die kinetische energie senkrecht

8) Magnetischer Einschluss von Plasmen
Mit externen elektrischen Feldern gibt es aufgrund der Abschirmung im Plasma kaum Kontrollmöglichkeiten. Dies wird jedoch mit Magnetfeldern ermöglicht, da das Magnetfeld geladene Teilchen
an sich bindet. Dies bezeichnet man als Plasmaeinschluss. Dies ist vor allem in der Magnetfusion
(Tokamak, Stellarator) von fundamentalem Interesse.
Beispiel in der Natur: Führung von hochenergetischen Teilchen der kosmischen Strahlung im
Erdmagnetfeld zu den Polen Æ Entstehung der Polarlichter.
Zunächst betrachten wir die Bewegung von Einzelteilchen im Magnetfeld. Berücksichtigen wir
kollektive Effekte, dann müssen diese durch die Magnetohydrodynamik (MHD) beschrieben werden.
Lorentzkraft:
r& r
r r
m ⋅ v = FL = q ⋅ v × B
r
r
r
FL ⊥ B ist m ⋅ v&|| = 0 ,
Wegen
d.h. das Magnetfeld hat keinen Einfluss auf die Bewegung parallel
zum Magnetfeld. Außerdem ändert sich nur die Richtung von der Geschwindigkeit senkrecht zum
Magnetfeld, die kinetische Energie des Teilchens ändert sich dabei nicht (Kreisbahn).
v⊥2
m ⋅ = mω c2 r = q ⋅ v⊥ ⋅ B = qω c r ⋅ B
r
O. Kester
Æ
ωc =
q
B
m
Zyklotronfrequenz
71
ω ce [Hz ] = 1.76 ⋅1011 ⋅ B[T ] , ω ci =
Radius auf Orbit:
r=
me
ω ce ,
mi
m ⋅ v⊥
q⋅B
• Gyrationsbewegung der Elektronen Æ Plasmadiagnostik
• Einstrahlen einer elektromagnetischen Welle mit ω = ωce Æ Plasma heizen
Mit
1
2
m ⋅ v⊥2 = kT
(2 Freiheitsgrade senkrecht zu B) folgt der Lamorradius rL zu
rL =
T [eV ]
m ⋅ v⊥
2mkT
[m]
=
= 3.4 ⋅10−6 ⋅ e
q⋅B
qB
B[T ]
Beispiel: Te = 1 eV, B = 1 T → rL = 3.4 µm
O. Kester
72
Was ist jedoch, wenn
r& r
r r
m⋅v = F + q⋅v × B
mit einer zusätzlichen Kraft F
> keine geschlossenen Kreisbahnen mehr
Für räumlich und zeitlich konstantes B und F
Æ guiding center-Ansatz
Bewegung des Führungszentrums
r r
r r r
r m⋅v v × B
m r r
rc = r + rg , rg =
v×B
⋅
=
2
q⋅B v⋅B q⋅B
Die Geschwindigkeit des Führungszentrums ist
r
r r& r& r& r
r r r
m r& r r
1
vc = rc = r + rg = v +
⋅v × B = v +
( F + q ⋅ v × B) × B
2
2
q⋅B
q⋅B
mit
r r r r r r
r
r
( v × B ) × B = (v ⋅ B ) B − B 2 v = − B 2 v⊥
O. Kester
folgt für die Geschwindigkeit des Führungszentrums
73
r r
r r F ×B
vc = v|| +
q ⋅ B2
mit
r
r&
mv|| = F||
Der zweite Term ist die Driftgeschwindigkeit, die nicht beschleunigt und senkrecht zu B und F| steht.
Beispiele:
Æ
1.)
elektrisches Feld
r
r
F = q⋅E
Æ
E x B –Drift
v r
r
E×B
vD =
B2
Die Driftgeschwindigkeit
ist ladungsunabhängig!
O. Kester
74
2.)
r r
r
∇ B-Drift, wenn B = f ( x, t )
Æ Krümmungsdrift
r r
∇⋅ B = 0
Aufgrund von
bedingt ein Gradient in
B eine Krümmung der Feldlinien. Dies bewirkt die
r
r
v|| r
F = m ⋅ ⋅ rˆc
Zentrifugalkraft
Rc .
r 2 r r
⋅
m
v
r
rˆc × B
||
⋅
vD =
Rc
q ⋅ B2
r
rˆ
rˆ
rc dT
∇B
=
=−
Nun gilt: R
ds
B
c
Die Zentrifugalkraft zeigt in
Richtung
r
− ∇B und damit
r 2
r
r
⋅
m
v
r
||
vD = −
⋅ ∇B × B
3
q⋅B
Beispiel: toroidales Magnetfeld
O. Kester
75
Adiabatische Invarianz des magnetischen Moments
Ein geladenes Teilchen bildet einen Kreisstrom im Magnetfeld
I =q
v
2π ⋅ r
=q
ω
2π
magnetisches Dipolmoment:
2
r
r
r
q
2
2 r
1
µ m = I ⋅ ∫ dF ⋅ n F = I ⋅ F ⋅ n F = 2 qω c ⋅ rL ⋅ n F =
B ⋅ rL ⋅ n F
m
2
F
r
mit dem Lamorradius
v m
rL = ⊥
B⋅q
2
erhält man
⎛ v⊥ m ⎞
q2
m ⋅ v ⊥2 W⊥
µm =
=
B ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ =
B
2m ⎝ B ⋅ q ⎠
2B
Wie ändert sich nun das magnetische Moment bei einer langsamen Drift des Führungszentrums?
Mit der Gyrationsperiode
Andererseits ist
O. Kester
dW⊥ ∆W⊥ π ⋅ q ⋅ rL dB
dB
≈
=
⋅
= µm
τc
ω c gilt dt
τc
dt
dt
dW⊥ d
dµ
dB
= (µm B) = B m + µm
dt
dt
dt
dt
τC =
2π
76
daher gilt:
dµ m
= 0 , µ m = const .
dt
Das magnetische Moment bleibt bei einer langsamen Driftbewegung (langsam ggü. der Gyrationsbewegung) erhalten.
Æ
Beispiel:
adiabatische Invariante
magnetischer Spiegel
Läuft ein Teilchen in ein Gebiet höherer Feldstärke
so nimmt wegen der Konstanz des magnetischen
Moments auch die kinetische Energie der
Gyrationsbewegung zu.
Da die Gesamtenergie der Teilchen erhalten bleiben
muß, nimmt die kinetische Energie in Richtung der
Magnetfeldlinien ab. Um v|| komplett abzubauen muß
gelten:
µ m ( Bmax − B1 ) = ∆W⊥ = W2 ⊥ − W1⊥ > W||,1
Dabei startet das Teilchen an Position 1. Position 2 bezeichnet das Magnetfeldmaximum Bmax.
O. Kester
77
B2 W2 ⊥
∆W⊥
=
= 1+
B1 W1⊥
W1⊥
⇒
B2
∆W⊥
−1 =
≥
B1
W1⊥ W1⊥
W||,1
2
⎛ v1|| ⎞
⎟⎟ = (cot α )2
= ⎜⎜
⎝ v1⊥ ⎠
Man bezeichnet B2/B1 als das Spiegelverhältnis.
α
v 1⊥
v 1 ||
Der Verlustkegel ergibt sich aus
α = arcsin(
Bmin
)
Bmax
Die obige Gleichung zeigt, dass ein magnetischer Spiegel nicht perfekt reflektiert. Vor allem Teilchen
mit keiner Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Magnetfeld gehen verloren (da deren Winkel
bezüglich der Achse kleiner als α ist.
O. Kester
78
Magnetischer Einschluss findet sich im Ionenquellenbereich wie folgt wieder:
•
•
•
•
Elektron Zyklotron Resonanz Ionenquelle (EZR) (resonantes Heizen von Plasmen mit HF)
Einschuss von Ionen in eine Elektronenstrahl-Ionenquelle (EBIS)
Multicusp-Ionenquellen
Bewegung von Ionen in einer EBIS und einer Penningfalle
O. Kester
79