11 - Institut für Theoretische Physik

Theoretische Physik III für Lehramt
Universität Heidelberg, Sommersemester 2012
Priv.–Doz. Dr. T. Weigand
Übungsblatt 11
Abgabe am 04.07 in der Übungsstunde.
Orthogonalisierung
Aufgabe 1 (2 Punkte) Seien |α1 i und |α2 i zwei normierte Eigenzustände einer Observablen  zum selben Eigenwert α und sei hα1 |α2 i = d > 0. Finden Sie eine normierte
Linearkombination von |α1 i und |α2 i, die zu |α1 i orthogonal ist.
Der endlich hohe Potentialtopf
Aufgabe 2 Ein Teilchen der Masse m befindet sich in einem eindimensionalen Potential



−W
V (x) = 

0
falls |x| < a,
falls |x| ≥ a,
wobei W und a zwei positive Konstanten sind.
• (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Energie eines gebundenen Zustands E < 0 die Bedingung
tan(ka) = κ/k
cot(ka) = −κ/k
für eine gerade Wellenfunktion,
für eine ungerade Wellenfunktion
erfüllt wobei k2 = 2m(E + W )/~2 und κ2 = −2mE/~2 .
Hinweis: Die Wellenfunktion eines gebundenen Zustands fällt für |x| → ∞ schnell
ab. Außerdem kann die Wellenfunktion eines Eigenzustands aus Symmetriegründen
hier nur gerade (ψ(−x) = ψ(x)) oder ungerade (ψ(−x) = −ψ(x)) sein. Es ist also sinnvoll in der Region |x| < a die Ansätze ψg (x) = A cos(kx) und ψu (x) = A sin(kx) zu
benutzen.
• (2 Punkte) Zeigen Sie, dass es zu beliebigen Werten von W und a immer mindestens
einen gebundenen Zustand gibt.
2
Harmonischer Oszillator
Aufgabe 3 Wir betrachten ein Teichen der Masse m im quadratischen Potential V (X̂) =
1
2 2
2 mω X̂ . Der Hamiltonoperator H ist dann durch
H=
1 2 1
P̂ + mω2 X̂ 2
2m
2
gegeben. Wir definieren einen neuen Operator a gemäß
r
!
i
mω
a :=
X̂ +
P̂
2~
mω
als eine Linearkombination aus X̂ und P̂. Wegen des Faktors i inm zweiten Term ist a
nicht hermitesch. Der zu a adjungierte Operator a† lässt sich leicht ausrechnen und ist
durch
r
!
i
mω
†
X̂ −
P̂
a =
2~
mω
gegeben. Die Kombination a† a ist offensichtlich hermitesch.
• (2 Punkte) Leiten Sie her, dass
a† a =
H 1
− ,
~ω 2
(1)
d.h. dass sich der Hamiltonoperator mit N := a† a schreiben lässt als
!
1
H = ~ω N + .
2
• (2 Punkte) Beweisen Sie folgende Kommutatorrelationen:
[a, a† ] = 1 ,
[N , a] = −a ,
[N , a† ] = a† .
Teilchen im elektromagnetischen Feld
Aufgabe 4 (4 Punkte) Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist in drei Raumdimensionen durch



 ~2 2
i~∂t ψ = −
∇ + V (x) ψ
2m
gegeben. Verglichen mit dem
eindimensionalem
Fall besteht die kinetische Energie aus
2
1
~2 2
der Summe P̂ /(2m) = 2m P̂x2 + P̂y2 + P̂z2 , die in der Ortsdarstellung durch − 2m
∇ gegeben
3
ist. ∇2 ist der Laplace Operator in drei Dimensionen. Die Phase der Wellenfunktion ist
keine physikalische Observable 1 und wie erwartet bleibt die S.G. unter der Transformation
ψ → exp (iΛ) ψ
(2)
mit dimensionsloser Konstante Λ invariant:


2
 iΛ

~
2
~∂ ψ = 
 e ψ.
−
i
eiΛ
t
 2m ∇ + V (x)
Wir fordern, dass die erweiterte Gleichung, die ein geladens Teichen in der Gegenwart
eines elektromagnetischen Viererpotentials A := (A0 = Φ, A1 , A2 , A3 ) beschreibt, auf ähnliche Weise unter einer Eichtransformation Aα → Aα − ∂α χ invariant bleibt. Dabei sollte
jede Änderung, die durch χ verursacht wird, in die Phase der Wellenfunktion absorbiert
werden können. D.h. wenn Aα → Aα − ∂α χ transformiert, dann sollte
ψ → ψ0 = exp iΛ(x, t) ψ,
für geeingete Phase Λ(x, t). Beachten Sie, dass Λ(x, t) hier von Ort und Zeit abhängen darf.
Zeigen Sie, dass die Gleichung
i~∂t ψ(x, t) =
2
1 −i~∇ − qA ψ(x, t) + qΦ + V (x) ψ(x, t)
2m
(3)
invariant ist unter einer kombinierten Transformation
ψ → ψ0 = exp iΛ(x, t) ψ
Aα → Aα − ∂α χ,
für geeignetes Λ(x, t) und bestimmen Sie Λ(x, t), so dass dies gilt.
Zusatzinformation Die Gleichung (3) beschreibt die die minimale Kopplung eines geladenen Teilchens an das Potential A, d.h. die einfachste eichinvariante Verknüpfung zwischen der Punktladung und elektromagnetischem Potential. Die Ersetzung der einfachen
(A)
Ableitung ∂µ durch die kovariante Ableitung Dµ
(A)
∂µ → Dµ := ∂µ +
iq
A
~ µ
wird das Prinzip der minimalen Kopplung gennant. Die kovariante Ableitung ist so definiert, dass sie sich genauso wie die Wellenfunktion ψ transformiert d.h.
ψ → ψ0 = exp (iΛ) ψ
1 Die
⇒
(A)
(A)
(A0 )
(A)
Dµ ψ → (Dµ ψ)0 = Dµ ψ0 = exp (iΛ) Dµ ψ .
Differenz zweier Phasen kann gemessen werden.
4
wobei A0µ = Aµ − ~q ∂µ Λ. Sie führt somit zu einer eichinvarianten Theorie. Gleichung (3)
lässt sich kompakt schreiben als
i~Dt ψ =
1
(−i~Dx~ )2 ψ + V (x)ψ.
2m
Elektrischer Strom in verschiedenen Bezugssystemen
Aufgabe 5 Nehmen Sie an, zwei Ladungsströme λδ(x)δ(y) und λ̄δ(x)δ(y) mit λ̄ = −λ und
λ > 0 bewegen sich im Laborsystem Σ mit den Geschwindigkeiten +v êz bzw. v̄êz = −vêz .
Zusammen sind die Ladungsströme elektrisch neutral, erzeugen aber einen Strom
I = 2λv
entlang der z–Achse in positiver Richtung. Im Raum wird also ein magnetisches Feld erzeugt aber kein elektrisches. In einem Bezugssystem Σ0 , welches sich mit der Geschwindigkeit vêz bewegt, steht die positive Ladungsdichte still. Die Ladung pro Längeneinheit
λ ist keine lorentzinvariante Größe. Wegen der Längenkontraktion transformiert sie sich
gemäß,
λ0 = γλ0 ,
wobei λ0 die Ladungsdichte im Ruhesystem der Ladung beschreibt.
• (1 Punkte) Bestimmen Sie die Ladungsdichten λ0 des positiven Stroms bzw. λ̄0 des
negativen Stroms in ihrem jeweiligen Ruhesystem.
• (2 Punkte) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Ladungsdichten v 0
und v̄0 im Bezugssystem Σ0 .
• (2 Punkte) Berechnen Sie die Ladungsdichten λ0 und λ̄0 im Bezugssystem Σ0 . Ist die
z–Achse immer noch elektrisch neutral?