Mechanik: Vertiefung

Mechanik: Vertiefung
Schiefe Ebene
Energie- und Impulserhaltung
Rotationsbewegung und Drehimpulserhaltung
PAM, 2./3. OG
Stiftsschule Engelberg, Schuljahr 2016/2017
Stiftsschule Engelberg
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1.1
PAM
2./3.OG — Schuljahr 2016/2017
Berühmte Probleme aus der Mechanik
Fahrstuhl-Physik
Wir spüren unser Gewicht nur indirekt über die Gegenkraft des Bodens auf dem wir stehen. Befinden wir uns
nun in einem Fahrstuhl spüren wir die Gegenkraft des Fahrstuhlbodens auf uns. Diese Gegenkraft kann man
auch als das scheinbare Gewicht bezeichnen. Wird nun der Fahrstuhl beschleunigt so ist unser scheinbares
Gewicht anders, als unser normales Gewicht! Auch die Waage auf der wir stehen zeigt unser scheinbares
Gewicht an.
Fall 1: Der Aufzug steht oder fährt mit konstanter Geschwindigkeit, a = 0
Die resultierende Kraft auf die Person ist 0, die Gewichtskraft ist gleich der Normalkraft, das scheinbare
Gewicht entspricht dem effektiven Gewicht.
Fres = FN − mg = 0 =⇒ FN = mg
Fall 2: Beschleunigung nach oben (beim Anfahren nach oben oder beim Bremsen bei der
Abwärtsfahrt)
Der Fahrstuhl und die Person sind beschleunigt, gemäss zweitem Newton’schen Gesetz gilt demzufolge
Fres = ma =⇒ FN − mg = ma =⇒ FN = mg + ma
Die Normalkraft, also unser scheinbares Gewicht, ist grösser als unser Gewicht (drückendes Gefühl im Magen).
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Fall 3: Beschleunigung nach unten (beim Bremsen bei der Aufwärtsfahrt oder bei der Abwärtsfahrt beim Anfahren)
Gemäss zweitem Newton’schen Gesetz gilt demzufolge
Fres = −mg =⇒ FN − mg = −mg =⇒ FN = 0
Die Normalkraft, also unser scheinbares Gewicht, ist geringer als unser Gewicht (es hebt den Magen).
Fall 4: Das Seil des Aufzugs reisst, freier Fall, a = g
Der Fahrstuhl und die Person sind beschleunigt, gemäss zweitem Newton’schen Gesetz gilt demzufolge
Fres = −ma =⇒ FN − mg = −ma =⇒ FN = mg − ma
Die Normalkraft, also unser scheinbares Gewicht, ist geringer als unser Gewicht (es hebt den Magen).
Anzeige auf der Waage
Die Aussensicht (nicht-beschleunigtes Bezugssystem):
Waagenanzeige (scheinbares Gewicht F )
=
Gewichtskraft + Reaktionskraft der
Person auf die beschleunigende Kraft
Sicht der Person im Lift (beschleunigtes Bezugssystem):
Waagenanzeige (scheinbares Gewicht F )
=
Gewichtskraft + Trägheitskraft (Scheinkraft)
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Aufgaben
1. In einem Aufzug steht eine Person auf einer Badezimmerwaage. Im Stand zeigt die Waage 70kg an, beim
Anfahren 55kg und beim Abbremsen 80kg.
(a) In welcher Richtung bewegt sich der Aufzug?
(b) Mit welcher Beschleunigung fährt der Aufzug an?
(c) Mit welcher Beschleunigung bremst er?
(d) Was zeigt die Waage zwischendrin und bei gleichförmiger Fahrt?
2. In einer Aufzugskabine hängt an einer Federwaage ein Körper mit der Masse m = 10 kg. Die Federwaage
zeigt eine Kraft von F = 115 N an. Welche der aufgeführten Bewegungsformen sind möglich?
(a) Gleichförmige Bewegung nach oben.
(b) Gleichförmige Bewegung nach unten.
(c) Gleichförmig beschleunigte, schneller werdende Bewegung nach oben.
(d) Gleichförmig beschleunigte, schneller werdende Bewegung nach unten.
(e) Gleichförmig beschleunigte, langsamer werdende Bewegung nach oben.
(f) Gleichförmig beschleunigte, langsamer werdende Bewegung nach unten.
3. In einem Aufzug steht eine Person mit 70kg Masse. Wie gross ist die Kraft, die gesamt auf sie wirkt,
wenn sich der Aufzug mit a = 2.5m/s2 nach oben bewegt?
4. Wenn Paul mit dem Lift fährt, ist sein scheinbares Gewicht am grössten, wenn
(a) der Lift mit konstanter Geschwindigkeit fährt
(b) der Lift nach oben beschleunigt
(c) wenn das Seil reisst und der Lift mit konstanter Geschwindigkeit nach unten fällt
(d) Keine der Aussagen stimmt, da Gewicht konstant ist
(b)
4.
875N
3.
(c) und (f)
2.
(d)
70kg
(c) a = 1.42m/s2
(b) a = 2.14m/s2
1.
(a)
abwärts
Lösungen
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Schwerelosigkeit
Wenn ein Fallschirmspringer eine Waage unter seinen Füssen anbringen würde, würde er feststellen, dass die
Waage 0 kg” anzeigt, denn er ist in diesem Moment schwerelos (bei Vernachlässigung der Luftreibung).
”
Einfach ausgedrückt kann man sagen, dass jeder Körper schwerelos ist, wenn auf ihn nur die Schwerkraft
wirkt! Der Grund, warum auf der Erde alles ”ein Gewicht hat”, ist der, dass die Erdoberfläche das verhindert,
was die Gravitation normalerweise tun will: Sie will alles zum Erdmittelpunkt drücken.
Ein Fahrstuhl im Weltraum – Einsteins Gedankenexperiment
Den Anstoss für Einsteins berühmte Theorie gibt 1907 ein simples Gedankenexperiment. ”Ich sass im Berner
Patentamt, als mir plötzlich der Gedanke kam: Wenn sich Mensch im freien Fall befindet, wird er seine eigene
Schwere nicht empfinden können.” Das klingt erstmal kryptisch, Einstein malt sich dies aber an einem sehr
alltäglichen, konkreten Beispiel aus:
Wenn ein Fahrstuhl abstürzt und im freien Fall nach unten rast, fühlt sich ein darin stehender Mensch für einen
kurzen Augenblick schwerelos. Allein von seinem Gefühl ausgehend könnte er nicht unterscheiden, ob er fällt
oder in der echten Schwerelosigkeit des Weltraums schwebt. Umgekehrt spüren wir im stehenden Fahrstuhl
die normale Schwerkraft der Erde: Unsere Fusssohlen werden auf den Boden gedrückt, ein fallengelassener
Gegenstand fällt nach unten.
Beschleunigung oder Schwerkraft? Das gleiche aber würden wir auch empfinden, wenn unser Fahrstuhl
in der Schwerelosigkeit des Weltraums wäre, aber mit hoher Geschwindigkeit nach oben rasen würde. Der
imaginäre Fahrstuhl-Fahrer kann nicht unterscheiden, ob er unter dem Einfluss der Gravitation steht oder
aber dem einer Beschleunigung, so Einsteins Überlegung. In beiden Fällen spürt er nur eine Kraft, die in
Richtung Boden wirkt.
Für den Physiker folgt daraus, dass die Wirkung von Schwerkraft und Beschleunigung gleich sind – sie sind
äquivalent und daher womöglich Manifestationen des gleichen Phänomens. ”Dieser einfache Gedanke beeindruckte mich nachhaltig”, schreibt Einstein kurz darauf nieder. ”Die Begeisterung, die ich da empfand, trieb
mich zur Gravitationstheorie.” Was an diesem sogenannten Äquivalenzprinzip so begeisternd war, erschliesst
sich nicht unbedingt auf den ersten Blick.
Der gekrümmte Lichtstrahl Doch Einstein denkt sein Gedankenexperiment weiter: Was wäre, wenn man einen Lichtstrahl durch ein kleines Loch in einer Fahrstuhlwände schickt? Rast der Fahrstuhl dabei rasend schnell aufwärts,
dann würde der Strahl die gegenüberliegende Wand nicht genau auf gleicher
Höhe wie das Loch treffen. Denn die Wand samt Fahrstuhl hat sich bis dahin
weiterbewegt. Der Lichtstrahl trifft dadurch etwas tiefer auf.
Würde man nun die Bahn des Strahls von einer Fahrstuhlwand zu anderen
aufzeichnen, erschiene sie gebogen. Eine Beschleunigung krümmt demnach das
Licht – und genau das liefert Einstein die entscheidende Idee. Denn wenn nach
dem Äquivalenzprinzip Beschleunigung und Gravitation auf gleiche Weise wirken, dann muss auch die Gravitation das Licht krümmen können. Und das
wiederum macht aus der Gravitation etwas völlig anderes als eine blosse Kraft.
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Die schiefe Ebene (ohne Reibung)
In der Physik spielt die ’schiefe Ebene’ eine sehr wichtige Rolle für das Verstehen und Erarbeiten von wichtigen
Konzepten. Verschiedene Experimente können durchgeführt werden.
Wir betrachten Körper, die sich auf einer schiefen Ebene bewegen. Die schiefe Ebene habe einen Neigungswinkel
von α. Auf diese Körper wirkt die Schwerkraft FG . Es ist von Vorteil, die Schwerkraft in eine zur schiefen
Ebene parallele FGk und eine dazu senkrechte Komponente FG⊥ zu zerlegen. Zunächst vernachlässigen wir die
Reibung.
Es gilt
FG⊥ = mg cos α
FGk = mg sin α
Man nennt die parallele Komponente auch Hangabtriebskraft FH .
Die Schwerkraft ist aber nicht die einzige Kraft. Als Reaktion auf die senkrechte Komponente der Schwerkraft
FG⊥ übt die schiefe Ebene eine Normalkraft FN auf den Körper aus.
Der Körper bewegt sich entlang der schiefen Ebene. Auf ihn wirkt also die Kraft F = FGk = mg sin α. Aus
dem Kraftwirkungsgesetz folgt
Fres = ma =⇒ mg sin α = ma
Die Beschleunigung entlang der Ebene ist also
a = g sin α
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Es ist hilfreich, sich zwei Spezialfälle zu überlegen. Für α = 0◦ ist die schiefe Ebene horizontal. Dann ist
a = g sin 0◦ = 0. Für α = 90◦ ist die schiefe Ebene vertikal. Dann gilt a = g sin 90◦ = g, also der Körper
befindet sich im freien Fall.
Für alle Winkel dazwischen handelt es sich um einen ”verlangsamten freien Fall”. Diese Situationen sind
für Experimente wichtig, da der freie Fall oft zu schnell ist, um ohne technische Hilfsmittel Beobachtungen
durchführen zu können.
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Schiefe Ebene, mit Reibung
Ab jetzt wollen wir die Reibung zwischen dem Körper und der schiefen Ebene berücksichtigen. Die Reibungskraft wirkt eigentlich an der Grenzfläche zwischen Körper und Ebene. Sie wirkt der Hangabtriebskraft FH
entgegen.
Es gibt nun zwei Fälle:
Fall 1: Der Körper bewegt sich nicht. Ist die schiefe Ebene nicht sehr stark geneigt, so hebt die Reibungskraft FR die Hangabtriebskraft FH auf. In diesem Fall handelt es sich um Haftreibung.
Diese Anordnung gibt auch eine Möglichkeit, den Haftreibungskoeffizienten zu messen. Man vergrössert
den Neigungswinkel α, bis der Körper zu rutschen beginnt. Im Grenzfall gilt:
FR
= FH
f h FN
= mg sin αg
fh mg cos αg
= mg sin αg
Also folgt nach Division durch mg und cos α:
fh = tan αg
Fall 2: Der Körper bewegt sich. Bei grösserer Neigung überwiegt die Hangabtriebskraft FH . Der Körper
beginnt zu gleiten. Die Reibungskraft ist nun die Gleitreibungskraft. Die resultierende Kraft ist dann:
Fres = FH − FR = mg sin α − fgl mg cos α
Für die Beschleunigung gilt also
a = g sin α − fgl g cos α
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Verbundene Körper
Gekoppelte Bewegung
Ein Gewichtsstein m1 hängt an einem Seil, das über eine Rolle läuft und an einem Klotz m2 befestigt ist.
Durch das Seil ist die Bewegung der beiden Körper gekoppelt. Die Geschwindigkeiten des Klotzes und des
Steines sind also immer gleich. Damit ist auch die Beschleunigung der beiden Körper gleich.
Wir nehmen an, dass an der Rolle und durch das Seil keine Verluste entstehen. Wir berücksichtigen aber die
Reibung des Klotzes auf der Tischplatte.
Man kann die Bewegung von zwei Körpern, die über ein Seil miteinander verbunden sind, relativ einfach lösen:
Die beiden zusammengebundenen Körper werden als ein Körper der Masse m1 + m2 betrachtet. Es wirkt auf
diesen Körper eine resultierende Kraft Fres . Sie setzt sich zusammen aus der Gewichtskraft des Steines und
der Reibungskraft des Klotzes. Es gilt
Fres = FG − FR = m2 g − fG m1 g = (m2 − fG m1 )g
Nach dem Kraftwirkungsgesetz gilt dann
(m2 − fG m1 )g = (m1 + m2 )a
Die Beschleunigung der beiden Körper ist dann
a=
m2 − fG m1
g
m1 + m2
Welche Kräfte wirken auf den Stein und welche auf den Klotz?
Auf den Stein wirken die Gewichtskraft und die Zugkraft vom Seil (Seilkraft). Ohne die Seilkraft würde der
Stein frei fallen. Die Bewegung ist also eine verlangsamte Fallbewegung. Das Kraftwirkungsgesetz für den Stein
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ist
m2 a = m2 g − FS
Die Beschleunigung a kennen wir bereits. Die Seilkraft ist dann
FS = m2 g − m2 a =
1 + fG
m1 m2 g
m1 + m2
Auf den Klotz wirken die Zugkraft vom Seil (Seilkraft), die Gewichtskraft des Klotzes, die stützende Normalkraft der Unterlage und die Gleitreibungskraft. Die Seilkraft ist die gleiche. Die Normalkraft und die
Gewichtskraft heben sich auf.
Atwood’sche Fallmaschine
Fall im Zeitlupentempo: Zwei Körper, die eine ähnliche Masse haben, sind
über eine Rolle miteinander verbunden. Diese Anordnung heisst Atwood’sche
Fallmaschine. Da die resultierende Beschleunigung klein ist, lässt sich die
verlangsamte Fallbewegung gut untersuchen.
Zudem ist es ein experimenteller Test von Fres = m · a.
Um die Beschleunigung des Systems zu bestimmen, kann man sich die beiden
Massen vereint vorstellen, wobei dann nur die Kräfte FG1 und FG2 wirken
(siehe untere Figur). Dann gilt für die Beschleunigung:
(m1 + m2 )a = Fres = FG2 − FG1 = m2 g − m1 g
Daraus folgt
a=
m2 − m1
g
m1 + m2
Man kann zwei Spezialfälle betrachten. Gilt m1 = m2 dann ist a = 0. Die
Anordnung ist im Gleichgewicht. Gilt m1 = 0, dann ist a = g – die Masse m2
bewegt sich dann im freien Fall.
Man kann auch die Kräfte auf die einzelnen Massen betrachten. Für die Masse m1 gilt (wir nehmen die positive
Bewegungsrichtung von m1 nach m2 ):
m1 a = Fres = FS − m1 g
Für die Masse m2 gilt
m2 a = Fres = −FS + m2 g
Es ergibt sich ein lineare Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten FS (Seilkraft) und a:
m1 a
= FS − m1 g
m2 a
= −FS + m2 g
Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man
m1 a + m2 a = m2 g − m1 g
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und damit wieder
a=
m2 − m1
g
m1 + m2
Jetzt kann man aber auch die Seilkraft ausrechnen. Aus der zweiten Gleichung folgt
FS = m2 g − m2 a = m2 g − m2
m2 − m1
m1 m2 + m22 − m22 + m1 m2
2m1 m2
g=
g=
g
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
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