GDE 2

Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Inhalt
Inhaltsverzeichnis
ZUSAMMENFASSUNG................................................................................................1
1 Elektrostatik.........................................................................................................................................................1
.1.1 Einführung.....................................................................................................................................................1
.1.1.1 Einführendes Beispiel............................................................................................................................1
.1.2 Elektrische Ladung........................................................................................................................................2
.1.2.1 Ladungsverteilung.................................................................................................................................2
.1.2.2 Raumladungsdichte................................................................................................................................2
.1.2.3 Flächenladungsdichte............................................................................................................................3
.1.2.4 Linienladungsdichte...............................................................................................................................4
.1.2.5 Punktladung...........................................................................................................................................4
.1.3 Die elektrische Feldstärke und Feldlinien.....................................................................................................5
.1.4 Influenz..........................................................................................................................................................7
.1.5 Potentialflächen.............................................................................................................................................8
.1.6 Das Oberflächenintegral................................................................................................................................9
.1.7 Verschiebungsfluss und Verschiebungsdichte ........................................................................................12
..........................................................................................................................................................................14
.1.8 Berechnung der elektrischen Feldstärke einer Punktladung.......................................................................18
.1.9 Arbeit einer Kraft........................................................................................................................................21
.1.10 Elektrische Spannung................................................................................................................................23
.1.11 Elektrisches Potential................................................................................................................................25
.1.12 Potentialflächen.........................................................................................................................................29
.1.13 Gradient der Potentialfunktion..................................................................................................................35
.1.14 Spezielle Methoden der Feldberechung und Darstellung..........................................................................36
.1.14.1 Überlagerung.....................................................................................................................................36
.1.14.2 Feldberechnung mittels Coulomb Integral........................................................................................39
.1.14.3 Überlagerung der Felder zweier geladener Ebenen ..........................................................................42
.1.15 Das Prinzip der Materialisierung...............................................................................................................43
.1.16 Das Spiegelungsprinzip.............................................................................................................................44
...........................................................................................................................................................................44
.1.17 Systematisches Zeichnen von Feld und Potentiallinien (Flächen)............................................................45
.1.18 Kästchenmethode für parallelebene Felder...............................................................................................50
.1.19 Kapazität und Dielektrikum ..................................................................................................................52
.1.19.1 Polarisation des Dielektrikums..........................................................................................................53
.1.19.2 Der Einfluss von auf die Kapazität...................................................................................................55
.1.20 Grenzflächen..............................................................................................................................................59
.1.20.1 Verhalten der Feldstärke in Grenzflächen.........................................................................................59
.1.20.2 Verhalten der Verschiebungsdichte in Grenzflächen........................................................................60
.1.20.3 Zusammenhang zwischen Verschiebungsdicht und Feldstärke in Grenzflächen..............................62
.1.20.4 Brechungsgesetzt für Feldlinien und Verschiebungslinien in Grenzflächen.....................................62
.1.21 Energie im elektrischen Feld ....................................................................................................................63
.1.21.1 Energiedichte.....................................................................................................................................64
2 Das stationäre Strömungsfeld...........................................................................................................................65
.2.1 Strom...........................................................................................................................................................66
.2.2 Stromdicht...................................................................................................................................................67
.2.3 Zusammenhang zwischen Stromdicht und Stromstärke..............................................................................67
.2.3.1 Strom durch eine Potentialfläche.........................................................................................................68
.2.3.2 Strom durch eine geschlossene Fläche ...............................................................................................68
.2.4 Das Ohmsche Gesetz in Elementarform......................................................................................................70
.2.5 Beweglichkeit der Ladungsträger................................................................................................................72
.2.6 Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit von Ladungsträgern..............................................................72
.2.7 Übertragung von Feldberechnung und Darstellungsmethoden der Elektrostatik........................................73
.2.8 Kästchen Methode für parallel ebene Felder...............................................................................................76
-I-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Inhalt
.2.9 Bedingungen an Grenzflächen....................................................................................................................77
.2.9.1 Verhalten der elektrischen Feldstärke in Grenzflächen.......................................................................77
.2.9.2 Verhalten der Stromdichte in Grenzflächen........................................................................................78
.2.9.3 Berechungsgesetz für Strömungslinien ..............................................................................................79
.2.10 Elektrostatisches Feld Strom führender Elektroden..................................................................................81
.2.11 Leistung und Arbeit im Strömungsfeld.....................................................................................................82
3 Magnetostatik.....................................................................................................................................................83
.3.1 Grundlegende Erscheinung.........................................................................................................................83
.3.2 Magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte................................................................................87
.3.3 Magnetischer Fluss......................................................................................................................................89
.3.4 Magnetische Feldstärke...............................................................................................................................89
.3.5 Durchflutung................................................................................................................................................90
.3.6 Feldstärken verschiedenenr Anordnungen..................................................................................................91
.3.7 Magnetische Stoffeigenschaften..................................................................................................................97
.3.7.1 Dia und Paramagnetische Stoffe..........................................................................................................98
.3.7.2 Ferromagnetische Stoffe......................................................................................................................99
.3.7.3 Werkstoffklassen Kurzübersicht........................................................................................................101
.3.8 Magnetisierungskurven.............................................................................................................................102
.3.9 Bedingungen an Grenzflächen..................................................................................................................105
.3.10 Berechnungen magnetischer Kreise........................................................................................................107
.3.11 Kraft und Momente im Magnetfeld.........................................................................................................112
.3.11.1 Magnetisches Moment.....................................................................................................................112
.3.11.2 Kraftwirkung auf Strom durchflossene Leiter.................................................................................113
.3.11.2.1 Parallele Leiter.........................................................................................................................113
.3.11.2.2 Leiter in einem Magnetfeld......................................................................................................114
.3.11.2.3 Motorprinzip............................................................................................................................114
.3.11.3 Kraftwirkung auf frei bewegliche Ladungen...................................................................................116
4 Inatationäre elektromagnetische Felder........................................................................................................117
.4.1 Induktionsgesetz........................................................................................................................................117
.4.1.1 Motorische Induktion (Bewegungsinduktion)...................................................................................117
.4.1.2 Zusammenhang der von dem Leiterabschnitt geschnittenen Flüssen mit dem von einer Leiterschleife
umfassten Fluss............................................................................................................................................119
.4.2 Verketteter Fluss und Bündelfluss.............................................................................................................121
.4.3 Ruheinduktion...........................................................................................................................................122
.4.4 Selbstinduktion..........................................................................................................................................124
.4.5 Energie im Magnetfeld..............................................................................................................................126
.4.6 Magnetische Erregung durch einen Verschiebungsstrom.........................................................................128
5 Maxwellschen Gleichungen in Integraler Form............................................................................................129
FORMELSAMMLUNG..................................................................................................A
STICHWORTVERZEICHNIS........................................................................................J
- II -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zusammenfassung
1
Elektrostatik
.1.1 Einführung
In der Elektrostatik behandeln wir Erscheinungen, Zustände und physikalische Gesetze,
welche bei getrennten und ruhenden Ladungen auftreten. Wir werden sowohl das Verhalten
im Vakuum als auch bei Anwesenheit von Materie untersuchen.
.1.1.1 Einführendes Beispiel
Ein Hartgummistab wird gerieben und mit zwei nebeneinander aufgehängten sehr leichten
Schaumstoffkugeln in Berührung gebracht. Nach der Berührung stoßen sich die Kugeln
untereinander ab, sie werden aber auch vom Hartgummistab abgestoßen. Wird als nächstes ein
Glasstab gerieben und in die Nähe der Kugeln gebracht, so werden die Kugeln zuerst vom
Glasstab angezogen. Nach der Berührung beobachtet man analog zum Hartgummistab eine
Abstoßung zwischen dem Glasstab und den Kugeln. Bringt man nun wiederum den geriebenen
Hartgummistab in die Nähe der Kugeln, so tritt erneut eine Anziehung, nach dem Berühren
wieder Abstoßung auf. Durch die Berührung mit den geriebenen Stäben sind die Kugeln in
einen Zustand versetzt worden, in welchem sie auf andere Körper Kräfte ausüben. Wir
bezeichnen die Körper in diesem Zustand als „elektrisch geladen". Dabei unterscheidet sich
der Ladungszustand von Glas und Hartgummi: Willkürlich hat man den Zustand, in dem sich
der Glasstab nach dem Reiben befindet positiv (+), denjenigen, der sich nach dem Reiben des
Hartgummistabes einstellt, negativ (—) elektrisch geladen genannt. Es gibt also positive und
negative Ladungen.
Abbildung 1
Abbildung 2
-1-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.2 Elektrische Ladung
„Die elektrische Ladung kann in ihrer physikalischen Natur zwar nicht erklärt, wohl aber über
ihre physikalischen Wirkungen und Eigenschaften unmissverständlich als physikalische
Größe definiert werden“.
Elektrische Ladung Q
ein Zustand, der Elementarteilchen anhaftet,
mit den Eigenschaften:
Quantelung der Ladung
elektrische Ladungen sind
nur ganz zahlige Vielfache
einer nicht weiter teilbaren
Elementarladung
e = 1,602 10-19 C
unterschiedliche
Ladungsarten
über die zwischen elektrischen
Ladungen möglichen
abstoßenden und anziehenden
Kraftwirkungen werden
positive e+ und negative eElementarladungen
e+- = ± 1,602 10-19 C
Erhaltungssatz
elektrische Ladung kann nicht
erzeugt oder vernichtet werden.
In einem Raum, dessen Hülle
für Materie undurchlässig ist,
bleibt die Ladung stets
konstant.
.1.2.1 Ladungsverteilung
„Für die Beschreibung der elektrischen Wirkung eines Raumgebietes aus mikroskopischer
Sicht kann der mikrokosmisch diskrete Charakter der Ladung außer Acht gelassen werden.
Man stellt sich also vor, die „körnige“ (punktuell, diskret) über den Raum verteilten
Elementarladungen seien kontinuierlich über den Raum „ verschmiert“ (über ihre
Zwischenräume hinweg verteilt). Die Ladung wird also als ein Kontinuum betrachtet und lässt
sich somit als eine raumdifferentielle Größe, d.h. eine im Raumpunkt (Ausdehnung gleich
null) eindeutig definierte Größe darstellen, die man sich als abstrakten Raumzustand ohne
Bindung an Materie vorstellt.“
.1.2.2 Raumladungsdichte
Ist die mittlere Ladungsdichte, bei der das Volumenelement ∆ V gegen null geht:
ρ =
lim ∆ Q
dQ
=
∆V→ 0 ∆V
dV
-2-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.2.3 Flächenladungsdichte
Beispiel:
Geladene Metallkugel
Zeichnung 1
Gleichmäßige Verteilung der Ladungen auf der Oberfläche, dass bedeutet:
∆Q
= const.
∆A
Beispiel
Hier :
Qg
∆Q
Q
=
=
∆A
Ag
4 π r²
ungleichmäßige Ladungsverteilung
Zeichnung 2
∆Q
von Ort P1 zu P2 ist verschieden, außerdem
∆A
ändert sich dieses Verhältnis an ein und demselben Ort, wenn ∆ A verändert wird.
Die ungleichmäßige Verteilung der Ladung
-3-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
lim
∆ Q
dQ
=
= σ wird als Ladungsdichte bezeichnet. Dieser
∆ A→ 0 ∆A
dA
Grenzwert, wird dem Punkt zugeordnet, um welche die Probefläche zusammengezogen wird.
Sie ist die Idealisierte Ladungsverteilung für Kontinuum mit V → 0 .
Der Grenzwert
.1.2.4 Linienladungsdichte
λ =
lim ∆ Q
dQ
=
∆ s→ 0∆ s
ds
Zeichnung 3
.1.2.5 Punktladung
Dieses Model bezieht sich auf einen Ladungszustand, der keine Räumliche Ausdehnung hat.
Geladene Metallkugeln zum Beispiel, welche man von großer Entfernung, gegenüber ihrem
Durchmesser, betrachtet kann man als Punktladungen annehmen.
Räumliche Verteilung der als
Kontinuum vorgestellten Ladung
allgemeingültig
beschrieben durch
Raumladungsdichte
idealisiert angenommen und
näherungsweise beschrieben durch
Flächenladungsdichte
Linienladungsdichte
-4-
Punktladung
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.3 Die elektrische Feldstärke und Feldlinien
Positive Ladungen (Elektronenmangel), und negative Ladungen (Elektronenüberschuss) sind
Ladungszustände.
Ladungen mit verschiedenen Vorzeichen ziehen sich an, Ladungen mit gleichen Vorzeichen
stoßen sich ab.
FDr . = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sin α
Der Betrag der Kraft wird mit zunehmendem Abstand kleiner.
Ändert sich die Größe der Probeladung, so ändert sich auch das Kraftvektorfeld.
Hingegen ist der Quotient aus Kraft und Ladung die Feldstärke konstant.

 F
E=
q
Elektrische Feldstärke
Die elektrische Feldstärke charakterisiert den Zustand eines jeden Punktes im Raum, der
verursacht wird durch Ladungen (Ladungsträger) in diesem Raum.
„Dessen Zustand können Teilchen in Erfahrung bringen, die die gleiche Eigenschaft wie die
Ursache haben, nämlich Ladungsträger zu sein“. Die Richtung der Feldstärke ist gegeben
durch die Richtung der Kraft auf eine positive Punktprobeladung, die gedanklich oder
tatsächlich im Raumpunkt angebracht wird.
Der Feldstärkevektor ist Tangentenvektor an die Feldlinie im betrachteten Punkt der
Feldlinie.
Elektrische Feldlinie
Als Feldlinie bezeichnet man die Bahn, auf der sich eine Punktprobeladung im elektrischen
Feld bewegen würde. Die systematische Angabe einer Vielzahl solcher Bahnen kennzeichnet
das Feld (Feldbild). Die Richtung, in der die Bahn von einer punktf. positiven Probeladung
durchlaufen wird, charakterisiert man durch eine Pfeilspitze. Die Bewegung erfolgt in jedem
Punkt der Bahn in Richtung der dort erfahrbaren Kraft und damit in Richtung des diesem
Punkt zugeordneten Feldstärkevektors.
Wie schon erwähnt ist der Feldstärkevektor Tangentenvektor an die Feldlinie im betrachteten
Punkt der Feldlinie.
Im Sonderfall, dass jedem Punkt im Raum der gleiche Feldstärkevektor zugeordnet ist, spricht
man von einem homogenen Feld (lauter parallele equidistante Feldlinien).
-5-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Trennung einer positiven und betragsgleichen negativen Punktladung
Zeichnung 4
Merke:
Die positiven Ladungen im R³ sind Ursprung (Quelle) und die
negativen Ladungen sind Senken, wo die elektrischen Feldlinien enden.
Zieht man die Ladungen +Q und –Q weiter auseinander, so ist das Feld
in einer geeignet kleinen Umgebung um eine der Ladungen radial
symmetrisch. Sieht das Feldbild einer einzelnen Ladung im Raum
radialsymmetrisch aus, dann enden die Feldlinien auf einer gleich großen
entgegen gesetzten Ladung im Unendlichen.
Frage:
Wie kann man das Zeichnen von Feldlinien vereinbaren, so das am
Feldlinienbild sogleich erkennbar wird, wo die Feldstärke dem Betrag
nach kleiner oder größer ist?
Säße die Ladung gleichmäßig auf einer Kugeloberfläche, so könnte man die
Oberfläche in lauter gleich große Flächenstücke aufteilen. Ausgehend von
jeder Fläche werde eine Feldlinie gezeichnet.
-6-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zeichnung 5
Wird die Probefläche so wie sie ist, dichter an die geladene Kugel gebracht, so
treten durch sie mehr Feldlinien hindurch. Im Bereich der so verschobenen
Probefläche, sind die Beträge der Feldstärken größer als im Bereich ihrer
ursprünglichen weiter entfernten Lage.
Merke:
Die Anzahl und die Richtung der Feldlinien welche ein Flächenelement
durchsetzt, ist geeignet zur Beschreibung der Feldstärke in diesem
Flächenelement. Bei systematisch gezeichneten Feldlinien gilt, dass der
Feldlinienbetrag dort am größten ist, wo sie am dichtesten verlaufen
.1.4 Influenz
Zeichnung 6
Die Trennung von Ladungen auf einem Körper unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen
Feldes, dem der Körper ausgesetzt ist, nennt man Influenz.
-7-
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Punktladung vor einer Metallplatte
Zeichnung 7
Eine Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke kann nicht vorhanden sein, denn sie
währe verbunden mit einem ständigen driften der Elektronen, in Gegenrichtung zur
elektrischen Feldstärke. Die Ladungen auf der Metalloberfläche, verschieben sich so, dass das
innere der Metallplatte Feldfrei ist. Die Feldstärke ist Tangentevektor an die Feldlinie das
heißt sie steht senkrecht zur Metallplatte. Feldlinien sind senkrecht zu den Metalloberflächen
wenn in diesen keine Ströme fließen.
.1.5 Potentialflächen
Eine in sich geschlossene Fläche, zu der die Feldlinien überall senkrecht stehen heißt
Potentialfläche.
Beispiel:
Punktladung, die Oberfläche einer konzentrischen Kugel wäre eine
Potentialfläche.
Konturlinien von Potentialflächen heißen Potentiallinien.
-8-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.6 Das Oberflächenintegral
Das Oberflächenintegral oder auch das Flussintegral genannt. Am Beispiel von einer
Flüssigkeitsströmung, soll dies erklärt werden. Das Oberflächenintegral ist ein Maß für die
Flüssigkeitsmenge, die in der Zeiteinheit durch ein bestimmtes Flächenstück hindurch strömt,
und somit in gewisser Hinsicht gibt es Aufschluss über die Intensität und stärke des Feldes an
dem betrachteten Punk.
Beispiel:
Ein Flächenelement senkrecht zur Strömung einer konstanten
Strömungsgeschwindigkeit.
Abbildung 3
Ein Flüssigkeitsteilchen legt in der Zeit ∆ t den Weg ∆ s = v ⋅ ∆ t zurück. Dann
fließen alle diejenigen Teilchen, die sich zum Zeitpunkt t links vom
Flächenelement ∆ A befinden und von diesem einen abstand haben, der nicht
größer ist als ∆ s in den folgenden ∆ t Sekunden durch diese Fläche hindurch.
Dies sind die Flüssigkeitsteilchen, die sich zur Zeit t, in dem quaderförmigen
Volumenelement ∆ V links vom Flächenelement ∆ A befanden.
∆V = ∆A⋅ ∆s = ∆A ⋅ ∆t ⋅ v
Abbildung 4
Es strömt je Zeiteinheit die Flüssigkeitsmenge durch das Flächenelement.
∆V
= v ⋅∆ A
∆t
Man sagt auch dazu der Flüssigkeitsfluss durch das Flächenelement.
-9-
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Nun wird ein vektorielles Flächenelement ∆ A eingeführt.
Abbildung 5
Merke:
1.
2.
3.

Der Vektor ∆ A steht senkrecht auf dem Flächenelement ∆ A .
Er zeigt bei geschlossenen Hüllen nach außen.
Sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt des Flächenelementes.
Abbildung 6
Nun kann man die in der Zeiteinheit durch das Flächenelement fließende Flüssigkeitsmenge
auch wie folgt durch ein Skalarprodukt darstellen.


 
∆V
= v ⋅ ∆ A = v ⋅ ∆A = (v ⋅ N ) ∆A
∆t
Beispiel:
Konstante Strömungsgeschwindigkeit, und das Flächenelement ist gegen die
Strömung geneigt.
Abbildung 7
- 10 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Durch Zerlegung des Geschwindigkeitenvektors wird klar, dass nur die Normalkomponente
einen Beitrag zum Durchfluss liefert.


∆V 
= vN ⋅ ∆ A = v ⋅ ∆ A
∆t
Abbildung 8
Im Sonderfall, dass die Fläche parallel zur Strömungsrichtung liegt, ist der Durchfluss gleich
null.
Abbildung 9
Die Summe aller Oberflächenelemente ergibt das Oberflächen oder Flussintegral.
 
v
∫ ∫ ⋅ dA =
( A)
Abbildung 10
- 11 -
∫∫
( A)
 
( v ⋅ N ) dA
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.7 Verschiebungsfluss und Verschiebungsdichte
Zeichnung 8
Zeichnung 9
Für einen Punkt auf der metallischen Fläche, lässt sich die Influenzladungsdichte angeben. Da
man sich irgendeinen Punkt im Raum vorgeben kann, durch den man eine Potentialfläche
legt, welche metallisch materialisiert ist, kann man für diesen Punkt die Influenzladungsdichte
berechnen. Diese Influenzladungsdichte nennt man nun Verschiebungsflussdicht oder kurz
Verschiebungsdichte.
Sie ist definiert als ein Vektor, dessen Betrag gegeben ist als Grenzwert des Verhältnisses von
Ladungsbetrag und Hüllflächenelementgröße für gegen 0 strebenden Flächeninhalt.
Dabei ist das Flächenelement ein Element, welches senkrecht von den Feldlinien durchsetzt
wird, und die Ladung ein Teil der das Feldlinien erregenden Ladung der diesem Element
zugleich mit und durch die systematisch gezeichneten Feldlinien zugeordnet ist.
Zur Anschauung:
Sie würde im Falle einer metallischen materialisierten Potentialfläche
auf diesem Flächenelement als Influenzladung auftreten.
- 12 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Die Verschiebungsdichte ist zumeist (bei isotropen Stoffen) proportional zur elektrischen
Feldstärke. Dieser Proportionalitätsfaktor ist die so genannte Dielektrizitätskonstante oder
elektrische Permitivität ε .
Sie ist abhängig von dem Medium, in dem sich das elektrische Feld erregt ist.
D =
lim
∆Q
=
∆A→ 0 ∆A
dQ
dA
;


D= D ⋅e
;


E = E ⋅e

e = Einheitsvektor in Richtung der elektrischen Feldstärke


D = ε ⋅ E
Beispiel:
[ D]
=
As
m²
konzentrischer kreis
Zeichnung 10
Anschauliche Vorstellung:
Die metallisch materialisierten Potentialflächen sollen nun aufgebläht werden. Die
Influenzladung auf der inneren kleinen Fläche verteilt sich damit dann auf eine größere
Fläche. Die Influenzladungsdichte an den Stellen P1 und P2 wird offensichtlich kleiner. Wird
die metallisch materialisierte Fläche (Potentialfläche) immer weiter aufgebläht, dann ist die
Influenzladung schließlich vollständig durch die vorgegebene gedachte Potentialfläche
(Hüllfläche) hindurch getreten. Die Hüllfläche ist hier zunächst als Kugeloberfläche gewählt
und damit auch selbst Potentialfläche.
- 13 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Dies soll nun abgewandelt werden.
Zeichnung 11

∆ A~ :
Sei ein Vektor senkrecht zum blauen Flächenstückchen mit einer Länge, die
dem Flächeninhalt entspricht (Flächennormale).
∆ A:
grünes Flächenstückchen
Es gelte:


∆ A~ = ∆ A
α :

Winkel zwischen D und ∆ A
Die Ladung, die durch die grüne Fläche hindurch geschoben wird, wird auch durch die orange
gestrichelte Linie hindurch geschoben.
Das Flächenelement sei so klein, dass das Hindurchschieben der metallisch materialisierten
Potentialfläche praktisch nicht mit einer Änderung von D verbunden ist.
Durch die grüne Fläche hindurch geschobene Ladung:



D ⋅ ∆ A ⋅ cos (α ) = D ⋅ ∆ A
Nun kann man sich in 2-facher Hinsicht von der Krücke der Anschauung befreien.
Erstens:
Es ist nicht länger nötig, sich die Potentialfläche metallisch materialisiert
vorzustellen um über den Umweg der Influenz zu erkennen, dass jedem Punkt
im Raum theoretisch eine Größe, die Verschiebungsdichte Koordinate, mit der
Dimension einer Ladungsdichte bzw. Verschiebungsdichte Vektor zugeordnet
werden kann.
- 14 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zweitens:
Wenn die Hüllfläche keine Potentialfläche ist, weis man, wie aus der Stellung
des Verschiebungsdichte-Vektors und der Flächennormalen Teilladungen zu
Teilflächen errechnet, so dass gilt, dass die Summe aller Teilladungen die
umhüllte Ladung ergibt.
Beispiel:
Beliebige Hüllfläche
Zeichnung 12

Die Hüllfläche sei aufgeteilt in lauter kleine Teilflächen ∆ Ai .
n
∑
i= 1


Di ⋅ Ai ≈ Q
⇒
∫


D ⋅ dA = Q
Verschiebungsfluss
Das Integral des Skalarproduktes aus Flächennormalen und Verschiebungsdichte über eine
Probefläche im Raum heißt Verschiebungsfluss für diese Fläche.
ψ =
∫


D ⋅ dA
A
Der Zählpfeil muss in das Gebiet weisen, in das auch
alle Flächennormalen weisen!
Zeichnung 13
- 15 -
Thomas Goldschmidt
Merke:
Feldtheorien
Elektrostatik
1)
Der Verschiebungsfluss ist ein Skalar und hat die Einheit As.
2)
Die Bezeichnung „Fluss“ bedeutet nicht, dass durch die
Probefläche etwas hindurch flösse. Man denke dabei eher an das
durchdringt der Feldlinien durch die Fläche (Anzahl der
Feldliliendurchtritte).
Gaußscher Satz der Elektrostatik
Das Integral des skalaren Produktes aus el. Verschiebungsdichte und nach außen gerichteter
Flächennormalen, über eine geschlossene Hülle, die die Ladung Q umgibt, ergibt die Ladung
Q.
∫
 
D dA = Q
Es ist plausibel, dass bei der Aufblähung einer Potentialfläche, so dass sie ganz durch eine
beliebige Hüllfläche geschoben erscheint, durch diese die Influenzladung Q schieben würde,
wenn die geschlossene Potentialfläche metallisch materialisiert wäre.
Zeichnung 14
Beispiel:
Zwei ungleichnamige Punktladungen mit beliebigen Hüllflächen
graue Fläche:
 
D
∫ dA = − Q
blaue Fläche:
 
D
∫ dA = Q
orange Fläche:
 
D
∫ dA = 0 As
Zeichnung 15
- 16 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Ungeladene Metallkugel, zwischen zwei geladenen Kugeln
Zeichnung 16
Die mittlere Kugel ist ungeladen, von ihr geht keine Feld erregende Wirkung aus.
Die auf ihr durch Influenz entstandenen Ladungen ergeben zusammen 0 As.
Es gibt genauso viele Feldlinieneintritte wie -austritte.
Beispiel:
Reihenschaltung von Kondensatoren
Zeichnung 17
Q´ ist so groß, dass die elektrische Feldstärke im Metall der mittleren Elektroden 0 V/cm ist.
Mit nur geringen Abständen zwischen den äußeren und inneren Elektroden, ist ∆ Q = 0As wo
von man bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ausgeht.
- 17 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.8 Berechnung der elektrischen Feldstärke einer Punktladung


E = E ⋅ er
 
D= E ⋅ ε
 
∫ D dA
=

∫ D⋅ e
r

⋅ e N ⋅ dA = Q
Zeichnung 18
Es ist grundsätzlich zweckmäßig solche Flächen zu wählen, für die das Skalarprodukt
 
er ⋅ e N entweder 1 oder null ist. Wählt man eine Potentialfläche so ist das Skalarprodukt 1.
∫
 
D dA =

∫ D⋅ e
r

⋅ e N ⋅ dA =
∫D
dA = Q
D ⋅ 4 π r² = E ⋅ ε ⋅ 4 π r² = Q
Q
E=
ε ⋅ 4 π r²
Beispiel:


F = q⋅ E
⇒

E =

Q
r
⋅ 
ε ⋅ 4 π r²
r
Die Kraftwirkung einer Punktladung q im Aufpunkt P mit dem abstand r von
der Felderregenden Punktladung.
⇒

F = q ⋅

Q
r
⋅ 
ε ⋅ 4 π r²
r
- 18 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Überlagerung von elektrischen Feldstärken
Zeichnung 19
Zunächst geht man aus von der Addition (Überlagerung) der Kräfte, die auf die Probeladung
wirken. Genauso addieren sich aber auch die Feldstärken.

 
E = E1 + E 2 =
Beispiel:


Q1
r1
Q2
r2
⋅  +
⋅ 
ε ⋅ 4 π r1 ²
r1
ε ⋅ 4 π r2 ² r2
Linienladung, mit konstanter Linienladungsdichte
Zeichnung 20
Die Feldlinien sind lauter radiale Strahlen, die in einer Ebene senkrecht zu der Achse (Linie)
stehen. In Ebenen, parallel zu dieser Ebene, ergibt sich genau das gleiche Feldbild solange der
Abstand dieser Ebene weit genug vom Ende dieser Linie entfernt ist bzw. die Linie unendlich
lang ist. Es liegt ein so genanntes parallelebenes Feld vor. Potentialflächen sind hier
Mantelflächen von konzentrischen Zylindern um die Linie.
- 19 -
Thomas Goldschmidt
∫
Feldtheorien
 
D ⋅ dA =
∫


D ⋅ dA +
Mantel
∫
 
D e ⋅ e N dA +
∫
D dA = λ ⋅ l
Mantel
∫
 
D ⋅ dA +
 
D ⋅ dA = Q = λ ⋅ l
∫
Boden
∫
Elektrostatik
Deckel
 
D e ⋅ e N dA +
Boden
∫
 
D e ⋅ e N dA = λ ⋅ l
Deckel
Mantel
D⋅ 2π ρ ⋅ l = λ ⋅ l
D⋅ 2π ρ = λ
E =
λ
2π ρ ε
mit D = E ⋅ ε

E=
- 20 -

ρ
⋅ 
2π ρ ε
ρ
λ
fo lg t :
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.9 Arbeit einer Kraft
Beschreibung eines Weges:
-
-
Es wird eine Wegkoordinate s gewählt, deren Betrag die Weglänge vom
Bezugspunkt Pa zum Wegpunkt P ist und deren Vergrößerung eine positiv zu
nennende Durchlaufungsrichtung definiert.

Einem Wegelement wird ein Vektor ∆ S zugeordnet.
1.
2.
3.
-
Der Vektor sei Tangentenvektor.

Die Richtung des Vektors ∆ S soll die Richtung der aktuellen
Durchlaufung des Elementes sein.
Sein Betrag soll gleich der Länge des Wegelements sein.

Es wird ein Tangenteneinheitsvektor et im Punkt P an den Weg in positiver
Durchlaufungsrichtung eingeführt.


∆ s = ∆ s et
∆ s = sv +
∆
− sv > 0
∆ s = sv − sv + ∆ < 0
bei positivem Durchlauf
bei positiven Durchlauf
Kraftkomponente in Richtung oder Gegenrichtung des Weges


Ft = Ft et
Ist die Kraftkomponente parallel (Ft > 0N) oder antiparallel (Ft < 0N) zum
Wegelementvektor für jeden Wegpunkt konstant, so gilt für das Wegstück:
∆ W = Ft ⋅ ∆ s
- 21 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Diese Größe lässt sich auch durch ein Skalarprodukt ausdrücken:
 


 
∆ W = ∆ s ⋅ Ft = ∆ s et ⋅ Ft ⋅ et = ∆ s ⋅ Ft ⋅ cos (α )
Erfordern die Kraft oder der Weg Unterscheidungen von endlich vielen Wegabschnitten, für
welche die obigen Vorraussetzungen erfüllt sind, so gelten:
W =
n
∑
i= 1


F i ⋅ ∆ si =
n
∑
i= 1
 
Fi ⋅ eti ⋅ ∆ si
Sind solche Änderungen der Kraft bezüglich Betrag und Stellung zum Wegelementvektor von
einem Wegpunkt zum anderen gegeben, so kann eine Aufteilung des Weges in lauter kleine
Wegstücke und die Bildung obiger Summe dazu nur eine Näherung der Arbeit der Kraft
ergeben. Verfeinerung der Aufteilung, Übergang zum Integral:
W =
Pe
∫
Pa
 
F ⋅ ds =
Se
∫
Sa
- 22 -
 
F ⋅ et ⋅ ds
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.10Elektrische Spannung
Zeichnung 21
Bei dem Bewegen einer Probeladung, in einem durch eine Punktladung erzeugten
elektrischen Feld, muss Arbeit verrichtet oder aufgenommen werden.
Allgemein gilt:
W =
Pe
∫
 
F ds =
PA
Beispiel:
se
 
q
⋅
E
⋅ ds
∫
sA
Die Arbeit einer Probeladung in Richtung einer Feldlinie
Zeichnung 22
- 23 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Die Arbeit einer Kraft längs des Weges von P1 nach P2 berechnet sich folgender maßen:
W12 =
s2
∫
 
F ds =
s1
s2
∫
s2
 
F et ⋅ et ⋅ ds =
∫ F ds
s1
s1
Es geht über in:
r2
W12
r2
r2
Q
Q⋅ q
= ∫ F dr = ∫ q ⋅ E dr = q ∫
dr =
ε ⋅ 4 π r²
4π ε
r1
r1
r1
W12 =
r
r2
1
Q ⋅ q  − 1 2
Q⋅ q  1 1
 − 
dr
=
⋅   =
∫r r ²
4
π
ε
r
4
π
ε


r
 r1 r2 
1
1
Q⋅ q  1 1
 − 
4 π ε  r1 r2 
Mann kann feststellen, wenn q verdoppelt wird, wird auch die Arbeit W12 verdoppelt. Daher
gibt man eine auf q bezogene Größe an.
Von dem Beispiel losgelöst, gelangt man zu der Definition der elektrischen Spannung.
Die Größe, welche sich ergibt, indem die Arbeit W12 der elektrischen Kraft auf eine
punktförmige Probeladung für die Bewegung von einem Punkt P1 im elektrischen Feld zu
einem Punkt P2 durch die durch die Probeladung dividiert wird, wird als elektrische Spannung
U12 zwischen den beiden Punkten bezeichnet.
U 12 =
W12
q
P
=
P
1 2
⋅ F ds
q P∫1
U 12 =
=
P2
∫ E ds
P1
Der Zählpfeil für U12 wird
vom Punkt P1 zu dem
Punkt P2 angesetzt.
Zeichnung 23
- 24 -
1 2
⋅ q ⋅ E ds
q P∫1
Thomas Goldschmidt
Merke:
Feldtheorien
Elektrostatik
Die Spannung zwischen zwei Punkten ergibt sich als Wegintegral der
Feldstärke.
Man kann nun jedem Punkt im Raum eindeutig eine Spannung gegenüber eines gemeinsamen
Bezugspunktes zuordnen (elektrisches Potential).
.1.11Elektrisches Potential
Das elektrische Potential φ1 in einem Punkt P1 im elektrischen Feld ist gleich der Arbeit W10
der Feldkraft, wenn eine Punktladung von diesem Punkt zum Bezugspunkt P0 gebracht wird,
geteilt durch die Ladung.
ϕ1 =
W10
= U 10
q
Potential = Spannung gegenüber einem Bezugspunkt
Merke:
Für einen positiven Ladungsträger ist die Lage in einem Punkt im Feld, dem
ein positiveres Potential gegenüber einem anderen Punkt zugeordnet ist,
verbunden mit einem Zustand höherer potentieller Energie als in dem anderen
Punkt. ( Bewegung gegen die Abstoßung, Anstieg der Arbeit der mechanischen
Kraft.).
Für einen negativen Ladungsträger wächst die potentielle Energie mit einer
Bewegung zu einem Punkt niedrigeren Potentials (Bewegung entgegen der
Anziehung, Anstieg der Arbeit der mechanischen Kraft).
Die Arbeit der elektrischen Kraft auf eine positive Probeladung wird größer,
wenn diese von einem Punkt höheren Potentials zu einem Punkt niedrigen
Potentials gelangt. Die Arbeit der elektrischen Kraft auf eine negative
Probeladung wird größer, wenn diese von einem Punkt niedrigen Potentials zu
einem Punkt höheren Potentials gelangt.
- 25 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Potentialfunktion
Die Zuordnung des elektrischen Potentials zu jedem Punkt des Raumes wird
Potentialfunktion genannt. P, beschrieben durch r
φ
:
Elektrisches Potential am Punkt P
φ
:
Potentialfunktion
r
:
Ortsvektor zum Punkt P
Die Potentialfunktion ist die mit -1 multiplizierte und durch die Wahl des Bezugspunktes
speziell gewählte Stammfunktion zum Integranden des Wegintegrals der elektrischen
Feldstärke mit variabler oberer Grenze.
P
P0
P0
P
ϕ = − ∫ E ds = ∫ E ds = φ ( r )
Spannung zum Bezugspunkt P0
Die Wegintegration ist unabhängig vom gewählten Weg vom Bezugspunkt zum Punkt P.
Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2 ergibt sich zu:
P2
Po
P2
P2
P1
P0
P0
P1
P1
P0
P0
P0
P1
P2
U 12 = ∫ E ds = ∫ E ds + ∫ E ds = ∫ E ds − ∫ E ds = ∫ E ds − ∫ E ds
U 12 = ϕ 1 − ϕ
Merke:
2
Die Potentialfunktion beschreibt ein Skalarfeld!
- 26 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel :
Feldtheorien
Elektrostatik
Punktladung als Feld erregende Ladung
Zeichnung 24
Der Weg führt von P0 nach P1, und anschließend nach PA.
Das Wegstück von P1 nach PA liefert keinen Beitrag, denn es gilt:
U1A =
PA
∫
PA
 
E ds =
∫
P1

E=
ϕ
ϕ
A
A
 
E et ds
P
1
 

Q
Q
= − ∫
⋅ e ds = − ( ∫
⋅ e et ds +
ε ⋅ 4 π r²
ε ⋅ 4 π r²
P0
P0
= φ ( rA ) = − (
P1

E=

mit Einheitsvektor e in Feldlinienrichtung .
PA

( rA )
 
E ⋅ et = 0
P1

Q
r
⋅ 
ε ⋅ 4 π r²
r
= φ
 
mit E ⊥ et ⇒
Q
∫P ε ⋅ 4 π r ² ( − 1) ds +
0
PA
Q
∫P ε ⋅ 4 π r ² ⋅ 0 ds ) =
1
PA
∫ε
P1
sA
∫ε
s0

Q
⋅ e et ds )
⋅ 4 π r²
Q
ds
⋅ 4 π r²
Auf dem interessierenden Wegabschnitt lässt sich s durch r ausdrücken.
- 27 -

Q
⋅e
ε ⋅ 4 π r²
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
ds
= −1
⇒
ds = − dr
dr
Untere Grenze :
r = r0 − s0 = r0
s = r0 − r
r = r0 − s1 = rA
Obere Grenze :
ϕ
= φ
A
=
s1

( rA )
Q
Q
= − ∫
dr = −
ε ⋅ 4 π r²
ε ⋅ 4π
s0
rA
∫
r0
1
Q
dr = −
r²
ε ⋅ 4π
 1
 rA
−
+
C
 r
 r
0
Q
Q
−
ε ⋅ 4 π rA
ε ⋅ 4 π r0
Man erkennt, dass man den Bezugspunkt P0 auch ins Unendliche verschieben kann. Die
Bezeichnung für den speziellen Punkt PA wird nun ersetzt durch eine Bezeichnung für einen
allgemeinen Punkt, der interessieren könnte, nämlich P.
φ =
Q
ε ⋅ 4π r
Konturlinien symbolisieren
die
Potentialflächen
Zeichnung 25
- 28 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.12Potentialflächen
Wird eine Probeladung senkrecht zu den Feldlinien bewegt, so verrichtet die elek. Feldkraft
keine Arbeit. Die Gesamtheit aller Punkte gleichen Potentials, ergibt im R³ eine
Potentialfläche. Konturlinien solcher Flächen heißen Potentiallinien. Zwischen den Punkten
zweier ausgewählten Potentialflächen herrschen die gleichen Spannungen.
Beispiel:
Linienladung
Zeichnung 26
Der Weg geht von P0 nach PA.


ρ
λ
⋅  =
⋅ e
2π ρ ε
ρ
2π ρ ε

E=
ϕ
λ
sA
A
 
= − ∫ E ds =
−
s0
Mit :
ϕ
A
sA
∫
s0
λ
2π ρ ε
 
e et ds = −
sA
∫
s0
λ
2π ρ ε
ds
s= ρ
λ
= −
2π ε
SA
1
∫ρ
dρ
Weitere Schritte ausgelassen.
s0
- 29 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien

Allgemeines Potential der Linienladung im Punkt P im Abstand ρ .

ρ
λ
ϕ = φ = −
ln
2π ε
ρ0
Zeichnung 27
Zeichnung 28
- 30 -
Elektrostatik
Thomas Goldschmidt
Frage:
Feldtheorien
Elektrostatik
Wie ändert sich das Potentiallinien Bild wenn ein anderer
Bezugspunkt gewählt wird.
Die Potentialflächen (-linien) – Konfiguration ändert sich mit Wahl eines
anderen Bezugspunktes nicht. Alle Potentialwerte ändern sich um dieselbe
Konstante. Insbesondere bleiben Potentialdifferenzen (Spannungen) zwischen
zwei Punkten unverändert.
P
ϕ = −
 
∫ E ds
Nun soll P1 neuer Bezugspunkt sein :
P0
ϕ~ = −
P
∫
 
E ds −
P1
P0
∫
 
E d −
P1
Beispiel:
P
∫
 
E ds = k + ϕ
P0
Zwei Betragsgleiche, aber Vorzeichenverschiedene Felderregende
Punktladungen.
Zeichnung 29
ϕ = −
P2
∫

E ds = −
P1
P2
∫
P1



( E1 + E 2 ) ds = −
P2
∫
 
E1 ds −
P1
P1 → ∞
ϕ =
Q
4π ε
 1 1
 − 
 r1 r2 
- 31 -
P2

∫E
P1
2

ds =
Q
−Q
+
4 ε π r1
4 π ε r2
Thomas Goldschmidt
Merke:
Feldtheorien
Elektrostatik
Die Überlagerung der Potentiale ist eine einfache Skalare Addition.
Während bei der Überlagerung der Feldstärken Vektoren Addiert werden.
Für dieses Beispiel gilt weiter, da für die einzelnen Ladungen der Ort, für das Potential 0V
schon definiert worden ist, ergibt er sich hier zwangsläufig.
ϕ = 0V
⇒
 1 1
1
 −  = 0
m
 r1 r2 
⇒
r1 = r2
∨
r1 → ∞ ∧ r2 → ∞
Wenn r1 gleich r2 ist, dann wird die Fläche durch die Mitte der Verbindungslinie und
senkrecht zu ihr definiert.
Q
ϕ =
4π ε
 1 1 !
 −  = konst.
 r1 r2 
 1 1
k
 −  =
l
 r1 r2 
ϕ =
⇒
⇒
Q
4π ε
r1 =
k
l
mit k ∈ ± N
r2
r
1+ 2 k
l
Lässt man nun r2 bei einem vorgegebenen Wert l, verschiedene Werte von k durchlaufen, so
gehört zu jedem r2 ein Wert von r1. Wenn die zugehörigen Kreise Schnittpunkte haben, so
liegen sie auf der Potentialfläche mit dem vorgegebenen Wert. Es ergeben sich keine
Kugeloberflächen, aber die Flächen nähern sich Kugeloberflächen an, je näher sie an den
Punktladungen sind.
Diskussion
r1 = r2
mit
r1 + r2 = l
⇒
ϕ = 0V
r1 → 0m
mit
r1 + r2 = l
⇒
ϕ =+ ∞
r2 → 0m
mit
r1 + r2 = l
⇒
ϕ =−∞
Zeichnung 30
- 32 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Der Grenzfall eines Punkdipols
Die beiden Punktladungen aus dem vorigen Beispiel werden nun zusammen gerückt, wobei
gleichzeitig die Ladung Q vergrößert wird, so dass gilt:
l → 0m
∧
Q → ∞
Zeichnung 31
Laufen nun die zwei Ladungen eng zusammen dann gilt ungefähr:
r1 ≈ r
ϕ =
Q
4π ε
und
r2 ≈ r
 1
1
Q

 =
−
r2 
4π ε
 r1
und
r2 − r1
r2 r1
≈
r2 − r1 ≈ cos(α ) l
Q
4π ε
cos(α ) l
r²
Wird nun der Grenzübergang vollzogen so dass l → 0m und Q → ∞ As mit Q ⋅ l = cons .
Dipolmoment und Dipol
Der Dipol ist ein Vektor, dessen Betrag der des Dipolmomentes ist, und dessen Richtung von
der negativen zur positiven Ladung im Grenzübergang zusammenrückenden Ladungen weist.


p = Q l e
ϕ =
p cos(α )
4 π ε r²
- 33 -
Thomas Goldschmidt
ϕ = const.
⇒
Feldtheorien
r=
p cos(α )
4π ε ϕ
r=
Elektrostatik
p cos(α )
c
Zeichnung 32
Man kann auch von zwei parallelen Linienladungen Betragsgleich und
Vorzeichenverschieden ausgehen, und solch einen Grenzübergang durchführen, dann erhält
man das künstliche Gebilde des Linien Dipols.
- 34 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.13Gradient der Potentialfunktion
Frage:
Wie erhält man aus der Potentialfunktion die elektrische
Feldstärke für einen beliebigen Punkt im Raum?
Zeichnung 33
Hat man die Potentialfunktion gegeben, so kann aus ihr, die Feldstärke berechnet werden.
Aus Analysis 2 hat der differential Operator „grad Skalarfunktion“ folgende Eigenschaften:
Er steht senkrecht auf den Niveauflächen oder Potentialfläche von φ und zeigt in die
Richtung des größten Zuwachses von φ .
Abbildung 11
Mit der Eigenschaft, dass der Gradient rechtwinklig auf der Potentialfläche steht ist er perfekt
geeignet zur Berechnung der Feldstärke.

E = − grad φ ( x ; y ; z ;)
- 35 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
ϕ =
Q
4π ε
Feldtheorien
Elektrostatik
Punktladung
1

r
=
Q
4π ε
1
x² + y ² + z ²
Zwischenrechnung selbst durchführen.

E =


Q
r
Q
e
 =
4 π ε r² r
4 π ε r²
.1.14Spezielle Methoden der Feldberechung und Darstellung
.1.14.1 Überlagerung
Beispiel:
Punktladungen
Zeichnung 34
Bei Punktladungen, setzt sich die Resultierende Feldstärke aus der Vektorielen Addition der
einzelnen Feldstärken zusammen.
- 36 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Nichtmetallische Kugel, mit gleichmäßig verteilten Ladungen auf der
Oberfläche.
Zeichnung 35
Die Berechnung läuft ab wie bei den Punktladungen.
Beispiel:
Nur jeweils eine metallische Kugel für sich betrachtet.
Zeichnung 37
Zeichnung 36
- 37 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Beide Kugeln zusammen im Raum
Zeichnung 38
Es kommt nicht auf die Elektroden an, sondern auf die Verteilung der Ladung im Raum.
Diese ist auf der einzelnen Kugel, eine andere, als in dem Fall, dass sich jeweils die Ladung
der Kugel im Raum befindet.
Merke:
Die Überlagerung von Feldern einzelner Anordnungen ergibt nur dann das Feld
der gesamten Anordnung von Felderzeugern, wenn die Verteilung der in die
Rechnung eingebundenen Ladungen auf der einzelnen Anordnung ohne
Gegenwart der anderen Felderzeuger durch die Gegenwart der übrigen
Felderzeuger nicht verändert wird.
- 38 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.14.2 Feldberechnung mittels Coulomb Integral
Merke:
Beispiel:
Eine Linie, eine Fläche oder ein Raumgebiet wird in kleine Abschnitte
aufgeteilt, deren Ladungen jeweils ersatzweise wie Punktladungen angesehen
werden. Die elektrischen Feldstärken dieser Ladungen werden jeweils
überlagert. Aus der Summe, die diese Überlagerung darstellt wird bei immer
feiner werdender Aufteilung im Grenzfall ein Integral, das Coulomb-Integral
genannt wird.
Linienladung
Zeichnung 39
Beispiel:
Feld einer gleichmäßig in einer Ebene verteilten Ladung
Zeichnung 40
Die horizontalen Komponenten der Kräfte, die von den Ladungen eines Ringes ausgehen,
heben sich auf. Die vertikalen Komponenten addieren sich.
- 39 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Bemerkung: Die Ladung ∆ A ⋅ DQ kann wie eine Punktladung angesehen werden, wenn ∆ A
genügend klein ist.
Fik = −
Q q
4 π ε r²
=
− 1 ∆ Ai Dq q
4 π ε rk ² + a ²

Die resultierende Kraft in Richtung en ist die Summe aller Teilkräfte Ft ik .
Ft ik = Fik cos(α )
FRing k ≈ −
mit :
n
∑
i=1
mit
∆ Ai Dq q a
n
1
∑i = 1 4 π ε
∆ Ai
cos(α ) =
rk ² + a ( rk ² + a )
a
rk ² + a ²
= −
Dq q a
4π ε ( rk ² + a ² )
n
3/ 2
∑
i=1
∆ Ai
2 π rk ∆ r
≈
Die gesamte Ebene wie in m Ringe aufgeteilt. Die Kraft der gesamten Ebene ist nun die
Summe aller Ringe.
Fm = −
Dq q a
m
∑
k= 1
4π ε ( rk ² + a ² )
3/ 2
2 π rk ∆ r
Der Übergang zum Integral:
Fm = −
Dq q a R
2ε
∫ ( r²
0
r
dr
3/ 2
+ a² )
⇒
F= −
Dq q a 
1
− 1/ 2
+ 
 − ( R² + a² )
2ε
a

Dehnt man die Fläche unendlich weit aus so dass R → ∞ wird die Feldkraft auf die
Probeladung unabhängig von der Höhe a
lim
F
R→ ∞
= −
Dq q
2ε
⇒
E =
- 40 -
Dq
F
= −
q
2ε
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Die Rechnung zeigt, dass das Feld auf einer Seite der Ebenen homogen ist, und auf der
anderen Seite (anderen halb Raum) ebenfalls Homogen ist.
Zeichnung 42
Zeichnung 41
Wenn man nun weis, dass in den beiden Halbräumen das Feld jeweils Homogen ist, dann
kann man die Ergebnisformel auf andere weise viel leichter Herleiten.
Und zwar wenn man den Gaußschen Satz der Elektrostatik benutz.
Zeichnung 43
Legt man mittig in die Ebene einen Quader, so dass die Feldlinien die Deckflächen
rechtwinklig durchdringen, dann liefern nur diese Flächen Beiträge für das Integral.
- 41 -
Thomas Goldschmidt
Q=
∫
 
D dA
Q = D
Feldtheorien
=
∫
 
D dA +
Deckel
∫ dA =
∫
 
D dA =
E=

D e en dA +
Deckel
mit Dq =
Deckel
A Dq = D 2 ADeckel
∫
Stirn
D 2 ADeckel
Elektrostatik
Q
A
und mit D = E ε
Strin
und A = ADeckel
fo lg :
Dq
2ε
.1.14.3 Überlagerung der Felder zweier geladener Ebenen
Zeichnung 44
- 42 -
 
en dA
∫De
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Praktisch liegt dise Konfiguration bei dem Plattenkondensator
vor.
Zeichnung 45
Von einem Plattenkondensator spricht man wenn der Abstand der parallelen Platten sehr viel
kleiner ist als der Plattendurchmesser (Größe der Platte).
.1.15Das Prinzip der Materialisierung
Ein elektrostatisches Feld ändert sich nicht, wenn man eine beliebige Potentialfläche durch
eine dünne leitende Metallschicht ersetzt. Durch Influenz entsteht auf der inneren Fläche eine
Ladung, die der umhüllten Ladung betragsmäßig gleich, dem Vorzeichen nach
entgegengesetzt ist. Das Feld ändert sich außerhalb dieser Fläche auch dann nicht, wenn die
umhüllte Ladung entfernt wird und eine solche Ladung auf die äußere Fläche gebracht wird,
was bedeutet, dass die äußere Fläche auf das Potential gebracht wird, das der Potentialfläche
entspricht, die durch sie materialisiert ist. Das Innere ist sodann feldfrei und kann ebenfalls
materialisiert werden.
Mit der Berechnung des elektrischen Feldes für eine Anordnung sind zugleich alle
Anordnungen berechnet, die durch Materialisierung von Potentialflächen dieses Feldes
gegeben sind.
- 43 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.16Das Spiegelungsprinzip
Ist das elektrische Feld einer felderzeugenden Ladungsanordnung in einem Halbraum zu
berechnen, der von der anderen Hälfte durch eine gegenüber den Abmessungen der
Ladungsanordnung als unendlich ausgedehnt anzusehen leitenden Fläche, so kann die
Ladungsanordnung mit entgegengesetztem Vorzeichen der Ladung an der Ebene gespiegelt
werden und das Feld berechnet werden. Auf diese Weise sind die Forderungen Potential 0 V
für die Ebene und senkrechter Eintritt der Feldlinien in die Ebene erfüllt.
Beispiel:
Feld einer Punktladung gegenüber einer unendlich ausgedehnten Metallplatte
Abbildung 12
Merke:
Man erhält das elektrische Feld und das Potential einer Punktladung
gegenüber einer geerdeten leitenden Ebenen, wenn man an dieser Ebene
eine negative
Punktladung spiegelt, und das Feld zwischen diesen beiden Ladungen
berechnet.
Beispiel:
Zwei Linienladungen gegenüber einer leitenden Ebene
Zeichnung 46
- 44 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Das Potential des Aufpunktes P gegenüber der leitenden Ebene berechnet sich wie folgt.
Man bestimmt das Potential von P als Überlagerung der Potentiale von P zu P01 und P02. Da
Die zwei Bezugspunkte auf einer Potentialfläche liegen, haben sie dasselbe potential, und
deshalb kann man die einzelpotentiale bezüglich der zwei verschieden Bezugspunkte
addieren.
ϕ = −
1
2π ε



 ′ 


 ′ 
 λ 1 ln ρ 1  − λ 1 ln ρ 1  + λ 2 ln ρ 2  − λ 2 ln ρ 2  
ρ 
ρ 
ρ 
 ρ 

 01 
 01 
 02 
 02  

ϕ = −
1
2π ε

ρ 
ρ 
 λ 1 ln 1  + λ 2 ln 2 
 ρ′
ρ′ 

 1
 2





Die Feldstärke erhält man in dem man den Gradienten der Potentialfunktion bildet.
.1.17Systematisches Zeichnen von Feld und Potentiallinien (Flächen)
–
die Randlinien (Oberflächen) der Leiter sind Potentiallinien (-flächen)
–
die Feldlinien (Verschiebungslinien) stehen senkrecht auf den Randlinien bzw.
Oberflächen der Leiter
–
–
die Potentiallinien/-flächen schneiden Feldlinien (Verschiebungslinien) überall
senkrecht
–
Das systematische Zeichnen von Potentiallinien/-flächen folgt aus der Vorgabe einer
konstanten Potentialdifferenz zwischen zwei benachbarten Potentiallinien/-flächen.
Frage:
Wie könnte man ein systematisches Zeichnen von Feld-oder
Verschiebungslinien vereinbaren?
Zeichnung 47
- 45 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zu diesem Zweck wurden Kanäle gleichen Verschiebungsflusses eingeführt.
Zeichnung 48
Durch diese Vorderung wird ein Kanal gleichen Verschiebungsflusses definiert. Nun kann
man den gesamten Felderregten Raum in Kanäle gleichen Verschiebungsflusses zerlegen.
Wobei von Kanal zu Kanal der gleiche vorgegebene Wert ψ gelten soll.
Jedem Kanal wird nun eine Feldlinie oder Verschiebungslinie zugeordnet.
Beispiel:
Plattenkondensator
I) Fall:
Sehr großer Abstand der Platten. (Jede für sich betrachtet.)
Zeichnung 49
II) Fall:
Kleinerer Abstand
Zeichnung 50
- 46 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zeichnung 51
Für jeden Kanal wird jetzt eine Feldlinie vorgesehen, man erkennt, dass man hier genauso gut
die Kanalbegrenzungslinien als Feldlinien ansehen könnte.
IV) Fall:
Sehr naher Abstand ( Plattenkondensator)
Zeichnung 52
Hinweis, wird der Abstand der Platten verringert, so ändert sich deshalb die Feldstärke nicht.
Das lässt sich aus der Betrachtung der Überlagerung der Feldstärken von zwei parallel
gegenüberstehenden Ladungen erklären. Siehe Coulomb Integral, oder vergleiche mit dem
Gaußschen Satz der Elektrostatik.
Q=
∫
 
D dA =
Q= E⋅ε ⋅ A
∫
 
D dA ≈ D ⋅ A
( A)
↑ wegen Randfeld
Q
⇒
E =
ε A
Daraus folgt, das E nicht von dem Plattenabstand abhängt.
- 47 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Für konst. Feldstärken lässt sich leicht die Spannung zwischen den Platten berechnen.
U =
P2
∫
 
E ds =
P1
s2
 
∫ E ds
= E ⋅ ( s2 − s1 ) = E ⋅ l
s1
Merke:
Gleiche Potentialdifferenzen zwischen zwei Potentiallinien (Flächen) bedeutet
im Homogenen Feld gleichen geometrischen Abstand der Potentiallinien
voneinander.
Beispiel:
Die Ladungen Q sei auf geprägt.
Zeichnung 53
Wird nun der Plattenabstand halbiert, so muss sich die Spannung auch halbieren.
U
= konst.
l
⇒ U = E⋅l
l
U2 = E ⋅
⇒
2
E=
Zeichnung 54
Beispiel:
Die Spannung sei aufgeprägt.
- 48 -
U 2 ⋅ 2 = U1
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zeichnung 55
U
D= E⋅ε
l
U
ε A
Q =
⋅ ε ⋅A = U ⋅
l
l
E =
Q= D⋅ A
Vorgriff :
ε A
= C
l
Die Feldlinien haben hier den gleichen Abstand voneinander, wie die
Kanalbegrenzungslinien. Man könnte deshalb auch die Kanalbegrenzungslinien als Feldlinien
nehmen.
Merke:
In einem als Homogen anzusehenden Feldabschnitt ist der Betrag der
Feldstärke umgekehrt proportional zum Abstand zweier benachbarter
Potentiallinien (Flächen) wenn diese systematisch, das heißt für gleiche
Potentialdifferenzen gezeichnet sind.
Beispiel:
Geschwenkte Metallplatte mit parallelen Längskannten.
- 49 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zeichnung 56
Wenn man absieht von der Existenz eines Randfeldes, dann erhält man für jede Ebene
senkrecht zu den Längskannten das gleiche Potentiallinienbild. Es handelt sich also um ein
parallelebenes Feld. Da die Feldlinien senkrecht stehen auf den Potentialflächen, folgt dass sie
Kreisbogenstücke sein müssen.
Die Kanäle des gleichen Verschiebungsflusses haben alle die gleiche Breite.
Frage:
Wie kann man die Kanäle genauer festlegen, um die systematische
Angabe von Feldlinien besser realisieren zu können?
.1.18Kästchenmethode für parallelebene Felder
ψ :
a:
b:
E~
Verschiebungsfluss zwischen zwei Verschiebungslinien
abstand wischen zwei Verschiebungslinien
Abstand zwischen zwei Potentiallinien
1
b
D ~E
ψ ~ a⋅D ~
Mit ψ konstant ist auch das Verhältnis
Merke:
a
b
a
konstant.
b
Für ein parallelebenes Feld gilt: Der Verschiebungsfluss zwischen jeweils zwei
Verschiebungslinien ist gleich groß, wenn die Verschiebungslinien so
gezeichnet werden, dass neben den grundsätzlichen Regeln für das Zeichnen
von Verschiebungslinien und Potentiallinien bei gleicher Potentialdifferenz
zwischen jeweils zwei benachbarten Potentiallinien noch die Bedingung eines
konstanten Verhältnisses von Potentiallinienabstand und
Verschiebungslinienabstand eingehalten wird. Wird der Einfachheit halber
- 50 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
a
= 1 gewählt, so ergibt der Schnitt von zwei benachbarten
b
Verschiebungslinien und zwei benachbarten Potentiallinien eines homogenes
Feld ein Quadrat (Kästchen), und im inhomogenen Feld mehr oder weniger ein
Quadrat. Umso kleiner die Abstände gewählt werden, desto mehr nähert es sich
einem Quadrat an.
Zeichnung 57
Beispiel:
Metallstab gegenüber Metallebene
Zeichnung 58
- 51 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.19Kapazität und Dielektrikum
Beispiel:
Plattenkondensator
Zeichnung 59
U =
s2
∫
 
E ds =
si
mit
s2

∫ E e e ds =
E ⋅ ( s2 − s1 ) = E ⋅ l
s1
D= E⋅ε
und
Q=
 
∫ D dA =
D A
fo lg t :
Q = E ⋅ ε ⋅ A=
⇒
U
⋅ε ⋅ A
l
⇒
Q = U ⋅
ε A
l
ε A
= C
l
Für eine Anordnung von zwei metallischen Elektroden mit der Ladung Q >0As auf der
Oberfläche der einen Elektrode und der Ladung – Q auf der Anderen Oberfläche.
Das Verhältnis der Ladung dieser Elektroden zu der Spannung ebendieser nennt man
die Kapazität C.
 
D
∫ dA
Q
Hülle
C =
=
 
U
E
∫ ds
Hülle:
geschlossene Hülle um
eine Elektrode.
Weg:
Weg von einer Elektrode
zur anderen.
Weg
Der Zählpfeil ist von der Elektrode mit der positiven Ladung zur Elektrode mit der negativen
Ladung an zusetzten.
Sie ist abhängig von der Geometrie der Anordnung und dem Stoff zwischen den Elektroden.
Der Faktor ε ist die Dielektrizitätskonstante oder elektrische Permitivität. Sie gibt die
Möglichkeit den Einfluss des Stoffes zwischen den Elektroden zu beschreiben.
Für Vakuum gilt:
ε 0 = 8,854 ⋅ 10 − 12
- 52 -
As
Vm
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Der Stoff und der damit ausgefüllte Raum, zwischen den Feld erzeugenden Ladungen wird
Dielektrikum genannt.
Frage:
Wieso kann ein Stoff zwischen den Elektroden überhaupt einen
Einfluss haben?
.1.19.1 Polarisation des Dielektrikums
Der Einfluss des Dielektrikums beruht auf der Polarisation des Stoffes der isolierend sein soll.
Je nach Kompliziertheit der Erscheinungen, die zu erläutern sind, kann eine komplizierte
Vorstellung, d.h. ein kompliziertes Modell des Aufbau des Atoms oder ein einfaches Modell
nötig oder ausreichend sein. Hier reicht die Vorstellung, dass die Elektronen insgesamt eine
„Wolke“ negativer Ladungen um den positiven Kern bilden.
Zeichnung 60
Der „Schwerpunkt“ der negativen Ladung fällt nun wenn kein äußeres Feld wirkt mit dem
Positiven Kern zusammen.
Ist hingegen ein äußeres Feld vorhanden, so wird die Anordnung verzerrt, es entsteht eine
Verzerrungspolarisation des Dielektrikums.
Zeichnung 61
Es entsteht ein Dipolfeld dass gegen das äußere Feld gerichtet ist.
- 53 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Plattenkondensator ohne Dielektrikum
Zeichnung 62
Beispiel:
Plattenkondensator mit Dielektrikum
Zeichnung 63
Das Feld zwischen den Platten wird durch das Material geschwächt.
Um auf den alten Feldstärkenwert zurückzukommen, und damit auf die alte Spannung, muss
die Ladung auf den Platten vergrößert werden.
Bei fest angelegter Spannung bedeutet das, dass zusätzliche Ladungen auf die Platten fließen.
Der Nachschub an Ladungen bedeutet einen Additiven Anteil zur Verschiebungsdichte.



D = ε0 E + P
 
P ~E

P
κ


P = E ⋅ κ ε0
⇒
heißt Polarisation
heißt Suszeptibilität





D = ε 0 E + κ ε 0 E = ε 0 (1 + κ ) E = ε E
ε = ε 0 (1 + κ
ε r:
ε :
)
relative Dielektrizitätskonstante
Dielektrizitätskonstante
- 54 -
= ε0⋅εr
Thomas Goldschmidt
Beispiele:
Feldtheorien
Luft ≈ 1
Porzellan ≈ 5,5
Glas ≈ 10
Öle ≈ 2,5
Bachelit ≈ 6
Wasser ≈ 80
Elektrostatik
Gummi ≈ 2,6
Glimmer ≈ 8
Barium ≈ 1000-4000
.1.19.2 Der Einfluss von ε auf die Kapazität
Das isolierende Material kann schon von vornherein aus Dipolen bestehen, die aber, solange
kein äußeres Feld vorhanden ist, regellos gerichtet sind. (keine Ausrichtung der Moleküle)
Wird dieses Material nun einem elektrischen Feld ausgesetzt, so stellen sich diese Dipole im
Mittel mehr oder weniger in eine durch das Feld gegebene Vorzugsrichtung. Dadurch wird
die Gesamtfeldstärke im Material reduziert.
Beispiel:
Merke:
Wasser
Der Einfluss des Dielektrikums auf die Kapazität resultiert aus einer
Reduktion der Feldstärke durch Ausrichtung von vorhandenen Dipolen
(Orientierungspolarisation) oder Entstehung von Dipolen oder
Verschiebung von negativen und positiven Elementarbestandteile der
Atome oder Moleküle gegeneinander (Verschiebungspolarisation,
Verzerrungspolarisation). Für Feldstärken bestimmter Größe, Punkt für
Punkt, auf dem Integrationsweg von einer Elektrode zur anderen, d.h.
einer bestimmten Spannung zwischen ihnen ist daher eine größere
felderzeugende Ladung erforderlich, als im Falle des Vakuums
zwischen den Elektroden. Also wird die Kapazität größer.
- 55 -
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Elektrostatik
Koaxialkabel
Zeichnung 64
Das Feld zwischen den konzentrischen Zylinder Elektroden, kann man sich entstanden
denken, durch metallische materialisierte Potentialflächen des einer Linienladung.
Feldstärke einer Koaxialleitung
Q=
∫
 
D dA
=
Zylinider
∫

D e e dA + 2
Mantel

∫Dee
n
dA
Deckel
 
mit e ⊥ e und D konstant bei allen dA folgt
für ρ 1 ≤ ρ ≤ ρ 2 :
Q = D 2π lρ
⇒
E=
Q
2π lρ ε
für ρ < ρ 1 :
∫
 
D dA = 0
⇒
D und E = 0
Innenlaeiter
Dies gilt, dar sich die Ladungen an der Oberfläche befinden, und nicht im Metall inneren.
für ρ > ρ 2 :
 
D
∫ dA = Q − Q = 0
⇒
E und D = 0
Außenbereich
Merke:
Elektrische Felder sind nur im Leiterzwischenraum vorhanden.
Kapazität einer Koaxialleitung
- 56 -
Thomas Goldschmidt
C =
Q
=
U 12
s2
∫
Feldtheorien
Q
=
 
E ds
Q
s2
∫ 2π
s1
Beispiel:
s1
Q
ds
lρ ε
= 2π ε
1
ρ2
1
∫ρ
Elektrostatik
=
dρ
ρ1
2π ε l
ρ 
ln 2 
 ρ1 
Kugelkondensator
Zeichnung 65
Elektrische Feldstärke
∫
Q=
 
D dA =
Kugel
∫
D dA = D 4 π r ²
⇒
E=
Kugel
Q
4 π r² ε
Kapazität
C=
P2
∫
Q
=
 
E ds
P1
Beispiel:
Q
s2
∫ E ds
s1
=
Q
r2
∫ 4π
r1
Q
dr
r² ε
=



4π ε
1
1

−
r1 r2 
Mehrschichtplattenkondensator mit parallelen Schichten
- 57 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Zeichnung 66
Q=
∫
 
 ε ε E A
D dA = D ⋅ A =  r1 0 1
 ε r 2 ε 0 E2 A
⇒
für
1. Schicht
2. Schicht
E1 ε 1 = E 2 ε 2 = D
Auf Grund des Gaußschen Satz der Elektrostatik bleibt bei dieser Anordnung der
Verschiebungsfluss gleich. Anschaulich gesehen, kann man die Grenzfläche von dem einen
Dielektrikum zum anderen da sie Potentialflächen sind, auch metallisch materialisiert
vorstellen. Eine solche Anordnung ist dann ganz klar eine Reihenschaltung von zwei
Kondensatoren.
Zeichnung 67
- 58 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.20Grenzflächen
.1.20.1 Verhalten der Feldstärke in Grenzflächen
Zeichnung 68
Die Vektoren sind so angesetzt, dass ihre Projektionslinien nicht in Deckung sind. Der
geschlossene Weg soll Teile haben, welche in beiden Gebieten verlaufen.
Vereinbarung:


E1 werde mit der Spitze dem Punkt P zugeordnet und E 2 mit dem
Ende weg.
Die allgemeine Linie vergrößert:
Zeichnung 69
Die Höhe des rechteckigen Weges sei extrem viel kleiner, als die Länge. Die Länge sei so
klein, dass die Feldstärken sich praktisch für die Webabschnitte nicht ändern.
  P2   P3   P4   P1  
∫ E ds = ∫ E ds + ∫ E ds + ∫ E ds + ∫ E ds = 0V
P1
P2
P3
P4
Das geschlossene Wegintegral in einem Konservativen System ist 0!!!
- 59 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
∫
Elektrostatik
 




E ds ≈ E1 ⋅ ∆ s1 + E 2 ⋅ ∆ s 2


∆ s1 = − ∆ s1 et


∆ s 2 = ∆ s2 et
∆ s1 = ∆ s2 = ∆ s
Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke:

  
E1t = ( E1 et ) et

  
E 2t = ( E 2 et ) et




0V ≈ − E1 ∆ s1 et + E 2 ∆ s2 et
=
( E2t
− E1t ) ∆ s
Zieht man nun den Weg auf den Punkt P zusammen, wobei die Höhe immer extrem kleiner
als die Breite sein soll, so wird ≈ durch = ersetzt und es gilt:
E1t = E 2t
Dies gilt nur, wenn die Ebene welche von den Vektoren Aufgespannt wird rechtwinklig auf
der Grenzfläche liegt.
Merke:
Die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärken verhalten sich stetig
in der Grenze zwischen zwei Dielektrikum.
.1.20.2 Verhalten der Verschiebungsdichte in Grenzflächen
Zeichnung 70
- 60 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
Es wird eine Hülle um den Punkt P gewählt derart, dass der Deckel dieser dosenförmigen
Hülle im Gebiet 2 (E2) liegt und der Boden im Gebiet 1 (E1) liegt. Die „Höhe dieser Dose
kann stets sehr viel kleiner gewählt werden, als der Durchmesser. Der Durchmesser soll aber
schon sehr kleiner gewählt werden, nämlich so, dass die Verschiebungsdichte im Gebiet 2
bzw. Gebiet 1 für Punkte des Deckels bzw. des Bodens praktisch als jeweils konstant
angesehen werden kann.



D1 = D1t e t + D1n en
Q=
Q ≈
∫
 
D dA = 0 As =
 
∫ D dA
Deckel
Q ≈



D2 = D2t et + D2 n en
∫
∫
 
D dA +
Mantel
 
+
∫ D dA = ∫ ( D
2t
Boden
D2 n dA +
Deckel
∫
 
D dA +
Deckel
∫
 
D dA
Boden

 
et + D2 n en ) dA +
Deckel
∫
∫ (D
1t

 
et + D1n en ) dA
Boden
D1n dA
Boden
Q ≈ ( D2 n − D1n ) ∆ A ≈ 0 As
Stellt man sich vor, dass ∆ A gegen null geht, so wird aus ≈ ein =.
⇒
Merke:
D2 n = D1n
Die Normalkomponenten der Verschiebungsdichte ist Stetig in der Grenze
zwischen zwei Dielektrika, wenn die Grenzfläche keine ursprüngliche
felderzeugende Ladung trägt.
Zeichnung 71
- 61 -
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Elektrostatik
.1.20.3 Zusammenhang zwischen Verschiebungsdicht und Feldstärke in
Grenzflächen
D1t
E ε
ε
= 1t 1 = 1
D2t
E2t ε 2
ε2
E1n
E2 n
D1n
ε1
ε
=
= 2
D2 n
ε1
ε2
Da der Feldstärkevektor Tangentenvektor an die Feldlinie ist, ebenso wie die
Verschiebungsdichte, ergeben sich in Punkt P in der Grenzfläche, zwei Tangentenvektoren.
Das bedeutet, für den Fall das die Feldstärken nicht senkrecht zu den Grenzflächen stehen
einen knick in der Feldlinie.
.1.20.4 Brechungsgesetzt für Feldlinien und Verschiebungslinien in
Grenzflächen
Zeichnung 72
tan(α 1 ) =
E1t
E1t
=
D1n
E1n
ε1
tan(α 2 ) =
D1n = D2 n
E1t ε 1
E2t ε 2
=
tan (α 1 )
tan(α 2 )
tan(α 1 )
ε
= 1
tan(α 2 )
ε2
- 62 -
E2t
E2t
=
D2 n
E2 n
ε2
Thomas Goldschmidt
Merke:
Merke:
Feldtheorien
Elektrostatik
Die Tangentialkomponente der Verschiebungsdichte ändert sich beim
Durchgang durch die Grenzfläche zweier Materialien verschiedener
Dielektrizität wie die Dielektrizitätskonstante. Die Normalkomponenente der
elektrischen Feldstärke ändert sich beim Übergang durch die Grenzfläche
umgekehrt wie die Dielektrizitätskonstante.
Die Tangenswerte zu den zwei Winkeln zwischen der elektrischen Feldlinie
(Verschiebungslinie) im Durchgang durch die Grenzfläche zweier Gebiete
unterschiedlicher Dielektrizität und der Flächennormalen verhalten sich wie die
Dielektrizitätskonstante. Bei einem Übergang in ein Gebiet mit kleinerer
Dielektrizitätskonstante sind die elektrischen Feldlinien zur Normalen hin
gebrochen zu zeichnen.
.1.21Energie im elektrischen Feld
Beispiel:
Berechnung der Kondensatorenergie aus dem Ladevorgang
Schaltung 1
Aus dem Grundlagenlabor ist die Funktion der Kondensatorspannung in Abhängigkeit von
der Zeit bekannt:
t
− 

τ
u c = U q  1 − e 


Aus Physik gilt:
W =
∫p
(t )
dt
Übertragen bedeutet das:
t
t
du
W = ∫ u c ⋅ ic dt = ∫ u c C c dt
dt
0s
0s
⇒
W =
uE
∫C
uA
- 63 -
u c du c =
1
C (U E − U A ) ²
2
Thomas Goldschmidt
Merke:
Feldtheorien
Elektrostatik
Die Energie einer beliebigen Kondensatoranordnung lässt sich aus seiner
Spannung oder Ladung errechnen.
W =
1
1 Q²
C U² =
2
2 C
.1.21.1 Energiedichte
Beispiel:
Plattenkondensator
W =
1
1 Aε
1
C U² =
E² d ² =
E² ε V
2
2 d
2
V ist das Volumen des erregten Raumes.
Die Energiedichte allgemein:
W
1
1 D²
= ε E² =
∆V 2
2 ε
Allgemeine Elektroden Anordnung
Der elektrisch erregte Raum wischen den Elektroden, kann zerlegt werden in Kanäle gleichen
Verschiebungsflusses. Diese Kanäle werden durch die Potentialflächen zerlegt in Abschnitte.
Es ist nicht erforderlich das die Elektronen die Ladungen Q und –Q tragen.
Wenn die Zerlegung fein genug ist, kann ein Kanalabschnitt aufgefasst werden, wie ein
Plattenkondensator, wenn man die Potentialflächen sich metallisch materialisiert denkt.
Die Summe aller kleinen Kondensatorenergien, ergibt die gesamt Energie.
W =
1
2
∫ε
E ² dV
(V )
Das Integral kann man nun natürlich auch ausrechnen ohne noch an die Zerlegung des
Raumes durch Kanäle zu denken.
Merke:
Die Energiedichte im Raum ist dort am Größten, wo die größte Feldstärke
auftritt. Das Integral der Energiedichte über das Volumen zwischen den
Felderregenden Ladungsanordnungen ergibt die Energie welche zur
Ladungstrennung erforderlich war. Diese wird als im Feld gespeichert
angesehen.
Beispiel:
Eine Probeladung wird im elektrischen Feld beschleunigt, das heißt
seine Kinetische Energie wird größer. Diese Energie muss von dem Feld
gekommen sein.
- 64 -
Thomas Goldschmidt
2
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Das stationäre Strömungsfeld
Merke:
Das elektrostatische Feld stellt eine Beschreibung des durch Probeladungen
erfahrbaren Einflusses voneinander getrennter, etwa auf Elektroden
befindlicher Punkte des nicht mit einem Medium oder mit einem nichtleitenden Medium erfüllten Raumes dar. Alle Ladungen sind dabei ruhend.
Wird der Raum mit leitendem Material ausgefüllt, so bewirkt ein Stromfluss
eine Neutralisierung dieser Ladungen auf den Elektroden und damit eine
Beseitigung des Zustandes der elektrischen Erregung, wenn nicht durch zeitlich
ununterbrochene Arbeit die Trennung von Ladungen und damit auch der
Stromfluss aufrecht erhalten werden kann. Dann ist jeder Punkt des Raumes
nicht nur durch eine Feldstärke und Potential charakterisiert, sondern auch
durch eine Ladungsströmung. Verändert sich diese zeitlich nicht, so spricht
man von einem stationären elektrischen Strömungsfeld.
Beispiel:
Kondensator
Zeichnung 73
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Punktladung
Zeichnung 74
Im Material tritt das Feld auf, wie es von den beiden betragsgleichen, Vorzeichen
verschiedenen, sich gegenüberstehenden Punktladungen her bekannt ist.
.2.1 Strom
Definiert man den Strom I als Quotient der in der Zeit ∆ t durch eine Messfläche hindurch
tretenden Ladungen ∆ Q ,
∆Q
I=
∆t
so ergibt sich folgende Beziehung für den Ladungstransport im Metalldraht:
Abbildung 13

ρ0 ∆V
ρ0 A∆x
ρ0A v ∆t

∆Q
I=
=
=
=
= ρ0 A v
∆t
∆t
∆t
∆t

Bei stationären elektrischen Strömungen bleibt die Ladungsgeschwindigkeit v konstant. In
mm
metallischen Leitern liegt die Driftgeschwindigkeit in der Größenordnung von
.
s
Bei nichtstationären Ladungsströmungen ist der Strom dann:
i=
dQ
dt
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.2 Stromdicht
In GdE 1 ist die Stromdichte für den Fall, dass die Driftgeschwindigkeit der Ladungen
senkrecht zur Fläche steht, die von ihnen durchsetzt wird, definiert als:
J≈
Merke:
∆ I
dI
⇒ J =
∆A
dA
Die Stromdichte wird definiert als Vektor in Richtung der Strömung positiver
Ladungen die im Allgemeinen (isotrope Medien), mit der Richtung der
Feldstärke übereinstimmt. Seine Länge ist der Betrag des Grenzwertes des
Verhältnisses des Stromes durch eine Fläche zum Inhalt dieser, die den
betrachteten Punkt, dem dieser Vektor zugeordnet werden soll enthält und
senkrecht zur Strömungsrichtung steht wenn diese Fläche auf den Punkt
zusammengezogen wird.
.2.3 Zusammenhang zwischen Stromdicht und Stromstärke
Wird das Skalarprodukt aus Stromdichte und Flächennormalen über eine
Fläche im Strömungsfeld integriert, so ergibt sich der Strom durch diese
Fläche. Der Strom ist im Gegensatz zur Stromdichte eine skalare Größe. Sein
Vorzeichen gibt an, ob die Strömung positiver Ladungen durch die Fläche in
das Gebiet, in das die äußeren Flächennormalen weisen und in das auch der
Stromzählpfeil weisen muss, überwiegt.
I =
∫
 
J dA
Fläche
A
Zeichnung 75
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.3.1 Strom durch eine Potentialfläche
Für die Potentialfläche gilt, dass die Driftgeschwindigkeit für Punkte dieser Fläche senkrecht
zur Fläche steht, da die Driftgeschwindigkeit in Richtung der elektrischen Feldstärke weist.
.2.3.2 Strom durch eine geschlossene Fläche
Wählt man eine beliebige Hülle, so ist unmittelbar klar, dass der eintretende Strom gleich dem
austretenden Strom ist. Wäre dies nicht so, dann müsste in dieser Hülle sich eine Quelle oder
eine Senke befinden. Also muss gelten:

div J = 0
b.z.w.
∫
 
J dA = 0 A
Dies ist auch das allgemeine Kirchhoffsche Gesetz.
Beispiel:
Punktförmige Stromeinleitung bei weit entfernter Stromausleitstelle mit
ringsum weit ausgedehnten gleichmäßigen leitfähigen Material.
Zeichnung 76
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
 
∫ J dA =
Iq =
∫
0A =
 
∫ J dA
stationäre Strömungsfeld
− Iq
Hülle
 
J e e dA = J A = J 4 π R ²
Kugel
J =
Merke:
Beispiel:
Iq
4 π R²
Linien, an deren Punkten der Stromdichtevektor Tangentenvektor ist,
heißen Stromlinien. Sollen sie systematisch gezeichnet werden, so
werden sie für Kanäle gleiches Teilstromes gezeichnet. Damit ist der
Strom durch eine vorgegebene Probefläche sogleich als größer zu
erkennen, wenn mehr Linien hindurch treten.
Kugelelektrode im Erdboden
Zeichnung 77
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.4 Das Ohmsche Gesetz in Elementarform
Es soll nun ein Abschnitt eines solchen Kanals gleichen Stromes betrachtet werden.
Zeichnung 78
Der Kanal soll so klein sein, das ∆ A` ≈ ∆ A ist.
R AB =
U AB
l
≈
I Kanal
∆Aγ
U AB I Kanal 1
≈
l
∆A γ
Nur ≈ weil ∆ A` ≈ ∆ A ist.
⇒
J ≈ γ E
Ist der Kanalabschnitt genügend klein, so gilt:


J = γ E
Merke:
Der Stromdichtevektor ergibt sich in isotropen Medien (d.h. solchen in denen
γ nicht von der Richtung des Stromvektors abhängt). Durch Multiplikation des
Feldstärkevektors mit der Leitfähigkeit. Es gilt weiter, wenn die Leitfähigkeit
räumlich konstant ist, dann ist der Stromdichtebetrag dort am größten, wo der
Feldstärkebetrag am größten und damit der Driftgeschwindigkeitsbetrag am
größten ist.
Die Spannung zwischen 2 Punkten im Strömungsfeld kann auch aufgefasst
werden als der Spannungsabfall am Widerstand, den ein Kanal gleichen
Stromes zwischen den Punkten darstellt, wobei die Punkte in den Endflächen
liegen, die Potentialflächenabschnitte sein müssen.
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Kugelelektrode als Erder
Zeichnung 79
r1 : Radius der Kugelelektrode
r2
∫
U
R=
=
I
r1
∫
 
E dr
  =
J dA

J 
∫r γ dr
1
r2
Iq
=
1
γ
r2
Iq
∫ 4π
r1
Iq
r²
dr
=
1 −1
1
 r2
+
C
=


4π γ  r
4π γ
 r1
A
für r2 → ∞
R=
Uq
Iq
⇒ U 12 → U q gilt :
1
4 π γ r1
=
Man erhält eine interessante Beziehung:
R=
U
=
I
r2
 
r1
  =
J dA
∫ E dr
∫
A
U
 12  =
∫A E γ dA γ
ε
U 12
U 12 ε
 = Q γ

∫ E ε dA
A
⇒
RC= τ =
ε
γ
 1 1
 − 
 r1 r2 
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.5 Beweglichkeit der Ladungsträger
γ = ρQ
v
= ρQ b = ne b
E
⇒
b=
v
E
n : pro Volumen
Die Beweglichkeit gibt an welche mittlere Driftgeschwindigkeit die Ladungsträger im
elektrischen Feld erreichen.
.2.6 Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit von Ladungsträgern
Abbildung 14
Die Elektronen in einem Leiter werden durch die von außen aufgeprägte Feldstärke
beschleunigt. Nach kurzer Wegstrecke (im Mittel die freie Weglänge S) stoßen die Elektronen
jedoch mit den Elektronen der Gitteratome zusammen. Nach jedem Stoß durch das äußere
Feld beginnt die Beschleunigung bei v = 0 von neuem (siehe folgende Abbildung). In der
mittleren Zeit t zwischen zwei Stößen erreichen die Elektronen im Mittel immer die gleiche
Endgeschwindigkeit. Die Hälfte der mittleren Endgeschwindigkeit ist die DurchschnittsGeschwindigkeit.
v =
Abbildung 15
⇒

 1 e
e t² E
⇒ v =
τ E
2 me
2 me
b=
1 e
τ
2 me
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.7 Übertragung von Feldberechnung und Darstellungsmethoden der
Elektrostatik
Elektrostatik
Gaußscher Satz
∫
 
D dA = Q
Strömungsfeld
Kirchhoffsches Gesetz
∫
 
J dA = 0 A
 
J
∫ dA = I
Hüllfläche
ohne
Stromzufuhr
Bezugsrichtung ist die nach außen gerichtete Flächennormale.
Eine punktförmige Elektrode:
E =
Q
4 π ε r²
E=
Iq
4 π γ r²
Überlagerung für zwei punktförmige Elektroden:
mit Q > 0As bzw. –Q
mit zufließendem bzw.
abfließenden Strom



E = EQ + E − Q
 

E = EI q + E− I q
Zeichnung 81
Zeichnung 80
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Ebenso wie die Feldstärken überlagern sich auch die Verschiebungsdichte und die
Stromdichte.
Zwei parallele Linienelektroden
Zeichnung 82
Zeichnung 83
Die Behandlung als zweidimensionales Problem(Parallelebenes Feld) ist nur möglich wenn
die Leiter sehr lang sind im vergleich zu Abstand voneinander.
Strömung kann nur in der leitenden
Schicht vorhanden sein. Der
Stromdichtevektor liegt in
der Ebene, sei es die obere oder untere
oder eine parallel dazwischen.
In jeder parallelen Ebene erhält man das
gleicheFeldbild. Die Formel für die
Linienelektroden gilt deshalb auch, wenn
die Linien sehr kurz sind.
Zeichnung 84
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Für die Integration des Stroms über die
blaue Hülle gilt für den Boden und
für den Deckel ohne Näherung, dass die
Stromdichte J und die Flächennormale en
senkrecht zueinander stehen.
Bewegt man nun die Prüfspitze so, dass
das Voltmeter dabei ein und denselben
Wert anzeigt, dann beweget sich die
Spitze auf einer
Potentiallinie. Mit der Prüfspitze kann
man die Feldlinien ertasten.
Die Formel gilt auch, wenn l immer weiter
verkleinert wird und es sich letztlich um
eine leitende Folie handelt.
Eine Linienelektrode
∫
 
D dA = Q
Hüllfläche
Die Enden dieser Linienelektrode
sind weit weg, so dass kein Betrag
von den Enden her auftritt.
E =
Q
2π ε ρ
∫
 
J dA = I
Ohne
Leitungsdurchtrittsstelle
Flächen des leitenden Materials senkrecht zu
den Linienelektroden, d.h. kein Beitrag von
den Deckflächen zu.
E =
I
2π γ ρ l
Spiegelungsprinzip
Zeichnung 85
Zeichnung 86
Dem Anbringen einer Spiegelladung mit entgegen gesetzten Vorzeichen entspricht das
Anbringen einer Elektrode von der ein betragsgleicher Strom wegfließt, wenn er auf
die tatsächliche Elektrode zufließt und umgekehrt.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.8 Kästchen Methode für parallel ebene Felder
I
a
b
=
=
=
Strom zwischen zwei Stromlinien
Abstand zwischen zwei Stromlinien
Abstand zwischen zwei Potentiallinien
1
b
J~ E
I ~ aJ ~
a
= const.
b
E~
z.B.
a
= 1
b
Zeichnung 87
Die Kanäle gleichen Stromes sind Schichten mit der Dicke d. Jedes Kästchen hat den gleichen
Widerstand.
U
E b
E b
b
ρ
RKätchen =
=
=
=
=
I
J A
E γ A
γ a d
d
mit
1
γ :
Leitwert
ρ :
γ
Merke:
Die Berechnung von Widerstand bzw. Leitwert im Falle der Zerlegbarkeit des
Körpers in parallele Schichten senkrecht bzw. parallel zu den Strömungslinien
ist besonders einfach, wenn sich der Widerstand bzw. der Leitwert solch einer
Schicht nach der Formel berechnen lässt, die von der Berechnung des
Widerstandes eines Drahtes der Länge l und des Querschnitts A bekannt ist.
Die Widerstände bzw. Leitwerte der Schichten werden addiert.
Die Verfeinerung der Zerlegung führt im Grenzfall zum Integral.
Thomas Goldschmidt
R =
P2
 
P1
  =
J dA
Feldtheorien
∫ E dr
U
=
I
∫
Fläche
U
r2

U
=
∫ J e e d dr
r1
r2
γ d ∫ E dr
r1
stationäre Strömungsfeld
U
=
γ d
r2
U
∫ rπ
r1
=
dr
1
r 
γ d
ln  2 
π
 r1 
.2.9 Bedingungen an Grenzflächen
.2.9.1 Verhalten der elektrischen Feldstärke in Grenzflächen
Wie in der Elektrostatik gilt auch hier:
 
ds = 0V
∫E
Merke:
Die Strömungslinien beginnen und enden nicht auf den Elektroden, sondern sie
sind auch in ihnen zu zeichnen, treten also aus ihnen aus bzw. in sie ein.
Zeichnung 88
Merke:
Die Tangentialkomponente ist in den Grenzflächen zweier Materialien mit
zwei unterschiedlichen Leitfähigkeiten stetig.
E t 1 = Et 2
Herleitung:
Siehe „Verhalten der elektrischen Feldstärke in Grenzflächen vom
Material unterschiedlicher Dielektrizität“, Elektrostatik. Dort müssen
nur D durch J, und die Materialkonstanten ersetzt werden.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.9.2 Verhalten der Stromdichte in Grenzflächen
Zeichnung 89
Analog folgt für die Stromdichte:
∫
Merke:
 
J dA = 0 A
Die Normalkomponente der Stromdichte ist in einer Grenzfläche zweier
Materialien mit unterschiedlichen Leitfähigkeiten stetig. Alle Strömungslinien
aus dem einen Gebiet sind in das andere Gebiet fortgesetzt zu zeichnen.
J 2 n = J 1n
Merke:
Die Tangentialkomponente der Stromdichte ändert sich beim Übergang durch
die Grenze zweier Materialien verschiedener Leitfähigkeit wie die
Leitfähigkeit selbst.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.9.3 Berechungsgesetz für Strömungslinien
Zeichnung 90
tan(α 1 ) =
J 1t
J 1n
tan(α 2 ) =
J 2t
J 2n
J J
J
γ E
tan(α 1 )
γ
= 1t 2 n = 1t = 1 t1 = 1
tan(α 2 )
J 1n J 2t
J 2t
γ 2 Et 2 γ 2
Merke:
Die Tangenswerte zu den 2 Winkeln zwischen der Strömungslinie im
Durchgang durch die Grenzfläche zweier Gebiete unterschiedlicher
Leitfähigkeit und der Flächennormale, verhalten sich wie die Leitfähigkeiten.
Aus der Formel erkennt man:
Beim Übergang in ein Gebiet mit kleinerer Leitfähigkeit werden die
Strömungslinien zur
Normalen hin gebrochen, durch zu zeichnende Feldlinien erhalten wegen


J = γ E den gleichen Knick.
Beispiel:
Erzeugung Kontaktierender Flächen als Potentialflächen
Zeichnung 91
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Potentialflächen sind Flächen welche senkrecht auf Feldlinien stehen. das heißt: die
Stirnflächen sind keine Potentialflächen.
Nun sollen die Stirnflächen mit einer Schicht mit vergleichsweise gut leitendem Material
versehen werden.
Zeichnung 92
Erläuterung des Stromlinienverlaufs:
Beim Übergang der Stromlinien in ein weniger gut leitendes Material werden diese zur
Normalen hin gebrochen.
Merke:
Wird die Kontaktierung eines leitenden Körpers durch eine aufgebrachte
(Aufgedampfte) Schicht sehr viel größerer Leitfähigkeit bewerkstelligt, dann
ist deren Grenzfläche praktisch als Potentialfläche anzusehen. Der
Spannungsabfall zwischen zwei Punkten in dieser Schicht
ist dann sehr viel kleiner (theoretisch 0V in einer Potentialfläche), als für den
Fall, dass der zweite Punkt im gleichen Abstand senkrecht zu dieser Fläche im
Körper gewählt wird.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.10Elektrostatisches Feld Strom führender Elektroden
Zeichnung 93
1. Fall, Schalter geöffnet:
P2
∫
 
E ds =
P1
P4
∫
 
E ds = U q
P3
2. Fall, Schalter geschlossen:
P2
∫
P1
 
E ds >
P4
 
∫ E ds
P3
Werden zwei Elektroden an eine Spannungsquelle gelegt, so entsteht zwischen ihnen das
elektrostatische Feld. Auf ihren Oberflächen befinden sich Ladungen. Ihr Inneres ist Feldfrei,
solange darin keine Ladungsströmung auftritt. Fließen in ihnen Ströme, dann ist die
Tangentialkomponente der Feldstärke an der Oberfläche nicht mehr 0V/m. Da die
Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke stetig ist, steht die Feldstärke außerhalb
des Leiters an der Oberfläche nicht mehr senkrecht. Die Leiteroberfläche ist damit theoretisch
nicht mehr Potentialfläche. Dort wo die Feldstärke zwischen Elektroden praktisch interresiert
(Hochspannungstechnik), ist diese außerhalb des Leiters dem Betrag nach um etliche
Zehnerpotenzen größer als im Leiter. So dass die Oberfläche praktisch weiterhin als
Potentialfläche gelten kann.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.2.11Leistung und Arbeit im Strömungsfeld
Das Strömungsfeld kann man zerlegen in Kanäle gleichen Stromes mit Abschnitten
gleicher Spannung:
Zeichnung 94
Für Prismatische
Abschnitte:
PAB ≈ ∆ ϕ ∆ I
∆ ϕ ∆ I sind
für jeden Abschnitt
gleich
Volumen eines
Abschnitts:
∆V ≈ ∆l ∆ A
Leistungsdichte:
 
PAB
∆ ϕ ∆I
≈
≈ E J = E² γ = E J
∆V
∆A ∆ l
⇒
P=
 
E dV
∫J
(V )
⇒ W =
t1
∫
p dt
0s
Merke:
Die Leistungsdichte im Strömungsfeld ist dort am größten, wo die Stromdichte
bzw. Feldstärke dem Betrag nach am größten ist. Die Energie als Integral
Leistung über der Zeit wird zumeist vollständig in Wärme umgesetzt. Es wird
ständig Energie aus der Quelle über das elektrische Feld an die sich unter dem
Einfluss des Feldes bewegenden Ladungsträger abgegeben, die diese wieder
anders an das Material abgeben. Da das elektrische Feld nur
solange vorhanden ist, wie die Strömung vorhanden ist, tritt keine Speicherung
elektrischer Energie auf.
Energiedichte:
 
ρ = J⋅E
Thomas Goldschmidt
3
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Magnetostatik
.3.1 Grundlegende Erscheinung
Zwischen gewissen Eisenkörpern treten anziehende oder abstoßende Kräfte auf. Sind sie frei
beweglich, stellen sie sich in Nord/Süd - Richtung ein. Das Ende das nach Norden zeigt wird
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Nordpol genannt. Gleichnamige Pole stoßen sich ab, und ungleiche Pole ziehen sich an.
Abbildung 16
Die Kraftwirkung ist an den Polen am größten. Zu der Mitte hin wird sie immer kleiner.
Abbildung 17
Zerteilt man solche Körper so erhält man keinesfalls Einzelpole.
Abbildung 18
Die fortgesetzte Aufteilung führt gedanklich zu einem Elementarmagneten (Dipol).
Abbildung 20 ungeordnet
Abbildung 19 geordnet
Sind diese ungeordnet, entsteht nach Außen, keine magnetische Wirkung. Sind diese
ausgerichtet, dann entsteht eine große magnetische Wirkung nach Außen. Damit sich die
Elementarmagneten ausrichten, müssen diese erst einmal, durch ein Fremdes Feld erregt werden.
Je nach Werkstoff, bleibt ein großer (Hartmagnetisch) oder kleiner (Weichmagnetisch)
Restmagnetismus zurück. Durch Zufuhr von Wärme, bis auf eine Werkstoffspezifische
Temperatur, der Curie- Temperatur (Eisen 769°) oder durch stake Erschütterungen wird der
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Restmagnetismus verstört. Durch hindurchführen von Wechselmagnetfeldern, kann ebenso der
Restmagnetismus gelöscht werden.
Solch ein Magnet, z.B. eine Magnetnadel, wird auch in der Umgebung eines
Stromdurchflossenen Leiters beeinflusst. Wird die Magnetnadel durch ein Stromdurchflossenes
Leiterstückchen ersetzt, so erfährt auch dieses, nach seiner Orientierung eine Kraft.
Auch die magnetischen Erscheinungen in den Eisenkörpern lassen sich durch Ströme in diesen
erklären, die ständige Bewegung von elementaren Ladungen in bestimmter Weise darstellen.
Beispiel:
Naturmagnete
Abbildung 21
Magnete ziehen Ferromagnetische Eisen, Nickel Kobalt (Eisenähnlich) Werkstoffe an. In der
Natur gibt es solche Magnete, aber diese sind sehr schwach.
Merke:
Ein elektrischer Strom verursacht eine magnetische Erregung des Raumes. Auch
im Falle von Permanentmagneten aus Ferromagnetischem Material sind letztlich
Ströme (so genannte elementare Kreisströme im Material), Ursache für die
magnetischen Erregungen.
Merke:
Die Rolle die eine Probeladung in der Elektrostatik spielt, kann für das
magnetische Feld ein Stromdurchflossenes Leiterstückchen spielen.
Merke:
Eine magnetische Feldlinie ergibt sich per Definition aus der fortgesetzten,
infinitesimalen Verrückung der Magnetnadel im magnetischen Feld in die
Richtung, in die sie jeweils zeigt.
Beispiel:
Feldbild eines Stabmagneten
Thomas Goldschmidt
Abbildung 23
Abbildung 25
Beispiel:
Abbildung 27
Feldtheorien
Abbildung 22
Abbildung 24
Feldbild eines Hufeisenmagneten
Abbildung 26
stationäre Strömungsfeld
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.3.2 Magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte
Zeichnung 95
Man stellt fest, dass auf das Leiterstückchen eine Kraft ausgewirkt wird. Welche proportional
zum Strom I und der Leiterlänge ∆ l ist. Ihr Maximum erreicht sie wenn das Leiterstück
senkrecht zur Feldlinie steht. Ist das Leiterstückchen parallel zu der Feldlinie dann ist die Kraft
null. (Ganz klar, das Anlenkverhalten der Magnetnadel.)
So wie bei dem Elektrostatischen Feld die Feldstärke als „unabhängige Größe“ eingeführt
wurde, wird nun der Quotient aus Kraft und Strom mal Leiterstück gebildet.
Dieser Quotient heißt Magnetische Induktion B. Zu beachten ist aber das die magnetische
Induktion B oder die magnetische Flussdichte in Analogie zur Verschiebungsdichte aus der
Elektrostatik zu sehen ist.
Fmax
= B
I ∆l
Zu beachten ist, dass die Kraft im magnetischen Feld nicht Tangentenvektor an die Feldlinie ist,
im Fall von Fmax wirkt sie senkrecht zu B und l.
Die magnetische Induktion oder Flussdichte hingegen ist Tangentenvektor an die Feldlinie, wie
auch die Verschiebungsdicht in der Elektrostatik.
Zeichnung 96
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Man erhält dann:
 

F = I ∆l × B
Und für Homogene Felder im Betrag:
F = I l B sin(α )
Will man nun die Kraftwirkung nicht auf das Leiterstückchen ∆ l beziehen, sonder auf die
driftenden Ladungen bzw. Ladung, dann braucht man nur die bis jetzt gewonnenen Erkenntnisse
umzuformen.



I ∆l = Anvq∆le = Qv
Die Geschwindigkeit v hat eine positive Probeladung in Richtung von des Leiterstückchens.

 
⇒ F = Q v× B
Oder nur für eine driftende Ladung q:

 
F = qv× B
Lorenz Kraft
Durch diese Überlegung wird nun die magnetische Induktion auch so definiert:
B=
Fmax
qv
[ B]
=
V s
= T (Tesla )
m²


B = B et

et = Tangentenvektor der Feldlinie
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.3.3 Magnetischer Fluss
Analog zur Ermittlung des Verschiebungsflusses aus der Verschiebungsdichteverteilung und des
Stromes aus der Stromdichteverteilung definieren wir auch beim Magnetischenfeld eine
äquivalente Größe.
Der magnetische Fluss φ durch eine Fläche A ist gegeben durch das Flächenintegral:
φ =
∫
 
B dA
( A)
[φ ]
= Vs = Wb (Weber )
Abbildung 28
Anschaulich ist der magnetische Fluss ein Maß für die Anzahl der magnetischen Feldlinien,
welche die vorgegebene Fläche A durchsetzt. Da s keine magnetische Einzelpole (Monopole)
gibt, sind die Feldlinien geschlossene Linien.
Ermittelt man den magnetischen Fluss durch eine Hüllfläche eines Volumens, so bekommt man
die integrale Form des Satzes von der Quellenfreiheit des magnetischen Flusses.
∫
 
B dA = 0
(O )
.3.4 Magnetische Feldstärke
Die magnetische Flussdichte B hat im Bereich der Magnetfelder die gleiche Bedeutung wie die
Verschiebungsdichte D in der Elektrostatik und die Stromdichte J im elektrischen
Strömungsfeld. Das heißt sie gibt die Größe des Flusses pro Flächeneinheit an. Als Ursache für
den Aufbau des magnetischen Feldes führen wir in Analogie zur elektrischen Feldstärke E die
magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) H ein:

 B
H =
µ
Analog zu:

 D
E =
ε
Die Größe µ wird als Permeabilität bezeichnet und beschreibt den Zusammenhang zwischen B
und H im Material, dazu später mehr.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
µ = µ0 ⋅ µr
mit
µ 0 = 4 π 10 − 7
stationäre Strömungsfeld
V s
Am
.3.5 Durchflutung
Wie auch in der Elektrostatik ist man bestrebt eine Erregergröße zu definieren, welche weites
gehend unabhängig ist. In der Elektrostatik war es die Feldstärke, welche von einer Probeladung
erzeugt wurde. In der Magnetostatik ist der Erregende Faktor der Strom, oder allgemeiner das
Bewegen von Ladungen. Ein Strom durch eine Leitung hat eine konzentrisches Vektorfeld
(Feldstärke) zur folge.
Abbildung 29
Der Erregerstrom durch die Leitung ergibt sich dann als:
I err =
∫
 
H ds
C
Das bedeutet, dass das Linienintegral über eine beliebige Kurve, welche den Leiter umschließt,
dessen Strom ergibt. Es ist unbedingt auf die Zählrichtung zu achten. Es gilt wie auch so oft das
Rechtssystem, mit der rechten Handregel.
Merke:
Das Integral des Skalarproduktes der magnetischen Feldstärke mit dem
Wegtangenteneinheitsvektor über einen geschlossenen Weg, ergibt die Summe
der von diesem Weg umfassten Erregerströmen, die Durchflutung. Für sie ist ein
Zählpfeil so anzusetzen, dass der Umlaufsinn der Wegintegration und die
Pfeilrichtung im Sinne einer Rechtschraube zusammengehören. Ströme in dieser
Richtung sind als Beitrag zu der Durchflutung positiv aufzulisten, Ströme in
Gegenrichtung mit dem negativen Vorzeichen.
Abbildung 30
Thomas Goldschmidt
Merke:
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Umfaßt man einen vom Strom durchflossenen Leiter mit der Rechten
Hand so, daß der abgespreizte Daumen in Stromrichtung zeigt, so geben die
gekrümmten Finger die Richtung des Magnetfeldes an.Stromrichtung ist
wie Dartpfeil! Werden mehrere Leitungen von einem Integrationsweg
umschlossen, so kann durch Idealisierung der Leiter eine Gesammtdurchflutung
angegeben werden.
Θ = N I=
∫
 
H ds
S
.3.6 Feldstärken verschiedenenr Anordnungen
Beispiel:
Magnetisches Feld innerhalb und außerhalb eines Leiters mit kreisförmigen
Querschnitt.
Mit dem Durchflutungssatz kann diese Aufgabe gelöst werden, es ist dazu zweckmäßig einen
Weg zu wählen, welche in Richtung einer Feldlinie Verläuft.
1.
Außerhalb:
I=
∫
 
H ds =
C
⇒
2.
∫ H dr =
C
H Außen =
2π
H ∫ r dϕ = H 2 π r
0
I
2π r
Innerhalb:
I Err = r ² π J
J=
r² I
=
R²
 
H ds = H 2 π r
I Err =
⇒
∫
C
H Innen =
I r
2 π R²
I
R² π
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Zeichnung 97
Beispiel:
Die Feldstärke eines Punktes des Raumes mit zwei Erregenden Strömen
 

F1 = I l × B1
 

F2 = I l × B2
I: Strom durch das Probeleiterstückchen
F1: Kraft auf das Probeleiterstückchen aufgrund des ersten Feld erregenden Stromes
F2: Kraft auf das Probeleiterstückchen aufgrund des zweiten Feld erregenden Stromes
F = F1 + F2
Genauso gut könnte man die Induktionen addieren:




F = I l × ( B1 + B2 )
Merke:
Die vektorielle Addition der magnetischen Feldstärken bzw. der
Induktionen bzw. der Kräfte, wie sie für die einzelnen Erreger für sich
berechnet sind, ist dann erlaubt, wenn für die Wegnahme oder das
Einbringen eines der Erreger, die räumliche Lage der anderen nicht
verändert. Für die vektorielle Addierbarkeit der Induktionen und Kräfte
wie für die einzelnen Erreger berechnet ist außerdem Voraussetzung, dass
die Wegnahme oder das Einbringen eines Erregers die Permeabilität µ
nicht verändert.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Zeichnung 98
Beim genaueren hinsehen fällt auf, das in Nähe der Leiter Das Feld immer Kreisförmiger wird.
Zeichnung 99
Beispiel:
Toroidspule (Ringspule)
Der Ring kann einen kreisförmigen oder anderen Querschnitt haben. Er sei dicht oder nur
mit einem Draht bewickelt.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Zeichnung 100
Die Punkte A und B müssten bezüglich der auftretenden magnetischen Feldstärke
unterschieden werden. Bei einem mit feinstem, dicht bewickelten Spulenkörper wäre der
Strom aber gleichsam mit dem zu einem Film um den Spulenkörper herumgewickelten
Draht. Dann könnte man aber die Punkte A und B bezüglich des Betrags der magnetischen
Induktion nicht mehr unterscheiden.
Schnittbild:
Zeichnung 101
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Außenraum:
∫
 
H ds =
Weg1
∫ H cosα
ds = H cos α 2 π r1 = Θ = 0 A
Weg1
π
2
ist nicht möglich, da dann die Feldlinien im Mittelpunkt beginnen würden. Ein anderer
Winkel ließe auf Spiralen aus dem Mittelpunkt als Feldlinien schließen, magnetische B
Feldlinien sind aber in sich geschlossene Linien.
gilt wegen der vorausgesetzten dichten Bewicklung resultierenden Symmetrie α =
Der andere Außenweg Weg 3 ergibt das gleiche Ergebnis.
Merke:
Das äußere einer gleichmäßigen dicht bewickelten Ringspule ist Feldfrei.
Innenraum:
Beim Feld einer einzigen kreisförmigen Leiterschleife gehen alle Feldlinien senkrecht durch
die ebene Fläche, die durch die Leiterschleife berandet wird, weil das Feldlinienbild
symmetrisch zur Ebene ist. Damit ist es schon anschaulich offensichtlich, dass die Feldstärke auf
dem Weg2 Tangentenvektor an dem Kreis ist.
∫
 
H ds = H 2π r2 = Θ = N I
Weg 2
⇒
H =
N I
2π r
Merke:
Im Innenraum der Wicklung einer Toroidspule herrscht kein homogenes
Magnetfeld. Für Punkte eines kreisförmigen Weges konzentrisch zum Mittelpunkt
des Ringes, der auch Feldlinie ist, ist der Betrag der Feldstärke konstant. Er wird
für kleineren Radius umgekehrt proportional zu diesem größer. Die FeldstärkeKoordinate H ist proportional zum Strom
durch die Wicklung und zur Windungszahl.
Beispiel:
Langespule
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Unter einer langen Spule versteht man eine solche, deren Querschnittsabmessungen sehr viel
kleiner sind als die Länge.
Zeichnung 102
Zwecks Anwendung des Durchflutungssatzes wird ein zweckmäßiger Integrationsweg gewählt,
nämlich einer, der mit einer Feldlinie übereinstimmt.
Merke:
Das Feld im Innenraum einer langen, dicht und gleichmäßig bewickelten Spule ist
homogen.
∫
 
H ds =
∫
 
H ds +
Weg
Außen
∫
 
H ds = N I
Weg
Innen
den wesentlichen Anteil für das gesamte Integral liefert die Integration über den Innen Weg.
N I≈
∫
 
H ds = H l
Weg
Innen
⇒ H ≈
N I
l
Feldbilder:
Abbildung 31
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Abbildung 32
Merke:
Umfasst man die Windungen einer Spule mit
der rechten Hand so, dass die Finger in
Stromrichtung zeigen, so zeigt der abgespreizte
Daumen die Feldrichtung (Nordpol) an.
Abbildung 33
.3.7 Magnetische Stoffeigenschaften
Merke:
Es gibt Stoffe, die wenn sie den magnetisch erregten Raum ausfüllen zu einer
größeren magnetischen Induktion führen, als ein Vakuum. Solche Stoffe werden
„paramagnetisch“ genannt. Stoffe, deren verstärkende Wirkung stark ausgeprägt
ist, heißen „Ferromagnetisch“ (z.B. Eisen, Kobalt, Nickel). Stoffe, die zu einem
geringeren Induktionsbetrag führen, heißen diamagnetisch.
Thomas Goldschmidt
Merke:
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Ursache, für die die Induktion verstärkende Wirkung der paramagnetischen und
Ferromagnetischen Wirkung ist die Ausrichtung der elementaren Kreisströme der
Elektronen, die Magnetisierung M.
.3.7.1 Dia und Paramagnetische Stoffe
Magnetisierung M am Beispiel zweier Toroid Spulen:
Zeichnung 103
In beiden Fällen ist die vom Strom Ierr hervorgerufene Feldstärke H gleich.
Für Paramagnetisches und Diamagnetisches Material, gilt nun:

M = χ
m

H
χ m = magnetische Suzeptibilität
Damit gilt:





B = µ 0 ( H + M ) = µ 0 H (1+ χ m ) = µ H
⇒


B= µ H
mit :
µ = µ 0 µ r = µ 0 (1+ χ
µ r = ist die relative Permeabilität
Beispiel:
relative Permeabilitäten
m
)
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Abbildung 34
.3.7.2 Ferromagnetische Stoffe
Die Ferromagnetischen Stoffe möchte man natürlich ebenso beschreiben. Ihr Verhalten ist
jedoch wesentlich komplizierter. Im Ferromagnetischen Material sind bereits Bereiche
vorhanden, in welchen die elementaren Kreisströme (Elementarmagnete) auch ohne äußeres
Feld schon ausgerichtet sind.
Zeichnung 104
Merke:
Die Kreisströme (Elementarmagnete) im Ferromagnetischen Material, dass noch
nicht einem magnetischen äußeren Feld ausgesetzt war, stellen sich mit Bereichs
weisen Vorzugsrichtungen so ein, dass ein Zustand minimaler Energie vorliegt.
Ein durch sie außerhalb erzeugtes Feld ist nicht feststellbar.
Merke:
Die besonders effektive B-Feldverstärkung der Ferromagnetika beruht darauf,
dass das äußere Feld bereits auf Gebiete einheitlicher Magnetisierung (Weißsche
Bezirke) einwirkt.
1)
Zunächst sind die Magnetisierungen so gewählt, dass nach außen kein Feld entsteht.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Zeichnung 105
2)
Durch ein äußeres Feld vergrößern sich die Bezirke deren Magnetisierung in die
Richtung des äußeren Feldes zeigt.


M = M e


H = He
Zeichnung 106
Die Verschiebung der Wände der weißschen Bezirke ist für eine dem Betrag nach äußere,
kleinere Feldstärke reversibel. Bei Steigerung des Betrags der Feldstärke treten dann zunehmend
sprungartige Wandverschiebungen auf, die nicht zurückgehen, wenn der Betrag
der Feldstärke verkleinert wird (irreversible Wandverschiebung, Barkhausen-Sprünge).
3)
Steigerung der Feldstärke
Zeichnung 107
Bereiche mit Magnetisierungen mit Komponenten entgegen H verschwinden.
Thomas Goldschmidt
4)
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Steigerung bis in die Sättigung
Zeichnung 108
Bei weiterer Steigerung von H treten Drehungen auf (reversibel)
.3.7.3 Werkstoffklassen Kurzübersicht
1)
Diamagnetische Stoffe
Zeigen Stoffe, die kein natürliches magnetisches Moment haben.
(keine Elementarmagneten). Sie schwächen das Magnetfeld.
μr < 1
2)
Paramagnetische Stoffe
Zeigen Stoffe deren Atome ein magnetisches Moment besitzen.
Durch ein äußeres Magnetfeld, werden diese ausgerichtet und verstärken
das Magnetfeld, aber nur sehr schwach.
μr > 1
3)
Ferromagnetische Stoffe (von Ferrum, wie Eisen)
Zeigen nur die Stoffe, Eisen, Nickel, Kobald und einige Legierungen.
Durch ihren Kristallaufbau, schließen sich mehrere Atome mit
magnetischen Momenten zusammen. Diese nennt man
„Weißsche Bezirke“, die von den sog. Bloch-Wänden umschlossen
sind. Sie bilden die Elementarmagneten und verstärken
das Magnetfeld um einige tausendfache.
μr >> 1
Thomas Goldschmidt
4)
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Antiferromagnetische Stoffe
Zeigen einige Metalle und Metalloxide. Die Elementarmagneten richten
sich in ganzen Kristallbereichen aus, aber sie weisen in ihrem
kristallinien Aufbau zwei Untergitter auf, die parallel aber
entgegengesetzt gerichtet sind und sich aufheben.
5)
Ferrite
Sie bilden den Übergangsfall zwischen Ferro und Antiferromagnetischen
Stoffen. Sie weisen eine Metalloxid- Eisenoxid Struktur auf .
Me O • Fe2 O3 ( Me = zweiwertiges Metall). Sie haben eine große
Bedeutung in der Hochfrequnztechnik. Sie besitzen teils das Verhalten
von Eisen, sind aber Nichtleiter.
.3.8 Magnetisierungskurven
Die Resultierende Magnetisierung M kann nun über H dargestellt werden.
Zeichnung 109
Merke:
Bei Zurücknahme des Betrags der magnetischen Feldstärke nimmt der
Betrag der resultierenden Magnete wegen der irreversiblen Wandverschiebung
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
der weißschen Bezirke nicht in dem Maße ab, wie er bei Vergrößerung des
Betrags der magnetischen Feldstärke zugenommen hat (Hysterese).
Hysteresekurve:
B= µ0 H + µ0 M
Zeichnung 110
Diese Stoffe weisen eine Markante Kennlinie, die Hystereseschleife auf. Sie enthält wichtige
Daten über das Verhalten des Werkstoffes. Ist der Werkstoff vollkommen unmagnetisiert, und
wird dann mit einer positiven Feldstärke beaufschlagt, dann ergibt sich die sog. Neukurve. Geht
die Feldstärke zurück, dann verbleibt ein Rest- Magnetismus im Material, die Remanenz ( BR).
Um diesen Restsmagnetismus zu löschen, muss eine negative Feldstärke beaufschlagt werden,
die Koerzitivfeldstärke. Man unterteilt nun grob die Werkstoffe in magnetisch harte
Werkstoffe mit einer breiten Hystereseschleife und magnetisch weiche Werkstoffe mit einer
schmalen Hystereseschleife.
Abbildung 35
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Je nach dem ob die Hysterese Grenzkurve bis in die Sättigung gefahren wird oder nicht, ergeben
sich unterschiedliche Hysteresekurven. Die Punkteverbindende Kurve ist die
Komutierungskurve.
Zeichnung 111
Merke:
In den ursprünglichen Zustand kann man den Eisenkern dadurch bringen, in dem
man einen Wechselstrom einbringt, und dabei sukzessive die Amplitude reduziert.
Die Zurücknahme der Amplitude bis auf null bewirkt eine Entmagnetisierung des
Kerns.
Für schmale Hysteresekurven, also magnetische weiche Stoffe, ist die Kummotierungskurve zur
Beschreibung des Verhaltens der Induktion in Abhängigkeit der Feldstärke ausreichend.
Abbildung 37
Abbildung 36
Daraus folgt, das µ und insbesondere µ r nur noch eine reine Funktion von H ist.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
µr =
B 1
H µ0
Abbildung 38
Merke:
Das Rechnen mit µ r und der oben genannten Beziehung ist im Fall
Ferromagnetischer Materialien dann erlaubt, wenn die Hysteresekurve sehr
schmal ist, also bei magnetisch weichem Werkstoffen.
.3.9 Bedingungen an Grenzflächen
Für die magnetische Induktion oder Flussdichte gilt:
Zeichnung 112
∫
A
Merke:
 
B dA ≈
∫
 
B dA +
Deckel
∫
 
B dA = 0Vs ⇒
B1n = B2 n
Boden
In der Grenzfläche zweier Medien ist die Normalkomponente der magnetischen
Flussdichte stetig.
Für die magnetische Feldstärke:
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Zeichnung 113
Θ =
∫
 
H ds = 0 A ≈
C
Merke:
∫
 
H ds +
Deckel
∫
 
H ds
⇒
H t1 = H t 2
Boden
In der Grenzfläche zweier Medien ist die Tangentialkomponente der
magnetischen Feldstärke stetig.
Zusammen ergibt das:
µ 1 H 1t
B1t
µ
=
= 1
B2t
µ 2 H 2t
µ2
bzw.
H 1n
µ
= 2
H 2n
µ1
Zwischen den Winkeln besteht folgender Zusammenhang (Brechungsgesetz):
tan α 1
µ
= 1
tan α 2
µ2
Merke:
Beim Übergang vom erromagnetischen Material in ein Material mit sehr viel
kleinerer Permeabilität sind die Feldlinien so gebrochen zu zeichnen, dass sie
außerhalb nahezu senkrecht zur Grenzfläche und innerhalb des
Ferromagnetischen Materials in bestimmten Winkel zur Grenzfläche verlaufen.
Die Feldlinien werden also bei dem Übergang in ein Gebiet mit kleinerer
Permeabilität zur Normalen hin gebrochen.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.3.10Berechnungen magnetischer Kreise
Der magnetische Kreis kann Analog zu dem elektrischen Kreis betrachtet werden. Man
kann Schlussvollgärungen treffen auf Grund des Verhalten des Elektrischen Kreises,
wenn man den magnetischen mit dem elektrischen Kreis vergleicht
magnetischer Kreis
elektrischer Kreis
I
Φ
RL
I
Θ
l
U
Durchflutung Θ (Theta)
Spannung U
Das Magnetfeld wird von dem Strom im
Leiter erzeugt. Bei N – Windungen ist
das Magnetfeld N mal so groß.
Die daraus resultierende Größe, die
ΘDurchflutung, wird auch magnetische
Spannung genannt:
Θ = I⋅ N
R
[Θ ] =
Die Spannung verursacht einen Stromfluss.
A
Dieses Θ ist wie U0 anzusehen, sie teilt
sich auf.
l
U
l
Magnetischer Fluss Φ (Phi)
Strom I
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Der magnetische Fluss kann man sich als Summe
Der Elektrische Strom, hängt von der Veruraller Feldlinien eines elektromagnetischen Feldes
sachenden Spannung, und der
vorstellen. Sie wird verursacht durch die DurchWerkstoffeigenschaft, dem Widerstand ab.
flutung. Sie hängt von dem Material ab, durch
das sie geht. Diese Werkstoffeigenschaft wird
durch den Magnetischen Widerstand ausgedrückt
und später noch erläutert. Er verläuft mit der
Feldlinienrichtung.
Abbildung 39
Φ =
Θ
Rm
[Φ ] =
A ⋅ Vs
= Vs = Wb
A
Flussdichte B (magnetische Induktion)
Für die Stärke der magnetische Wirkung ist
die Flussdichte verantwortlich. Sie gibt die Stärke
des Magnetfeldes an einer bestimmten Stelle an.
Er ist gerichtet wie die Feldlinien.
B=
Φ
A
[ B] =
Elektrische Feldstärke E
Bezieht man die Durchflutung auf die Länge der
Feldlinien, so erhält man die Feldstärke H.
Die Feldstärke wird als Mittelmaß, bezogen auf
die Mittlere Feldlinienlänge. Betrachtet man die
die Feldstärke an einem Stromdurchflossenen
Leiter, kann man für jeden Radius eine Feldstärke errechnen. Sie ist Werkstoff unabhängig.
Θ
l
Hängt von dem fließenden Strom I und der
durchsetzten Fläche A ab.
Vs
= T (Tesla)
m2
Magnetische Feldstärke H
H =
Stromdichte J
[H] =
Eine auf den Abstand bezogene Spannung.
A
m
U
Abbildung 41
Abbildung 40
Rm =
l
µ ⋅ A
[ Rm ] =
m ⋅ A⋅ m A
=
Vs ⋅ m 2 Vs
R=
l
γ ⋅ A
d
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Ringspule mit gegenüber dem Radius kleinen Querschnittsabmessungen
Zeichnung 114
Wäre die magnetische Induktion B für jeden Punkt der Querschnittsfläche gleich, dann ergäbe
sich der Fluss mit.
φ = BA
nit :
B= µ H
So aber kann es nur heißen:
φ =
∫
 
B dA ≈ B A
mit :
B=
µ N I
2π r
Nimmt man generell r1, kommt B⋅A zu groß heraus, nimmt man r2, kommt B⋅A zu klein
heraus, also müsste ein mittleres r genommen werden. In einer Übungsaufgabe
(5.Übungsblatt, Aufgabe 1) wird gezeigt, dass dieses nicht das arithmetische Mittel der
beiden Radien r1 und r2 ist, aber durch das arithmetische Mittel gut angenähert wird.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
r1 + r2
2
Mittlerer Radius:
rm =
Mittlere Feldlinienlänge:
2 π rm = l m
Hm =
N I
N I
=
⇒
2 π rm
lm
φ = Bm A =
⇒
Rm =
Beispiele:
Bm =
stationäre Strömungsfeld
µ N I
lm
µ N I A
µ A
= Θ
lm
lm
lm
µ A
Ringspule dicht bewickelt
Zeichnung 115
Beispiel:
Ringspule, nur Teilabschnitt bewickelt
Zeichnung 116
Merke:
Ist die Ringspule nicht ganz umwickelt, so treten Streufelder, oder Streufeldlinien
aus dem Ring in die Luft aus.
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Ring mit Eisenkern und Luftspalt
Zeichnung 117
Im Wesentlichen wird der Fluss in den Bereichen mit endlichen Querschnittsabmessungen
geführt. Der Streufluss wird vernachlässigt.
Die Normalkomponente der magnetischen Induktion an der Grenze Luft-Eisen ist stetig,
d.h. die Flussdichte ist stetig und das heißt, der Fluss im Eisen ist gleich dem Fluss im
Luftspalt.
Merke:
Es soll nun unterschieden werden zwischen H-Feldlinien und B-Feldlinien. Im
Luftspalt steigt die Feldstärke sehr stark an, damit das Produkt aus µ Luft mal HLuft
gleich B ist. Aber darauf folgt, dass die H-Feldlinien keine geschlossenen
Feldlinien mehr sein müssen.
BE = BL = B
µ
E
B
µ
E
HE = µ
lE =
L
B
µ
HL
⇒
lL = Θ
µ rE H E = µ rL H L
mit Φ = B A fo lg t :
L
 l
lL 
 = Θ
Φ  E +
µ
A
µ
A
 E
L

Merke:
Durch einen Luftspalt werden bei gegebener Durchflutung Feldstärke, Induktion
und Fluss im Eisenring stark reduziert. Umgekehrt bedeutet das, dass für eine
geforderte Induktion im Luftspalt (und demnach vernachlässigter Streuung auch
im Eisenring) die Durchflutung Strom, Windungszahl) entsprechend größer sein
muss.
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
.3.11Kraft und Momente im Magnetfeld
.3.11.1 Magnetisches Moment
Magnetpole sind nicht Trennbar, sie treten immer nur paarweise auf. Es gibt nur magnetische
Dipole. Um das dreh Verhalten eines magnetische Dipols zu berechnen, kann man analog zum
Dipolmoment im elektrischen Feld das Ampe´resche magnetische Moment einführen:



M = mA × B


φ a
mA =
µ0
Abbildung 42
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Bei sehr kurzen Spulen und insbesondere bei Ringströmen ist eine Angabe des Polabstandes a
nur schwer möglich. Es lässt sich zeigen, dass für Ringströme das Ampe`resche magnetische
Moment gleich Strom mal Flächenvektor ist.


mA = I A
Abbildung 43
.3.11.2 Kraftwirkung auf Strom durchflossene Leiter
.3.11.2.1 Parallele Leiter
Abbildung 44
Abbildung 45
Thomas Goldschmidt
 

FA = I A ∆ l × B B
Feldtheorien
BB =
IB µ
2π a
⇒
FA = FB =
stationäre Strömungsfeld
l IA IB µ
2π a
.3.11.2.2 Leiter in einem Magnetfeld
Das vom Leiter erzeugte Magnetfeld überlagert sich mit dem des Fremdfeldes, und es entsteht
ein Resultierendes Feld. Die Kraft ist zum geschwächten Feld hin gerichtet.
Fremdfeld
Leiterfeld
Resultierende Felder
Abbildung 46
Diese Kraftwirkung bedeutet im Dreidimensionalen, dass der Leiter entweder aus dem
Magnetfeld oder in das Feld getrieben wird. Diese Kraft, nennt man Lorentzkraft.
.3.11.2.3 Motorprinzip
Bringt man in das Feld eines Magneten eine Strom durchflossene Leiterschleife ein, wirken
Kräfte auf diese, so das sich die Schleife um ihre Achse dreht.
Fremdfeld
Abbildung 47
Leiterfeld
Resultierendes Feld
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
stationäre Strömungsfeld
Die Schleife dreht sich so lange, bis sie waagerecht ausgerichtet ist. Dann Wirken die Kräfte
waagerecht entgegengesetzt und heben sich auf. Wird An diesem Punkt die Stromrichtung
gedreht, dreht sich die Leiterschleife um 360°. Dieser Stromwendevorgang findet in den sog.
Stromwendern (Kommutatoren oder Kollektoren) statt. Die waagerechte Ablenkkraft berechnet
sich aus der Grundgleichung. Zu beachten ist, dass sie um die Leiteranzahl erweitert wird.
Abbildung 48
Das Drehmoment nimmt während der Drehung nach einer Sinusfunktion ab und auch wieder zu.
Zur Berechnung des Drehmoments muss die Kraftkomponente, die senkrecht auf dem Hebelarm
steht verwendet werden. Geht auch aus der Lorentz Kraft hervor.
FDr . = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sin α
M= F⋅ r
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Magnetostatik
.3.11.3 Kraftwirkung auf frei bewegliche Ladungen
Treten Elektronen mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht zur Feldrichtung in ein
homogenes Magnetfeld ein, so bewegen sie sich auf Grund der Kraft (Zentripetalkraft) auf
einer Kreisbahn.
Abbildung 49

 
F = Qv× B
⇒
F = QvB
⇒
r =
mQ v
QB
Die magnetische Flussdicht B lenkt die Ladungsträger von ihrer Bahn ab. Die Summe aus der
Lorentz Kraft und der elektrischen Feldkraft nennt man die vollständige Lorentz Kraft:
(
)

  
F= Q E+ v× B
Beispiel:
Funktion einer Hallsonde
Abbildung 50
Die Ladungsströmung wird an die obere Seite der Sonde abgedriftet, dadurch entsteht eine
Spannung zwischen der Oberen und der unteren Seite der Sonde.
Thomas Goldschmidt
4
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
Inatationäre elektromagnetische Felder
.4.1 Induktionsgesetz
Bewegt man Leiter oder eine Leiterschleife im Magnetfeld, so wird bei bestimmten
Voraussetzungen zwischen den Enden des Leiters bzw. der Leiterschleife eine Spannung
induziert. Man spricht in diesem Fall von einer Bewegungsinduktion.
Eine induzierte Spannung kann man auch bei ruhenden Leiterschleifen beobachten, die von
einem zeitlich sich ändernden magnetischen Feld durchsetzt werden. In diesem Fall liegt
eine transformatorische Induktion (Ruheinduktion) vor.
.4.1.1 Motorische Induktion (Bewegungsinduktion)
Die Kraft, die ein bewegtes Elektron im magnetischen Feld erfährt, ist:

 
Fm = q v × B
Wird ein Leiterstückchen im homogenen Magnetfeld bewegt, so werden die Elektronen im
Metall gegenüber den Atomrümpfen in ihrer Gesamtheit in eine Richtung gezwängt, ohne
dass sich dabei die Dichte des „Elektronengases“ ändert. Dabei wird das eine Ende positiv
und das andere Ende wird negativ, wobei es auf die Stellung des Leiterstückchens zu dem
Feld (den Feldlinien) sowie der örtlichen magnetischen Induktion (Flussdichte) ankommt.
Zeichnung 118
Es entsteht eine elektrische Feldstärke E zwischen den Enden, welche auf die Elektronen eine


Kraft Fe entgegen der magnetischen Kraft Fm ausübt. Im Gleichgewichtsfall kompensieren
sich die Kräfte.


Fe + Fm = 0
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien


 
Fe = − Fm = − q v × B
Instationäre elektromagnetische Felder
mit


Fe = q E
fo lg t :

 
E= − v× B
Diese Betrachtungen gelten nur im homogenen Feld. Ist das Leiterstückchen hinreichend
gerade, dann folgt:
 
E ∆s = ∆u
Diese Spannung heißt induzierte Spannung.
  
∆ u = − ∆ s (v × B)
Jeder Leiter kann in beliebig viele kleine Leiterstückchen aufgeteilt werden. Für die induzierte
Spannung zwischen den Drahtenden gilt somit:
∆u = −
P2
  
(
v
∫ × B ) ds
P1
Eine andere Darstellung bekommt man für die induzierte Spannung in dem man die
Gleichung umformt:
Abbildung 51
  
 
 


∆ u ≈ − ( v × B ) ⋅ ∆ s = − B ( ∆ s × v ) = B (v × ∆ s )

 ( v ∆ t × ∆ s )
 ∆A
∆φs
∆u≈ B
= B
=
∆t
∆t
∆t
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
Der Grenzübergang führt zu:
∆u =
Merke:
dφ s
dt
Die in einem Leiterstückchen induzierte Spannung kann als zeitliche Ableitung
von dem geschnittenen Fluss ausgedrückt werden. Schneidet er keine
Feldlinien wird keine Spannung induziert.
.4.1.2 Zusammenhang der von dem Leiterabschnitt geschnittenen Flüssen
mit dem von einer Leiterschleife umfassten Fluss
Der Einfachheit halber hat man sich an die Regelung des Rechtssystems gehalten, und zwar
ordnet man die induzierte Spannung einer Leiterschleife im Rechtschraubensinn dem
magnetischen Fluss zu:
u ind = −
dφ
dt
Zeichnung 119
Die Herleitung des Minus soll anhand eines einfachen Beispiels erklärt werden.
Beispiel:
Ein sich verengender Leiterschleifenquerschnitt
Zeichnung 120
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
Die seitlichen beweglichen Drahtbrücken bewegen sich mit einer gemeinsamen
Geschwindigkeit aufeinander zu. Die Flussdichte B ist konstant, das bedeutet in diesen
Leiterstückchen entstehen Spannungen, welche sich zu ∆ u addieren. Das heißt, wird die
Fläche (Geschnittene Fläche) verkleinert, so wird eine Spannung ∆ u induziert.
Um das Rechtsschraubensystem beibehalten zu können, wird dann:
u ind
Merke:

 dA
= − ∆u = − B
dt
Werden eine Leiterschleife oder Teilstücke von ihr so bewegt, dass der von der
Schleife umfasste Fluss sich ändert, und werden die Zählpfeile für den Fluss
und für die Spannung an den Leiterenden im Rechtschraubensinn zueinander
orientiert, so gilt:
uind = −
Beispiel:
dφ
dt
Rotierende Metallscheibe (Unipolarmotor)
Abbildung 52
Die aufgrund der Kraft auf die Elektronen auftretende Feldstärke geht vom Mittelpunkt zum
Außenring.

  
 

E = − v × B = − ( (ω × r ) × B ) = ω r B er
k
U wk =
  R
1
E
∫w dr = ∫0 ω r B dr = 2 ω B R ²
für eine weitere Speiche ergäbe sich dieselbe Spannung. Sogar wenn sich eine Scheibe
Drehen würde, wäre die Spannung zwischen Welle und Kreisring gleich. Da bei Ringen
gleichen Radius kein Potentialunterschied besteht würde auch kein Ausgleichstrom fließen.
Lediglich hat die Anzahl der Speichen mit der Belastbarkeit des Generators zu tun.
Mehr Speichen heißt kleinerer Innenwiderstand.
Thomas Goldschmidt
Beispiel:
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
Rotatorische Bewegung einer Leiterschleife
Abbildung 53
u ind = −
u ind = −
dφ
dt
mit :
φ =
∫
   
B dA = B A = B A cos(ω t )
A
d ( B A cos(ω t )
= B A ω sin(ω t )
dt
.4.2 Verketteter Fluss und Bündelfluss
Zeichnung 121
u ind = −
Merke:
dφ 1 dφ 2
dψ
−
=−
dt
dt
dt
Das Integral der magnetischen Induktion über eine von einer Leiterschleife
umrandete Fläche, die auch aus Teilflächen solcher Art zusammengesetzt
aufgefasst werden kann, dass jedes Leiterstückchen nur zum Rand einer
Teilfläche gehört, heißt verketteter Fluss ψ .
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
Merke:
Liegen die Teilflächen so, dass die Flüsse durch sie alle gleich sind, so kann
man den verketteten Fluss durch eine der Flächen, der dann Bündelfluss heißt,
multipliziert mit der Anzahl der Flächen ermittelt.
Beispiel:
Zylinderspule, oder lange Spule
φ = BA
:
Bündelfluss
ψ ≈ Nφ
.4.3 Ruheinduktion
In den bisher betrachteten Fällen ist die zeitliche Fluss Änderung immer als Folge von
bewegten Leitern betrachtet worden. Es liegt nahe zu behaupten, dass auch für unbewegliche
Leiter aber mit veränderlichen Flussdichten diese Beziehung gilt.
Denn:
 
φ = B dA
Das heißt auch eine Änderung von B bewirkt eine Änderung von φ .
Aber wie ist das zu erklären?
wohl nur so, dass jedes zeitlich sich ändernde magnetische Feld elektrische Wirbelfelder im
Raum zur Folge hat.
Zeichnung 122
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
In einer offenen Leiterschleife führt diese elektrische Feldstärke zu der induzierten Spannung.
Zeichnung 123

E m : Feldstärke auf Grund des magnetfeldes

E : Feld auf Grund der Ladungstrennung
Spannung zwischen den Leiterenden:
P2
∫
P2


E res ds = 0V
P1
roter Weg
Merke:

∫E
res

ds = uind
P1
blauer Weg
In Gegenwart eines zeitveränderlichen Magnetischen Feld ist das Wegintegral
nicht mehr Wegunabhängig. Im Leiter entstehen zwei Feldstärken, zum einen
die durch das zeitlich veränderbare magnetische Feld entstehende elektrische

Feldstärke E m , und die auf Grund der Ladungstrennung an den enden

entstehende elektrische Feldstärke E . Diese beiden elektrischen Feldstärken
unterschiedlicher Ursachen heben sich an jeder Stelle des Leiters auf, so lange
in diesem kein Strom fließt.
Abbildung 54
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder

Ist die Leiterschleife geschlossen, so hat die induzierte elektrische Feldstärke E m einen
Kreisstrom zur Folge.
Abbildung 55
Das magnetische Feld dieses induzierten Stromes wirkt der Änderung des magnetischen
Feldes entgegen. diese Erscheinung ist als Lenzsche Regel bekannt.
.4.4 Selbstinduktion
Das Phänomen aus obiger Lenzschen Regel hat zur folge, das bei einer Stromdurchflossenen
Leiterschleife bei der sich der Strom ändern will daran gehindert wird dies zu tun.
Beispiel:
Anklemmen einer Leiterschleife an eine Spannungsquelle
Zeichnung 124
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
Für das Leiterstückchen gilt:


i 
( E0 + E m ) ⋅ γ = J =
e
A



i ∆s
( E0 + E m ) ⋅ γ ∆ s =
Aγ
Für die Leiterschleife gilt:
s2
s2
s1
s1



(
E
+
E
∫ 0 m ) ds = i
s2
∫ (E
0
∫
1
ds
Aγ
− Em ) ds = i R
s1
s2
∫
E0 ds −
s1
s2
∫E
m
ds = i R
s1
U 0 + uind = i R
U0 −
dψ
= iR
dt
Um eine allgemeiner Form zu erhalten, wird der Quotient aus Verkettungsfluss und Strom,
die Induktivität L eingeführt. Dieser Quotient ist bei allen konstanten µ r gleich.
L =
ψ
i
Daraus folgt:
u ind = − L
di
dt
Obige Gleichung umgestellt:
U0 = L
di
+ iR
dt
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
Diese Gleichung erhält man auch, wenn man sich ein ESB anfertigt:
Abbildung 56
Schaltung 2
.4.5 Energie im Magnetfeld
Aufbau eines Magnetfeldes.
U = iR+
dψ
dt
U i = i² R + N i
dφ
dt
Ui
:
Zugeführte Energie
i² R
:
Wärme Energie
dφ
ist nur dann in der Leistungsbilanz vorhanden, wenn sich der Fluss ändert. Es
dt
ist offensichtlich, die zum Aufbau des Feldes erforderliche Leistung oder die beim Abbau des
Feldes freiwerdende Leistung, wenn die Spannungsquelle nach dem Aufbau des Feldes durch
einen Kurzschluss ersetzt wird. Durch Integration über die erhält man die Leistung:
Ni
t
Wmag = N ∫ i
0s
dφ
dt
dt
Für eine Ringspule gilt:
φ = Bm A
H =
Ni
2 π rm
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
t1
W = 2 π rm A ∫ H
0s
dB
dt
dt
Um das Integral so auswerten zu können, benötigt man H in Abhängigkeit von der Zeit und B
in Abhängigkeit von der Zeit. B habe den Wert B1 zum Zeitpunkt t1 angenommen.
B1
W = 2 π rm A ∫ H dB
0
Wie so oft, gibt man nun die Energiedichte an
wmag =
W
=
V
∫ H dB
Diese Darstellung ist allgemein und führt zu der Energie im Feld:
W =
∫
wmag dV
(V )
Für die meisten Anwendungen ist jedoch wmag konstant:
W = V
∫ H dB
Für konstante µ r folgt:
W =
1
µ H² V
2
Für konstante Induktivitäten:
Wmag =
t2
∫u
t1
t2
l
i dt = L ∫ i di
t1
⇒
Wmag =
1
L i²
2
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Instationäre elektromagnetische Felder
.4.6 Magnetische Erregung durch einen Verschiebungsstrom
Zeichnung 125
Für den grünen Weg gilt:
∫
 
H ds = i
Man erfährt, dass experimentell für den orange-farbenen Weg das gleiche Ergebnis auftritt,
denn im Bereich des elektrischen Feldes erfährt, solange der Strom ≠0A ist eine Magnetnadel
eine Ablenkung.
Merke:
So wie bei der zeitlichen Änderung eines magnetischen Feldes eine
elektrische Erregung des Raumes auftritt, tritt bei der zeitlichen Änderung des
elektrischen Feldes eine magnetische Erregung des Raumes auf.
Zwischen den Platten des Kondensators gilt nun, wenn die Fläche, deren Rand beim
Durchflutungssatz betrachtet wird, nicht von einem Strom (Leitungsstrom) durchflossen wird,
sondern durch welche nur Linien eines sich ändernden elektrischen Feldes schneidet:
Merke:
An der Oberfläche der Elektroden eines Kondensators geht der
Leitungsstrom gleichsam über in einen Verschiebungsstrom, der ebenso wie
der Leitungsstrom mit einem Magnetfeld verkettet ist. In Raumgebieten, wo
eine Fläche, deren Rand beim Durchflutungssatz Integrationsweg sein soll,
sowohl einen Leitungsstrom, als auch einen Verschiebungsstrom
umfasst gilt:
∫
Rand von
A
 
H ds =

∂D 
∫A ( J + ∂ t ) dA
Thomas Goldschmidt
5
Feldtheorien
Maxwellschen Gleichungen
Maxwellschen Gleichungen in Integraler Form
 
H ds =
∫
Rand von
A
∫

∂D 
∫A ( J + ∂ t ) dA
 
E ds = −
 
d ∫ B dA
Rand von
A
∫
 
D dA = Q
Hülle
∫
Hülle
 
B dA
A
dt
Thomas Goldschmidt
Fach
Formeln
Formelsammlung
Elektrostatik
Ladungen
Ladung:
Q = n ⋅ e = n ⋅ 1,602 ⋅ 10 − 19 C
Raumladungsdichte:
ρ =
Flächenladungsdichte:
σ
Linienladungsdichte:
λ =
lim ∆ Q
dQ
=
∆V→ 0 ∆V
dV
=
∆ Q
dQ
=
∆ A→ 0 ∆A
dA
lim
lim ∆ Q
dQ
=
∆ s→ 0∆ s
ds
Feldstärken
Feldstärke:

 F
E=
q

E = − grad φ ( x ; y ; z ;)
Feldstärke einer Punktladung:

E =

Q
r
⋅ 
ε ⋅ 4 π r²
r
Feldstärke einer konst. Linienladung:

E=

ρ
⋅ 
2π ρ ε
ρ
Feldstärke einer gleichmäßigen

E =
in einer Ebene verteilte Ladung:
λ
Dq
2ε
Thomas Goldschmidt
Fach
Formeln
Kraftwirkungen
Allgemein:


F = E⋅ q
Kraftwirkung zweier Punktladungen
als Betrag:
Qq
4 π ε r²
F=
(Coulombsches Gesetz)
Verschiebungsdichte
Verschiebungsdichte:
dQ
D =
= ε ⋅ E
dA
;


E
D= D⋅
E
elektrische Permitivität,
Influenzkonstante:
ε = ε0⋅εr
Verschiebungsfluss:
ψ =
Gaußscher Satz:
∫
ε 0 = 8,854 ⋅ 10 − 12


D ⋅ dA
mit
A
∫
As
Vm


dA = dA e N
 
D dA = Q
Spannung und Potential
Elektrische Spannung:
U 12
W
= 12 =
q
P2
∫
 
E ⋅ ds
P1
P
Elektrisches Potential:
 
ϕ = − ∫ E ds = φ ( r )
P0
Spannung zum Bezugspunkt P0 meißt P0 im ∞
Potentialfunktion (Punktladung):
φ =
Potentialfunktion (zweier Punktladungen): ϕ =
Q
ε ⋅ 4π r
Q
4π ε
1
1
 −

 r1 r2 
Thomas Goldschmidt
Potentialfunktion (Linienladung):
Fach
Formeln
ϕ = φ (ρ ) = −
mit ρ =
Potential zweier Linienladungen,
ϕ = −
λ
ρ
ln
2π ε
ρ0
x² + y ² + z ²

 


 λ 1 ln ρ 1  + λ 2 ln ρ 2 
 ρ′
 ρ′ 

 1
 2

1
2π ε
gegenüber des Erdbodens:
Kapazität
Kapazität C:
 
D
∫ dA
Q
Hülle
C =
=
 
U
E
∫ ds
Weg
Kapazität eines Plattenkondensators:
Kapazität einer Koaxialleitung:
Kapazität eines Kugelkondensators:
C =
ε A
l
2π ε l
ρ 
ln 2 
 ρ1 
C =
C=



4π ε
1
1

−
r1
r2 
Grenzflächen:
Feldstärken:
E1t = E2t
E1n ε 1 = E 2 ε 2
Verschiebungsdichte:
D1n = D2 n
D2t ε 1 = D1t ε 2
Brechungsgesetz:
tan(α 1 )
ε
= 1
tan(α 2 )
ε2




Thomas Goldschmidt
Fach
Formeln
Energie im elektrischen Feld:
Allgemein:
W =
1
2
∫ε
E ² dV
(V )
1
1 Q²
C U² =
2
2 C
Kondensator:
W =
Energiedichte:
W
1
1 D²
= w =
ε E² =
∆V
2
2 ε
Stationäres Strömungsfeld
Strom
Gleichstrom:
I=


∆Q
= ρ0 A v = nev A
∆t
Allgemeiner Strom:
i=
dQ
dt
Allgemein Strom:
Geschlossene Hülle:
(Kirchhoff)
I =
 
J dA
∫
Fläche
A
 
dA = 0 A
∫J
Stromdichte
dI
dA⊥
Stromdichte:
J =
Stromdichtevektor:


J = γ E
einer Kugelelektrode:
J =
γ = Leitfähigkeit
Iq
4 π R²
Thomas Goldschmidt
Fach
Formeln
Widerstand
Widerstand einer Kugelelektrode:
R =
Zeitkonstante:
τ =
Leitwert:
Beweglichkeit:
1
4π γ
 1 1
 − 
 r1 r2 
ε
γ
v
= ρQ b = ne b
E
n : pro Volumen ;
γ = ρQ
b=
v
1 e
=
τ
E 2 me
Feldstärke
Punktelektrode:
E=
Linienelektrode:
E =
Iq
4 π γ r²
I
2π γ ρ l
Grenzflächen:
Feldstärke:
E t 1 = Et 2
E1n γ 1 = E 2 n γ 1
Stromdichte:
J 2 n = J 1n
J 1t γ
Brechungsgesetz:
2
= J2 γ 1
tan(α 1 ) γ 1
=
tan(α 2 ) γ 2
Thomas Goldschmidt
Fach
Formeln
Energie im stationären Strömungsfeld
Energiedichte:
 
ρ = J⋅E
Leistung:
P=
 
J E dV
∫
(V )
Magnetostatik
magnetische Induktion und Kraft
 
I ∆l × B
Lorentz Kraft:

 
F = qv× B=
magnetische Induktion:
 F

B = max et
qv
Flussdichte:





B = µ0 ( H + M ) = µ 0H (1+ χ m) = µ H

et = Feldlinien tan gentenvektor
Magnetischer Fluss
Allgemein über Fläche:
Geschlossene Hülle:
φ =
 
B dA
∫
( A)
∫
 
B dA = 0
(O )
Magnetische Feldstärke
Allgemein:

 B
H =
µ
Eines Leiters:
H Innen =
Einer Toroidspule:
H =
I r
2 π R²
N I
2π r
H Außen =
I
2π r
Thomas Goldschmidt
Einer Langen Spule:
Fach
H ≈
Formeln
N I
l
Magnetische Durchflutung (Spannung)
Durchflutung:
Θ = N I=
 
∫ H ds
S
Grenzflächen
Flussdichte:
B2 n = B1n
B1t µ 2 = B2t µ 1
Feldstärke:
H t1 = H t 2
H 1n µ 1 = H 2 n µ 2
Brechungsgesetz:
tan α 1
µ
= 1
tan α 2
µ2
Kraft und Momente
magnetisches Dipolmoment:



M = mA × B


φ a
mA =
µ0
Ringstrom:


mA = I A
parallele Leiter:
FA = FB =
l I A IB µ
2π a
Thomas Goldschmidt
Fach
Formeln
mQ v
Radius einer Ladung im Feld:
r =
Vollständige Lorentz Kraft:

  
F= Q E+ v× B
QB
(
)
Instationäre elektromagnetische Felder
Induktion der Bewegung
Eines Leiterstückchens:
  
∆ u = − ∆ s (v × B)
Eines Leiters:
∆u = −
P2
  
(
v
∫ × B ) ds
P1
dφ s
dt
Über den geschnittenen Fluss:
∆u =
Induzierte elektrische Feldstärke:

 
E = − v × B
Einer Leiterschleife:
uind = −
dφ
dt
Induzierte Spannung:
u ind = −
dψ
N dφ
= −
dt
dt
Induktivität:
L =
Spannung an einer Induktivität:
ul = L
(Rechtssystem)
Induktion der Ruhe
(Richtung wie bei Widerstand)
ψ
i
di
dt
Thomas Goldschmidt
Fach
Formeln
Energie im Magnetfeld
∫
Allgemein:
W =
wmag dV =
Für konstantes wmag:
W = V
Für konstantes µ r :
W =
Für konstantes L:
Wmag =
(V )
(∫ ∫ H dB) dV
(V )
∫ H dB
1
µ H² V
2
1
L i²
2
Verschiebungsstrom
1. Maxwellsche Gleichung:
∫
Rand von
A
 
H ds =

∂D 
∫A ( J + ∂ t ) dA
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
Stichwort
Stichwortverzeichnis
Coulumb Integral...........................................................39
Curie- Temperatur.........................................................84
Kästchen Methode.........................................................76
Kästchenmethode..........................................................50
Kirchhoffsche Gesetz.....................................................68
Kirchhoffsches Gesetz...................................................73
Koaxialkabel..................................................................56
Koerzitivfeldstärke......................................................103
Kollektoren..................................................................115
Kommutatoren.............................................................115
Komutierungskurve.....................................................104
Kontaktierender Flächen................................................79
Kreisstrom...................................................................124
Kreisströme...................................................................99
Kugelkondensator..........................................................57
D
L
Diamagnetische Stoffe.................................................101
Dielektrikum..................................................................52
Dielektrikums................................................................54
Dipol..............................................................................33
Dipolmoment.................................................................40
Driftgeschwindigkeit.....................................................72
Durchflutung..........................................................90, 107
Ladung.............................................................................2
Ladungsdichte.................................................................3
Ladungsverteilung...........................................................2
Langespule....................................................................95
Leistungsdichte..............................................................82
Leiter in einem Magnetfeld..........................................114
Lenzsche Regel............................................................124
Linienladungsdichte.........................................................4
Lorenz Kraft..................................................................88
Luftspalt......................................................................111
A
Ampe´resche magnetische Moment.............................112
Antiferromagnetische Stoffe........................................102
B
Beweglichkeit................................................................72
Bewegungsinduktion...................................................117
Brechungsgesetz..........................................................106
Brechungsgesetzt...........................................................62
Bündelfluss..................................................................121
C
E
Elektrische Feldstärke......................................................5
elektrische Feldstärke Feldlinien.....................................5
Elektrische Spannung....................................................24
elektrische Wirbelfelder...............................................122
Elementarmagneten.......................................................84
Energie..........................................................................63
Energie im Magnetfeld................................................126
Energiedichte...................................................64, 82, 127
F
Feldlinie...........................................................................5
Feldstärke.......................................................................A
Ferrite..........................................................................102
Ferromagnetische..........................................................85
Ferromagnetische Stoffe........................................99, 101
Flächenladungsdichte......................................................3
Flussdichte.............................................................87, 108
Flüssigkeitsfluss..............................................................9
Flussintegral..............................................................9, 11
frei bewegliche Ladungen............................................116
M
magnetisch weiche.......................................................103
magnetische Dipols......................................................112
Magnetische Feldstärke.........................................89, 108
Magnetischer Fluss................................................89, 108
magnetischer Kreis......................................................107
Magnetischer Widerstand............................................108
Magnetisches Moment.................................................112
Magnetisierung..............................................................98
Magnetisierungskurven................................................102
Magnetnadel..................................................................85
Magnetostatik................................................................83
Materialisierung.............................................................43
Maxwellschen Gleichungen.........................................129
Mehrschichtplatttenkondensator....................................57
Motorische Induktion...................................................117
Motorprinzip................................................................114
G
N
Gaußscher Satz der Elektrostatik...................................16
Grenzflächen....................................................59, 77, 105
Neukurve.....................................................................103
O
H
Oberflächen...................................................................11
Oberflächenintegral.........................................................9
Ohmsche Gesetz............................................................70
Hallsonde.....................................................................116
harte.............................................................................103
Hufeisenmagneten.........................................................86
Hysteresekurve............................................................103
Hystereseschleife.........................................................103
I
Induktion.......................................................................87
Induktionsgesetz..........................................................117
Induktivität..................................................................125
induzierten Spannung..................................................123
Influenz...........................................................................7
Influenzladungsdichte....................................................12
K
Kanals gleichen Stromes................................................70
Kapazität........................................................................52
P
Parallele Leiter.............................................................113
Paramagnetische Stoffe................................................101
Permeabilität..................................................................89
Plattenkondensator...................................................43, 47
Polarisation....................................................................54
Potential.........................................................................26
Potentialflächen.........................................................8, 29
Potentialfunktion...........................................................26
Potentiallinien............................................................8, 29
Probeleiterstückchen......................................................92
Punktladung...............................................................4, 18
R
Raumladungsdichte.........................................................2
Thomas Goldschmidt
Feldtheorien
relative Dielektrizitätskonstante.....................................54
relative Permeabilität.....................................................98
Remanenz....................................................................103
Ringspule.....................................................................110
Ruheinduktion.....................................................117, 122
S
Sättigung..............................................................101, 104
Selbstinduktion............................................................124
Spannung.................................................................23, 24
Spiegelungsprinzip..................................................44, 75
Stabmagneten................................................................85
stationäre Strömungsfeld...............................................65
Stoffeigenschaften.........................................................97
Strom.............................................................................66
Stromdicht.....................................................................67
Stromlinien....................................................................69
Strömungslinien.............................................................79
Stichwort
Suzeptibilität..................................................................98
Systematisches...............................................................45
T
Toroidspule....................................................................93
U
Überlagerung.................................................................73
Unipolarmoto...............................................................120
V
Verketteter Fluss..........................................................121
Verschiebungsdichte......................................................12
Verschiebungsfluss..................................................12, 15
Verschiebungsflussdicht................................................12
Verschiebungsflusses.....................................................46
Verschiebungsstrom....................................................128
W
Weißsche Bezirke..........................................................99