Blatt 4

TP2: Elektrodynamik
Arbeitsblatt 4
Wintersemester 2014/15
06/07.11.2014
Dynamische Eigenschaften des Elektromagnetischen Feldes
Das Elektromagnetische Feld besitzt, genauso wie Teilchen in der Mechanik, Energie, Impuls und Drehimpuls. Das Ziel dieses Übungsblatts ist diese Größen in konkreten Fällen zu bestimmen.
Aufgabe 1: Ruhemasse des Elektrons
Betrachten Sie ein Elektron as homogen geladene Sphäre mit Radius a und Ladung q, das sich mit
konstanter Geschwindigkeit v c bewegt. Vergleichen Sie seine Ruhemasse mit seiner kinetischen Masse
und bestimmen Sie den resultierenden Poynting-Vektor in dem Sie wie folgt vorgehen:
a) Identifizieren
Sie die Ruhemasse des Elektrons in dem Sie eine elektrische Energie UE =
R 3
~
(ε0 /2) d r|E|2 mit seiner Ruheenergie m0 c2 identifizieren. Bestimmen Sie die kinetische Masse,
R
~ 2 mit der kinetischen Energie mv 2 /2 idenin dem Sie die magnetische Energie UB = (1/2µ0 ) d3 r|B|
~ = ~v2 × E.
~ Drücken
tifizieren. Verwenden Sie die quasi-statische Näherung für das magnetische Feld B
c
Sie das Ergbnis für die kinetische Masse durch die Ruhemasse aus. Wie verträgt sich ihr Ergebnis
über die verschiedenen Vorfaktoren mit der Annahme v c, also das relativistische Korrekturen
vernachlässigbar sind?
~ = 1E
~ ×B
~ wenn ~v = vẑ
b) Bestimmen Sie mit der oben genannten Näherung den Poynting-Vektor S
µ0
gilt. Welche Form besitzt also der Energiestrom beschrieben durch den Poynting-Vektor?
Aufgabe 2: Durchtrennter Leiter
Betrachten Sie einen Draht mit Radius a der homogen von einem Strom I durchflossen wird. Dieser
Draht sei an einer Stelle durchtrennt, wobei der so entstandende Abstand w klein gegenüber dem Draht
sei (w a). Der Draht verlaufe entlang der z-Achse.
a) Bestimmen Sie sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld im Spalt als Funktion des Abstandes s zur z-Achse.
~ in der Spalte.
b) Bestimmen Sie die elektromagnetische Energiedichte uEM und den Poynting-Vektor S
In welche Richtung zeigt dieser?
c) Die Energieerhaltung lässt sich mit Hilfe des Poynting Vektors as Kontinuitätsgleichung schreiben
∂
~
(umech + uEM ) = −∇ · S
∂t
wobei umech die mechanische Energiedichte beschreibt. Überzeugen Sie sich, dass diese Gleichung hier
erfüllt ist.
d) Bestimmen Sie die totale Energiedichte im Spalt als Funktion der Zeit. Berechnen Sie die gesamte
in den Spalt fließende Leistung durch Integration des Poynting-Vektors über eine geeignete Fläche.
Überzeugen Sie sich, dass die Energiezufuhr der Zunahme der Energie im Spalt entspricht.
Aufgabe 3: Energiefluss in ein Koaxialkabel
Ein Kabel bestehe aus zwei zylindrischen koaxialen Mantelflächen. Die äußere Mantelfläche habe einen
Radius b, eine Ladung pro Einheitslänge λ und trage einen longitudinalen Strom I. Der innere Zylinder
habe einen Radius a < b und eine entgegengesetzte Ladungsdichte −λ sowie einen entgegengerichteten
Strom −I.
a) Bestimmen Sie die Rate mit der Energie durch den Querschnitt des Kabels strömt durch Integration
des Poynting-Vektors über eine entsprechende Fläche.
b) Zeigen Sie, dass ein Widerstand R der zwischen die beiden Mantelflächen geschaltet wird genau die
Leistung dissipiert, die Sie in a) bestimmt haben.
Aufgabe 4: Transformation des Drehimpuls
Die Abbildung zeigt den Durchschnitt durch eine unendlich lange zylindrische Spule mit Radius R die
~ = B ẑ erzeugt. Hierzu koaxial im Inneren befindet sich
in ihrem Inneren ein magnetisches Feld B
ein isolierendes Material mit Radius a < R, magnetischer Feldkonstante µ0 und elektrischer Feldkonstante ε0 . Dieses Material ist homogen mit einer Ladungsdichte ρ > 0 durchzogen. Eine homogene
Oberflächenladung σ sorgt dafür, dass das Material elektrisch neutral ist.
a) Bestimmen Sie den totalen elektromagnetischen Drehimpuls (per Einheitslänge) dieses Systems.
b) Berechnen Sie das instantane Drehmoment (pro Einheitslänge) welches auf den Zylinder im Inneren
wirkt während das magnetische Feld auf null reduziert wird mit der Zeitabhängigkeit B(t).
c) Zeigen Sie, dass der mechanische Enddrehimpuls des Zylinders dem Drehimpuls, der in Aufgabe a)
bestimmt wurde entspricht.