Allgemeines

Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Allgemeines
Scheinwiderstand = Wirkwiderstand + j · Blindwiderstand
Impedanz
Z
= Resistanz
=R
+ j · Reaktanz
+j·X
Scheinleitwert = Wirkleitwert + j · Blindleitwert
Admittanz
= Konduktanz + j · Suszeptanz
=G
Y
1
· U · I ∗ = P [W] + j · Q [var]
2
U
U − I · Z0
Y0 − Y
I
Z − Z0
=
=
r= r =− r =
Uh
Ih
Z + Z0
Y0 + Y
U + I · Z0
s
r
R′ + jωL′
L′
U
U
ZL = h = − r =
≈
′
′
Ih
Ir
G + jωC
C′
S [VA] =
Scheinleistung:
Reflexionsfaktor:
Leitungswellenwiderstand:
1+r
1−r
= −20 · lg |r|
Impedanz / Admittanz:
Z = Z0 ·
Reflexionsdämpfung:
rdB
Stehwellenverhältnis (Welligkeit):
Betrag des Reflexionsfaktors:
rdB
s
+j·B
−∞
1
-26,4dB
1,1
-20,8dB
1,2
1−r
1+r
U max |U h | + |U r |
1 + |r|
=
s = SW R = V SW R = =
U min
|U h | − |U r |
1 − |r|
s−1
|r| =
s+1
-17,7dB
1,3
-14,0dB
1,5
-9,5dB
2
-6,0dB
3
-3,5dB
5
-2,5dB
7
-1,7dB
10
r
Skin-Eindringtiefe:
elektrischer (Feld-) Strom:
elektrischer Diffusionsstrom:
Einstein-Beziehung:
Y = Y0 ·
r
2
1
δs =
=
ω·σ·µ
π·f ·σ·µ
~ =n·µ·q·E
~
~
J~ = κ · E
~vDrif t = µ · E
J~ = −q · D · grad(n)
D =µ·
k·T
q
Vakuumlichtgeschwindigkeit
elektrische Feldkonstante
magnetische Feldkonstante
Vakuumfeldwellenwiderstand
c0 = 2,99792458 · 108 m/s
ǫ0 = 8,854187871 pF/m
µ0 = 1,2566370614
µH/m
q
µ0
Z0 = ǫ0 ≈ 377 Ω
Elementarladung
Elektronenmasse
atomare Masseneinheit
Ångström (ungefähre Atomgröße)
e = 1,60217733 · 10−19 C
me = 9,1093897 · 10−31 kg = 0,51099906 MeV
u = 1,6605402 · 10−27 kg
1Å = 10−10 m
Boltzmann-Konstante
Avogadro-Konstante
Plancksche Konstante
k = 1,380658 · 10−23 J/K
NA = 6,0221367 · 1023 1/mol
h = 6,6260755 · 10−34 Js
1
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Frequenzbereiche
deutsche-sprachige
Bezeichnung
Abkürzung
Längstwellen
Langwellen
LW
Mittelwellen
MW
Kurzwellen
KW
Meterwellen
UKW
Dezimeterwellen
Zentimeterwellen
Millimeterwellen
englische-sprachige
Bezeichnung
Abkürzung
Very Low Frequencies
VLF
Low Frequencies
LF
Medium Frequencies
MF
High Frequencies
HF
Very High Frequencies
VHF
Ultra High Frequencies
UHF
Super High Frequencies
SHF
Extremly High Frequencies EHF
Frequenz
3...30 kHz
30...300 kHz
0,3...3 MHz
3...30 MHz
30...300 MHz
0,3...3 GHz
3...30 GHz
30...300 GHz
Wellenlänge
100...10 km
10...1 km
1...0,1 km
100...10 m
10...1 m
10...1 dm
10...1 cm
10...1 mm
Mikrowellen-Bänder
Bezeichnung
Frequenz in GHz
P
0,2...1
L
1...2
S
2...4
C
4...8
X
8...12
Ku
12...18
K
18...27
Ka
27...40
mm
40...300
sub-mm
> 300
Hohlleiter-Bänder
Hohlleiter-Name
WR-42
WR-28
WR-22
WR-19
WR-15
WR-12
WR-10
WR-08
WR-06
WR-05
WR-04
WR-03
Band
K
Ka
Q
U
V
E
W
F
D
G
Y
H (J)
Frequenz
18...26,5 GHz
26,5...40 GHz
33...50 GHz
40...60 GHz
50...75 GHz
60...90 GHz
75...110 GHz
90...140 GHz
110...170 GHz
140...220 GHz
170...260 GHz
220...325 GHz
Cutoff-Frequenz
14,08 GHz
21,07 GHz
26,34 GHz
31,41 GHz
39,86 GHz
48,35 GHz
59,05 GHz
73,84 GHz
90,84 GHz
115,75 GHz
137,52 GHz
173,28 GHz
Flansch
2,20cm quadr.
1,19cm quadr.
2,86cm rund
2,86cm rund
1,91cm rund
1,91cm rund
1,91cm rund
1,90cm rund
1,90cm rund
1,90cm rund
1,90cm rund
1,90cm rund
Innenabmessungen
10,7×4,3mm
7,11×3,56mm
5,7×2,8mm
4,8×2,4mm
3,8×1,9mm
3,1×1,5mm
2,54×1,27mm
2,32×1,02mm
1,7×0,83mm
1,3×0,648mm
-
2
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Lineare Netzwerke
a1 =
u 1 + Z 0 · i1
p
2 · Re(Z0 )
r2 = S 22 +
S 21
a1
b2
S 11
b1 =
rS
S 22
S 12
b1
u1 − Z0∗ · i1
p
2 · Re(Z0 )
Reziprozität
rL
(S)
a2
r1 = S 11 +
S 12 · S 21 · rL
1 − rL · S 22
Bild 1: Signalfluß-Diagramm (links) und 2-Tor (rechts)
allgemein
unilateral
S 12 · S 21 · rS
1 − rS · S 11
Folgerung für 2-Tore
—
(S) = (S)
S 12 = 0 und S 21 6= 0 (oder umgekehrt)
T
bzw.
S mn = S nm
S 12 = S 21
Alle passiven Netzwerke, deren Dielektrika und Permeabilitäten symmetrische
Tensoren besitzen, sind reziprok.
Symmetrie
reziprok und S nn = S mm
Verlustfreiheit
(S)
∗T
S 11 = S 22 , S 12 = S 21
· (S) = (E)
|S 11 | = |S 22 | , |S 12 | = |S 21 | ,
2
(Unitarität)
2
2
2
|S 11 | + |S 21 | = |S 22 | + |S 12 | = 1
absolute Stabilität von 2-Toren:
|r1 | ≤ 1 für alle passiven rL und |r2 | ≤ 1 für alle passiven rS
• Ein unilaterales 2-Tor ist absolut stabil genau dann, wenn |S 11 | < 1 und |S 22 | < 1.
• µ-Faktor (Stabilitätsfaktor der rL -Ebene): Ein 2-Tor ist absolut stabil genau dann, wenn
2
µ=
|S 22 −
1 − |S 11 |
>1
· ∆| + |S 21 · S 12 |
mit
S ∗11
∆ = S 11 · S 22 − S 12 · S 21
µ ist der minimale Abstand zwischen instabiler Region und Ursprung des Smith-Diagrammes.
• µ‘-Faktor (Stabilitätsfaktor der rS -Ebene): Ein 2-Tor ist absolut stabil genau dann, wenn
2
µ′ =
1 − |S 22 |
>1
|S 11 − S ∗22 · ∆| + |S 21 · S 12 |
mit
∆ = S 11 · S 22 − S 12 · S 21
µ‘ ist der minimale Abstand zwischen instabiler Region und Ursprung des Smith-Diagrammes.
• Stabilitätsfaktor K nach Rollet: Ein 2-Tor ist absolut stabil genau dann, wenn
2
K=
2
2
1 − |S 11 | − |S 22 | + |∆|
>1
2 · |S 12 · S 21 |
und
|∆| < 1
mit
∆ = S 11 · S 22 − S 12 · S 21
K > 1 bedeutet, der Stabilitätskreis schneidet Peripherie des Smith-Diagrammes nicht.
• Verlustlose Anpaßschaltungen ändern die Eigenschaft der absoluten Stabilität nicht.
• Stabilitätsfaktoren eignen sich sehr gut für Transistoren und einstufige Verstärker. Sie sagen nichts über
die innere Stabilität mehrstufiger Verstärker aus.
3
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
S-Parameter-Kalibrierung
1. SOLT = Short, Open, Load, Thru
oder
TOSM = Thru, Open, Short, Match
Eigenschaften aller Kalibrierstandards müssen bekannt sein
hauptsächlich für koaxiale Leitungstechnik
besonders genau bei Verwendung einer Sliding-Load“
”
2. TRL = Thru, Reflect, (Delay-) Line
oder
LRL = Line, Reflect, (Delay-) Line
Reflect“ ist Leerlauf oder Kurzschluß (muß nicht perfekt sein)
”
berücksichtigt kein Übersprechen von Tor 1 nach Tor 2
hauptsächlich für Mikrostreifen- oder Koplanar-Technik
für größere Frequenzbereiche sind mehrere Delay-Lines“ nötig
”
für sehr niedrige Frequenzen unbrauchbar
kalibriert auf Wellenwiderstand der Kalibrierleitungen (dispersiv!)
3. TRM = Thru, Reflect, Match
oder
LRM = Line, Reflect, Match
setzt idealen Match“ vorraus
”
wie TRL/LRL aber für niedrige Frequenzen gut geeignet
Um einen weiten Frequenzbereich abzudecken, wird meistens TRL und TRM gemeinsam verwendet.
Zeitbereichskalibrierung
1. Schritt: Koaxiale Kalibrierung
2. Schritt: Kalibrierung im Zeitbereich mit
Durchgangsleitung
zwei unterschiedlich langen Leitungen mit identischen, stark reflektierenden Elementen (|r| ≈ 1)
Coaxiale Stecker-Normen
Bezeichnung
SMA (Sub-Miniature-A)
reverse-SMA (RP-SMA)
K
V
W
N
UHF (PL-259)
BNC (Bayonet Nut Connector)
Belling-Lee (Antennenstecker)
F
I.PEX (U.FL, MHF)
GPO (SMP)
GPPO (SMPM, SSMP)
Typ
Schraube
Schraube
Schraube
Schraube
Schraube
Schraube
Schraube
Schraube
Bajonett
Stecken
Schraube
Stecken
Stecken
Stecken
Imped.
50Ω
50Ω
50Ω
50Ω
50Ω
50Ω
50Ω
50Ω
50/75Ω
undef.
75Ω
max f
18GHz
18GHz
40GHz
50GHz
67GHz
110GHz
11GHz
0,3GHz
1GHz
50Ω
50Ω
40GHz
65GHz
5GHz
3,5mm 100W sehr weit verbreitet
3,5mm 100W WLAN-Antennen
2,92mm
2,4mm
1,85mm
1,0mm
7mm 300W sehr robust, Funktechnik
500W KW-Funkgeräte
80W Funk, Video, Oszilloskop u.ä.
75Ω-Fernseh-/Radio-Apparate
Satellitenfernsehen
WLAN-Karten
4
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Rauschgrößen
folgende Notation am Beispiel einer Rauschspannung
Leistungsdichte-spektrum (LDS)
Schwankungsquadrat
Su (f )
u2 (t)
=
Z∞
Su (f ) · df
−∞
äquivalente Rauschspannungsdichte
eu (f ) =
Rauschleistung
1
·
P =
R
p
Su (f ) =
f 0+∆f
Z
uRM S (t)
√
∆f
Su (f ) · df =
u2∆f (t)
R
f0
Superposition korrelierter Rauschgrößer:
Su,ges = Su1 + Su2 + 2 · Re(Su1,u2 ) = Su1 + Su2 + 2 ·
with Kreuzspektrum Su1,u2 und Korrelationskoeffizient K.
p
Su1 · Su2 · Re(K)
Rauschursachen
Hochfrequenzrauschen:
thermisches Rauschen:
Su = 4 · k · T · R
bzw.
Diffusionsrauschen:
Su = 4 · k · Te · R
bzw.
Schrotrauschen:
Si = 2 · q · IDC
4·k·T
R
4 · k · Te
Si =
R
Si =
Niederfrequenzrauschen:
SN
SR
4·τ
4·τ
∆N 2
∆N 2
=
=
·
=
·
N2
R2
N 2 1 + ω2 · τ 2
N 2 1 + (f /fg )2
SR
SG
SU
SI
α
= 2 = 2 = 2 =
R2
G
U
I
N ·f
Generations-Rekombinations-Rauschen:
1/f-Rauschen:
Rauschende n-Tore
Korrelationsmatrizen:
(C)T = (C)∗
Wellen (S-Parameter):
(C)
mit
Strom (Y-Parameter):
(C Y )
mit
Spannung (Z-Parameter):
(C Z )
mit
cij = bnoise,i · b∗noise,j
cij = inoise,i · i∗noise,j
cij = unoise,i · u∗noise,j
Bosman-Theorem (gültig für passive, lineare Schaltungen):
(C)
(C Y )
=
=
(C Z )
=
kT · (E) − (S) · (S)∗T
4kT · Re [(Y )]
4kT · Re [(Z)]
5
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Rauschzahl
SN Rein
Naus
Naus
Nz,aus
Te
=
=
=
+ 1 = Fz + 1 =
+1
SN Raus
Nein · G
k · T0 · B · G
k · T0 · B · G
T0
2
Rn Rn
· (GS − Gopt )2 + (BS − Bopt )2 = Fmin +
· Y S − Y opt = Fmin +
GS
GS
2
ropt − rS
Rn
= Fmin + 4 ·
·
Z0 (1 − |r |2 ) · 1 + r 2
S
opt
F =
mit
F , Fz
G
SN Rein , SN Raus
Nein , Naus
Nz,aus
B
k
T0
-
Te
Z0
Y S = GS + j · BS
rS
-
Rauschzahl bzw. Zusatzrauschzahl (linear, nicht in dB)
Leistungsverstärkung
Signal-Rausch-Abstand am Ein- bzw. Ausgang
Rauschleistungsdichte am Ein- bzw. Ausgang
vom 2-Tor am Ausgang erzeugte Rauschleistungsdichte
Meßbandbreite
Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 J/K
Rauschbezugstemperatur T0 = 290K=16,85 C
(ca. -0,12dB Abweichung bei Verwendung von 25 C)
effektive (Eingangs-) Rauschtemperatur
(reelle) Bezugsimpedanz (der Reflexionsfaktoren)
Innenadmittanz der (Signal- und Rausch-) Quelle am 2-Tor-Eingang
Innenreflexionsfaktor der Quelle am 2-Tor-Eingang
Rauschparameter des 2-Tores:
Fmin
- minimale Rauschzahl
Rn
- (äquivalenter) Rauschwiderstand
Y opt = Gopt + j · Bopt - optimale Innenadmittanz der Quelle am 2-Tor-Eingang
- optimaler Innenreflexionsfaktor der Quelle am 2-Tor-Eingang
ropt
Rauschzahl von angepaßten Dämpfungsgliedern mit Dämpfung D:
F =1+
T
· (D − 1)
T0
Heiß-Kalt-Meßverfahren der Rauschzahl
y-Faktor:
y=
Excess-Noise-Ratio der Rauschquelle:
Rauschzahl:
Rauschzahl für Tkalt = T0 :
G · k · Theiß + Nz,aus
Nheiß
=
Nkalt
G · k · Tkalt + Nz,aus
EN RdB = 10 · lg(EN Rlin ) = 10 · lg
−
1
EN Rlin − y · TTkalt
0
F =
y−1
EN Rlin
F =
y−1
Theiß
−1
T0
N
Nheiß
N = G · k · T + Nz
Nkalt
Nz,aus
Tkalt
Theiß
T
6
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Rauschzahl in Mischern
konventionelle Definition:
FSSB
FDSB
in idealen, passiven Mischer:
NA,HF + NA,SP + NA,Z,HF
GSP
TSSB
=1+
+
GHF · NE,HF
GHF
T0
1
NA,HF + NA,SP + NA,Z,HF
= · FSSB
=
GHF · (NE,HF + NE,SP )
2
=
FSSB
= Lc
FDSB
=
Lc
2
rauschfreie Spiegelfrequenz:
NA,HF + NA,Z,HF
GHF · NE,HF
NA,HF + NA,Z,HF
=
GHF · (NE,HF + NE,SP )
FSSB,IEEE =
= FSSB − 1
∗
FDSB
=
Voraussetzung:
Per Definition gilt:
mit
FSSB,IEEE = Lc − 1
1
· FSSB,IEEE
2
∗
FDSB
=
1
· (Lc − 1)
2
GHF = GSP
NE,HF = NE,SP = k · T0 = k · 290K
NA,HF = GHF · NE,HF bzw. NA,Sp = GSP · NE,SP
FSSB , FDSB
NA,HF , NA,SP
NE,HF , NE,SP
NA,Z
GHF , GSP
k
T0
TSSB
Lc
-
Ein- bzw. Zweiseitenband-Rauschzahl (linear, nicht in dB)
Rauschleistungsdichte am Ausgang von Nutz- und Spiegelfrequenz
Rauschleistungsdichte am Eingang von Nutz- und Spiegelfrequenz
vom Mischer erzeugte Rauschleistungsdichte am Ausgang
Konversionsgewinn für Nutzfrequenz und für Spiegelfrequenz
Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 J/K
Rauschbezugstemperatur T0 = 290K=16,85 C
Einseitenband-Rauschtemperatur des Mischers
Konversionsverlust des Mischers
Die Bezeichnungen Ein- und Zweiseitenband-Rauschzahl geben an, daß sich das Nutzsignal nur in einem
bzw. in beiden Seitenbändern (Spiegelfrequenzen) befindet.
Ein Meßgerät nach der Heiß-Kalt-Methode bestimmt den Zweiseitenband-Konversionsgewinn und FDSB .
Direkte Messungen mit Signalgenerator und Spektrumanalysator ergeben FSSB .
∗
FSSB,IEEE und FDSB
sind in der Realität praktisch nicht meßbar. In Simulationsprogrammen werden sie
dagegen recht häufig benutzt (z.B. in ADS von Agilent).
Leistungsgewinne
verfügbarer Gewinn
Übertragungsgewinn
effektiver Gewinn
available power gain
transducer power gain
(effective) power gain
→
→
→
Paus,verfügbar /Pein,verfügbar
Paus /Pein,verfügbar
Paus /Pein
TEM-Welle
Freiraum-Streckendämpfung:
Leistungsfluß (Poyntingscher Vektor):
PRX
= GRX · GT X ·
PT X
P
· GT X
S=
4π · r2
λ
4π · r
2
7
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Materialien
Material
PE
PTFE (Teflon)
PVC
GaAs
Si
FR2
FR4
RO4003
RT/duroid 5880
Al2 O3 -Keramik
Quarz-Glas
ǫr
2,28
2,1
3...5
12,9
11,8
4,5
4,2...4,9
3,38
2,20
9,8
3,8
dielektrischer Verlustfaktor tan δ
0,0002 bei 1 MHz
0,0003 bei 3 GHz
0,05 bei 1 MHz
0,002 bei 10 GHz
0,005 bei 1 GHz; 0,015 bei 10 GHz
0,008 bei VHF; 0,02 bei 1 GHz; 0,03 bei 10 GHz
0,002 bei 10 GHz
0,0009 bei 10 GHz
0,0002 bei 10 GHz
0,0001 bei 10 GHz
Güte
Leerlaufgüte
r
UC
ω0 L
1
f0
UL
L 1
=
=
=
=
·
=
Uges
Uges
R
ω0 C · R
C R
B0
r
IL
C 1
IC
ω0 C
1
f0
Q0 =
=
=
=
=
·
=
Iges
Iges
G
ω0 L · G
L G
B0
Serienresonanz
Q0 =
Parallelresonanz
Induktivität
Q0 =
ωL
R
belastete Güte
r
1
f0
L
·
=
QL =
C R + ZL
BL
r
C
1
f0
QL =
·
=
L G + YL
BL
(frequenzabhängig!)
mit 3dB-Bandbreite B0 und Resonanzfrequenz f0 =
1
ω0
√
=
2π
2π · LC
Interzept-Punkte
Paus
Paus = P ein G
IPn aus
Signal
IMD
P IMn,aus
Verzerrung
Pein
IPn ein
Interzeptpunkte n-ter Ordnung (alle Angaben in dBm):
Paus − PIM n,aus
n · Pein − PIM n,aus + G
+ Pein =
n−1
n−1
Paus − PIM n,aus
n · Paus − PIM n,aus
=
+ Paus =
= IP nein + G
n−1
n−1
bezogen auf den Eingang:
IP nein =
bezogen auf den Ausgang:
IP naus
Interzeptpunkt 3. Ordnung (alle Angaben in dBm):
IP 3ein = Pein +
IM D
2
IP 3aus = max(Paus1 , Paus2 ) +
für 2-Tore mit Verzerrungen der Ordnung n ≤ 3:
min(Paus1 , Paus2 ) − max(PIM 1 , PIM 2 )
2
IP 3 = CP1dB +10,26dB
8
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Kaskade-Schaltungen
Stufe 1
Stufe 2
Stufe n
Angaben gelten bei Anpassung in allen Stufen und im ungünstigsten Fall (bei Kompressions- und Interzeptpunkten).
Im Index steht die Nummer der Stufe.
Sämtliche Größen sind im linearen Maßstab (nicht in dB).
Leistungsverstärkung:
Gges = G1 · G2 · G3 · . . . · Gn
Rauschzahl:
Fges = F1 +
F3 − 1
Fn − 1
F2 − 1
+
+ ... +
G1
G1 · G2
G1 · G2 · . . . · Gn−1
1dB-Kompressionspunkt:
CPaus = CPein · G · 10−0,1
oder in dB:
P1dB,aus = P1dB,ein + G − 1dB
Eingangs-Kompressionspunkt:
1
CPein,ges
1
G1
G1 · G2
G1 · G2 · . . . · Gn−1
+
+
+ ... +
CPein,1
CPein,2
CPein,3
CPein,n
=
Ausgangs-Kompressionspunkt:
G1
G1 · G2
G1 · G2 · G3
G1 · G2 · . . . · Gn
Gges
=
+
+
+ ... +
CPaus,ges
CPaus,1
CPaus,2
CPaus,3
CPaus,n
Eingangs-Interzeptpunkt 3. Ordnung:
1
IP 3ein,ges
=
1
G1
G1 · G2
G1 · G2 · . . . · Gn−1
+
+
+ ... +
IP 3ein,1
IP 3ein,2
IP 3ein,3
IP 3ein,n
Eingangs-Interzeptpunkt 2. Ordnung:
s
1
IP 2ein,ges
=
s
1
+
IP 2ein,1
s
G1
+
IP 2ein,2
s
G1 · G2
+ ... +
IP 2ein,3
s
G1 · G2 · . . . · Gn−1
IP 2ein,n
Eingangs-Interzeptpunkt n-ter Ordnung:
1
IP nein,ges
n−1
2
=
1
IP nein,1
n−1
2
+
G1
IP nein,2
n−1
2
+
n−1
2
G1 · G2
+ ...
IP nein,3
n−1
2
G1 · G2 · . . . · Gn−1
... +
IP nein,n
9
Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Magnetismus
Diamagnetismus
Paramagnetismus
Ferromagnetismus
Antiferromagnetismus
Ferrimagnetismus
Eigenschaften
Kraft auf Materie
Stärke
alle Stoffe
sind diamagnetisch
aus Magnetfeld
hinaus (µr < 1)
in Magnetfeld
hinein (µr > 1)
in Magnetfeld
hinein
sehr schwach
10−9 < 1 − µr < 10−4
sehr schwach
10−6 < µr − 1 < 10−4
sehr stark µr ≫ 1
in Magnetfeld
hinein
schwach (µr & 2)
in Magnetfeld
hinein
stark
sehr seltene und
nicht-lineare
(Hysterese) Eigenschaft,
Weißsche Bezirke
Stoffe mit gleich
großen, antiparallelen
magnetischen Momenten
Stoffe mit ferro- und
anti-ferromagnetischen
Eigenschaften;
Ferrite haben hohen
spezifischen Widerstand
Temperaturabhängigkeit
unabhängig
anti-proportional
anti-proportional,
oberhalb CurieTemperatur
paramagnetisch
wie Ferromagnetismus
wie Ferromagnetismus
Elektromagnetische Feldtheorie
Die Maxwellschen Gleichungen stellen die grundlegenden Axiome des Elektromagnetismus dar. Sämtliche Phänomene der (klassischen) Elektrotechnik lassen sich aus ihnen herleiten. Nicht berücksichtigt sind Eigenschaften der
Relativitätstheorie und der Quantenmechanik, sowie Bereiche anderer Naturwissenschaften mit elektromagnetischen Auswirkungen (z.B. elektrochemische Energiewandler).
Maxwellsche Gleichungen
Durchflutungsgesetz
H
∂A
Induktionsgesetz
Integralform
s
s
~ · dF~
~ · d~s = J~ · dF~ + ∂
D
H
∂t
A
H
∂A
~ · d~s = − ∂
E
∂t
v
Gaußscher Satz
∂V
Quellenfreiheit
~ · dF~ =
D
v
∂V
t
V
s
A
A
~ · dF~
B
qV · dV
~ · dF~ = 0
B
Differentialform
~ =∇×H
~ = J~ +
rotH
~
∂D
∂t
~ =∇×E
~ = − ∂ B~
rotE
∂t
~ =∇·D
~ = qV
divD
~ =∇·B
~ =0
divB
Bei der Integralform handelt es sich um die präzisere und vollständigere Darstellung. Trotzdem wird zur Vereinfachung der Rechnung oft auf die Differentialform zurückgegriffen. Stetigkeitsbedingungen (z.B. an den Grenzflächen verschiedener Materialien) müssen dann explizit berücksichtigt werden.
In den Maxwellschen Gleichungen tauchen für das elektrische und das magnetische Feld je zwei Vektor-Größen
auf. Sie beschreiben jeweils die Ursache und die Wirkung. Verknüpft sind sie über die Stoff-Eigenschaften ǫ und
µ der Materie, in der sich das Feld befindet:
~
D
~
B
=
=
~
ǫ·E
~
µ·H
=
=
~
ǫ0 · ǫr · E
~
µ0 · µr · H
In den meisten Materialien kann man die Durchlässigkeiten ǫ und µ als konstant betrachten, was die Gleichungen
erheblich vereinfacht. Es existieren allerdings auch Stoffe, in denen die elektromagnetischen Eigenschaften nicht
linear (ǫ und µ feldstärke-abhängig) und/oder nicht isotrop (ǫ und µ richtungs-abhängig und daher Tensoren)
sind. Weiterhin besitzen einige Material-Klassen die Fähigkeit, aufgrund ihres molekularen Aufbaus selber ein
Feld zu erzeugen (Elektrete bzw. Magnete).
10
Michael Margraf
Wirkung
Mikrowellen-Formelsammlung
Elektrisches Feld
Magnetisches Feld
~
~ = Fq bzw. divE
~ = qV,f rei + qV,pol
E
Q
ǫ0
~ mit F~q = Q · ~v × B
~
B
bzw.
(freie) Quellen“
”
Zusammenhang
~
D
mit
~ = qV,f rei
divD
~ = ǫ0 · E
~ + P~ + P~s = ǫE
~+
D
~
H
P~s
|{z}
~ = ~0
rotE
(konservativ)
Potential
Φ
~ = −gradΦ
E
Poisson-Gleichung
Feldberechnung
~
A
⇒
Speicherfähigkeit
~ = −µ0 · (J~f rei + J~mag )
∆A
~ rj ) × ~r
t J(~
~ r ) = µ0
dV
B(~
4π Vj
r3
1 t qV (~rq ) · ~r
dV
4πǫ0 Vq
r3
Kapazität
Energiedichte
We =
1
2
C=
~ ·D
~
we = 12 · E
t
~ ·D
~ · dV =
·
E
~2 − B
~ 1) = 0
~n · (B
~2 − H
~ 1 ) = J~F
~n × (H
Q
U
1
2
~ = 0)
(mit divA
~ zeigt in Richtung von J“
~
A
”
~ = ~0
∆A
~2 − E
~ 1 ) = ~0
~n × (E
bedingungen
(solenoidal)
~ = rotA
~
B
mit
~2 − D
~ 1 ) = qF,f rei
~n · (D
Stetigkeits-
Energie
~ =0
divB
∆Φ = 0
qV,f rei + qV,pol
∆Φ = −
ǫ0
~ r) =
E(~
~ +M
~ s ) = J~mag
rot(M
mit
~
Φ nimmt in E-Richtung
ab
⇒
Laplace-Gleichung
mit
~ = J~f rei
rotH
Magnet
div(P~ + P~s ) = −qV,pol
Feldeigenschaften
mit
~ = µ0 · (H
~ +M
~ +M
~ s ) = µH
~ + µ0 M
~
B
| {z }s
Elektret
mit
~ = µ0 · J~f rei + J~mag
rotB
Induktivität
· C · U2
Wm =
1
2
~ · F~
Ψ
B
=
I
I
~ ·B
~
·H
L=
wm = 12
t
~ ·B
~ · dV =
·
H
1
2
· L · I2
Obige Tabelle enthält gängige Nomenklatur. Abweichungen sind jedoch trotzdem des öfteren zu finden. Die
Definition des magnetischen Vektorpotentials und der Magnetisierung ist ebenfalls nicht einheitlich.
E
D
Φ
Q
qV
qF
C
ǫ
W
w
r
U
Fq
P
-
elektrische Feldstärke
elektrische Flußdichte
elektrisches Potential
elektrische Ladung
elektrische (Volumen-) Ladungsdichte
elektrische Flächen-Ladungsdichte
Kapazität
Permittivität
Energie, Arbeit
(räumliche) Energiedichte
Ortszeiger (Raumkoordinate)
elektr. Potentialdifferenz (Spannung)
Kraft auf Ladung q
elektrische Polarisierung
H
B
Ψ
µ
L
M
J
I
V
A
n
F
v
-
magnetische Feldstärke
magnetische Flußdichte
magnetische Fluß
Permeabilität
Induktivität
Magnetisierung
elektrische Stromdichte
elektrischer Strom
Volumen
magnetisches Vektorpotential
Flächennormale
Flächeninhalt
Geschwindigkeit
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Michael Margraf
Mikrowellen-Formelsammlung
Wärmetransport
T2 − T1
elektrisches Analogon:
Θ
mit Wärmestrom Θ (= transportierte Leistung in Joule/sec=Watt).
thermischer Widerstand:
Rth =
R=
U2 − U1
I
Näherungsformel für Wärmeabgabe in Alltagsumgebung:
Konduktion
Rth
≈ 0,
Emission
Konvektion
Rth
≈ Rth
,
gesamt
Rth
≈
1
10 · A
Bedingungen:
ebene Fläche A
Emissionskoeffizient hoch
freie Konvektion und freie Emission
1. Wärmeleitung (Konduktion) → hauptsächlich in Festkörpern (mittels Phononen und freie Elektronen)
thermischer Widerstand
Rth =
l
λ·A
mit Wärmeleitfähigkeit λ:
Diamant:
2300 W/m/K
Kupfer:
Aluminium:
401 W/m/K
237 W/m/K
Al2O3:
Quarzglas:
28 W/m/K
0.81 W/m/K
2. Wärmestrahlung (Emission) → hauptsächlich durch Luft oder Vakuum
Z
2 · h · c2
·
Plancksche Strahlungsformel (für ideale schwarze Strahler):
Wλ =
λ5
exp
1
hc
λkT
2897, 8µm
≈ 10µm bei 300K
T
W
Stephan-Boltzmann Strahlungsgesetz:
Θ = 5, 669 · 10−8 2 4 · ǫ · A · (TS4 − TA4 )
m K
Kirchhoffsches Gesetz:
ǫ(λ, T ) = α(λ, T ) wenn T=const
Wiensches Verschiebungsgesetz:
λmax =
−1
dλ
mit Emissionskoeffizient ǫ und Absorptionsgrad α:
ca 5% für polierte Metalle
ca 95% für fast alle anderen Stoffe mit Dicke > 10µm
3. Wärmemitführung (Konvektion) → durch Flüssigkeiten und Gase
thermischer Widerstand
mit Wärmeübergangskoeffizient α:
5...50
W
m2 K
500...5000
W
m2 K
Rth =
1
α·A
Luft ohne...starke Strömung
Wasser ohne...starke Strömung
12