1 Dieses Skript enthält die wesentlichen Inhalte, Formeln und

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Dieses Skript enthält die wesentlichen Inhalte, Formeln und Abbildungen der Vorlesung
Mathematik für Chemiker I (Modul BCh 1.5, BChLA1.3 und LCh 1.5).
Es ist zur Unterstützung bei der Nachbereitung der Vorlesung und beim Bearbeiten der Übungszettel gedacht.
Es kann jedoch nicht den Besuch der Lehrveranstaltung ersetzen. Obwohl das Skript mit großer Sorgfalt
erstellt wurde (herzlichen Dank an Dr. Werner Reckien), kann nicht ausgeschlossen werden, dass noch Fehler
enthalten sind. Wenn Ihnen bei der Lektüre Fehler oder Unstimmigkeiten auffallen, melden Sie diese bitte
nach der Vorlesung oder per E-Mail ([email protected]), damit das Skript aktualisiert werden kann.
Andreas Hansen
Bonn, den 10. Oktober 2012
1
AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS
1
1.1
2
Aufbau des Zahlensystems
Natürliche Zahlen N
Natürlichen Zahlen bilden eine Menge:
N = {1, 2, 3, 4, . . . }
N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation:
a, b ∈ N
⇒
∈N
∈N
(a + b)
(a · b)
Für Addition und Multiplikation gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
a+b
= b+a
a·b
= b·a
, das Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a(·b · c)
und das Distributivgesetz:
a · (b + c) a · b + a · c
Für N exisitiert eine Ordnungsrelation, d.h. für a, b ∈ N gilt
entweder
oder
oder
a größer b
a kleiner b
a gleich b
:
:
:
a>b
a<b
a=b
Die natürlichen Zahlen können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden:
1
2
3
4
5
6
Abbildung 1.1: Zahlenstrahl für N
Oft wird N um die Null erweitert. Man erhält die Menge N0 :
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) von N: N ist (per Definition) abzählbar unendlich.
1.2
Ganze Zahlen Z
N ist nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion.
⇒ Erweiterung von N auf auf die Menge der ganzen Zahlen Z
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
N ist eine Teilmenge von Z: N ⊂ Z.
Die ganzen Zahlen liegen auf einer Zahlengerade:
−3
−2
−1
0
1
2
3
Abbildung 1.2: Zahlengerade für Z
1
AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS
3
Mächtigkeit von Z:
Z ist ebenfalls abzählbar unendlich, d.h. obwohl N ⊂ Z ist, sind N und Z gleich mächtig. Folgende Gegenüberstellung zeigt, dass Z abgezählt werden kann:
N
Z
1.3
1
0
2
1
3
−1
4
2
5
−2
6
3
7
−3
8
4
9
−4
...
...
Rationale Zahlen Q
Z ist nicht abgeschlossen bezüglich der Division.
⇒ Erweiterung auf die Menge der Rationalen Zahlen Q
Rationale Zahlen werden durch Division von ganzen Zahlen dargestellt:
o
na
|a ∈ Z, b ∈ Z\ {0}
Q=
b
(Division durch Null ist nicht definiert)
Q ist eine Obermenge von Z: Q ⊃ Z.
Rationale Zahlen können entweder als
Dezimalzahlen mit endlich vielen Ziffern, z.B
1
2
3
8
=
0.5
=
0.375
oder als
Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern, die sich periodisch wiederholen, z.B.
1
3
1
7
=
0.33333 · · · = 0.3
=
0.142857142857 · · · = 0.142857
dargestellt werden.
Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, d.h. zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich
viele rationale Zahlen. Aber: Die Zahlengerade wird nicht vollständig von Q bedeckt.
1.4
Reelle Zahlen R
Zahlreiche Probleme können nicht in Q gelöst werden.
Beispiel: Länge der Diagonalen in einem Einheitsquadrat (Kantenlänge a = 1):
x2
=
2
x
∈
/
Q
(Satz von Pythagoras)
⇒ Einführung der irrationalen Zahlen:
Eine irrationale Zahl kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Irrationale Zahlen sind
Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern, die sich nicht periodisch wiederholen.
Beispiele für irrationale Zahlen:
√
2
=
1.414213562 . . .
π
=
3.14159265 . . .
e =
2.718281828 . . .
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AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS
4
Die Gesamtheit der rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellen Zahlen R.
R ist eine Obermenge von Q: R ⊃ Q
R entspricht den Punkten auf der Zahlengerade, d.h. jede reelle Zahl entspricht genau einem Punkt auf der
Geraden und jeder Punkt entspricht genau einer reellen Zahl (Bijektivität).
Mächtigkeit von R:
R kann nicht abgezählt werden. Man sagt R ist überabzählbar.
R bildet eine algebraische Struktur, die als Körper bezeichnet wird.
Eine Menge bildet einen Körper, wenn zwei zweistellige Verknüpfungen (üblicherweise Addition und Multiplikation) definiert sind und die sogenannten Körperaxiome erfüllt sind. Die Körperaxiome werden im
folgenden am Beispiel der reellen Zahlen vorgestellt (a, b, c ∈ R):
1.) Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation
Für R gilt:
a + b ∈ R und a · b ∈ R
2.) Das Kommutativgesetz gilt für Addition und Multiplikation
Für R gilt:
a + b = b + a und a · b = b · a
3.) Das Assoziativgesetz gilt für Addition und Multiplikation
Für R gilt:
(a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · c)
4.) Das Distributivgesetz gilt
Für R gilt:
a · (b + c) = a · b + a · c
5.) Es gibt genau ein Neutralelement (Einheitselement) bezüglich der Addition
Für R ist dies 0:
a+0=0+a=a
6.) Es gibt genau ein Neutralelement (Einheitselement) bezüglich der Multiplikation
Für R ist dies 1:
a·1=1·a=a
7.) Es gibt für jedes a bezüglich der Addition genau ein inverses Element (Bei der Verknüpfung eines
Elementes mit seinem Inversen ergibt sich das Neutralelement)
Für R ist dies −a:
a + (−a) = −a + a = 0
8.) Es gibt für jedes a 6= 0 bezüglich der Multiplikation genau ein inverses Element
Für R ist dies a−1 = a1 :
a · a−1 = a−1 · a = 1
Q bildet ebenfalls einen Körper, N und Z hingegen nicht (o.B.d.A.).
1.5
1.5.1
Rechnen mit reellen Zahlen
Ungleichung
In R gibt es eine Ordnungsrelation, d.h. es gilt für a, b, c ∈ R:
entweder
oder
oder
a größer b
a kleiner b
a gleich b
:
:
:
a>b
a<b
a=b
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AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS
5
Des weiteren gilt:
a<b
und b < c
⇒ a<c
a<b ⇒ a+c<b+c
a < b und c > 0
⇒ a·c<b·c
a < b und c < 0
⇒ a·c>b·c
a>0
⇒
−a < 0
a 6= 0 ⇒ a2 > 0
1
a>0 ⇒
>0
a
1
1
0<a<b ⇒ 0< <
b
a√
√
0<a<b ⇒ 0< a< b
1.5.2
Betrag von reellen Zahlen
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von der Null.
Für a ∈ R gilt:
a f ür a ≥ 0
|a| =
−a f ür a < 0
Beispiel: a = x − 3:
|a| =
1.5.3
x − 3 f ür x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
−x + 3 f ür x − 3 < 0 ⇔ x < 3
Intervalle
Für a, b ∈ R mit a < b bezeichnet man
[a; b]
= {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
(a; b)
= {x ∈ R|a < x < b}
als das abgeschlossene Intervall
als das offene Intervall (Eine andere Schreibweise verwendet ]a; b[ für ein offenes Intervall)
[a; b)
=
{x ∈ R|a ≤ x < b}
(a; b]
=
{x ∈ R|a < x ≤ b}
als das nach rechts offene Intervall.
als das nach links offene Intervall.
Unbeschränkte Intervalle haben nach einer Seite keine Grenze.
Beispiele:
[a; ∞)
= {x ∈ R|x ≥ a}
(−∞; a)
= {x ∈ R|x < a}
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AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS
1.5.4
6
Rechnen mit der Null
R ist (wie alle anderen Zahlenmengen, die wir behandeln) nullteilerfrei.
D.h. ein Produkt aus mehreren Faktoren wird genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist:
a·b =
0
⇒a=0∨b=0
a·0
=
0
a+0
0
a
a0
=
a
=
0
Des weiteren gilt für a ∈ R und a 6= 0
0!
=
1
an
= an−n = a0 = 1
=
an
= 1
Nicht definiert sind:
00
0
0
a
0
Exkurs
n! wird als n-Fakultät bezeichnet.
n! ist das Produkt als natürlicher Zahlen kleiner gleich n:
0!
=
1
1!
=
1
2!
=
1·2=2
3!
=
1·2·3=6
...
= ...