Übung 07: Energietransport - ETHZ / Photonics

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 7
Abgabe: 25.04. bzw. 28.04.2017
Energietransport durch elektromagnetische Felder
1
Der Poyntingvektor in sphärischen Koordinaten (15 Punkte)
Sie haben in der Vorlesung den Poyntingvektor kennengelernt, der den Energiefluss durch elektromagnetische Strahlung beschreibt. In dieser Aufgabe berechnen wir den Energiefluss eines
elektromagnetischen Feldes, das von einer Quelle am Ursprung erzeugt wird, in einem homogenen
Medium mit Wellenimpedanz Z. Das komplexe Magnetfeld der Quelle laute
1 A sin θ
i
H(r) =
1+
eikr nφ .
(1)
Z r
kr
(a) (5 Pkt.) Berechnen Sie das komplexe elektrische Feld der Quelle.
(b) (5 Pkt.) Berechnen Sie den zeitgemittelten Poyntingvektor des Feldes. In welche Richtung
zeigt er? Ergeben Richtung und Abstandsabhängigkeit Ihres Resultates Sinn?
(c) (5 Pkt.) Berechnen Sie die abgestrahlte Leistung der Quelle.
1
2
Energieerhaltung am Strahlteiler (45 Punkte)
Der Strahlteiler ist nach dem einfachen Reflektor vermutlich das wichtigste Element in der Optik,
ebenso wie in der Mikrowellenelektronik, sowohl im freien Raum, als auch in integrierten Schaltkreisen. Im einfachsten Fall besteht ein Strahlteiler lediglich aus einer Platte eines Materials mit
einem Brechungsindex verschieden vom Brechungsindex des umgebenden Mediums. Im optischen
Bereich werden oftmals Glasplatten mit einem dünnen Silberfilm als kostengünstige Strahlteiler
verwendet, wie in folgender Abbildung (links) skizziert.
E1
C
E2
B
φ1
r, t
φ0
r‘, t‘
A
E3
φ2
φ3
D
E4
Ein Strahlteiler ist ein Viertor und durch vier komplexe Koeffizienten beschrieben, die als effektive
Fresnelkoeffizienten interpretiert werden können. Auf der Strahlteileroberseite befinden sich die Tore
1 und 2, auf der Unterseite 3 und 4. Reflexion und Transmission an der Oberseite seien beschrieben
durch die komplexen Koeffizienten r, t, jene an der Unterseite durch r0 , t0 . So gilt zum Beispiel für
die in Tor 4 ausfallende komplexe Feldamplitude
E4out = r0 E3in + tE1in .
(2)
Ziel dieser Aufgabe ist es zu zeigen, dass für jeden verlustlosen Strahlteiler, unabhängig vom
Teilungsverhältnis, folgende Relationen gelten
|r| = r0 ,
|t| = t0 ,
2 2
|r|2 + |t|2 = r0 + t0 = 1,
(3)
r∗ t0 + t∗ r0 = 0.
(6)
(4)
(5)
Hierzu betrachten wir ein Michelson-Interferometer, in dessen Zentrum ein Strahlteiler steht (s. Abbildung rechts). Die Strahlungsquelle befinde sich am Punkt A und generiere ein elektromagnetisches
Feld mit komplexer Amplitude E0 , das wir als ebene Welle betrachten. Das Feld nehme auf dem
Weg zum Strahlteiler insgesamt die Phase φ0 auf. Der Hinweg zum und Rückweg vom Strahlteiler
zum Spiegel C entspreche insgesamt der Phase φ1 , entsprechend beschreibe die Phase φ2 Hinweg
zum und Rückweg vom Spiegel B. Beim Weg vom Strahlteiler zum Detektor D nehme die Strahlung
die Phase φ3 auf. Bedenken Sie, dass die durch Propagation durch den Strahlteiler aufgenommene
Phase bereits in den komplexen Koeffizienten r, t, r0 , t0 enthalten ist. Es seien die Einheitsvektoren
in Propagationsrichtung am Punkt A gerade nA und am Punkt D gerade nD .
(a) (4 Pkt.) Zeigen Sie durch Berechnung des Poyntingvektors für die ein- und ausfallenden Felder
am Strahlteiler, dass Gl. (5) gelten muss. Senden Sie hierzu testweise nur ein Feld in Tor 1.
2
(b) (7 Pkt.) Berechnen Sie das komplexe Feld EA am Punkt A, das die vom Interferometer
reflektierte Strahlung beschreibt. Formulieren Sie ebenso das komplexe Feld ED am Detektor
D.
(c) (7 Pkt.) Berechnen Sie die zeitgemittelten Poyntingvektoren SA und SD der das Interferometer
verlassenden Strahlung an den Punkten A und D unter Verwendung der Notation
0
r0 = r0 eiθr ,
0
t0 = t0 eiθt .
r = |r| eiθr ,
t = |t| eiθt ,
(7)
(8)
(d) (3 Pkt.) Verwenden Sie das Gesetz der Energieerhaltung um folgende Relation zu zeigen
2 2
1 = |r|2 |r|2 + |t|2 + |t|2 t0 + r0 (9)
+ 2 r2 tt0 cos(θt + θt0 − 2θr + φ2 − φ1 ) + 2 rr0 t2 cos(θr0 − θr + φ2 − φ1 ).
(e) (3 Pkt.) Argumentieren Sie, warum die Summe der beiden Cosinus-Terme in Gl. (9) verschwinden muss.
(f) (3 Pkt.) Welche Bedingung muss für die Amplituden der Cosinus-Terme in Gl. (9) gelten, damit
die Summe der beiden Terme, wie gefordert, verschwindet? Folgern Sie aus der gefundenen
Bedingung folgende Relation
|r| t0 = r0 |t| .
(10)
(g) (6 Pkt.) Zeigen Sie nun, dass für den Strahlteiler die Relationen in Gln. (3) und (4) gelten
müssen.
(h) (12 Pkt.) Kombinieren Sie die beiden Cosinus-Terme in Gl. (9) unter Verwendung eines
Additionstheorems für trigonometrische Funktionen. Zeigen Sie nun die Relation in Gl. (6).
3
3
Energietransport durch evaneszente Wellen (40 Punkte)
Eine in der xz-Ebene propagierende ebene Welle mit Kreisfrequenz ω falle aus der negativen
z-Richtung kommend auf eine Grenzfläche bei z = −z0 ein, an der sie total reflektiert wird. Im
Raumbereich z > −z0 befinde sich Vakuum, und das komplexe magnetische Feld dort laute
H1 (r) = H0 eikx x+ikz (z+z0 ) ny ,
(11)
wobei H0 reell sei. Der parallele Wellenvektor kx sei durch einen effektiven Brechungsindex neff > 1
beschrieben, und die Wellenzahl im Vakuum k = ω/c sei wie folgt bestimmt
kx = neff k .
(12)
(a) (4 Pkt.) Drücken Sie kz durch neff und k aus und argumentieren Sie, warum es sich im Bereich
z > −z0 um eine evaneszente Welle handelt.
(b) (5 Pkt.) Bestimmen Sie das komplexe elektrische Feld E1 (r) der evaneszenten Welle.
(c) (3 Pkt.) Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass sowohl das komplexe magnetische Feld
H1 als auch das komplexe elektrische Feld E1 divergenzfrei sind.
(d) (3 Pkt.) Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass sowohl das komplexe magnetische Feld
H1 als auch das komplexe elektrische Feld E1 die quellfreie Helmholtzgleichung erfüllen.
(e) (5 Pkt.) Bestimmen Sie den zeitgemittelten Poyntingvektor hSi im Bereich z > −z0 .
(f) (3 Punkt) Berechnen Sie den Leistungsfluss durch eine Fläche A in der Ebene z = 0.
Dem bislang betrachteten evaneszenten Feld werde nun ein zweites evaneszentes Feld überlagert, das jedoch von der Ebene z = +z0 in negative z-Richtung abfalle und weiterhin relativ
zum ersten Feld um φ phasenverschoben sei. Das komplexe magnetische Feld dieser zweiten
elektromagnetischen Welle laute im Raumbereich z < z0
H2 (r) = H0 eiφ eikx x−ikz (z−z0 ) ny ,
(13)
wobei noch stets kx = neff k gelte.
(g) (4 Pkt.) Bestimmen Sie die totalen elektrischen und magnetischen Felder im Bereich −z0 <
z < z0 .
Hinweis: Ignorieren Sie mögliche Reflexionen an den Grenzflächen.
(h) (6 Pkt.) Berechnen Sie die z-Komponente des zeitgemittelten Poyntingvektors hSz i für das
gesamte Feld.
(i) (3 Pkt.) Für welche Phasenwinkel φ wird der Energiefluss in negativer z-Richtung maximal?
(j) (4 Pkt.) Nehmen Sie knapp Stellung zu der Aussage “Evaneszente Felder transportieren keine
Energie.” Wie ist der Energietransport in der vorliegenden Aufgabe zu erklären?
4