kN kN F F F F FF 16 4,0 4,6 = = µ = ⋅µ = =

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Geprüfter Industriemeister – Geprüfte Industriemeisterin . Fachrichtung Metall
IV.A.5 Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten – Mathematik . Physik
Geneigte (Schiefe) Ebene, Reibungskraft
Übungen
1
Auf die Bremsscheibe einer Scheibenbremse wirken die beiden
Reibkräfte von jeweils FR = 6,4 kN. Als Reibungszahl BremsbelagStahl wurde µ = 0,40 ermittelt. Wie groß ist die Kraft F, mit der das
Hydrauliksystem jeweils einen Bremsbelag gegen die Scheibe
presst?
http://de.wikipedia.org/wiki/Scheibenbremse
Shimano XT Disc (hydraul.)
Lösung:
F = FN
FR = µ ⋅ FN
FR
µ
6,4 kN
=
0,4
= 16 kN
FN =
rth . GeneigteEbene_Reibung_Übungen_Lösungen . 10.05.2009
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2
Berechnen Sie die Zugkraft für die Haft- und
Gleitreibung, wenn folgende Daten gegeben sind:
Masse m des Körpers: 220 kg
Werkstoffpaarung: Holz/Stahl
Reibungszustand: trocken
Lösungen
Berechnung der Gewichtskraft (g y 10 m/s²):
Hinweis: Die Berechnung der Gewichtskraft ist nicht gefragt und wäre auch für die
Berechnung der Reibungs- und Zugkräfte nicht erforderlich.
Fg = m ⋅ g ≈ 220 kg ⋅ 10
m
≈ 2200 N
s2
≈ 2,2 kN
Berechnung der Normalkraft:
Hinweis: Die Auflagefläche verläuft waagerecht, d. h. der Winkel zwischen der Normalkraft
und der Auflagefläche beträgt 90°.
FN = Fg ⋅ cos α = Fg ⋅ cos 90° = Fg ⋅ 1 = Fg
= 2,2 kN
Berechnung der Reibungskräfte:
Werkstoffpaarung
Reibungszustand
Holz/Stahl
trocken
Haftreibungsfaktor
µ0
Gleitreibungsfaktor
µ
0,55
0,35
FR0 = µ 0 ⋅ FN
Reibungskräfte
FR = µ ⋅ FN
= 0,35 ⋅ 2,2 kN
= 0,77 kN
= 0,55 ⋅ 2,2 kN
= 1,21 kN
Berechnung der Zugkräfte
Hinweis: Um den Körper in Bewegung zu bringen (Überwindung der Haftreibung) bzw.
danach in Bewegung zu halten, wäre als Zugkraft die in der Skizze dargestellte Kraft
„paralleler Anteil“ F’ ausreichend. Da die tatsächliche Zugkraft aber unter dem Winkel
ρ = 30° schräg nach oben angreift, müssen wir diese berechnen:
Zugkraft
Es gilt:
cos ρ =
FZugkraft =
AK
F'
=
HY FZugkraft
− FR
F'
=
cos ρ cos ρ
bei Haftreibung
− FR 0
− 1,21kN
=
cos 30° cos 30°
≈ −1,39 kN
FZ 0 =
rth . GeneigteEbene_Reibung_Übungen_Lösungen . 10.05.2009
bei Gleitreibung
− FR
− 0,77kN
=
cos 30°
cos 30°
≈ −0,89 kN
FZ =
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3.1
Um wie viel Grad muss eine Paketrutsche gegen die Horizontale
geneigt sein, wenn Pakete mit einer Haftreibungszahl µ0 = 0,6 darauf
abgleiten sollen?
3.2
Mit welcher Geschwindigkeit v erreichen die Pakete das Ende der
Rutsche, wenn diese 15 m lang ist und die Gleitreibungszahl µ = 0,4
beträgt?
Lösungen
3.1
Der Körper beginnt zu rutschen, wenn die
Haftreibungskraft überwunden wird, d. h.
FR
FH ≥ FRo
FH ≥ µ 0 ⋅ FN
Fg ⋅ sin α = µ 0 ⋅ Fg ⋅ cos α
sin α
= µo
cos α
tan α = µ o
α = arctan µ 0
= arctan 0,6
α = 30,9637...°
α ≈ 31°
3.2
Wenn FH > FR, wird der Körper nur noch von
der Gleitreibungskraft gebremst. Der Körper
wird hangabwärts beschleunigt. Der
Beschleunigung entgegen wirkt die
Trägheitskraft FT.
FR
FT
a
FT + FR = FH
FT = FH − FR
= FH − FR
= FH − µ ⋅ FN
m ⋅ a = Fg ⋅ sin α − µ ⋅ Fg ⋅ cos α
= Fg ⋅ (sin α − µ ⋅ cos α )
m ⋅ a = m ⋅ g ⋅ (sin α − µ ⋅ cos α )
a = g ⋅ (sin α − µ ⋅ cos α )
rth . GeneigteEbene_Reibung_Übungen_Lösungen . 10.05.2009
Diese Gleichung sollten Sie
als Formel in Ihr
Tabellenbuch übernehmen
(Schiefe Ebene)
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Lösung zu 3.2 (Forts.)
m
⋅ (sin 31° − 0,4 ⋅ cos 31°)
s2
m
= 1,688999 2
s
m
≈ 1,69 2
s
a = 9,81
Zur Berechung der Geschwindigkeit wird das
v-t-Diagramm skizziert (vgl. Abb. rechts).
Die Fläche für den zurückgelegten Weg ist
ein Dreieck. Draus folgt:
1
s=
1
⋅v ⋅t
2
Mit dieser Gleichung kann v noch nicht
berechnet werden, da neben v auch die Zeit t
unbekannt ist. Aus der Funktion für v folgt
aber mit v0 = 0:
v = a ⋅t
2
v
t=
a
v-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten
Bewegung mit v0 = 0.
Wir setzen den Ausdruck t =
v
in den Term
a
1 ein und können dann v berechnen:
v
1
1
⋅v ⋅t = ⋅v ⋅
a
2
2
2
v
=
2⋅a
2 ⋅ a ⋅ s = v2
s=
v2 = 2 ⋅ a ⋅ s
v = 2⋅a⋅s
≈ 2 ⋅ 1,69
m
⋅ 15m
s2
Lösungshinweis/e:
Die Fläche im v-t-Diagramm stellt den
zurückgelegten Weg dar.
Für die Geschwindigkeit gilt die
lineare Funktion:
v = a ⋅ t + v0
Diese Formel finden Sie
auch im Tab.-Buch,
S. 34, d. h. Sie müssen
sie nicht herleiten.
m2
s2
m
≈ 7,12
s
≈ 50,7
rth . GeneigteEbene_Reibung_Übungen_Lösungen . 10.05.2009
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Ein Balken, der reibungslos an einer Wand lehnt,
stützt sich gegen den Fußboden mit der
Reibungszahl µ . Wie groß muss der Winkel α
mindestens sein, damit der Balken nicht wegrutscht?
4
α = 60 bis 70° bei Stufenanlegeleitern
α = 65 bis 75° bei Sprossenanlegeleitern
Lösung
c
∑F
x
=0
− FAx + FBx = 0
d
∑F
FAx = FBx
y
=0
FAy − Fg = 0
FAy = Fg
e
∑M(
A)
=0
FBx ⋅ l Bx − Fg ⋅ l Fg = 0
FBx ⋅ l Bx = Fg ⋅ l Fg
FBx =
FBx
Fg ⋅ l Fg
l Bx
1
Fg ⋅ ⋅ l ⋅ cos α
2
=
l ⋅ sin α
Fg ⋅ l ⋅ cos α
=
2 ⋅ l ⋅ sin α
Fg
=
2 ⋅ tan α
Aus c und e folgt
f FAx =
Fg
2 ⋅ tan α
.
Nun ist FAx gleich der Haftreibungskraft FR0, da nur diese Kraft das Wegrutschen der Bohle
verhindert. Die zugehörige Normalkraft ist gleich dem Betrag von FAy. Daraus folgt:
FRo = FAx =
Fg
α = arctan
1
2 ⋅ µ0
2 ⋅ tan α
Fg
Fg
Fg
Fg
1
tan α =
=
=
=
=
2 ⋅ FR 0 2 ⋅ µ 0 ⋅ FN 2 ⋅ µ 0 ⋅ FAy 2 ⋅ µ 0 ⋅ Fg 2 ⋅ µ 0
rth . GeneigteEbene_Reibung_Übungen_Lösungen . 10.05.2009
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5.1
Ein Kind mit einer Masse von 40 kg rutsche eine Rutschbahn
hinunter, die einen Neigungswinkel von 30° zur Horizontalen besitzt.
Die Gleitreibungszahl zwischen Kind und Rutschbahn sei
µ = 0.2. Wenn das Kind in einer Höhe von 4 m zu rutschen beginnt,
wie schnell bewegt es sich dann, wenn es den Boden erreicht?
Machen Sie eine Skizze und zeichnen Sie alle relevanten Kräfte ein!
5.2
Welche Arbeit hat die Gravitationskraft beim Rutschen am Kind
geleistet und welche Arbeit ist durch die Reibung in Wärme
umgewandelt worden?
Lösungen
5.1
a) Länge der Rutsche
FR
s
GK h
=
HY s
h = s ⋅ sin ρ
sin ρ =
4m
h
=
sin ρ sin 30°
4m 4m
2
=
=
= 4 m⋅ = 8 m
1
0,5
1
2
s=
b) Erreichte Geschwindigkeit
v = 2⋅a⋅s
= 2 ⋅ g ⋅ (sin ρ − µ ⋅ cos ρ ) ⋅ s
= 2 ⋅ g ⋅ (sin ρ − µ ⋅ cos ρ ) ⋅
h
sin ρ
= 2 ⋅ g ⋅ h ⋅ (sin ρ − µ ⋅ cos ρ ) ⋅
1
sin ρ
⎛ sin ρ µ ⋅ cos ρ ⎞
⎟
= 2 ⋅ g ⋅ h ⋅ ⎜⎜
−
sin ρ ⎟⎠
⎝ sin ρ
⎛
µ ⎞
⎟⎟
v = 2 ⋅ g ⋅ h ⋅ ⎜⎜1 −
⎝ tan ρ ⎠
µ ⋅ cos ρ
µ
µ
=
=
sin ρ tan ρ
sin ρ
cos ρ
Bedingung für v > 0:
h > 0 und
0,2 ⎞
m ⎛
⋅ 1−
⎟
2 ⎜
s ⎝ tan 30° ⎠
m
m
= 7,16196... ≈ 7,2
s
s
1−
= 2 ⋅ 9,81
µ
>0
tan ρ
µ
tan ρ
tan ρ > µ
1>
c) Kinetische Energie des Kindes beim Erreichen des Bodens:
2
Wkin
m⎞
⎛
40 kg ⋅ ⎜ 7,16196... ⎟
2
m⋅v
s⎠
⎝
=
=
≈ 1025,9 J
2
2
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5.2
a) Verrichtete Arbeit der
Gravitationskraft
W = Fg ⋅ s ⋅ cos
(F , s )
s
g
= Fg ⋅ s ⋅ cos (90° − ρ )
= Fg ⋅ s ⋅ sin ρ
= Fg ⋅ h
= m⋅ g ⋅h
= 40 kg ⋅ 9,81
m
⋅4 m
s2
= 1569,6 Nm
≈ 1,57 kJ
b) Reibungsarbeit Ö Wärme
WR = FR ⋅ s ⋅ cos 180°
= µ ⋅ FN ⋅ s ⋅ (− 1)
= −µ ⋅ Fg ⋅ cos ρ ⋅ s
h
sin ρ
µ ⋅ cos ρ
= −m ⋅ g ⋅ h ⋅
sin ρ
µ
= −m ⋅ g ⋅ h ⋅
tan ρ
m
0,2
= −40 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 4 m ⋅
tan 30°
s
= −543,7253... Nm
≈ −544 J
= −µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos ρ ⋅
c) Zusammenfassung
Arbeit bewirkt Änderung von Energie. Die Addition der beiden nach 5.2.a und 5.2.b
berechneten Arbeiten muss gleich der nach 5.1.c berechneten gewonnenen kinetischen
Energie sein:
1569,6 J + (- 544 J) = 1025,9 J = 1025,9 J
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