¨Ubungsblatt 3

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2015
Übungsblatt 3
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 16.11.-20.11.
Aufgabe 1
Triviale Falschheit
(Präsenzaufgabe)
Das Induktionsprinzip für aussagenlogische Formeln lautet: um zu zeigen, dass eine Eigenschaft P für alle aussagenlogischen Formeln φ gilt, zeige, (Induktionsbasis) dass P für φ = ⊥
gilt sowie für alle atomaren φ ∈ A; (Induktionsschritt) dass, wenn P für Formeln φ und ψ gilt,
dann auch für φ ∧ ψ und ¬φ.
Sei φ eine aussagenlogische Formel, die nur aus Konjunktionen, Atomen und Wahrheitskonstanten (> und ⊥) gebildet ist (dabei ist natürlich > die Abkürzung für ¬⊥). Zeigen Sie anhand des
obigen Induktionsprinzips, dass für jede Wahrheitsbelegung κ, für die es ein Atom A ∈ A mit
κ(A) = ⊥ gibt, κ 6|= φ gilt, wenn A in φ vorkommt.
Aufgabe 2
Positives Denken
(Präsenzaufgabe)
Sei φ eine aussagenlogische Formel, die wie in der Vorlesung aus Konjunktion, Negation, Falsum
und Atomen aufgebaut ist. Wir definieren rekursiv, dass ein Atom A positiv (negativ ) in φ ist,
wenn
• φ ein Atom ist (φ ein Atom ist außer A);
• φ = ¬ψ und A negativ (positiv) in ψ ist;
• φ = ψ ∧ ξ und A in ψ und in ξ positiv (negativ) ist.
(Insbesondere ist A weder negativ noch positiv in ⊥.)
Beweisen Sie, dass φ erfüllbar ist, wenn jedes Atom A ∈ A positiv oder negativ (oder beides) in
φ ist. Kann eine solche Formel auch gültig sein?
Hinweis: Verwenden Sie Induktion über den Aufbau von φ. Man muss in der Induktion in
Wirklichkeit eine stärkere Aussage als die verlangte beweisen, indem man auch darüber redet,
welche Wahrheitsbelegungen φ wahr bzw. falsch machen.
Aufgabe 3
Dame oder Tiger, aussagenlogisch
(5 Punkte)
Formalisieren Sie das Szenario der Dame-oder-Tiger“-Aufgabe von Übungsblatt 1 in Aussagen”
logik. Prüfen Sie dann, ob die Aussagen Eine Dame ist in Raum I“ bzw. Eine Dame ist in
”
”
Raum II“ logische Folgerungen aus dieser Formalisierung sind, indem Sie entsprechende Wahrheitstafen bilden.
GLoIn, WS 2015
Aufgabe 4
Negationsnormalform
(6 Punkte)
Eine aussagenlogische Formel ist in Negationsnormalform (NNF), wenn sie durch die folgende
Grammatik erzeugt werden kann:
ψ, ξ ::= A | ¬A | ψ ∧ ξ | ψ ∨ ξ
(A ∈ A).
Dabei ist ψ ∨ ξ, wie in der Vorlesung, Abkürzung für ¬(¬ψ ∧ ¬ξ).
Eine bekannte Tatsache ist, dass jede Formel φ in eine NNF φ0 umgeformt werden kann, so dass
φ und φ0 logisch äquivalent sind (natürlich unter der Annahme, dass A nicht leer ist). Wir zeigen
das indirekt mittels des in Übungsblatt 2 eingeführten “Schaltkreiskalküls”.
1. Zeigen Sie, dass es für jede Formel φ einen Schaltkreis gibt, durch den genau dann Strom
fließt, wenn φ erfüllt ist. Verwenden Sie dafür das Induktionsprinzip für aussagenlogische
Formeln von Aufgabe 1. Hinweis: Um Negation zu behandeln, verwenden Sie die Ergebnisse von Übungsblatt 2, Aufgabe 2; verwenden Sie den folgenden widersprüchlichen
Schaltkreis
A
¬A
(mit beliebigen A ∈ A) um logische Falschheit auszudrücken.
2. Zeigen Sie, dass es für jeden Schaltkreis eine Formel φ in NNF gibt, die genau dann erfüllt
ist, wenn durch den Schaltkreis Strom fließt. Verwenden Sie dabei das Induktionsprinzip
für Schaltkreise aus Übungsblatt 2, Aufgabe 3.
Die Aussagen 1 und 2 zusammen zeigen, dass für jede Formel φ eine NNF berechnet werden kann
indem man φ zunächst in einen Schaltkreis übersetzt und danach zurück in eine aussagenlogische
Formel.
Aufgabe 5
Logische Äquivalenz
(4 Punkte)
Beweisen Sie, dass die folgenden Paare von Formeln logisch äquivalent sind:
1. (φ ∧ ψ) → ξ und φ → (ψ → ξ);
2. (φ ∧ ψ) → ξ und (φ → ξ) ∨ (ψ → ξ);
3. φ → (ψ ∧ ξ) und (φ → ψ) ∧ (φ → ξ);
4. φ → ψ und ¬ψ → ¬φ.
Zeigen Sie dabei mindestens zwei Äquivalenzen durch Vergleichen der jeweiligen Wahrheitstafeln.
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GLoIn, WS 2015
Aufgabe 6
Aussagenlogisches Trinkerparadoxon
(5 Punkte)
Das sogenannte “Trinkerparadoxon” lautet: “Es gibt
jemanden in der Kneipe, so dass, wenn er trinkt,
auch alle anderen trinken”.
Das lässt sich wie folgt in Aussagenlogik formalisieren. Sei n ≥ 1 der Anzahl von Leuten in der Kneipe.
Wie führen aussagenlogische Atome A1 , . . . , An ein,
deren Bedeutung ist: Ai gilt g.d.w. Besucher i der
Kneipe trinkt. Sei φn die Formel A1 ∧ . . . ∧ An . Dann
gilt:
(A1 → φn ) ∨ . . . ∨ (An → φn )
Beweisen Sie diese Formel mittels Induktion über n
und unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe 5. Achten Sie darauf, dass ausdrücklich ein
Beweis per Induktion über n gefragt ist.
Hinweis: Beachten Sie, dass die Aussage für die Induktion verstärkt werden kann, da sie auch
dann gilt, wenn A1 , . . . , An beliebige aussagenlogische Formeln sind.
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