i n! := = = . k 1 · 2 · ... · k i k !(n − k )! i=1 Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen Theorem Es gelten die Rechenregeln n n = k n−k und n n n+1 + = . k k +1 k +1 (2) (3) Der Beweis beruht auf vollständiger Induktion, wir verzichten allerdings auf ihn. Man beachte, dass sich beide Formeln durch das Pascalsche Dreieck motivieren lassen. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Natürliche Zahlen n = 0: 1 n = 1: 1 1 n = 2: 1 n = 3: 1 k =0 2 3 k =1 1 3 k =2 ↓ n Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen 1 k =3 −→ Natürliche Zahlen Theorem (Binomischer Satz) Seien a, b ∈ R und n ∈ N, dann gilt n X n k n−k (a + b) = a b . k n k =0 Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beweis: Wir beweisen diesen Satz mittels vollständiger Induktion. (i) Induktionsverankerung: Für n = 1 ist die Behauptung (a + b)1 = (a + b) = 1 “ ” X 1 k =0 k ak b1−k offensichtlich richtig. (ii) Induktionsschritt n 7→ n + 1: Wir nehmen an, dass für n die Behauptung richtig ist. Dann folgt mit (2), (3) (a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) = n “ ” X n k =0 = k ! k n−k a b (a + b) n “ ” n X n k +1 n−k X “n ” k n+1−k a b + a b k k k =0 k =0 = an+1 + bn+1 + n−1 X“ k =0 = an+1 + bn+1 + n−1 X“ k =0 = n+1 “ X n + 1” k =0 k n−1 n ” k +1 n−k X “ n ” k +1 n−k a b + a b k k +1 k =0 n + 1” k +1 ak +1 bn−k ak bn+1−k . Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Wir betrachten die Menge C := R × R versehen mit der folgenden Addition und Multiplikation: Für z = (a, b), w = (c, d) ∈ C soll z + w := (a + c, b + d) ∈ C und z · w := (ac − bd, ad + bc) ∈ C gelten. Theorem Die Menge C versehen mit der obigen Addition und Multiplikation bildet den Körper (C, +, ·) der komplexen Zahlen mit dem Nullelement (0, 0) und Einselement (1, 0). Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beweis: Wir zeigen die Körperaxiome. Zunächst bemerken wir, dass sowohl die Addition als auch die Multiplikation für alle komplexen Zahlen definiert ist und immer eine komplexe Zahl liefert. Im folgenden bezeichnen z = (a, b), w = (b, d) und v = (e, f ) stets komplexe Zahlen. (A1) (A2) Die Addition ist kommutativ, da z + w = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = w + z. Die Addition ist assoziativ, da (z + w) + v = (a + c, b + d) + (e, f ) = (a + (c + e), b + (d + f )) = (a, b) + ((c + e), (d + f )) = z + (w + v ). (A3) (0, 0) ist das Nullelement, da z + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) = z. (A4) Setze −z = (−a, −b), dann gilt z + (−z) = (a − a, b − b) = (0, 0). Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen (M1) Die Multipliaktion ist kommutativ, da z · w = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, da + cb) = w · z (M2) Die Multipliaktion ist assoziativ, da (z · w) · v = (ac − bd, ad + bc) · (e, f ) = ac − bd)e − (ad + bc)f , (ac − bd)f + (ad + bc)e = a(ce − df ) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df ) = (a, b) · (ce − df , cf + de) = z · (w · v ) (M3) Wegen (1, 0) · (a, b) = (a, b) = z ist (1, 0) das Einselement. (M4) Aus z 6= (0, 0) folgt a 6= 0 oder b 6= 0 und damit ist a2 + b2 > 0. Wir definieren 1 a −b z −1 = = , . z a2 + b 2 a2 + b 2 Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Nachrechnen ergibt z· und analog a 1 −b = (a, b) · 2 = (1, 0) z a + b 2 a2 + b 2 1 z · z = (1, 0). (D) Das Distributivgesetz folgt mittels z · (w + v ) = (a, b) · (c + e, d + f ) = (ac + ae − bd − bf , ad + af + bc + be) = (ac − bd, ad + bc) + (ae − bf , af + be) = z · w + z · v. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Definition Wir setzen i := (0, 1). i bezeichnet die imginäre Einheit. Ferner identifizieren eine reelle Zahl a ∈ R mit der komplexen Zahl (a, 0) ∈ C. Theorem Es gilt für alle a, b ∈ R 1 i 2 = i · i = (−1, 0) = −1, 2 w = (a, b) = a + ib. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Beweis: Die erste Aussage ergibt sich aus i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 während die zweite Aussage aus a + ib = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) = (a, b) folgt. Anstelle von z = (a, b), a, b ∈ R, schreiben wir meist z = a + ib ∈ C. Wenn man die Konvention i 2 = −1 und die obige Schreibweise benutzt, kann man mit den üblichen Arithmetiken + bzw. · die komplexe Addition bzw. Multiplikation auch folgendermaßen schreiben. Seien z = a + ib, w = c + id ∈ C mit a, b, c, d ∈ R, dann ist z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) und z·w = (a+id)·(c+id) = ac+ibc+iad+i 2 bd = (ac−bd)+i·(bc+ad). Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Definition Sei z = a + ib ∈ C, a, b ∈ R, eine komplexe Zahl. Dann heißt a der Realteil und b der Imaginärteil von z, kurz a := Re z, b := Im z, und z := a − ib die zu z konjugiert komplexe Zahl. Theorem Seien z, w ∈ C, dann gelten die Rechenregeln 1 z + w = z + w und z · w = z · w, 2 Re z = 12 (z + z) und Im z = 3 das Produkt z · z ist reell und positiv falls z 6= 0. Prof. Dr. Reinhold Schneider 1 2i (z − z), Analysis I - Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Beweis: Sei z = a + ib und w = c + id dann überprüft man die ersten beiden Aussagen leicht durch Nachrechnen. Die dritte Aussage folgt aus zz = (a + ib) · (a − ib) = a2 − (i 2 ) · b2 = a2 + b2 > 0, falls z 6= 0. Definition Sei z ∈ C, so heißt |z| := √ 1 z · z = (z · z) 2 = p a2 + b 2 der Absolutbetrag von z. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Diese Definition ist konsistent mit dem Absolutbetrag einer √ reellen Zahl a, da |a| = a2 ≥ 0. Theorem Seien z, w ∈ C komplexe Zahlen. Dann gilt 1 |z| > 0 für z 6= 0 und |z| = 0 genau dann wenn z = 0, 2 |z| = |z|, 3 |z · w| = |z||w|, 4 Re z, Im z ≤ |z|, 5 |z + w| ≤ |z| + |w| 6 ||z| − |w|| ≤ |z − w|. 7 |z||w| ≤ 12 (|z|2 + |w|2 ). (Dreiecks-Ungleichung), Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Beweis: Die Aussagen 1,2 und 4 sind trivial. Die dritte Aussage folgt aus |z · w|2 = z · w · z · w = z · z · w · w = |z|2 |w|2 . Die fünfte Aussage ergibt sich aus |z + w|2 = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = |z|2 + 2 Re(wz) + |w|2 ≤ |z|2 + 2|w||z| + |w|2 = (|z| + |w|)2 . Die sechste Aussage verbleibt als Übung. Aussage 7 ergibt sich mit 0 ≤ (|z| − |w|)2 = |z|2 − 2|z||w| + |w|2 . Als Abschluss dieses Abschnittes geben wir noch zwei bedeutende Sätze an, deren Beweis allerdings unsere bisherigen Möglichkeiten übersteigt. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Theorem (Eulersche Formel) Sei ϕ ∈ R, dann gilt die sogenannte Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Theorem (Fundamentalsatz der Algebra) Seien a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ C. Dann hat die Gleichung z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = 0 genau n nicht notwendigerweise verschiedene komplexe Lösungen. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Euklidische Räume Definition Sei n ∈ N, dann definieren wir das n-Tupel x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn mit x1 , x2 , . . . , xn ∈ R. Die Elemente in Rn nennen wir Vektoren oder Punkte im Rn . Für diese definieren wir die folgende Operation der Addition + : Rn × Rn → Rn , x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ), x, y ∈ Rn , und die Multiplikation mit einem Skalar · : Rn × R → Rn αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ), Prof. Dr. Reinhold Schneider x ∈ Rn , α ∈ R. Analysis I - Reelle Zahlen Euklidische Räume Definition Desweiteren führen wir ein inneres Produkt x, y ∈ Rn → hx, yi := n X xi yi , i=1 sowie die Norm von x, 1 2 kxk = hx, xi = X n xi2 1 2 . i=1 Die so definierte Struktur eines Vektorraumes mit einem inneren Produkt heißt ein n-dimensionaler Euklidischer Raum. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen Euklidische Räume Theorem Es seien x, y, z ∈ Rn und α ∈ R. 1 Kommutativität: hx, yi = hy, xi. 2 Linearität: hx + y, zi = hx, zi + hy, zi und hαx, yi = αhx, yi. 3 Es ist kxk > 0 genau dann wenn x 6= 0 = (0, 0, . . . , 0). Im Falle x = 0 gilt kxk = 0. 4 Homogenität: Es gilt kαxk = |α|kxk. 5 Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung: Es gilt |hx, yi| ≤ kxk · kyk. 6 Dreiecksungleichung: Es gilt kx + yk ≤ kxk + kyk. Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen 1 Beweis erfolgt durch Nachrechnen. 2 Beweis erfolgt durch Nachrechnen. 3 trivial 4 kαxk2 = Pn 2 i=1 (αxi ) = α2 Prof. Dr. Reinhold Schneider Pn 2 i=1 xi = α2 kxk2 Analysis I - Reelle Zahlen 5 Offensichtlich ist die Behauptung richtig im Falle y = 0. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei nun y 6= 0. Für beliebiges α ∈ R gilt 0 ≤ kx + αyk2 = hx + αy, x + αyi = kxk2 + 2αhx, yi + α2 kyk2 . Wir wählen α = −hx,yi kyk2 und erhalten 0 ≤ kxk2 − 2 hx, yi2 hx, yi2 + kyk2 . kyk2 kyk4 Wegen kyk > 0 folgt daraus 0 ≤ kxk2 kyk2 − 2hx, yi2 + hx, yi2 = (kxk · kyk)2 − |hx, yi|2 . Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen 6 Unter Zuhilfenahme der dritten Aussage finden wir kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi ≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 . Prof. Dr. Reinhold Schneider Analysis I - Reelle Zahlen