Protokoll zum Grundversuch Geometrische Optik

Protokoll zum Grundversuch
Geometrische Optik
Fabian Schmid-Michels
Nils Brüdigam
Universität Bielefeld
Wintersemester 2006/2007
Grundpraktikum I
Tutorin: Jana Muenchenberger
01.02.2007
Inhaltsverzeichnis
1 Ziel
2
2 Theorie
2
3 Versuch
3.1 Versuch A: Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse . .
3.2 Versuch B: Verizierung der Linsengleichung . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Versuch C: Hauptebenen und Brennweite eines Linsensystems . . . . .
3.4 Versuch D: Untersuchung der chromatischen und sphärischen Aberration mit dem Besselverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
5
4 Quellen
9
1
8
1
Ziel
Bestimmung von Brennweiten und der Lage von Hauptebenen bei Linsen und
Linsensystemen mit verschiedenen Verfahren.
2
Theorie
Als Linsen bezeichnet man Körper, die aus lichtdurchlässigen Materialien bestehen und von zwei Kugeloberfächen begrenzt werden. Die Verbindungslinie der
beiden zugehörigen Kugelmittelpunkte ist deniert als optische Achse. Auftreffende Lichstrahlen werden gemäÿ dem Brechungsgesetz gebrochen. Bei dünnen
Linsen kann man sich die zweimalige Brechung an den Kugeloberächen durch
eine Brechung an der Mittelebene (Hauptachse) ersetzt denken. Linsen, die in
der Mitte dicker sind als am Rand (konvex), nennt man Sammellinsen. Sie brechen die parallel zur optischen Achse einfallendne Lichtstrahlen so, dass sie in
dem Brennpunkt F 0 gesammelt werden. Der Abstand des Brennpunktes von der
Mittelebene ist die Brennweite f der Linse. Linsen, die in der Mitte dünner sind
als am Rand (konkav), nennt man Zerstreungslinsen. Die parallel zur optischen
Achse einfallenden Strahlen werden so gebrochen, als ob sie von einem (virtuellen ) Brennpunkt F 0 vor der Linse ausgehen würden. Die Brennweite f ist also
negativ.
Abbildung 2: Geometrische Bildkonstruktion [Quelle (1)]
Zur Bildkonstruktion werden drei ausgezeichnete Strahlen verwendet:
1. Der Parallelstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft. Er wird
so gebrochen, dass er durch den Brennpunkt hinter der Linse verläuft.
2. Der Mittelpunktsstrahl, der durch die Mitte der Linse verläuft, ohne gebrochen zu werden.
3. Der Brennpunktstrahl, der durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt
verläuft und nachher parallel zur optischen Achse verläuft.
2
Abbildung 1:
Strahlenverlauf an Sammelund Streulinse [Quelle
(1)]
Kenngröÿen sind: die Gegenstandsgröÿe G, die Bildgröÿe B , die Gegenstandsweite g und die Bildweite b. Aus Abbildung (2) ndet man die folgenden
Beziehungen. Für den Abbildungsmaÿstab V (Vergröÿerung) gilt:
B
b
=
G
g
(1)
1
1
1
= =
f
g
b
(2)
V =
Die Linsengleichung:
Für Zerstreuungslinsen gilt dies ebenso, b und f haben dann ein negatives Vorzeichen.
Linsenfehler
Bei realen Linsen ndet man, dass es verschiedene Abbildungsfehler gibt, die
sich in unscharfen Bildern zeigen. Bei sphärischen Linsen wird ein Punkt nur
wieder dann als Punkt abgebildet, wenn die auftretenden Winkel klein sind. Die
oben gemachten Annahmen gelten nur daher nur für Strahlen, die nah an der
optischen Achse liegen. Je weiter ein Strahl von der optischen Achse entfernt ist,
desto gröÿer wird der Winkel, unter dem der Strahl auf die Linse trit und somit
auch die Brechnung. Diesen Abbildungsfehler nennt man sphärige Aberration.
Werden achsferne Strahlen ausgeblendet entsteht eine schärfere Abbildung. Der
Brechungsindex von Linsen ist auch von der Wellenlänge abhängig. Je nach
Lichtfarbe ergibt sich also ein anderer Brennpunkt, welcher für blaues Licht
näher an der Linse liegt als für rotes Licht. Dies wird chromatische Aberration
gennant. Durch geschickte Kombination von verschiedenen Linsen kann man
dies kompensieren. Es gibt noch weitere Linsenfehler, auf diese wird hier jedoch
nicht eingegangen.
3
Versuch
Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau besteht aus einer Lichtquelle (Halogenlampe), einer oder
mehreren Linsen, einem Schirm und einer sogenannten Perl-Eins (als Gegenstand), deren Perlen bei Beleuchtung von hinten wie selbstleuchtende Punkte
erscheinen. Dies alles ist verschiebbar auf einer optischen Bank angebracht, die
über eine geeichte Längeneinteilung verfügt.
3.1 Versuch A: Bestimmung der Brennweite einer dünnen
Sammellinse
Auf der optischen Bank wird die Perleins, ein Sammellinse (Konvexlinse) und
der Schirm angebracht. Für verschiedene Gegenstandsweiten g wird der Schirm
verschoben, bis die Abbildung scharf ist. Die zugehrige Bildweite b wird gemessen. Aus den Messwerten wird mit der Linsengleichung die Brennweite der Linse
bestimmt. Aus Gleichung (2) wird durch umformen:
f=
b·g
b+g
3
(3)
Abbildung 3:
shärische
Aberration
[Quelle (1)]
Abbildung 4:
chromatische Aberration [Quelle (1)]
Für ∆f folgt nach der Gauss'schen Fehlerrechnung:
s
∆f =
∂f
∆b
∂b
2
+
∂f
∆g
∂g
s
2
=
b2
∆b
(b + g)2
2
+
g2
∆g
(b + g)2
2
Gegenstandsweite g [mm]
Bildweite b [mm]
Brennweite f [mm]
150 ± 1
200 ± 1
250 ± 1
300 ± 1
350 ± 1
282 ± 10
195 ± 10
165 ± 10
147 ± 10
138.5 ± 10
97.92 ± 4.26
98.73 ± 2.45
99.40 ± 1.62
98.66 ± 1.17
99.23 ± 0.95
(4)
Tabelle 1: Ergebnisse von Versuch A
Als arithmetischen Mittel ergibt sich f = 98.79mm. Der Hersteller gibt für
die Linse eine Brennweite von 100mm an, bei Berücksichtigung des Messfehlers
ist das Ergebnis realistsich. Die Abweichungen vom Herstellerwert kommen dadurch zustande, dass es schwer ist zu entscheiden, wann die Abbildung wirklich
scharf ist, da es zu chromatischen und sphärischen Aberrationen kommt.
3.2 Versuch B: Verizierung der Linsengleichung
Es wird der gleiche Versuchsaufbau wie bei Versuch A verwendet, es wird jedoch
eine andere Sammellinse genommen. Erneut wird für verschiedene Gegenstandsweiten g die Bildweiten b bestimmt.
Gegenstandsweite g [mm]
Bildweite b [mm]
200 ± 1
250 ± 1
300 ± 1
350 ± 1
400 ± 1
349 ± 1
288 ± 1
248 ± 1
224 ± 1
209 ± 1
Tabelle 2: Ergebnisse von Versuch B
Die erhaltenen Wertepaare (gi ,bi ) werden in ein Koordinatensystem eingetragen mit der Gegenstandsweite auf der x-Achse und der Bildweite auf der
y-Achse. Die zugehörigen Punkte (0,bi ) und (gi ,0) werden durch Geraden verbunden.
4
Abbildung 5: Graph für Versuch B
Der Schnittpunkt der Geraden sollte zusammen mit dem Koordinatenursprung ein Quadrat mit der Seitenlänge f bilden. Der Schnittpunkt liegt bei
(126;142). Dies ist weder ein Quadrat, noch liegt es nahe an der Herstellerangabe von 150mm. Entweder liegt hier ein etwas zu groÿer Messfehler vor, oder
das Verfahren eignet sich nur schlecht zur Bestimmung der Brennweite.
3.3 Versuch C: Hauptebenen und Brennweite eines Linsensystems
Die Lage der Hauptebenen und die Brennweite eines Linsensystems können mit
dem Verfahren von Abbe bestimmt werden. Hierbei ist der Abbildungsmassstab
entscheidend. Aus Gleichung (1) und (2) erhält man:
g = f (1 +
1
) und b = f (1 + V )
V
(5)
f ,g und b werden von den zugehörigen Haupteben aus gerechnet. Da die Lage der
Hauptebenen unbekannt ist, können b und g nicht direkt gemessen werden. Man
misst daher die Abstände g 0 und b0 zu einem beliebigen, festen Referenzpunkt
K . Die Lage der Hauptebenen ist durch h und h0 relativ zum Referenzpunkt K
festgelegt, wobei h und h0 positive und negative Werte annehmen können.
5
Abbildung 6: Erläuterung der Variablen
Für die gemessenen Abstände g 0 und h0 gilt:
g 0 = g + h = f (1 +
1
)+h
V
(6)
(7)
b0 = b + h0 = f (1 + V ) + h0
Misst man nun für verschiedene g jeweils b und V , so können f , h und h bestimmt werden.
Für den Versuch wird aus zwei Linsen ein Linsensysstem mit festem Linsenabstand aufgebaut. In diesem Versuch wurden eine Sammellinse mit f = 100mm
und eine Streulinse mit f = −100mm kombiniert.
0
g 0 ± 1 [mm]
400
450
500
550
600
b0 ± 10 [mm]
297
240
205
182.5
170
0
0
G ± 1 [mm]
30
30
30
30
30
B ± 1 [mm]
39
27
21
18
15
V
1.30
0.90
0.70
0.60
0.50
∆V
0.05
0.04
0.04
0.04
0.04
Tabelle 3: Ergebnisse von Versuch C
Mit Formel (1) kann V bestimmt werden. Mit Gauÿ'scher Fehlerrechnung
folgt:
s
∆V =
∆B
G
2
+
6
B∆G
G2
2
(8)
Die Regressionsgrade verrät: h = 104 ± 13mm und f1 = 165 ± 5mm. Die
Fehlerangaben beziehen sich auf die asymptotischen Fehler vom 'least squares
t'-Verfahren.
Die Regressionsgrade verrät: h0 = −71 ± 12mm und f2 = 161 ± 7mm.
7
Für die Brennweite erhält man nun zwei Werte, die aber recht genau übereinstimmen. Der Referenzpunkt K war in der Mitte der beiden Linsen angesetzt.
Jetzt sieht man, dass die Hauptachse nicht in der Mitte zwischen den beiden
Linsen liegt. Die Messunsicherheit ist bei diesem Verfahren recht groÿ, kleine
Bildweiten können nicht vermessen werden. Die Regressionsgrade verläuft durch
einen groÿen Bereich, in dem keine Messpunkte vorliegen. Die erhaltenen Fehler
für h und h0 reektieren dies auch.
3.4 Versuch D: Untersuchung der chromatischen und sphärischen Aberration mit dem Besselverfahren
Die Bestimmung von Brennweiten durch Messung der Gegenstands- und Bildweiten ist ungenau, da die Lage der der Mittelebene nicht genau bekannt ist.
Um dies zu umgehen bietet sich das Besselverfahren an. f wir hierbei indirekt
aus genauer messbaren Abstänbden bestimmt. Bei festem Abstand a = b + g
und a > 4f erhält man für die Linsenpostitionen 1 und 2 jeweils ein scharfes
Bild auf dem Schirm.
Abbildung 7: Besselverfahren [Quelle (1)]
Es gilt: (e: Abstand zwischen den Stellungen mit scharfem Bild)
f=
a2 − e2
4a
8
(9)
Für den Fehler gilt (Gauss'sche Fehlerrechnung):
s
∆f =
2 2 2 s 2
2
∂f
a + e2
e
∂f
∆a
+
∆a +
∆e =
∆e
∂a
∂e
4a2
2a
(10)
(Vorraussetzung: dünne Linsen). Die Messungen werden mit monochromatischen Licht durchgeführt, der Versuchsaufbau wird um einen blauen oder roten
Farblter erweitert. Ausserdem wird abwechselnd der Zentralbereich und dre
Randbereich der Linse abgedeckt. Für drei Abstände a wird dann der Abstand
e der Linsenstellungen bei denen ein scharfes vergröÿertes oder verkleinertes
Bild erscheint.
Lichtfarbe
rot
rot
rot
blau
blau
blau
a [mm]
650 ± 1
700 ± 1
750 ± 1
650 ± 1
700 ± 1
750 ± 1
e [mm]
252 ± 5
321 ± 5
383 ± 5
261 ± 5
327 ± 5
391 ± 5
f [mm]
138.1 ± 1.0
138.2 ± 1.2
138.6 ± 1.3
136.3 ± 1.0
136.8 ± 1.2
136.5 ± 1.3
Tabelle 4: Ergebnisse mit abgedecktem Zentralbereich
Lichtfarbe
rot
rot
rot
blau
blau
blau
a [mm]
650 ± 1
700 ± 1
750 ± 1
650 ± 1
700 ± 1
750 ± 1
e [mm]
166 ± 5
251 ± 5
324 ± 5
171 ± 5
252 ± 5
332 ± 5
f [mm]
151.9 ± 0.7
152.5 ± 0.9
152.5 ± 1.1
151.3 ± 0.7
152.3 ± 0.9
150.8 ± 1.1
Tabelle 5: Ergebnisse mit abgedecktem Randbereich
Die Ergebnisse bei abgedecktem Zentralbereich geben Aufschluss über die
sphärische Aberration. Die Brennweite ist signikant kleiner als die Herstellerangabe von 150mm (wie nach der theoretischen Überlegung erwartet). Die
Ergebnisse bei abgedecktem Randbereich sollten Hinweise zur chromatische Aberration geben. Die Brennweite für blaues Licht ist tendentiell kleiner als die für
rotes Licht. Der Eekt der chromatischen Aberration fällt jedoch bei weitem
nicht so stark ins Gewicht wie die sphärische Aberration.
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Quellen
1. Udo Werner. Physikalisches Grundpraktikum I S.89-95. Universität Bielefeld Fakultät für Physik, 2006.
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