Klausuraufgaben mit Lösungsskizzen

Klausur (Modulprüfung) zum
Lehrerweiterbildungskurs ’Geometrie’ WiSe 2014/2015
am 23.1.2015
Bearbeiten Sie bitte zwei der drei folgenden Aufgaben!
Falls Sie alle drei Aufgaben bearbeitet haben sollten, kennzeichnen Sie bitte,
welche zwei davon gewertet werden sollen!
Aufgabe 1 ((i) Begriffe; (ii) Translation, Parallelogramm)
(i) Streichen Sie bitte aus folgender Liste alle Begriffe, die nicht zur affinen
Geometrie gehören!
Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, Schnittpunkt zweier Geraden, Verbindungsgerade, Winkelhalbierende in einem Dreieck, Bewegung
(ii) Zeigen Sie: Unter einer Translation des 3-dim euklidischen Raumes haben Urbild– und Bild–Strecke jeweils gleiche Länge!
Hinweis: Fallunterscheidung!
Benutzt werden dürfen Eigenschaften von Translationen in der geordneten affinen Geometrie (u.a. der Spuren einer Translation und, dass
Strecken auf Strecken abgebildet werden, Geraden auf parallele Geraden) und Eigenschaften von Parallelogrammen in der euklidischen
Geometrie.
Nicht benutzt werden sollte die Tatsache, dass eine Translation Bewegung, Produkt zweier geeigneter (längentreuer) Geradenspiegelungen
bzw. zweier Punktspiegelungen ist.
Aufgabe 2 ((i) Begriffe; (ii) Kongruenz von Dreiecken)
(i) Streichen Sie bitte aus folgender Liste alle Begriffe, die nicht zur affinen
Geometrie und nicht zur geordneten affinen Geometrie gehören!
Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, Schnittpunkt zweier Geraden, Verbindungsgerade, Winkelhalbierende in einem Dreieck, Bewegung
(ii) Beweisen Sie für den 3-dim euklidischen Raum das sogenannte “Schmetterlingsaxiom” (siehe die untenstehende Abbildung 1!):
Sind A, B, C, X, Y fünf verschiedene Punkte derart, dass A, B, C kollinear sind und AX ≡ AY sowie BX ≡ BY gilt, dann folgt CX ≡ CY .
Hinweis: Ohne Beweis benutzen dürfen Sie hier die Kongruenzsätze
b.w.
oder Eigenschaften der Mittelsenkrechten einer Strecke im 3-dim Raum.
Eine Möglichkeit des Beweises ist die Betrachtung der Dreiecke ∆AXB
und ∆AY B und dann der Winkel ∢XAB und ∢Y AB.
X
Y
A
Abbildung 1
(zu Aufgabe 2)
C
B
Aufgabe 3 (Drachenviereck)
In der euklidischen Ebene sei (A, B, C, D) ein Drachenviereck (Deltoid), also
ein Viereck mit den Eigenschaften:
1. B und D liegen in verschiedenen Halbebenen zur Geraden AC.
2. |AD| = |AB| und |BC| = |CD|.
Zeigen Sie kongruenzgeometrisch, aber ohne Verwendung des Kongruenzsatzes SSS, dass ∆ABC ≡ ∆ADC gilt!
Hinweis: Unterscheiden Sie 3 Fälle!
Ohne Beweis dürfen Sie verwenden: Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken, der Winkel-Addition bzw. -Subtraktion und von SSS verschiedene
Kongruenzsätze.
Nicht ohne Beweis verwenden dürfen Sie den Kongruenzsatz SSS, Begriff
und Eigenschaften von Symmetrieachsen bzw. Spiegelungen, die Eigenschaften der Diagonalen eines Drachenvierecks.
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Lösungsskizzen
Zu Aufgabe 1
(i) Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, Schnittpunkt zweier Geraden, Verbindungsgerade, Winkelhalbierende in einem Dreieck, Bewegung
(ii) Sei τ die gegebene Translation und AB eine Strecke. Zu zeigen ist:
|AB| = |τ (A)τ (B)|.
1.Fall Die Richtung von τ ist von der von AB verschieden. (Siehe
Abbildung 2 !)
Unter τ wird die Strecke AB auf die Strecke A′ B ′ mit A′ = τ (A)
und B ′ = τ (B) abgebildet, die nicht auf der Geraden AB liegt. Dabei
sind AA′ und BB ′ Spuren von τ und damit parallel. Da Translationen Geraden auf parallele Geraden abbilden, ist das Viereck mit den
Ecken A, B, B ′ und A′ ein Parallelogramm. (Alternative Argumentation: “Parallelogramm-Konstruktion”).
In jedem Parallelogramm eines euklidischen Raumes haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge. Insbesondere gilt |AB| = |A′ B ′ |.
A’
A
Abbildung 2
B’
B
A’’
A
B’’
B
A’
Abbildung 3
2.Fall Die Richtung von τ ist gleich der Richtung von AB. (Siehe
Abbildung 3!)
In diesem Fall wählt man einen Punkt A′′ , der nicht auf der Geraden
AB liegt. Es existieren die Translationen τAA′′ und τA′′ A′ , und es gilt
τAA′ = τA′′ A′ ◦ τAA′′ .
Wie im Fall 1) erhält man |AB| = |A′′ B ′′ | = |A′ B ′ | und damit die
Behauptung.
B’
Zu Aufgabe 2
(i) Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, Schnittpunkt zweier Geraden, Verbindungsgerade, Winkelhalbierende in einem Dreieck, Bewegung
(ii) 1. Beweis-Möglichkeit:
Die Dreiecke ∆AXB und ∆AY B sind wegen der Voraussetzung über
die kongruenten Strecken nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent.
Daher gilt auch ∢XAB ≡ ∢Y AB. Es gelte C ∈ AB + ! (Andernfalls
vertauscht man die Bezeichnungen der Punkte A und B.)
Mit dem Kongruenzsatz SWS ergibt sich ∆AXC ≡ ∆AY C und damit
CX ≡ CY .
2. Beweis-Möglichkeit:
E := {Z | ZX ≡ ZY } ist eine Ebene (die Ebene der Mittelsenkrechten
von XY ). Mit A, B ∈ E folgt C ∈ AB ⊆ E und daraus die Behauptung.
Zu Aufgabe 3
Da B und D in verschiedenen Halbebenen zur Gerade AC liegen, existiert
der Schnittpunkt F der Strecke BD mit der Geraden AC. (Dies folgt auch,
da AC Mittelsenkrechte von BD ist). Je nachdem, ob F im offenen Intervall
]A, C[ liegt oder F = C oder F ∈
/ [A, C] = AC gilt, unterscheiden wir drei
Fälle (vgl. Abbildung 4):
F
C
A
a)
B
D
D
D
C
A
b)
B
Abbildung 4
4
C
A
c)
F
B
In allen 3 Fällen kann man wie folgt argumentieren:
AC ist die Mittelsenkrechte von BD und (im gleichschenkligen Dreieck ∆ABD)
auch die Winkelhalbierende des Winkels ∢BAD; die Behauptung folgt dann
mit dem Kongruenzsatz SWS.
Alternative Beweise:
1.Fall F ∈]A, C[ (siehe Abbildung 4a!)
Wegen |AD| = |AB| ist das Dreieck ∆BAD gleichschenklig. Daher sind
dessen Basiswinkel kongruent: ∢ADF ≡ ∢ABF . Analog zeigt man ∢CDF ≡
∢CBF . Aus F ∈]A, C[ ergibt sich, dass DF + \ {D} im Innern von ∢ADC
liegt; damit ist die Summe der Winkelgrößen von ∢ADF und ∢F DC gleich
der Größe von ∢ADC; analoge Addition ist bei ∢ABC möglich, und man
hat somit ∢ADC ≡ ∢ABC. Aus dem Kongruenzsatz SWS folgt dann die
Behauptung ∆ABC ≡ ∆ADC.
2. Alternative: AF ist die Mittelsenkrechte von BD; daher gilt |DF | = |BF |
und ∆AF D ≡ ∆AF B (laut Kongruenzsatz WSW); die Behauptung folgt
dann aus der Kongruenz der Winkel ∢F AD und ∢F AB.
2.Fall F = C (siehe Abbildung 4b!)
Hierbei sind B, D und C kollinear, und AC ist die Mittelsenkrechte von BD.
Wie im ersten Fall gilt ∢ADF ≡ ∢ABF , und die Behauptung folgt wieder
mit dem Kongruenzsatz SWS.
2. Alternative: AC ist die Mittelsenkrechte von BD; es sind daher ∢ACD
und ∢ACB rechte Winkel und jeweils die größeren Winkel in den Dreiecken
∆ABC bzw. ∆ADC. Damit ist der Kongruenzsatz SsW anwendbar.
3.Fall F ∈
/ [A, C] (siehe Abbildung 4c!)
Wie in den beiden anderen Fällen erhält man ∢ADF ≡ ∢ABF und ähnlich
∢CDF ≡ ∢CBF . Da DC + \ {D} im Innern von ∢ADF bzw. BC + \ {B}
im Innern von ∢ABF liegt, erhält man durch Winkelsubtaktion ∢ADC ≡
∢ABC und mit dem Kongruenzsatz SWS die Behauptung.
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