Kinematik

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Kinematik
Die Kinematik (kinema, griech., Bewegung) ist die Lehre von der
Bewegung von Punkten und Körpern im Raum, beschrieben durch
die Größen Weg (Änderung der Ortskoordinate) s,
Geschwindigkeit v und Beschleunigung a, ohne die Ursachen
einer Bewegung (Kräfte) zu betrachten. Sie ist wie die Dynamik,
die sich jedoch mit der Bewegung von Körpern unter Einwirkung
von Kräften beschäftigt, ein Teilgebiet der Mechanik.
(Wikipedia, 5.11.2006)
Die Beschreibung der Bewegung eines Körpers durch seine Bahn
s(t) erfordert es, den betrachteten Körper auf einen einzigen
Punkt zu reduzieren.
Modell der Punktmasse
Massenpunkt oder Punktmasse beschreibt in der Physik die
höchstmögliche Idealisierung eines realen Körpers.
Der Massenpunkt ist ein physikalisches Modell, das den Körper
ausschliesslich hinsichtlich seines Ortes und seiner Masse vertritt.
Er dient zur vereinfachten Beschreibung der Bewegung des
Körpers. Äußere Eigenschaften wie Volumen und Form werden
vernachlässigt. Der Körper wird als mathematischer Punkt
angesehen, der somit keine Ausdehnung, aber eine endliche Masse
besitzt. Insbesondere besitzt ein Massenpunkt keine
Rotationsfreiheitsgrade.
Falls bei einem realen, ausgedehnten Körper eine eventuelle
Rotationsbewegung und die Verteilung der Masse im
Körpervolumen nicht interessieren, kann er als Massenpunkt (am
Ort des Körperschwerpunkts) betrachtet werden.
(Wikipedia, 5.11.06)
Bewegt sich ein Körper entlang einer geraden Linie, so sprechen
wir von einer eindimensionalen Bewegung. Der entsprechenden
Punktmasse kann dann zu jedem Zeitpunkt t eine Ortskoordinate s
zugeordnet werden. Die Bahn s(t) ist die Gesamtheit all dieser
Ortskoordinaten. Sie gibt an, wo sich der Körper zu einem
beliebigen Zeitpunkt t aufhält.
Die Grundgleichungen der Kinematik lauten:
Grundgleichungen der Kinematik
v (t) =ṡ(t)
(Momentan-)Geschwindigkeit
a(t) =v̇ (t) = s̈(t)
(Momentan-)Beschleunigung
Die momentane Geschwindigkeit v des Massepunktes zur Zeit t ist
gegeben durch die zeitliche Ableitung seiner Bahnkoordinate:
∆s(t)
s(t + ∆t) − s(t)
ds(t)
d
= lim
≡
= s(t).
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t
dt
dt
v (t) = ṡ(t) = lim
(Bemerkung: In der Physik ist die sog. Differentialdarstellung von
Ableitungen sehr gebräuchlich, da in ihr die Substitutionsregeln
besonders intuitiv deutlich werden.)
50
s(t)
v(t)
40
v [m/s]
s [m]
30
20
10
0
-10
0
2
4
6
8
10
t [s]
s(t) = s0 + v0 t + A sin(ω(t − t0 ))
Beispiel:
s(t) = s0 + v0 t + A sin(ω(t − t0 ))
⇒ v (t) = 0 + v0 + ωA cos(ω(t − t0 ))
(1)
Wir haben im vorigen Beispiel zu einer vorgegebenen Bahn s(t) die
Geschwindigkeit des Körpers bestimmt. Die Gleichung v = ṡ
erlaubt aber auch, bei vorgegebener Geschwindigkeit v (t) die
Bahnkurve s(t) zu berechnen.
Beispiel:
aus Herrn Wurth’s Vorlesung: ein Körper bewegt sich mit
konstanter Geschwindigkeit v0 .
Behauptung: Seine Bahngleichung lautet
s(t) = s0 + v0 t
Überprüfung:
d
(s0 + v0 t) = v0
dt
Was aber, wenn die Geschwindigkeit des Teilchens nicht konstant
ist?
v (t) = ṡ(t) =
Benutzen wir die Definition:
v (t) =
s(t + dt) − s(t)
dt
dt infinitesimal klein
und starten bei einem Zeitpunkt t0
⇒ s(t0 + dt) = s(t0 ) + v (t0 )dt
Das können wir noch ein wenig weitertreiben:
s(t + 2dt) = s(t + dt) + v (t0 + dt)dt
= s(t0 ) + v (t0 )dt + v (t0 + dt)dt
(2)
= s(t0 ) + (v (t0 ) + v (t0 + dt)) dt
Wollen wir die Koordinate des Teilchens zu einem endlich späteren
Zeitpunkt wissen, müssen alle infinitesimalen Zeitschritte
aufsummiert werden:
Z t0 +∆t
X
s(t0 + ∆t) = s(t0 ) +
v (t0 + ndt)dt → s(t0 ) +
v (t)dt
t0
n
Bei vorgegebener Geschwindigkeit können wir also die Bahn des
Teilchens berechnen:
Z t
s(t) = s(t0 ) +
v (t 0 )dt 0 .
t0
Man sieht aber auch: um aus der Geschwindigkeit auf die Bahn
des Teilchens zu schließen, benötige ich einen Startwert oder auch
einen Anfangswert der Bewegung, s(t0 .
Beispiel:
Betrachten wir noch einmal die Bewegung mit konstanter
Geschwindigkeit. Dann gilt: v (t) = v0 und wir setzten den
Startzeitpunkt zu t0 = 0
Z
s(t) = s0 +
t
v0 dt 0 = s0 + v0 t.
0
Auch unser Beispiel von vorhin können wir auf diese Weise
überprüfen: Aus der Geschwindigkeit
v (t) = v0 + Aω cos(ω(t − t0 ))
erhalten wir
Z
s(t) = s(t = 0) +
t
[v0 + Aω cos(ω(t − t0 ))] dt 0
0
(3)
= s0 + v0 t + A sin(ω(t − t0 )).
Jetzt können wir uns dem zweiten Grundgesetz der Kinematik
zuwenden:
a(t) = v̇ (t)
Die momentane Beschleunigung, die ein Massepunkt erfährt, ist
gleich der zeitlichen Ableitung seiner Geschwindigkeit. Es gilt also:
a(t) = v̇ (t) =
d
ṡ(t) = s̈(t)
dt
Betrachten wir gleich noch einmal unser Beispiel:
50
s(t)
v(t)
a(t)
40
v [m/s]
s [m]
30
20
10
0
-10
0
2
4
6
t [s]
v (t) = v0 + Aω cos(ω(t − t0 )).
8
10
Die Beschleunigung des Teilchens ergibt sich somit zu
d
v (t) = Aω [ω(− sin(ω(t − t0 )))]
dt
= −Aω 2 sin(ω(t − t0 )).
a(t) =
(4)
Auch hier können wir die Beziehung a(t) = v̇ (t) umkehren.
Analog zu
Z t
s(t) = s(t0 ) +
v (t 0 )dt 0
t0
gilt nun
Z
t
v (t) = v (t0 ) +
a(t 0 )dt 0
t0
Beispiel: Ein Punktteilchen hat zum Zeitpunkt t = 0 eine
Anfangsgeschwindigkeit v0 und erfährt eine konstante
Beschleunigung a0 . Dann ist seine Geschwindigkeit gegeben durch
Z
v (t) = v0 +
t
a0 dt 0 = v0 + a0 t
0
In der Tat können wir nun aus dieser Beziehung auch die Bahn des
Teilchens berechnen. Setzen wir nämlich v (t 0 ) in die obere
Gleichung ein, so erhalten wir:
Z t
1
s(t) = s0 +
v0 + a0 t 0 dt 0 = s0 + v0 t + a0 t 2
2
0
Im allgemeinen Fall erhalten wir ganz analog
#
Z t"
Z t0
a(t 00 )dt 00 dt 0
s(t) = s(t0 ) +
v (t0 ) +
t0
t0
Z t "Z
t0
= s(t0 ) + v (t0 )t +
t0
t0
#
a(t 00 )dt 00 dt 0 .
(5)
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