Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen

4 Einige Grundstrukturen
Themen:
◮
Abbildungen und Relationen
◮
Gruppen
◮
Die natürlichen Zahlen
◮
Körper
Abbildungen
Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X → Y
ordnet jedem x ∈ X genau ein Element y ∈ Y zu. Wir schreiben
dann f (x) = y .
Abbildungen
Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X → Y
ordnet jedem x ∈ X genau ein Element y ∈ Y zu. Wir schreiben
dann f (x) = y .
f (X ) = {f (x) : x ∈ X } ⊂ Y
heißt Bildbereich von f .
Abbildungen
Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X → Y
ordnet jedem x ∈ X genau ein Element y ∈ Y zu. Wir schreiben
dann f (x) = y .
f (X ) = {f (x) : x ∈ X } ⊂ Y
heißt Bildbereich von f .
f heißt surjektiv, wenn f (X ) = Y .
Abbildungen
Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X → Y
ordnet jedem x ∈ X genau ein Element y ∈ Y zu. Wir schreiben
dann f (x) = y .
f (X ) = {f (x) : x ∈ X } ⊂ Y
heißt Bildbereich von f .
f heißt surjektiv, wenn f (X ) = Y .
f heißt injektiv, wenn
∀x, x ′ f (x) = f (x ′ ) ⇒ x = x ′ .
Abbildungen
Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X → Y
ordnet jedem x ∈ X genau ein Element y ∈ Y zu. Wir schreiben
dann f (x) = y .
f (X ) = {f (x) : x ∈ X } ⊂ Y
heißt Bildbereich von f .
f heißt surjektiv, wenn f (X ) = Y .
f heißt injektiv, wenn
∀x, x ′ f (x) = f (x ′ ) ⇒ x = x ′ .
f heißt bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.
Abbildungen
f heißt injektiv, wenn
∀x, x ′ f (x) = f (x ′ ) ⇒ x = x ′ .
Abbildungen
f heißt injektiv, wenn
∀x, x ′ f (x) = f (x ′ ) ⇒ x = x ′ .
Ist die Bedingung
∀x, x ′ x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′ ) .
zur Injektivität äquivalent?
Abbildungen
f heißt injektiv, wenn
∀x, x ′ f (x) = f (x ′ ) ⇒ x = x ′ .
Ist die Bedingung
∀x, x ′ x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′ ) .
zur Injektivität äquivalent?
Ja, es gilt ganz allgemein
(A ⇒ B)
⇔
(¬B ⇒ ¬A)
Relationen
Seien X und Y Mengen.
X × Y = {(x, y ) : x ∈ X . y ∈ Y }
heißt kartesisches Produkt der Mengen X und Y .
Eine (zweistellige) Relation ist eine Teilmenge des kartesischen
Produkts X × Y , also R ⊂ X × Y .
Relationen
Seien X und Y Mengen.
X × Y = {(x, y ) : x ∈ X . y ∈ Y }
heißt kartesisches Produkt der Mengen X und Y .
Eine (zweistellige) Relation ist eine Teilmenge des kartesischen
Produkts X × Y , also R ⊂ X × Y .
Jede Abbildung f : X → Y ist auch eine Relation:
R = {(x, y ) : f (x) = y } ⊂ X × Y
Relationen
Seien X und Y Mengen.
X × Y = {(x, y ) : x ∈ X . y ∈ Y }
heißt kartesisches Produkt der Mengen X und Y .
Eine (zweistellige) Relation ist eine Teilmenge des kartesischen
Produkts X × Y , also R ⊂ X × Y .
Jede Abbildung f : X → Y ist auch eine Relation:
R = {(x, y ) : f (x) = y } ⊂ X × Y
Die Begriffe Abbildung und Relation lassen sich leicht auf n-stellige
Abbildungen f : X1 × X2 × . . . × Xn → Y und n-stellige Relationen
R ⊂ X1 × X2 × . . . × Xn verallgemeinern.
Mathematische Strukturen
lassen sich in der Form
S = {S, e1, . . . , el , f1, . . . , fm , R1, . . . , Rn }
schreiben mit
S Grundmenge
ei ausgezeichnete Elemente (meist neutrale Elemente),
fj Abbildungen (meist zweistellige Operationen wie +),
Rk (meist zweistellige) Relationen.
Mathematische Strukturen
lassen sich in der Form
S = {S, e1, . . . , el , f1, . . . , fm , R1, . . . , Rn }
schreiben mit
S Grundmenge
ei ausgezeichnete Elemente (meist neutrale Elemente),
fj Abbildungen (meist zweistellige Operationen wie +),
Rk (meist zweistellige) Relationen.
Klar, dies ist redundant, weil man alle Abbildungen auch als
Relationen schreiben kann.
Beispiel
Die natürlichen Zahlen mit Addition und Ordnung ≤ ist
N0 = {N0, 0, +, ≤}.
Beispiel
Die natürlichen Zahlen mit Addition und Ordnung ≤ ist
N0 = {N0, 0, +, ≤}.
Wie hier schreibt man meist xRy statt (x, y ) ∈ R.
Beispiel
Die natürlichen Zahlen mit Addition und Ordnung ≤ ist
N0 = {N0, 0, +, ≤}.
Wie hier schreibt man meist xRy statt (x, y ) ∈ R.
Die Null kann man auszeichnen, weil
N0 damit beginnt.
Gruppen
G
Eine Gruppe = (G , e, ◦) besteht aus einer Menge G , einer
zweistelligen Operation ◦ mit z = x ◦ y ∈ G , und einem
ausgezeichneten Element e ∈ G , so dass:
Gruppen
G
Eine Gruppe = (G , e, ◦) besteht aus einer Menge G , einer
zweistelligen Operation ◦ mit z = x ◦ y ∈ G , und einem
ausgezeichneten Element e ∈ G , so dass:
(G1) (Assoziativgesetz) Für alle x, y , z ∈ G gilt
(x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).
(G2) (Neutrales Element) Für alle x ∈ G gilt
e ◦ x = x ◦ e = x.
(G3) (Inverses Element) Zu jedem x ∈ G gibt es ein x −1 ∈ G mit
x −1 ◦ x = x ◦ x −1 = e.
Beispiele für Gruppen
Endliche Gruppen gibt man mit einer Gruppentafel an, in der die
Ergebnisse von x ◦ y eingetragen werden. Wir bezeichnen die
Gruppenelemente mit 0, 1, 2, . . ., wobei 0 das neutrale Element ist.
Beispiele für Gruppen
Endliche Gruppen gibt man mit einer Gruppentafel an, in der die
Ergebnisse von x ◦ y eingetragen werden. Wir bezeichnen die
Gruppenelemente mit 0, 1, 2, . . ., wobei 0 das neutrale Element ist.
Die Gruppe mit 3 Elementen ist eindeutig bestimmt:
◦
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
.
Beispiele für Gruppen
Vierelementige Gruppen gibt es schon mehrere:
◦
0
1
2
3
◦
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
1
1
0
3
2
2
2
3
0
1
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
3
3
2
1
0
Beispiele für Gruppen
Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind
G = (Z, 0, +), G = (Q, 0, +), G = (Q \ {0}, 1, ·).
Beispiele für Gruppen
Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind
G = (Z, 0, +), G = (Q, 0, +), G = (Q \ {0}, 1, ·).
Also: Konkrete Gruppen können alles mögliche sein. Daher ist es
hier wie meist in der Algebra wichtig, dass die Beweise streng aus
den Axiomen folgen.
Beispiele für Gruppen
Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind
G = (Z, 0, +), G = (Q, 0, +), G = (Q \ {0}, 1, ·).
Also: Konkrete Gruppen können alles mögliche sein. Daher ist es
hier wie meist in der Algebra wichtig, dass die Beweise streng aus
den Axiomen folgen.
Man zeige: In jeder Gruppe sind die Gleichungen x ◦ a = b und
a ◦ x = b eindeutig nach x auflösbar.
Beispiele für Gruppen
Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind
G = (Z, 0, +), G = (Q, 0, +), G = (Q \ {0}, 1, ·).
Also: Konkrete Gruppen können alles mögliche sein. Daher ist es
hier wie meist in der Algebra wichtig, dass die Beweise streng aus
den Axiomen folgen.
Man zeige: In jeder Gruppe sind die Gleichungen x ◦ a = b und
a ◦ x = b eindeutig nach x auflösbar.
Aus diesem Grund sind die Gruppentafeln Lateinische Quadrate, bei
denen in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Element genau einmal
vorkommt.
Abelsche Gruppen
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das
Kommutativgesetz gilt:
Abelsche Gruppen
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das
Kommutativgesetz gilt:
(G4) Für alle x, y ∈ G gilt
x ◦ y = y ◦ x.
Bei einer kommutativen Gruppe schreibt man meist + statt ◦ mit
dem neutralen Element 0.
Abelsche Gruppen
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das
Kommutativgesetz gilt:
(G4) Für alle x, y ∈ G gilt
x ◦ y = y ◦ x.
Bei einer kommutativen Gruppe schreibt man meist + statt ◦ mit
dem neutralen Element 0.
Dies erinnert an die ganzen Zahlen
kommutative Gruppe bilden.
Z = (Z , 0, +), die ja eine
Modelle
Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten Elementen,
Operationen und Relationen), in der die Axiome einer
mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser Struktur.
Modelle
Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten Elementen,
Operationen und Relationen), in der die Axiome einer
mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser Struktur.
Alles, was wir als Beispiele von Gruppen bezeichnet haben, sind
Modelle der Gruppe. Modelle sind daher konkret, haben
philosophisch gesprochen ein eigenes Sein in der mathematischen
Welt. Dagegen ist eine mathematische Struktur i.A. abstrakt.
Modelle
Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten Elementen,
Operationen und Relationen), in der die Axiome einer
mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser Struktur.
Alles, was wir als Beispiele von Gruppen bezeichnet haben, sind
Modelle der Gruppe. Modelle sind daher konkret, haben
philosophisch gesprochen ein eigenes Sein in der mathematischen
Welt. Dagegen ist eine mathematische Struktur i.A. abstrakt.
Das Axiomensystem der Gruppe definiert gleichzeitig, was eine
Gruppe ist.
Die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe?
Die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die
Gruppenaxiome zu nennen.
Die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die
Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen?
Die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die
Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das
sind die Zahlen 1, 2, 3, . . .
Die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die
Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das
sind die Zahlen 1, 2, 3, . . .
Abgesehen davon, wie man die einzelnen natürlichen Zahlen nennt,
sind sie eindeutig bestimmt. Ein Axiomensystem für die natürlichen
Zahlen ist daher eher beschreibend als definierend.
Die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die
Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das
sind die Zahlen 1, 2, 3, . . .
Abgesehen davon, wie man die einzelnen natürlichen Zahlen nennt,
sind sie eindeutig bestimmt. Ein Axiomensystem für die natürlichen
Zahlen ist daher eher beschreibend als definierend.
”Ich brauche mich doch nicht durch ein Axiomensystem darüber
belehren zu lassen, was eine natürliche Zahl ist!”
Die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die
Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das
sind die Zahlen 1, 2, 3, . . .
Abgesehen davon, wie man die einzelnen natürlichen Zahlen nennt,
sind sie eindeutig bestimmt. Ein Axiomensystem für die natürlichen
Zahlen ist daher eher beschreibend als definierend.
”Ich brauche mich doch nicht durch ein Axiomensystem darüber
belehren zu lassen, was eine natürliche Zahl ist!”
Frage: Ähnelt die Struktur der reellen Zahlen mehr einer Gruppe
oder mehr den natürlichen Zahlen?
Die Peanoschen Axiome
In moderner Form sind die natürlichen Zahlen eine Struktur
= (N, 1, f ) mit dem ausgezeichneten Element 1 und einer
einstelligen Abbildung f : N → N, die als Nachfolger interpretiert
wird.
N
Die Peanoschen Axiome
In moderner Form sind die natürlichen Zahlen eine Struktur
= (N, 1, f ) mit dem ausgezeichneten Element 1 und einer
einstelligen Abbildung f : N → N, die als Nachfolger interpretiert
wird. Die Axiome sind dann
N
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
(P3) Für alle Teilmengen M ⊂ N gilt:
Ist 1 ∈ M und folgt aus n ∈ M, dass auch f (n) ∈ M, so M = N.
Die Peanoschen Axiome
In moderner Form sind die natürlichen Zahlen eine Struktur
= (N, 1, f ) mit dem ausgezeichneten Element 1 und einer
einstelligen Abbildung f : N → N, die als Nachfolger interpretiert
wird. Die Axiome sind dann
N
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
(P3) Für alle Teilmengen M ⊂ N gilt:
Ist 1 ∈ M und folgt aus n ∈ M, dass auch f (n) ∈ M, so M = N.
(P1) bedeutet, dass f injektiv ist, (P2), dass 1 ∈
/ f (N). (P3) ist die
vollständige Induktion.
Die Peanoschen Axiome
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
Gibt es endliche Modelle von (P1) und (P2) ?
Die Peanoschen Axiome
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
Gibt es endliche Modelle von (P1) und (P2) ?
Die Abbildung f ist injektiv, aber nicht surjektiv. Für endliche
Mengen N und f : N → N gilt aber
f injektiv ⇔ f surjektiv ⇔ f bijektiv
Die Peanoschen Axiome
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
Gibt es endliche Modelle von (P1) und (P2) ?
Die Abbildung f ist injektiv, aber nicht surjektiv. Für endliche
Mengen N und f : N → N gilt aber
f injektiv ⇔ f surjektiv ⇔ f bijektiv
Ein endliches Modell gibt es daher nicht.
Aufgabe
Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt!
Aufgabe
Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt!
Wir nehmen als Grundmenge G = N ∪ Z ′ . N sind die natürlichen
Zahlen mit 1 ∈ N. Z ′ sind die ganzen Zahlen, aber andere Objekte
als N, daher der Strich. Die Nachfolgefunktion ist definiert durch
f (n) = n + 1 für n ∈ N,
f (k ′ ) = k ′ + 1′ für k ′ ∈ Z ′ .
Aufgabe
Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt!
Wir nehmen als Grundmenge G = N ∪ Z ′ . N sind die natürlichen
Zahlen mit 1 ∈ N. Z ′ sind die ganzen Zahlen, aber andere Objekte
als N, daher der Strich. Die Nachfolgefunktion ist definiert durch
f (n) = n + 1 für n ∈ N,
f (k ′ ) = k ′ + 1′ für k ′ ∈ Z ′ .
Setzen wir in (P3) die Menge M = N ein, so soll N = G folgen,
was aber nicht der Fall ist.
Aufgabe
Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt!
Wir nehmen als Grundmenge G = N ∪ Z ′ . N sind die natürlichen
Zahlen mit 1 ∈ N. Z ′ sind die ganzen Zahlen, aber andere Objekte
als N, daher der Strich. Die Nachfolgefunktion ist definiert durch
f (n) = n + 1 für n ∈ N,
f (k ′ ) = k ′ + 1′ für k ′ ∈ Z ′ .
Setzen wir in (P3) die Menge M = N ein, so soll N = G folgen,
was aber nicht der Fall ist.
Also: (P1),(P2) sorgen dafür, dass nur unendliche Mengen mit
einem Anfang 1 als Modelle in Frage kommen. (P3) verlangt, dass
unter diesen Modellen das minimale genommen wird.
Körper
K
Ein Körper ist eine Struktur der Form = (K , 0, 1, +, ·) mit einer
Grundmenge K , zwei zweistelligen Operationen + und ·, für die die
Körperaxiome gelten:
Körper
K
Ein Körper ist eine Struktur der Form = (K , 0, 1, +, ·) mit einer
Grundmenge K , zwei zweistelligen Operationen + und ·, für die die
Körperaxiome gelten:
(K1) (K , 0, +) ist abelsche (=kommutative) Gruppe,
(K2) (K \ {0}, 1, ·) ist abelsche (=kommutative) Gruppe,
(K3) Es gilt das Distributivgesetz p · (q + r ) = p · q + p · r .
Beispiel: Restklassenkörper
Sei p ≥ 1 eine natürliche Zahl und
Gp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Beispiel: Restklassenkörper
Sei p ≥ 1 eine natürliche Zahl und
Gp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G , indem wir
zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und
vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.B:
Beispiel: Restklassenkörper
Sei p ≥ 1 eine natürliche Zahl und
Gp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G , indem wir
zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und
vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.B:
2 +3 2 = 1,
4 ·6 5 = 2.
Beispiel: Restklassenkörper
Sei p ≥ 1 eine natürliche Zahl und
Gp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G , indem wir
zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und
vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.B:
2 +3 2 = 1,
Wir erhalten eine Struktur
4 ·6 5 = 2.
Zp = (Gp , 0, 1, +p , ·p ).
Beispiel: Restklassenkörper
Sei p ≥ 1 eine natürliche Zahl und
Gp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G , indem wir
zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und
vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.B:
2 +3 2 = 1,
Z
4 ·6 5 = 2.
Wir erhalten eine Struktur p = (Gp , 0, 1, +p , ·p ).
Die Assoziativ- und Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz
vererben sich auf die so definierten Operationen.
Beispiel: Restklassenkörper
Sei p ≥ 1 eine natürliche Zahl und
Gp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G , indem wir
zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und
vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.B:
2 +3 2 = 1,
Z
4 ·6 5 = 2.
Wir erhalten eine Struktur p = (Gp , 0, 1, +p , ·p ).
Die Assoziativ- und Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz
vererben sich auf die so definierten Operationen. 0 ist neutral
bezüglich der Addition und 1 ist neutral bezüglich der
Multiplikation.
Beispiel: Restklassenkörper
Sei p ≥ 1 eine natürliche Zahl und
Gp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G , indem wir
zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und
vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.B:
2 +3 2 = 1,
Z
4 ·6 5 = 2.
Wir erhalten eine Struktur p = (Gp , 0, 1, +p , ·p ).
Die Assoziativ- und Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz
vererben sich auf die so definierten Operationen. 0 ist neutral
bezüglich der Addition und 1 ist neutral bezüglich der
Multiplikation.
Das inverse Element der Addition zu a ist p − a.
Tafeln für p = 3
+3
0
1
2
·3
0
1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
1
2
2
2
0
1
2
0
2
1
Tafeln für p = 3
+3
0
1
2
·3
0
1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
1
2
2
2
0
1
2
0
2
1
Da wir a 6= 0 invertieren können, ist
Z3 ein Körper.
Tafeln für p = 4
+4
0
1
2
3
·4
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
0
1
0
1
2
3
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
Tafeln für p = 4
+4
0
1
2
3
·4
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
0
1
0
1
2
3
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
Z4 ist kein Körper, weil wir 2 nicht invertieren können.
Zp
Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.
Zp
Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.
Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 6= 0 invertierbar ist.
Zp
Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.
Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 6= 0 invertierbar ist.
Wäre a ·p b = a ·p b′ für a, b, b′ 6= 0, so
ab − ab′ = kp
für eine ganze Zahl k.
Zp
Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.
Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 6= 0 invertierbar ist.
Wäre a ·p b = a ·p b′ für a, b, b′ 6= 0, so
ab − ab′ = kp
für eine ganze Zahl k. Da die linke Seite durch a teilbar ist und p
prim, ist auch k durch a teilbar, also
b − b′ = k ′ p ⇒ b = b′ .
Zp
Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.
Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 6= 0 invertierbar ist.
Wäre a ·p b = a ·p b′ für a, b, b′ 6= 0, so
ab − ab′ = kp
für eine ganze Zahl k. Da die linke Seite durch a teilbar ist und p
prim, ist auch k durch a teilbar, also
b − b′ = k ′ p ⇒ b = b′ .
Damit sind die Werte ab für b = 1, . . . , p − 1 alle verschieden. Es
gibt daher ein b mit ab = 1.
Zp
Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir
einen allgemeinen Satz der Körpertheorie:
Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 6= 0 gilt ab 6= 0.
Zp
Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir
einen allgemeinen Satz der Körpertheorie:
Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 6= 0 gilt ab 6= 0.
Beweis: Es gilt a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, daher a · 0 = 0.
Zp
Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir
einen allgemeinen Satz der Körpertheorie:
Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 6= 0 gilt ab 6= 0.
Beweis: Es gilt a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, daher a · 0 = 0.
Wäre ab = 0 für a, b 6= 0, so abb−1 = 0 · b−1 = 0, also a = 0.
Zp
Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir
einen allgemeinen Satz der Körpertheorie:
Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 6= 0 gilt ab 6= 0.
Beweis: Es gilt a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, daher a · 0 = 0.
Wäre ab = 0 für a, b 6= 0, so abb−1 = 0 · b−1 = 0, also a = 0.
Ist p nicht prim, so p = ab und
Zp ist nicht nullteilerfrei.