iDiplomarbeit iAnalyse transienter Magnetfelder im Fusionsreaktor

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iDiplomarbeit
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iAnalyse
transienter Magnetfelder im Fusionsreaktor ITER
hinsichtlich der mechanischen Belastung der am
Forschungszentrum Jülich entwickelten
Diagnostik-Komponenten
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ivorgelegt von:
cand. ing. Henning Milnikel
geboren am 14.09.1981 in Krefeld
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ibetreut von:
Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni
Dipl.-Ing. Thorsten Liebig
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)
Elektrotechnik und Informationstechnik
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Universität Duisburg-Essen
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iexterner Betreuer:
Dr.-Ing. Olaf Neubauer
Forschungszentrum Jülich GmbH, Jülich
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iDüren, im Juni 2010
Versicherung an Eides Statt
Ich versichere an Eides statt durch meine untenstehende Unterschrift,
• daß ich die vorliegende Arbeit — mit Ausnahme der Anleitung durch die Betreuer —
selbständig ohne fremde Hilfe angefertigt habe und
• daß ich alle Stellen, die wörtlich oder annähernd wörtlich aus fremden Quellen entnommen sind, entsprechend als Zitate gekennzeichnet habe und
• daß ich ausschließlich die angegebenen Quellen (Literatur, Internetseiten, sonstige Hilfsmittel) verwendet habe und
• daß ich alle entsprechenden Angaben nach bestem Wissen und Gewissen vorgenommen
habe, daß sie der Wahrheit entsprechen und daß ich nichts verschwiegen habe.
Mir ist bekannt, daß eine falsche Versicherung an Eides Statt nach §156 und nach §163 Abs. 1
des Strafgesetzbuches mit Freiheitsstrafe oder Geldstrafe bestraft wird.
iiiii
Ort, Datum
iiiii
ii UnterschriftOrt, Datum
Danksagung
Der größte Dank gilt zuerst meinen Eltern, die mich über die ganze Länge meines Studiums
hinweg vorbehaltlos unterstützt haben. Ohne euch wäre mir das Studium nicht möglich gewesen. Danke!
Prof. Erni und Dr. Neubauer danke ich für die Möglichkeit, am Forschungszentrum Jülich
meine Diplomarbeit zu schreiben. Beiden danke ich außerdem für die Unterstützung durch
Anregungen und konstruktive Kritik.
Meinen Großeltern danke ich für ihren Zuspruch und Momente der Ruhe.
Bei allen Mitarbeitern der Abteilung IEF-4 des Forschungszentrums Jülich bedanke ich mich
für das freundschaftliche Arbeitsklima und für das Interesse, welches sie in zahlreichen Gesprächen und Diskussionen meiner Arbeit entgegenbrachten. Es sei insbesondere Herr Anatoly Panin hervorgehoben für seine unermüdliche Bereitschaft, mir bei Problemen mit ANSYS
jederzeit mit Rat und Tat freundlich und offen zur Seite zu stehen.
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
1
2 Einführung
3
2.1
Richtungsangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Das Tokamak-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Major Disruptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Vertical Displacement Events und Halo-Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Aufgabe der vorliegenden Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Theoretische Grundlagen
10
3.1
Die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2
Berechnung der Feldgrößen mit Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3
Die Methode der Finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1
Approximationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2
Variationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4
CXRS-PortPlug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5
Shutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6
Blanket Shielding Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Modellierung
4.1
4.2
25
Allgemeine Modellierungsstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1
Submodelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.2
DINA-Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.3
Einige Bemerkungen zu ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Wirbelströme bei up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.1
Das globale Modell für up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . 31
I
INHALTSVERZEICHNIS
4.3
4.4
4.2.2
Vakuum ja oder nein? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.3
Auswahl der zu modellierenden Komponenten . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.4
Wahl des Elementtyps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.5
Wahl der Elementgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.6
Vereinfachtes lokales Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.7
Diskretisierung des lokalen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Wirbelströme bei MD III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1
Das globale Modell für MD III lin 36ms
. . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2
Das lokale Modell für Wirbelströme bei MD III lin 36ms . . . . . . . . 51
Halo-Strom bei up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.1
Das globale Modell für den Halo-Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.2
Das lokale Modell für Halo-Ströme bei up VDE/f III lin 36ms . . . . . 62
5 Berechnung
64
5.1
Berechnung Wirbelströme up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2
Berechnung Wirbelströme MD III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3
Berechnung Halo-Strom up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Vorläufige Ergebnisse
70
6.1
Vorläufige Ergebnisse Wirbelströme up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . 71
6.2
Vorläufige Ergebnisse Wirbelströme MD III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3
Vorläufige Ergebnisse Halo-Strom up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . . 73
6.4
Größte Beträge der Drehmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Diskussion der vorläufigen Ergebnisse
75
8 Verifizierung
77
8.1
Vorstellung und Analyse der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Weitere Wirbelstromrechnung
83
9.1
up VDE/f III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2
MD III lin 36ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
II
INHALTSVERZEICHNIS
10 Ergebnisse
85
10.1 Drehmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 Feldbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11 Verifizierung der neuen Ergebnisse
99
12 Ergebnisdiskussion
102
13 Zusammenfassung und Ausblick
104
Literaturverzeichnis
105
Verwendete Formelzeichen und Abkürzungen
108
Lateinische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Griechische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Kennungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
III
Kapitel 1
Vorwort
Seit der Nutzbarmachung des Feuers ist die Menschheit in stetig zunehmendem Maße auf
eine verläßliche Energiequelle angewiesen. Angesichts einer exponentiell zunehmenden Weltbevölkerung und sich abzeichnender Rohstoffknappheit für die bislang gängigen Verfahren
zur Energieversorgung stellt sich die Frage nach Alternativen. Diese sollen die notwendige
Verläßlichkeit mit sich bringen, ohne auf sich rasch verknappende Rohstoffreserven angewiesen zu sein. Eine Möglichkeit hierzu ist die kontrollierte Nutzung der Kernfusion durch die
Verschmelzung leichter Atomkerne.
Zur Erprobung dieser Möglichkeit wird zur Zeit im französischen Cadarache der experimentelle Kernfusionsreaktor ITER aufgebaut. ITER1 steht dabei für sowohl als Kürzel für
International Thermonuclear Experimental Reactor als auch für die lateinische Bezeichnung
des Wortes Weg“: ITER soll den Weg zur großtechnischen Nutzung der Kernfusion als Ener”
giequelle ebnen.
Der Bau von ITER erfolgt in internationaler Gemeinschaftsarbeit der EU, Indiens, der USA,
Südkoreas, Japans, Rußlands und Chinas. Ein Teil davon wird im Forschungszentrum Jülich
erbracht. Innerhalb dieses Rahmens entstand die vorliegende Diplomarbeit.
1
http://www.iter.org
1
KAPITEL 1. VORWORT
Abb. 1.1: Das ITER-Reaktorgefäß
2
Kapitel 2
Einführung
2.1
Richtungsangaben
Vor jeder anderen Erläuterung ist zunächst die Festlegung und Erklärung der verwendeten
Richtungsangaben notwendig. Wie im nachfolgenden Abschnitt 2.2 ersichtlich werden wird,
liegt die Definition der Richtungsangaben anhand eines Torus nahe. Von den folgenden beiden
Abbildungen zeigt Abb. 2.1 eine Draufsicht des Torus, Abb. 2.2 den Querschnitt.
Abb. 2.1: Erläuterung der Richtungsangaben: Draufsicht
auf den Torus
Abb. 2.2: Erläuterung der Richtungsangaben: Querschnitt durch den Torus längs
der roten Linie in Abb. 2.1
3
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG
2.2
Das Tokamak-Prinzip
Beim Experiment ITER dienen als Brennstoff die Wasserstoffisotope Deuterium und Tritium. Bei der Fusionsreaktion verschmelzen jeweils ein Deuterium- und ein Tritium-Atomkern
miteinander unter Freisetzung eines Neutrons zu Heliumkernen ( Helium-Asche“). Aufgrund
”
des Massendefekts — die Gesamtmasse des Deuteriumkerns und des Tritiumkerns ist ein
klein wenig höher als die Gesamtmasse des Neutrons und des Heliumkerns — wird Energie
freigesetzt. Dabei handelt es sich um die kinetische Energie des Neutrons (14,1 MeV) und des
Heliumkerns (3,5 MeV). Damit der Fusionsprozeß einsetzen kann, wird der Brennstoff auf
rund 150.000.000 K erhitzt. Dies ist notwendig, damit der Brennstoff in den für die Fusionsreaktion notwendigen Plasmazustand übergeht ( Fusionsplasma“) und damit die Deuterium”
und Tritiumkerne die notwendige kinetische Energie für eine ausreichend hohe Rate an Fusionsreaktionen aufweisen. [Wes1999] [ITER2008]
Angesichts der im Fusionsplasma gespeicherten thermischen Energie1 einerseits und der Empfindlichkeit des Fusionsvorgangs gegenüber Störungen andererseits stellt sich die Frage nach
einem sicheren Einschluß des Plasmas, um einen Kontakt mit der Wand des Vakuumgefäßes
zu vermeiden. Eine Möglichkeit ist dabei der Einschluß in ein zum Torus geformtes, helikales Magnetfeld, wodurch das Plasma in einen magnetischen Käfig“ eingesperrt wird. Beim
”
Tokamak-Prinzip wird dieser Ansatz durch die Überlagerung zweier Magnetfelder realisiert:
In das Fusionsplasma selbst wird nach dem Transformator-Prinzip durch eine im Toruszentrum befindliche Spule der Plasmastrom IP induziert. Dadurch entsteht um das Plasma
herum das poloidale Magnetfeld Bpol . Die Spule repräsentiert dabei die Primärseite des Transformators, das Plasma die Sekundärseite. Regelmäßig koaxial um das Reaktorgefäß herum
angeordnete Spulen erzeugen das toroidale Magnetfeld Btor 2 . Aus der Überlagerung von Bpol
und Btor ergibt sich das gewünschte helikale Magnetfeld. Zusätzliche horizontale und vertikale
Magnetfelder dienen zur Lageregelung des Plasmas. [Wes1999]
1
In [ITER2008] werden 350 MJ angegeben.
2
Hierdurch erklärt sich der Begriff Tokamak“: Tokamak ist ein russisches Kunstwort und steht für
”
toroidal’naya kamera s magnitnymi katushkami, zu deutsch etwa toroidale Kammer mit Magnetspulen“
”
4
2.3. MAJOR DISRUPTIONS
Das Transformator-Prinzip des Tokamak verhindert bislang3 den kontinuierlichen Betrieb eines Tokamak. Stattdessen wird mit aufeinander folgenden Schüssen operiert: IP und damit
Bpol können nur aufrecht erhalten werden, solange durch die Spule im Toruszentrum ein zeitveränderlicher Strom fließt. Da dies nicht unendlich lange ohne eine Änderung der Steigung,
also von
∂I
,
∂t
geschehen kann, ist irgendwann Bpol = 0 und damit das Ende eines Schusses
erreicht. Üblicherweise wird deshalb die Stromstärke in der Transformatorspule vor Beginn
eines Schusses auf ihren höchsten Wert Imax gebracht und dann während des Schusses langsam auf den Wert −Imax gefahren.
Transformatorspule
Plasmastrom I P
Vakuumgefäß
Toroidalfeldspule
Plasma
Feldlinie des helikalen
Magnetfeldes
Abb. 2.3: Prinzip des Tokamak
2.3
Abb. 2.4: ITER-Querschnitt
Major Disruptions
Störungen im Fusionsplasma können zu einem Zusammenbruch des magnetischen Einschlusses und damit zum abrupten Ende eines Schusses führen. Ein solches Ereignis wird Disruption genannt. Eine der hierfür verantwortlichen Störungen im Fusionsplasma sind chaotische
Plasmaverwirbelungen. Diese können während eines Schusses beispielsweise aufgrund von
Plasmaverunreinigungen auftreten. Ein dadurch ausgelöster Zusammenbruch des magnetischen Einschlusses wird in der ITER-Terminologie Major Disruption (kurz: MD) genannt.
Dabei gibt das Plasma zunächst in der Thermal Quench (kurz: TQ) genannten Phase seine
thermische Energie an die Umgebung ab. Anschließend erfolgt in der Current Quench (kurz:
CQ) genannten Phase ein Abriß von IP . [ITER2008], [Wes1999]
3
An Verfahren zur Aufrechterhaltung von IP ohne Transformator-Prinzip wird z.Z. geforscht.
5
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG
Das mit IP verknüpfte Feld Bpol erfährt bei einem CQ eine rasche Änderung4 auf null. Dadurch werden in den umliegenden Komponenten des Reaktors Wirbelströme induziert. Im
Zusammenspiel mit Btor und den Magnetfeldern zur Lageregelung wirkt durch die Wirbelströme auf diese Komponenten eine Kraft nach
~
F~ = i · ~l × B
(2.1)
Dabei ist Btor das mit Abstand stärkste Magnetfeld. Darauf aufbauend werden MDs in
[ITER2008] nach ihrer angenommenen Gefährlichkeit kategorisiert. MD I steht dabei für
die als am wenigsten gefährlich angenommene Kategorie, MD IV für die als am gefährlichsten angenommene. Gefährlich“ bezieht sich in diesem Zusammenhang auf das Auftreten
”
von Kräften nach (2.1): Je kürzer die Dauer des CQ ist, desto schneller ändert sich Bpol und
desto höhere Wirbelströme und dementsprechend höhere Kräfte nach (2.1) treten auf. Dabei
wird die Dauer des CQ entweder als Zeitkonstante τ bei einem als exponentiell angenommet
nen Verlauf des CQ nach ICQ (t) = IP · e− τ oder als Stromabrißzeit ∆t bei einem als linear
t
angenommenen Verlauf des CQ nach ICQ (t) = IP · 1 − ∆t
angegeben. Bei MD I findet der
CQ also in einem vergleichsweise langen5 Zeitraum statt, bei MD IV in einem vergleichsweise
IP
kurzen6 .
τ
t
Δt
Abb. 2.5: exponentieller Verlauf des CQ (blau)
und linearer Verlauf des CQ (rot);
schematische Darstellung
4
∼ 20...50ms
5
τ = 22ms, ∆t = 50ms
6
τ = 11, 3ms, ∆t = 26ms
6
2.4. VERTICAL DISPLACEMENT EVENTS UND HALO-STROM
2.4
Vertical Displacement Events und Halo-Strom
Das ITER-Vakuumgefäß weist einen D-förmigen Querschnitt auf (vergl. Abb. 2.2). Hierdurch
ist die vertikale Lage des Fusionsplasmas inhärent instabil. Diese muß durch entsprechende Magnetfelder künstlich stabil gehalten werden. Fällt diese Regelung aus, vollführt das
Plasma entweder eine rasche Aufwärtsbewegung oder Abwärtsbewegung ( upward Vertical
”
Displacement Event“ bzw. downward Vertical Displacement Event“, kurz: up VDE bzw. down
”
VDE ). Sobald es dabei mit der Wand des Vakuumgefäßes in Berührung kommt, bildet sich ein
Halo-Strom Ih aus. Dabei trennt sich ein Teil von IP vom Plasma und beginnt, in poloidaler
Richtung durch die Gefäßwand und daran angrenzende Komponenten zu fließen. Außerhalb
davon schließt sich der Stromkreis im sich um das Plasma herum ausbildenden Halo-Bereich.
Dort fließt er sowohl in poloidaler als auch in toroidaler Richtung. [Wes1999]
Der Kontakt mit der Gefäßwand stellt eine starke Störung des magnetischen Einschlusses
dar, so daß bei einem VDE früher oder später eine Disruption auftritt. Der Zeitpunkt des
dabei auftretenden CQ und dessen Dauer sind ausschlaggebend für die Stromstärke von Ih :
Je später der CQ auftritt und je länger er dauert, desto stärker prägt sich Ih aus und umgekehrt — je früher und schneller IP zum Erliegen kommt, desto weniger Strom kann aus dem
Plasma heraus fließen. Der Halo-Strom bewirkt in den von ihm durchflossenen Komponenten
ebenfalls eine Kraft nach (2.1). [Wes1999] [ITER2008]
Die VDEs werden in [ITER2008] hinsichtlich ihrer angenommenen Gefährlichkeit ähnlich
wie die MDs nach der Dauer des CQ eingestuft. Der wesentliche Unterschied besteht darin,
daß bei VDEs zusätzlich noch zwischen VDEs mit schnellem7 CQ (kurz: VDE/f ) und VDEs
mit langsamem8 CQ (kurz: VDE/s) unterschieden wird: Bei ersterem werden die durch Wirbelströme hervorgerufenen Kräfte als die deutlich höheren eingeschätzt, bei letzterem die
durch Ih hervorgerufenen Kräfte. [ITER2008]
7
in der Größenordnung mit dem CQ eines MD vergleichbar
8
Dauer > 200ms
7
KAPITEL 2. EINFÜHRUNG
Abb. 2.6: schematische Darstellung des HaloStroms
2.5
Aufgabe der vorliegenden Arbeit
Am Forschungszentrum Jülich wird für das Experiment ITER das Bauteil CXSR-PortPlug
(vergl. Abschnitt 3.4) entwickelt. Im Fokus der vorliegenden Arbeit steht eine besondere
Komponente des PortPlugs, die Shutter-Arme (vergl. Abschnitt 3.5). Um diese mechanisch
hinreichend stabil auslegen zu können, ist die Kenntnis der bei MDs und VDEs aufgrund
von Kräften nach (2.1) wirkenden Drehmomente, genauer die Werte bei der größten Belastung, notwendig. Diese sollen im Rahmen der vorliegenden Arbeit für drei Szenarien nach
[ITER2008] bestimmt werden:
1. Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei einer MD der Kategorie MD III mit
CQ mit linearem Verlauf; ∆t = 36ms
2. Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei einem VDE der Kategorie up VDE/f
III mit CQ mit linearem Verlauf; ∆t = 36ms
3. Drehmomente aufgrund von Halo-Strömen bei einem VDE der Kategorie up VDE/f III
mit CQ mit linearem Verlauf; ∆t = 36ms
Diese Auswahl ist eine Vorgabe des Forschungszentrums Jülich und stützt sich auf frühere Arbeiten, namentlich [Pan2008]. Für die Beschreibung der Szenarien existiert eine Kurzschrift.
So bedeutet beispielsweise up VDE/f III lin 36ms“, daß ein upper VDE der Kategorie III
”
mit früh auftretendem, linearen CQ mit ∆t = 36ms betrachtet wird. Im Folgenden findet
8
2.5. AUFGABE DER VORLIEGENDEN ARBEIT
ausschließlich diese Kurzschreibweise Verwendung.
Alle Tätigkeiten im Rahmen der vorliegenden Arbeit fanden im Forschungszentrum Jülich
am Institut IEF-4 — Institut für Energieforschung, Unterinstitut für Plasmaphysik — statt.
Die Betreuung dort wurde von Herrn Dr.-Ing. Olaf Neubauer übernommen. Die Aufgabe
zur Berechnung der auf den Shutter wirkenden Drehmomente wurde parallel an eine Reihe
externer Auftragnehmer vergeben, die andere Programme und Methoden benutzen. Dadurch
soll eine möglichst objektive Beurteilung aller Ergebnisse gewährleistet werden (vergl. hierzu
die Ausführungen zum numerischen Fehler in Abschnitt 4.1 und Kapitel 8).
Das PortPlug-Design-Team verwendet für die Konstruktion des PortPlugs das CAD-Programm
CATIA9 . In der vorliegenden Arbeit werden deshalb der Anschaulichkeit halber verschiedentlich CATIA-Screenshots der PortPlug-Komponenten verwendet. Für die Durchführung der
eigentlichen Aufgabe der vorliegenden Arbeit, also für Berechnung der gesuchten Drehmomente, wird das Finite-Elemente-Programm ANSYS10 verwendet.
9
10
http://www.3ds.com/de/products/catia/welcome
www.ansys.com
9
Kapitel 3
Theoretische Grundlagen
3.1
Die Maxwell’schen Gleichungen
Die theoretische Grundlage für die vorliegende Arbeit bilden die Maxwell’schen Gleichungen.
Hierbei handelt es sich um ein System von vier miteinander gekoppelten Differentialgleichungen, welche die Phänomene Optik, Elektrizität und Magnetismus als unterschiedliche
Aspekte ein und desselben Phänomens, des Elektromagnetismus, beschreiben. Sie wurden,
basierend auf vorhergehenden Arbeiten unter anderem von André-Marie Ampère [Amp1822]
und Michael Faraday [Fara1832], von James Clerk Maxwell aufgestellt und erstmalig 1865
publizert [Max1865]. Diese Gleichungen werden im Folgenden vorgestellt. Dabei entspricht
die in der vorliegenden Arbeit verwendete mathematischen Beschreibung nicht der originär
von Maxwell verwendeten Schreibweise, sondern einer heute üblichen Notation, wie sie beispielsweise in [Wol2005] verwendet wird.
Die erste Maxwell’sche Gleichung (Induktionsgesetz, Satz von Faraday) beschreibt die Erzeu~ durch die zeitliche Änderung der magnetischen
gung ( Induktion”) des elektrischen Feldes E
”
~
Flußdichte B:
~
~ = − ∂B
(3.1)
rot E
∂t
Die zweite Maxwell’sche Gleichung (Durchflutungsgesetz, Satz von Ampère) beschreibt das
~
mit dem elektrischen Strömungsfeld J~ verknüpfte magnetische Feld H:
~ = J~
rot H
10
(3.2)
3.1. DIE MAXWELL’SCHEN GLEICHUNGEN
Die dritte Maxwell’sche Gleichung beschreibt die elektrische Raumladungsdichte ρ als Quelle
~
der elektrischen Flußdichte D:
~ =ρ
div D
(3.3)
Die vierte Maxwell’sche Gleichung schließlich beschreibt die Quellenfreiheit1 der magnetischen Flußdichte:
~ =0
div B
(3.4)
~ D,
~ E,
~ H
~ und J~ beschreiben Vektorfelder und werden dementsprechend FeldDie Größen B,
größen genannt.
Zu einem genaueren Verständnis der Maxwell’schen Gleichungen verhelfen die Materialgleichungen, welche den Einfluß der Materie auf die in den Maxwell’schen Gleichungen vorkommenden Größen beschreiben:
~
~ = ε0 · ↔
ε r ·E
D
(3.5)
↔
~ = µ0 · µ r · H
~
B
(3.6)
~ (3.5) ↔
∂D
∂ ↔ ~ ↔
~
~
~
ε ·E
J = κ ·E +
= κ ·E +
∂t
∂t
(3.7)
↔
↔
↔
↔
Der Einfluß der Materie wird durch die Permittivität ε = ε0 · ε r , die Permeabilität µ = µ0 · µ r
↔
↔
↔
↔
und die elektrische Leitfähigkeit κ beschrieben. Bei ε r , µ r und κ handelt es sich um spezifische Größen, vulgo Materialparameter; ε0 und µ0 sind Naturkonstanten2 . Die Darstellung
↔
↔
↔
von ε , µ und κ erfolgt allgemein als Tensor, um Anisotropien und Inhomogenitäten im
Material zu berücksichtigen. Da in der vorliegenden Arbeit ausschließlich von isotropen, homogenen Materialien ausgegangen wird, werden sie im Folgenden als einfache Skalare — also
als Null-Tensoren — notiert.
iii
iiii
1
Quellenfreiheit in dem Sinne, daß es keine magnetischen Ladungsträger gibt
2
As
(Permittivität des Vakuums)
ε0 ≈ 8, 854 · 10−12 Vm
Vs
µ0 = 4 · π · 10−7 Am
(Permeabilität des Vakuums)
11
KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Durch Einsetzen von (3.5) bis (3.7) in die Maxwell’schen Gleichungen ergibt sich dann:
~
~ = −µ · ∂ H
rot E
∂t
~
~ =κ·E
~ + ε · ∂E
rot H
∂t
ρ
~ =
div E
ε
~ =0
div H
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Hier ist nun ersichtlich, daß die Maxwell’schen Gleichungen den Zusammenhang des elektrischen Feldes mit dem magnetischen Feld unter Berücksichtigung der beteiligten Materie,
mithin also die Elektrizität und den Magnetismus, als mit einander gekoppelte Teilaspekte
des Elektromagnetismus beschreiben.
Eine kurze Erläuterung zu (3.8): Das Minuszeichen auf der rechten Seite besagt, daß sich
das induzierte elektrische Feld so ausprägt, daß sein zugehöriges Magnetfeld der induzierenden magnetischen Feldänderung entgegen wirkt. Im Bereich des induzierten elektrischen
Feldes wird das magnetische Feld insgesamt also geschwächt. Dieses Bestreben, der Ursache
entgegen zu wirken, bezeichnet man nach [Lenz1833] als Lenz’sche Regel.
Eine kurze Erläuterung zu (3.9): Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt das elektrische Strömungsfeld als einen durch das elektrische Feld getriebenen Fluß geladener Teilchen, dessen Stärke von der elektrischen Leitfähigkeit des Leitermaterials abhängt. Dieses Strömungsfeld bezeichnet man als Leitungsstromdichte. In seiner Arbeit berücksichtigte
Ampère nur dieses Strömungsfeld. Maxwell erkannte, daß hierdurch der Strom durch einen
Kondensator nicht erklärbar ist und ergänzte Ampères Ansatz durch einen zweiten Term.
Dieser beschreibt das elektrische Strömungsfeld nicht als einen durch das elektrische Feld getriebenen Strom geladener Teilchen, sondern als die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes
in Abhängigkeit von der Permittivität des im Kondensator verwendeten Dielektrikums. Das
von jenem zweiten Term bezeichnete Strömungsfeld wird Verschiebungsstromdichte genannt.
Hierdurch ist es überhaupt erst möglich, mit Hilfe der Maxwell’schen Gleichungen die Phänomene der Optik mittels elektromagnetischer Wellen zu beschreiben. [Kad1959]
12
3.2. BERECHNUNG DER FELDGRÖSSEN MIT POTENTIALEN
3.2
Berechnung der Feldgrößen mit Potentialen
Zur Lösung einer elektromagnetischen Problemstellung, also zur Berechnung von Lösun~ und H
~ voneinander zu
gen der Maxwell’schen Gleichungen, ist es sinnvoll, die Größen E
entkoppeln. Hierduch wird eine leichter zugängliche mathematische Beschreibung erreicht.
Dies geschieht durch die Definition von Potentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die unmittelbar aus den Maxwell’schen Gleichungen folgen. Ihre Lösungen
sind von der Geometrie der Problemstellung und den Randbedingungen abhängige Potentialfunktionen, aus denen sich dann die Feldgrößen der Maxwell’schen Gleichungen berechnen
lassen. [SF1996]
Wendet man die Vektoridentität
~=0
div rot A
(3.12)
~ = rot A
~
B
(3.13)
auf (3.4) an, folgt
~ Setzt man (3.13) in (3.1) ein, folgt:
für einen beliebigen, zweifach differenzierbaren Vektor A.
!
~
∂
A
~+
rot E
=0
(3.14)
∂t
Mit der für ein hinreichend differenzierbares Skalar ϕ gültigen Vektoridentität
rot grad ϕ = 0
(3.15)
~
~ = − ∂ A − grad ϕ
E
∂t
(3.16)
folgt nach Gleichsetzung mit (3.14):
Der erste Term auf der rechten Seite von (3.16) beschreibt den durch ein zeitveränderliches Magnetfeld induzierten Anteil des elektrischen Feldes ( Wirbelfeld“); der zweite Term
”
beschreibt den durch die Auswirkung von Quellen und Senken, namentlich elektrischen Ladungen, hervorgerufenen Anteil des elektrischen Feldes. Dementsprechend läßt sich (3.16)
ausdrücken durch
~ =E
~ Wirbel + E
~ Ladungen
E
13
(3.17)
KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
mit
~
~ Wirbel = − ∂ A
E
∂t
(3.18)
~ Ladungen = − grad ϕ
E
(3.19)
und
~ beschrieben (vergl. (3.16)),
Das elektrische Feld wird also durch die Potentialfunktionen ϕ und A
~
das magnetische Feld bzw. die magnetische Flußdichte durch die Potentialfunktion A
~ als das magneti(vergl. (3.13)). Man bezeichnet ϕ als das elektrische Skalarpotential und A
sche Vektorpotential.
Wendet man die Vektoridentität
∆ϕ = div grad ϕ
(3.20)
auf (3.19) an, ergibt sich unter Berücksichtigung von (3.10) die Poisson’schen Differentialgleichung für das elektrische Skalarpotential:
∆ϕ = −
ρ
ε
(3.21)
Bei Betrachtung eines raumladungsfreien Feldgebietes vereinfach sich (3.21) zur Laplace’schen
Differentialgleichung für das elektrische Skalarpotential:
∆ϕ = 0
(3.22)
~ = grad div A
~ − ∆A
~
rot rot A
(3.23)
Die Anwendung der Vektoridentität
auf (3.13) liefert unter Berücksichtigung von (3.2) und (3.6):
~ − ∆A
~
µ · J~ = grad div A
(3.24)
Unter Verwendung der Coulomb-Eichung
~=0
div A
(3.25)
ergibt sich die Poisson’sche Differentialgleichung für das magnetische Vektorpotential:
~ = −µ · J~
∆A
14
(3.26)
3.3. DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE
Sind im betrachteten Feldbereich keine elektrischen Strömungsfelder als Quellen eingeprägt,
vereinfacht sich (3.26) zur Laplace’schen Differentialgleichung des magnetischen Vektorpotentials:
~=0
∆A
(3.27)
Den Operator ∆ bezeichnet man als den Laplace-Operator.
Die Gleichungen (3.21), (3.22), (3.26) und (3.27) sind die gesuchten Potentialgleichungen,
~ sind. Die Lösung der Potentialgleichunderen Lösungen die Potentialfunktionen ϕ und A
gen und die anschließende Berechnung der Feldgrößen aus den Potentialfunktionen ist wesentlich intuitiver und bequemer als die direkte Lösung der Mawell’schen Gleichungen, da
für partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung diverse Lösungsverfahren existieren, siehe
z.B. [BMMS2008].
Zur eindeutigen Lösung einer Differentialgleichung ist die Angabe ausreichender Nebenbedingungen nötig. Bei den Maxwell’schen Gleichungen und deren Potentialgleichungen handelt es sich dabei um die Bedingungen an den Rändern des betrachteten Gebietes. Hier zeigt
sich ein weiterer Vorteil der Potentialgleichungen: Die zu ihrer eindeutigen Lösung, also zur
Berechnung eines konkreten elektromagnetischen Feldproblems notwendigen Randbedingungen (gespeicherte elektrische Ladung, Spannung, Quellstromstärke etc.), lassen sich sehr gut
experimentell bestimmen.
3.3
Die Methode der Finiten Elemente
Bei der Methode der Finiten Elemente handelt es sich um ein numerisches Verfahren zur
Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie zählt zu den Gitterverfahren: Das betrachtete
Gebiet, für das eine Lösung gefunden werden soll, wird mit einem Mesh genannten Gitter
überzogen. Dieses Gitter beschreibt die Diskretisierung des betrachteten Gebietes in kleine
Teilgebiete einfacher Geometrie. Die Grundidee hierbei ist, daß sich Lösungen bei komplexen
Geometrien nur mit hohem Aufwand und in den meisten Fällen gar nicht analytisch finden
lassen. Im Gegensatz dazu läßt sich für eine Figur von einfacher Geometrie recht einfach eine
Lösung finden. Die Lösung für das gesamte betrachtete Gebiet ergibt sich dann als die Überlagerung der Lösungen für die Teilgebiete. Bei der Methode der Finiten Elemente kann das
15
KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Gitter unregelmäßig geformt sein, die einzelnen Teilgebiete, die Finiten Elemente, können unterschiedlich groß und unterschiedlich geformt sein. Bei zweidimensionalen Problemen werden
üblicherweise Dreiecke oder Rechtecke verwendet, bei dreidimensionalen Problemen Tetraeder, Pyramiden, Keile oder Quader. Durch die Flexibilität bei der Wahl des Gitters lassen
sich auch geometrisch komplexe Strukturen gut diskretisieren. Außerdem ist die Methode
aufgrund ihres allgemeinen Ansatzes mittels eines Funktionals (vergl. Unterabschnitt 3.3.2)
zur Lösung unterschiedlicher Feldprobleme geeignet, was sie insbesondere für MultiphysicsAnwendungen interessant macht. [BMMS2008], [CAE2005], [Sta2001]
Für die Lösung elektromagnetischer Feldprobleme werden die in Abschnitt 3.2 beschriebenen
Potentialgleichungen herangezogen. Exemplarisch soll dies im Folgenden am Beispiel des elektrostatischen Feldes gezeigt werden. Das Prinzip ist dabei [CAE2005] und [Sta2001] entlehnt,
wobei dort ein zweidimensionales Feldgebiet mit Dreiecken beschrieben wird. Die Umsetzung
auf einen Tetraeder und die entsprechende Anpassung der sich daraus ergebenden Gleichungen wurde vom Verfasser der vorliegenden Arbeit vorgenommen, um dem dreidimensionalen
Feldgebiet der Aufgabenstellung zu entsprechen.
3.3.1
Approximationsfunktion
Die Potentialfunktion wird in jedem Finiten Element lokal durch eine einfache Funktion
approximiert, deren Stützstellen Knoten genannt werden. Diese liegen in der Regel auf den
Ecken oder Kanten des Finiten Elements. Bei jener Approximationsfunktion handelt es sich
für gewöhnlich um ein Polynom, welches das Potential in Abhängigkeit der Raumkoordinaten
beschreibt. Betrachtet man zum Beispiel den einfachen Fall eines tetraederförmigen Finiten
Elements des Teilvolumens ∆V mit den vier auf den Eckpunkten des Tetraeders liegenden
Knoten 1,. . . , 4 und wählt als Ansatz der Approximationsfunktion ein lineares Polynom,
ergibt sich in kartesischen Koordinaten:
ϕ∆V (x, y, z) = c1 + c2 · x + c3 · y + (c4 · z)
(3.28)
Dabei sind die Konstanten c1 ,. . . , c4 zunächst unbekannt. Sie können ermittelt werden, indem
die Approximationsfunktion auf die Potentiale ϕ1 ,. . . , ϕ4 der Element-Knoten, die Knoten-
16
3.3. DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE
potentiale, angewendet wird. Damit ergibt

 
ϕ
1
 1  

 
 ϕ2   1

=

 
 ϕ3   1

 
ϕ4
1
sich zunächst das lineare Gleichungssystem
 

x1 y1 z 1
c
  1 
 

x2 y2 z 2   c 2 
·

(3.29)
 

x3 y3 z 3   c 3 
 

x4 y4 z 4
c4
mit den Knotenkoordinaten x1 ,. . . x4 , y1 ,. . . y4 , z1 ,. . . z4 (vergl. Abb. 3.1).
Die Umstellung von (3.29) liefert die gesuchten Konstanten:

 
 
c
g
g
g
g
 1   11 12 13 14  

 
 
 c2   g21 g22 g23 g24  

=
·

 
 
 c3   g31 g32 g33 g34  

 
 
c4
g41 g42 g43 g44
ϕ1



ϕ2 


ϕ3 

ϕ4
(3.30)
Die Konstanten gij sind dabei rein von der Geometrie des Finiten Elements abhängig. Dementsprechend werden sie als Formfaktoren bezeichnet. Es ergibt sich damit für die Approximationsfunktion
ϕ∆V (x, y, z) = ϕ1 · α1 + ϕ2 · α2 + ϕ3 · α3 + ϕ4 · α4
=
4
X
ϕi · α i
(3.31)
i=1
mit den Formfunktionenen α1 ,. . . α4 . Diese beschreiben anhand der Formfaktoren die Form
und in Abhängigkeit der Raumkoordinaten die Position des Finiten Elements:
αi = g1i + g2i · x + g3i · y + g4i · z
(3.32)
Sind alle Knotenpotentiale bekannt, ist die Approximationsfunktion (3.31) — und damit die
Potentialfunktion des Finiten Elements — eindeutig bestimmt. Üblicherweise ist das nicht
der Fall, da in der Praxis Randwertprobleme berechnet werden, so daß nur einige wenige Knotenpotentiale bekannt sind und somit vorgegeben werden können. Die unbekannten
Knotenpotentiale werden mittels eines Variationsansatzes bestimmt. Dieser wird im nächsten
Abschnitt vorgestellt.
17
KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
φ
φ
φ
φ
Abb. 3.1: tetraederförmiges Finites Element
3.3.2
Variationsansatz
Allgemein gilt für den Betrag der Energiedichte des elektrostatischen Feldes:
ε ~ 2
wel = · E 2
(3.33)
Für den Betrag der in einem einzelnen Finiten Element des Volumens ∆V gespeicherten
elektrischen Feldenergie, der Elementenergie, gilt dann:
Z Z Z 2
ε
~
W∆V = ·
E dV
2
(3.34)
∆V
Nach Einsetzen von (3.19) in (3.34) ergibt sich in kartesischen Koordinaten:
Z Z Z " 2 2 2 #
ε
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
W∆V = ·
+
+
dV
2
∂x
∂y
∂z
(3.35)
∆V
Setzt man nun die Approximationsfunktion (3.30) ein, folgt:
W∆V
4
4 ZZZ
ε XX
= ·
ϕi · ϕj · (αix · αjx + αiy · αjy + αiz · αjz ) dV
2 i=1 j=1
(3.36)
∆V
W∆V ist dabei das eingangs erwähnte Funktional. Im vorliegenden Beispiel ist es abhängig
von der Potentialfunktion für das elektrostatische Feld. Sind die Werte aller Knotenpotentiale
bekannt, ist es eindeutig bestimmt und liefert damit eine eindeutige Lösung. In der Praxis
ist dies aber nicht der Fall. Vielmehr sind die Werte der Knotenpotentiale nur an einigen
Rändern bekannt bzw. werden dort vorgegeben. Für alle anderen Knoten muß das Potential
ausgerechnet werden, um eine vollständige Beschreibung des elektrischen Feldes zu erhalten.
Das geschieht gemäß des fundamentalen Satzes der Physik, nach dem jedes System stets
18
3.3. DIE METHODE DER FINITEN ELEMENTE
den Zustand minimaler Energie einnimmt. W∆V beschreibt den Energieinhalt des elektrischen Feldes. Demzufolge ergibt sich dann eine physikalisch sinnvolle Lösung, wenn W∆V in
Abhängigkeit der Knotenpotentiale minimiert wird, die Knotenpotentiale also entsprechend
variiert werden. Es muß also gelten:
∂W∆V !
=0
∂ϕi
(3.37)
Daraus folgt:
ε·
4
X
j=1
ϕj ·
ZZZ
(αix · αjx + αiy · αjy + αiz · αjz ) dV = 0
(3.38)
∆V
Aus (3.38) ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
↔
ϕ = ~0
ε· S ·~
(3.39)
↔
Hierbei ist S die Elementmatrix mit den Elementen
ZZZ
(αix · αjx + αiy · αjy + αiz · αjz ) dV
sij =
(3.40)
∆V
und ϕ
~ der Potentialvektor mit den Knotenpotentialen ϕi . Ein solches Gleichungssystem wird
für jedes Finite Element aufgestellt. Alle Gleichungssysteme werden dann zu einem globalen
Gleichungssystem zusammengesetzt:
↔
ϕ = ~0
E ·~
(3.41)
Dabei werden jene Matrixelemente aufsummiert, die wenigstens einen Knoten gemeinsam ha↔
ben. In der Permittivitätsmatrix E sind Elemente also nur dann von null verschieden, wenn
die beiden Knoten, welche durch die jeweiligen Element-Indizes bezeichnet werden, mittels
einer Elementkante miteinander verbunden sind. Es ergibt sich damit eine nur schwach besetzte Matrix.
Die Lösung von (3.41) ergibt die gesuchten Knotenpotentiale und damit die vollständige
Lösung des Feldproblems. Für Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme sei an dieser
Stelle auf die entsprechende Fachliteratur verwiesen, beispielsweise [EMNW2005], [CAE2005]
oder [BMMS2008]. Aus den so berechneten Knotenpotentialen wird im anschließenden PostProcessing das entsprechende Feld — im vorliegenden Beispiel also das elektrostatische Feld
— berechnet. Hierzu siehe zum Beispiel [CAE2005].
19
KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
3.4
CXRS-PortPlug
Mit dem Experiment ITER soll die prinzipielle Eignung des Tokamak-Prinzips zum Bau und
Betrieb eines Fusionsreaktors gezeigt werden. Angestrebtes Ziel ist die Aufrechterhaltung
der Fusionsreaktion für 300s. . . 500s3 bei einem Faktor Q = 10, d. h., die Fusionsreaktion
soll zehnmal soviel Energie liefern, wie zu ihrer Aufrechterhaltung benötigt wird. Eines der
Kernprobleme ist dabei die Helium-Asche, weil diese die Fusionsreaktion hemmt. Deshalb ist
eine genaue Messung ihrer Verteilung im Plasma in Echtzeit unerläßlich. Hierzu bedient man
sich der Charge Exchange Recombination Spectroscopy“, kurz CXRS: Ein Strom neutraler
”
Teilchen wird auf das Fusionsplasma gerichtet. Bei dessen Interaktion mit den Plasmateilchen
wird elektromagnetische Strahlung freigesetzt, aus der sich Rückschlüsse auf den Zustand des
Fusionsplasmas ziehen lassen. Neben der Verteilung der Helium-Asche im Plasma handelt es
sich dabei um weitere für den Betrieb wichtige Größen, wie die Rotation des Plasmas und
die Temperatur der Ionen im Plasma. [Hell2002], [ITER2008], [Pie2001]
Da der Einschluß des Fusionsplasmas in das helikale Magnetfeld ist nicht zu 100% sicher
ist, besteht immer die Gefahr einer Disruption oder eines Ausbruchs des Plasmas in Richtung Gefäßwand. Aufgrund der damit einhergehenden thermischen und elektromagnetischen
Belastung ist die Anbringung von Geräten zur Messung der CXRS-Strahlung direkt im Vakuumgefäß unmöglich. Stattdessen wird die Strahlung mittels des CXRS-PortPlugs aus dem
Reaktorgefäß heraus und zu den Meßgeräten hin geleitet. Zu diesem Zweck befindet sich
im Innern des PortPlug ein System von Spiegeln. Der Ausdruck PortPlug besagt, daß die
Komponente für einen der rings um das Vakuumgefäß angebrachten Ports gedacht ist. Dabei
handelt es sich um regelmäßig alle 20 ◦ in toroidaler Richtung angebrachte, in ihrer Geometrie
genormte Aussparungen in der Wand des Vakuumgefäßes, wodurch das ITER-Vakuumgefäß
eine 20 ◦ -Drehsymmetrie aufweist. Damit die PortPlugs passgenau in den Ports sitzen, ist
deren äußere Form in entsprechenden ITER-Richtlinien vorgegeben.
3
angestrebte Dauer eines einzelnen Schusses
20
3.4. CXRS-PORTPLUG
Ports
Spiegel
CXRSPortPlug
first
mirror
zu
ins den
tru Me
me ßnte
n
CXRSStrahlung
vom
Plasma
Abb. 3.2: Position des PortPlug im ITERi i i i
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiii
Abb. 3.3: Spiegelsystem im Innern des CXRSPortPlug; der Weg der elektromagnetischen Strahlung ist grün gekennzeichnet
Der PortPlug fungiert als Übergang zwischen den Bedingungen im Innern des Reaktorgefäßes
(Vakuum, elektromagnetische und radioaktive Strahlung, Plasmaausbrüche) und der Außenwelt. Das aktuelle Design sieht dafür dreiteiligen Aufbau vor [Sad2009]:
• Retractable Tube: Röhre, die den First Mirror und den Shutter umschließt und so
ausgelegt ist, daß sie zu Wartungszwecken aus dem PortPlug herausgezogen werden
kann
• Shielding Cassette: Hülle um die Retractable Tube zum Schutz vor radioaktiver
Strahlung, an deren hinterem — dem plasmaabgewandtem — Ende die Retractable
Tube befestigt ist
• Main Shell: tragende Außenhülle der Komponente, an deren hinterem Ende die Shielding Cassette befestigt ist; letztere ist außerdem ist vorderen Drittel der Main Shell mit
vier zusätzlichen Halterungen mit ersterer verbunden; entspricht den ITER-Richtlinien
für die äußere Form eines PortPlugs
21
KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Main Shell
Shielding Cassette
Retractable Tube
Abb. 3.4: Hauptkomponenten des
CXRS-PortPlug
3.5
Shutter
Die Strahlungsmessung erfolgt nicht kontinuierlich. Daher ist es möglich, die Verunreinigung
des sich in direkter Sichtlinie zum Plasma befindlichen Spiegels ( First Mirror“) durch vom
”
Plasma emittierten Teilchen mit Schutzklappen, Flaps genannt, zu minimieren. Diese sind nur
dann geöffnet, wenn eine Messung der CXRS-Strahlung vorgenommen wird und ansonsten
zum Schutz des First Mirrors geschlossen. Da der Shutter dem Vakuum des Reaktorgefäßes
ausgesetzt ist, wird er so ausgelegt, daß bei seinem Betrieb keine Teile aneinander reiben:
Die Flaps befinden sich am plasmaseitigen Ende der Shutter-Arme. Auf das hintere Ende
der Arme drückt ein hydraulischer Zylinder, der im Innern der Retractable Tube befestigt
ist. Dadurch werden die Arme auseinander geschoben bzw. bewegen sich bei nachlassendem Druck in ihre Ausgangsposition zurück. Dadurch öffnen bzw. schließen sich die Flaps.
Die Bewegung wird von Bumpern genannten Dämpfern eingeschränkt und gedämpft. Zum
Ableiten von Wärme sind die Shutter-Arme mit metallenen Leitungen zum Transport eines
Kühlmediums umwickelt, die der Bewegung der Shutter-Arme folgen. Auf ihnen sind am plasmazugewandten Ende des Shutters die Flaps befestigt sind, so daß diese ebenfalls gekühlt
werden. Durch die Bumper laufen ebenfalls metallene Kühlleitungen, welche von und zur
Retractable Tube verlaufen.[Sad2009]
22
3.5. SHUTTER
hydraulischer
Zylinder
Bumper
rechter
Flap
Bumper
Bumper
linker
Flap
Abb. 3.5: Aufbau des Shutters; Schutter-Arme
türkis gefärbt, Leitungen für Kühlmedium gelb gefärbt
Abb. 3.6: Vergrößerung: Sitz der Flaps auf den
Leitungen für das Kühlmediumi i i i
iiiiiiiiiiiiiii
Innere
Bumper
Äußere
Bumper
Abb. 3.7: Vergrößerte Ansicht der Bumper
Die Shutter-Arme haben eine Länge von 1, 47m und sind ausschließlich am hydraulischen
Zylinder befestigt. Angesichts des dadurch im Verhältnis zu den Abmessungen der übrigen
Bauteile des PortPlugs langen Hebelarms wird seitens des PortPlug-Design-Teams hier deshalb der kritische Punkt der gesamten PortPlug-Konstruktion hinsichtlich der durch Kräfte
nach (2.1) hervorgerufenen Drehmomente vermutet. Ein besonderes Augenmerk gilt dabei
der Auswirkung der Flaps, da diese ganz am Ende des Hebelarmes sitzen. Obwohl sie nahe
beieinander stehen, berühren sich die Flaps gegenseitig bei geschlossenem Shutter nicht, es
fließt also kein Strom zwischen ihnen.
23
KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
3.6
Blanket Shielding Modules
Zum Schutz vor den Belastungen durch den Fusionsprozeß und den Auswirkungen von VDEs
und MDs ist die Innenseite des Vakuumgefäßes mit aktiv gekühlten Strukturen aus Stahl
belegt. Diese Blanket Shielding Modules (kurz: BSMs) bedecken die Innenseite des Vakuumgefäßes nahezu vollständig. Sie sind dabei entweder direkt an der Gefäßwand oder an
einem der PortPlugs befestigt. Letzteres geschieht, um es den PortPlug-Designern innerhalb
eines gewissen Rahmens zu ermöglichen, das an Ihrem PortPlug zu befestigende BSM den
Erfordernissen ihres PortPlugs anzupassen. In jedem Fall erfolgt die Befestigung an einigen,
wenigen Punkten, um den Fluß der Wirbelströme und des Halo-Stroms aus den BSMs heraus
zu begrenzen.
BSM des
PortPlug
Abb. 3.8: CXRS-PortPlug ohne BSM
Abb. 3.9: CXRS-PortPlug mit BSM
24
Kapitel 4
Modellierung
4.1
Allgemeine Modellierungsstrategie
Die Verfügbarkeit eines unendlich schnellen Rechners würde dieses Kapitel überflüssig machen, denn die Kunst der Modellierung einer Geometrie für die Feldberechnung mittels der
Methode der Finiten Elemente besteht darin, mit begrenzt zur Verfügung stehender Rechenkapazität ein hinreichend genaues Ergebnis zu erzielen: Wie alle numerischen Verfahren liefert
auch die Methode der Finiten Elemente keine zu 100% genaue Lösung, vielmehr wird das
Ergebnis immer mit einem Fehler behaftet sein (vergl. [EMNW2005]). Hinreichend genau“
”
bedeutet in diesem Zusammenhang, daß der Fehler innerhalb der gewünschten, realisierbaren Genauigkeit liegt. Bei der Modellierung gilt es deshalb, das Mesh einerseits fein genug
zu wählen, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen, und andererseits grob genug, um
der Begrenztheit der real zur Verfügung stehenden Rechenkapazität zu entsprechen. Hierbei
spielt der Zusammenhang zwischen der Anzahl der zu lösenden Gleichungen und der davon abhängigen Geschwindigkeit der Lösungsverfahren die entscheidende Rolle, denn jeder
zusätzliche Knoten bedeutet eine zusätzliche Zeile im linearen Gleichungssystem (3.41).
Bei numerischer Simulation zeitabhängiger Prozesse gilt entsprechendes für die zeitliche Diskretisierung: Die Anzahl der Rechenschritte muß die zeitliche Abhängigkeit genau genug für
den gewünschten Fehler abbilden und darf gleichzeitig nicht die Grenzen der verfügbaren
Rechenkapazität überschreiten. Die Dauer der gesamten Berechnung ist dabei linear von der
Anzahl der Rechenschritte abhängig. Insgesamt stellt also jedes numerische Modell immer
einen Kompromiss zwischen Anspruch und Wirklichkeit dar.
25
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
4.1.1
Submodelling
In der vorliegenden Arbeit wird die Auswirkungen der durch das Magnetfeld des Plasmas im
Shutter induzierten Wirbelströme und der Halo-Ströme untersucht. Prinzipiell müßte also
modelliert werden: Das Plasma, weil es die Quelle der Ströme ist; das Magnetspulensystem,
weil es die Kraft nach (2.1) bewirkt; das Reaktorgefäß, weil es nahezu ausschließlich aus
elektrisch gut leitfähigen Materialien besteht, so daß die Stromverteilung darin Einfluß auf
die Verteilung der Ströme im Shutter hat; den CXRS-PortPlug samt Innenleben, weil hier
die Auswirkungen der Ströme bestimmt werden sollen; sämtliches Vakuum im Reaktorgefäß
und im PortPlug; den gesamtem Außenraum, d.h. strenggenommen das gesamte restliche
Universum, weil das elektromagnetische Feld erst in unendlicher Entfernung verschwindet
(vergl. [Sta2001]); in praxi genügt hierfür ein hinreichend groß gewählter Außenraum.
Beachtet man, daß zwischen den für die vorliegende Arbeit wesentlichen charakteristischen
Abmessungen der Shutter-Details und jenen des Reaktorgefäßes mehrere Größenordnungen
liegen; beachtet man weiterhin, daß bei einem zu abrupten Wechsel der Feinheit der Diskretisierung um mehrere Größenordnungen numerische Fehler entstehen, mithin also ein Über”
gangsbereich“ zwischen Gebieten feiner Diskretisierung und Gebieten grober Diskretisierung
modelliert werden muß; beachtet man außerdem, daß ein zeitabhängiges Problem vorliegt; so
stellt man fest, daß, würde man unter diesen Umständen alle o.g. Teile des Feldgebietes modellieren, das Finite-Elemente-Modell hinsichtlich der zur Verfügung stehenden Rechenkapazität1 viel zu groß wäre. Deshalb wird als allgemeine Modellierungsstrategie das Submodelling
verwendet. Dabei werden zwei Modelle erstellt: Zum einen ein hinsichtlich der Diskretisierung grob aufgelöstes globales Modell eines 20 ◦ -Sektors2 des ITER-Vakuumgefäßes inklusive
der entsprechenden BSMs, des Plasmas, der Spulen und des Außenraumes; zum anderen ein
fein aufgelöstes lokales Modell der Shutter-Arme mit allen sonstigen für die Berechnung der
Drehmomente notwendigen Details.
Vom CXRS-PortPlug wird im globalen Modell nur die Main Shell modelliert. Deren Inneres,
also Shielding Cassette, Retractable Tube und Shutter, werden mit einem leitfähigen Material
substituiert, dessen elektrische Leitfähigkeit einer seitens des PortPlug-Design-Teams als hin1
64-Bit Intel Xeon 5160 Dual Core Prozessor, 32 GB Arbeitsspeicher
2
resultiert aus der 20 ◦ -Drehsymmetrie der Ports (s. Abschnitt 3.4)
26
4.1. ALLGEMEINE MODELLIERUNGSSTRATEGIE
reichend genau angenommenen, mittleren elektrischen Leitfähigkeit von Shielding Cassette,
Retractable Tube, Shutter und dem Vakuum im Innern der Main Shell entspricht. Hiermit
~ Shutter )
soll die Wirkung der Wirbelströme auf das B-Feld am Orte des Shutters (kurz: B
berücksichtigt werden.
Bei der Ermittlung der durch Wirbelströme aufgrund von CQs hervorgerufenen Drehmomente wird nun so vorgegangen, daß in das globale Modell der zu dem jeweils betrachteten
Szenario gehörende Verlauf des Plasmastromes als Quellstromdichte eingeprägt wird. Aus der
~ Shutter . Das zugehörige magnetische
Berechnung ergibt sich dann der zeitliche Verlauf von B
Vektorpotential wird als Randbedingung in das lokale Modell eingeprägt. Daraus ergeben
sich im lokalen Modell die dort gesuchten Wirbelströme, aus denen wiederum die auf die
Shutter-Arme wirkendenden Kräfte nach (2.1) und die resultierenden Drehmomente berechnet werden.
Die Drehmomente aufgrund des Halo-Stromes werden ähnlich ermittelt. Hier wird im globalen Modell der Halo-Strom als Quellstromdichte in die Wand des Vakuumgefäßes eingeprägt.
Dessen in den Bereich des Shutters vordringender Anteil wird dann als Quellstromdichte in
das lokale Modell eingeprägt. Als Randbedingung dient hierbei das Vektorpotential des sich
im globalen Modell am Orte des Shutters aus Btor und den Feldern zur Lageregelung des
Plasmas ergebenden B-Feldes. Aus den Strömen und Feldern werden dann im lokalen Modell die durch den Halo-Strom verursachten Drehmomente berechnet. Dies insgesamt auf die
Shutter-Arme wirkenden Drehmomente ergeben sich dann aus der Überlagerung der Drehmomente durch die Wirbelströme und die Halo-Ströme.
Die Idee der Anwendung des Submodellings stammt nicht originär vom Verfasser der vorliegenden Arbeit. Es handelt sich um eine Festlegung seitens des Forschungszentrums, die auch
für die externen Auftragnehmer gilt.
27
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
4.1.2
DINA-Code
Seitens des ITER-Konsortiums wurden mit einer DINA-Code 3 genannten Software Simulationen des zeitlichen Verlaufs der Stromdichte von IP bei den in [ITER2008] festgelegten MDund VDE-Szenarien inklusive der CQs durchgeführt. Dabei wird das ITER-Vakuumgefäß
vereinfachend als rotationssymmetrisch angenommen und die Simulation zweidimensional in
einer Querschnittsfläche des Vakuumgefäßes durchgeführt. Die Beschreibung der Stromdichte
von IP erfolgt, indem IP in einzelne Stromfäden unterteilt wird, deren Position und Betrag
sich mit der Zeit ändert. Zur Erläuterung siehe folgende Abbildung:
Abb. 4.1: Beispiel zur Erläuterung der DINADaten; die roten Punkte repräsentieren jeweils einen Stromfaden; schematische Darstellung
Die r-Achse und die z-Achse spannen ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem
auf. Der Strom wird als in die Bildebene hinein fließend angenommen. Output des DINACodes sind Tabellen, in denen für jeden Zeitpunkt die r-Koordinate, die z-Koordinate und die
Stromstärke einer Reihe von Punkten (rot in Abb. 4.1), die jeweils einen der Stromfäden der
Stromdichte von IP repräsentieren, aufgelistet sind. Beispielsweise könnten die DINA-Daten
für Punkt 1 in Abb. 4.1 zu einem gegebenen Zeitpunkt wie folgt lauten:
r = 5, 286m
z = 0, 985m
I = 1500A
3
zweidimensionale Plasmasimulation
28
4.1. ALLGEMEINE MODELLIERUNGSSTRATEGIE
Aus den Daten aller Punkte zu allen Zeitpunkten ergibt sich dann die Beschreibung des zeitlichen Verlaufs der Stromdichte von IP .
Für den bei einem VDE auftretenden Halo-Strom wurden ebenfalls Simulationen mit dem
DINA-Code durchgeführt. Ebenso wie beim DINA-Output für die Stromdichte von IP sind
beim DINA-Output für Ih bei jedem Zeitpunkt für zwanzig Punkte jeweils eine r-und eine zKoordinate (gleiches Koordinatensystem wie in Abb. 4.1) sowie der Betrag einer Stromstärke
gegeben. Außerdem sind Koordinaten für einen weiteren Punkt ohne Angabe einer Stromstärke
gegeben. Letzterer beschreibt jenen Punkt, an dem das Plasma die Gefäßwand berührt. Die
anderen Punkte beschreiben, vom jenem Berührpunkt des Plasmas aus betrachtet, für jeden
Zeitpunkt längs der Gefäßwand zehn Punkte im Uhrzeigersinn und zehn Punkte entgegen
des Uhrzeigersinns. Die Interpretation jener Daten ist dabei folgendermaßen vorzunehmen:
Bei einem Punkt im Uhrzeigersinn entspricht die angegebene Stromstärke dem Betrag des
Halo-Stroms, der insgesamt zwischen dem Berührpunkt des Plasmas und dem betreffenden
Punkt in die Gefäßwand eintritt. Bei einem Punkt entgegen dem Uhrzeigersinn entspricht die
angegebene Stromstärke dem Betrag des Halo-Stroms, der insgesamt zwischen dem Berührpunkt des Plasmas und dem betreffenden Punkt aus der Gefäßwand austritt. Es wird also
der Eintritts- und Austrittsbereich des Halo-Stroms berschrieben. Im Folgenden werden diese
Punkte werden wie folgt nummeriert: Der dem Berührpunkt im Uhrzeigesinn nachfolgende
Punkt ist Punkt 1, dessen nachfolgender Punkt ist Punkt 2 usw., bis hin zu Punkt zehn. Die
Nummerierung der Punkte entgegen des Uhrzeigersinns erfolgt ebenso, nur mit umgekehrtem
Vorzeichen (Punkt −1, Punkt −2 usw. bis Punkt −10). Zur Verdeutlichung siehe Abb. 4.2
und Abb. 4.3.
Anhand von Abb. 4.2 und Abb. 4.3 läßt außerdem sich eine Besonderheit des Halo-Stroms
erkennen: Sein Ein- und Austrittsbereich wandert“ mit der Zeit entlang der Gefäßwand. Dies
”
hängt damit zusammen, daß sich der Halo-Bereich um das Plasma herum ausbildet. Bewegt
sich das Plasma, wie es bei einem VDE der Fall ist, bewegt sich auch der Halo-Bereich. Auf
diese Besonderheit gilt es, bei der Erarbeitung einer Modellierungsstrategie für Ih Rücksicht
zu nehmen.
Für alle in der vorliegenden Arbeit betrachteten Szenarien dienen die DINA-Daten als die
29
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
quantitative Grundlage für die in das globale Modell einzuprägenden Quellen.
Punkt −2
Punkt 1
Austritts−
bereich
z
Punkt −10
Austritts−
bereich
Punkt −1
Punkt 2
Eintritts−
bereich
Berühr−
punkt
z
Punkt 10
r
r
Abb. 4.2: schematische Darstellung der DINADaten für Ih zum Zeitpunkt t1 :
Berührpunkt (gelb); zehn Punkte, die die Stromverteilung von
Ih im Bereich des Eintritt in die
Gefäßwand beschreiben (rot); zehn
Punkte, die die Stromverteilung von
Ih im Bereich des Austritts aus der
Gefäßwand beschreiben (blau)
4.1.3
Eintritts−
bereich
Abb. 4.3: schematische Darstellung der DINADaten für Ih zum Zeitpunkt t2 >
t1 : Berührpunkt (gelb); zehn Punkte, die die Stromverteilung von
Ih im Bereich des Eintritt in die
Gefäßwand beschreiben (rot); zehn
Punkte, die die Stromverteilung von
Ih im Bereich des Austritts aus der
Gefäßwand beschreiben (blau)
Einige Bemerkungen zu ANSYS
Alle vom Verfasser der vorliegenden Arbeit dazu befragten ANSYS-Anwender mit mehrjähriger Erfahrung sind sich in zwei Dingen einig:
1. ANSYS ist ein äußerst komplexes und mächtiges Programm.
2. ANSYS ist kompliziert, schwer zu bedienen und nur unzureichend dokumentiert.
Für ANSYS-Anwender ohne Erfahrung — wie zum Beispiel dem Verfasser der vorliegenden
Arbeit zu Beginn seiner Tätigkeit im Forschungszentrum — folgt daraus, daß bei der Arbeit
mit ANSYS nötig ist, Ideen zur Modellierung oder Berechnung schlichtweg auszuprobieren,
um festzustellen, ob und wie ANSYS diese Ideen umsetzt. Dementsprechend wird davon in der
vorliegenden Arbeit Gebrauch gemacht. Die hier geschilderten Vorgehensweise sind das produkt oft mehrwöchiger ANSYS-Testreihen“, die zu schildern den Rahmen sprengen würde.
”
30
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Deshalb werden hier nur die letztendlich umgesetzten Methoden vorgestellt und erläutert.
Eine Möglichkeit, ANSYS zu bedienen, besteht in der Eingabe von Befehlen in die ANSYSKommandozeile. Schreibt man mehrere dieser Befehle untereinander weg in eine *.txt-Datei
und weist ANSYS an, diese Datei einzulesen, arbeitet ANSYS die dort abgelegten Befehle
von oben nach unten ab. Diese Methode wird in der vorliegenden Arbeit bevorzugt angewandt. Die Dateien mit den ANSYS-Befehlen werden Makros genannt. Zusammen mit der
graphischen Benutzeroberfläche erfolgt damit die Bearbeitung der Aufgabenstellung der vorliegenden Arbeit in ANSYS.
Das grundlegende Koordinatensystem von ANSYS — globales Koordinatensystem genannt —
ist ein dreidimensionales, kartesisches Koordinatensystem. Sofern keine anderen Koordinatensysteme definiert und aktiviert werden, verwendet ANSYS dieses Koordinatensystem für
die Interpretation der Positions- und Richtungsangaben von Ein- und Ausgabedaten.
4.2
Wirbelströme bei up VDE/f III lin 36ms
Seitens des PortPlug-Design-Teams wird die Kenntnis der Drehmomente beim Szenario
up VDE/f III lin 36ms als die dringlichste erachtet. Dementsprechend widmet sich die vorliegende Arbeit zuerst diesem Szenario. Mit den Betreuern der vorliegenden Arbeit wurde
abgesprochen, daß der Verfasser der vorliegenden Arbeit das lokale Modell zu erstellen habe.
Die Modellierung des globalen Modells wurde dem Forschungszentrums-Mitarbeiter Anatoli
Panin übertragen. Diese Aufteilung ergab sich aus organisatorischen Grnden.
4.2.1
Das globale Modell für up VDE/f III lin 36ms
Zum Verständnis des Vorgehens bei der Erstellung des lokalen Modells ist eine kurze Erläuterung des globalen Modells zur Berechnung der und Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei up VDE/f III lin 36ms sinnvoll. Siehe dazu die folgenden Abbildungen:
31
1
1
ELEMENTS
MAT NUM
ELEMENTS
MAT NUM
APR 9 2010
15: 42: 24
PLOT NO.
1
APR 9 2010
15: 34: 06
PLOT NO.
1
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Abb. 4.4: Gesamtansicht des globalen Modells
zur Berechnung der Drehmomente
aufgrund von Wirbelströmen bei up
VDE/f III lin 36msi i i i i i i ii i i i i
iiiiiiiiii
1
ELEMENTS
MAT NUM
APR 9 2010
15: 47: 16
PLOT NO.
1
Abb. 4.5: Vergrößerte Seitenansicht des globalen Modells zur Berechnung der
Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei up VDE/f III lin 36ms
Abb. 4.6: Ansicht der elektrisch leitfähigen Teile des globalen Modells zur Berechnung der Drehmomente aufgrund
von Wirbelströmen bei up VDE/f III
lin 36ms
Abb. 4.7: Schnitt am Ort des PortPlugs im
globalen Modell zur Berechnung der
Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei up VDE/f III lin 36ms4
32
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Abb. 4.4 und Abb. 4.5 zeigen die Finiten Elemente des globale Modells inklusive der als
Vakuum definierten Elemente (dunkelviolette Elemente). In Abb. 4.4 ist der 20 ◦ -Sektor zu
erkennen, den das globale Modell abbildet. Als Vakuum ist dabei der Außenraum, das Vakuum im Reaktorgefäß sowie das Plasma definiert. Die Definition als Vakuum bewirkt, daß
die betreffenden Finiten Elemente als per se elektrisch nicht leitfähig definiert werden und
dort somit auch keine Wirbelströme induziert werden; für diese Elemente wird nur das magnetische Feld berechnet, die Elemente weisen als Freiheitsgrade also die Komponenten des
magnetischen Vektorpotentials auf. Dies ist nur scheinbar ein Widerspruch zu der Einprägung
von Stromdichtequellen im Plasma, da diese in ANSYS alle anderen Vorgaben überschreibt.
Die Definition einer Stromdichte in einem Finiten Element überschreibt außerdem immer die
von ANSYS aufgrund von Wirbelströmen berechnete Stromdichte in als elektrisch leitfähig
definierten Teilen.
Abb. 4.6 zeigt die als elektrisch leitfähig definierten Teile des globalen Modells. Diese weisen
als Freiheitsgrade die Komponenten des magnetischen Vektorpotentials und das elektrische
Skalarpotential auf. Einen Ausschnitt davon zeigt Abb. 4.7. Hierbei handelt es sich um einen
Schnitt durch PortPlug und dessen unmittelbare Nachbarschaft. Die grünen Elemente im Innern des PortPlug sind das in Unterabschnitt 4.1.1 erläuterte Material zur Substitution der
elektrischen Leitfähigkeit von Shielding Cassette, Retractable Tube, Shutter und Vakuum im
Innern der Main Shell. Dieser Bereich ist es, von dem die Rede ist, wenn bezogen auf das
globale Modell von am Orte des Shutters“ gesprochen wird.
”
In dem globalen Modell für up CDE/f III ln 36ms sind keiner Magnetspulen modelliert.
Stattdessen wird Btor dort mittels einer entsprechenden Randbedingungen erzeugt. Hintergrund hierfür ist, daß im Bereich des Plasmas der Verlauf von Btor sehr gut mit der Gleichung
Btor = 5, 3T ·
6, 2m
R
(4.1)
beschrieben werden kann, wobei R der Abstand zum Mittelpunkt des Plasmas beschreibt.
[Aga2007]. Für das globale Modell wird angenommen, daß der mit dieser Gleichung beschriebene Verlauf des Btor auch im Bereich des Shutters gilt, so daß auf die Modellierung der
Spulen verzichtet wird. Der Außenrand wird mittels sog. Infinite Elements dargestellt. Dabei
4
dieses Bild wurde [Pan2009] entnommen
33
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
handelt es sich um eine Schicht Finiter Elemente, die ein Auslaufen des Feldes ins Unendliche
1
PLOT NO.
1
simulieren.
Abb. 4.8: Infinite Elements
(rot eingefärbt)
Die Beschreibung des aus den DINA-Daten gewonnene zeitlichen Verlaufs der Plasmastromdichte erfolgt anhand von 48 Zeitpunkten. Dabei ist der erste Zeitpunkt t1 der Moment
unmittelbar vor Einsetzen des VDE, der letzte Zeitpunkt t48 das Ende des VDE. Es gilt
t1 = 100ms und t48 = 903ms. Die zeitliche Auflösung erfolgt dabei progressiv, d.h. die Dichte
der Zeitpunkte ist gegen Ende der Rechnung wesentlich höher als zu Beginn der Rechnung
(vergl. z.B. Abb. 6.1), weil dort der interessierende Bereich angenommen wird.
4.2.2
Vakuum ja oder nein?
Die wichtigste Vorüberlegung zur Modellierung des lokalen Modells lautet: Soll das den Shutter umgebende Vakuum modelliert werden oder nicht? Falls ja, wird das Vektorpotential
des aus dem globalen Modell gewonnenen B-Feldes als Randbedingung auf den Außenflächen des Vakuums eingeprägt; falls nein, wird das Vektorpotential direkt auf die Oberfläche der Shutter-Komponenten eingeprägt. In letzteren Fall wären dann allein die ShutterKomponenten das Feldgebiet des lokalen Modells.
Die Modellierung des Vakuums hat den Vorteil, daß sich der Skin-Effekt in den ShutterKomponenten korrekt ausprägt, während bei Einprägung des Vektorpotentials direkt auf die
Oberfläche der Komponenten das B-Feld dort vorgegeben ist. Dort weicht es deshalb mehr
oder weniger stark vom korrekten Wert ab.
34
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Die Modellierung des Vakuums hat folgenden Nachteil: Der gesamte PortPlug liegt ausschließlich als CATIA-File vor. Das in ANSYS zu modellierende lokale Modell soll aus dem
Shutter-Arm nebst allen sonstigen für die Berechnung der Drehmomente notwendigen Details bestehen. Jene Komponenten müssen also aus dem CATIA-File nach ANSYS konvertiert
werden. Bei diesem Vorgang werden nur die Komponenten selbst, das heißt ohne Vakuum,
konvertiert. Das Vakuum, so es modelliert werden soll, muß also hinzumodelliert werden.
Aus Komplexitätsgründen wird entschieden, das Vakuum nicht zu modellieren; näheres siehe
Unterabschnitt 4.2.6.
4.2.3
Auswahl der zu modellierenden Komponenten
Zur korrekten Berechnung der auf die Shutter-Arme wirkenden Kräfte nach (2.1) sind sämtliche Wirbelströme zu berücksichtigen, deren Weg zur Gänze oder zum Teil die Shutter-Arme
entlang führt. Erstere werden automatisch durch die Modellierung der Shutter-Arme berücksichtigt; zur Berücksichtigung letzterer ist die zusätzliche Modellierung jener Komponenten
notwendig, über welche die Wirbelströme sich schließen. Zur Ermittlung dieser Komponenten
werden die elektrischen Kontakte zwischen den Bauteilen des Shutters betrachtet:
• innere Bumper: elektrischer Kontakt zu den Shutter-Armen und via der Kühlleitungen
zur Retractable Tube;
• Flaps: elektrischer Kontakt zu den Shutter-Armen; kein elektrischer Kontakt untereinander
• hydraulischer Zylinder: elektrischer Konktakt zu den Shutter-Armen und zur Retractable Tube
• Shutter-Arme: elektrischer Konktakt zu den inneren Bumpern und zum hydraulischen
Zylinder
Weil sie um die Shutter-Arme herumgewickelt sind, werden die Leitungen zur Kühlung der
Flaps und Shutter-Arme hinsichtlich des elektrischen Kontakts als zu den Shutter-Armen
gehörig betrachtet.
35
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Aus der obigen Auflistung wird ersichtlich, daß ein elektrischer Pfad längs der Strecke ShutterArme → hydraulischer Zylinder → Retractable Tube → Bumper → Shutter-Arme besteht.
Dementsprechend werden diese Komponenten zusätzlich zu den Shutter-Armen modelliert.
Für die Kombination aus Shutter-Armen, Bumper, Flaps und Kühlleitungen existieren zwei
Ausführungen als CATIA-Modell: Eines für den geschlossenen Shutter und eines für den
geöffneten Shutter. Davon wird im lokalen Modell im Folgenden die geschlossene Variante
modelliert werden. Diese Auswahl wird aus Zeitgründen getroffen.
4.2.4
Wahl des Elementtyps
ANSYS beinhaltet eine Bibliothek von über 200 verschiedenen Typen Finite Elemente, die
sich in Form, Knotenzahl, Knotenposition auf dem Element, Approximationsfunktion, Raumdimension und Freiheitsgraden unterscheiden. Mit dem hieraus auszuwählenden Elementtyp
soll es idealerweise möglich sein, sowohl Wirbelströme als auch eingeprägte Quellströme (die
Halo-Ströme) mit einem einzigen, dreidimensionalen Modell zu berechnen. Der Elementtyp
SOLID97“ entspricht dieser Anforderung. Dabei handelt es sich um ein dreidimensionales,
”
quaderförmiges Element mit acht Knoten (einer pro Ecke des Quaders) und den Freiheitsgraden Ax , Ay , Az und ϕ. Außerdem ermöglicht es das Einprägen von Stromquellen und -senken.
Ein weiterer Vorteil ist, daß während des Post-Processings automatisch für jedes Finite Element die Kraft nach (2.1) berechnet wird, so daß diese direkt als Input zur Berechnung der
Drehmomente verwendet werden können.
4.2.5
Wahl der Elementgröße
Bei Rechungen mit zeitabhängigen Strömen spielt der Skin-Effekt eine maßgebliche Rolle
für die Bestimmung der Elementgröße. Letztere muß so gewählt werden, daß die Stromverdrängung hinreichend genau, also mit vertretbar kleinem Fehler, abgebildet wird. Bei
Wirbelstromproblemen mit harmonischer Anregung wird die Elementgröße üblicherweise so
bemessen, daß die Dicke einer einzelnen Element-Schicht einem Drittel der Skineindringtiefe
entspricht; bei der Wahl quaderförmiger Finiter Elemente entspricht dies der Kantenlänge.
Da die Anregung in der vorliegenden Arbeit transient ist, läßt sich dieser Ansatz so nicht
verwenden. Stattdessen wird mit ANSYS folgende Versuchsanordnung“ zur Bestimmung der
”
maximalen Elementkantenlänge modelliert:
36
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
y
B(t)
x
Bkonstant
I(t)
b
d
z
Abb. 4.9: Schema der Versuchsanordnung“ in ANSYS zur Bestimmung der
”
maximalen Kantenlänge; ri = 0, 2m, b = 0, 1m, d = 0, 01m; Koordinatensystem entspricht nicht dem globalen Koordinatensystem
Es wird ein als leitfähig definierter Ring nach Abb. 4.9 mit der spezifischen elektrischen
Leitfähigkeit κ = 106 mS in ein Vakuum eingebettet modelliert. Vakuum und Ring werden mit
quaderförmigen Finiten Elementen des Typs SOLID97 diskretisiert. Die Diskretisierung in
radialer Richtung beträgt ∆r = 0, 1m. Senkrecht zur Ebene des Rings — in Richtung der
y-Achse in Abb. 4.9 — wird auf der Außenfläche des Vakuums die x-Komponente des sich
im globalen Modell am Orte des Shutters ergebenden B-Feldes (kurz: BShutter, x ) eingeprägt
(B (t) in Abb. 4.9). Zusätzlich wird in Richtung der x-Achse ein zeitlich konstantes B-Feld
der Stärke 5 T eingeprägt (Bkonstant in Abb. 4.9). Da es sich bei B (t) um ein zeitveränderliches Feld handelt, werden in dem Ring Wirbelströme induziert (I (t) in Abb. 4.9), wodurch
im Zusammenspiel mit Bkonstant auf den Ring in Richtung der y-Achse eine Kraft nach (2.1)
und damit ein Drehmoment bezüglich der z-Achse wirkt. Dieses Drehmoment wird für jeden Zeitpunkt von BShutter, x aufgezeichnet. Anschließend wird die Diskretisierung des Rings
gelöscht. Der Ring wird erneut diskretisiert, wobei die Diskretisierung in radialer Richtung
diesmal ∆r = 0, 1m beträgt. Wieder wird für jeden berechneten Zeitpunkt von BShutter, x das
sich bezüglich der z-Achse ergebende Drehmoment aufgezeichnet.
37
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
1
1
ELEMENTS
ELEMENTS
APR 11 2010
20:37:25
PLOT NO.
1
APR 11 2010
20:36:00
PLOT NO.
1
Abb. 4.10: Diskretisierung des Rings mit
∆r = 0, 1m (Ansicht ohne Vakuum)
1
Abb. 4.11: Diskretisierung des Rings mit
∆r = 0, 05m (Ansicht ohne Vakuum)
ANSYS 12.0.1
PLOT NO.
1
.113E+07
.118E+07
.122E+07
.126E+07
.131E+07
.135E+07
.139E+07
.143E+07
.148E+07
.152E+07
1
Abb. 4.12: Stromdichte des Wirbelstroms
für ∆r = 0, 1m mit B (t) =
BShutter,x zum 41. Zeitpunkt
(hier ergibt sich für das Drehmoment der größte Betrag);
Werte der Skala am rechten
Bildrand sind der Betrag der
Stromdichte in mA2
ANSYS 12.0.1
PLOT NO.
1
.106E+07
.116E+07
.125E+07
.135E+07
.144E+07
.154E+07
.163E+07
.173E+07
.182E+07
.191E+07
Abb. 4.13: Stromdichte des Wirbelstroms
für ∆r = 0, 05m mit B (t) =
BShutter,x zum 41. Zeitpunkt
(hier ergibt sich für das Drehmoment der größte Betrag);
Werte der Skala am rechten
Bildrand sind der Betrag der
Stromdichte in mA2
Dieser Prozeß wird für ∆r = 0, 02m, ∆r = 0, 01m, ∆r = 0, 005m, ∆r = 0, 002m und ∆r =
0, 001m wiederholt, die Diskretisierung in radialer Richtung wird also variiert (vergl. Abb. 4.10
und Abb. 4.11). Die Idee hierbei ist, daß der Skin-Effekt von I (t) für die unterschiedlichen
Werte von ∆r unterschiedlich gut abgebildet wird (vergl. Abb. 4.12 und Abb. 4.13) und sich
dementsprechend unterschiedliche Werte für das auf den Ring wirkenden Drehmoment ergeben. Hieraus werden nun wie folgt Rückschlüsse auf Wahl der Elementgröße für das lokale
Modell gezogen: Pro berechnetem Zeitpunkt ergeben sich jeweils sieben Werte für das Dreh38
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
moment, einer pro Variation von ∆r. Es wird nun zu jedem Zeitpunkt jene Variation von ∆r
gesucht, bei welcher der relative Fehler zwischen ihrem“ Drehmoment und dem Drehmoment
”
des nächstgröberen Variationsschritts von ∆r kleiner oder gleich 1% ist. Diese Rechnung wird
für alle Zeitpunkte durchgeführt. Aus diesen Werten wiederum wird der kleinste Wert für ∆r
ausgewählt. Da für B (t) der zeitliche Verlauf von BShutter, x eingeprägt wurde, wird dieser
Wert mit ∆r mit ∆rx bezeichnet.
Da einerseits die zeitlichen Verläufe von BShutter,x , BShutter,y und BShutter,z unterschiedlich sind
~ Shutter so diskretisiert werden muß, daß es dem gesamten
und andererseits das lokale Modell B
Feld gerecht wird, wird das o.g. Variationsverfahren außerdem für B (t) = BShutter, y und
B (t) = BShutter,z durchgeführt. Daraus ergeben sich dann ∆ry und ∆rz . Desweiteren muß der
örtlichen Abhängigkeit des B-Feldes Rechnung getragen werden. Dementsprechend werden
im globalen Modell die Werte von ∆rx , ∆ry und ∆rz jeweils für drei unterschiedliche Punkte
bestimmt: Punkt 1 liegt dort, wo sich, sofern sie im globalen Modell modelliert wären, die
Flaps befänden; Punkt 2 entspricht einem Punkt etwa in der Mitte der Shutter-Arme; Punkt
3 liegt dort, wo die Shutter-Arme am hydraulischen Zylinder befestigt sind (vergl. Abb. 4.14).
Insgesamt ergeben sich also neun Werte für ∆r. Von diesen Werten wird der kleinste Wert
als die maximale Kantenlänge der Finiten Elemente des lokalen Modells festgelegt. Dieser
Wert beträgt ∆rVDE = 0, 01m. Er wird auch als Maßstab für die Detailgenauigkeit, also die
kleinsten, noch zu modellierenden Details der Shutter-Arme, genommen.
0,50
Bx in Punkt 1
T
Punkt 3
Punkt 2
Bx in Punkt 2
Bx in Punkt 3
Bx
0,25
0,00
Punkt 1
-0,25
0
10
20
30
t
Abb. 4.14: Schema der Punkte 1 bis 3, anhand
derer die örtliche Abhängigkeit des
B-Feldes berücksichtigt wirdi i i i i
iiiiiiiiiii
40
50
ms
Abb. 4.15: zeitlicher Verlauf von Bx an den
Punkten 1, 2 und 3 als Beispiel
für die örtliche Abhängigkeit des BFeldes
39
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
4.2.6
Vereinfachtes lokales Modell
Nachdem nun die notwendige Detailgenauigkeit und die zusätzlich zu den Shutter-Armen zu
modellierenden Komponenten des PortPlugs festgelegt sind, kann an die eigentliche Ausarbeitung des lokalen Modells gegangen werden. Dazu werdem aus dem CATIA-File des PortPlugs
die Shutter-Arme, die inneren Bumper, die Kühlleitungen, die Flaps und der hydraulische
Zylinder nach ANSYS importiert und dort mittels der graphischen Benutzeroberfläche bearbeitet. Dabei wird zunächst nicht mit Finiten Elementen gearbeitet. Stattdessen wird das
lokale Modell mittels Volumes genannter, zusammenhängender5 Körper modelliert, welche
anschließend beim sog. Meshing diskretisiert werden. Die Position des lokalen Modells im
Raum entspricht dabei genau der Position, die es einnehmen würde, wenn man es in das
globale Modell transferieren würde. Beide Modelle lassen sich also ohne Koordinatentransformation mit dem selben Koordinatensystem beschreiben. Dies erleichtert später den Transfer
der Randbedingungen vom globalen Modell zum lokalen Modell.
Auf den CXRS-PortPlug wirken nicht nur elektromagnetisch hervorgerufene mechanische
Kräfte, sondern auch thermisch hervorgerufene mechanische Kräfte, radioakive Strahlung,
Beschuß von Neutronen und Plasmaausbrüche. Gleichzeitig stellt er die Schnittstelle zwischen den Bedingungen im Innern des Vakuumgefäßes und der Außenwelt dar, muß also in
der Lage sein, diese genannten Belastungen von der Außenwelt fern zu halten. Weil zum Zeitpunkt der Erstellung der vorliegenden Arbeit über die genannten Belastungen des PortPlugs
dem PortPlug-Design-Team noch nicht genügend Informationen vorlagen, war noch keine
Entscheidung über die zu verwendenden Materialen getroffen worden. Demzufolge wird für
die modellierten Shutter-Komponenten uniform die spezifische elektrische Leitfähigkeit von
erwärmtem Stahl angenommen, κ = 9, 42 · 10−7 mS . Dieser Wert wurde nach einem Gespräch
mit dem PortPlug-Design-Team festgelegt.
Der erste Bearbeitungsschritt ist die Vereinfachung der zu modellierenden Komponenten.
Vereinfachung bedeutet in dem Zusammenhang, daß die Komponenten bezüglich der Detailgenauigkeit geglättet werden. Ein gutes Beispiel dafür sind die Bumper: Seitens des PortPlug5
zusammenhängend: Man denke sich zwei aufeinanderliegende Bücher, die jeweils als Quader approximiert seien. Im ANSYS-Sinne zusammenhängend sind diese Quader dann, wenn sie ihre Berührfläche
miteinander teilen.
40
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Design-Teams sind sie als auf die zugehörige Kühlleitung aufgefädelte“ Tellerfedern der
”
Dicke 2mm projektiert. Da dies unter der Detailgenauigkeit liegt, werden sie vereinfachend
zu Klötzchen“ zusammengefaßt. Dabei wurde darauf geachtet, daß die Kontaktfläche der
”
Bumper mit den Shutter-Armen und den Kühlleitungen vom Betrage her erhalten bleibt. Die
Kühlleitungen der Bumper werden originalgetreu beibehalten, da sie modellierungstechnisch
leicht mit den vereinfachten Bumpern verbunden werden können.
1
PLOT NO.
Abb. 4.16: Bumper vor der Vereinfachung
1
Abb. 4.17: Bumper nach der Vereinfachung
Die Kühlleitungen der Flaps und der Shutter-Arme haben einen Außendurchmesser von
12mm. Ihre Wandstärke beträgt 1mm, liegt also unterhalb der Grenze für die Detailgenauigkeit. Das Kühlmittel ist elektrisch nicht leitfähig. Daraus ergibt sich für den elektrischen Widerstand längs der Kühlleitung ein Querschnitt von 75,26mm2 . Der Querschnitt der
Shutter-Arme zwischen dem hydraulischen Zylinder und den Bumper — der in Abb. 4.18
dargestellte Ausschnitt — beträgt an seiner schmalsten Stelle 1326,71mm2 , an seiner breitesten Stelle 1924,25mm2 . Weiterhin ist der Weg längs der Shutter-Arme (773,1mm) kürzer
als der Weg längs der Kühlleitung (1714,2mm). Insgesamt läßt sich damit der elektrische
Widerstand längs der Kühlleitung im in Abb. 4.18 dargestellten Ausschnitt als rund 20mal
größer annehmen als der elektrische Widerstand der Shutter-Arme. Aus diesem Grund und
wegen der unterhalb der Detailgenauigkeit liegenden Wandstärke der Kühlleitungen werden
selbige in diesem Bereich den Shutter-Armen zugeschlagen, also die Parallelschaltung dieser
Widerstände in einen einzelnen Widerstand überführt. Dies geschieht, indem die abgerundeten Kanten der Shutter-Arme zu eckigen Kanten“ ergänzt werden und der Querschnitt der
”
Shutter-Arme insgesamt ein wenig vergrößert wird.
41
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
1
PLOT NO.
Abb. 4.18: oberer Teil der Shutter-Arme vor
der Vereinfachung
1
Abb. 4.19: oberer Teil der Shutter-Arme nach
der Vereinfachung
Als nächster Schritt der Vereinfachung werden die Flaps und der untere Bereich der ShutterArme betrachtet. Einerseits sitzen die Flaps auf den Kühlleitungen (vergl. Abb. 3.5 und
Abb. 3.6), andererseits sind die Kühlleitungen im oberen Teil der Shutter-Arme nicht mehr
modelliert. Die Kühlleitungen, auf denen die Flaps sitzen, müßten also irgendwo in der Luft
anfangen. Diesem Problem wird wie folgt begegnet: Ein Blick auf Abb. 3.6 zeigt, daß die
Shutter-Arme in Richtung der Flaps mit einem Durchmesser ähnlich dem der der Kühlleitungen auslaufen. Also wird zuerst der untere Teil der Shutter-Arme samt der Kühlleitungen
entfernt. Übrig bleiben die Flaps und der Teil der Kühlleitungen, der die Flaps trägt. Anschließend wird zwischen den Enden dieser Kühlleitungen und dem Ende der Shutter-Arme
ein Volume eingefügt, daß einen harmonischen Übergang zwischen den Shutter-Armen und
den Kühlleitungen ermöglicht. Siehe dazu folgende Illustration:
1
Abb. 4.20: unterer Teil der Shutter-Arme vor
der Vereinfachung
Abb. 4.21: unterer Teil der Shutter-Arme nach
der Vereinfachung
42
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Die Flaps selbst sowie die Kühlleitungen, auf denen sie angebracht sind, bleiben unverändert,
da sie laut Aufgabenstellung von besonderem Interesse sind.
Die Retractable Tube dient nur dazu, den Weg des Wirbelstroms zu schließen und wird
deshalb als einfache Röhre ausgeführt:
1
PLOT NO.
Abb. 4.22: Retractable Tube vor der Vereinfachung
1
Abb. 4.23: Retractable Tube nach der Vereinfachung
Die Modellierung des hydraulischen Zylinders erfolgt en detail: Für den Verfasser der vorliegenden Arbeit war die Überführung des hydraulischen Zylinders die erste Fingerübung, um
sich die Fähigkeit des Überführens eines CAD-CATIA-Modells in ein FEM-ANSYS-Modell
anzueignen, er ist also ohnehin als ANSYS-Modell vorhanden. Darum und weil seine Details
nicht unterhalb der Detailgenauigkeit liegen, spricht nichts dagegen, dieses Modell einfach zu
übernehmen.
Jetzt endlich wird die Entscheidung getroffen, ob das Vakuum modelliert werden soll. Angesichts der trotz der Vereinfachung komplexen Geometrie einerseits und der bis dato im
Umgang mit ANSYS angeeigneten Fertigkeit des Verfassers der vorliegenden Arbeit andererseits wird in Absprache mit dem PortPlug-Design-Team und den Betreuern der Arbeit
festgelegt, daß das Vakuum nicht modelliert werden soll. Stattdessen werden die Randbedingungen direkt auf den Außenrand des lokalen Modells eingeprägt.
43
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Insgesamt ergibt sich damit folgendes, vereinfachtes Modell der Shutter-Arme und der zusätzlich zu modellierenden Komponenten:
Abb. 4.24: zu
modellierende
ShutterKomponenten vor der Vereinfachung; die Retractable Tube
würde die Sicht verdecken und ist
deshalb nicht dargestellt.
4.2.7
Abb. 4.25: zu
modellierende
ShutterKomponenten nach der Vereinfachung; die Retractable Tube
würde die Sicht verdecken und ist
deshalb nicht dargestellt.
Diskretisierung des lokalen Modells
ANSYS ermöglicht es dem Anwender, das Mesh präzise festzulegen. Dies geschieht, indem
auf den Kanten der Volumes eine Vorgabe gemacht wird, in wie viele Teile diese Kante zu
diskretisieren sei oder welche Abmessung ein einzelner Diskretisierungsschritt haben soll. Siehe dazu folgendes Beispiel:
1
1
PLOT NO.
PLOT NO.
1
1
Abb. 4.27: nach der Vorgabe auf den Kanten
gemeshter Würfel
Abb. 4.26: Vorgabe eines Meshs auf den Kanten eines Würfels
44
4.2. WIRBELSTRÖME BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Von dieser Methode wird nun Gebrauch gemacht. Dabei wird zunächst auf allen Kanten der
Shutter-Arme, der Bumper und der Flaps eine Diskretisierung vorgegeben, die zum einen
die Geometrie hinreichend gut abbildet und zum anderen nicht gröber als die Detailgenauigkeit ist. Dies geschieht in Handarbeit“ mittels der graphischen Benutzeroberfläche von
”
ANSYS einzeln für jede Kante. Die Anzahl der Finiten Elemente soll dabei die Zahl 40000
nicht überschreiten. Dies geschieht, um dem Berechner der mechanischen Auswirkungen die
Möglichkeit zu geben, das Modell 1:1 mitsamt der in der elektromagnetischen Berechnung
ermittelten Kräfteverteilung für seine Arbeit zu übernehmen. Da hierfür laut seiner Aussage
eine sehr hohe zeitliche Auflösung erforderlich ist, bat er darum, daß das Modell der ShutterArme, der Bumper und der Flaps in nicht mehr als 40000 Finite Elemente diskretisiert sein
soll.
Das Mesh des Zylinders, der Retractable Tuben und der Bumper wird auf die gleiche Art
vorgegeben, allerdings ohne Beachtung der Detailgenauigkeit. Letzten Endes sollen sich über
Zylinder, Tube, Bumper und Kühlleitungen nur der Wirbelstrom schließen, so daß im Sinne
einer zügigeren Berechnung das Mesh dort gröber gehalten wird.
In einem weiteren Schritt werden den Volumes des lokalen Modells die Materialparameter
zugewiesen. Für die vorliegende Simulation sind dies die spezifische elektrische Leitfähigkeit
(der bereits genannte Wert κ = 9, 42 · 10−7 mS ) und die spezifische Permeabilität. Da die für
den Bau des ITER verwendeten Materialen auf jeden Fall unmagnetisch sein müssen — dies
ist eine Vorgabe des ITER-Konsortiums — nimmt die spezifische Permeabilität den Wert
µr = 1 an.
Nach dieser Vorbereitung kann ANSYS nun im sog. “Meshing“ das lokale Modell in Finite
Elemente diskretisieren. Die Shutter-Arme, die Bumper und die Flaps werden damit zusammen in 33809 Finite Elemente diskretisiert (vergl. Abb. 4.28), das lokale Modell insgesamt
in 126906 Finite Elemente (vergl. Abb. 4.29). Das lokale Modell ist nun prinzipiell bereit für
die Einprägung der Randbedingungen und die Berechnung. Die Beschreibung dieser Schritte
erfolgt im nächsten Kapitel, Berechnung“.
”
45
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
1
1
PLOT NO.
1
PLOT NO.
Abb. 4.28: die 33809 Finiten Elemente von
Shutter-Armen, Flaps und Bumpern
4.3
1
Abb. 4.29: die 126906 Finiten Elemente der gesamten Anordnungi i i i i i i i i i i i
ii
Wirbelströme bei MD III lin 36ms
Nach Abschluß der Modellierung von Szenario up VDE/f III lin 36ms liegt es nahe, mit
dem verwandten Szenario MD III lin 36ms weiterzumachen. Im Unterschied zum Szenario up
VDE/f III lin 36ms ist das globale Modell dabei nicht fertig durchgerechnet, so daß daraus
nur noch die Randbedingungen in das lokale Modell einzuprägen sind. Stattdessen besteht
das globale Modell für MD III lin 36m aus der um das ITER-Magnetspulensystem ergänzten6 ,
in Finite Elemente zerlegten Geometrie des globalen Modells für up VDE/f III lin 36ms, in
das die Quellen und Randbedingungen für MD III lin 36ms einzuprägen sind.
4.3.1
Das globale Modell für MD III lin 36ms
Wie in Unterabschnitt 4.1.2 erläutert, bestehen die DINA-Daten für den Plasma-Strom aus
einer Reihe von mit einer Stromstärke kombinierter Koordinaten. Diese gilt es, in das globale
Modell als Stromdichtequellen einzuprägen. Dazu wird das globale Modell zunächst um ein
zylindrisches Koordinatensystem ergänzt. Lage des Ursprungs und Richtung der z-Achse entsprechen dabei Abb. 4.1. Die z-Achse fällt mit der Drehachse der Drehsymmetrie des ITER
zusammen. Dieses Koordinatensystem wird für diesen Unterabschnitt benutzt.
6
Die Spulen wurden auf Bitte des Verfassers der vorliegenden Arbeit von Herrn Anatoly Panin dem
globalen Modell hinzugefügt.
46
4.3. WIRBELSTRÖME BEI MD III LIN 36MS
α
z
α
z
r
r
Abb. 4.30: Draufsicht des globalen Modells zur
Erläuterung des zylindrischen Koordinatensystems
Abb. 4.31: Seitenansicht des globalen Modells
zur Erläuterung des zylindrischen
Koordinatensystems
Es wird nun folgendes Verfahren zum Einprägen der DINA-Daten in das globale Modell angewandt: Das Plasma weist eine 2,5 ◦ -Drehsymmetrie auf und läßt sich so in acht Plasmascheiben
unterteilen (vergl. Abb. 4.33 und Abb. 4.34). Für jedes Finite Element jeder dieser Scheiben wird der geometrische Mittelpunkt bestimmt. An dessen Koordinaten wird ein Keypoint 7
erstellt. Diesem wird zur Identifikation die Nummer seines“ Finiten Elements + 1000000 zu”
8
geordnet . Dieser Umweg ist notwendig, weil ANSYS die direkte räumliche Identifikation von
Finiten Elementen nicht ermöglicht. Weiterhin wird für jedes Finite Element des Plasmas der
Flächeninhalt der sich normal zur toroidalen Richtung befindlichen Fläche (vergl. Abb. 4.34)
zusammen mit der Nummer des Finiten Elements in einem ersten Array zwischengespeichert.
Beispiel für einen Datensatz des ersten Arrays:
Element-Nummer: 28347; Flächeninhalt: 4, 75 · 10−4 m2
Da in ANSYS die direkte Ausgabe des Flächeninhalts von Flächen dreidimensionaler Finiter
Elemente nicht möglich ist und die Flächenbestimmung per Hand viel zu langwierig und
aufwändig wäre, wird sich zur automatisierten Bestimmung der Flächeninhalte folgender
Vorgehensweise bedient: Die betrachteten Flächen sind eben und viereckig. Sie werden von
7
Keypoints dienen in ANSYS zur Markierung von Koordinaten
8
Das globale Modell besteht aus 285548 Finiten Elementen, die Nummer eines Finiten Elements ist also
maximal sechsstellig. Durch Addition der siebenstelligen Zahl 1000000 ist der Keypoint damit eindeutig
einem Element zuordbar. Keypoint Nr. 1028347 entspräche also dem Finiten Element Nr. 28347.
47
APR 19 2010
16:13:53
PLOT NO.
1
ELEMENTS
MAT NUM
1
1
ELEMENTS
MAT NUM
APR 19 2010
16:07:53
PLOT NO.
1
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Abb. 4.33: die Finiten Elemente des Plasmas im globalen Modell (Draufsicht); die 2,5 ◦ -Drehsymmetrie ist
gut sichtbar; eine der Plasmascheiben ist orange hervorgehoben
1
ELEMENTS
MAT NUM
APR 19 2010
16:27:45
PLOT NO.
1
Abb. 4.32: die Finiten Elemente des Plasmas im globalen Modell (Seitenansicht); die 2,5 ◦ -Drehsymmetrie ist
gut sichtbar; eine der Plasmascheiben ist orange hervorgehoben
Abb. 4.34: die Plasmascheibe aus Abb. 4.33;
Fläche in toroidaler Richtung bei einem der Elemente als Beispiel blau
gefärbt
vier Knoten des Finiten Elements aufgespannt. Es ist in ANSYS möglich, zwischen ElementKnoten eine eigenständige, also an kein Volume oder Finites Element gebundene, Fläche
48
4.3. WIRBELSTRÖME BEI MD III LIN 36MS
aufzuspannen. Welche Fläche dabei entsteht, ist von der Reihenfolge abhängig, in der die
Element-Knoten in ANSYS eingegeben werden. Während dies bei einer dreieckigen Fläche
keinen Unterschied macht, können bei viereckigen Flächen abhängig von der Reihenfolge der
Eingabe der Knoten unterschiedliche Flächen entstehen:
A
A
D
D
B
B
C
C
Abb. 4.35: Fläche, die bei Eingabe der Knoten
in der Reihenfolge A, B, C, D entsteht
Abb. 4.36: Fläche, die bei Eingabe der Knoten
in der Reihenfolge A, C, D, B entsteht
Die ANSYS-internen Identifikationsnummern der Element-Knoten für die Angabe der Reihenfolge zu nehmen ist aufgrund deren unsystematischer Vergabe nicht sinnvoll. Stattdessen
wird nicht eine einzelne, viereckige Fläche zwischen den Knoten aufgespannt, deren Flächeninhalt dann bestimmt wird, sondern vier dreieckige Flächen in allen möglichen ReihenfolgeKombinationen der Knoten (vergl. Abb. 4.37 nebst Erläuterung). Deren Flächeninhalte beschreibt dann jeweils in summa den doppelten Flächeninhalt der betrachteten Fläche. Dieser
Wert wird dementsprechend halbiert und anschließend in dem o.g. ersten Array gespeichert.
Dieser Algorithmus ist einfach zu implementieren und, da ohne Unterscheidung einfach alle
möglichen Dreiecke berechnet werden, zuverlässig automatisierbar. Ein Vergleich mit einigen
per hand bestimmten Flächeninhalten viereckiger Flächen zeigt eine Abweichung von unter
0,01%, was nicht zuletzt der Tatsache geschuldet ist, daß es sich bei den betrachteten Flächen
um ebene Flächen handelt.
Im nächsten Schritt werden die zu den Finiten Elementen der ersten Plasmascheibe gehörenden Keypoints selektiert. Die in den DINA-Daten Paare der r- und z-Koordinaten werden mit
den jeweiligen r- und z-Koordinaten der Keypoints verglichen. Der einem bestimmten DINAKoordinatenpaar nächstliegende Keypoint und das zugehörige Finite Element werden mar49
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Abb. 4.37: Die Punkte A, B, C und D seien die Eckpunkte einer ebenen, viereckigen Fläche ABCD.
Dann ergibt die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke ABC und ACD den Flächeninhalt von ABCD. Gleiches gilt für die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke ABD
und BCD. ABC, ABD, ACD und BCD sind alle möglichen Dreiecke, die sich aus den
Punkten A, B, C und D konstruieren lassen. Der o.g. Algorithmus erstellt jedes dieser
Dreiecke, bestimmt dessen Flächeninhalt, summiert die Flächeninhalte aller Dreiecke
auf und teilt diese Summe durch zwei. Damit ergibt sich der Flächeninhalt von ABCD.
kiert. Zusammen mit der entsprechenden Stromstärke aus den DINA-Daten wird die Nummer des Finiten Elements in einem zweiten Array zwischengespeichert. Anschließend wird
das nächste DINA-Koordinatenpaar betrachtet, Element-Nummer und Stromstärke werden
gespeichert usw. Dabei kann ein Finites Element der ersten Plasmascheibe mehrmals markiert werden. Die Stromstärke wird dann zu der bereits in dem zweiten Array gespeicherten
Stromstärke addiert. Dieser Vorgang wird für alle Plasmascheiben wiederholt. Aufgrund der
2,5 ◦ -Drehsymmetrie der Finiten Elemente des Plasmas ergibt sich so für alle in toroidaler
Richtung hintereinander liegenden Elemente der gleiche Wert für die Stromstärke.
Beispiel für einen Datensatz des zweiten Arrays:
Element-Nummer: 28347; Stromstärke: 6, 412 · 103 A
Jetzt wird das eigentliche Quelldatenarray gefüllt. Darin wird für jedes Finite Element des
Plasmas dessen Nummer zusammen mit dem Quotienten aus der für dieses Element im zweiten Array ermittelten Stromstärke und dem Flächeninhalt aus dem ersten Array gespeichert.
Letzteres ergibt die zum entsprechenden Zeitpunkt in das jeweilige Finite Element des Plasmas als Quelle einzuprägende Stromdichte.
50
4.3. WIRBELSTRÖME BEI MD III LIN 36MS
Beispiel für einen Datensatz des Quelldatenarrays:
Element-Nummer: 28347; Stromdichte: 1, 34989 · 107
A
m
Der Vorgang wird für jeden der in den DINA-Daten gebenen Zeitpunkte durchgeführt. Die
DINA-Daten des Plasmastroms für MD III lin 36ms bilden mit 438 Zeitpunkten eine Zeitspanne von 50ms ab. Angesicht des linearen Verlaufs des CQs werden für das o.g. Verfahren
die DINA-Daten ganzzahliger Zeiten herausgesucht, also 0ms, 1ms, 2ms,. . . , 50ms, so daß
sich die Werte der Stromdichtequellen im Plasma insgesamt 51 Zeitpunkte ergeben.
Die Ströme, mit denen die Spulen angeregt werden, sind ebenfalls in den DINA-Daten gespeichert. Da sie zeitlich konstant sind und die Querschnittsfläche der Spulen direkt aus dem
globalen Modell entnommen werden kann, wird für die Spulen einmal die in deren Finite
Elemente einzuprägende Stromdichte bestimmt und gespeichert.
Die Beschreibung der Berechnung mit dem globalen Modell findet sich im nächsten Kapitel.
4.3.2
Das lokale Modell für Wirbelströme bei MD III lin 36ms
Für das lokale Modell für Wirbelströme bei MD III lin 36m wird ebenfalls eine Versuchsreihe wie in Unterabschnitt 4.2.5 durchgeführt. ∆r wird dabei von ∆r = 0, 001m über
∆r = 0, 0005m und ∆r = 0, 0002m bis zu ∆r = 0, 00001m variiert. Daraus ergibt sich
eine Detailgenauigkeit von ∆rMD = 0, 0005m. Dieser Wert ist um den Faktor 20 kleiner als
der Wert für ∆rVDE , entsprechend ergäben sich 203 mal so viele Finite Elemente wie beim
lokalen Modell für up VDE/f III lin 36ms. Angesichts dessen wird aus praktischen Gründen
das lokale Modell für up VDE/f III lin 36ms zur Berechnung der Drehmomenten für das
Szenario MD III lin 36ms 1:1 übernommen, es wird also ∆rVDE verwendet. Aus der RingVersuchsanordnung nach Unterabschnitt 4.2.5 ergibt sich daraus gegenüber ∆rMD ein Fehler
von 2,4%, so daß diese Entscheidung prinzipiell gutgeheißen wird.
51
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
4.4
4.4.1
Halo-Strom bei up VDE/f III lin 36ms
Das globale Modell für den Halo-Strom
Zur Modellierung des Halo-Stroms wird sich einer anderen Methode als bei der Modellierung
der Wirbelströme bedient. Weil bei letzterem der Weg des Stroms durch das Plasma bekannt
ist, nämlich in toroidaler Richtung, und es nicht um dem Strom selbst, sondern um dessen
magnetisches Feld geht, ist es dort möglich, den Verlauf des Plasmastroms vollständig durch
Einprägung von Stromdichtequellen zu modellieren. Beim Halo-Strom dagegen sind nur die
— zweidimensionalen — Koordinaten seiner Ein- und Austrittspunkte in die Wand des Vakuumgefäßes bekannt. Der Weg durch die Reaktorkomponenten ergibt sich aus der Geometrie
und der elektrischen Leitfähigkeit der Komponenten und soll berechnet werden. Im Folgenden wird deshalb eine Methode vorgestellt, mittels derer zeitveränderliche Stromquellen in
das globale Modell eingprägt werden. Grundlage hierbei ist wie bei der Berechnung der Wirbelströme für MD III lin 36ms das um die Spulen erweiterte globale Modell für up VDE/f
III lin 36ms. In diesem Unterabschnitt wird das Koordinatensystem aus Unterabschnitt 4.3.1
verwendet.
Der Berechnung der DINA-Daten liegt die Annahme des ITER-Vakuumgefäßes als in toroidaler Richtung rotationssymmetrisch vor. Tatsächlich ist das Vakuumgefäß in toroidaler
Richtung 20 ◦ -drehsymmetrisch, was sich auch im globalen Modell widerspiegelt. Für den zur
Berechnung der Auswirkung der Wirbelstrome einzuprägenden Plasmastrom stellt dies kein
Hindernis dar, da der Bereich der Plasmas — sieht man einmal von der Diskretisierung in
toroidaler Richtung ab — in erster Näherung in toroidaler Richtung rotationssymmetrisch
ist und der Plasmastrom in toroidaler Richtung fließt. Dagegen fließt der Halo-Strom zum
einen in poloidaler Richtung und zum anderen in die Gefäßwand. Dementsprechend weichen
die r- und die z-Koordinaten der Gefäßwand im globalen Modell mehr oder weniger stark
von jenen in den DINA-Daten gegebenen Koordinaten ab (vergl. Abb. 4.38 bis Abb. 4.41).
Der Umgang mit diesem Umstand wird im Folgenden geschildert.
52
4.4. HALO-STROM BEI UP VDE/F III LIN 36MS
1
E-K
PLOT NO.
1
Abb. 4.38: Vergleich zwischen Koordinaten
aus der DINA-Studie (hellblau) und
dem Vakuumgefäß an dessen Rand
(vergl. nebenstehende Abbildung);
Darstellung der DINA-Koordinaten
aller Zeitpunkte
Abb. 4.39: Draufsicht auf die als leitfähig definierten Elemente des globalen Modells; in Abb. 4.36 abgebildete
Schnittfläche ist rot gekennzeichneti i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
1
E-K
PLOT NO.
1
Abb. 4.40: Vergleich zwischen Koordinaten
aus der DINA-Studie (hellblau) und
dem Vakuumgefäß in dessen Zentrum (vergl. nebenstehende Abbildung); Darstellung der DINAKoordinaten aller Zeitpunkte
Abb. 4.41: Draufsicht auf die als leitfähig definierten Elemente des globalen Modells; in Abb. 4.38 abgebildete
Schnittfläche ist rot gekennzeichneti i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Da der Halo-Strom nicht direkt in die Gefäßwand, sondern in die BSMs fließt, werden jene
zunächst aus dem globalen Modell ausgewählt. Daraus werden anschließend jene Finiten
Elemente herausgesucht, die direkten Konktakt zu den Finiten Elementen des Plasmas haben.
Die so ausgewählten Elemente werden Front-Elemente genannt.
53
1
PLOT NO.
1
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Abb. 4.42: Front Elements; man beachte die
Schichtung in poloidaler Richtung
Dabei zeigt sich eine Besonderheit in der Modellierung: Folgt man einem Pfad längs der
Front-Elemente in poloidaler Richtung, stellt man fest, daß diese in Schichten übereinander
angeordnet sind (vergl. Abb. 4.42). In Koordinaten ausgedrückt bedeutet das, daß alle geometrischen Mittelpunkte der Finiten Elemente einer Schicht die jeweils gleiche z-Koordinate
aufweisen und sich in ihrer r- und α-Koordinate voneinander unterscheiden. Genauer: Der
z-Koordinate der geometrischen Mittelpunkte der Finiten Elemente einer Schicht lassen sich
in Abhängigkeit der α-Koordinate unterschiedliche Werte der r-Koordinate zuordnen. Dem
stehen die DINA-Daten entgegen, die von einer Rotationssymmetrie ausgehen, bei denen also
die Zuordnung einer r-Koordinate zu einer z-Koordinate nicht von der α-Koordinate abhängt.
Diesem Umstand wird Rechnung getragen, indem aus jeder Schicht der Front-Elemente das
sich am rechten Außenrand befindliche Element ausgewählt wird. Für die daraus sich ergebende Struktur siehe Abb. 4.43 und Abb. 4.44. Diese Elemente werden im Folgenden als
Randelemente bezeichnet und herangezogen, um die DINA-Daten in das globale Modell einzuprägen. Jedes Randelement repräsentiert dabei seine“ Schicht: Der aus den DINA-Daten
”
für ein bestimmtes Randelement berechnete Strom soll gleichermaßen in alle Elemente dieser
Schicht fließen. Die Tatsache, daß das Vakuumgefäß in toroidaler Richtung nicht rotationssymmetrisch ist, wird also vernachläßigt.
54
4.4. HALO-STROM BEI UP VDE/F III LIN 36MS
PLOT NO.
1
1
PLOT NO.
1
1
Abb. 4.44: Seitenansicht der Randelemente;
das untere, rechte Randelement repräsentiert Schicht 1, das Element
darüber Schicht 2 usw. bis hin
zum Elemente ganz unten links, das
Schicht 191 repräsentiert
Abb. 4.43: Frontelemente mit orange gefärbten
Randelementeni i i i i i i i i i i i i i i
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiii
Da die in den DINA-Daten angegebenen Koordinaten keine Punkte beschreiben, in die ein
Strom einzuprägen wäre, sondern in poloidaler Richtung Bereiche längs der Gefäßwand, durch
die der einzuprägende Strom tritt, muß eine Methode gefunden werden, die aus den DINADaten entnommenen Bereiche auf die Randelemente abzubilden. Dazu wird zunächst der
Abstand zwischem dem Berührpunkt und Punkt 1 (vergl. Abb. 4.2) bestimmt und gespeichert, anschließend der Abstand zwischen Punkt 1 und Punkt 2 usw. bis zum Abstand von
Punkt 9 und Punkt 10. Außerdem wird die Summe aller Abstände gespeichert. Im Endeffekt
wird die von den DINA-Daten beschriebene Rundung also auf einer Geraden abgerollt. Nun
werden die Einzelabstände zwischen den Knoten zu der Summe der Abstände ins Verhältnis
gesetzt und der ermittelte Wert gespeichert.
Der in den DINA-Daten gegebene Wert für die Stromstärke beschreibt den insgesamt zwischen dem Berührpunkt und einem der Punkte 1 bis 10 in die Gefäßwand bzw. die dortigen BSMs eintretenden Strom. Möchte man also wissen, welcher Strom z.B. zwischen den
Punkt 5 und 6 in die Gefäßwand eintritt, muß man den bei Punkt 6 gegebenen Wert für die
55
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Stromstärke nehmen und von ihm den bei Punkt 5 gegebenen Wert abziehen. Diese Rechnung wird für alle Einzelbereiche, also die Bereiche zwischen dem Berührpunkt und Punkt
1, zwischen Punkt 1 und Punkt 2 usw. bis hin zum Bereich zwischen Punkt 9 und Punkt
10 durchgeführt. Die so ermittelten Werte werden ebenfalls gespeichert. Auf diese Weise liegen nun zweierlei Informationen aus den DINA-Daten vor: Welchen in poloidaler Richtung
längenmäßigen Anteil am gesamten Eintrittsbereich der Bereich zwischen zwei Punkten hat
und welcher Strom innerhalb dieses Bereichs in die Gefäßwand tritt.
Abb. 4.45: Ansicht
des
Eintrittsbereichs
aus Abb. 4.2; x-Achse gibt an,
in welche Richtung abgerollt“
”
wird(schematische Darstellung)
i
i
i
i
i
i
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i
i
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iiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiii
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i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Abb. 4.46: abgerollte“ Punkte des Eintritts”
bereich aus Abb. 4.2, Gesamtlänge
d; es ist der jeweils zwischen
zwei benachbarten Punkten in die
Gefäßwand bzw. die BSMs eintretenden Halo-Strom über die ab”
gerollte“ Strecke zwischen Berührpunkt und Punkt 10 dargestellt
(schematische Darstellung)
i
i
i
i
Ein Beispiel: Der Abstand zwischen dem Berührpunkt und Punkt 10 betrage 1,5m, der Abstand zwischen dem Berührpunkt und Punkt 1 betrage 0,3m. Außerdem sei den DINA-Daten
für die Stromstärke beim Berührpunkt der Wert 1200A entnommen, bei Punkt 1 der Wert
2200A. Damit ergeben sich für den Bereich der Gefäßwand, der zwischen dem Berührpunkt
und Punkt 1 liegt, folgende Informationen:
Anteil an der Gesamtlänge: 20%; eindringender Strom: 1000A
56
4.4. HALO-STROM BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Diese Information wird nun auf jene Knoten der Randelemente angewendet, die zum einen
Teil der Grenzfläche zum Plasma sind — gewissermaßen ins Reaktorinnere schauen“ — umd
”
zum anderen Teil der Seitenfläche des globalen Modells sind. Diese Knoten werden InputKnoten genannt (vergl. Abb. 4.47). Es wird zunächst der den Koordinaten des Berührpunkts
nächstliegende Input-Knoten gesucht und als Input-Berührpunkt festgelegt; gleiches passiert
mit dem Punkt 10, ihm entspricht der Input-Punkt 10. Anschließend wird der Abstand zwischen dem Input-Berührpunkt und dem Input-Punkt 10 in poloidaler Richtung längs der
Input-Knoten bestimmt, diese werden also ebenfalls auf einer Geraden abgerollt.
Im Anschluß daran wird der im vorangegangenen Schritt ermittelte Anteil an der Gesamtlänge
der Strecke zwischen dem Berührpunkt und Punkt 1 hergenommen und, vom Input-Berührpunkt aus gerechnet, auf den Abstand zwischen Input-Berührpunkt und Input-Punkt 1 angewendet. Damit ergibt sich eine Strecke mit einer bestimmte Länge längs der Input-Knoten.
Auf alle Randelemente, die ganz oder teilweise Teil dieser Strecke sind, ist der vorher für
den Bereich zwischen Berührpunkt und Punkt 1 ermittelte Strom zu verteilen. Dies geschieht anhand des Anteils der Randelemente an der Strecke zwischen Input-Berührpunkt
und Input-Punkt 1.
Abb. 4.47: Randelemente mit rot hervorgehobenen Input-Knoten
57
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Ein Beispiel: Aus den DINA-Daten ergebe sich die Gesamtlänge dDINA = 3m sowie ein
Abstand zwischen dem Berührpunkt und Punkt 1 von dB,1 = 0, 45m. Damit ergibt sich
dB,1
dDINA
= 15%. Der Gesamtabstand zwischen dem Input-Berührpunkt und dem Input-Punkt
10 betrage dinput = 4m. Somit ergibt sich für den Abstand zwischen dem Input-Berührpunkt
und dem Input-Punkt 1 der Wert dinput B,1 = 15% · 4m = 0, 6m. Damit ergibt sich folgendes
Bild:
Abb. 4.48: Mit den Daten aus dem Beispiel gilt dB,1 = 0, 45m,
so daß dinput B,1 = 0, 6m folgt.
Für die von dinput B,1 bedeckten Randelemente wird ihr jeweiliger Anteil an dinput B,1 bestimmt.
So trägt in Abb. 4.48 z.B. Element 2 10,55% zu dinput B,1 bei, Element 6 trägt 17,38% bei.
Entsprechend ihres jeweiligen Anteils wird der aus den DINA-Daten entnommene, zwischen
Berührpunkt und Punkt 1 in die Gefäßwand eintretende Strom auf die Rand-Elemente verteilt, bzw.: Da jedes Randelement eine Schicht repräsentiert, wird auf diese Art der in die
Finiten Elemente einer Schicht einzuprägende Strom ermittelt.
Ein Beispiel: Analog zu Abb. 4.48 sei für den Abstand zwischen dem Berührpunkt und
Punkt 1 ein Strom von 1200A ermittelt worden. Dementsprechend wird in die von Element
2 repräsentierte Schicht ein Strom von 10, 55% · 1200A = 126, 6A eingeprägt. In die von Element 6 repräsentierte Schicht wird ein Strom von 208, 56A eingeprägt.
Dieser Vorgang wird nun für dinput 1,2 , dinput 2,2 und so weiter bis hin zu dinput 9,10 wiederholt. Der auf diese Art für jede Schicht gespeicherte Strom wird zusammen mit der Nummer
der Schicht in einem Array gespeichert.
58
4.4. HALO-STROM BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Zum Schluß muß der auf diese Art für die einzelnen Schichten ermittelte Strom noch mit
einem Korrekturfaktor belegt werden: Dieser ergibt sich zum einen daraus, daß die DINADaten den Strom angeben, der insgesamt in die vollen 360 ◦ des Vakuumgefäßes eindringt
bzw. daraus austritt. Das globale Modell repräsentiert allerdings nur einen Sektor von 20 ◦ .
Dementsprechend werden die vorher berechneten Ströme mit dem Faktor
20
360
multipliziert.
Zum anderen ist der Toroidal Peaking Factor (kurz: TPF ) zu berücksichtigen. Er beschreibt
die Tatsache, daß der reale Halo-Strom sich in toroidaler Richtung nicht gleichmäßig ausprägt,
sondern lokale Maxima einnimmt. Aus Sicherheitsgründen wird Strom deshalb außerdem mit
dem TPF multipliziert, es wird also davon ausgegangen, daß der Halo-Strom im Bereich
des CXRS-PortPlug den maximalen Wert tatsächlich annimmt. Der TPF wird anhand der
Gleichung TPF =
Ip
·peak
Ih,max
berechnet. Der Wert für Ip wird [ITER2008] entnommen. Er be-
trägt Ip = 15MA. Ih,max ist der maximal auftretende Halo-Strom und wird den DINA-Daten
entnommen. Für das Szenario up VDE/f III lin 36ms beträgt er Ih,max = 0, 688MA. Der
dimensionslose Faktor peak ist ebenfalls [ITER2008] zu entnehmen und beträgt peak = 0.2
für das Szenario up VDE/f III lin 36ms. Somit ergibt sich TPF = 4, 36. Insgesamt ergibt sich
damit ein Korrekturfaktor von cKorrektur = 0, 2422.
Die DINA-Daten für den Halo-Strom bei up VDE/f III lin 36ms beschreiben die Zeit zwischen
t = 2310, 4ms und t = 2348, 2ms; t0 = 0ms entspricht dabei dem Zeitpunkt, zu dem das VDE
einsetzt. Die zeitliche Auflösung der DINA-Daten beträgt ∆t = 0, 1ms, woraus sich insgesamt 379 Zeitpunkte ergeben. All diese Zeitpunkte für die Modellierung zu verwenden, würde
einen großen Rechenaufwand bedeuten. Deshalb wird eine Reduktion angestrebt. Dazu wird
der Betrag des Halo-Stroms über die Zeit geplottet. Anschließend werden die Zeitpunkte, zu
denen der Betrag des Halo-Stroms ein lokales Minimum oder Maximum einnimmt, als jene
Zeitpunkte gewählt, die für die Berechnung herangezogen werden. Insgesamt ergeben sich so
82 Zeitpunkte. Dabei beträgt die relative Abweichung von den Originaldaten im quadratischen Mittel 6,2%.
Für jeden der 82 Zeitpunkte wird nach dem o.g. Verfahren der in eine Schicht einzuprägende
Strom ermittelt und gespeichert. Dabei wird ein Strom, wenn die Schicht beim betrachteten
Zeitpunkt Teil des Eintrittsbereichs ist, mit einem positiven Vorzeichen versehen, und mit
einem negativen Vorzeichen, wenn die Schicht beim betrachteten Zeitpunkt Teil des Austritts-
59
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
bereichs ist. Für jede Schicht wird also ein zeitlich veränderlicher Strom ermittelt, der in die
betreffende Schicht einzuprägen ist. In summa ergibt sich damit bei gleichzeitiger Betrachtung aller Schichten ein Bild, daß die Wanderung“ des Halo-Stroms über die Gefäßwand
”
mittels dessen zeitlicher Änderung in den einzelnen Schichten widergibt. Zur Verifizierung
des Verfahrens wird zu jedem Zeitpunkt die Summe aller Ströme gebildet - sie ergibt jedes
Mal null, was als Indiz für die Gültigkeit des Verfahrens gewertet wird.
700
kA
Rohdaten des
Halo-Stroms
600
vereinfachter
Halo-Strom
I halo
500
400
300
200
100
0
2310,4
2320
2330
2340
2348,2
ms
t
Abb. 4.49: originaler und vereinfachter zeitlicher Verlauf des
Halo-Stroms
Das Einprägen des Halo-Stroms in das globale Modell geschieht nun folgendermaßen: ANSYS
bietet die Möglichkeit, mittels sog. Circuit Elements elektrische Netzwerke zu simulieren. Bei
jenen Circuit Elements handelt es sich um die klassischen“ Elemente der elektrischen Netz”
werktheorie, also Induktivität, Kapazität, elektrischer Widerstand, Stromquelle und Spannungsquelle. Dabei handelt es sich nicht um Finite Elemente im eigentlichen Sinne. Es ist allerdings möglich, ein Circuit-Element-Netzwerk mit einer Finite-Elemente-Rechnung zu koppeln. Dies geschieht mittels spezieller Koppel-Elemente, die die Umrechnung der Netzgrößen
Strom und Spannung in die Feldgrößen Stromdichte und elektrisches Potential übernehmen.
Für das Einprägen des Halo-Stroms in die Gefäßwand wird von dieser Methode Gebrauch
gemacht. Dabei werden nur jene Schichten berücksichtigt, bei denen der einzuprägende HaloStrom zu wenigstens einem Zeitpunkt ungleich null ist.
Die Grundidee ist, alle Finiten Elemente einer Schicht jeweils mit einer Circuit-ElementStromquelle zu koppeln. Diese Stromquellen-Elemente werden den in die jeweilige Schicht
einzuprägenden, zeitabhängigen Strom liefern. Liefern sie einen Strom mit positivem Vorzei60
4.4. HALO-STROM BEI UP VDE/F III LIN 36MS
chen, agiert die betreffende Schicht als Quelle des Halo-Stroms, ist also Teil des Eintrittsbereichs; liefern sie einen Strom mit negativem Vorzeichen, agiert die betreffende Schicht als
Senke des Halo-Stroms und ist damit Teil des Austrittsbereichs. Der Stromkreis wird geschlossen, indem die jeweils freie9 Klemme aller Stromquellen-Elemente mit dem Bezugspotential
ϕ0 = 0 belegt wird, so daß alle Stromquellen-Elemente virtuell miteinander verbunden sind.
Die Umsetzung dieser Idee stellt sich in ANSYS nicht ganz unproblematisch dar. Der Grund
hierfür liegt in der Art begründet, wie einer Circuit-Element-Stromquelle der zeitliche Verlauf
des Stroms eingeprägt wird: Pro Stromquellen-Element können für Zeitpunkte t > 0 bis zu
sechs Zeit/Strom-Wertepaare festgelegt werden. Die Werte dazwischen werden von ANSYS
linear interpoliert. Für den Zeitpunkt t = 0 nimmt ANSYS automatisch für den Strom den
Wert I = 0 an. Die Werte zwischen t = 0 und dem frühesten angegebenen Zeitpunkt werden
ebenfalls lineaer interpoliert. Für die Zeit nach dem spätesten angegebenen Zeitpunkt nimmt
ANSYS den diesem Zeitpunkt zugeordneten Strom als konstant an. Siehe hierzu folgende
Abbildung:
Abb. 4.50: Umsetzung des Inputs von sechs Zeit/StromWertpaaren
in
eine
Circuit-ElementStromquelle
Es gilt also, eine Methode zu entwickeln, die 82 Zeitpunkte des Halo-Stroms mit StromquellenElementen abzubilden, für die maximal sechs Zeit/Strom-Wertepaare festgelegt werden können.
Hierfür wird sich der Überlagerungsmethode bedient: Mit jeder Schicht werden demnach
nicht nur eine, sondern mehrere, parallel geschaltete Stromquellen-Elemente gekoppelt. Dabei
entsprechen die Zeit/Strom-Wertepaare des ersten Stromquellen-Elements den Halo-StromZeitpunkten 1 bis 6, die Zeit/Strom-Wertepaare des zweiten Stromquellen-Elements den
9
jene Klemme, die nicht mit den Finiten Elementen verbunden ist
61
KAPITEL 4. MODELLIERUNG
Halo-Strom-Zeitpunkten 6 bis 11 usw., bis genügend Stromquellen-Elemente zur Abbildung
aller Zeit/Strom-Wertepaare des Halo-Stroms mit jeder Schicht gekoppelt wurden. Zusätzlich werden Stromquellen-Elemente eingefügt, deren Strom die Rampen (rot in Abb. 4.50)
bzw. konstanten Teile (grün in Abb. 4.50) ausgleicht, so daß in summa nur der Halo-Strom
in Schicht fließt. Das Problem, den Halo-Strom mit all seinen Eigenschaften, insbesondere
der Wanderung“ entlang der Gefäßwand, anhand der DINA-Daten im globalen Modell zu
”
modellieren, ist damit erfolgreich gelöst.
Abb. 4.51: Verschaltung der Circuit-Element-Stromquellen der Schicht i; rot
markierte Ströme sind Quellströme des Halo-Stroms, blau markierte Ströme sind Ausgleichsströme
4.4.2
Das lokale Modell für Halo-Ströme bei up VDE/f III lin
36ms
Das kleinste Detail des PortPlugs, das im globalen Modell modelliert wurde, ist die Main
Shell. Das größte Detail des lokalen Modells ist die Retractable Tube. Für eine sinnvolle
Übertragung der Verteilung des Halo-Stroms aus dem globalen Modell in das lokale Modell
sollten dem lokalen Modell also noch eine vereinfachte Ausführung der Shielding Cassette
und der Main Shell hinzumodelliert werden. Wichtig hierbei ist, daß der elektrische Kontakt
zwischen Main Shell und Shielding Cassette sowie zwischen Shielding Cassette und Retractable Tube richtig modelliert wird.
62
4.4. HALO-STROM BEI UP VDE/F III LIN 36MS
Der elektrische Kontakt zwischen Main Shell und Shielding Cassette stellt sich wie folgt dar:
• Am plasmaabgewandten Ende (links in Abb. 3.4) sind Main Shell und Shielding Cassette miteinander verschweißt.
• Zusätzlich ist die Shielding Cassette am plasmazugewandten Ende mit vier Haltebolzen
in der Main Shell fixiert (rot in Abb. 3.8).
Der elektrische Kontakt zwischen Shielding Cassette und Retractable Tube stellt sich wie
folgt dar:
• Am plasmaabgewandten Ende sind Shielding Cassette und Retractable Tube mit Schrauben miteinander verbunden.
• Am plasmazugewandten Ende ist die Retractable Tube in der Shielding Cassette fixiert.
Der elektrische Kontakt zwischen den Shutter-Armen und der Retractable Tube erfolgt mittels des hydraulischen Zylinders, der an zwei Stellen mit der Retractable Tube verbunden ist,
und der Kühlleitungen der Bumper.
Betrachtet man nun, wie sich die Querschnitte, die der Halo-Strom auf seinem Weg zu den
Shutter-Armen sieht“, sich immer weiter verkleinern (Main Shell → Shielding Cassette →
”
Retractable Tube → hydraulischer Zylinder → Shutter-Arme); beachtet man die gegenüber
dem gesamten ITER-Gefäß um mehrere Größenordnungen geringeren Proportionen des Shutters (vergl. Abb. 3.2); beachtet man weiterhin, daß der Halo-Strom, um die Shutter-Arme
auf dem kürzesten Wege zu erreichen, zunächst in plasmaabgewandter Richtung — also in
positiver radialer Richtung — über den PortPlug-BSM in die Spitze der Main Shell und von
dort über die vier Haltebolzen in die Retractable Tube und dann in den hydraulischen Zylinder fließen muß10 , um dann vom Zylinder in jetzt plasmazugewandter Richtung — negativer
radialer Richtung — die Shutter-Arme zu erreichen, läßt sich der Schluß ziehen, daß nur ein
unwesentlicher Bruchteil des Halo-Strom durch die Shutter-Arme fließen wird. In jedem Fall
sind keine Drehmomente in der Größenordnung der durch die Wirbelströme hervorgerufenen Drehmomente zu erwarten. Aus diesem Grund wird auf eine Modellierung eines lokalen
Modells für das Szenario des Halo-Stroms verzichtet.
10
die Kühlleitungen können demgegenüber aufgrund ihres geringen Querschnitts vernachläßigt werden,
vergl. Unterabschnitt 4.2.6
63
Kapitel 5
Berechnung
Dieses Kapitel befäßt sich mit dem Einprägen der korrekten Randbedingungen in die globalen
und lokalen Modelle sowie der Berechnung der Drehmomente im lokalen Modell.
5.1
Berechnung Wirbelströme up VDE/f III lin 36ms
Die Berechnung der Auwirkungen der Wirbelströme im Szenario up VDE/f III lin 36ms
ist nach der vollendeten Modellierung des lokalen Modells schnell geschehen: Das globale
Modell liegt bereits fertig durchgerechnet vor, so daß daraus nur die Randbedingungen am
Orte des Shutters in das lokale Modell eingeprägt werden müssen. Bei den einzuprägenden
Randbedingungen handelt es sich um das magnetische Vektorpotential des sich im globalen
Modell am Orte des Shutters ausprägenden Magnetfeldes. Aufgrund des wesentlich feineren
Meshs des lokalen Modells geschieht dies mittels einer von ANSYS zur Vefügung gestellten Interpolationsfunktion: Die für ein Finites Element des globalen Modell am Orte des
Shutters ermittelten Randbedingungen werden auf die sich im lokalen Modell im Bereich dieses Elements befindlichen Finiten Elemente verteilt. Die Gewichtung wird dabei mittels der
Formfunktionen vorgenommen. Hier zeigt sich auch, warum die Position des lokalen Modells
so gewählt wurde, daß sie genau der Position entspricht, die es einnehmen würde, wenn man
es in das globale Modell transferieren würde. Nur auf diese Art findet“ ANSYS die richti”
gen Finiten Elemente des lokalen Modells, in die die Randbedingungen des globalen Modells
einzuprägen sind. Nähere Details zu diesem Verfahren siehe [ANSYS].
64
5.1. BERECHNUNG WIRBELSTRÖME UP VDE/F III LIN 36MS
Da die dem globalen Modell entnommenen Werte für die Komponenten des magnetischen
Vektorpotentials als Randbedingungen in den kompletten Außenrand des lokalen Modells
eingeprägt werden, sind für das magnetische Vektorpotential alle Randbedingungen gegeben.
Als Randbedingung für das elektrische Skalarpotential wird in einem einzigen, willkürlich
ausgewählten Element-Knoten des lokalen Modells der Wert ϕ0 = 0 als Bezugspotential eingeprägt.
Das Feldproblem kann jetzt also berechnet werden. Bei ANSYS wird eine transiente Rechnung
wie folgt durchgeführt: In ANSYS wird der Wert t1 des ersten zu berechnenden Zeitpunkts
eingegeben. Anschließend werden alle für diesen Zeitpunkt gültigen Randbedingungen und
Quellen eingeprägt. Die Einprägung der Randbedingungen erfolgt dabei in den Knoten der
Finiten Elemente, die Einprägung der Quellen in den Finiten Elementen selbst. Danach erstellt und löst ANSYS das Gleichungssystem für den Zeitpunkt t1 . Nun werden der Zeitpunkt
t2 nebst jenen Randbedingungen und Quellen eingprägt, für die für t1 andere Werte vorliegen.
Die Werte aller anderen Randbedingungen und Quellen werden unverändert übernommen,
also weder aufgrund der Lösung des Gleichungssystems geändert noch gelöscht. Das Gleichungssystem für t1 wird aufgestellt und gelöst. Dieser Prozeß wird für alle einzuprägenden
Zeitpunkte wiederholt. Für das lokale Modell werden die Randbedingungen aus dem globalen
Modell entnommen, dies entspricht 48 Zeitpunkten.
Es ist auf eine ANSYS-Besonderheit bei der Berechnung transienter Prozesse hinzuweisen:
Für den Zeitpunkt t1 muß immer gelten t1 > 0. Intern generiert ANSYS einen Zeitpunkt
t0 = 0, bei dem die Werte aller Randbedingungen und Quellen auf null gesetzt sind. Beim
Berechnungsschritt von t0 zu t1 sieht“ ANSYS dementsprechend eine zeitliche Änderung der
”
Randbedingungen und Quellen und berechnet für den ersten Zeitpunkt schon Wirbelströme.
Für das vorliegende Szenario entspricht der Zeitpunkt t1 aber dem letzten Zeitpunkt vor
dem Eintreten des VDE. Bis zu diesem Zeitpunkt ist Ip zeitlich konstant gewesen, so daß
sich in den Shutter-Komponenten noch keine Wirbelströme haben ausbilden können. ANSYS würde aber für t1 fälschlicherweise schon Wirbelströme berechnen. Dem wird begegnet,
indem noch ein Zeitpunkt vor dem eigentlich ersten Zeitpunkt t1 berechnet wird. Dieser soll
dementsprechend mit t 1 bezeichnet werden. Für den Zeitpunkt t 1 werden die selben Werte
2
2
für die Randbedingungen eingeprägt, wie sie für den Zeitpunkt t1 einzuprägen sind. Des-
65
KAPITEL 5. BERECHNUNG
sen Berechnung wird nun nicht als transiente, sondern als statische Rechnung durchgeführt.
Dabei benutzt ANSYS nicht den internen Zeitpunkt t0 = 0, es werden also keine Wirbelströme in den Shutter-Komponenten berechnet. Ab hier wird die Berechnung dann transient
durchgeführt. Da für den Zeitpunkt t1 aber die gleichen Werte eingeprägt werden wie für den
Zeitpunkt t 1 , sieht“ ANSYS keine Änderung der Randbedingungen und berechnet eben2
”
falls keine Wirbelströme. Durch diesen Trick ergibt sich die transiente Berechnung also wie
gewünscht mit zum Zeitpunkt t1 wirbelstromfreien Shutter-Komponenten.
Nach der Berechnung der Wirbelströme sind die auf die Shutter-Arme und die Flaps wirkenden Drehmomente zu berechnen. Dazu wird ein kartesisches Koordinatensystem am zylinderseitigen Ende der Shutter-Arme definiert, siehe folgende Abbildung:
z
z
y
y
x
x
Abb. 5.1: zylinderseitiges Ende der ShutterArme mit Drehmomentkoordinatensystem; Draufsicht
Abb. 5.2: zylinderseitiges Ende der ShutterArme mit Drehmomentkoordinatensystem; Seitenansicht
ANSYS berechnet und speichert am Orte eines jeden Element-Knoten und zu jedem berechneten Zeitpunkt automatisch den Vektor der Kraft nach (2.1). Die Ausgabe der einzelnen
Komponenten kann in einem beliebigen Koordinatensystem erfolgen. Für die Berechnung
der gesuchten Drehmomente wird das Koordinatensystem nach Abb. 5.1 und 5.2 verwendet.
Die Drehmomente werden entsprechend ihrer Bezugsachse mit Mx , My und Mz bezeichnet. Sie werden für die Shutter-Arme und Flaps insgesamt, für den linken Shutter-Arm inkl. linkem Flap, den rechten Shutter-Arm inkl. rechtem Flap sowie jeweils einzeln für den
linken und den rechten Flap berechnet. Ihre Berechnung erfolgt durch die Aufsummierung
aller bezüglich ihrer jeweiligen Bezugachse wirkenden Einzeldrehmomente. Zur Berechnung
der Einzeldrehmomente beispielsweise für Mx, linker Shutter-Arm wird für jeden Element-Knoten
66
5.2. BERECHNUNG WIRBELSTRÖME MD III LIN 36MS
des linken Shutter-Arms und den linken Flaps der dort berechnete Wert für Fy mit der zKoordinate des Knoten multipliziert; gleiches geschieht mit Fz und der y-Koordinate des
Knotens. Die so ermittelten Werte für die Drehmomente werden zur späteren Analyse in
Tabellenform in einer .txt-Datei ausgegeben und gespeichert.
5.2
Berechnung Wirbelströme MD III lin 36ms
Für das Szenario MD III lin 36ms sind zunächst im globalen Modell die sich am Orte des
Shutters ausprägenden Felder zu berechnen. Dafür werden die während der Modellierung
(vergl. Unterabschnitt 4.3.1) ermittelten Daten für die Modellierung des Plamastroms für
jeden der gewählten Zeitpunkte als Quellen in die Anordnung eingprägt. Ebenso wie im vorhergehenden Abschnitt wird dabei ein zusätzlicher Zeitpunkt t 1 berechnet; dabei werden die
2
Daten für die Spulenströme als Quellen in die Anordnung eingeprägt. Da die Werte von Randgebieten und Quellen für jeden Zeitpunkt solange erhalten bleiben, bis sie explizit geändert
werden, und da die Spulenströme zeitlich konstant sind, genügt es, letztere einmal während
des Zeitpunkts t 1 einzuprägen.
2
Das globale Modell stellt einen 20 ◦ -Sektor des ITER dar, beschreibt also nicht die vollständige Anordnung. Die Randbedingungen müssen dementsprechend so gewählt werden, daß sich
im globalen Modell das gleiche B-Feld und die gleiche Wirbelstromverteilung ausprägt, als
würden die vollen 360 ◦ des ITER berechnet werden. Anders ausgedrückt, muß die 20 ◦ Drehsymmetrie des ITER simuliert werden. Diese Art der Randbedingung nennt man periodische Randbedingung. Für die Randbedingung des B-Feldes wird dazu ausgenutzt, daß die
an den Schnittflächen liegenden Element-Knoten ebenfalls eine 20 ◦ -Drehsymmetrie aufweisen. In toroidaler Richtung liegt also jedem Knoten der rechten Schnittfläche ein Knoten der
linken Schnittfläche genau gegenüber. Die Freiheitsgerade des magnetischen Vektorpotentials der sich gegenüberliegenden Knoten werden jeweils miteinander gekoppelt. Das bedeutet,
daß ANSYS das Gleichungssystem so löst, daß sich für miteinander gekoppelte Knoten der
jeweils gleiche Wert für Ax , Ay und Az ergibt. Dadurch gleicht das B-Feld auf der rechten
Schnittfläche genau jenem auf der linken Schnittfläche, gerade so, wie es zu erwarten wäre,
falls nicht nicht nur ein 20 ◦ -Sektor des ITER berechnet würde, sondern die gesamte Anordnung.
67
KAPITEL 5. BERECHNUNG
Für jene sich an den Schnittflächen befindlichen Knoten, die Element-Knoten der als leitfähig
definierten Komponenten sind, muß zusätzlich eine Randbedingung für das elektrische Skalarpotential angegeben werden. Diese erfolgt aufgrund der Überlegung, daß der Plasmastrom
nur in toroidaler Richtung fließt. Dementsprechend wird das Skalarpotential aller betreffenden Knoten der rechten Schnittfläche gekoppelt. In alle entsprechenden Knoten der linken
Schnittfläche wird als Bezugswert für das elektrische Skalarpotential der Wert ϕ0 = 0 eingeprägt. Somit ergeben sich an den Schnittflächen der als leitfähig definierten Komponenten
Äquipotentialflächen. Die sich ergebenden Wirbelströme werden dort normal zur Schnittfläche, also in toroidaler Richtung fließen. Die wäre ebenfalls der Fall, wenn das globale
Modell ein volles 360 ◦ -Modell der ITER wäre. Da für die linke Äquipotentialfläche ϕ0 = 0
gilt, dient diese gleichzeitig als Bezugspotential zur Berechnung des elektrischen Skalarpotentials.
Von der genannten Beschreibung der Randbedingungen gibt es zwei Ausnahmen:
1. Für die Infinite Elements muß ein Flag gesetzt werden, das anzeigt, in welcher Richtung
sich die simulierte Unendlichkeit erstreckt. Beim globalen Modell ist das an der äußeren
Rundung der Fall, so daß in alle dortigen Element-Knoten als Randbedingung einzig
das genannte Flag eingprägt wird.
2. Für jene Knoten, die sich an der Innenkante des 20 ◦ -Sektors befinden, kann die Methode der Kopplung nicht angewendet werden. Stattdessen wird dort in den ZylinderKoordinaten die r-Koordinate für jeden Knoten das magnetische Vektorpotential auf 0
gesetzt. Damit wird erzwungen, daß sich das B-Feld dort nur in toroidaler oder poloidaler Richtung ausprägt und damit so wirkt, als sei der 20 ◦ -Sektor nur ein Ausschnitt
aus einem vollständigen 360 ◦ -Modell des ITER.
Nun wird die Berechnung der sich für das Szenario MD III lin 36ms im globalen Modell am
Ortes des Shutters ergebenden Wirbelströme durchgeführt. Anschließend werden, ganz analog
zum vorhergehenden Abschnitt, die auf den Shutter insgesamt, auf den linken Shutter-Arm
inkl. linkem Flap, auf den rechten Shutter-Arm inkl. rechtem Flap, den linken Flap einzeln
und den rechten Flap einzeln wirkenden Drehmomente berechnet. Das Koordinatensystem ist
dabei ebenfalls das gleiche wie im vorhergehenden Abschnitt. Die Ergebnisse werden ebenfalls
in Tabellenform in einer .txt-Datei ausgegeben und gespeichert.
68
5.3. BERECHNUNG HALO-STROM UP VDE/F III LIN 36MS
5.3
Berechnung Halo-Strom up VDE/f III lin 36ms
Für dieses globale Modell werden ebenfalls periodische Randbedingungen gewählt. Die Randbedingungen für das magnetische Vektorpotential und die Infinite Elements entsprechen jenen aus dem vorhergehenden Abschnitt. Für das elektrische Skalarpotential auf den Schnittflächen wird die Methode der Kopplung angewendet, wie sie im vorhergehenden Abschnitt
für die Komponenten des magnetischen Vektorpotentials benutzt wurde. Damit ergibt sich
auf beiden Schnittflächen das gleiche Feld des elektrischen Skalarpotentials. Gleichzeitig ergibt sich der Fluß des Halo-Stroms parallel zu den Schnittflächen längs des Gradienten des
elektrischen Potentialfeldes. Das Bezugspotential ϕ0 = 0 ist bereits auf den Circuit-ElementStromquellen vorgegeben.Die Wirkung der Circuit-Element-Stromquellen als Stromdichtequellen und -senken wird von ANSYS automatisch berechnet und bedarf keiner weiteren
Modellierung.
Wie bereits im Kapitel der Modellierung beschrieben, entfällt für das Szenario des HaloStroms bei up VDE/f III lin 36ms das lokale Modell.
69
Kapitel 6
Vorläufige Ergebnisse
Es ist eine Standardvorgehensweise für Studien- und Diplomarbeiten, nach der Beschreibung
der für die Erzielung von Ergebnissen durchzuführenden Tätigkeiten — in der vorliegenden
Arbeit die Kapitel Modellierung und Berechnung — in einem Ergebnisse“ genannten Kapi”
tel die Resultate der Arbeit aufzuführen. Dies soll auch in der vorliegenden Arbeit geschehen,
allerdings unter der Einschränkung, daß die Ergebnisse der ersten Berechnung als vorläufige
Ergebnisse betrachtet werden. Grund hierfür ist der numerische Fehler und die daraus resultierende Feststellung, daß es bei aller Sorgfalt in der Modellierung und Berechnung töricht
ist, sich blind auf die Ergebnisse zu verlassen (vergl. Kapitel 8). Diesem Umstand trägt die
Kapitelüberschrift Rechnung, die darauf hinweist, daß die darin präsentierten Ergebnisse
aus den zuvor geschilderten Arbeiten zur Modellierung und Rechnung entstammen, aber einer anschließenden Beurteilung und ggf. korrigierten Modellierung und Berechnung bedürfen.
Für die Ergebnisse wird das Koordinatensystem nach Abb. 5.1 und 5.2 verwendet.
70
6.1. VORLÄUFIGE ERGEBNISSE WIRBELSTRÖME UP VDE/F III LIN 36MS
6.1
Vorläufige Ergebnisse Wirbelströme up VDE/f III
lin 36ms
Die folgenden Graphen zeigen den zeitlichen Verlauf der für das Szenario up VDE/f III lin
36ms berechneten Drehmomente:
Abb. 6.1: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich
der x-Achse für up VDE/f III lin 36msi i i i i
iiiiiiiiii
Abb. 6.2: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900ms
Abb. 6.3: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der
y-Achse für up VDE/f III lin 36msi i i i i i i i i i i
iiii
Abb. 6.4: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900ms
71
KAPITEL 6. VORLÄUFIGE ERGEBNISSE
Abb. 6.5: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der
z-Achse für up VDE/f III lin 36msi i i i i i i i i i i
iiii
6.2
Abb. 6.6: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900ms
Vorläufige Ergebnisse Wirbelströme MD III lin 36ms
Die folgenden Graphen zeigen den zeitlichen Verlauf der für das Szenario MD III lin 36ms
berechneten Drehmomente:
Abb. 6.7: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der x-Achse
für MD III lin 36ms
72
6.3. VORLÄUFIGE ERGEBNISSE HALO-STROM UP VDE/F III LIN 36MS
Abb. 6.8: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der y-Achse
für MD III lin 36ms
Abb. 6.9: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der z-Achse
für MD III lin 36ms
6.3
Vorläufige Ergebnisse Halo-Strom up VDE/f III lin
36ms
Wie in Unterabschnitt 4.4.2 angesprochen gibt es wegen des Halo-Strompfades hin zum Shutter für die Drehmomente beim Halo-Strom keine Berechnung und damit auch kein Ergebnis
für die Drehmomente.
73
KAPITEL 6. VORLÄUFIGE ERGEBNISSE
6.4
Größte Beträge der Drehmomente
In den folgenden Tabellen werden, analog zur Aufgabenstellung, für jedes Szenario und jedes
berechnete Drehmoment die Werte des jeweils größten Betrages zusammengefaßt:
Komponente
rechter Shutter-Arm
inkl. rechter Flap
linker Shutter-Arm
inkl. linker Flap
rechter Flap
linker Flap
beide Shutter-Arme
inkl. beider Flaps
Mx /Nm
My /Nm
Mz /Nm
65,68
−695,00
209,08
47,59
382,95
−108,57
0,89
0,68
0,17
0,10
−0,15
0,16
100,69
−577,98
195,72
Tab. 6.1: Werte mit jeweils höchstem Betrag für Drehmomente
durch Wirbelströme bei up VDE/f III lin 36ms
Komponente
rechter Shutter-Arm
inkl. rechter Flap
linker Shutter-Arm
inkl. linker Flap
rechter Flap
linker Flap
beide Shutter-Arme
inkl. beider Flaps
Mx /Nm
My /Nm
Mz /Nm
7,30
−125,62
70,39
−5,98
−87,65
−49,41
−0,806
−0,97
0,09
−0,05
0,07
−0,19
6,45
−213,67
116,12
Tab. 6.2: Werte mit jeweils höchstem Betrag für Drehmomente
durch Wirbelströme bei MD III lin 36ms
Es ist zu beachten, daß die Werte aus Tab. 7.1 und Tab. 7.2 nicht notwendigerweise zu
den gleichen Zeitpunkten auftreten. Sprich, das größte Drehmoment in x-Richtung kann zu
einem anderen Zeitpunkt auftreten als beispielsweise das größte Drehmoment in y-Richtung.
Da das PortPlug-Design-Team jedoch an den Drehmomenten mit dem absolut größten Betrag
interessiert ist, spielt dieser Sachverhalt für die Ergebnisse keine Rolle.
74
Kapitel 7
Diskussion der vorläufigen Ergebnisse
Zunachst soll grundsätzlich überlegt werden, bezüglich welcher Achse des zur Berechnung
der Drehmomente verwendeten Koordinatensystems die betragsmäßig größten Drehmomente zu erwarten sind. Analog zu den Ausführungen in Abschnitt 2.3 werden die betragsmäßig
größten Kräfte durch Ströme senkrecht zum toroidalen Magnetfeld verursacht. Dazu zwei
Abbildungen zur Lage der Shutter-Arme und der Flaps relativ zum toroidalen Magnetefeld:
Btor
Btor
Abb. 7.1: Blick in radialer Richtung
bei α = 0 ◦ (zylindrisches
Koordinatensystem
nach
Unterabschnitt 4.2.1)
Abb. 7.2: Blick in azimutaler Richtung bei
α = 0 ◦ (zylindrisches Koordinatensystem nach Unterabschnitt
4.2.1)
Wie aus Abb. 7.1 und Abb. 7.2 ersichtlich, weist das toroidale Magnetfeld eine starke Komponente normal zu den Shutter-Armen auf. Demzufolge ist damit zu rechnen, daß die größten
Kräfte nach (2.1) durch Strompfade längs der Shutter-Arme zustande kommen, so daß sich
die betragsmäßig größten Drehmomenten bezüglich der x- und der y-Achse ausprägen. Ein
Blick auf Tab. 1 und Tab. 2 zeigt, daß dies sowohl für up VDE/f III lin 36ms als auch für
MD III lin 36ms tatsächlich der Fall ist. Aus den jeweils deutlich größeren Beträgen für My
läßt sich schließen, daß der in Unterabschnitt 4.2.3 beschriebene Wirbelstrompfad dominiert.
75
KAPITEL 7. DISKUSSION DER VORLÄUFIGEN ERGEBNISSE
Eine Eigenschaft der Drehmomente, die bis dato einer geschlossenen Erklärung harrt, ist
der betragsmäßige Unterschied von My für den linken und den rechten Shutter-Arm inkl. der
jeweiligen Flaps. Die unterschiedlichen Vorzeichen resultieren aus dem verwendeten Koordinatensystem, für die unterschiedlichen Beträge muß eine andere Erklärung gefunden werden.
Eine mögliche Erklärung ist die Lage des Shutters: Anhand von Abb. 7.1 und Abb. 7.2 läßt
sich erkennen, daß der Shutter etwas schief“ im PortPlug sitzt und der rechte Shutter-Arm
”
und der rechte Flap sich etwas näher am Plasma befinden und dem zeitveränderlichen poloidalen Magnetfeld stärker ausgesetzt sind. Hinzu kommt, daß der Betrag des toroidalen
Magnetfeldes in radialer Richtung nach [Aga2007] in radialer Richtung in erster Näherung
mit
1
r2
abnimmt, so daß auf den rechten Shutter-Arm insgesamt stärkere Kräfte nach (2.1)
wirken. Eine Möglichkeit zur Verfizierung dieser Annahme ist die Modellierung eines bezüglich
der x-Achse des Drehmomentkoordinatensystems symmetrischen Shutter-Modells, das nicht
schief“ im PortPlug sitzt. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit selbst bleibt dafür keine Zeit,
”
so daß dem PortPlug-Team des Forschungszentrums Jülich eine entsprechende Rechung empfohlen wird.
Eine weitere Auffälligkeit ergibt sich beim Vergleich des zeitlichen Verlaufs der Drehmomente
(vergl. Abb. 6.1 bis 6.9): Betrachtet man den zeitlichen Verlauf für MD III lin 36ms, zeigt
sich zum zeitlichen Ende der Rechnung ein starker Anstieg des Betrags des Drehmoments. Es
stellt sich die Frage, ob sich dieser Anstieg nach dem Zeitpunkt t = 50ms fortsetzen würde.
Dies ist mittels einer Berechnung weiterer Zeitpunkte zu verifizieren.
Der Beitrag der Flaps zu den Drehmomenten liegt mehrere Größenordnungen unter jenem der
Shutter-Arme und kann deshalb in erster Näherung vernachlässigt werden. Die Befürchtung,
daß die Flaps aufgrund des langen Hebelarms in besonderem Maße zum auf die Shutter-Arme
wirkenden Drehmoment beitragen, wird nicht bestätigt.
76
Kapitel 8
Verifizierung
Wie zu Beginn von Kapitel 4 erläutert, geht die Feldberechnung mittels der Methode der
Finiten Elemente stets mit einem Fehler einher. Dementsprechend sind die berechneten Ergebnisse immer hinsichtlich ihrer Gültigkeit abzuschätzen. Üblicherweise wird dafür wird
ein Feldproblem mit unterschiedlichen numerischen Verfahren gelöst. Dabei kann es sich sowohl um hinsichtlich ihres generellen Ansatzes unterschiedliche Verfahren (Finite-DifferenzenMethode, Boundary Element Method, Ersatzladungsverfahren, Methode der Finiten Elemente etc. — einen guten Überblick liefert [Sü2006]) als auch um Varianten innerhalb des selben
Verfahrens handeln. Ein Beispiel für letzteres innerhalb der Methode des Finiten Elemente ist der Ansatz mit unterschiedlichen Approximationsfunktionen, die Verwendung unterschiedlicher Lösungsverfahren für das Gleichungssystem oder die Nutzung unterschiedlicher
Verfahren des Post-Processings. Auf diese Art ergibt sich ein Ensemble von Lösungen, die
insgesamt eine möglichst objektive Aussage über die gesuchte Lösung erlauben. Dies kann,
abhängig von der Geometrie des Feldgebietes, noch durch analytische Näherungsrechnungen
gestützt werden.
Für die Praxis der vorliegenden Arbeit ist ist der o.g. Ansatz aus Zeit- und Ressourcengründen deutlich zu aufwendig. Deshalb vergab das Forschungszentrum Jülich die Aufgabe
neben dem Verfasser der vorliegenden Arbeit an verschiedene weitere Auftragnehmer. In
der vorliegenden Arbeit wird sich aus pragmatischen Gründen auf einige simple Verfahren
beschränkt, um die Gültigkeit der vorläufigen Ergebnisse allgemein abzuschätzen.
77
KAPITEL 8. VERIFIZIERUNG
8.1
Vorstellung und Analyse der Verfahren
Die erste Möglichkeit zur Verifizierung der Ergebnisse ist die Auswertung der der Kontinuitätgleichung div J~ = 0. Dazu wird längs des Hauptwirbelstrompfades an einigen Stellen
der dort berechnete Strom bestimmt. Dieser muß an allen Meßpunkten den gleichen Wert
aufweisen, damit div J~ = 0 gilt. Dieses Verfahren findet in der vorliegenden Arbeit in den
lokalen Modellen Anwendung. Auf die globalen Modelle läßt es sich nicht gut anwenden, da
sich die Wirbelstrompfade dort zu vielfältig ausprägen, als daß eine zuverlässige Implementierung möglich wäre.
Eine zweite Methode besteht darin, daß Mesh zu verfeinern und die Rechnung zu wiederholen. Tritt dabei eine größere Differenz zwischen den Ergebnissen auf, deutet dies auf ein
zu grobes oder fehlerhaftes Original-Mesh hin. Von dieser Methode wird in der vorliegenden
Arbeit Abstand genommen: Zum einen liegen die globalen Modelle rein als Finite Elemente
vor, also ohne Volumes, anhand derer sich das Mesh leicht erneut berechnen lassen könnte.
Daraus eine zuverlässige Meshverfeinerung abzuleiten, übersteigt zum aktuellen Zeitpunkt die
ANSYS-Fertigkeiten des Verfassers der vorliegenden Arbeit. Zum andern gibt es für das lokale Modell eine Element-Obergrenze von 40000 Finiten Elementen, so daß eine Verfeinerung,
sofern sie abweichende Ergebnisse liefert, sich in einem allenfalls unwesentlich verfeinerten
Mesh niederschlüge. Zudem ist der Verfasser der vorliegenden Arbeit der Ansicht, daß, wenn
diese Beschränkung nicht bestünde, die erste Berechnung ohnehin redundant wäre und man
direkt mit einem verfeinerten Mesh rechnen könnte.
Drittens besteht die Möglichkeit, mit einer analytischen Näherungsrechnung die numerischen
Ergebnisse zu verfifizieren. Für die vorliegenden Arbeit wird aufgrund der komplexen Struktur des Shutters darauf verzichtet: Die analytische Näherungslösung wird, um überhaupt
durchführbar zu sein, eine Vereinfachnung der Anordnung bedingen. Mit dieser Vereinfachnung ist ganz analog zur numerischen Rechung ein Fehler verglichen mit den sich in der
phyikalischen Realität einstellenden Drehmomenten verbunden. Weichen nun die Ergebnisse der analytischen Rechnung von jenen der numerischen Rechnung ab, läßt sich daraus
nicht eindeutig auf einen Fehler in der numerischen Rechnung schließen, da sich der Fehler
der Vereinfachnung nicht von jenem der numerischen Rechnung trennen läßt. Für einfachere
Geometrien, die analytisch leichter erfaßbar sind, mag diese Methode dennoch einen Hinweis
78
8.2. KONTINUITÄTSGLEICHUNG
auf die größenordnungsmäßige Richtigkeit der Ergebnisse liefern.
Strenggenommen sind die genannten Verfahren nicht wissenschaftlich sauber, da sie die Richtigkeit einer bestimmten Erkenntnis aus eben dieser Erkenntnis selbst heraus zeigen sollen.
Aus den o.g. pragmatischen Gründen wird jedoch darauf zurückgegriffen, um so zumindest
einschätzen zu konnen, ob die berechneten Ergebnisse wenigstens qualitativ und von ihrer
Größenordnung her nachvollziehbar sind.
8.2
Kontinuitätsgleichung
Nach den Überlegungen in Kapitel 7 ist für die Drehmomente hauptsächlich der in Unterabschnitt 4.2.3 beschriebene Strompfad verantwortlich. Dementsprechend soll hier an vier
verschiedenen Stellen der insgesamt diesen Pfad entlang fließende Strom bestimmt werden:
an den Kühlleitungen zwischen Retractable Tube und Bumper, an zwei Stellen der ShutterArme und an den Kontaktstellen des hydraulischen Zylinders mit der Retractable Tube und
durch die Shutter-Arme. Ist div J~ = 0 erfüllt, wird sich an allen vier Strommeßpunkten der
gleiche Betrag für den Strom ergeben.
Strommeßpunkt 4
Strommeßpunkt 3
Strommeßpunkt 1
Strommeßpunkt 2
Abb. 8.1: die vier Strommeßpunkte; Details siehe nachfolgende Abbildungen
79
KAPITEL 8. VERIFIZIERUNG
1
1
Abb. 8.2: Detailaufnahme Strommeßpunkt 1;
rot eingfärbte Flächen ergeben zusammen die Stromdurchtrittsfläche
Abb. 8.3: Detailaufnahme Strommeßpunkt 2;
rot eingfärbte Flächen ergeben zusammen die Stromdurchtrittsfläche
1
1
Abb. 8.4: Detailaufnahme
Strommeßpunkt
3; rot eingfärbte Flächen ergeben
zusammen die Stromdurchtrittsflächeauf anderer Seite des Zylinders
die Stromdurchtrittsfläche
Abb. 8.5: Detailaufnahme Strommeßpunkt 4;
rot eingfärbte Fläche ergibt zusammen mit ihrem Gegenstück auf anderer Seite des Zylinders die Stromdurchtrittsfläche
Für den insgesamt durch eine Fläche A tretenden Strom I gilt
I=
ZZ
J~ · ~ndA
(8.1)
A
mit ~n als dem Normalenvektor der betrachteten Fläche. Bei dem in der vorliegenden Arbeit
verwendeten numerischen Verfahren geht das Integral in eine Summe über:
I=
a
X
J~i · ~ni · ∆Ai
(8.2)
i=1
Dabei ist a die Zahl der Finiten Elemente, die Teil der Fläche A sind. ∆Ai ist die Teilfläche des
i-ten Elements, ~ni der zugehörige Flächennormalenvektor. J~i ist die für das i-te Element be80
8.2. KONTINUITÄTSGLEICHUNG
rechnete Stromdichte. Letztere läßt sich von ANSYS direkt ausgeben und zwar ausschließlich
im globalen kartesischen Koordinatensystem. ∆Ai und ~ni müssen dagegen für jedes Element
berechnet werden, wobei ~ni zur korrekten Berechnung von J~i · ~ni ebenfalls im globalen kartesischen Koordinatensystem von ANSYS vorliegen muß.
Ist A eine ebene Fläche, genügt es, für eine der Teilflächen ∆Ai den Flächennormalenvektor
zu bestimmen und zur Berechnung für alle Elemente, die Teil von A sind, zu verwenden.
Dazu wird ~ni für eines der Elemente bestimmt. Im Falle einer nicht-ebenen Fläche A wird
~ni für jedes Teilelement bestimmt. In jedem Fall wird folgendes Verfahren angewendet: Es
wird ein kartesisches Koordinatensystem erstellt und aktiviert, dessen z-Achse senkrecht auf
∆Ai steht. In diesem Koordinatensystem wird ein Keypoint mit den Koordinaten (0 | 0 | 1)
erstellt. Der Ortsvektor dieses Keypoints ist dann der gesuchte Flächennormalenvektor ~ni .
Anschließend wird erst das globale kartesische Koordinatensystem aktiviert und dann die
Berechnung von J~i · ~ni ausgeführt. Nun wird der Flächeninhalt von ∆Ai mit dem in Unterabschnitt 4.3.1 vorgestellten Verfahren bestimmt und mit dem Ergebnis von J~i ·~ni multipliziert.
Das Ergebnis ist der Teilstrom ∆I. Die Summe aller Teilströme ergibt den längs des Wirbelstrompfades durch die Fläche A tretenden Strom.
Die folgenden Graphen zeigen die Ergebnisse für up VDE/f III lin 36ms und MD III lin
36ms:
Abb. 8.6: zeitlicher Verlauf des Betrags des Stromstärke an
den Meßpunkten aus Abb. 8.1 für up VDE/f III
lin 36ms
81
Abb. 8.7: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900ms
KAPITEL 8. VERIFIZIERUNG
Abb. 8.8: zeitlicher Verlauf des Betrags des Stromstärke an den Meßpunkten aus Abb. 8.1 für MD III lin 36ms
Sowohl Abb. 8.6 und Abb. 8.7 als auch Abb. 8.8 zeigen an allen vier Meßpunkten eine sehr
gute Übereinstimmung hinsichtlich der Stromstärke. Im quadratischen Mittel aller Zeitpunkte ergibt sich für up VDE/f III lin 36ms ein relativer Fehler von 42,76%, also rund 43%.
Dies wird auf numerische Ungenauigkeiten beim Zeitpunkt 840,3ms zurückgeführt: Bei diesem Zeitpunkt ergeben sich für den Strom an den Meßpunkten Werte, die um 0A schwanken.
Der relative Fehler beträgt dort 270%. Da der relative Fehler zu allen anderen Zeitpunkten
um mehrere Größenordnungen kleiner ist, wird dies als Meßausreißer gewertet. Ohne dessen Berücksichtigung ergibt sich im quadratischen Mittel ein relativer Fehler von 15,16%,
also rund 15%. Zum Zeitpunkt des größten Drehmoments ergibt sich ein relativer Fehler von
0,67%, also rund 1%.
Für MD III lin 36ms ergibt sich im quadratischen Mittel aller Zeitpunkte ein relativer Fehler
von 14,6%. Zum Zeitpunkt des größten Drehmoments ergibt sich ein relativer Fehler von
genau 1%.
Insgesamt zeigt sich bei allen Szenarien die Tendenz, daß der relative Fehler kleiner wird,
umso größer die Beträge der Ströme sind. Es wird deshalb der Schluß gezogen, daß div J~ = 0
im Rahmen der numerischen Genauigkeit erfüllt wird.
82
Kapitel 9
Weitere Wirbelstromrechnung
In diesem Kapitel wird die Berechnung der Drehmomente für MD III lin 36ms mit zwanzig
weiteren Zeitpunkten durchgeführt. Weiterhin werden die Drehmomente sowohl für up VDE/f
lin 36ms als auch für MD III lin 36ms mit einem veränderten lokalen Modell erneut berechnet.
Die Veränderung des lokalen Modells besteht darin, den Hauptwirbelstrompfad, der sich für
den Großteil der Drehmomente verantwortlich zeigt, durch die Isolierung der Shutter-Arme
gegenüber dem hydraulischen Zylinder zu unterbrechen und so die Drehmomente zu reduzieren. Die Idee hierzu entstammt einem Gespräch mit dem Leiter des PortPlug-Design-Teams,
Herrn Yuri Krasikov. Dies wird im lokalen Modell dadurch erreicht, daß alle Finiten Elemente
des Zylinders, die direkten Kontakt zu den Finiten Elementen der Shutter-Arme haben, als
Vakuum definiert werden.
9.1
up VDE/f III lin 36ms
Für up VDE/f III lin 36ms wird als weitere Berechnung nur die Berechnung mit den gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten Shutter-Armen durchgeführt. Hierzu wird als
globales Modell unverändert jenes aus Unterabschnitt 4.2.1 verwendet. Für das lokale Modell
wird das in Unterabschnitt 4.2.6 beschriebene lokale Modell um eine Isolierschicht aus Vakuumelementen wie o.g. modifiziert und ansonsten unverändert übernommen. Die Berechnung
erfolgt analog zu jener in Abschnitt 5.1.
83
KAPITEL 9. WEITERE WIRBELSTROMRECHNUNG
9.2
MD III lin 36ms
Für MD III lin 36ms werden zwei weitere zusätzliche Berechnungen durchgeführt: Zum einen
muß der zeitliche Verlauf der Drehmomente geklärt werden, zum anderen soll für MD III lin
36ms ebenfalls eine Berechnung mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten ShutterArmen durchgeführt werden.
Die Berechnung erfolgt bei beiden Varianten auf die gleiche Art: Als globales Modell wird
unverändert jenes aus Unterabschnitt 4.3.1 hergenommen und mit zwanzig zusätzlichen Zeitpunkten gerechnet. Für die zusätzlichen Zeitpunkte liegen keine DINA-Daten vor, so daß
nur die Auswirkungen der Induktivität des Vakuumgefäßes auf den zeitlichen Verlauf des
Wirbelstroms untersucht werden können. Die Berechnung mit dem globalen Modell erfolgt
deshalb dergestalt, daß der Plasmastrom in allen zusätzlichen Zeitpunkten den selben Wert
~ pol wird also als konstant angenommen.
annimmt, wie im letzten regulären Zeitpunkt. B
Die Daten aus dem globalen Modell werden wie gehabt in das lokale Modell eingeprägt. Die
Berechnung erfolgt damit ganz analog zu Abschnitt 5.2, mit dem Unterschied, daß zwanzig
Zeitpunkte mehr zu berechnen sind.
84
Kapitel 10
Ergebnisse
10.1
Drehmomente
In diesem Kapitel werden die endgültigen Ergebnisse der Aufgabenstellung präsentiert. Dabei
wird zunächst der zeitlichen Verlauf der Drehmomente für das Szenario up VDE/f lin 36ms
graphisch dargestellt:
Abb. 10.1: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich
der x-Achse für up VDE/f III lin 36msi i i i i
iiiiiiiii
85
Abb. 10.2: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900ms
KAPITEL 10. ERGEBNISSE
Abb. 10.3: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich
der y-Achse für up VDE/f III lin 36msi i i i i
iiiiiiiii
Abb. 10.4: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900ms
Abb. 10.5: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich
der z-Achse für up VDE/f III lin 36msi i i i i
iiiiiiiii
Abb. 10.6: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900ms
86
10.1. DREHMOMENTE
Es folgt die graphische Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Drehmomente für das Szenario
up VDE/f lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten Shutter-Armen:
Abb. 10.7: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich
der x-Achse für up VDE/f III lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten
Shutter-Armen
Abb. 10.8: Vergrößerung des Bereichs zwischen 820ms
und 900msi i i i i i i i i
iiiiiiiii
Abb. 10.9: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich
der y-Achse für up VDE/f III lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten
Shutter-Armen
Abb. 10.10: Vergrößerung
des
Bereichs
zwischen
820ms und 900msi i
iiiiiiiiiiiiiiii
87
KAPITEL 10. ERGEBNISSE
Abb. 10.11: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich
der z-Achse für up VDE/f III lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten
Shutter-Armen
Abb. 10.12: Vergrößerung
des
Bereichs
zwischen
820ms und 900msi i
iiiiii
Im Anschluß folgt die graphische Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Drehmomente für
MD III lin 36ms, zuerst für gegenüber dem hydraulischen Zylinder nicht isolierten ShutterArmen, dann für isolierte Shutter-Arme:
Abb. 10.13: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der xAchse für MD III lin 36ms
88
10.1. DREHMOMENTE
Abb. 10.14: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der yAchse für MD III lin 36ms
Abb. 10.15: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der zAchse für MD III lin 36ms
Abb. 10.16: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der xAchse für MD III lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten Shutter-Armen
89
KAPITEL 10. ERGEBNISSE
Abb. 10.17: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der yAchse für MD III lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten Shutter-Armen
Abb. 10.18: zeitlicher Verlauf der Drehmomente bezüglich der zAchse für MD III lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten Shutter-Armen
90
10.1. DREHMOMENTE
In den folgenden Tabellen werden die jeweils größten Beträge der Drehmomente für die
Shutter-Komponenten aufgeführt:
Komponente
rechter Shutter-Arm
inkl. rechter Flap
linker Shutter-Arm
inkl. linker Flap
rechter Flap
linker Flap
beide Shutter-Arme
inkl. beider Flaps
Mx /Nm
My /Nm
Mz /Nm
65,68
−695,00
209,08
47,59
382,95
−108,57
0,89
0,68
0,17
0,10
−0,15
0,16
100,69
−577,98
195,72
Tab. 10.1: Werte mit jeweils höchstem Betrag für Drehmomente
durch Wirbelströme bei up VDE/f III lin 36ms
Komponente
rechter Shutter-Arm
inkl. rechter Flap
linker Shutter-Arm
inkl. linker Flap
rechter Flap
linker Flap
beide Shutter-Arme
inkl. beider Flaps
Mx /Nm
My /Nm
Mz /Nm
−10,81
−71,08
37,94
−16,77
38,40
14,79
0,89
0,68
0,17
0,10
−0,15
0,16
-26,55
−43,18
37,48
Tab. 10.2: Werte mit jeweils höchstem Betrag für Drehmomente
durch Wirbelströme bei up VDE/f III lin 36ms mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten ShutterArmen
Komponente
rechter Shutter-Arm
inkl. rechter Flap
linker Shutter-Arm
inkl. linker Flap
rechter Flap
linker Flap
beide Shutter-Arme
inkl. beider Flaps
Mx /Nm
My /Nm
Mz /Nm
−12,40
176,29
-114,338
11,96
−98,79
−60,44
−0,80
−0,97
0,09
−0,05
0,07
−0,19
−19,31
236,59
−163,23
Tab. 10.3: Werte mit jeweils höchstem Betrag für Drehmomente
durch Wirbelströme bei MD III lin 36ms
91
KAPITEL 10. ERGEBNISSE
Komponente
rechter Shutter-Arm
inkl. rechter Flap
linker Shutter-Arm
inkl. linker Flap
rechter Flap
linker Flap
beide Shutter-Arme
inkl. beider Flaps
Mx /Nm
My /Nm
Mz /Nm
8,70
17,49
−17,90
14,14
−8,99
−5,61
−0,80
−0,97
0,09
−0,05
0,07
−0,19
22,17
−15,46
-23,51
Tab. 10.4: Werte mit jeweils höchstem Betrag für Drehmo-
mente durch Wirbelströme bei MD III lin 36ms
mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten
Shutter-Armen
Die hier gegebenen Werte entstammen ebenfalls nicht notwendigerweise den gleichen Zeitpunkten.
10.2
Feldbilder
In diesem Abschnitt werden zur Illustration ANSYS-Plots der berechneten Ströme und Felder
gezeigt. Sie sind dem Szenario MD III lin 36ms mit isolierten Shutter-Armen zum Zeitpunkt
42ms entnommen. Die ersten Screenshots zeigen eine Gesamtansicht der Shutter-Arme und
Flaps mit einem Vektorplot des elektrischen Strömungsfeldes:
1
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
987. 739
114594
228200
341807
455413
569020
682626
796232
909839
. 102E+07
Abb. 10.20: Feld der elektrischen Stromdichte
A
als Vektorplot in m
Abb. 10.19: Finite Elemente des Shuttersi i i i
iiiiiiiiiiiiii
92
10.2. FELDBILDER
Da die Gesamtansicht in Abb. 10.20 zu unübersichtlich ist, zeigen die nächsten Screenshots,
beginnend mit den Flaps, das elektrische Strömungsfeld in Einzelabbildungen:
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
987. 739
114594
228200
341807
455413
569020
682626
796232
909839
. 102E+07
Abb. 10.21: Nahaufnahme der Flaps mit Feld der
elektrischen Stromdichte als Vektorplot
A
in m
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
987. 739
114594
228200
341807
455413
569020
682626
796232
909839
. 102E+07
Abb. 10.22: Nahaufnahme des an die Flaps angrenzenden Teils der Shutter-Arme mit Feld
der elektrischen Stromdichte als VektorA
plot in m
93
KAPITEL 10. ERGEBNISSE
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
987. 739
114594
228200
341807
455413
569020
682626
796232
909839
. 102E+07
Abb. 10.23: Nahaufnahme des Bereichs der an die
Bumper angrenzenden Shutter-Arme
mit Feld der elektrischen Stromdichte
A
als Vektorplot in m
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
987. 739
114594
228200
341807
455413
569020
682626
796232
909839
. 102E+07
Abb. 10.24: Nahaufnahme des Mittelteils der
Shutter-Arme mit Feld der elektrischen
A
Stromdichte als Vektorplot in m
94
10.2. FELDBILDER
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
987. 739
114594
228200
341807
455413
569020
682626
796232
909839
. 102E+07
Abb. 10.25: Nahaufnahme des Bereichs des sich hinter dem Mittelteils befindlichen Bereichts der Shutter-Arme mit Feld der
elektrischen Stromdichte als Vektorplot
A
in m
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
987. 739
114594
228200
341807
455413
569020
682626
796232
909839
. 102E+07
Abb. 10.26: Nahaufnahme des hinteren Teils der
Shutter-Arme mit Feld der elektrischen
A
Stromdichte als Vektorplot in m
95
KAPITEL 10. ERGEBNISSE
Anschließend drei Plots, die jeweils den Verlauf des Betrags einer der Komponenten der
magnetischen Flußdichte zeigen; Koordinatensystem ist dabei das zylindrische Koordinatensystem (vergl. Unterabschnitt 4.3.1).
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
. 128873
. 157676
. 18648
. 215283
. 244087
. 27289
. 301694
. 330497
. 359301
. 388104
Abb. 10.27: Plot der r-Komponente des B-Feldes in T
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
4. 319
4. 51
4. 7
4. 89
5. 081
5. 271
5. 462
5. 652
5. 843
6. 033
Abb. 10.28: Plot der α-Komponente des B-Feldes (toroidale Richtung) in T
96
10.2. FELDBILDER
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
- . 682591
- . 648674
- . 614756
- . 580839
- . 546921
- . 513004
- . 479086
- . 445169
- . 411251
- . 377334
Abb. 10.29: Plot der z-Komponente des B-Feldes in T
Zum Abschluß drei Plots der Verteilung der sich nach (2.1) in den Element-Knoten ergebenden Kraft; Koordinatensystem ist dabei das zur Berechnung der Drehmomenten verwendete
Koordinatensystem (vergl. Abb. 5.1 und Abb. 5.2).
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
- . 419959
- . 261829
- . 1037
. 05443
. 21256
. 37069
. 52882
. 68695
. 84508
1. 003
Abb. 10.30: Plot der x-Komponente der Kraftverteilung in N
97
KAPITEL 10. ERGEBNISSE
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
- . 77752
- . 631212
- . 484905
- . 338597
- . 19229
- . 045983
. 100325
. 246632
. 39294
. 539247
Abb. 10.31: Plot der y-Komponente des Kraftverteilung in N
1
ANSYS 12. 0. 1
PLOT NO.
1
- . 658548
- . 551427
- . 444306
- . 337186
- . 230065
- . 122945
- . 015824
. 091296
. 198417
. 305538
Abb. 10.32: Plot der z-Komponente des Kraftverteilung in N
98
Kapitel 11
Verifizierung der neuen Ergebnisse
Die in Kapitel 10 zusätzlich gewonnenen Simulationsergebnisse bedürfen noch der Verifizierung. Dabei wird sich der gleichen Methodik wie in Kapitel 8 bedient. Insgesamt sind drei
neue Sätze von Ergebnissen hinzugekommen:
1. Berechnung der Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei up VDE/f III lin 36ms
mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten Shutter-Armen
2. Berechnung der Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei MD III lin 36ms mit
zwanzig zusätzlichen Zeitpunkten; diese Ergebnisse ersetzen die bisherigen Ergebnisse
für MD III lin 36ms
3. Berechnung der Drehmomente aufgrund von Wirbelströmen bei MD III lin 36ms mit
gegenüber dem hydraulischen Zylinder isolierten Shutter-Armen und ebenfalls zwanzig
zusätzlichen Zeitpunkten
In Kapitel 8 wird die Kontinuitätsgleichung längs des Hauptwirbelstrompfades nach Unterabschnitt 4.2.3 ausgewertet. Aufgrund der Isolierung der o.g. Punkte 1 und 3 läßt sich dieses
Verfahren nur bei Punkt 2 anwenden. Für Punkt 1 und Punkt 3 wird die Kontinuitätsgleichung längs anderer Wirbelstrompfade ausgewertet. Der Vollständigkeit halber sollen zu
deren Erläuterung noch einmal die entsprechenden Abbildungen aus Abschnitt 8.2 gezeigt
werden:
99
KAPITEL 11. VERIFIZIERUNG DER NEUEN ERGEBNISSE
1
1
Abb. 11.1: Detailaufnahme Strommeßpunkt 1;
rot eingfärbte Flächen ergeben zusammen die Stromdurchtrittsfläche
Abb. 11.2: Detailaufnahme Strommeßpunkt 2;
rot eingfärbte Flächen ergeben zusammen die Stromdurchtrittsfläche
1
1
Abb. 11.3: Detailaufnahme Strommeßpunkt 3;
rot eingfärbte Flächen ergeben
zusammen die Stromdurchtrittsflächeauf anderer Seite des Zylinders die Stromdurchtrittsfläche
Abb. 11.4: Detailaufnahme Strommeßpunkt 4;
rot eingfärbte Fläche ergibt zusammen mit ihrem Gegenstück auf anderer Seite des Zylinders die Stromdurchtrittsfläche
Betrachtet werden die in Abb. 11.1, Abb. 11.2 und Abb. 11.3 rot markierten Schnittflächen.
Da sich der Wirbelstrompfad aufgrund der Isolierung nicht über den hydraulischen Zylinder
schließen kann, gilt für jede der Schnittflächen in Abb. 11.2 und Abb. 11.3, daß jeder Strom,
der hineinfließt, auch wieder herausfließen muß, die Summe der Ströme also null sein muß.
Für die Schnittflächen in Abb. 11.1 gilt in summa das gleiche.
Die Kontinuitätsgleichung wird nun folgendermaßen ausgewertet: Für die Schnittflächen in
Abb. 11.1 wird ein kartesisches Koordinatensystem erstellt, dessen z-Achse normal zur jeweiligen Schnittfläche in Richtung der Retractable Tube zeigt. Für die Schnittflächen in Abb. 11.2
100
wird nach dem gleichen Prinzip ein kartesischen Koordinatensystem erstellt, dessen z-Achse
in Richtung der Flaps weist, und für die Schnittflächen in Abb. 11.3 eines, dessen z-Achse
in Richtung des hydraulischen Zylinders weist. Nun wird jeder Strom, der in Richtung der
z-Achse fließt, positiv gezählt, und jeder Strom, der ihr entgegen fließt, negativ.
Dabei ergibt sich im quadratischen Mittel für up VDE/f III lin 36ms ein Fehler von 0,21%;
für MD III lin 36ms ergibt sich 0,67%., also rund 1%.
Für die unter Punkt 2 genannten Drehmomente wird das um die zwanzig zusätzlichen Zeitpunkte erweiterte Verfahren aus Abschnitt 8.2 angewendet. Im quadratischen Mittel ergibt
sich dabei ein Fehler von 17,5%, also rund 18%. Zum Zeitpunkt des größten Drehmoments
ergibt sich ein Fehler von 0,64%, also rund 1%.
Hier zeigt sich ebenfalls der Trend, daß der relative Fehler umso kleiner ist, je größer der
Betrag des Stroms wird. Insgesamt wird der Schluß gezogen, daß die Kontinuitätsgleichung
im Rahmen der numerischen Genauigkeit erfüllt ist.
101
Kapitel 12
Ergebnisdiskussion
Betrachtet man für die Szenarien den jeweils ermittelten Fehler, so zeigt sich, daß der relative
Fehler im quadratischen Mittel bei den Szenarien mit gegenüber dem hydraulischen Zylinder nicht isolierten Shutter-Armen deutlich größer ist als bei den Szenarien mit isolierten
Shutter-Armen. Dies mag auf Fehler im Mesh der zu den Shutter-Armen hinzumodellierten Komponenten zurückzuführen sein bzw. der dort verwendeten, gröberen Diskretisierung.
Auch unter Berücksichtigung dieser Fehler zeigt sich bei den Ergebnissen für die Drehmomente folgendes Bild:
• Vergleicht man die Szenarien mit unisolierten Shutter-Armen und die Szenarien mit
isolierten Shutter-Armen jeweils untereinander, ergeben sich für up VDE/f III lin 36ms
immer die größeren Drehmomente. Dieses Szenario ist bezüglich der Wirbelströme also
das für die Shutter-Arme gefährlichere. Als Grund hierfür wird der gegenüber MD III
lin 36ms langsamere Zeitverlauf des Signals von up VDE/f III lin 36ms angenommen,
die Schirmwirkung des PortPlug-BSMs kommt dabei weniger zum Tragen.
• In keinem Fall tragen die Flaps wesentlich zu den Drehmomenten bei. Ihr Beitrag zu
den Drehmomenten kann in erster Näherung vernachlässigt werden.
• Die Isolierung der Shutter-Arme gegenüber dem hydraulischen Zylinder führt zu einer
deutlichen Reduzierung der Drehmomente.
Obwohl für die Wirkung der Halo-Ströme hinsichtlich des auf die Shutter-Arme wirkenden
Drehmoments keine Ergebnisse erzielt wurden, kann die Lösung des Problems des Einprägens
der Halo-Ströme aus den DINA-Daten als Erfolg angesehen werden: Soweit dem Verfasser
102
der vorliegenden Arbeit bekannt ist, wurden die Circuit-Element-Stromquellen bisher so eingesetzt, daß nur eine Circuit-Element-Stromquelle verwendet wurde, es in der Anordnung
also nur eine ortsfeste Stromquelle und nur eine ortsfeste Stromsenke gab. Mit der in der
vorliegenden Arbeit erarbeiteten Methode ist es nun möglich, beliebig viele Circuit-ElementStromquellen in eine Anordnung einzuprägen, die zwar jeweils ortsfest sind, in der Überlagerung des zeitlichen Verlaufs ihres Stroms aber die Änderung des Ortes der Stromquellen und
-senken der Anordnung emulieren. Dies mag für andere Szenarien, in denen die Wirkung des
Halo-Stroms untersucht werden soll, interessant sein.
103
Kapitel 13
Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde die Aufgabe der Ermittlung der auf die ShutterArme wirkenden und durch Wirbelströme hervorgerufenen Drehmomente erfolgreich umgesetzt. Es wurde gezeigt, daß sich im Vergleicher aller Szenarios für das Szenario up VDE/f lin
36ms die betragsmäßig größten Drehmomente ergeben und daß die Wirkung der Flaps hinsichtlich der Drehmomente in erster Näherung vernachlässigt werden kann. Weiterhin wurde
gezeigt, daß sich mit der Isolierung der Shutter-Arme gegenüber dem hydraulischen Zylinder die Drehmomente auf die Shutter-Arme deutlich reduzieren lassen. Für den Halo-Strom
wurde eine Methode gefunden, die das Wandern“ des Ein- und Austrittsbereichs des Halo”
Stroms über die Gefäßwand anhand der DINA-Daten nachbildet.
Zu einer objektiven Aussage über die Drehmomente sind die Berechnung der anderen Auftragnehmer abzuwarten. Bis dahin mögen die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit als Arbeitshypothese Verwendung finden.
104
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107
Verwendete Formelzeichen und
Abkürzungen
Um sie voneinander unterscheiden zu können, sind die in der vorliegenden Arbeit vorkommende Größen verschiedentlich mit Indizes gekennzeichnet. Soweit es dem Verständnis dient,
werden diese mit aufgelistet. Auf die Aufzählung aller vorkommenden Kombinationen wird
aus Gründen der Übersichtlichkeit verzichtet.
Lateinische Buchstaben
a
Anzahl der Finiten Elemente, die zu einer Fläche beitragen
A
Fläche
∆Ai
Teilfläche i
~
A
magnetisches Vektorpotential
Ax , Ay , Az
Komponenten des magnetischen Vektorpotentials in kartesischen Koordinaten
b
Breite eines Rings
~
B
Feld der magnetischen Flußdichte
Bkonstant
zeitlich konstantes Magnetfeld
Bpol
poloidales Magnetfeld
~ Shutter
B
Magnetfeld am Orte des Shutters
Bkonstant
toroidales Magnetfeld
ci
Koeffizienten einer Approximationsfunktion in Polynomform
cKorrektur
Korrekturfaktor für die Quellen des Halo-Stroms
d
Dicke eines Rings
~
D
Feld der elektrischen Flußdichte
108
LATEINISCHE BUCHSTABEN
dB,1
Abstand zwischen Berührpunkt und Punkt 1
dDINA
Abstand zwischen Berührpunkt und Punkt 10
dinput B,1
Abstand zwischen Input-Berührpunkt und Input-Punkt 1
dinput DINA
Abstand zwischen Input-Berührpunkt und Input-Punkt 10
~
E
Feld der elektrischen Feldstärke
↔
Permittivitätsmatrix
E
F~
Kraft
gij
Formfaktoren der Approximationsfunktion
~
H
Feld der magnetischen Feldstärke
I~
elektrischer Strom
ICQ
zeitlicher Verlauf des Plasmastroms im Falle eines Stromabriß
Ih
Halo-Strom
Imax
maximaler Wert des Stroms in der Transformatorspule
Ip
Plasmastrom
J~
Feld der elektrischen Stromdichte
J~i
für das i-te Finite Element berechnete elektrische Stromdichte
l
Länge eines stromdurchflossenen Leiters
Mx , My , Mz
Komponenten des Drehmoments in kartesischen Koordinaten
~n
Flächennormalenvektor
~ni
Flächennormalenvektor der i-ten Teilfläche
r, α, z
zylindrische Koordinaten
R
Abstand vom Mittelpunkt des Plasmas
ri
Innenradius eines Rings
↔
S
Elementmatrix
sij
Koeffizienten der Elementmatrix
t
Zeit
ti
Zeitpunkt i
t1
Zeitpunkt, zu dem die Berechnung statisch erfolgt
∆t
Abstand zwischen zwei Zeitpunkten
wel
Energiedichte des elektrischen Feldes
W∆V
Energiegehalt des elektrischen Feldes im Raumvolumen ∆V
x, y, z
kartesische Koordinaten
2
109
VERWENDETE FORMELZEICHEN UND ABKÜRZUNGEN
Griechische Buchstaben
αi
↔
εr
↔
κ
Formfunktion der Approximationsfunktion
spezifische Permittivität
elektrische Leitfähigkeit
↔
µr
spezifische Permeabilität
ρ
Raumladungsdichte
τ
Zeitkonstante
ϕ
elektrisches Skalarpotential
ϕ
~
Potentialvektor
ϕi
Knotenpotential des i-ten Knotens
ϕ0
Bezugspotential
ϕ∆V
Approximationsfunktion
Kennungen
~
A
Vektor
↔
E
Tensor
Konstanten
ε0
Permittivität des Vakuums (ε0 ≈ 8, 854 · 10−12 ·
µ0
Permeabilität des Vakuums (µ0 = 4 · π · 10−7 ·
π
Kreiszahl (π ≈ 3, 14159)
110
As
)
Vm
Vs
)
Am
ABKÜRZUNGEN
Abkürzungen
BSM
Blanket Shielding Module
CAD
Computer Aided Design
CQ
Current Quench
CXRS
Charge Exchange Recombination Spectroscopy
FEM
Finite Element Method
ITER
International Thermonuclear Experimental Reactor
MD
Major Disruption
TPF
Toroidal Peaking Factor
TQ
Thermal Quench
VDE
Vertical Displacement Event
111