12. Elektrodynamik - physik.fh

12. Elektrodynamik
12. Elektrodynamik
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
Quellen von Magnetfeldern
Das Ampere‘sche Gesetz
Maxwell‘sche Verschiebungsstrom
Magnetische Induktion
Lenz‘sche Regel
Magnetische Kraft
12. Elektrodynamik
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Beobachtungen zeigen:
-
Kommt ein Eisenstab in Kontakt mit Magneten wird er magnetisch.
Ein frei beweglicher Magnet richtet sich in Nord- Südrichtung aus.
Eine Kompassnadel wird durch einen elektrischen Strom abgelenkt.
Bewegung eines Magneten in Nähe einer Leiterschleife erzeugt
elektrischen Strom in der Leiterschleife.
- Ein sich ändernder Strom in einer Leiterschleife ist Ursache für
eine Strom in einer zweiten Leiterschleife.
Es gilt:
Elektrische Wechselwirkung: Ladung q erzeugt Feld E,
E übt Kraft qE auf q aus.
Magnetische Wechselwirkung:
bewegte Ladung q erzeugt (zusätzlich) Feld B
B übt Kraft F = ? auf bewegte Ladung q aus
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12.1 Quellen von Magnetfeldern
Bewegte Ladung ist Quelle für Magnetfeld B
Für Punktladung gilt:
µ0 = 4π x 10-7Ns2/C2 = magnetische Feldkonstante des Vakuums
Einheit von B:
1 Ns/Cm = 1 kg/sC = 1 T (Tesla) = SI-Einheit
1 T = 104 G (Gauß) keine SI-Einheit aber noch üblich
Magnetische Feldlinien
sind Kreise
Magnetische Feldlinien
sind geschlossen
Animation
Animation
Animation
Animation
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Anwendung auf ausgedehnte Ladungsträger:
1. Magnetfeld eines infinitesimalen Stromelements dl
Stromelement der Fläche A hat das Volumen Adl
mit n Ladungen q pro Volumen ist Gesamtladung dQ
Für den Betrag von B gilt mit
mit nqvA = I folgt:
Vektoriell folgt das Gesetz von Biot-Savart:
Für Gesamtfeld gilt:
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2. Magnetfeld eines geraden Leiters der Länge 2a
und Strom I
Nach Biot-Savart gilt:
Aus Zeichnung gilt:
und
Richtung der dB aller Stromelemente alle gleich
nur Addition der Beträge
für a >> x
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12.2 Das Ampere‘sche Gesetz
Alternative Formulierung zu Biot-Savart von B und seine Quellen
Das Amperesche Gesetz:
Beispiel: Unendlich langer Stromleiter
Symmetrieüberlegungen zeigen:
1. B keine zum Leiter parallele Komponente
2. B tangential entlang eines Kreises
3. B an jedem Punkt des Kreises gleich
Ampere‘sche Gesetz ergibt:
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Beispiel: Magnetfeld einer dicht gewickelten Ringspule
1. Es fließt Strom I durch N Windungen
2. Innenradius = a
3. Außenradius = b
Integration entlang Kreis mit r
Grund:
B ist an jedem Punkt der Kreislinie
tangential zum Kreis und konstant
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JET
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Grenzen des Ampere‘schen Gesetzes:
1. Beispiel:
Für endlichen Leiterabschnitt
liefert Ampere:
Biot-Savart liefert
richtiges Ergebnis:
2. Beispiel:
Ampere gilt nur für geschlossene
Stromkreise.
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12.3 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
Problem
Ampere liefert für Kurve der
Oberfläche 1:
Ampere liefert für Oberfläche 2:
Obwohl von derselben Kurve begrenzt
Widerspruch!
Lösung: Man ersetze Strom I durch I + IV mit
0
Maxwellsche Verschiebungsstrom
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Verallgemeinerte Form des Ampere‘schen Gesetzes:
Beachte:
1. Das Ampere‘sche Gesetz gilt auch im Vakuum (keine Ströme)
2. Ein zeitlich variables E-Feld produziert B-Feld
Frage:
Wenn zeitlich sich änderndes E-Feld Ursache für ein B-Feld ist,
ist dann ein zeitlich sich änderndes B-Feld Ursache für ein E-Feld?
Antwort:
JA!!!
Magnetische Induktion
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12.4 Magnetische Induktion
Beispiel: Leiterschleife in B-Feld mit dB/dt = 0
Experimente zeigen: Faraday‘sches Gesetz
Mit: U: Induktionsspannung
= Magnetischer Fluss
Frage: Ist das erzeugte E-Feld konservativ?
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12.5 Lenz‘sche Regel
Frage: Warum Minuszeichen im Faraday‘schen Gesetz?
Antwort: Lenz‘sche Regel:
Induktionsspannung und induzierter Strom sind stets
so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken.
Beispiel: Stabmagnet bewegt sich auf leitenden Ring zu.
Was passiert:
1. Bewegung des Magneten
erhöht Fluss durch Ring.
2. Strom im Ring erzeugt B-Feld.
3. Induziertes B-Feld schwächt
magnetischen Fluss.
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Oder:
1. Es wird magnetisches Moment
induziert
2. Ring wirkt wie Stabmagnet
3. Ungleichnamige Pole stoßen sich ab
Beachte:
Lenz‘sche Regel folgt aus Energieerhaltung
Würde Strom in Gegenrichtung erzeugt werden
anziehende Kraft auf Stabmagneten.
Magnet wird in Richtung Ring beschleunigt.
Induzierte Strom wird erhöht.
anziehende Kraft auf Magneten wird größer usw.
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12.6 Magnetische Kraft
12.6.1 Magnetische Kraft auf Punktladung
Man findet experimentell (Lorentzkraft):
Gesamtkraft:
Beispiel: Ladung q in homogenen Magnetfeld mit v
Kreisbewegung
B
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Anwendungen
1. Beispiel:
Homogenes
Magnetfeld,
v senkrecht B
2. Bespiel:
Homogenes
Magnetfeld,
v nicht
senkrecht zu B
Ladung bewegt sich
auf Kreisbahn.
bleibt unbeeinflusst
führt zu Kreisbahn
Spiralbahn
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3. Beispiel: Ablenkung von Elementarteilchen im Magnetfeld
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4. Beispiel: Geschwindigkeitsfilter
Frage: Welche Teilchen kommen durch?
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5. Beispiel: Massenspektrometer
Prinzip:
1. Geschwindigkeitsfilter
2. Homogenes Magnetfeld zur Ablenkung
Genauigkeit:
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12.6.2 Magnetische Kraft auf Stromleiter
Wir hatten: Kraft auf einzelne Punktladung
Frage: Wie groß ist Kraft auf Stromleiter (= viele bewegte q) ?
Annahmen: Gerader Stromleiter der Länge l, Querschnittsfläche A
Stromleiter in homogenem Magnetfeld B
Ladungsträger sind positiv.
Driftgeschwindigkeit v ist senkrecht zu B.
Ladungsträgerzahl N = n Al mit Ladungsdichte n
Gesamtkraft hat Betrag:
Mit nqvA = I (elektrischer Strom) gilt:
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Falls B nicht senkrecht zu Leiter:
Nur senkrechte Komponente gibt Beitrag
Mit Vektor l entlang des Drahtes in
in Richtung von I
Falls der Leiter nicht gerade ist:
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Zwei gerade Leiter mit Strom I bzw. I‘
Der Abstand der Leiter sei r.
Frage: Welche Kraft wirkt auf die Leiter?
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Für Betrag des Magnetfeldes B am oberen Leiter gilt:
Für die Kraft, die auf Länge l des oberen Leiters wirkt, gilt:
oder
Rechte-Hand-Regel liefert:
Die Kraft auf den oberen Leiter ist abwärts gerichtet.
Analog folgt:
Die Kraft auf unteren Leiter ist aufwärts gerichtet.
Zwei parallele Drähte mit gleichgerichtetem Strom ziehen sich an.
Zwei parallele Drähte mit entgegensetztem Strom stoßen sich ab.
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Bespiel: Kraft und Drehmoment auf Leiterschleife
Rechteckige Leiterschleife trage Strom I.
Längen seien a und b.
Leiterschleife habe Winkel Φ zur Richtung von B.
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Obere Seite der Schleife (Länge a)
- Kraft F wirkt entlang der x- Richtung
- Manetfeld B ist senkrecht zur Stromrichtung
- Für den Betrag der Kraft gilt:
Untere Seite der Schleife (Länge a)
- Es wirkt Kraft –F
- Magnetfeld B ist senkrecht zur Stromrichtung
- Für den Betrag der Kraft gilt:
Seiten der Länge b
- Längen b bilden Winkel 90o- Φ mit B
- Kräfte an den Seiten sind F‘ und –F‘
- Für die Beträge der Kräfte gilt:
Gesamtkraft = 0, da Kräfte an entgegengesetzten Enden sich aufheben
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Drehmoment = ?
- F‘ und –F‘ liegen entlang derselben Linie
kein resultierendes Drehmoment
- F und –F bilden Kräftepaar
Drehmoment
Für Betrag gilt:
Produkt IA = µ = magnetisches Moment
oder vektoriell
Für die potentielle Energie gilt:
Epot
Beachte: abgeleitete Gleichungen gelten für beliebige Formen von
Leiterschleifen. Für N Windungen gilt: