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01|ÜberdenAutor
MartinBäker
MartinBäkeristPhysiker.ErhatinHamburgstudiertundüberdie
SimulationvonElementarteilchenprozessenpromoviert.Seit1996
erforschteranderTUBraunschweigdasmechanischeVerhalten
modernerWerkstoffe.WieCäsarübersichinderdrittenPersonzu
schreiben,findetereinwenigseltsam.
02|Inhalt
01
02
ÜBERDENAUTOR
INHALT
03
QUANTENMECHANIK
DieSchrödingergleichung
04
IMPRESSUM
03|Quantenmechanik
Die
Schrödingergleichung
VONMARTINBÄKER
DassdieQuantenmechanikschwerzuverstehenist,istjaallgemein
bekannt.AuchüberihreInterpretationwirdjavielundgern
diskutiert.Vielleichtistesjaganzhilfreich,einmaldieGrundlagender
Quantenmechanikeinbisschennäherzubetrachten.
DIEGLEICHUNG
D
assdieQuantenmechanikschwerzuverstehenist,istja
allgemeinbekannt.AuchüberihreInterpretationwirdja
vielundgerndiskutiert.Vielleichtistesjaganzhilfreich,
einmaldieGrundlagenderQuantenmechanikein
bisschennäherzubetrachten.
AnfangenwillichmitderSchrödingergleichung.Sieisteinzentraler
BestandteilderQuantenmechanik–vielePhysikerwürdenvielleicht
sogarsagen,derzentraleBestandteilüberhaupt.Undsieist
erfreulicherweisegarnichtsoschwerzuverstehen.Die
Schrödingergleichungbeschreibt,wiesichdiesogenannte
WellenfunktioneinesTeilchens(meistbetrachtetmanElektronen)
verhält.WasdieWellenfunktiongenauist,diskutierenwirspäter–sie
beschreibtinirgendeinerWeisedasElektron,daswirbetrachten.
(AuchSchrödingerwusstenichtgenau,wasdieWellenfunktion
eigentlichbeschreibt,alserdieGleichungaufstellte–wiesowas
angehenkann,sehenwirnachher.)
FürdenAnfangmachenwirunsdasLebenleicht:Wirbeschränken
unsaufeineDimension(stellenunsalsobeispielsweisevor,unser
ElektronkönnesichnurentlangeinessehrdünnenDrahtes
bewegen)undbetrachtenzunächstnursolcheZuständedes
Elektrons,diesichmitderZeitnichtändern,dasheißt,wirbetrachten
diezeitunabhängigeSchrödingergleichung.
IndiesemFallistdieWellenfunktioneineeinfacheFunktion,die
jedemPunktdesDrahteseinenZahlenwertzuordnet.(Genauer
gesagtistesihrzeitunabhängigerAnteil,aberumdenUnterschied
kümmernwirunsspäter)
ÄhnlichwiebeidenMaxwellgleichungenbrauchenwireinbisschen
mathematischesVorgeplänkel,wirmüssennämlichdenBegriffder
KrümmungeinerFunktionverstehen.
DieKrümmungeinerFunktionEineFunktionkannmansichja
leichtalseinegezeichneteLinievorstellen,diejedemx-Werteinen
Funktionswertzuordnet.TraditionellheißteineWellenfunktionimmer
ψ(“psi”)undkönntevielleichtsoaussehen:
WannisteineFunktiongekrümmt?DieAntwortistziemlichbanal:
Genaudann,wennsienichtgeradeist.Werhättedasgedacht…?
AberdieseziemlichalbernerscheinendeAntwortisttatsächlichder
SchlüsselzummathematischenKrümmungsbegriff.
NatürlichkanneineFunktionaneinemOrtandersgekrümmtseinals
eineinemanderen,dieKrümmunghängtalsovomOrtab.
BetrachtenwireinkleinesStückeinerFunktion:
RechtsistdieFunktiongekrümmt,linksnicht.Wirsehendasmitdem
bloßenAugedaran,dasswirlinkseineGeradedurchdieses
Funktionsstücklegenkönnen,rechtsabernicht.Umzusehen,wie
starkeineFunktiongekrümmtist,ziehenwireineGeradevoneinem
EndeunserenskleinenStückchenszumanderen–jestärkerder
echteFunktionswert(miteinemKringelgekennzeichnet)vondem
WertaufderGeradenabweicht,destogrößeristdieKrümmung.
(WerkeineFormelnmag,derkanndiegenaueBerechungeinfach
überspringenunduntenbeim(*)wiedereinsteigen.)
Umzusehen,obeineFunktiongekrümmtist,müssenwirdie
FunktionandreiPunktenkennen:Andem,wowirdieKrümmung
wissenwollen,sowieaneinemPunktlinksundaneinemPunktrechts
davon.NennenwirdenaktuellenPunkteinfachx,denlinkenPunktxl
unddenrechtenPunktxr.DerPunktaufderGeradengenauamOrt
xistderMittelwertvonψ(xl)undψ(xr):(ψ(xl)+ψ(xr))/2.Die
AbweichungunsererFunktionbekommenwir,wennwirdavonden
Funktionswertabziehen,also(ψ(xl)+ψ(xr))/2-ψ(x)oder,anders
geschrieben(ψ(xl)+ψ(xr)-2ψ(x))/2.
Anmerkung:Eigentlichhabeichhiereinbisschengelogen–
mathematischwirddieKrümmungeinerFunktionetwasanders
definiert,siewirdnämlichnochmitdemWertdererstenAbleitung
derFunktionnormiert.Waswirhierbetrachten,istdirektdiezweite
AbleitungderFunktion,diemanauchalsKrümmungrelativzur
horizontalenAchseansehenkann.
Bisherhabeichnichtsdarüberausgesagt,wieweitdiebeiden
Nachbarpunktexlundxrnuneigentlichvonxentferntsind–dashat
natürlicheinenEinflussaufdenZahlenwert,denman
herausbekommt.EigentlichmussmandiebeidenPunkteimmer
dichteranxheranrückenlassen.Dabeiwirdnatürlichauchdie
Abweichungimmerkleinerwerden(dieFunktionlässtsichimmer
besserdurcheineGeradeannähern).Damitmaneinensinnvollen
Wertherausbekommt,mussmandeshalbnochdurchdasQuadrat
desAbstandsteilen.Definierenwirδx=x-xl,dannistdierichtige
FormelfürunsereKrümmung(wirschreibenjetztx-δxfürxl):(ψ(x-δx)
+ψ(x+δx)-2&psi(x))/(2δx2).
(*)So,wirbegrüßenauchdiewiederzugestiegenenLeseranBord
desSchrödinger-Express’…DiesoberechneteKrümmung(oder
genauerzweiteAbleitung)derFunktionψamOrtxschreibeichim
FolgendenimmeralsΔψ(x).
DasPotentialAnmathematischemHandwerkszeugistdasfürdie
Schrödingergleichungschonalles,waswirbrauchen.Einbisschen
Physikbrauchenwirabernoch:UnserElektronwirdjainseiner
BewegungvonäußerenKräftenbeeinflusst.Imwesentlichensinddas
elektromagnetischeKräfte(schwacheKernkraftundSchwerkraftsind
fürElektronenmeistrelativirrelevant).Für’serstebeschränkenwir
unsaufreineelektrischeFelder,diedurchelektrischeLadungen
erzeugtwerden.DadasElektronvonanderennegativenLadungen
abgestoßenundvonpositivenLadungenangezogenwird,braucht
manEnergie,umesineinemBereichmitnegativenLadungen
hineinzubringen.DieseEnergienenntmandas“Potential”.Je
niedrigersieist,desto“lieber”hältsichdasElektronindiesem
Bereichauf.(Ja,ichweiß,Elektronenliebennichtsundwollennichts
undsoweiter…)
WirbezeichnendasPotentialmitV(x),einElektronamOrtxhatalso
dieelektrostatischeEnergieV(x).
DiezeitunabhängigeSchrödingergleichungUnddamitkönnen
wirjetztdieSchrödingergleichung(kurzSGL)hinschreiben,jedenfalls
fürdenFall,dassdasElektronineinemZustandist,dersichmitder
Zeitnichtändert.Sielautet(nichterschrecken,siehtaufdenersten
Blickschlimmeraus,alsesist):
(-ħ2/2m)Δψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x)
LinksstehenerstmaleinpaarVorfaktoren.Dastecktzunächst?
=h/2π,wobeihdasberühmtePlanckschenWirkungsquantumist.m
istdieMassedesElektrons.DieserVorfaktorwirdandieKrümmung
derFunktionamOrtxranmultipliziert.Dazuaddierenwirdas
Potential,multipliziertmitψ.AufderrechtenSeitestehtE,dieEnergie
desZustandes,ebenfallsmultipliziertmitψ.Undüberallsteht(x)
dran,dieGleichunggiltalsoanjedemOrtx.
MankanndieGleichungauchinWortenumschreiben:Krümmung
derWellenfunktion+potentielleEnergiemalWellenfunktion=
GesamtenergiemalWellenfunktion.
InderklassischenPhysikgibteseineganzähnlicheGleichung:
KinetischeEnergie+potentielleEnergie=GesamtenergieUnd
tatsächlichkannmandieKrümmungderWellenfunktionmitder
kinetischenEnergieinVerbindungbringen–daraufkommenwir
wahrscheinlichspäternochzurück.
WasanderGleichungauchsofortauffälltist,dassdasψinjedem
Termdrinsteckt.DasisteinerderGründe,warumesauchnachdem
SchrödingerdieSGLentdeckthattenichtsofortklarwar,welche
Bedeutungdasψhatte.Umdaszuverstehen,vergleichenwirdie
GleichungmiteinerderMaxwellgleichungendivE=ρ/ε0Nehmen
wiran,wirwüsstennichtgenau,wasEeigentlichist,dannkönnten
wirausdieserGleichungzumindestherausbekommen,dassesdie
EinheitVolt/Meterhabenmuss.Darauskönntenwirschoneiniges
überdaselektrischeFelderfahren.
BeiderSGLgehtdasabernicht–wasauchimmerψfüreineEinheit
hat,siestecktinallendreiTermendrin.DieEinheitkönntenach
dieserGleichungallessein,eineEnergiedichte,eineLadungsdichte
oderetwasganzanderes–ÄpfelproKubikmeterzumBeispiel.
Deshalbwaresnichtsofortklar,aufwasfüreinphysikalisches
ObjektsichdieSGLeigentlichbezieht.Schrödingerselbstglaubte,
dassψdieLadungsdichtesei.
WaszumHenkersollmanmiteinerGleichunganfangen,wennman
nichtmalweiß,wasdieGrößenbedeuten,dieinderGleichung
stecken???GuteFrage.DieAntwortlautet,dassmandieGleichung
trotzdemlösenundbeispielsweisedieEnergieEberechnenkann–
undgenaudashatSchrödingergetan.
WARUMDIEENERGIEQUANTISIERTIST
I
merstenTeilhabenwirdiefundamentaleGleichungder
Quantenmechanikhingeschrieben.Hierwollenwirdie
Gleichung(grafisch)lösen–dabeiwerdenwirsehen,warumdie
Schrödingergleichungdafürsorgt,dassdieEnergie(zumindest
manchmal)quantisiertist.HierzurErinnerungnochmaldie
Schrödingergleichung:
(-ħ2/2m)Δψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x)
InWorten:KrümmungderWellenfunktion+potentielleEnergiemal
Wellenfunktion=GesamtenergiemalWellenfunktion.
WirlösensiejetztfüreinendereinfachstenFälle:EinTeilchenin
einemKasten.
DieSchrödingergleichungfür’sKastenpotentialWirbleiben
nochineinerDimension,damitdasLebeneinfacherist.Jetztstellen
wirunsvor,dasswirunserElektronineinenKasteneinsperren.(Ein
“eindimensionalerKasten”bedeutetalso,dasswirunserElektronauf
einemStückeinerLiniehalten,sodassesnichtnachrechtsundlinks
abhauenkann.)
DerKastenerstrecktsichaufunsererx-Achse,sagenwirvonx=0bis
hinzux=L;alsoistLdieKastenlänge.DadasElektronausdem
Kastennichtherauskann,istseinepotentielleEnergieaußerhalbdes
Kastensunendlichhoch–dannisteszuverlässigeingesperrt.Im
InnerendesKastensmerktdasElektronvomKastennichts,seine
potentielleEnergieistalsoNull.
InbrauchbarerNäherungistübrigensschoneinStückMetallfürdie
darinbefindlichenElektroneneinsolcherKasten,weildievonden
Ionenrümpfenangezogenwerdenunddeshalbdrinneneinekleinere
Energiehabenalsdraußen.RealeKästensindabernatürlichnicht
unendlichhoch.
UndsosiehtunserKastenaus,indenwirgleichdasElektron
reinsetzen:
DiesenkrechteschwarzeLiniesymbolisiertdasPotential,dasrechts
undlinksunseres“Kastens”unendlichhochist.
WiekönnenwirdieSGLfürdiesenFalllösen?
Zunächstmalistziemlichklar,dassψaußerhalbdesKastensauch
Nullseinsollte.Wirhabenzwarimmernochnichtgeklärt,welche
Größeψnuneigentlichbeschreibt,aberdaesaußerhalbdes
KastensunendlichvielEnergiebenötigenwürde,dasElektrondortzu
haben,sollteseineWellenfunktiondortsicherverschwinden,denn
dortkanndasElektronmitSicherheitniemalssein.
AmlinkenRanddesKastensistdieWellenfunktionalsoschonmal
Null.DorthinsetzenwirunserenerstenDatenpunkt(inrot):
EinStückrechtsdavonsolltedieWellenfunktionnichtimmernoch
Nullsein–daswärezulangweilig.Alsosetzenwireinenzweiten
Datenpunktirgendwonachoben:
UndjetztziehenwirunsereSchrödingergleichungzuRate.Im
InnerendesKastens(nurdaguckenwirimMoment)istjaV(x)=0,
alsokannichdieGleichungsoumschreiben:
-Δψ(x)=(2m/ħ2)Eψ(x)
UmdieganzenVorfaktorenkümmernwirunsnicht,aberdie
Gleichungsagtja,dassdienegativeKrümmungproportionalzum
Wertvonψselbstist.AmOrtunsereszweitenDatenpunktesistψ
größeralsNull,alsomussdieKurvedortnachuntengekrümmtsein.
DerdritteDatenpunktmussalsosoliegen,dasseineVerbindung
vomerstenzumdrittenPunktunterhalbdeszweitenliegt(dennim
erstenTeilhattenwirgesehen,dasseineFunktionnurdanneine
Krümmunghat,wennsienichtgeradeist):
WogenauderPunktliegenmuss,dashängtvondenganzen
Vorfaktorenab,diewirerstMalnichtanguckenwollten.
JetztsuchenwirdennächstenWert.DieKrümmungamOrtdes
drittenDatenpunktesmussjetzt(betragsmäßig)größerseinalsdie
beimzweitenPunkt,weiljaderFunktionswertauchgrößerist.Der
vierteDatenpunktmussjetzt(weildieKrümmungjastärkersein
muss)soliegen,dassdieblaueLinie,dieihnmitdemzweitenPunkt
verbindet,weiterunterhalbdesdrittenPunktesliegt:
DieKrümmungamOrtdesviertenPunktesmussjetzt(weilder
Funktionswertnochgrößergewordenist)nochstärkersein.Dasgeht
nurnoch,wenndieFunktionjetztwiederabnimmt:
JetztistderFunktionswertwiederkleinergeworden,dieKrümmung
nimmtwiederab.DasBildistungefährsymmetrischzurlinkenSeite.
(Nichtgenau,weilmeineDatenpunktenichtunendlichdichtliegen.)
AlsogehtesmitderFunktionebenfallsabwärts.Weildie
Funktionswertejetztwiederkleinerwerden,wirdauchdieKrümmung
wiederkleiner.WirberechnendennächstenPunktwiegehabt.(Falls
esjemandnachrechnenwill:Ichhabemitδx=1,ψ(1)=4undΔψ(x)=ψ(x)/8gerechnet–derMassstabaufderx-unddery-Achsewaren
alsounterschiedlich,dasspieltaberkeineRolle.)
WirnähernunsjetztdemrechtenRanddesKastens.Dortmussψja
wiederverschwinden.DieFunktionnimmtzumGlücktatsächlichab,
aberleider:
Eshatnichtgeklappt–unsereFunktionhätteauchamrechtenRand
denWertNullhabensollen.Washabenwirfalschgemacht?
IchverbindeerstmaldierotenPunktemiteinerLinie,sodasswir
einevollständigeWellenfunktionhaben.
WennwirdiegrüneLinieverfolgen,dannliegtihrMaximumetwas
rechtsvonderMitteunseresKastens–unsereWellenfunktion,dieja
tatsächlichaussiehtwieeinWellenberg,istetwaszu“lang”geraten.
Wirmüsstensieetwasstauchen,sodasssiegenauamrechtenRand
wiederaufNullabfällt.Wiekönnenwirdashinbekommen?
AlsersteskönntemanaufdieIdeekommen,denerstenPunktetwas
höherzusetzen,dannwirddieKrümmungjagrößerundwir
erreichendasMaximumfrüher.Dochleiderklapptdasnicht,denn
auchdieFunktionswertewerdeningleichemMaßegrößerundBerg
ändertzwarseineHöhe,abernichtseineBreite.Auchmiteinem
kleinerenWertanzufangen,hilftdeshalbnichts.(MathematikerInnen
sehendassofort,weildieSGLlinearist–wennmanψmiteinem
konstantenFaktormultipliziert,ändertsichnichts.)
WiekönnenwirdieKrümmungsonsterhöhen?Jetztkommendie
bisherschmählichignoriertenVorfaktoreninsSpiel.Esistja(beiV=0)
Δψ(x)=(-2m/ħ2)Eψ(x)
DabeihabeichdenVorfaktorvonlinksnachrechtsrübermultipliziert.
AnderElektronenmasseunddemPlanckschenWirkungsquantum
könnenwirnichtdrehen,dassindNaturkonstanten,diesich
sicherlichnichtjedesmalpassendzuunseremKastenpotentialim
Wertverändern.
BleibtalsonurnochdieEnergieE.WennwirEetwaserhöhen,dann
wirddieKrümmunganjedemPunktetwasstärkerundunsere
WellenfunktionerreichtdenWertNulletwasweiterlinks.Undmit
demrichtigenWertderEnergieschiebenwirdenzweitenNullpunkt
derFunktiongenaudahin,woerseinsoll:
(DabeihabeichdieHöhedesWellenbergsimmergleichgelassen–
wieebenerklärt,spieltdiejakeinewirklicheRolle.WiemandieHöhe
desWellenbergseindeutigfestlegenkann,sehenwir,wennwiruns
überdieBedeutungvonψGedankengemachthaben.)
WirbrauchenalsoeinengenaupassendenWertderEnergie,damit
wirdieGleichungerfüllenkönnen.Damithabenwirgeradeeinesder
fundamentalenErgebnissederQuantenmechanikentdeckt:Die
EnergieeinesElektronskann(invielenFällen)nichteinfach
irgendeinenbeliebigenWertannehmen,sondernnurganz
bestimmteWerte.(ImMomenthabenwireinenmöglichenWert
gefunden,aberwirwerdengleichsehen,dassesnochmehrgibt.)
DieEnergieistalsoquantisiert!
AllerdingsgibtesnichtnureinenmöglichenWertderEnergie.Was
passiert,wennwirderenWertweitererhöhen?(Damitniemand
verwirrtist:WennichhierdieEnergiekontinuierlichraufdrehe,dann
meineichdamitdiemathematischeGrößeE.Diephysikalische
Energiekannichnichteinfachaufdrehen,dennphysikalischsindja
nichtalleWertezulässig,sondernnursolche,beidenendieSGLauch
tatsächlicherfülltist.)MithöhererEnergieschiebtsichdieWelle
weiterzusammen.DerNullpunktrechtsfälltdanninunserenKasten.
DaamNullpunktdieFunktionNullist,musshierauchdieKrümmung
Nullsein,alsogehtdieFunktionentsprechendnachuntenweiter(ich
habehierleidervergessen,diegrüneKurveamEndeabzuschneiden,
ichhoffe,dasverwirrtniemanden):
DieKurveistjetzteingenauesSpiegelbilddeserstenWellenberges,
nurebennachunten.Wennmansiealsonochweiter
zusammenschiebt(alsoEunddamitdieKrümmungnochweiter
erhöht),dannistsieamrechtenRandwiederNull:
WirhabeneinezweiteLösungderSGLgefunden,allerdingsbei
höhererEnergie.
Wirkönnensogarleichtberechnen,umwievieldieEnergiehöherist:
ImerstenTeilhattenwirjagesehen,dassmanbeiderBerechnung
derKrümmungdurchδx2teilenmuss,wobeiδxderAbstandder
Punktewar.WennwirdieKurveaufdieHälftestauchenwollen(der
ersteBergmussjetztindenhalbenKastenpassenstattinden
ganzen),dannhalbierenwirquasidasδx,alsomussdieKrümmung
denvierfachenWertbekommen.AlsosteigtdieEnergieEaufdas
Vierfache.
(AnmerkungfürdieMathematInnen:Dasistnatürlichsonichtganz
sauberargumentiert,weilmanamEndejaeinenGrenzübergangδx
gegenNullmachenmuss.Wer’smathematischsauberhabenwill,der
berechnetdiezweiteAbleitungvonψ(x/2)mitKettenregel–dasführe
ichabernichtvor.)
Undeigentlichistjetztjaklar,dasswirnochmehrLösungenfinden
können,beidenendieWellenimmerschmalersind:
DieentsprechendenEnergiewertefürdenZustandmitderNummer
nverhaltensichwien2.DeshalbsindhierdieWellenfunktionenin
entsprechenderHöheeingezeichnet–diesergrafischeMischmasch,
beidemdieEnergieundderWertvonψbeideineinemDiagramm
eingezeichnetsind,istbeiPhysikerInnensoüblich.Hatdaserste
EnergieniveaualsoeinenWertvonE1,danngiltEn=E1n2
Wer’sgenauwissenwill,mitallenVorfaktorenlautetdieFormel
En=h2n2/(8mL2)
InunseremKastenistdieEnergiealsoimmerquantisiert.Wersich
nocheinmaldieÜberlegungenobenanschaut,sieht,dassdasdaran
lag,dasseseinenBereichgab,wodieWellenfunktionverschwinden
musste.Tatsächlichgiltganzallgemein,dassdieEnergienurfür
Zuständequantisiertist,diegebundensind,beidenendasElektron
alsoaufeinenbegrenztenRaumbereichbeschränktist.
NatürlichsindnichtallePotentialesoeinfachwieunsersimpler
Kasten.Waswürdebeispielsweisepassieren,wennderKasteneine
Stufehätte,wenndasElektronalsorechtsetwasmehrEnergie
bräuchtealslinks?
ImBereichrechtsistjetztV(x)>0.WirformenunsereSGLwiederso
um,dassdieKrümmungaufderlinkenSeitesteht:
Δψ(x)=(-2m/ħ2)(E-V(x))ψ(x)
Solange(E-V(x))größeralsNullist,tutsichnichtviel–dieKrümmung
istimmernochproportionalzumnegativenFunktionswert.Wenn
aber(E-V(x))kleineralsNullist,dannistplötzlichdieKrümmung
proportionalzumFunktionswertselbst,dieFunktionmussdannalso
aufwärtsgekrümmtsein.NatürlichkanndieFunktionnichtüberall
aufwärtsgekrümmtsein(dannwürdeψjairgendwannunendlich
werden),ineinemkleinerenBereichaberschon.
DankenswerterweisemussichdiesenFallnichtzeichnen–zum
RumspielenmitderSGLgibtesnämlichauchsehrschöne
ProgrammeimInternet,z.B.javapsi-lightDamitkannmanPotentiale
zeichnenundsichdiepassendenWellenfunktionenausrechnen
lassen:
ObenistunserKastenpotentialzusehen,untendiezugehörige
Wellenfunktionfürdas5.Energieniveau.Rechtskannmanalles
möglicheeinstellen,fürunshieristnurderSchalter“Mouse=”
relevant,wennmandenanklickt,dannkannmanobenimBildim
Potentialrummalen.IchzeichnehiermaleinenKastenmitStufeein:
(dazudenHaken“symmetricedit”ausschalten)
Fängtmanvonlinksan,sosiehtzunächstallesauswiegehabt,es
bildetsicheinWellenberg.DawodieStufeist,isterabernichtganz
aufNullabgefallen,sondernändertnurseineKrümmung–im
rechtenTeilistdieFunktionaufwärtsgekrümmt.EineFunktionmit
einerKrümmungproportionalzumFunktionswertisteine
Exponentialfunktion–dieWellenfunktionnimmtalsonachrechtshin
exponentiellab.
VomStandpunktderklassischenPhysikausistesabererstaunlich,
dassdieWellenfunktionhierrechtsnichtverschwindet–denndie
EnergiedesElektronsEisthierjakleineralsV(x).Inderklassischen
PhysikkanneinTeilchenkeinenPunkterreichen,dessenPotential
größeristalsdieEnergiedesTeilchens,inderQuantenmechanik
gehtdasanscheinend.DasistimPrinzipnichtsalsdervielzitierte
“Tunneleffekt”–damitmandenwirklichsehenkann,brauchtman
aberdiezeitabhängigeSchrödingergleichung.
Dasgiltallerdingswieobenerläutertnur,wenn(E-V(x))kleinerals
Nullist.BeihöherenWertenvonEbekommtmanwiederabwärts
gekrümmteWellen:
WereinGefühldafürbekommenmöchte,wiedieLösungenderSGL
inverschiedenenPontentialensoaussehen,dersollteruhigein
bisschenmitJavaPsiherumspielen.
SchrödingerhatdieGleichungübrigensauchfüreinen
komplizierterenFallgelöst,nämlichdieEnergiezuständedes
Wasserstoffatoms.DieseEnergienkonnteerdannmitden
beobachtetenSpektralliniendesWasserstoffatomsinBeziehung
setzenundzeigen,dasssiemitExperimentengutübereinstimmten.
Unddasalles,ohnewirklichzuwissen,wasψeigentlichist…
JETZTWIRD’SKOMPLEX
Z
unächsthabeichjadiezeitunabhängige
Schrödingergleichungvorgeführt.Wirhabengesehen,
warumdieEnergienichtbeliebigeWerteannehmen
kann,sondern(oft)quantisiertist.InderRealitätistdas
VerhaltenvonTeilchennatürlichoftzeitabhängig–Dingeändernsich
schließlich,sonstbräuchtenwirdieZeitjanicht.Wirmüssenunsalso
mitderzeitabhängigenSchrödingergleichungbeschäftigen.Dagibt
esnureinklitzekleinesProblem…Diezeitabhängige
Schrödingergleichung(SGL)–undauchdieWellenfunktionψ–
enthältnämlichdenunschuldigaussehendenBuchstabeni,die
berüchtigteimaginäreEinheit.BevorichdieGleichungerklärenkann,
müssenwirunsdeshalbmitimaginärenundkomplexenZahlen
befassen.
ImaginäreZahlen??Sowaswieeinundelfzigundzwölfzehn???(Dank
anBillWatterson…)
Naja,soähnlich.AbersoschrecklichschlimmsindkomplexeZahlen
garnicht.Insbesonderenicht,weilichgeradedieInternetseite
betterexplainedgefundenhabe,dievolleranschaulicher
ErklärungenfürkomplexeZahlen,Logarithmenundallesmögliche
andereist–werenglischeSeitennichtscheut,solltesichdieSeite
unbedingtansehen!
UndzurBelohnungwerdenwirdievermutlichschönsteGleichung
derMathematikentdecken,dasistjaauchwas,oder?
(UndichbitteallemitlesendenMathematikerinnen*umNachsicht,
dassmeine“Herleitungen”und“Argumente”hierkeinen
mathematischenStandardsgenügen–fallsirgendwasnichtbloß
schlampig,sondernechtfalschist,bitteichabernichtumNachsicht,
sondernumKritik.)
*Jaja,wiedesöfteren,schließtdieweiblicheFormdiemännlicheein
–werdassoschlimmfindet,dasser(hiergehörtein“er”vermutlich
hin…)nichtweiterlesenmag,hatleiderPechgehabt…
DieimaginäreEinheitIchhoffemal,jedererinnertsichnoch
düster,wasdieWurzeleinerZahlxist:EsistdieZahl,diemanmit
sichselbstmalnehmenmuss,damitxherauskommt,alsoz.B.
,damitistdann
.
DaMinusmalMinusgleichPlusist,kannmanlogischerweiseaus
negativenZahlenkeineWurzelziehen–dennwennmaneineZahl
mitsichselbstmultipliziert,hatmanentwederPlusmalPlusoder
MinusmalMinus,dasErgebnisistalsoinjedemFallpositiv.(Alsoist
auch-4eineWurzelaus16.)
AlsogibteskeineWurzelausMinusEins,jedenfallsnichtunterden
handelsüblichen(reellen)Zahlen.SoeineZahlkannesnichtgeben,
deswegenheißensolcheZahlenauchimaginär.
Damitwirsiedochbekommenkönnen,brauchenwirHilfeauseiner
ganzunerwartetenEcke:DerGeometrie.Wasbedeutetes
geometrisch,wennwireineZahlmiteineranderenmultiplizieren?
Nehmenwir2mal3,dannheißtdas,wirwolleneineStreckeaufdem
Zahlenstrahl,diedreiEinheitenlangist,inderLängeverdoppeln.
MankannsichdasaufeinemZahlenstrahlanschaulichmachen
(dieseErklärungensindteilweisebeibetterexplainedabgekupfert):
Wir“strecken”alsodenBalkenmitLänge3aufdasDoppelte.
UndwasistmitnegativenZahlen?DawirjedenegativeZahl-x(mit
x>0)schreibenkönnenals-1x,brauchenwirunsnurGedankenum
dasMultiplizierenmit-1zumachen.
-1mal3heißt,dasswirdasNegativederZahl3bilden.Aufder
Zahlengeradenheißtdas,dasswirdieStrecke“spiegeln”müssen:
Auchdamitkannmansehen,dassmanauseinernegativenZahl
keineWurzelziehenkann,dennbeimzweimalMultiplizierenspiegelt
manebenentwedergarnicht(plusmalplus)oderzweimal(minus
malminus).
UndjetztkommtdiegenialeEingebung:StattdasMultiplizierenmit
MinusEinsals“Spiegeln”zubetrachten,betrachtenwiresals
Umklappen,alsDrehungum180°.DasErgebnisistjadasselbe:
MinusEinsmalminusEinsheißtalso,dasswirzweimalum180°
drehen,alsosindwirwiederamAusgangspunktangekommen.
UmdieWurzelausminusEinszuziehen,suchenwirjetzteine
Drehung,diezweimalangewendet180°ergibt.Alsodürfenwirnicht
um180°drehen,sondernnurum90°!Damitverlassenwirunseren
Zahlenstrahlnatürlich–dieZahl,diewirsuchen,istebenkeine
gewöhnlicheZahl,sondernetwasanderes,sieliegtsozusagenquer
zudenrellenZahlen:(Anmerkung:Mathematikerinnendrehen
immergegendenUhrzeigersinn.)
DiesequerliegendeZahlenachsenenntmandannentsprechenddie
imaginäreAchse.DieWurzelaus-1nennenwireinfachiwie
“imaginär”.Wennmansichmultiplizierenmit2vorstelltalsdas
DehneneinerStreckeaufdiezweifacheLänge,undmultiplizierenmit
-1alsdasDreheneinerStreckeum180°,dannistmultiplizierenmiti
eineDrehungum90°.
StatteinesZahlenstrahlshabenwirnunzwei,einenrellenundeinen
imaginären.Multiplizierenmiti(odereinemVielfachenvoni)bringt
unsvoneinemzumanderen.AufdemimaginärenZahlenstrahlgibt
esZahlenwiei,-3iundnatürlichauchdieNull:
LeidergibtesaberjanichtnurdieMultiplikation,sondernauchdie
Addition.DamitwirkonsistentMathebetreibenkönnen,müssenwir
unsereZahlenjaauchaddierenkönnen.Aberwasist2+i?
AuchhierhilftdieGeometrie:2+1heißtja,dassmanandasEnde
einerStreckemitLänge2nocheineStreckemitLänge1dranhängt.
Dai“quer”zurrellenAchseliegt,müssenwirbei2+ialso
entsprechendzweiEinheitennachrechtsundeinenachoben
marschieren.
DamitbekommenwirjetztstatteinerZahlengeradeneine
Zahlenebene.JedeZahlderEbenekönnenwirschreibenalsa+bi,
dabeiistaderRealteilundbderImaginärteil.
MitdenüblichenRegelnfürAdditionundMultiplikationkönnenwir
jetztauchkompliziertereSachenausrechnen,z.B.
(Dabeimussmanbeachten,dassimaligleich-1ist,aberdeswegen
habenwirdenganzenZinnoberjaüberhauptangefangen.)
HäufigbrauchtmanzueinerZahlz=a+biihr“Spiegelbild”ander
rellenAchsez*=a-bi.DieseZahlheißtdas“komplex-konjugierte”.
DurchAusmultiplizierenwieobenkannmanausprobieren,dassz
malz*immereinereelleZahlist,daswirdspätersehrwichtig
werden.
DieSteigungeinerFunktionImerstenTeilhatteichjaschondie
Krümmung(eigentlichwar’sdiezweiteAbleitung)einerFunktion
erklärt.FürdiezeitabhängigeSchrödingergleichungbrauchenwir
nochdieÄnderungeinerFunktion,auchSteigungoderAbleitung
genannt.DiesesBild(wieüblichbeiWikipediageklaut,allerdings
leichtabgewandelt)zeigtdasPrinzip:
DiedickeroteLinieistdieFunktion,dieunsinteressiert,sieheißthier
f.IhreSteigungamOrtxbekommenwir,wennwireinStückΔxnach
rechtsgehenunddieFunktionswerteanbeidenPunktenvergleichen,
alsof(x+Δx)–f(x).DasErgebnishängtsonatürlichvonΔxab–je
größerichdasmache,destogrößerwirdjetypischerweiseder
UnterschiedderbeidenFunktionswerte.DeshalbteileichamEnde
nochdurchΔx:Steigungvonf(x)=(f(x+Δx)–f(x))/ΔxDieGleichung
wirdumsogenauer,jekleinermandasΔxmacht,wiemanjaauch
aufdemBildsieht.
(EchteknallharteMathematikerinnenmachendeshalbeinen
“Grenzübergang”,wasnichtsmitinternationalerPolitikzutunhat,
sondernheißt,dasssiedasΔxkontrolliertzuNull
zusammenschrumpfenlassen,wobeisieesgeschicktvermeiden,sich
ÄrgerdurchdasTeilendurchNulleinzuhandeln.Daichabermeist
numerischeMathematikbetreibe,begnügeichmicheinfachdamit,
dasΔx“kleingenug”zumachen–wemdaszugroßist,kannjabei
derMathe-Fakultätnachfragen,wiemandasrichtigmacht.)
DieSteigungeinerFunktionbezeichnetmanauchkurzmitdf(x)/dx–
beiderSchrödingergleichungwerdenwirmeistensdiezeitliche
Änderungbetrachten,alsodΨ(x,t)/dt,aberwieesaussieht,wirddas
erstimnächstenTeilpassieren,vorhermüssenwirnämlichnochdie
obenversprocheneschönstemathematischeGleichungüberhaupt
finden.
DazubrauchenwirdanndasdritteTeildesheutigenMathe-Puzzles:
Diee-FunktionDieExponentialfunktionoderkurze-Funktionhat
eineganzbesondereEigenschaft:SieistanjedemOrtgleichihrer
Steigung.Esgiltalsoexp(x)=dexp(x)/dxfürallex.Damitdie
Funktioneindeutigwird,legenwirnochfest,dassihrFunktionswert
(unddamitihreSteigung)beiNullgleicheinsist:exp(0)=1.
Diee-FunktionstammtursprünglichausderZinsrechnung:Wennich
meinKapitalverzinse,dannistderZinsertragjaimmerproportional
zumeinemaktuellenKapital–beieinemProzentsatzvon100%(den
gibt’sleidernurinMathebüchern)wäreerimmergleichdem
aktuellenKapital.Dabeimussmanallerdingsbeachten,dassmanin
derRealitätnureinmalimJahrZinsenvonderBankbekommt,
deshalbhatmannacheinemJahrdannstatteinemEurozwei.Würde
mandieZinsenallehalbeJahrberechnen,wäreesnacheinem
halbenJahr1,50€(weilichimhalbenJahrnatürlichnur50%
bekomme)undentsprechendnacheinemganzenJahr2,25€(weil
50%fürdaszweiteHalbjahr0,75€sind).WürdemandieZinsen
sogaralleVierteljahrberechnenundauszahlen,wäreesnochmehr.
Bei“unendlichschneller”VerzinsunghättemannacheinemJahr
2,718281828€,unddieseZahlistdieberühmteEulerscheZahle.Die
e-Funktionkannmandamitauchschreibenalsexp(x)=ex
UndjetztbringenwirdieDinge,dieichbishererklärthabe,
zusammen:Wirwendendiee-FunktionaufeineimaginäreZahlan,
dasheißt,wirüberlegen,wasexp(ix)ist,füreinereelleZahlx.
Umdasherauszubekommen,fangenwirmiteinesehrkleinenΔxan.
DafürkennenwirnämlichdieAbleitung,wennwirstattΔxobeniΔx
einsetzen:dexp(0)/dx=(exp(iΔx)-exp(0))/(iΔx)Nunistexp(0)=d
exp(0)/dx=1,also1=(exp(iΔx)–1)/(iΔx)exp(iΔx)=1+iΔx
Trägtmandasgrafischauf,dannsiehtman,dassmansichaufeinem
KreisumdenNullpunktzubewegenbeginnt:
MultipliziereicheineZahlmitexp(it),dannrotiereichdieZahlalso
umdenNullpunkt.
Leiderwarichobenzuschlampig,alsdasswirquantitativsehen
könnten,wieweitdennnunexp(ix)füreingegebenesxrotiert.Das
lässtsichaberleichtmiteinerkleinenErinnerungausder
Schulmathematikklären.WirzeichnendenKreisbogen,dendasexp(i
x)schlägt(dersiehtsoschönaus,weilerwieimmerbeiWikipedia
geklautwurde):
HierhabenwireinrechtwinkligesDreieckmitlängsterKante
(Hypothenuse)1.DiebeidenanderenKantenhabendanndieLänge
cos(x)undsin(x),wennxderWinkelist.(Achtung:InderMathematik
werdenWinkelamliebstennichtinGradsondernin“Radiant”
gemessen:EinrechterWinkelhat90°,inRadiantsinddasπ/2)Wir
zerlegenjetztunserenPunktexp(ix)aufdemKreisinseinenRealundseinenImaginärteil:exp(ix)=cos(x)+isin(x)Damithabeich
dieseGleichung,dieberühmteEulerscheGleichung,zumindest
plausibelgemacht.(Wirklichgezeigthabeichdasnicht,zumeinen
weildasxjaaucheinbeliebigesVielfachesdesWinkelsseinkönnte,
zumanderen,weilichhiereinenWeltrekordversuchfür
SchlampigkeitimUmgangmitΔx-Ausdrückenunternommenhabe–
dieMathematikerinnenmögenesmirverzeihen…)
DaMultiplizierenmitexp(ix)einereelleZahlumdenWinkelxrotiert,
kannmanjedekomplexeZahlauchdarstellenalsProdukt:a+ib=z
exp(ix)WobeimannatürlichimEinzelnenausrechnenmuss,wasz
undxgenausind.
SetztmanindieEulerscheGleichungobenfürxdenWertπein,
dannbekommtman(jetztinschönerExponentialschreibweise),weil
sin(π)=0undcos(π)=-1ist
eiπ+1=0
DieseGleichungvereintdie5wichtigstenZahlenderMathematik:0,
1,i,πunde.Wennmansichüberlegt,dassdieseZahlenalleaus
ganzunterschiedlichenBereichenderMathematikkommen(1vom
Zählen,0vomSubtrahieren,ivomVersuch,Wurzelnausnegativen
Zahlenzuziehen,πausdemKreisumfangundeausder
Zinsrechnung),dannistesschonziemlichirre,dassdieseZahlenin
soeinfacherWeiseverknüpftwerdenkönnen.Esgibt–zumindest
mir–dasGefühl,dassdieMathematikeineenggewobeneEinheit
besitzt.
So,nachdiesemganzenmathematischenHickhacksindwirjetzt
“perfektaufgestellt”(neudeutschfür“gutvorbereitet”)umuns
“zeitnah”(Neudeutschfür“irgendwann,aberhoffentlichbald”)mit
zeitabhängigenWellenfunktionenundderzeitabhängigen
Schrödingergleichungzubeschäftigen.
ALLESIMKASTEN
U
nsereWeltistnichtstatisch.Dingeändernsichmitder
Zeit.Dassolltenatürlichauchfürquantenmechanische
ObjektewiedieWellenfunktiongelten,diewirunsheute
angucken.Damitdasnichtsotrockenwird,habeich
extrafürEucheinpaarexklusiveAnimationenvorbereitet.Viel
Mathematikwerdeichdiesmalnichtbenutzen,sondernlieber
versuchen,Euchein“Gefühl”dafürzuvermitteln,wiezeitabhängige
Wellenfunktionenaussehen.
SchauenwirwiederaufdasbeliebteKastenpotential–unserElektron
istalsoineinenKastenderLängeLfesteingesperrt,drinnenistseine
potentielleEnergieüberallgleichgroß,nämlichV(x)=0.
DieEnergieniveausimKastenunddiezugehörigenWellenfunktionen
hattenwirjaschonindieserGrafikgesehen:
Washiergezeichnetist,istderräumlicheAnteilderWellenfunktion
ψ(x).DieWellenfunktionhängtaberauchvonderZeitab.Die
zeitabhängigeWellenfunktionΨ(x,t)istnuneinekomplexeZahl,also
eine,dieeinenReal-undeinenImaginärteilhat.Dasist
mathematischerstmalkeingroßesproblem,physikalischdagegen
schon,denneszeigt,dassmanΨselbstniemalsmessenkann:
MesswertekönnenschlechtkomplexeZahlensein.
BevorwirunsüberdieInterpretationderWellenfunktionmehr
Gedankenmachen,willichersteinmalkonkretzeigen,wie
zeitabhängigeWellenfunktionenaussehen.Inunserem
Kastenpotentialistdiezeit-undortsabhängigeWellenfunktionfür
eineEnergieEgegebendurchdieFormelΨ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt/ħ)
DabeiistψderräumlicheAnteil,denwirjaschonkennen,undEist
diezugehörigeEnergiederWellenfunktion,diewirjaimzweitenTeil
berechnethaben.ψ(x)wirdalsomiteinere-Funktionmultipliziert,die
wirimletztenTeilkennengelernthaben.DasArgumentdereFunktionistreinimaginär(hatdieFormimultipliziertmiteiner
reellenZahl).Auchψ(x)isteinereelleZahl.
WiewirletztesMalgesehenhaben,bedeutetdas,dassder
zeitunabhängigeFunktionswertψ(x)inderkomplexenEbenegedreht
wird,undzwaranallenOrtxgleich.StattdasmitvielenWortenzu
erklären,hiereinekleineAnimation,diedasanschaulichmachensoll
(dieBilderhabeichmitdemProgrammscilaberstellt,eineArtfrei
verfügbareVersionvonMatlab,unddannmitdemgutenalten
gifsicleanimiert)
DieschwarzeLinieistdiex-Linie,aufdersichunsereWellenfunktion
befindet.NachrechtsistderRealteilaufgetragen,nachobender
Imaginärteil.UnserWellenbergrotiertinderkomplexenEbene,aber
anallenOrtengenaugleich.
LetztesMalhattenwirjagesehen,dasmanjedekomplexeZahl
schreibenkannalszexp(ix).Dasx-Argumentdere-Funktionnennt
manmanchmalauchdie“Phase”derZahl.InunsererWellenfunktion
fürdenKastenistdiePhasenichtortsabhängig,sondernüberall
gleich.
WirkönnendasselbeSpielauchmiteinerWellenfunktionmit
höhererEnergiespielen,hierdieWellenfunktionzumnächsthöheren
Energiezustand:
Wiemansieht,rotiertsiedeutlichschneller–genauviermalso
schnell,weiljaihreEnergieauchviermalsohochist.
ZugegebenermaßenistdieseDrehereizwarhübschanzuschauen,
aberletztlichdochziemlichlangweilig,weildiePhaseebennichtvom
Ortabhängt.
Interessanterwirdes,wennwirkompliziertereZuständeangucken.
Diekönnenwirleichtbekommen:IstnämlichΨ1eineWellenfunktion
mitderEnergieE1undΨ2eineWellenfunktionmitderEnergieE2,
dannistauchihreSummeeinezulässigeLösungder
Schrödingergleichung.(Allerdingsnicht,wiemandenkenkönnte,mit
derEnergieE1+E2.)
WirkönnenalsodieSummeunsererbeidenWellenfunktionenoben
bilden.Dannkommtdashierheraus:
Schonganzhübsch,oder?WennmandieAnimationmitdenbeiden
obenvergleicht,dannerkenntman,wiedieÜberlagerungdazuführt,
dasssichdieWellespiralförmigumdieAchsewindet.
Nochhübscher(undwirrer)wirdes,wennmandieerstenvier
Funktionenüberlagert:
(Merktmanirgendwie,dassmirdasSpielenmitscilabSpaßmacht?)
HierhabeichdieBlickrichtungetwasgeändertunddieZeitskalaein
bisschengedehnt,sonsthättemannichtsmehrerkannt.
AberobwohldasnatürlichnetteBildchensind,kannmansichdoch
fragen,wasmanmitihnenanfangenkann.Unddakommenwirnicht
umhin,unsmitderInterpretationderWellenfunktionzu
beschäftigen.Wasistdennnundiesesψ?
DassψselbstkeinemessbareGrößeseinkann,weilesjakomplexe
Werteannehmenkann,hatteichobenschonerklärt.Inunserem
kleinenExkursüberkomplexeZahlenhatteichaberjaerklärt,dass
manauseinerkomplexenZahleinereellebauenkann,wennmansie
mitihremkomplex-konjugiertenmultipliziert.ZurErinnerung:Wenn
ichdieZahlzalsa+ibschreibe,dannistdaskomplex-konjugierte
z*=a-ib,undwennichdiebeidenmultipliziere,dannbekommeich
(a+ib)(a-ib)=a2+iab–iab+b2=a2+b2ZurVeranschaulichung
nochmaleinBildvonWikipediadazu:
MannenntdieseGrößeauchdasBetragsquadrat(Quadrat,weilman
dieZahljamehroderwenigermitsichselbstmultipliziert,und
Betrag,weiljaamEndeeinepositiveZahlrauskommt.).
WirkönnenentsprechendausunsererWellenfunktionΨ(x,t)eine
reelleZahlbekommen,wennwirΨ*(x,t)Ψ(x,t)berechnen.Unddiese
Größe,ichnennesiemalO(x,t),hattatsächlicheine–wennauch
schwierige–Interpretation:O(x,t)gibtdieWahrscheinlichkeitan,das
ElektronzurZeittamOrtxzufinden.(Mathematischgenauist’sne
Wahrscheinlichkeitsdichte,aberdasistwiederneFeinheitfürdie
Theoretikerinnen.)Stellenwirunsvor,wirhaben1000Kästenmitje
einemElektrondrin,undwirversuchen,dieElektronenzu
detektieren,beispielsweisemiteinemLichtstrahl,derabgelenkt
werdensoll.Dannwerdenwirnachden1000Experimenteneine
VerteilungderElektronenfinden,die(mitdenüblichenstatistischen
Unsicherheiten)derFunktionO(x,t)entspricht.
DieseInterpretationwirfteinigesanProblemenauf,aberdasvertage
ichaufspäter.Fürheutesolldieserelativsimplestatistische
Interpretationerstmalgenügen.Wennwiralsonichtdie
WellenfunktionüberderZeitauftragen,sondernihrBetragsquadrat,
alsodieFunktionO(x,t),dannsehenwir,wiedieWahrscheinlichkeit,
dasElektronirgendwozufinden,sichmitderZeitentwickelt.
WiesiehtdennnundieFunktionO(x,t)aus?FürdieeinfachstenFälle
unsererWellenfunktionenmitkonstanterEnergie,diewirobenim
erstenBildhatten,istdasziemlichsimpel:DieFunktionenmüssen
einfachquadriertwerden:
DadieZeitabhängigkeitnureinkonstantesRotierenwar,fälltsie
beimQuadrierenweg.(Werdasnachrechnenwill,siehtdasso:Wenn
Ψ(x,t)=zexp(iq)ist,dannistΨ*(x,t)=zexp(-iq),weilichjaindie
andereRichtungrotierenmuss,wiedasBildobenzeigt.DasProdukt
ausbeidenistalsoz2,unabhängigvonderzeitabhängigenPhase.)
DieWahrscheinlichkeitensindalsozeitlichkonstant.Deshalbspricht
manbeisolchenZuständenauchvonstationärenZuständen–die
PhasederWellenfunktionistnichtdirektmessbarunddeshalbmerkt
manebennichtsvonderZeitabhängigkeit.
Anderssiehtdasaus,wennichdieÜberlagerungvonmehreren
Zuständenbetrachte.DieÜberlagerungdererstenbeidengabja
obeneinespiraligaussehendeKurve.DerenBetragsquadratsiehtso
aus:
Hübsch,oder?DasElektron(bzw.seine
Aufenthaltswahrscheinlichkeit)“schwappt”hiervoneinerSeitezur
anderen.Wennmanalsoinunseren1000KästendieElektronen
detektiert,hängtdasErgebnisdavonab,wannmandastut:Mal
findetmansiebevorzugtlinks,malrechtsimKasten.(Wobeiman
nachjederDetektionnatürlichdasSystemirgendwieinden
Ausgangszustandzurückversetzenmuss.)
DieÜberlagerungderZustände1-4kannmanauchangucken,sieist
allerdingsziemlichwirr:
Immerhinerkenntman,dassdieWahrscheinlichkeitmanchmallinks
besondershochistundmanchmalrechts,dazwischenallerdings
wuseltdieFunktionziemlichwildherum.
RealeElektronensitzennatürlichnichtunbedingtinKästen–sie
könnenjaauchfreiinderGegendherumfliegen.Auchfürfreie
ElektronengibteswiederstationäreZustände,alsosolche,beidenen
sichdieAufenthaltswahrscheinlichkeitmitderZeitnichtändert.Diese
ZuständesindkomplexeebeneWellen.Mathematischhabensiedie
Formexp(i(kx–Et/ħ)wobeiE=ħ2k2/2mist,mitkalsder
sogenannten“Wellenzahl”.SosiehteinesolcheebeneWelleaus:
SieerinnertaneinensichdrehendenKorkenzieher.DieWellenzahlk
hängtdabeimitderWellenlängezusammen,alsodemAbstand
zweierWindungen.IstdieseWellenlängeλ,dannistk=2π/λ.
DieAufenthaltswahrscheinlichkeitistanallenOrtengleich–unsere
ebeneWelleistalsogarnichtimRaumlokalisiert.(Esgibthiereine
kleineSchwierigkeit,weilmansolcheebenenWelleneigentlichso
normierenmüsste,dassdieGesamtwahrscheinlichkeit,dasElektron
irgendwozufinden,gleich1ist,abermitgeeignetenmathematischen
TrickskannmandieseProblemeumgehen.)
AuchdasentsprichtnatürlichnichtsoganzunsererVorstellungeines
durchdenRaumfliegendenElektrons.Waswäredenn,wennichmit
einemElektronanfange,dasineinemBereichdesRaumeslokalisiert
istundvondortwegfliegt?
UmsoeinElektronzubekommen,mussmanvieleebeneWellen
überlagern.DieFormeldafüristziemlichlang,deswegenschreibeich
siehiernichthin(werwill,findetsieimMorrison“Understanding
QuantumPhysics”).Stattdessenzeigeichlieber,wiedie
Wellenfunktionaussieht:
AnfänglichistdieKorkenzieherwindungaufeinenkleinenBereich
beschränkt,abersiebreitetsichineineRichtungausund“zerläuft”
dabei.DieAufenthaltswahrscheinlchkeitsiehtdabeisoaus:
DasMaximumderKurvebewegtsichdabeimitkonstanter
Geschwindigkeitnachrechts,gleichzeitigwirddiePositiondes
Elektronsimmerunbestimmter,weildieWellenfunktion(manspricht
auchgernvom“Wellenpaket”)immerweiterzerläuft.
Nachdemwirnungesehenhaben,wieLösungenderzeitabhängigen
SGLaussehen,wirdesaberdochZeit,dasswirunsdieGleichung
selbstnocheinmalangucken.DastunwirdannimnächstenTeil.
ALLESZUSEINERZEIT
D
iezeitabhängigeSchrödingergleichungistdasHerzstück
derQuantenmechanik.Nachdemwirschoneinpaar
beispielhafteLösungenderzeitabhängigen
Schrödingergleichunggesehenhaben,sindwirnun
endlichsoweit,dasswirdieGleichungselbstverstehenkönnen.Zur
ErinnerunghiernochmaleinBlickaufdiezeitunabhängigeSGL:
(-ħ2/2m)Δψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x)
BeimÜbergangzurzeitabhängigenSGLändertsichgarnichtso
schrecklichviel.Zumeinenmüssenwirψ(x)ersetzendurcheine
Funktion,dieauchvonderZeitabhängt,alsoΨ(x,t).Beispieledafür
hattenwirjaimletztenTeilgesehen(daswarenlauterwildinder
komplexenEbeneherumrotierendeWellen).AufderlinkenSeite
ändertsichansonstennichts.
DierechteSeiteallerdingsbekommtjetztdieZeitabhängigkeit:
(-ħ2/2m)ΔΨ(x,t)+V(x)Ψ(x,t)=i?dΨ(x,t)/dt
DortstehtjetztrechtsalsodiezeitlicheÄnderungderWellenfunktion,
mathematischsymbolisiertdurchdieAbleitungd/dt.Außerdemsteht
dortnocheinialsVorfaktor.Dasiistziemlichwichtig,dennohnedas
gäbeeskeineschönenWellenalsLösung,wiewirgleichsehen
werden.(AuchThilohatsichübrigensgeradeGedankenzuden
komplexenZahlengemacht.)
UmdiezeitabhängigeSGLbesserzuverstehen,betrachtenwir
wiederdasInnereunseresKastenpotentials.DortistjaV(x)=0,so
dassunsereGleichungsicheinfachsoschreibenlässt(alle
VorfaktorenignorierenwirfürdenMoment,dasmachtdie
SchreibereieinfacherunddasLesenübersichtlicher):dΨ(x,t)/dt=i
ΔΨ(x,t)DabeihabeichbeideSeitenmit(-i)multipliziert,sodasslinks
diezeitlicheÄnderungalleinsteht.DiezeitlicheÄnderungvonΨist
alsoproportionalzuimalderräumlichenKrümmungvonΨ.Wiewir
imAbschnittüberkomplexeZahlengesehenhaben,bedeutet
MultiplikationeinerkomplexenZahlmitijaeineRotationum90°.
Nehmenwirjetztan,dassdieWellenfunktionproportionalistzu
ihrernegativenKrümmung,sowiewirdasimzweitenTeilgemacht
haben,alsoΔΨ(x,t)=-Ψ(x,t)(wiederunterWeglassenaller
Vorfaktoren).DannhabenwirdΨ(x,t)/dt=-iΨ(x,t)Diezeitliche
ÄnderungvonΨistalsoproportionalzuΨselbst,abermultipliziert
miti.DortwoΨ(betragsmäßig)großist,istauchdieÄnderunggroß.
DadieÄnderungmitimultipliziertwird,stehtdieÄnderungder
WellenfunktionimmersenkrechtzumaktuellenWert(inderGrafik
habeichdasMinus-Zeichenvordemiweggelassen,mit
MinuszeichenrotiertmanindieandereRichtung):
JeweitereinPunktvomNullpunktentferntist,destogrößeristalso
seine“Drehgeschwindigkeit”–dasführtdazu,dassdiegesamteWelle
sichschöngleichmäßigdreht,weilderweiterentferntePunktjaauch
einegrößereStreckezurücklegenmuss,umeineUmdrehungzu
schaffen(dasistwiebeiderDrehungeinerSchallplatte,fallshier
nochjemandweiß,wasdasist).Unddeshalbergibtsichauchdas
Bild,daswirbeimletztenMalgesehenhaben:
(FallsesjemandmitdenVorzeichenganzgenaunehmenwill:ImBild
gehtdiex-Achsenachhinten.DeshalbzeigtdiepositivereelleAchse
nachlinksunddieimaginäreAchsenachoben,dadurchrotiertdie
WellevomBetrachterausgesehengegendenUhrzeigersinn,inder
komplexenEbenemitdemUhrzeigersinn–alsomathematisch
negativ.)
Manerkenntauch,wiewichtigdaskleineunscheinbareihierist.
OhnedasisähedieGleichungsoaus:dΨ(x,t)/dt=-Ψ(x,t)Damit
würdeΨmitderZeiteinfachimmerkleinerwerden–dieGleichung
würdedanneinerWärmeleitungsgleichungähneln,sodasseskeine
Wellenmehrgibt,sondernsichΨeinfachimmergleichmäßiger
verteilt.(IndertheoretischenPhysikistesübrigenseinbeliebter
Trick,diesesiloszuwerden,indemmandieZeitvariableimaginär
macht–weildieGleichungdannwieeineWärmeleitungsgleichung
aussieht,kannmanMethodenderThermodynamikanwenden.Das
spieltauchbeidenTheorienvonHawkingeineRolle,wodas
UniversumbeimUrknallnurRaumdimensionenhatte,abersoganz
habeichdieseIdeenichtverstanden.)
DaswaswirhierfürdasKastenpotentialgesehenhaben,lässtsich
auchverallgemeinern.ImletztenTeilhatteichbehauptet,dassfürdie
stationärenZustände(alsodiemiteinembestimmtenWertder
EnergieE)dieWellenfunktionsoaussieht(leiderfehltedortein
Minus-Zeichen,habeichinzwischeneingebaut):Ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt
/ħ)
SetztmandasobenindiezeitabhängigeSchrödingergleichungein,
dannsiehtman,dasswiederdiezeitunabhängige
Schrödingergleichungherauskommt.(FallsjemandmitdemAbleiten
nichtsofirmist,machtnichts,wirbrauchendasspäternichtwieder.)
BeimAbleitennachderZeitaufderrechtenSeitepassiertmitdem
ψ(x)garnichts(weildadieZeitnichtdrinsteckt),dieAbleitungdereFunktionistaberdieE-Funktionselbst,lediglichderFaktorkommtals
Vorfaktorherunter:iħdexp(-iEt/ħ)/dt=iħ(-iE/ħ)exp(-iEt/ħ)Die
beideniħkürzensichweg,aus(-ii)wird1.Wasübrigbleibt,istalso(ħ2/2m)Δψ(x)exp(-iEt/ħ)+V(x)ψ(x)exp(-iEt/ħ)=Eψ(x)exp(-iEt/
ħ)Schnellnochdurchexp(-iEt/ħ)geteiltundwirhabenunsere
zeitunabhängigeSGLwieder.Damithabenwiralsogezeigt,dass
tatsächlichdieletztesMalhingeschriebenenFunktioneneineLösung
derzeitabhängigenSGLsind.
LetztesMalhattenwirauchgesehen,dassmanzweiLösungender
SGLüberlagernkann:WennΨ(x,t)eineLösungistundΦ(x,t)auch,
dannistauchihreSummeeineLösung.Dashattenwirausgenutzt,
umzuerstdiehübschenwirrrotierendenWellenfunktionenim
Kastenpotentialzusammenzusetzenunddann,umeinWellenpaket
zubauen.MathematischsiehtmandieseÜberlagerungsmöglichkeit
anderSchrödingergleichungziemlichdirekt:DieSummeder
Ableitung(undauchderKrümmung)zweierFunktionenistgleichder
AbleitungderSumme,dasselbegiltauchfürdieMultiplikationmit
V(x).(DasistdasAssoziativgesetz–nichtzuverwechselnmitdem
Kommunikativgesetz.)
VommathematischenStandpunktausgesehen,habenwirdamit
eigentlichallesüberdieSchrödingergleichunggesagt,waseszu
sagengibt.DiePhysikhinterderSGLhabenwirabernochnicht
ausgereizt.ZudenspannendstenFragengehörtzumeinendie
berühmteUnschärferelation,zumanderenderTunneleffekt.Umdie
beidenkümmernwirunsalsnächstes.
ALLESUNSCHARF?
D
ieUnschärferelationwirdjaimmergerninDiskussionen
überPhysikoderPhilosophieoderdieNaturder
Wirklichkeitangeführt,mitsoSätzenwie“Nachder
Unschärferelationkannmanohnehinnichtalleswissen”
oder“JedeMessungbeeinflusstdasErgebnis”.Meististdas
VerständnisderUnschärferelationdabeiauchziemlichunscharf…
IndiesemTeilwillichaneinemBeispielerklären,wasesmitder
Unschärferelationaufsichhat–vielMathematikwerdenwirnicht
brauchen,eslohntsichalsovielleichtauchfürdiejenigen,denendie
letztenTeilezu“heftig”waren.Umzuverstehen,wasdie
Unschärferelationtatsächlichsagt,schauenwirnochmalunsere
Wellenan,diewirdieletztenMaleangesehenhatten.
DagabeszunächstmaldieebeneWelle,dieaussahwieein
Korkenzieher:
Mathematisch(wiegesagt,wernichtsoaufFormelnsteht,kanndie
heuteimWesentlichenüberspringen)warsiegegebendurchexp(i
(kx–Et/ħ))wobeiE=ħ2k2/2mist,mitkalsdersogenannten
“Wellenzahl”.
Die“Wellenzahl”khängtmitdemImpulspdesTeilchenszusammen,
esgilteinfachp=ħk.(InderklassischenPhysikistderImpulsp=mv
dasProduktausMasseundGeschwindigkeit.EristeineGröße,die
Physikerinnenlieben,weilderImpulseineErhaltungsgrößeist,sich
alsoineinemabgeschlossenenSystemnichtändert.)
UnsereebeneWellehatalsodenImpulsp=ħk.DerImpulsistgenau
definiertundfestgelegt.Dafürmussmanaberfairerweisesagen,
dassmandenOrtderWellenichtfestlegenkann:DieWelleist
überall.(DieGrößeΨ*(x,t)Ψ(x,t)istüberallkonstant.)
SpäterhabenwirjamehreresolcheWellenüberlagert,unddas
Ergebnissahsoaus:
HierhabenwirjetzteinebessereIdee,wodasTeilchenist,weildie
WellenfunktionjaaneinemPunktbesondersgroßistundnach
außenhinimmerkleinerwird.Umdashinzubekommen,mussman
allerdingsvieleebeneWellenmitdenrichtigenVorfaktorenaddieren,
dassiehtalsoetwasoaus:Ψ(x,t)=a1exp(i(k1x–E1t/ħ))+a2exp(i
(k2x–E2t/ħ))+a3exp(i(k3x–E3t/ħ))+…(Mathematischkorrektist
daseinIntegral,abersolcheFeinheitensindhiernichtsorelevant.)
Hierkönnenwirjetztnichtmehrsoeinfachsagen,welchenImpuls
(oderwelcheWellenzahl)kunserWellenpakethat.Wennder
Vorfaktora1besondersgroßist,dannträgtderzugehörige
Impulswertauchvielbei,aberessindebenvieleImpulswerte
involviert.
AuchhiergibteswiedereineWahrscheinlichkeits-Interpretation:
Stellenwirunsvor,wirhättensehrvieleElektronenmitder
WellenfunktionΨvonoben.WirmessenfüreinigedieserElektronen
denOrt,fürdieanderendenImpulsundtragendieMesswertein
einerTabelleoderGrafikauf:WirbekommendanneineVerteilung
dergemessenenOrts-undImpulswerte,dievielleichtsoaussieht
(dasProgrammdazufindetmanhier):
ObenhabeichdiegemessenenAufenthaltsortederElektronen
aufgetragen,untendiezugehörigeVerteilungderImpulse
(mathematischistdasgeradea*(p)a(p)).
Mathematischkannmanzeigen,dassdieBreitederImpulsverteilung
umsogrößerwird,jeengerwirdasWellenpaketaufeinen
Raumbereicheinschränken.UmeinsehrengesPaketzubauen,
brauchtmansehrvieleunterschiedlicheImpulswerte,umeinsehr
breitesWellenpaketzubauen,brauchtmannurwenige:
(AuchhierwiederderHinweisfürdiemathematischInteressierten:
genauergesagtbrauchtmannatürlichimmerunendlichviele
Beiträge,weildaseineFouriertransformationist,aberdieBreiteder
Impulsverteilungistumsogrößer,jeengerdieWellenfunktionim
Raumlokalisiertist.Nachtrag::AußerdemsinddieBildernur
qualitativzuverstehen,eigentlichmüsstedieFlächeunterden
Kurvenjeweilsgleichsein.–DankeanperkfürdenHinweis.)
DaslässtsichdanninderHeisenbergschenUnschärferelation
zusammenfassen:ΔxΔp≥ħ/2DieΔskennzeichnendabeigeradedie
BreitederGaußkurven.DasProduktderbeidenistalsoimmer
größer-gleicheinembestimmtenWert.(Weilħsokleinist,merkenwir
davonimAlltagabernichts.)
WennmandieUnschärferelationfürWellenpaketesohinschreibt,
dannstelltmanfest,dassdarankaumetwasUngewöhnlichesist.
GanzähnlichgilteinesolcheRelationfüreineWasserwelle.Wennich
dieWellenlängederWasserwelleeindeutigundgenaukennenwill,
dannmussdieWellesehrlangsein(ichmussjavieleWellenberge
sehenkönnen,damitichdieWellenlängegenaubestimmenkann);
wennichdagegeneineneinzigen,scharfbegrenztenWellenberg
habenwill,dannistesnichtsosinnvoll,voneinerWellenlängezu
sprechen.
ErstmalistanderUnschärferelationalsonichtsgeheimnisvolles,
solangemannurdieWellenfunktionunddieSchrödingergleichung
ansieht.KniffligerwirddieSacheerstdurchdieobenerwähnte
Wahrscheinlichkeitsinterpretation.
WirkönnenjadenImpulsmessen,beispielsweise,wennwirdas
ElektrongegeneineWandprallenlassen.AuchdenOrteines
Elektronskannmanmessen,undandersalsbeiderWasserwelle
wird–beigeeigneterMessanordnung–einElektronauchimmeran
einemOrtgemessenundnichtalsausgedehntesObjekt.Damit
kommenwirzumberühmtenMessproblem.Ichwillhiernurkurz
anreißen,wodasProbleminBezugaufdieUnschärferelationsteckt,
undkommedaraufspäter(vermutlichinTeil8)ausführlichzurück.
MankannalsoentwederdenImpulsmessen(undbekommtdann
einenderWertep1,p2usw.),odermankanndenOrtmessen,aber
mankannkeinenVersucherfinden,indemmanbeidesgleichzeitig
mitbeliebigerGenauigkeitmisst.(DasAusdenkenundanschließende
WiderlegensolcherAnordnungenisteinbeliebterPhysikerinnenSport.)SchautmanaberbeiderOrtsmessungnichtsogenauhinund
bestimmtdenOrtnurmiteinerGenauigkeitΔx,dannkannman
gleichzeitigdenImpulsbestimmen,abernurmiteinerGenauigkeit
Δp,undfürdieseGenauigkeitengiltebenfallswiederdie
UnschärferelationΔxΔp≥ħ/2
MankanndiebeidenGrößennatürlichnacheinandermessen,aber
dashilftnichtwirklichweiter,denndasMessendesImpulses
verändertdieWellenfunktiondesPaketes(nämlichzudereinerWelle
mitgenaudemgemessenenImpuls).DasistauchderUrsprungder
Aussage“LautUnschärferelationverändertjedeMessungdas
Ergebnis”.
DieseAussageistabersonichtrichtig.MesseichzumBeispielden
ImpulseinerebenenWelle,diejaeineneindeutigenImpulsbesitzt,
dannverändertsichdieWellebeiderMessungnicht.Deshalbistes
ebennichtkorrektzusagen,dassjedeMessungdasErgebnis
beeinflusst,dastutsienurdann,wenndieWellenfunktionkeinen
eindeutigenWertderjeweiligenMessgrößehat.(Vornehmsagtman,
wenndieWellenfunktionkeineEigenfunktionzudieserMessungist.)
DiehierangeführteUnschärferelationistübrigensnichtdieeinzige–
esgibtvieleMessgrößen,dienichtgleichzeitigmitbeliebiger
Genauigkeitgemessenwerdenkönnen,aberdieOrts-ImpulsUnschärfeistsozusagender“Prototyp”.
Esistabernichtkorrektanzunehmen,dassmanimmernureine
Größegleichzeitigkorrektmessenkann.UnsereebeneWellehat
eineneindeutigenImpulspundeineeindeutigeEnergieE.Mankann
ImpulsundEnergiegleichzeitigmessen,odererstdenImpuls,dann
dieEnergie(nagut,umdasunendlichgenauzumachen,bräuchte
manunendlichlange),dannwiederdenImpulsundsoweiter,ohne
dassmandieWellenfunktiondabeiirgendwieverändertodermit
irgendeinerUnschärfezutunhat.
WiegesagtwerdeichdiegenauenProblememitder
Unschärferelation,demMessprozessundderQuantenmechanik
überhauptdemnächstausführlicherdiskutieren.Vorherwerdenwir
abererstnocheinanderesberühmtesPhänomenanschauen,den
berühmtenTunneleffekt.
MITDEMKOPFDURCHDIEWAND
S
tellteuchvor,Ihrseidirgendwoeingesperrt,umeuch
herumlauterfesteWände,keineTür,keinFensterund
keineRitzenachdraußen.IhrnehmtalsokräftigAnlaufund
–abrakadabra–findeteuchplötzlichaußerhalbeures
Gefängnisseswieder.Absurd,albernundblödsinnigerScienceFiction-Kram?Nein,nichtsalsQuantenmechanik.O.k.,auchlaut
QuantenmechanikistdieWahrscheinlichkeit,dassderTrickfüreuch
klappt,ziemlichklein(mathematischpräziserausgedrückt
ziiiiiiiiiiiiiiiiiiiieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeemmmmmmmmmmmlichklein).
Aberstellteuchvor,ihrwärteinElektron.(Wiewas,daskönntihr
euchnichtvorstellen?AndereSciencebloggererwarten,dassihr
euchvorstellt,einganzesUniversumzusein…)
Also,wennihreinElektronwärt,dannkönnteeuchdasschon
passieren.Auchdabräuchtetihrhöchstwahrscheinlicheinpaar
Versuche,bisihrdurchdieWandkommt,aberalsElektronwärdas
nichtsoschlimm,weilihreuchjadenKopfnichtstoßenkönnt,wenn
ihrbloßeinElementarteilchenseid.
DiesesPhänomennenntmanden“Tunneleffekt”.Umihnzu
verstehen,erinnertihreuchambestennochmalandenzweitenTeil
dieser(immermehrundmehrausufernden,ichkommemirbaldvor
wieTolkien)Serie.DorthattenwirunsjaWellenfunktionenim
Kastenpotentialangesehen.Wirhattengesehen,dassdieseschön
wellenförmigaussehen,wenndieEnergiedesElektronshinreichend
großist,dassdieWellenfunktionaberexponentiellabfällt,wenndie
EnergiedesElektronskleineristalsderWertdesPotentials.Hierzur
ErinnerungnochmaldasBilddazu:
FürdenechtenTunneleffektlassenwirjetztdenKastenaußenweg,
sodasswireinWellenpaketbauenkönnen,dasvoneinerSeiteauf
unsereBarrierezufliegt.WirmachendieBarriereauchziemlich
schmal,dannerinnertsieeheraneineGefängnismauer.DieBarriere
istnichtsalseinBereich,indemdasElektroneinehoheEnergie
braucht–dortkönntenbeispielsweiselauternegativeelektrische
Ladungensitzen,diedasElektronabstoßen.
LinksundrechtsderBarrierehabenwirdannalsWellenfunktionen
unsereinzwischenvertrautenWellen,aberinnerhalbderBarriere
mussdieWellenfunktionexponentiellabfallen(BildvonWikipedia,
wobeihiernurderRealteilgezeichnetist,ichbinanscheinendso
ziemlichdereinzigeaufderWelt,derdiehübschen
Korkenzieherbilderliebermag):
LinksistdieEnergiegrößeralsV(x)–imeinfachstenFallkönnenwir
annehmen,dasV(x)hierNullist–rechtsebenso.InderMitte,beider
Barriere,istdieEnergiekleiner,deshalbfälltdieFunktionhier
exponentiellab.
(Fallssichjemandwundert,dassdasBildunsymmetrischist:Esgibt
zujederEnergiezweisolcheWellenfunktionen,eine,dielinksgrößer
istundeine,dierechtsgrößerist.)
JetztbauenwirunswiedereinWellenpaket,sowiewirdasdieletzten
Maleoftgemachthaben,undlassenesvonlinksaufdieBarriere
zufliegen.DasWellenpaketbestehtjaauseinerÜberlagerungvon
vieleneinzelnenWellen,diesoähnlichaussehenwiedie,dieichoben
gezeigthabe,unddiealsoinnerhalbderBarrierealleexponentiell
kleinerwerden,aberdortebennichtNullsind.Deswegenistes
vielleichtgarnichtsoverwunderlich,wasjetztpassiert(untenimBild
sehtihreineUhrmitlaufen,damitihrwisst,wodasFilmchen
anfängt):
(DasschöneProgramm,mitdemichdasgemachthabe,kannman
hierherunterladen–werSpaßamRumspielenhat,solltees
unbedingtausprobieren..)
ObenimBildisthierdieEnergiederBarrieredargestellt,darunter
dieWellenfunktion(genauergesagt,ihrRealteil),undganzuntendie
Aufenthaltswahrscheinlichkeit(dasO(x)vonneulich)
TrifftdieWelleaufdieBarriere,sowirdsieanihrreflektiert–dabei
wirrtderRealteilderWellenfunktionziemlichherum,aberletztlich
bewegtsichdasPaketnachlinks.EinkleinerTeilderWellewirdaber
durchgelassen,hiernochmalvergrößertundmiteinemPfeil
markiert:
(InderWahrscheinlichkeitsfunktionsiehtmandenwinzigenHuckel
nicht,weildortjadieWellenfunktionimQuadrateingeht.)
EinanderesschönesApplet,mitdemmandasausprobierenkann,
findetihrhier.
WievielderWellenfunktionanderBarrierereflektiertundwieviel
durchgelassenwird,hängtvonderHöhederBarriereundderBreite
desWellenpaketsab.LetztesMalhattenwirjagesehen,dassein
räumlichengesWellenpaketeinebreiteImpulsverteilunghatund
umgekehrt.DaEnergieundImpulszusammenhänge,entsprichteine
breiteImpulsverteilungeinerbreitenEnergieverteilung.Jebreiterdie
Energieverteilungist,destogrößeristderAnteilvonWellenmiteiner
EnergiehöheralsdieBarriereunddestoleichteristdasTunneln.
(WennnatürlichderGroßteilderbeteiligtenWellenEnergienhat,die
größersindalsdiederBarriere,kannmanirgendwannnichtmehr
von“Tunneln”sprechen.)EinegenaueBerechnungder
WahrscheinlichkeitenzumDurchtunnelnoderNicht-Durchtunneln
findetmaninjedembesserenQuantenmechanikbuchoderauchbei
Wikipedia,aberdasübersteigtunsermathematischesNiveauein
wenig.
DerTunneleffekthatvielepraktischeAuswirkungen.Beispielsweise
könnenα-TeilcheneigentlichnichtausAtomkernenentkommen.
DiesesBild(hiergeklaut)zeigtdieEnergieniveausderα-Teilchenin
einemAtomkern:
Manerkennt,dassdieTeilchenineinemangeregtenZustandeine
Energiehaben,diederEnergieAußenentspricht,dasssieabereine
hoheBarriereüberwindenmüssen.DiekommtdadurchzuStande,
dassdieTeilcheninnerhalbdesKernszwareinehohe
Anziehungskraftspüren(deshalbistdasInneredesKernswieein
Kastenpotential),knappaußerhalbdesKernsabereinehohe
elektrischeAbstoßung(weildieProtoneninnerhalbdesKernsjaalle
positivgeladensindundsichdeshalbabstoßen).Knappaußerhalb
desKernskannunserα-Teilchenalsoeigentlichnichtsein,dank
TunneleffektkannesdieseBarriereaberüberwinden.JenachHöhe
derBarriereundLagederEnergieniveausinnenistdasTunneln
mehroderwenigerunwahrscheinlich,deshalbbrauchtdasα-
Teilchenmehroderwenigerviele“Tunnelversuche”,bisesendlich
denWegnachdraußenfindet.UnddasistderGrund,warum
radioaktiveElementesoextremunterschiedlicheHalbwertszeiten
haben–istdieBarrierevergleichsweiseflach,kommendieTeilchen
leichtnachAußen,istsiehoch,isteinDurchdringenderBarriere
sehrunwahrscheinlich.
KleineNebenbemerkung:Ichhattejaneulichschondarauf
hingewiesen,dassdieSchrödingergleichungbisaufdasiaussieht
wieeineWärmeleitungsgleichungunddassesdeshalbAnalogienzur
Thermodynamikgibt.Diegibteshierauch:InderThermodynamik
könnenTeilchenEnergiedurchthermischeFluktuationenbekommen
unddamitHindernisseüberwinden,fürdieihreEnergieeigentlich
nichtausreicht.DerKehrwertderTemperaturentsprichtdabeigenau
unseremħ.GeradeinderMaterialwissenschaftistdiesethermische
Aktivierungziemlichwichtig(wiedereinThemafürmeine
Themenliste,wenndiethermischeAktivierungzuschwachist,dann
könnennämlichauchmalSchiffezerbrechen…)
AberwiederzurückzurQuantenmechanik.Bisherhabenwirunsere
Wellenfunktionjaimmersointerpretiert,dasswirgesagthaben,
O(x,t)=Ψ*(x,t)Ψ(x,t)istdierelativeHäufigkeit,mitderwireinTeilchen
zurZeittamOrtxfinden,wennwirsehrvieleTeilchenbetrachten,
diealledieselbeWellenfunktionhaben.Nehmenwiralsolauter
ElektronenundschießensieauflauterBarrieren,sowerdeneinige
perTunneleffektdurchkommen,anderedagegenwerdenreflektiert.
WennwirDetektorenweitwegvonderBarriereaufstellen,dann
kommeneinigeElektronenbeimDetektorhinterderBarrierean,
anderebeimDetektorvorderBarriere,weildieWellenfunktionsich
jasozusagen“aufspaltet”.
Soweit,sogut.AberwastutdennnundieWellenfunktioneines
einzigenElektrons?BevorichdasElektronineinemderDetektoren
messe,istdieWellenfunktionaufgespalten.Aberichmessejanicht
einhalbesElektronhierundeinhalbesdort–Elektronenkannman
nichtinStückeschneiden.WaspassiertalsomitdemTeilder
WellenfunktionweithinterderBarriere,wennichdasElektronhier
imDetektoraufdieserSeitemesse?DortaufderanderenSeiteist
danndochdieWahrscheinlichkeitNull,dennichweißja,dassdas
Elektronhierist,alsomussΨ(x,t)ganzwoandersverschwinden.Wie
stecktdieseVeränderungderWellenfunktioninder
Schrödingergleichung?
Garnicht.ObwohldieSchrödingergleichungdiezeitliche
VeränderungvonWellenfunktionenkorrektbeschreibt,brichtsie
vollkommenzusammen,wennwirunserElektronmessen.Dasistdas
berühmteMessproblemderQuantenmechanikundistmirnatürlich
eineneigenenTeilwert.
DASENDEDERSCHRÖDINGERGLEICHUNG–DIESCHRÖDINGERGLEICHUNGTEILVIII
W
asistnuneigentlichdasgroßeProblemder
Quantenmechanik?Warumkönnensich
PhysikerinnenundPhilosophinnendarüberdieKöpfe
heißreden?WenndieSchrödingergleichungallesso
schönbeschreibt,warumredetmandannüberhauptüber
“Interpretationen”undModelle?
DerGrundistsimpel:NachunseremheutigenKenntnisstandgibtes
einenMoment,wodieSchrödingergleichungzusammenbricht:Die
Messung.DerKollapsderWellenfunktion
AmEndedesletztenTeilshabeichbereitsangedeutet,wodas
eigentlicheProblembeimVerständnisderQuantenmechaniksteckt.
HiernochmaldasSzenariozurErinnerung:
WirschickeneinElektronaufeineBarriere,anderseine
Wellenfunktionaufgespaltenwird.DieWellenfunktionbesteht
hinterherauszweiTeilen:EinWellenpaketläuftnachlinks,ein
anderesnachrechts(hieristwiedermalΨ*Ψaufgetragen):
WirstellenweitwegvonderBarriereaufjederSeiteeinenDetektor
fürElektronenauf.(WersichkeinenElektronendetektorvorstellen
kann:JederRöhrenfernseherhateineMattscheibe,dieein
Elektronendetektorist–essindjaElektronenstrahlen,diedasBild
erzeugen.)DamitdieSacheanschaulichunddrastischwird,packen
wireinenderbeidenDetektorensehrweitweg,vielleichtzumMond
oderso.
SolangekeinerderbeidenDetektorendasElektrongemessenhat,
bestehtseineWellenfunktionlautSchrödingergleichungausden
beidengleichgroßenundinentgegengesetzteRichtungenlaufenden
Teilen,mansprichtoftvoneiner“Überlagerung”derbeidenTeile.
WennaberderDetektorhierdasElektronmisst,dannkannesnicht
mehraufdemMondgemessenwerden.SobalddasElektronhierim
Detektorist,musssichdieWellenfunktionsoverändern,dassder
Teil,dergeradebeimMondunterwegswar,verschwindet.(Und
entsprechendmusssichderTeilhierbeimDetektorauchverändern,
weildieGesamtwahrscheinlichkeit,dasElektronirgendwozufinden,
jaimmergleichEinsseinmuss.)
DieWellenfunktionmusssichalsoverändern,undzwarsprunghaft.
LautSchrödingergleichungistsoetwasaberunmöglich.Daskann
manleichteinsehen:DieSchrödingergleichungverknüpftdie
ÄnderungderWellenfunktionaneinemOrtmitderKrümmungan
diesemOrt.SieistalsoeinelokaleGleichung–wasweitwegam
anderenDetektorpassiert,kanndieWellenfunktionnichtsofort
beeinflussen,sondernnur,indemsichdieWellenfunktionzwischen
denbeidenDetektorenpassendverändert.
BeiderMessungdesElektronspassiertalsoetwasmitder
Wellenfunktion,wasdieSGLnichtbeschreibenkann.Manspricht
auchvom“Kollaps”derWellenfunktion,weildereineTeilplötzlichzu
Nullwird.Einsteinsprachvoneiner“spukhaftenFernwirkung”.
DasschöneQuantentunnelprogramm,dasichschonletztesMal
verwendethatte,hatzumGlückeinenKnopf,mitdemmaneine
Messungsimulierenkann(“makequantummeasurement”).Nehmen
wiran,sosiehtunsereSituationvorderMessungaus:
WennunserDetektorrechtsdasTeilchenmisst,dannsiehtseine
Wellenfunktionhinterhersoaus:
Die“friedlicheKoexistenz”vonQuantenmechanikund
Relativitätstheorie
DieWellenfunktionhatsichalsotatsächlichsprunghaftverändert.
Wennwirunsvorstellen,dassdiebeidenWellenpaket-Anteileder
Wellenfunktionsehrweitauseinanderliegen,dannsehenwir,dass
dieseVeränderungsogarschnelleralsdasLichtseinmuss!
Alarm!!Einsteinwiderlegt!!!Wellenfunktionenverändernsichmit
Überlichtgeschwindigkeit!!!!
KeinePanik,dieRelativitätstheoriewirddurchdiesenMessprozess
nichtwirklichberührt–dieVeränderungderWellenfunktionkannja
nichtverwendetwerden,umSignalezuverschicken,denndazu
müssteichjaamanderenDetektorwissen,dassjetzthierein
Wellenpaketankommt,dasgleichkollabiert.Dasweißichaber
natürlichnicht,wennesmirkeinersagt–denndieWellenfunktion
selbstkannichjanichtmessen.(Wennichdastunwürde,dann
würdeichentwederdasElektronbeimirfinden,aberdannwürde
dieWellenfunktionjabeimirkollabiertsein,oderichwürdekein
Messergebnisbekommen,dannwürdedieWellenfunktionim
anderenDetektorkollabieren.)Signalelassensichalsonichtmit
Überlichtgeschwindigkeittransportieren–irgendwostandmalder
Satzvonder“peacefulcoexistence”vonQuantenmechanikund
Schrödingergleichung,derdassehrhübschumschreibt.
Anmerkung:ImZusammenhangmitdemTunneleffektgabesja
MedienberichtezumüberlichtschnellenSendenvonTunnelsignalen.
Daraufgeheichhiererstmalnichtein–guteErklärungender
ProblematikfindetmanhierundbeiWikipedia.
DerKollapsderWellenfunktionmussnichtunbedingtdazuführen,
dassdieWellenfunktionsichaufeinenengenRaumbereich
konzentriert.MachenwirstattderOrtsmessungeine
Impulsmessung,dannkennenwirhinterherdenImpulsdesElektrons
miteinerGenauigkeitΔp.Wiewirjaneulichgesehenhaben,
bedeutetdas,dasswirdenOrtdesElektronsnichtsehrgenau
kennenkönnen:
MachenwirersteineOrtsmessung,dann“schnurrt”die
WellenfunktionaufeinenengenRaumbereichzusammen,machen
wirdanneineImpulsmessung,dannbreitetsiesichwiederaufeinen
weitenRaumbereichaus.
EinkleinesParadoxon(Werwill,kanndiesenAbschnittschadlos
überspringen…)
“Halt,stopp!DannkannichjadocheinunendlichschnellesSignal
schicken,oder?Dennwennichjetzt(sagenwirbeit=0s)dasElektron
hierbeix=0messe,danneineImpulsmessungmache,sodasssich
dieWellenfunktionsehrweitausbreitet,dannhabeichdocheine
endlicheWahrscheinlichkeit,dasElektronbeit=1sehrweitwegzu
finden,woesaberlautRelativitätstheorieniehingekommensein
dürfte???”
Also,habenwirgeradedieRelativitätstheorieausgehebeltund
unmöglicheSachenveranstaltet?DieAntwortlautet“Nein”.Füreine
ebeneWellegaltja,dasssieeinegenaudefinierteEnergieundeinen
genaudefiniertenImpulshat.EineImpulsmessungistdeshalbimmer
auchautomatischeineEnergiemessung.FürdieMessungder
EnergiegiltaberebenfallseineUnschärferelation:ΔEΔt≥ħ/2Dabei
istΔtdieUngenauigkeitderZeit.MitanderenWorten:
EnergiemessungenbrauchenZeit.DaunsereImpulsmessung
gleichzeitigeineEnergiemessungist,brauchtsieebenfallsZeit.Je
genauerwirdenImpulsmessen,umsoweiteristdasWellenpaket
ausgebreitet,aberdafürbrauchenwirebenimmermehrZeit,so
dassallesmitrechtenDingenzugeht.(DieIdeezudiesemEinwand
unddieAuflösungkamenmirgeradebeimSchreiben–vermutlich
habeichsieschonmalirgendwogelesen,kannmichabernicht
erinnern.FallsjemandeineQuellefürdieDiskussiondieserFrage
hat,wäreichsehrdankbar.UnteninderFußnote(*)rechneichvor,
dassdieUnschärferelationerfülltbleibtundallesmitrechtenDingen
zugeht.)
EinkurzerBlickauf’sEPR-“Paradoxon”
Wirhabengesehen,dassfüreinenMessprozessdie
SchrödingergleichungnichtgiltunddasssichbeieinerMessungdie
Wellenfunktionsprunghaftändert.Mankönntehiereinwenden,dass
dasProblemvielleichtdaranliegt,dassdieWellenfunktionsich
tatsächlichschonbeimAuftreffenaufdieBarriere“entscheidet”,in
welcheRichtungsienunlaufenwill–dawirdieWellenfunktionselbst
nichtmessenkönnen,wäredasdochmöglich,oder?DasBildoben
mitdergeteiltenWellenfunktionwürdealsonurunsereUnkenntnis
widerspiegeln,wasanderBarrierepassiertist,wäreabernichts
wirklichphysikalisches.
MankönntesichjaeineAnalogieinderklassischenPhysikvorstellen:
IchbaueeineBarriere,diemitirgendeinemMechanismuszufälligin
50%derFälleeinenBalldurchlässt,indenanderen50%abernicht.
WennichdieBarrierevonAußennichtbeobachte,dannhabeicham
Endeauchjeweilseine50%-Wahrscheinlichkeit,denBallhieroder
dortzumessen–dasprichtaberauchkeinervomKollapsdesBallOrtesoderso.
Umzuzeigen,dassdieLösungsoeinfachnichtseinkann,verwendet
manzweiTeilchen,derenWellenfunktionenmaningeschickterWeise
verkoppelt(imFachjargon“verschränkt”genannt).Manschicktdas
eineTeilchennachlinks,dasanderenachrechtsundkanndann
tatsächlichbeweisen,dasseineMessungdeseinenTeilchensden
Zustanddesanderenbeeinflusst.Diesistinzwischenauch
experimentellsonachgewiesenworden.(MansprichthiervomEPRParadoxon,nachEinstein,PodolskiundRosen,diedas
entsprechendePapergeschirebenhaben.JörgFriedrichhatimJuli
dazueinekleineSerieverfasst.)
DieWellenfunktionmusssichalsotatsächlichirgendwie“sprunghaft”
verändern,ander“spukhaftenFernwirkung”scheintkeinWeg
vorbeizuführen.
WasisteigentlicheineMessung?Wirhabenjetztalsozweiganz
unterschiedlicheProzesse,diedieWellenfunktionverändern.Zum
einenistdasdieSchrödingergleichung,eineganz“normale”
Differentialgleichung,wieessieinderPhysikdutzendweisegibt.
NachihrverändertsichdieWellenfunktionstetigvoneinemMoment
zumanderen,ohneSprüngeodersonstigenÄrger.Allesläuft
mathematischbravab.
Unddanngibtesdaden“Messprozess”–wennichdasElektronim
Detektormesse,dannwirddieWellenfunktionzumKollaps
gezwungen–mansagtauch,derZustandwird“reduziert”.Der
PhysikerPenrosebezeichnetdiesenProzessdeshalbauchalsRProzess(unddieZeitentwicklungderSGLalsU-Prozess,wobeidasU
für“unitär”steht,einemathematischeEigenschaftder
ZeitentwicklunginderSGL.)
“Nungut,”könntemansagen,“dannistdieWelthaltso.Wennich
eineMessungmache,danngibteseinenR-Prozess,ansonsten
richtetsichdieWellenfunktionnachderSGL.”Solangeichdasalles
saubermathematischundphysikalischhinschreibenkann,woistdas
Problem?”(Umdas,wasjetztkommt,bequemerhinschreibenzu
können,bedieneichmichderschönenket-Schreibweise:Alles,was
manindieseSymboleeinschließt|>,beschreibteine
Wellenfunktion.)
DasProblemist,dassauchunserDetektorausElektronenund
anderenTeilchenbesteht,diesichnatürlichauchnachderSGL
verhalten.WennunserElektronaufdenLeuchtschirmtrifft,sorgtes
dortfürdieAussendungeinesPhotons.
WennunsereWellenfunktionauszweiPaketenbesteht,wieimBild
oben,dannhabenwirzunächst(bevorwirdieDetektorenerreichen)
eineWellenfunktion,diesoaussieht:Ψ=|Elektron-Paketfliegtnach
links>+|Elektron-Paketfliegtnachrechts>TrifftdieWellenfunktion
aufdieDetektoren,dannwürdenwirerwarten,dasswirdasimmer
nochmitderSGLbeschreibenkönnenundhinterhereinenneuen
Zustandhaben,dersoaussieht:|Elektronlinksabsorbiertund
Photonlinksausgesandt>+|ElektronrechtsabsorbiertundPhoton
rechtsausgesandt>
Nehmenwiran,ichsitzebeimeinenDetektorundihrbeimanderen
undwirhabenvereinbart,dasswirunsgegenseitigsofortanrufen,
wennwireinPhotonimDetektorsehen.Dannwürdenwir
entsprechenderwarten,dasswirschließlicheinenQuantenzustand
erreichen,dersoaussieht:|IchrufeEuchan>+|Ihrruftmichan>
InderRealitätpassiertdasabernie–wirbeobachtenimmer
entwederdaseineoderdasandere.Wieundwoaberentscheidet
sichnun,wanngenaueineMessungstattfindet?(Schrödingerhatdas
gleichemitseinerhypothetischenKatzeanschaulichgemacht:In
unseremFallwürdedieKatzegetötet,wenndasElektronlinks
ankommt,abernicht,wennesrechtsankommt.DieKatzewäredann
ineinemZustandderÜberlagerungaus|tot>+|lebendig>,was
natürlichinderRealitätsoniebeobachtetwird.)
DasistjetztdasechteMessprobleminderQuantenmechanik.Wann
wird“entschieden”,obdieWellenfunktionkollabiertundvonder
ÜberlagerungderbeidenZustände|Elektronrechts>und|Elektron
links>nureinerübrigbleibtundwaspassiertdabeigenau?
DieInterpretationenderQuantenmechanikAufdieseFragegibt
esverschiedeneAntworten,dieallemitdenBeobachtungenin
Einklangstehen,aberganzunterschiedlicheInterpretationendessen
anbieten,wasdennnun“tatsächlich”passiert.DieAntwortenim
einzelnenzudiskutieren,würdeeineneueArtikelserieerfordern,
deshalbwillichnurkurzdiewichtigstenIdeenanreißen–alskleine
Einstiegshilfe(eineguteDiskussionfindetmaninKapitel29von
Penroses“RoadtoReality”,dasmathematischdeutlichweniger
anspruchsvollistalsderRestdesBuches):
DieKopenhagenerDeutungSiesagtimwesentlichen:Die
WellenfunktionistnichtwirklicheinephysikalischeGröße–sie
beschreibtnur,waswirüberdasSystemwissen.EineMessungfindet
statt,wenneinObjekt,dashinreichendgutdurchdieklassische
Physikbeschriebenwerdenkann,durchdenZustandder
Wellenfunktionbeeinflusstwird.DamitkannmanExperimente
korrektvorhersagen,weitereFragenstellenwirnicht,Endeder
Diskussion.DieViele-Welten-TheorieNachdieserTheoriegibtesden
MessprozessRnicht.DasganzeUniversumbefindetsichtatsächlich
ineinemderverrücktentot-und-lebendig-Überlagerungszustände.
DadiesaberauchfürunserBewusstseingilt,merkenwirnichts
davon–eine“Hälfte”unseresBewusstseinsistimeinenZustand,die
andereimanderen,undjedeHälftemerktvonderanderennichts.
(DieseDeutungistsehrschöninDavidDeutschsBuch“Fabricof
Reality”dargestellt,dasleiderindenspäterenKapitelnetwas
“abdriftet”.)DekohärenzDasisteigentlichmehreinGeschummelals
eineechteLösung:NachderDekohärenzsorgtdieWechselwirkung
mitdenunglaublichvielenanderenquantenmechanischenObjekten
inderUmgebunginnerhalbkürzesterZeitdafür,dassder
ÜberlagerunszustandderWellenfunktionnichtmehrwirklich
wahrgenommenwerdenkann.
BohmsPilotwellenDasisteinesehrhübscheUmdeutungder
Quantenmechanik,beiderdasElektrontatsächlichalsPunktteilchen
existiertundauchimmeraneinemwohldefiniertenOrtist.Eswird
durchdieWellenfunktion“geführt”,deshalbsprichtmanebenvon
Pilotwellen.DieseTheorielässtsichmathematischkonsistent
formulierenundsiehatauchkeineProblememitDingenwiedem
EPR-Paradoxon;dieWellenfunktionselbständertsichallerdingsnach
wievorsprunghaftundnichtlokal.
SchließlichgibtesnocheineweitereMöglichkeit,dieallerdingsüber
diegegenwärtigeQuantenmechanikhinausgeht:NeuePhysik
VielelichtistderMessprozesseinwohldefiniertesphysikalisches
Ereignis,dasdurchneuePhysikbeschriebenwerdenmuss.Von
PenrosegibtesbeispielsweisedieIdee,dasseineMessungdann
stattfindet,wenndieWellenfunktionmiteinemGravitationsfeld
wechselwirkt.DamitschlägtergleichzweiFliegenmiteinerKlappe:
DasMessproblemistgelöstundeinWegzurQuantisierungder
Gravitationstheoriewirddadurchvielleichtauchnocheröffnet.
DiemeistenPhysikerinnenmachensichüberdieseFrageneher
wenigGedanken.InPhysikvorlesungenundLehrbüchernwirdwohl
dieKopenhagenerDeutungfavorisiert,abermeinerAnsichtnachist
daslediglicheinhistorischerZufall–hätteBohrdieIdeeder
Pilotwellengehabt,würdevielleichtdieseTheorieheuteinden
Lehrbüchernstehen.
IchselbstfindedieseFragensehrwichtig,habeaberkeineeindeutige
Meinung,welcheInterpretationdieRichtigeist.DieKopenhagener
Deutungistsehrpragmatisch,aberdiedahintersteckende“Frag-
nicht!”-Haltungistnatürlichirgendwieunbefriedigend.Viele-WeltenTheorienmagichausPrinzipnicht(ichweiß,echtwissenschaftliche
Begründung),DekohärenzistnichtwirklicheineAlternative,die
Bohm-Ideeistnett,abersiehtauchirgendwieunnötigkompliziert
aus,undfürneuePhysikgibtesbisherkeineHinweise(Penroses
ersteIdeenzumKollapsdurchGravitationkonnteninzwischendurch
Messungenwiderlegtwerden–dieTheorielässtsichzwar
modifizieren,abersorichtigzwingendsiehtsieauchnichtaus.)Die
Fragebleibtalsounbeantwortetundspannend–deshalbkannman
übersieauchsoschöndiskutieren…
Unddamitbinicham(vorläufigen?)Endemeinerkleinen
Quantenmechanik-Serieangelangt.Wieüblichgilt:“WennesIhnen
gefallenhat,empfehlenSieunsweiter,wennnicht,behaltenSie’sfür
sich.”
(*)HieralsodieversprocheneRechnung–wiegesagt,sieistkomplett
aufmeinenMistgewachsen,sodassichfürihreKorrektheit(ichbin
wohletwasschlampigmitdergenauenDefinitionderΔs)nurbedingt
garantiere:
EsistE=p2/2mAlsoΔE=Δp2/2mMitp=mvergibtsichΔE=ΔpΔv/2
Esistalsoħ/2≤ΔEΔt=ΔpΔvΔt/2DieOrtsunschärfeergibtsichaus
GeschwindigkeitundZeitħ/2≤ΔpΔx/2AuchnachderMessung
sindalsoOrtundImpulsnurinnerhalbdererlaubtenUnschärfe
bekannt.
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