5. Ergänzung/Übung zur Vorlesung MEET I

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Department Werkstoffwissenschaften
Materials for Electronics and Energy Technology (I-MEET)
5. Ergänzung/Übung zur Vorlesung MEET I
PD Dr. Matthias Bickermann – 29. November 2010
1. Elektrische Leitfähigkeit
Ohm'sches Gesetz: U = R ⋅ I
mit
R=ρ
l
A
R Widerstand, ρ spezifischer Widerstand, l Länge, A Querschnitt des Leiters;
E=
I
1
U
spez. Leitfähigkeit
= ρ ⋅ i Elektrisches Feld, i = = σ ⋅ E Stromdichte, σ =
ρ
A
l
Einheiten: U [V], R [Ω=V/A], ρ [Ω⋅cm], E [V/m], i [A/mm²], σ [S/m=1/Ωm]
Die spezifische Leitfähigkeit von Materialien liegt zwischen 1⋅10–18 S/m (Quarz) und
6⋅107 S/m (Silber)!
Berechnen Sie…
…Durchmesser d und Masse m eines 10 km langen, runden Drahtes mit dem elektrischen Widerstand von 2 Ω aus
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Silber
Kupfer
Aluminium
Wolfram
Blei
NiCr-Legierung
(ρ = 1,63 µΩ·cm, ρd = 10,5 g/cm³)
(ρ = 1,78 µΩ·cm, ρd = 8,96 g/cm³)
(ρ = 2,87 µΩ·cm, ρd = 2,70 g/cm³)
(ρ = 5,5 µΩ·cm, ρd = 19,3 g/cm³)
(ρ = 20,8 µΩ·cm, ρd = 11,34 g/cm³)
(ρ = 112 µΩ·cm, ρd = 7,9 g/cm³)
Aus welchem Material sind wohl Hochspannungsleitungen gefertigt?
Berechnen Sie…
Welchen Durchmesser d hat der 0,5 m lange Wendeldraht einer Wolfram-Glühbirne
(220 V, 60 W)? Welchen Durchmesser hätte ein 1 m langer Wolframdraht? Wir nehmen zur Vereinfachung die Gleichungen für Gleichstrom heran.
2. Driftgeschwindigkeit
Elektronen werden im elektrischen Feld (Kraft Fel. = e⋅E) beschleunigt, stoßen aber
immer wieder auf "Hindernisse". Sie bewegen sich effektiv mit der Driftgeschwindige
e
τ
keit v D =
τ E , man schreibt: v D = μ E mit μ =
m*
m*
τ [s] ist die mittlere Stoßzeit, e [As] Elektronenladung, m* effektive Elektronenmasse.
µ [cm²/Vs] ist die Ladungsträgerbeweglichkeit, eine Materialkonstante.
Zahlenbeispiel Cu: τ ≈ 10–14 s, vD = 3,4 10–4 m/s (gerechnet mit E = 0,1 V/m, sonst
schmilzt der Leiterdraht). Aber: Die Ausbreitung von elektrischen Signalen in Leitern
erfolgt mit der Geschwindigkeit des elektromagnetischen Felds, d.h. in etwa mit
Lichtgeschwindigkeit.
In einem Zeitintervall Δt treten diejenigen Ladungen (Elektronen) durch die Querschnittsfläche A, die Δx oder weniger von ihr entfernt sind, mit vD = Δx/Δt: i = n e v D
(n: Ladungsträgerkonzentration [cm–3]).
Daraus ergibt sich (i = σ E): σ = n e μ und weiter: τ =
σ m*
n e²
.
Die Ladungsträgerkonzentration n bestimmt sich aus der Atomkonzentration N durch
N
n = z ⋅ N mit N = ρ a A Atomkonzentration [cm–3], ρa Dichte [g/cm³], ma Atomgema
wicht [g/mol], NA Avogardo-Konstante [6,023⋅1023 1/mol], z Wertigkeit [–].
In Metallschmelzen ist z genau die Zahl der freien Ladungsträger pro Atom, in Festkörpern gibt es Abweichungen durch chemische Bindungen und die daraus entstehende "Bandstruktur".
Berechnen Sie…
…die Beweglichkeit µ (in cm²/Vs) und die Stoßzeit τ der Elektronen in den Materialien aus Aufgabe 1 a–e (gehen Sie von jeweils 1·1023 Atomen/cm³ aus).
Halbleiter erzielen wegen der hohen Beweglichkeiten sehr hohe Schaltgeschwindigkeiten; dabei gilt in Halbleitern immer: µ(Elektronen) > µ(Löcher). Die Grenzfrequenz
1
fmax =
τ Flug wird maximal, wenn innerhalb der Gatelänge L kein Zusammenstoss
2π
erfolgt ("ballistischer Transport"). Aus der Flugzeit τ Flug
μU
L
L2
=
=
folgt fmax =
.
vD μ U
2 π L²
Berechnen Sie…
a) …die Flugzeit τFlug, die ein Elektron in einem idealen GaAs-Feldeffekttransistor
(µ = 2000 cm²/Vs) benötigt, um von der Source- zur Drain-Elektrode zu gelangen
(Abstand der Elektroden: L = 1 µm, Spannungsabfall zwischen den Elektroden:
1 V).
b) Wie groß ist die damit verbundene maximale Betriebsfrequenz fmax eines solchen
Bauelements?
c) Durch welche Maßnahmen ließe sich die maximale Betriebsfrequenz steigern?