Ubungsblatt 3 Hausaufgabe zum 12.11.2013

Theoretische Physik II (Mechanik)
Prof. Dr. Thorsten Feldmann
Dr. Dirk Seidel
Übungsblatt 3
Ausgabe: Di, 5. Nov. 2013; Abgabe: Di, 12. Nov. 2013
Besprechung der Hausaufgaben: Fr. nach der Abgabe
Hausaufgabe zum 12.11.2013
H7: Schwingung gekoppelter Massen (3 + 5 = 8 Punkte)
Auf dem Boden vor einer Wand ruhen zwei identische Körper der Masse m, welche durch eine
Feder mit der Federkonstanten k verbunden sind.
Die Feder ist anfangs um die Länge ∆s zusammengedrückt, und die Körper werden durch einen
Faden im Gleichgewicht gehalten. Zur Zeit t = 0
wird der Faden durchgeschnitten und die Körper
können sich reibungsfrei auf dem Boden bewegen.
1
2
Faden
m
m
(a) Bestimmen Sie die Zeit t1 , an der sich Körper 1 von der Wand löst. Wie groß ist die
Schwerpunktgeschwindigkeit zu dieser Zeit?
(b) Wie groß ist die maximale Federdehnung smax der anschließenden Schwingung?
[Hinweis: Spalten Sie die kinetische Energie in einen Schwerpunktanteil und einen Relativanteil auf.]
H8: Freier Fall eines Oszillators (1 + 2 + 3 + 2 = 8 Punkte)
Zwei Körper mit den Massen m1 und m2 (m1 6= m2 ) sind durch eine
Feder mit der Federkonstanten k miteinander verbunden und hängen
in Ruhe an einem Faden an der Decke im konstanten Schwerefeld ~g =
−g~e3 . Zur Zeit t = 0 wird der Faden durchgeschnitten (Luftreibung
soll vernachlässigt werden).
Faden
m1
~g
(a) Wie lautet die Schwerpunktkoordinate ~xS (t) für t > 0?
(b) Wie groß ist die Beschleunigung beider Körper unmittelbar nach
dem durchschneiden des Fadens?
[Hinweis: Machen Sie sich klar, welche Kräfte an den Körpern
wirken.]
m2
(c) Bestimmen Sie die Frequenz ω, mit der die Körper harmonisch im Gegentakt schwingen.
[Hinweis: Verwenden Sie das beschleunigte Schwerpunktsystem als Bezugsystem.]
(d) Berechnen Sie die Schwingungsamplituden A1 und A2 .
— bitte wenden —
1
H9: Zwangsbedingungen (1 + 1 + 1 + 1 = 4 Punkte)
Bestimmen Sie bei den folgenden Bewegungsarten den Typ der Zwangsbedingung:
(a) Ein Massenpunkt gleitet auf einem bewegten Draht.
(b) Ein Körper rollt auf einer (rauhen) Ebene ohne Schlupf.
(c) Ein Massenpunkt bewegt sich unter dem Einfluss einer Kraft unter der Bedingung, dass
der Betrag seiner Geschwindigkeit konstant bleibt.
(d) Ein Massenpunkt hängt an einem Faden an der Decke im einem Gravitationsfeld und
kann frei schwingen (sphärisches Pendel).
H10: Massenpunkt auf rotierender Schiene (4 + 3 + 3 = 10 Punkte)
Ein Massenpunkt mit der Masse m bewege sich reibungsfrei im konstanten Schwerefeld ~g = −g~e3 entlang einer
Führungsschiene mit dem Profil x3 = f (r)(f (0) = f 0 (0) = 0),
die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die x3 –
Achse drehe.
(a) Bestimmen Sie die Kraftkomponente entlang der Schiene. Unter welcher Bedingung ist die Ruhelage eines
Massenpunkts bei r = 0 instabil gegenüber kleinen
Auslenkungen? Wie muss die Führungsschiene geformt
sein, damit der Massenpunkt an jeder Stelle im Gleichgewicht ist?
f (r)
x3
~g
ω
~
r
ϕ
(b) Gesucht ist nun die Bewegungsgleichung für den Massenpunkt. Als Koordinate soll der
Abstand r von der Drehachse verwendet werden. Zeigen Sie dazu zunächst, dass für die
Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ṡ entlang der Schiene
ṡ =
p
1 + f 0 (r)2 ṙ
gilt. Verwenden Sie dann das Resultat aus (a).
Zeigen Sie nun mit Hilfe der Bewegungsgleichung, dass zwar die Energie nicht erhalten
ist, jedoch die Beziehung
d
d
(T + U ) = (mω 2 r2 )
dt
dt
besteht. Leiten Sie daraus eine Bewegungsgleichung erster Ordnung in der Form ṙ2 =
g(r) ab.
(c) Die Schiene besitze die Form eines Viertelkreises mit Radius R. Der Massenpunkt werde
zur Zeit t = 0 etwas aus der Gleichgewichtsposition bei r = 0 gebracht: ṙ(0) = 0, r(0) =
infinitesimal. Wie groß muss die Winkelgeschwindigkeit sein, damit der Massenpunkt
aus der Schiene fliegt?
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