Aufgaben - VMP

Studienjahr FS 2015
ETH Zürich
D-MATH/D-PHYS
Prof. K. Kirch
Klausur, 02 Februar 2016, Physik II
Füllen Sie als erste die untenstehende Tabelle mit Namen und Legi-Nummer aus und
kreuzen Sie Ihre Studienrichtung an.
Bitte beachten Sie:
• Nicht immer hängen Teilaufgaben von den Lösungen der vorhergehenden Teilaufgaben ab!
• Die Aufgaben sind nicht nach Schwierigkeitsgrad sondern thematisch geordnet.
• Setzen Sie Zahlen, sofern verlangt, nur am Ende einer Herleitung ein!
• Schreiben Sie auf ALLE verwendeten Blätter rechts oben Ihren Namen und geben
Sie sie ab.
• Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe ein separates Blatt und kennzeichnen Sie eindeutig für jedes Blatt zu welcher Aufgabe es gehört.
Erlaubte Hilfsmittel:
• Mathematische Formelsammlung
• Handgeschriebene Zusammenfassung, 10 A4 Seiten (einseitig oder 5 Blätter doppelseitig)
• Sämtliche Kommunikationsgeräte (Mobiltelephon, Laptop) sind auszuschalten und
müssen offen auf den Tisch gelegt oder in einer verschlossenen Tasche unter dem
Tisch verstaut werden.
Name
Vorname
Legi-Nummer
Formelsammlung
D-PHYS D-MATH CHAB-IN
Studienrichtung
Andere:
Unter dieser Linie NICHTS AUSFUELLEN! Nur für Korrektur!
Aufg
a/2
b/3
c/4
d/5
e/6
f/7
g/8
h/9
Summe
Max.
Visum 1
Visum 2
1
2
3
4
5
6
7
8
8
9
8
9
9
10.5
8
9
Totale Punktzahl:
Note
1
Aufg
a/2
b/3
c/4
d/5
e/6
f/7
g/8
h/9
Summe
Max.
Visum 1
Visum 2
1 Multiple Choice (8 Punkte)
1.1 Wichtig!
Überprüfen Sie, dass auf der ersten Seite alle Informationen eingetragen sind: Name, LegiNummer und Studienrichtung. Bitte schreiben Sie zudem auf jedes Blatt der Klausur oben
rechts Ihren Namen. Die Ecke links oben zum Heften freilassen!
1.2 Induktion
Die vier unten stehenden separaten Abbildungen zeigen einen zylinderförmigen Magnet
und eine kleine Glühlampe, welche an den Enden einer Kupferschleife angeschlossen ist.
Diese Abbildungen sind in der nachfolgenden Frage zu betrachten. Die Symmetrieachse
der Leiterschleife und des Magneten fallen mit der Achse der Bewegung zusammen. Im
Diagramm sind verschiedene Arten von Bewegungen des Magneten und der Leiterschleife
dargestellt, wobei v die Geschwindigkeit rerpräsentiert.
(I)
(II)
(III)
(IV)
In welcher der obigen Abbildungen wird die Glühlampe leuchten?
a) I, III und IV
b) I und IV
c) I, II und IV
d) IV
e) Die Lampe leuchtet in allen Abbildungen.
2
1.3 Arbeit im elektrischen Feld
Wie viel Arbeit W ist nötig um ein geladenes Teilchen mit Ladung q vom Punkt A nach
Punkt B in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke E zu bewegen (siehe Abbildung
unten)?
a) |W | = lE
b) |W | = qlE
c) |W | = qlE sin θ
d) |W | = qlE cos θ
1.4 Schaltkreis
Betrachten Sie den folgenden Schaltkreis, der zwei Spannungsquellen der gleichen Spannung
V und vier Glühlampen ⊗ desselben Widerstands enthält:
Angenommen der Schalter S sei schon seit langer Zeit geschlossen, ordnen Sie nach der
Helligkeit der Glühlampen:
a) 1 < 3 = 4 < 2
b) 1 < 3 < 2 = 4
c) 3 = 4 < 2 < 1
d) 3 = 4 < 1 = 2
e) 3 < 2 = 4 < 1
3
1.5 Gauss’sches Gesetz
Eine Ladung q wird wie in der Abbildung gezeigt an der hinteren Ecke eines Würfels
platziert.
Wie gross ist der Fluss des elektrischen Feldes durch die (graue) schraffierte Fläche?
a) q/ε0
b) 6q/ε0
c) 0
d) q/(24ε0 )
1.6 Metallplatten
Eine Metallkelle mit einer Gesamtladung Q wird zwischen zwei ungeladene leitende Platten
gebracht. Die beiden Platten sind geerdet. Was kann man über die Ladungen auf den beiden
Platten sagen?
a) Es passiert nichts.
b) Die Gesamtladung −Q fliesst über die Erdung ab.
c) Die Gesamtladung +Q fliesst über die Erdung ab.
d) Die Gesamtladung +2Q fliesst über die Erdung ab.
e) Die Gesamtladung −Q/2 fliesst über die Erdung ab.
f ) Keine der Antworten stimmt.
4
1.7 Zwei Spulen
Zwei kreisförmige identische Leiterschleifen führen beide denselben Strom I. Die Schleifen
sind wie in der Abbildung gezeigt positioniert. Die Stromrichtung ist auch angegeben.
Abbildung 1: Hinweis zur Verdeutlicheung der 3D-Projektionsskizze: die Stromrichtung
zeigt im Vordergrund nach rechts und im Hintergrund nach links.
Welcher der unteren Pfeile stellt am besten die Richtung des magnetischen Feldes im Punkt
P , welcher auf der Achse mittig zwischen den Schleifen liegt, dar?
a)
b)
c)
d)
e) Null.
5
1.8 Transformator
Europa benutzt Wechselspannungen von 220 V, während Amerika Wechselspannungen von
110 V verwendet. Wenn Sie an eine europäsiche Steckdose einen amerikanischen Laptop
anschliessen wollen, welche Art von Transformator benötigen Sie?
110 V
220 V
Transformatoren mit:
a) Nein = 16 Primärwicklungen und Naus = 4 Sekundärwicklungen
b) Nein = 400 Primärwicklungen und Naus = 200 Sekundärwicklungen
c) Nein = 20 Primärwicklungen und Naus = 40 Sekundärwicklungen
d) Nein = 400 Primärwicklungen und Naus = 1600 Sekundärwicklungen
(Primärwicklungen sind auf der Seite der Steckdose, Sekundärwicklungen auf der Seite des
Laptops).
1.9 Stehende Welle
Welche Aussage trifft für stehende Wellen zu?
a) Alle Punkte der Welle schwingen gleichphasig.
b) Es gibt keine Energie in einer stehenden Welle.
c) Die Wellenlänge der Welle entspricht der Distanz zwischen benachbarten Knoten.
d) Benachbarte Punkte in der Welle haben verschiedene Schwingungsamplituden.
6
2 Interferenz (9 Punkte)
Betrachten Sie zwei punktförmige Quellen in einem Abstand d voneinander, wie die untenstehende Figur zeigt: S1 befindet sich in (0, 0), S2 in (0, d). Die Quellen emittieren,
in Phase, harmonische Wellen mit derselben Kreisfrequenz ω aber mit unterschiedlichen
Leistungen P1 bzw. P2 . Diese Wellen können sich nur in der xy-Ebene ausbreiten (d.h. sie
sind zweidimensionale Wellen): die Ausbreitung sei isotrop, in einem Medium mit Phasengeschwindigkeit vp . Nehmen Sie zusätzlich an, dass die Wellen transversal sind, d.h. die
Auslenkungen stehen immer senkrecht zur xy-Ebene.
y
d
S2
M
S1
x
d
a) Schreiben Sie die Auslenkung der Welle aus S1 als Funktion vom Abstand r1 von der
Quelle und als Funktion der Zeit. Tun Sie dasselbe auch für die Welle aus S2 , mit
r2 dem Abstand von dieser Quelle. (Es seien dabei A01 bzw. A02 die Amplituden der
Wellen am Ort der Quellen.) (3 Punkte)
b) Betrachten Sie jetzt den Punkt M , mit Koordinaten (d, 0). Für welche Werte von d
gibt es in M destruktive Interferenz? (2 Punkte) Hinweis: Beachten Sie, dass auch
die Koordinaten von S2 von d abhängen.
c) Bei den in Teilaufgabe b) gefundenen Punkten M mit destruktiver Interferenz: für
welchen Wert des Verhältnises der Leistungen PP21 ist die Gesamtamplitude bei M
immer gleich Null? (2 Punkte)
d) Nehmen Sie nun an, dass P1 = P2 . Für die destruktive Interferenz aus Teilaufgabe
b), was ist die Geschwindigkeit (in z-Richtung) der Teilchen des Mediums in M ?
Geben Sie die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von d und der Zeit an. (2 Punkte)
7
3 Inverser Compton-Effekt (8 Punkte)
Betrachten Sie die Streuung eines extrem niederenergetischen Photons an einem hochrelativistischen Elektron, wie die untenstehende Figur zeigt. Anfänglich, im Laborsystem, hat
das Photon die Wellenlänge λ und das Elektron die Geschwindigkeit ve /c = βe (mit c die
Lichtgeschwindigkeit). Sie kollidieren dann frontal mit dem Effekt dass, nach dem Stoss
das Photon, mit erhöhter Energie, in entgegengesetzter Richtung weiterfliegt. Das Photon
bewegt sich in −x-Richtung vor dem Stoss und in +x-Richtung nach dem Stoss. Der ganze
Prozess erfolgt in einer Dimension, entlang der x-Achse. Nach dem Stoss seien, im Laborsystem, λ0 die Wellenlänge des Photons und βe0 die Geschwindigkeit des Elektrons. In diese
Aufgabe werden wir, schrittweise, die neue Wellenlänge λ0 als Funktion der Anfangsdaten
berechnen.
a) Schreiben Sie den anfänglichen Viererimpuls des Photons im Laborsystem nieder.
(1 Punkt)
Hinweis: Das Photon ist masselos mit Energie E = hc/λ und Impuls p = h/λ, wobei
λ seine Wellenlänge und h das Planck’sche Wirkungsquantum sind.
b) Benutzen Sie eine Lorentztransformation (in Matrizenform) um den anfänglichen
Viererimpuls des Photons im Ruhesystem des Elektrons zu finden. Drücken Sie die
Antwort als Funktion von λ, βe und γe = (1 − βe2 )−1/2 aus. (2 Punkte)
c) Nun kollidiert das Photon mit dem Elektron. Aus dem Ruhesystem des Elektrons betrachtet, bewirkt die Kollision eine Umkehrung der Bewegungsrichtung des Photons.
Zusätzlich nehmen Sie an, dass dabei die Wellenlänge des Photons im Ruhesystem
des Elektrons unverändert bleibt. (Diese Kollision entspricht einem elastischen Stoss
eines Teilchens mit einem unendlich schweren Wand.) Mit dieser Information schreiben Sie den Viererimpuls des Photons nach dem Stoss im Ruhesystem des Elektrons
nieder. (1 Punkt)
d) Benutzen Sie eine Lorentztransformation (in Matrizenform) um den Viererimpuls
des Photons nach dem Stoss im Laborsystem zu finden. Drücken Sie die Antwort als
Funktion von λ, βe und γe aus. (2 Punkte)
e) Aus dem letzten Resultat extrahieren Sie λ0 , die Wellenlänge des Photons nach dem
Stoss, im Laborsystem. Drücken Sie die Antwort als Funktion von λ, βe und γe aus.
(2 Punkte)
8
4 Inhomogene Dielektrizitätskonstante (9 Punkte)
Betrachten Sie zwei konzentrische leitende Kugelschalen mit Radius a und b (wobei a < b),
wie die untenstehende Figur zeigt. Der Raum zwischen den Kugelschalen ist mit einem
Material gefüllt, das die inhomogene relative Dielektrizitätskonstante
ε(r) =
1
1 + Kr
(1)
hat, mit einer Konstanten K und dem Abstand vom Kugelmittelpunkt r. Das heisst, in
~ und das elektrische Feld E
~ durch
diesem Gebiet sind die dielektrische Verschiebung D
~ r)
~ r) = ε(r)ε0 E(~
D(~
(2)
verknüpft, mit der Dielektrizitätskonstante des Vakuums ε0 . Auf der inneren Kugelschale
befindet sich eine Ladung +Q, während sich auf der äusseren Kugelschale eine Ladung −Q
befindet.
~ im Gebiet a < r < b. (3 Punkte)
a) Bestimmen Sie die dielektrische Verschiebung D
~
Hinweis: Verwenden Sie das Gauss’sche Theorem für das D-Feld.
b) Bestimmen Sie die Kapazität des Systems. (3 Punkte)
c) Bestimmen Sie den Polarisationsvektor P~ und daraus die Polarisationsraumladungsdichte ρp im Gebiet a < r < b. (3 Punkte)
~ = Vr êr + Vθ êθ + Vϕ êϕ in KugelkoordiHinweis: Die Divergenz eines Vektorfeldes V
naten ist
~ ·V
~ = 1 ∂ r2 Vr + 1 ∂ (sin θVθ ) + 1 ∂Vϕ .
∇
(3)
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
9
5 Energieerhaltung in einem Schaltkreis (9 Punkte)
Ein Schaltkreis besteht aus einem Kondensator, mit Kapazität C, und einer Spule, mit
Selbstinduktivität L, wie die untenstehende Figur zeigt. Der Widerstand des Schaltkreises
ist vernachlässigbar. Seien Q(t) die Ladung auf dem Kondensator und I(t) der Strom durch
den Schaltkreis zur Zeit t.
Bemerkung: Die Teilaufgaben c) und d) können unabhängig von den Teilaufgaben a) und
b) gelöst werden.
a) Schreiben Sie die Gesamtenergie nieder, die im Schaltkreis zur Zeit t gespeichert ist.
(1.5 Punkte)
b) Leiten Sie daraus und aus der Energieerhaltung eine Differentialgleichung für Q(t)
her. (3 Punkte)
c) Leiten Sie dieselbe Differentialgleichung aus den Kirchhoff’schen Regeln her. (2 Punkte)
d) Lösen Sie diese Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen Q(0) = 0 und
I(0) = I0 . (2.5 Punkte)
10
6 Faraday’sche Unipolargenerator (10.5 Punkte)
Betrachten Sie eine perfekt leitende Scheibe von Radius r0 , die sich um ihre Achse durch
den Mittelpunkt frei drehen kann und die mittels zwei streifenden Kontakten mit einem
Widerstand R verbunden ist: der Kontakt C1 befindet sich am äusseren Rand der Scheibe,
der Kontakt C2 im Mittelpunkt. Eine Masse m ist an der Scheibe angehängt, mittels einem
langen (masselosen) Faden, der um den Umfang der Scheibe gewickelt ist. Die Scheibe
befindet sich in einem homogenen Magnetfeld B, das senkrecht zur Ebene der Scheibe
steht, wie die untenstehende Figur zeigt.
a) Nehmen Sie zuerst an, dass die Scheibe sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
um ihre Achse dreht (d.h. vernachlässigen Sie hier die angehängte Masse). Erklären
Sie warum durch den Widerstand ein konstanter Strom fliesst. (1.5 Punkte)
b) Berechnen Sie diesen konstanten Strom. (3.5 Punkte)
c) Betrachten Sie nun das gesamte System, mit angehängter Masse. Am Anfang sei das
System in Ruhe; zur Zeit t = 0 wird die Masse losgelassen und sie beginnt, gravitativ
zu fallen. Man stellt fest, dass nach einer anfänglichen Beschleunigung, die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe (und die Geschwindigkeit der Masse) asymptotisch einen
konstanten Wert erreicht. Woher kommt die Kraft, die das System bremst? Warum
wird eine konstante Winkelgeschwindigkeit erreicht? Geben Sie eine Beschreibung
des Mechanismus, ohne zu rechnen. (1.5 Punkte)
d) Mittels Energiebetrachtungen berechnen Sie diese konstante Winkelgeschwindigkeit.
(4 Punkte)
Hinweis: Ist die Energie erhalten? Beachten Sie, dass die kinetische Energie einer mit
Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Scheibe
1
Scheibe
Ekin
= Θω 2
2
ist, wobei Θ das Trägheitsmoment der Scheibe ist.
11
(4)
7 Drei Halbkreise (8 Punkte)
Die folgende drei Teilaufgaben sind voneinander unabhängig und können einzeln behandelt
werden.
a) Betrachten Sie die Abbildung oben links: sie zeigt einen Draht, in Form eines Halbkreises von Radius a. Der Draht ist gleichmässig elektrisch geladen und sei Q seine
Gesamtladung. Berechnen Sie das elektrische Feld im Kreismittelpunkt (Punkt O in
der Zeichnung). (3 Punkte)
b) Betrachten Sie die Abbildung oben rechts: sie zeigt einen stromdurchflossenen Draht,
der einen Bogen in Form eines Halbkreises von Radius a hat. Sei I die Stromstärke
durch den Draht. Berechnen Sie das Magnetfeld im Kreismittelpunkt (Punkt O in
der Zeichnung). Betrachten Sie dabei separat den Einfluss der drei Teilgebiete, die
mit T 1, T 2 und T 3 bezeichnet sind. (2.5 Punkte)
c) Betrachten Sie die untere Abbildung: sie zeigt einen Schaltkreis mit einem Widerstand R und mit einem Bogen in Form eines Halbkreises von Radius a, der um die
Achse OO0 mit Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Der Schaltkreis ist in einem homogenen Magnetfeld, der senkrecht zur Zeichnungsebene steht.
Berechnen Sie den Strom, der in den Schaltkreis induziert wird. (Die Selbstinduktion
des Schaltkreises ist vernachlässigbar.) (2.5 Punkte)
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8 Energie in einem Kondensator (9 Punkte)
Betrachten Sie ein Kondensator aus planparallelen kreisförmigen Platten mit Radius R und
Plattenabstand d (mit d R), wie die untenstehende Figur zeigt. Der Kondensator ist mit
einer Spannungsquelle verbunden, die eine sinus-förmig Wechselspannung mit Maximalwert
Vmax und Kreisfrequenz ω liefert.
z
V(t)=Vmax sin( ωt)
d
φ
r
O
R
a) Bestimmen Sie das elektrische Feld zwischen den Platten als Funktion der Zeit und
der oben angegebenen Grössen (R, d, Vmax , ω). (1 Punkt)
Hinweis: Beachten Sie, dass d R.
b) Bestimmen Sie die elektrische Energie We , die im Kondensator gespeichert ist, als
Funktion der Zeit und der oben angegebenen Grössen (R, d, Vmax , ω). (1.5 Punkte)
c) Bestimmen Sie das magnetische Feld zwischen den Platten als Funktion der Zeit und
der oben angegebenen Grössen (R, d, Vmax , ω). (4.5 Punkte)
Hinweis: Beginnen Sie von einer Maxwellgleichung und überlegen Sie sich in wel~ zeigt, das heisst konkret, welche Komponenten des
che Richtung das Magnetfeld B
Magnetfeldes Br , Bϕ , Bz (in Zylinderkooerdinaten) gleich Null sind.
d) Bestimmen Sie die magnetische Energie Wm , die im Kondensator gespeichert ist, als
Funktion der Zeit und der oben angegebenen Grössen (R, d, Vmax , ω). (2 Punkte)
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