Photonenmasse kein Widerspruch mehr mit der SRT

Photonenmasse kein Widerspruch mehr mit der SRT
Till Meyenburg
Die absolute Theorie
Vorgebirgsstraße 332
50969 Köln
[email protected]
07.06.2013
Zusammenfassung
Einstein hat die Frage nach der Masse von Photonen bewusst offen gelassen. Er wusste,
dass in der Masse-Ruhemasse Beziehung ein Term von 00 herauskommt. Dieser Artikel zeigt,
wie man diesen Term mit dem Satz von L’Hospital dennoch lösen kann. Heraus kommt, dass eine
positive reelle Photonenmasse keinen Widerspruch mehr mit der speziellen Relativitätstheorie
bedeutet.
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Hintergrund und Einsteins Gleichungen
3
3 Der
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Nachweis
Satz von L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . .
Quadrat der Masse und Abhängigkeit m von v
Der Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alternativweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Allgemeine Folgerung
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
5
6
6
6
2
1
Einleitung
Die Frage nach der Masse des Photons ist interessant und umstritten. Fragt man drei Physiker,
bekommt man sechs verschiedene Antworten. Die Quantenmechaniker berufen sich darauf, dass
das Photon ein masselosen Teilchen ist. So sah es auch Heisenberg. Andere sprechen davon, das
Photon hätte eine dynamische oder auch relativistische Masse aus der Äquivalenz von Masse
und Energie1 nach Einsteins berühmter Gleichung E=mc2 . Häufig werden auch Masse und Ruhemasse durcheinander gebracht2 .
Einstein selber hat diese Frage offen gelassen, wusste er doch, dass in der Masse-Ruhemasse
Beziehung seiner speziellen Relativitätstheorie ein Term von 00 heraus kommt. Weil die Division
durch null nicht definiert ist, hat er diese Frage bewusst offen gelassen. Ein unbekannter Kommentator auf meinem Wiki und auch mein alter Schulfreund Marius Schaper brachten mich
auf die richtige Spur. Sie empfahlen die Anwendung des Satzes von L’Hospital. Nach einem
Jahr Arbeit habe ich es endlich geschafft, diesen Satz erfolgreich anzuwenden. Das Ergebnis
ist, dass eine positive reelle Photonenmasse keinen Widerspruch mehr darstellt zur speziellen
Relativitätstheorie.
2
Hintergrund und Einsteins Gleichungen
Einstein führte in der speziellen
q Relativitätstheorie insbesondere die relativistische Wurzel ein.
2
Die relativistische Wurzel ist 1 − vc2 . So brach er Newtons Gleichungen für die Unendlichkeit
auf c herunter. Dieser Artikel beschäftigt sich namentlich mit der Masse-Ruhemasse Beziehung.
Die Masse-Ruhemasse Beziehung ist gegeben durch3
m= q
m0
1−
v2
c2
Man sieht: Auch hier ist die relativistische Wurzel Bestandteil der Gleichung. Zu beachten ist
auch, dass die Ruhemasse ein theoretischer Begriff nach Einstein ist. Es ist die Masse, die ein
Teilchen annimmt, wenn es in völliger Ruhe ist. Da nach Einstein nichts in vollkommener Ruhe
vorkommt, ist der Begriff theoretisch. Die Masse, wie wir sie kennen, ist durch den Buchstaben
m gegeben und nicht durch m0 .
Für den Limes v gegen c wird die Gleichung interessant:
m0
lim q
1−
v→c
q
v2
c2
2
2
Die relativistische Wurzel 1 − vc2 tendiert gegen 0, weil ihr Inhalt 1 − cc2 wird. Dieser Term
ist dann natürlich 0. Die Wurzel aus 0 ist nach unser guten, alten Mathematik auch 0. Hier
beendete Einstein und ließ die Frage nach der Photonenmasse offen, da hier durch null geteilt
wird. Was er noch feststellte war, dass auf jeden Fall die Ruhemasse eines Teilchens, welches
sich mit Lichtgeschwidigkeit c bewegt, 0 sein muss. Dies ergibt sich aus der Umformung der
Gleicung nach m0 . Die Ruhemasse ist die Masse multipliziert mit der relativistischen Wurzel.
1 vgl. englische Wikipedia Stand 07/2013, http://en.wikipedia.org/wiki/Mass%E2%80%93energy_equivalence#
Relativistic_Mass
2 vgl. deutsche Wikipedia Stand 07/2013, https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz_von_Masse_und_
Energie
3 Mende / Simon 1994, Physik - Gleichungen und Tabellen, 11. Auflage, ISBN 3-343-00872-9, S. 325, Masse eines
bewegten Körpers
3
Da die Masse eines Photons kaum unendlich sein kann, ergibt sich für die Ruhemasse 0, da
sowohl bei einer Mase größer 0, als auch bei einer Masse 0, der Term 0 ergibt.
r
m0 = m
1−
v2
c2
lim m0 = 0m = 0
v→c
Weitere wichtige Gleichungen für unseren Nachweis sind die Energie-Impuls Beziehung nach
Einstein4
E 2 = E02 + c2 p2
und die Äquvialenz von Masse und Energie5
E = mc2
Wir werden mit der zweiten Gleichung den Beweisweg zeigen und mit der ersten den Weg
skizzieren und so die Einheit des Gleichungssystem Einsteins und der Photonenmasse in diesem
System aufs Feinste belegen.
3
Der Nachweis
In diesem Hauptteil werden wir nachweisen, dass eine positive Photonenmasse kein Widerspruch
mit der speziellen Relativitätstheorie darstellt. Vielleicht bin ich etwas zu konservativ, dass ich
diese Lücke in der speziellen Relativitätstheorie sehe, während die Wikipedia schon gerne von
der relativistischen Masse eines Photons spricht. Das Photon bewegt sich definitv mit der
Lichtgeschwindigkeit c und ist in dem Sinne auch ein Quantenteilchen.
3.1
Satz von L’Hospital
f (x)
gegen 00 tendiert, dass der Grenzwert
g(x)
0
(x)
Ableitung fg0 (x)
gegeben ist. Ist auch dieser nicht
Der Satz von L’Hospital besagt, dass wenn ein Term
dann gegeben ist, wenn der Grenzwert der
gegeben, kann man den Satz von L’Hospital rekursiv anwenden. Das heißt, dass der Grenzwert
(x)
dann gegeben ist, wenn der Grenzwert der jeweils zweiten Ableitung gegeben
dann von fg(x)
ist, also
3.2
f 00 (x)
g 00 (x)
und so weiter6 .
Quadrat der Masse und Abhängigkeit m von v
Lange habe ich damit verbracht, den Satz von L’Hospital direkt auf die Masse-Ruhemasse
Beziehung anzuwenden, allerdings blieb das ohne Erfolg. Bis die zündende Idee kam, den Satz
auf das Quadrat der Masse anzuwenden. Natürlich muss man dazu eine Funktion haben. Ich
habe hier letztlich eine Funktion m(v). Dazu gehört jetzt aber wirklich nur ein bisschen neue
Physik. Bisher wurde davon ausgegangen, dass beim Beschleunigen die Ruhemasse konstant
4 Mende
/ Simon 1994, Physik - Gleichungen und Tabellen, 11. Auflage, ISBN 3-343-00872-9, S. 326, Zusammenhang zwischen Energie und Impuls eines Teilchen
5 Mende / Simon 1994, Physik - Gleichungen und Tabellen, 11. Auflage, ISBN 3-343-00872-9, S. 326, Energie eines
bewegten Körpers
6 Vgl. deutsche Wikipedia Stand 07/2013, http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital
4
Teilchen
Photon
Elektron
Proton
Durchschnittlicher Mensch
Geschwindigkeit
c
minimal kleiner c
schon wesentlich kleiner c
sehr klein im Vegleich zu c
Masse
größer 0?
größer 0 und größer Photonenmasse
größer Elektronenmasse
80kg
Tabelle 1: Abhängigkeit m von v
blieb. Das trieb dann so Blüten, wie dass man unendliche Energie braucht, um ein Teilchen
auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen. Auch am Cern werden Protonen im Beschleunigerring
auf nahezu Lichtgeschwindigkeit gebracht, bevor man sie kollidieren lässt. Meine Hypothese
ist, dass das, was da sich dann mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt, nicht mehr viel mit
Protonen zu tun hat, sondern eher ein Bindungsteilchen verlorener Protonenfilm ist. Tabelle 1
soll meine Ansicht erläutern.
3.3
Der Nachweis
Mit diesen beiden Ideen wird das Problem ganz leicht. Wie erwähnt quadrieren wird die MasseRuhemasse Beziehung zu folgender Gleichung:
m2 (v) =
m20
1−
v2
c2
Man sieht die Wurzel im Nenner fällt weg, die sonst immer null oder in den Ableitungen
auch unendlich war. Auf die Ruhemasse müssen wir jetzt noch etwas Physik anwenden, um an
die Ableitungen zu kommen. Am Einfachsten setzt man die Masse-Ruhemasse Beziehung erst
selbst ein. Dann erhält man:
2
m2 (1 − vc2 )
m2 (v) =
2
1 − vc2
Man kann jetzt, da uns das m im Zähler nichts bringt, weil es um die Frage ja gerade geht,
es durch die Äquivalenz von Masse und Energie ersetzen:
m2 (v) =
E2
(1
c4
−
1−
v2
)
c2
v2
c2
Wir gehen jetzt davon aus, dass E = mc2 ist und damit nicht von v abhängt. Hier könnte
sich physikalisch eine kleine Lücke ergeben, die aber für die Mathematik irrelevant ist. Letztlich
müsste man dann bei der zweiten Ableitung noch mit einem Term v 2 im Nenner rechnen, der
aber auch negativ wird, so dass er das Gesamtergebnis nicht beeinträchtigt. Mathematisch
kommt in E = mc2 kein v vor, so dass wir es ignorieren können.
Wir machen uns damit zunutze, dass das Photon ja sicher eine Energie hat nach E = hf , das
hat noch nie jemand bezweifelt.
So jetzt leiten wir zweimal ab, also berechen die zweite Ableitung vom oberen und vom
unteren Term. Zur Klarstellung nach L’Hospital ist dann
f (v) =
E2
v2
(1 − 2 )
4
c
c
und
5
g(v) = 1 −
v2
c2
Der Nenner ist ganz einfach, tendiert er in der ersten Ableitung noch nach 0, wird er in der
zweiten Ableitung negativ.
−2
g 00 (v) = 2
c
Der Zähler ist was schwieriger und erfordert physikalische Einsicht:
f 00 (v) =
−2E 2
c6
Man sieht das der Nenner unseres Ausgangsterm sicher gegen eine negative, von Null verschiedene reelle Zahl tendiert. Auch der Zähler des Ausgansterm tendiert, nachdem er in der
ersten Ableitung noch gegen 0 tendiert, in der zweiten Ableitung gegen eine negative, von Null
verschiedene reelle Zahl, da die Energie eines Photons bestimmt größer 0 ist.
Man kann das so zusammenfassen:
f 00 (v) < 0
g 00 (v) < 0
Damit ist der Grenzwert unserer Ursprungsgleichung, der quadrierten Masse-Ruhemasse
Beziehung gegeben durch eine positive, von Null verschiedene reelle Zahl, da ja eine negative
Zahl geteilt durch eine negative Zahl eine positive Zahl ergibt.
m(c)2 > 0
3.4
Folgerung
Da das Quadrat der Masse bei Lichtgeschwindigkeit positiv ist, muss die Wurzel also die Masse
entweder negativ oder positiv sein, aber auf jeden Fall von 0 verschieden. Da negative Massen
bisher in der Physik keinen Sinn machen, bleibt festzuhalten, dass die Photonenmasse positiv
reell ist, wie es sich auch aus E = mc2 = hf ergibt und dass das keinen Widerspruch mehr
innerhalb der speziellen Relativitätstheorie ergibt.
q.e.d
3.5
Alternativweg
Es gibt noch einen alternativen Weg, mit dem ich es zuerst nachwies. Hier wird die Ruhemasse
anhand der Energie-Impuls Gleichung durch Energie und Impuls ersetzt. Da ja auch der Impuls
eines Photons zweifelsfrei gegeben ist, tendiert auch hier der Zähler f (v) gegen eine negative
Zahl. Kann ja jeder, wem es beliebt, dann nochmal nachrechnen.
4
Allgemeine Folgerung
Wie Einstein es auch war, bin ich ein großer Fan des Massenerhaltungssatzes. Die Frage, ob das
Photon Masse hat oder nicht, war hier immer ein Stein im Weg. So gibt es im Deutschen den
sogenannten Massendefekt, dass bei Kernfusion und -spaltung Masse in sogenannte Energie
umgewandelt wird. Da bei diesen Prozessen Gammastrahlung entsteht, was nichts anderes als
6
Photonen sind, bleibt festzuhalten, dass diese Energie auch Masse besitzt. Das kann jetzt nicht
mehr als Gegenargument gegen den Massenerhaltungssatz genommen werden, genauso wenig
wie die Paarvernichtung und -entstehung bei Positron und Elektron aus gleichen Gründen.
Letztlich sind Photonen Quanten des Lichts, also auch Quantenteilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Insoweit stellt dieser Nachweis auch einen Beitrag zu dem Millenium
Problem Yang-Mills-Theorie7 dar, bei dem bewiesen werden soll, dass Quantenteilchen, die sich
mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, Masse haben.
7 auf
Englisch: http://www.claymath.org/millennium/Yang-Mills_Theory/
7