Mechanik 5.nb - Hochschule Trier

Mechanik 5.nb
*UXQGODJHQGHU3K\VLN
Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier
Fach: Geowissenschaften
Wintersemester 2000/2001
'R]HQW
'U.DUO0ROWHU
'LSORP3K\VLNHU
)DFKKRFKVFKXOH7ULHU
7HO
)D[
(0DLOPROWHU#IKWULHUGH
,QIRV]XU9RUOHVXQJXQWHUKWWSZZZIKWULHUGHaPROWHUJGS
Version: 1.2
18.04.01
/LWHUDWXU
•
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•
6WURSSH: 3K\VLN,
Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN 3-446-21066-0
+HULQJ0DUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNIU,QJHQLHXUH,
Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN 3-540-66135-2
3DXO$7LSOHU: 3K\VLN,
Spektrum Akademischer Verlag, 2000, ISBN 3-86025-122-8
*HUWKVHQ: 3K\VLN,
Springer Verlag, 1999, ISBN 3-540-65479-8
%URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHU0DWKHPDWLN,
Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2
-UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN,
Vieweg Verlag, 1993, ISBN 3-528-04933-2
+DQV-3DXV: 3K\VLN,
Hanser Verlag, 1995, ISBN 3-446-17371-4
.ODXV:HOWQHU: 0DWKHPDWLNIU3K\VLNHU,
Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN 3-528-06775-6, erhältlich!)
6WHSKHQ:ROIUDP: 7KH0DWKHPDWLFD%RRN,
Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-64314-7
Mechanik 5.nb
Mechanik fester Körper (5)
'UHKEHZHJXQJHQ
Unter dem Aspekt der Dynamik haben wir bisher ausschliesslich sogenannte translatorische
Bewegungen betrachtet.
Wir betrachten nun die Drehbewegungen (Rotation) etwas genauer unter dem Aspekt der Kräfte, die
wirken und den daraus folgenden Definitionen für Arbeit, Leistung, Energie und Impuls.
Å 'UHKPRPHQW$UEHLWXQG/HLVWXQJ
é 'UHKPRPHQW
Betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Dynamik (Kräfteverhältnisse) bei einer einfachen
Balkenschaukel:
%DONHQVFKDXNHO
r1
Drehpunkt
r2
F2
F1
Um ein Wegkippen der Balkenschaukel um den Drehpunkt zu verhindern müssen bei Schaukelpartnern
unterschiedlichen Gewichts die Sitzabstände zum Drehpunkt so gewählt werden, dass gilt:
) 1 U1 = ) 2 U2 .
Durch leichte Verlagerung des Schwerpunkts eines der beiden Schaukelpartner kommt dann die
Schaukelbewegung in Gang.
Eine wichtige Rolle spielt hier offenbar das Produkt aus Kraftarm UL und Kraft )L :
0L = )L UL .
Man bezeichnet die Grösse 0L als 'UHKPRPHQW.
Im allgemeinen Fall sind die UL und )L Vektoren. Das Drehmoment ist dann als Vektorprodukt definiert:
0L = UL ™ ) L
[1]
¸
U ist dabei der Vektor vom möglichen Drehpunkt zu dem Punkt, an dem die Kraft angreift.
Mechanik 5.nb
»»¸
»¸
¸
Der Drehmomentvektor 0 steht senkrecht auf der durch U und ) aufgespannten Ebene.
»»¸
Die Richtung des Drehmoments 0 (ebenso wie die der aus einer möglichen Drehung resultierenden
»
Winkelgeschwindigkeit w̧ ) ergibt sich aus der UHFKWHQ+DQG5HJHO gemäss der folgenden Abbildung:
$EELOGXQJ
Zeigen die Finger in die Richtung der (möglichen) Drehung, so weist der Daum in die Richtung des
Drehmoments bzw. der Winkelgeschwindigkeit.
Die folgende Abbildung zeigt verschiedene, an einem Stab angreifende Kräfte und daraus resultierende
»»¸
»¸
¸
Drehmomente. Das Tripel Drehmoment 0 , Radius U und Kraft ) (bzw. deren massgebliche Komponente
»»¸
¸
¸
senkrecht zu U ) ist im Raum ebenso orientiert wie ein durch Daumen (0 ), Zeigefinger (U ) und Mittelfinger
»¸
() ) der rechten Hand aufgespanntes, karthesisches Koordinatensystem.
$EELOGXQJ
Mechanik 5.nb
Der Stab befindet sich im statischen Gleichgewicht (d.h. er vollführt weder eine translatorische noch eine
rotierende Bewegung), wenn sowohl für die angreifenden Kräfte wie für die Drehmomente gilt:
»»»»¸
»»»»¸
»»»»¸
) + ) + ) = 0
und
»»»»»¸ »»»»»¸
0+ 0 = 0.
»¸
Da ) im Drehpunkt angreift, bewirkt sie kein Drehmoment (U3 = 0).
Für den Fall, dass ein resultierendes Drehmoment existiert, vollführt der Körper eine Drehbewegung (um
den Schwerpunkt, wenn keine feste Drehachse vorgegeben ist).
Existiert dagegen nur eine resultierende Kraft, die im Drehpunkt (Schwerpunkt) angreift, vollführt der
Körper eine Translation.
Wir können also zusammenfassen:
-HGH%HZHJXQJHLQHVVWDUUHQ.|USHUVXQWHUGHP(LQIOX‰HLQHV6\VWHPVYRQ.UlIWHQNDQQ
EHVFKULHEHQZHUGHQDOV
- HLQH7UDQVODWLRQGHV6FKZHUSXQNWHVXQG
HLQH5RWDWLRQXPGHQ6FKZHUSXQNW
Die Wirkung des Drehmoments lässt sich eindrucksvoll mit Hilfe einer Garnrolle demonstrieren.
Ein runder Körper vollführt auf einer schiefen Ebene eine Bewegung, die sich aus einer Translation
entlang der Eben und einer Rotation um einen Drehpunkt zusammensetzen lässt.
Drehmomente lassen sich beispielsweise mit Hilfe einer Torsionswaage messen (siehe Abbildung 3).
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$EELOGXQJ
Es gilt:
M=r·F=' ·j.
*
(Wir können hier die Beträge ansetzen, da Kraft und Kraftarm immer senkrecht zueinander stehen)
Die Grösse ' bezeichnet man als Winkelrichtgrösse der Torsionswaage.
*
Nach dem bisher gesagten können wir zwischen der Translation und der Rotation folgende Analogien
herstellen:
7UDQVODWLRQ
5RWDWLRQ
»¸
Kraft ) in [N]
»»¸
Drehmoment 0 in [Nm]
»¸
Auslenkung/Weg V in [m]
Winkel j in [rad]
1
Federkonstante D in @ þþþþ
Pþ D
1þþþþPþþ D
Winkelrichtgrösse ' in @ þþþþ
rad
*
é $UEHLW
Die Arbeit bei der Drehbewegung können wir aus der bereits aus der Translation bekannten Beziehung
herleiten:
W = ¾ ) ÇV = ¾ ) U Çj = ¾ 0 Çj .
Verlaufen Kraftvektor und Verschiebung nicht parallel, so müssen wir die vektorielle Darstellung wählen:
W = 0 ¼Çj ,
[2]
G »¸
wobei G »j̧ nach der Beziehung »w̧ = þþþþ
þþþþþ als G »j̧ = »w̧ dt definiert ist, also parallel zur Winkelgeschwindigkeit
dt
»w̧ verläuft (rechte Hand Regel, vergleiche oben).
j
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Bei konstantem Drehmoment und für den Fall das Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit parallel
verlaufen, reduziert sich die Gleichung [2] zu
W=Mj.
Die Spannarbeit für eine Trosionsfeder (vgl. Abbildung 1), für die ja
M=' j
*
gilt, folgt unmittelbar aus Gleichung [2], da das Drehmoment von Winkel abhängig ist:
:V =
j0 *
'
0
j Ç j = '*
j0
j Çj
0
= þþþþ12 '* j2
[3]
Ist ein Körper frei drehbar um eine Achse gelagert, so verrichtet ein angreifendes Drehmoment eine
Beschleunigungsarbeit.
Analog zur Beziehung
F=ma
bei der Translation gilt:
M = J a.
[4]
bzw. in vektorieller Schreibweise.
»
G w̧
0 = J þþþþ
þþþþþ
dt
[5]
G2
d
Dabei ist a = þþþþ
þþþþ = þþþþþþþþ
2þþ die Winkelbeschleunigung und J steht für das Äquivalent zur Masse bei der
dt
j
w
dt
Translation.
Man bezeichnet J als 7UlJKHLWVPRPHQW. Wir kommen darauf später noch einmal zurück.
Gleichung [5] stellt die Bewegungsgleichung der Drehbewegung dar.
Ein kostantes Drehmoment führt dabei zu einer gleichmässig beschleunigten Drehbewegung. Wir
können daher mit Hilfe der Gleichung [5] experimentell das Trägheitsmoment eines Körpers bestimmen ,
indem wir beispielweise ein bekanntes Drehmoment eine Zeit Dt wirken lassen und anschliessend die
dann vorliegende Winkelgeschwindigkeit messen.
Integration der Gleichung [5] über die Zeitspanne Dt liefert dann (wir nehmen an, dass w und M parallel
verlaufen und verwenden daher nur die Beträge):
M Dt = J w
[6]
0 Dt
J = þþþþþþþþ
þþþþ .
w
[7]
und daher
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é /HLVWXQJ
Wie bei der Translationsbewegung für die momentane Leistung gilt:
»¸ »¸
dW tr
3tr = þþþþþþþþ
þþþþ = ) ¼ Y
dt
lässt sich für die Rotation definieren:
»
G j̧
dWrot
3rot = þþþþþþþþ
þ
þþþ
þ
=
0
¼
þþþþ
þþþþ = 0 ¼ w
dt
dt
[8]
Å 5RWDWLRQVHQHUJLHNLQHWLVFKH(QHUJLHGHU5RWDWLRQ
Für einen Massepunkt, der auf einem Kreis mit dem Radius r umläuft, kann die kinetische der Rotation
aus
(kin = þþþþ12þ P Y 2
und dem bereits bekannten Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit v und
Winkelgeschwindigkeit w, nämlich
v=wr
ermittelt werden:
rot
(kin
= þþþþ12 P Y2 = þþþþ12 P U2 w2 .
[9]
Die Rotationsenergie des Massepunktes ist, selbst bei konstanter Winkelgeschwindigkeit, ganz
offensichtlich vom Abstand des Massepunkts vom Drehpunkt abhängig.
Für ausgedehnte Körper stellt dies ein Problem dar, da wir keinen eindeutigen Abstand des Körpers vom
Drehpunkt angeben können.
Wir müssen daher die Rotationsenergie durch Summation über beliebig kleine Massenelemente
ermitteln:
rot
(kin
= ¿ DEL = þþþþ12þ w2 ¿ DmL UL 2
Bilden wir den Grenzwert DmL “ 0, so wird aus der Summe ein Integral und wir erhalten:
rot
(kin
= þþþþ12 w2 U‹ 2 Ç P .
[10]
Mit U‹ ist immer der kürzeste Abstand des Massenelements zur Drehachse gemeint (vgl. Abbildung 4).
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$EELOGXQJ
Für das Integral in Gleichung [6] führt man den Begriff des Massenträgheitsmoments J ein:
-=
U‹ 2 Ç P =
.
U‹ 2 r Ç 9 = r
U‹ 2 Ç [ Ç \ Ç [11]
Das Massenträgheitsmoment ist ganz offensichtlich von der Wahl der Drehachse abhängig (für eine
¸
andere Drehachse ändern sich die Abstände U nach Abbildung 4 und damit das Integral nach
Gleichung [9]).
L
Man spricht daher vom Trägheitsmoment bezüglich einer Drehachse.
Die Gleichung [6] lässt sich nun wie folgt schreiben:
rot
(kin
= þþþþ12 - w2 .
[12]
Diese Formulierung erinnert nun wieder an die Analogie mit der kinetischen Energie der Translation.
é (QHUJLHVDW]
Mit diesem Ergebnis müssen wir den Energiesatz der Mechanik erweitern, da in einem mechanischen
System kinetische Energie der Translation und der Rotation vorhanden sein kann:
(QHUJLHVDW]GHU0HFKDQLN
rot
trans
DW = D(kin
+ DEkin
+ (pot .
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Die Zufuhr von Arbeit kann in einem mechanischen System die Vergrößerung sowohl der potentiellen
Energie als auch der kinetischen Energien von Translation und Rotation bewirken.
Analog erweitern wir den Energieerhaltungssatz der Mechanik für abgeschlossene Systeme:
(QHUJLHHUKDOWXQJVVDW]GHU0HFKDQLN
rot
trans
D(pot + D(kin
+ DEkin
=0
oder
trans
rot
(pot + (kin
+ (kin
= const.
é $QZHQGXQJGHV(QHUJLHVDW]HV
Schauen wir uns experimentelle Konsequenzen dieses Sachverhalts an:
Wettrennen auf der schiefen Ebene.
Unterschiedliche Rotationskörper gleicher Masse und gleichen Aussenradius errechen beim Abrollen
über die gleiche schiefe Ebene unterschiedliche Endgeschwindigkeiten!
%HLVSLHOIUGLH$QZHQGXQJGHVHUZHLWHUWHQ(QHUJLHVDW]HV
Ein rotationssymmetrischer Körper der Masse m rolle (ohne zu gleiten) über seinen Umfang eine schiefe
Ebene hinab.
Bevor er losgelassen wird besitzt er die potentielle Energie
(pot = P J K.
Kommt der Körper am Ende der schiefen Ebene an, besitzt er sowohl kinetische Energie der Translation
als auch kinetische Energie der Rotation.
Der Energieerhaltungssatz liefert:
m g h = þþþþ12 P Y2 + þþþþ12 -6 w2 .
[13]
Da sich die Winkelgeschwindigkeit aus der Umfangsgeschwindigkeit nach der Beziehung
v=wr
ergibt, kann man dies in Gleichung [11] einsetzen und nach v auflösen:
v=
2JK
þþþþþþþþ
þþþþþþþþ .
1+ þþþþ-þþþþþþ
[14]
P U2
Die Geschwindigkeit eines die schiefe Ebene herabrollenden Gegenstandes ist demnach offensichtlich
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geringer als die eines herabgleitenden Gegenstandes
‚!!!!!!!!!!!!
( v = 2 J K , vgl. Mechanik 4 ! Roll- bzw. Gleitreibung werden vernachlässigt).
Berechnen wir die Geschwindigkeit konkret für eine herabrollende Kugel:
Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel der Masse m und dem Radius r beträgt (vgl. nächster
Abschnitt):
J = þþþþ25þ P U 2 .
Nun lassen sich Translations- und Rotationsgeschwindigkeit der Kugel am Ende der schiefen Ebene aus
Gleichung [11] oder [12] berechnen:
Y
m g h = þþþþ12 P Y2 + þþþþ12 þþþþ52 P U2 þþþþ
þ
U2
ï
7
þþ P Y2 .
m g h = þþþþ12 P Y2 + þþþþ15 P Y2 = þþþþ
10
2
[15]
Daraus folgt:
10
þþþþ
þþþ J K# (bzw. w = þþþþYU þ ).
v = "###############
7
‚!!!!!!!!!!!!
Die Translationsgeschwindigkeit ist geringer als im Gleitfall ( v = 2 J K , vgl. Mechanik 4 !), da ein Teil
der potentiellen Energie in kinetische Energie der Rotation umgewandelt wird!
Å 0DVVHQWUlJKHLWVPRPHQW
Gehen wir noch einmal kurz auf den Begriff des Trägheitsmoments ein, der bei der Rotation eine
zentrale Rolle spielt.
Unsere bisher allgemeinste Definition des Trägheitsmoments war:
- = r
U‹ 2 Ç [ Ç \ Ç ] .
[16]
Dabei war zu berücksichtigen, dass U‹ gemäß Abbildung 4 der kürzeste Abstand zwischen
Massenelement und Drehachse ist.
In der Definiton [14] ist implizit die Lage der Drehachse verborgen oder umgekehrt:
Bei der Berechnung des Trägheitsmoments nach dieser Vorschrift muss die Lage der Drehachse explizit
mit angegeben werden!
Im allgemeinen Fall möchte man dies vermeiden und definiert daher das Trägheitsmoment als eine 3x3
Matrix, einen Tensor.
Aus Zeitgründen können wir hier auf Einzelheiten nicht eingehen.
Skizzieren wir daher hier nur einige wichtige Ideen:
Eine wichtige Rolle spielt hier die Schwerpunktskoordinate, die wir bereits wie folgt definiert hatten:
1
5 V = þþþþ
þþ
0
r
5 Ç P = þþþþ
þþ
0
5Ç[Ç \Ç] .
[17]
Mechanik 5.nb
»¸
»¸
Zerlegen wir den Ortsvektor 5 nach Abbildung 3 in eine Schwerpunktskomponente 5 und eine
¸
Komponente U relativ zum Schwerpunkt, so lässt sich das Trägheitsmoment um die Achse A schreiben
als:
V
$EELOGXQJ
Zu Abbildung 5: A sei der Durchstosspunkt der Drehachse durch die Zeichenebene, S der Schwerpunkt
des Körpers.
-$ =
5 ÇP =
5V + U
2
‹
ÇP
=
5
V
ÇP + 2
5V¼ U
‹
ÇP +
U
‹
U
‹
2
= 5V M + 0 +
2
= 5V M +
ÇP
[18]
2
= 5V
ÇP + 2 5V ¼
2
ÇP +
U
U
‹
‹
2
2
U
ÇP
ÇP
‹
2
ÇP
Mechanik 5.nb
Der mittlere Term ist gleich Null, da nach Abbildung 5 und Gleichung [15] gilt:
» ¸ »»»»¸
¸
¾ U Ç P = ¾ I5 - 5 M Ç P
»¸
»»»»¸
= ¾ 5 ÇP - ¾ 5 ÇP
»»»»¸
»»»»¸
= 0 5 - 5 0 = 0
V
V
V
V
Wir können das Ergebnis der Gleichung [16] wie folgt interpretieren:
-D = 0 5
2
V
+ -V
[19]
Man bezeichnet das Ergebnis als
6DW]YRQ6WHLQHU
Das Trägheitsmoment eines Körpers um eine Achse A
ist gleich dem Trägheitsmoment -V
um eine zu A parallele Achse durch den Schwerpunkt
zuzüglich dem Trägheitsmoment einer Punktmasse der Masse M
im Schwerpunkt, die um die Achse A rotiert.
é $QZHQGXQJGHV6WHLQHUVFKHQ6DW]HV]XU%HUHFKQXQJGHV7UlJKHLWVPRPHQWVHLQHU
XQV\PPHWULVFKHQ+DQWHO+DPPHUZHUIHU
+DPPHU
M
rk
L
A
Drehachse
M: Masse der Kugel
UN : Radius der Kugel
L: Abstand Schwerpunkt der Kugel vom Drehpunkt A
Die Masse des Verbindungsseils zwischen Drehpunkt und
Schwerpunkt der Kugel sei vernachlässigbar.
Nach dem Satz von Steiner gilt:
-+ = 5V2 0 + -6
= /2 0 + þþþþ25 0 UN 2
= 0 /2 + þþþþ25 UN 2
[20]
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Das Trägheitsmoment der unsymmetrischen Hantel lässt sich also einfach aus dem Trägheitsmoment
einer Kugel ableiten!
é +DXSWWUlJKHLWVDFKVHQ
Jeder beliebige Körper besitzt zwei zueinander senkrechte Achsen durch den Schwerpunkt, wobei die
eine zum größten und die andere zum kleinsten Trägheitsmoment gehört.
Zusammen mit einer dritten Achse, die zu den beiden genannten senkrecht steht, bilden diese die
Hauptträgheitsachsen des Körpers.
Mittels der Tensorrechnung kann durch Angabe der Trägheitsmomente um die Hauptträgheitsachsen
das Trägheitsmoment um eine beliebige Achse ermittelt werden.
Beispiele:
1.: Quader
$EELOGXQJ
Die Seiten des Quaders seien a (1), b(3) und c(2).
Die Hauptträgheitsachsen verlaufen jeweils parallel zu den Seiten durch den Schwerpunkt.
Die Trägheitsmomente sind:
Achse ã a:
1
-D = þþþþ
þþþ 0HE2 + F2 L
12
Achse ã b:
1
-E = þþþþ
þþþ 0HD2 + F2 L
12
Achse ã c:
1
-F = þþþþ
þþþ 0HD2 + E2 L
12
Betrachten wir einen normalen Ziegelstein mit den Abmessungen
Höhe a
= 7cm
Breite b
= 11cm
Länge c
= 24cm
und der Masse M = 3 kg.
Die Trägheitsmomente sind:
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-D = 174.25 [kg cm2 ]
-E = 156.25 [kg cm2 ]
-F = 42.50 [kg cm2 ]
Betrachten wir die Rotationsenergie (rot = þþ12þþ - w2 als Funktion der Winkelgeschwindigkeit für die Drehung
um die verschiedenen Trägheitsachsen:
3ORWA9 þþþþ w þþþþ w þþþþ w = 8w <
$[HV/DEHO “ 8w (URW < 3ORW6W\OH “ 8*UHHQ %OXH 5HG<E
Erot
80
60
40
20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w
Die Rotation des Quaders um ide Trägheitsachsen mit minimalem und maximalem Trägheitsmoment
(Achse a und c) ist stabil, während die Rotation um die Achse b labil ist und (bei der hier vorliegenden
Geometrie) in eine Rotation um die Achse a mit maximalem Trägheistmoment übergeht. Dies hängt
damit zusammen, dass die Rotationsenergie als zweidimensionale Funktion der Winkelgeschwindigkeit
und des Massenträgheitsmoments bezüglich der beiden o.g. Achsen lokale Minima aufweist.
.HJHO
Mechanik 5.nb
$EELOGXQJ
Die Abbildung 7 zeigt die Hauptträgheitsachsen eines Kegels.
é %HUHFKQXQJYRQ7UlJKHLWVPRPHQWHQ
+RKO]\OLQGHU'UHKXQJXPGLH=\OLQGHUDFKVH
$EELOGXQJ
Die Stärke der Hohlzylinderwand Dr sei sehr klein gegenüber dem Radius R.
Dann kann der Faktor U 2 vor das Integral gezogen und durch 52 ersetzt werden:
-+ =
U2 Ç P = 52 Ç P = 0 52
9ROO]\OLQGHU'UHKXQJXPGLH=\OLQGHUDFKVH
[21]
Mechanik 5.nb
$EELOGXQJ
Wir zerlegen den Vollzylinder in beliebig kleine Hohlzylinder mit den Volumina
dV = 2 p U O dr :
-9 =
U2 Ç P = r U2 Ç 9 = r U2 2 p U O Ç U
= 2 p r O U3 Ç U
[22]
5
þþ
= 2 p r O þþþþ
4
4
Das Volumen des Vollzylinders ist
9Y = 2 p 52 O ,
seine Masse
M = r 9Y
so dass aus Gleichung [20] unmittelbar folgt:
-9 = þþþþ12 0 52
[23]
Es folgen nun tabellarisch einige wichtige Massenträgheitsmomente:
.|USHU
Massenpunkt
'UHKDFKVH
Abstand r
Hohlzylinder,
Längsachse
Wanddicke `r dazu senkr. Mitte
Radius r, Länge l
0DVVHQWUlJKHLWVPRPHQW
m U2
m U2
Pþþ I2 U 2 + þþþþþ
O2 M
þþþþ
4
3
Mechanik 5.nb
Vollzylinder
Radius r, Länge l
Längsachse
dazu senkr. Mitte
P Uþþþþ
þþþþþþþþ
2
P Uþ2þþþ + þþþþ
PþþþþO2þþ
þþþþþþþþ
4
12
Kugel (Radius r)
Schwerpunkt
2P
þþþþþþþþ
þþþþ
5
Dünner Stab, Länge l senkr. Stab, Mitte
Quader (Vol.=x y z)
2
2
PþþþþO þþ
þþþþ
12
2
P H\ 2 ] 2 L
x-Richtung, Schwerp. þþþþþþþþþþþþþþþþ
þþþþþþ
12
+
Å =XVDPPHQIDVVXQJ
é *HJHQEHUVWHOOXQJGHUZLFKWLJVWHQ%H]LHKXQJHQGHU7UDQVODWLRQXQG5RWDWLRQ
7UDQVODWLRQ
5RWDWLRQ
»¸
Kraft ) in [N] (Newton)
Masse m in [kg]
Drehmoment
Trägheitsmoment
gleichmässig
»¸
»¸
beschleunigte ) = P D
Bewegung
» ¸ »¸
Arbeit in [J]
W = ¾ ) ÇV
»¸
» ¸ »¸
bei ) =const.: W = ) ¼ V
»»»¸
0 = - »a̧
»»»¸
W = ¾ 0 Ç »j̧
bei M = cont.: W = M j
Spannarbeit
W = þþþþ12þ ' V2
W = þþþþ12þ ' j
Leistung:
»¸ »
3tr = ) ¼ Y̧
»»»¸
3rot = 0 ¼ »w̧
(NHtransL = þþþþ12þ mv2
(NHrotL = þþ12þþ - w2
kinetische
Energie
»»»¸
0 in [Nm]
J in [kg P2 ]
*
é 7UlJKHLWVPRPHQW
Trägheitsmoment bezüglich
einer Achse A
-$ = ¾ U‹2 Ç P (U‹ : senkrechter Abstand des
(U‹ : senkrechter Abstand des Massenelements
dm von der Achse)
Steinerscher Satz
-$ = -6 + 0 562
-6 : Trägheitsmoment bezüglich
Schwerpunktsachse S
56 : Abstand der Achsen A und S
é 5ROOEHZHJXQJ
kinetische Energie
(N = (NHtransL + (NHrotL
= þþþþ12þ mv2 + þþþþ12þ -0 w2
= þþþþ12þ -$ w2
M: Schwerpunktsachse
A: momentane Drehachse