II.2 Lösung der freien Klein–Gordon

N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
II.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung
II.2.1 Allgemeine Lösung
Da die Klein–Gordon-Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung ist, kann man als
Lösungsansatz eine ebene Welle
φ(x) = N e−ik·x
annehmen, mit N einer Normierungskonstante. Mit k · x = kµ xµ = k µ xµ gibt das Einsetzen dieses
Ansatzes in Gl. (II.4)
m2 c2
µ
−kµ k + 2 N e−ik·x = 0.
~
Dies führt zur Dispersionsrelation
q
k = ± ~k 2 + m2 c2/~2 ,
0
d.h. für jeden Wert des Wellenvektors ~k kann die Zeitkomponente k 0 zwei mögliche Werte annehmen.
Eine allgemeine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung ist eine Linearkombination solcher ebenen
Wellen, mit beliebigen Koeffizienten. Um die beiden möglichen Vorzeichen von k 0 einfacher zu
berücksichtigen, bezeichnet man
q
ω~ ≡ +c ~k 2 + m2 c2/~2 .
(II.6)
k
Dann lautet die allgemeine Lösung
Z h
i d3~k
~
~
N+ (~k) e−iω~k t+i k·~x + N− (~k) eiω~k t+i k·~x
φ(t, ~x) =
.
(2π)3
Die Substitution ~k → −~k im zweiten Summanden gibt
Z h
i d3~k
~
~
.
φ(t, ~x) =
N+ (~k) e−iω~k t+i k·~x + N− (−~k) eiω~k t−i k·~x
(2π)3
Ep~
p~
p0 c
und ω~k →
≡
durch, so gilt einerseits
~
~
~
p·x
,
ω~k t − ~k · ~x →
~
wobei die eingeführten Größen p0 und p~ zu einem Vierervektor p kombiniert wurden. Dank Gl. (II.6)
genügt der Letztere der Beziehung p2 = m2 c2 .
Dazu kann man noch die Koeffizienten N+ (~k), N− (−~k) durch neue Koeffizienten ap~ , bp~ wie folgt
ersetzen16
(2π~)3/2 ~c
(2π~)3/2 ~c ∗
N+ (~k) → p
ap~ ,
N− (−~k) → p
bp~ .
2Ep~
2Ep~
Führt man dann die Substitutionen ~k →
Die allgemeine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung (II.4) wird dann zu
Z h
i
~c d3 p~
φ(x) =
ap~ e−ip·x/~ + bp∗~ eip·x/~ p
.
(2π~)3 2Ep~
(II.7)
Wenn ap~ und bp~ für jeden Wert von p~ unabhängig voneinander sind, dann ist das Skalarfeld φ(x)
komplexwertig, entsprechend zwei reellen Freiheitsgraden. Ein solches Feld beschreibt z.B. geladene
Pionen π ± . Dagegen ist φ(x) reellwertig wenn ap~ = bp~ für jeden p~, entsprechend einem einzigen
Freiheitsgrad: dies beschreibt z.B. neutrale Pionen π 0 .
16
Die auf den ersten Blick willkürlich aussehenden Faktoren von ~, c oder Ep~ werden später in Abschn. II.3 zu
einfacheren Gleichungen führen.
II. Klein–Gordon-Gleichung
23
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Elementarteilchenphysik
II.2.2 Teilchen-Interpretation der Klein–Gordon-Wellenfunktion
Sucht man jetzt nach einer speziellen Lösung, die ein einziges Teilchen mit Masse m und Impuls
~q beschreibt, so trifft man auf eine Schwierigkeit.
In der Tat führen die natürlichen Versuche ap~ ∝ δ (3) (~
p − ~q) oder bp~ ∝ δ (3) (~
p − ~q) jeweils zu
−iE
t/~+i~
q
·~
x
/~
iE
t/~−i~
q
·~
x
/~
q
~
q
~
Lösungen φ(t, ~x) ∝ e
oder φ(t, ~x) ∝ e
. Die Letztere könnte aber auch
ein Teilchen mit negativer Energie −Eq~ und Impuls −~q beschreiben, was unannehmbar ist: wenn
Teilchen mit negativer Energie existieren, dann kann man immer die Energie des Universums durch
die Erzeugung neuer Teilchen reduzieren, und das Universum wird unstabil.
Dieses Problem lässt sich anders betrachten. Sei φ(x) eine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung.
Definiert man dann einen Viererstrom durch17
!
cρKG (t, ~x)
i~ µ
∗ µ
µ
∗
jKG (x) ≡
φ(x) ∂ φ(x) − φ(x)∂ φ(x) ≡
,
(II.8)
2m
~KG (t, ~x)
so findet man
∂ρKG (t, ~x) ~
+ ∇ · ~KG (t, ~x) = 0,
(II.9)
∂t
Z
entsprechend einer Kontinuitätsgleichung: damit prüft man einfach nach, dass ρKG (t, ~x) d3 ~x eine
Erhaltungsgröße ist.
µ
∂µ jKG
(x) =
Multipliziert man die Klein–Gordon-Gleichung (II.4) links mit iφ(x)∗ und subtrahiert man davon
das Produkt von iφ(x) mit der komplex konjugierten Gleichung zu Gl. (II.4), so ergibt sich (die
x-Abhängigkeit wird der Kürze halber nicht geschrieben)
1 ∂2
m2 c2
1 ∂2
m2 c2
∗
0 = iφ
−4+ 2
φ − iφ 2 2 − 4 + 2
φ∗
c2 ∂t2
~
c ∂t
~
h
i
1 ∂φ∗
1∂
1 ∂φ
~ · −i φ∗ ∇φ
~ − φ ∇φ
~ ∗ ,
−φ
=
i φ∗
+∇
c ∂t
c ∂t
c ∂t
entsprechend bis auf den Faktor ~/2m der Gleichung (II.9).
In Anlehnung am nicht-relativistischen Fall möchte man ρKG (t, ~x) bzw. ~KG (t, ~x) als eine Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte interpretieren.18 Im Fall einer ebenen
µ
(x) = ±|N |2 pµ /m. Eine Lösung in eip·x/~ — d.h. mit
Welle φ(x) = N e∓ip·x/~ findet man aber jKG
negativer Energie — hat somit ρKG < 0, was für eine Wahrscheinlichkeitsdichte nicht gelten kann.
Diese Lösungen mit negativer Energie — die man nicht einfach wegwerfen darf, da eip·x/~ eine
ebenso gültige Lösung wie e−ip·x/~ ist — haben historisch viel Verwirrung verursacht.
Die triviale Gleichung e+iEp~ t/~ = e−iEp~ (−t)/~ deutet eine mögliche problemlose Deutung der
Lösungen mit negativer Energie an, die auf Stückelberg and Feynman zurückgeht. Somit wird in
dieser Feynman–Stückelberg-Interpretation ein Teilchen mit negativer Energie (e+iEp~ t/~ ) als ein
Teilchen mit positiver Energie, das rückwärts in der Zeit propagiert, interpretiert. In einem zweiten
Schritt wird das Letztere als ein Antiteilchen mit positiver Energie, das sich vorwärts in der Zeit
bewegt, angesehen.
Bildlich lässt sich die Äquivalenz zwischen Teilchen, die vorwärts in Zeit propagieren, und deren
Antiteilchen, die rückwärts propagieren, so darstellen:
t
17
F
Teilchen
∼
=
Antiteilchen
Der Faktor ~/2m wurde eingeführt in Ähnlichkeit mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
i~
~ ∗ − ψ ∗ ∇ψ
~
ψ ∇ψ
~Schr. =
2m
der Schrödinger-Gleichung.
µ
18
Tatsächlich sollte jKG
durch ~c geteilt werden, um die passenden Einheiten für eine solche Interpretation zu erhalten. Die Einheiten der Schrödinger- und der Klein–Gordon-Wellenfunktion sind nicht die gleichen, vgl. Bemerkung
am Ende des Abschn. II.3.2.
II. Klein–Gordon-Gleichung
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Elementarteilchenphysik
Um die anscheinende Willkür dieser Interpretation etwa zu begründen, wird jetzt die korrekte
Beschreibung von Teilchen und Antiteilchen, basierend auf Quantenfeldern, jetzt eingeführt.
II.3 Zweite Quantisierung der freien Klein–Gordon-Gleichung
In diesem Abschnitt wird der Übergang von einer Wellenfunktion- zu einer quantenfeldtheoretischen Beschreibung skizziert.
II.3.1 Zweite Quantisierung
Ersetzt man in die Lösung (II.7) der Klein–Gordon-Gleichung die klassischen Zahlen ap~ , bp~ ∈ C
durch Operatoren âp~ , b̂p~ eines noch unspezifizierten Hilbert-Raums mit den einfachen Vertauschungsrelationen
âp~ , â†q~ = δ (3) (~
p − ~q),
b̂p~ , b̂†q~ = δ (3) (~
p − ~q)
(II.10a)
sowie
âp~ , âq~ = b̂p~ , b̂q~ = âp~ , b̂q~ = âp~ , b̂†q~ = · · · = 0,
so wird die Wellenfunktion φ(x) zu einem Feldoperator
Z ~c d3 p~
φ̂(x) =
.
âp~ e−ip·x/~ + b̂p†~ eip·x/~ p
(2π~)3 2Ep~
(II.10b)
(II.11a)
Dieses Ersetzen von kommutierenden Zahlen mit nicht-kommutierenden Operatoren wird als zweite
Quantisierung bezeichnet.
Die Kommutatoren (II.10) ähneln stark den Vertauschungsrelationen der bei der Quantisierung
des harmonischen Oszillators eingeführten Leiteroperatoren â und ↠. Somit werden jetzt die âp~ und
b̂p~ bzw. die âp†~ und b̂p†~ als Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperatoren bezeichnet.
Der zu φ̂(x) hermitesch konjungierte Operator lautet
Z ~c d3 p~
† ip·x/~
−ip·x/~
†
p
âp~ e
+ b̂p~ e
.
φ̂(x) =
(2π~)3 2Ep~
Definiert man einen zum Feldoperator φ̂(x) kanonisch konjugierten Operator durch
Z
E d3 p~
1
i † ip·x/~
p
~
†
âp~ e
− b̂p~ e−ip·x/~ p
,
π̂(x) ≡ ∂0 φ̂(x) =
c
c
(2π~)3 2Ep~
so führen die verschiedenen Vertauschungsrelationen (II.10) zum Kommutator
φ̂(t, ~x), π̂(t, ~y ) = i~ δ (3) (~x − ~y ).
(II.11b)
(II.12)
(II.13)
Hier sollen die Felder zur gleichen Zeit betrachtet werden. Diese Relation ist ähnlich dem kanonischen
Kommutator [x̂, p̂x ] = i~ der Quantenmechanik.
Beweis der Relation (II.13):
II. Klein–Gordon-Gleichung
Aufgabe 7!
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II.3.2 Physikalische Deutung
Um die physikalische Deutung der oben eingeführten Operatoren âp~ , âp†~ , b̂p~ und b̂p†~ besser zu
erkennen, werden jetzt zwei „üblichen“ Operatoren durch diese Leiteroperatoren ausgedrückt.
Man kann zeigen, dass der Hamilton-Operator für das Skalarfeld genügend der Klein–GordonGleichung durch
Z m2 c2
†
† ~
†
~
π̂(x) π̂(x) + ∇φ̂(x) · ∇φ̂(x) + 2 φ̂(x) φ̂(x) d3 ~x
Ĥ =
(II.14)
~
gegeben ist.
Skizzenhaft ist die Klein–Gordon-Gleichung (II.4) die Bewegungsgleichung, die sich aus der
Lagrange-Dichte
m2 c2
L̂KG φ̂(x), ∂ µ φ̂(x) = ∂µ φ̂(x)† ∂ µ φ̂(x) − 2 φ̂(x)† φ̂(x)
~
unter Nutzung der Euler–Lagrange-Gleichung, entsprechend der Extremierung der Wirkung,
herleiten lässt. Führt man eine Legendre-Transformation dieser Dichte bezüglich ∂0 φ̂(x) durch,
so erhält man die Hamilton-Dichte, die den Integranden in Gl. (II.14) darstellt.
Setzt man den Ausdruck (II.11a) des Klein–Gordon-Feldes in diesen Hamilton-Operator ein, so
findet man
Z Z h
i
1 †
1 †
†
†
3
Ĥ =
âp~ âp~ + âp~ âp~ + b̂p~ b̂p~ + b̂p~ b̂p~ Ep~ d p~ =
âp†~ âp~ + b̂p†~ b̂p~ + δ (3) (~0) Ep~ d3 p~, (II.15)
2
2
wobei die zweite Gleichung aus den Vertauschungsrelationen (II.10a) folgt. Bei den hermiteschen
(a)
(b)
Operatoren N̂p~ ≡ âp†~ âp~ und N̂p~ ≡ b̂p†~ b̂p~ im rechten Glied erkennt man in Ähnlichkeit mit dem
harmonischen Oszillator die Besetzungszahloperatoren für jeden Typ von Teilchen (a und b) mit
einem gegebenen Impuls. Dazu stellt der Term δ (3) (~0) die unphysikalische Vakuumenergie dar, die
schon bei der Quantisierung des einfachen harmonischen Oszillator auftritt. Wichtig ist, dass beide
Teilchenarten positiv zur Gesamtenergie beitragen, auch wenn in der Wellenfunktion-Beschreibung
die Wellen des Typs b eine „negative Energie“ hatten.
Die Herleitung des Ausdrucks (II.15) ist ähnlich den Beweisen des Kommutators (II.13) oben
oder der Beziehung (II.17) unten und wird der Leserin überlassen.
Bemerkung: Der Ausdruck (II.14) des
liefert die hier adoptierte Dimension
Hamilton-Operators
1/2 1/2 −1 des Klein–Gordon-Feldes, und zwar φ̂ = M L T
. In einem System natürlicher Einheiten
hat φ̂ die Dimension
einer
Energie.
Dazu
geben
die
Kommutatoren
(II.10a) die Dimension der
−1
−3/2
Leiteroperatoren, â = b̂ = (M LT )
.
Um zwischen den beiden Teilchenarten unterscheiden zu können, kann man den Operator
Z
i
i h
φ̂(x)† ∂0 φ̂(x) − φ̂(x)∂0 φ̂(x)† d3 ~x
(II.16)
N̂ ≡
~c
betrachten. Der Vergleich dieser Definition mit der Zeitkomponente des Viererstroms (II.8) weist
auf die Erhaltung der entsprechenden physikalischen Größe hin.
Mit den Ausdrücken von φ̂(x) und φ̂(x)† in Abhängigkeit der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und unter Verwendung der Vertauschungsrelationen der Letzteren ergibt sich
Z Z h
i
1 †
1 †
†
† 3
N̂ =
âp~ âp~ + âp~ âp~ − b̂p~ b̂p~ + b̂p~ b̂p~ d p~ =
âp†~ âp~ − b̂p†~ b̂p~ d3 p~.
(II.17)
2
2
Gleichungen (II.11) und (II.12), mit φ̂(x)† und ∂0 φ̂(x)† bzw. φ̂(x) und ∂0 φ̂(x) geschrieben als
II. Klein–Gordon-Gleichung
26
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Elementarteilchenphysik
Integrale über p~ bzw. ~q, führen zu
Z Eq~ 1/2
N̂ =
âp†~ eip·x/~ + b̂p~ e−ip·x/~ âq~ e−iq·x/~ − b̂q†~ eiq·x/~
Ep~
Ep~ 1/2 d3 p~ d3 ~q 3
† iq·x/~
† ip·x/~
−iq·x/~
−ip·x/~
+ âq~ e
+ b̂q~ e
âp~ e
− b̂p~ e
d ~x.
Eq~
2(2π~)3
Multipliziert man die Produkte aus, so ergeben sich Terme der Art â†p~ âq~ ei(p−q)·x/~ , mit entweder
±i(p−q)·x/~ oder ±i(p+q)·x/~ im Exponent. Durch die Integration über d3 ~x werden diese Ex3 (3)
ponentialfunktionen durch entsprechende Terme (2π~)3 δ (3) (~
p − ~q) oder
(~
p + ~q) ersetzt.
p (2π~) δ p
Integriert man als nächstes über d3 ~q, so werden die zwei Faktoren Eq~ /Ep~ und Ep~ /Eq~ gleich
1. Dann tauchen alle Produkte von â und b̂ Operatoren bzw. von ihren adjungierten Operator
als Kommutatoren auf, die dank Gl. (II.10b) verschwinden. Die restlichen Terme entsprechen
gerade dem zweiten Glied in Gl. (II.17).
Auf Gl. (II.17) erkennt man wieder die Besetzungszahloperatoren für jede Teilchenart, doch jetzt
tragen sie mit entgegengesetzten Vorzeichen zu N̂ bei. Dies lässt sich einfach interpretieren, indem
man sich vorstellt, dass die zugehörige Erhaltungsgröße irgendeiner erhaltene „Ladung“ entspricht,
wobei die Teilchen des Typs a eine positive Ladung und die Teilchen des Typs b eine negative,
entgegengesetzte Ladung tragen.
Beide Teilchenarten besitzen also die gleiche Masse m — sie genügen derselben Klein–GordonGleichung —, doch ihre Ladungen sind entgegengesetzt: bei dem Typ b handelt es sich definitionsgemäß um die Antiteilchen zum Typ a.
Somit lässt die Feynman–Stückelberg-Interpretation der Quanten des Typs b als Antiteilchen
mit positiver Energie einfach als natürliche Folgerung des Formalismus wiederentdecken.
Die Wirkungen der unterschiedlichen Leiteroperatoren lassen sich wie folgt zusammenfassen:
• âp~ vernichtet ein Teilchen mit Impuls p~, das also im Anfangszustand eines Streuprozesses
vorhanden sein muss. Somit steht dieser Vernichter für ein einlaufendes Teilchen.
• âp†~ erzeugt ein Teilchen mit Impuls p~, das sich also im Endzustand eines Stoßes befinden wird:
dieser Erzeugungsoperator repräsentiert ein auslaufendes Teilchen.
• b̂p~ vernichtet ein einlaufendes Antiteilchen mit Impuls p~.
• b̂p†~ erzeugt ein auslaufendes Antiteilchen mit Impuls p~.
Wenn das Feldoperator φ̂(x) hermitesch ist, so dass die entsprechende Wellenfunktion φ(x) = hφ̂(x)i
reelle Werte annimmt, dann gilt âp~ = b̂p~ für jeden p~: das Teilchen ist sein eigenes Antiteilchen.
Dieser Fall wird länger in Abschn. IV.2 diskutiert.
Bemerkung: Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren âp†~ , âp~ , b̂p†~ und b̂p~ — und somit das
Feldoperator φ̂(x), dessen hermitesch Konjugierte und deren Ableitungen — sind Operatoren auf
einem (bosonischen) Fock-Raum, der den geeigneten Hilbert-Raum für Viel-Teilchen-Systeme darstellt. Ein besonderer Zustand dieses Raums ist der Vakuumzustand |0i, der so definiert ist, dass
âp~ |0i = b̂p~ |0i = 0 für jeden p~ gilt.
Literatur
• Landau & Lifschitz, Band IV [12], Kap. II § 10–12.
• Nachtmann [13], Kap. 3.2.
• Schwabl [1], Kap. 5.1–5.2.
II. Klein–Gordon-Gleichung
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