TP2: Elektrodynamik Arbeitsblatt 4 Wintersemester 2014/15 06
Werbung
TP2: Elektrodynamik Arbeitsblatt 4 Wintersemester 2014/15 06/07.11.2014 Dynamische Eigenschaften des Elektromagnetischen Feldes Das Elektromagnetische Feld besitzt, genauso wie Teilchen in der Mechanik, Energie, Impuls und Drehimpuls. Das Ziel dieses Übungsblatts ist diese Größen in konkreten Fällen zu bestimmen. Aufgabe 1: Ruhemasse des Elektrons Betrachten Sie ein Elektron as homogen geladene Sphäre mit Radius a und Ladung q, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v c bewegt. Vergleichen Sie seine Ruhemasse mit seiner kinetischen Masse und bestimmen Sie den resultierenden Poynting-Vektor in dem Sie wie folgt vorgehen: a) Identifizieren Sie die Ruhemasse des Elektrons in dem Sie eine elektrische Energie UE = R 3 ~ (ε0 /2) d r|E|2 mit seiner Ruheenergie m0 c2 identifizieren. Bestimmen Sie die kinetische Masse, R ~ 2 mit der kinetischen Energie mv 2 /2 idenin dem Sie die magnetische Energie UB = (1/2µ0 ) d3 r|B| ~ = ~v2 × E. ~ Drücken tifizieren. Verwenden Sie die quasi-statische Näherung für das magnetische Feld B c Sie das Ergbnis für die kinetische Masse durch die Ruhemasse aus. Wie verträgt sich ihr Ergebnis mit der Annahme v c, also das relativistische Korrekturen vernachlässigbar sind? ~ = 1E ~ ×B ~ wenn ~v = vẑ b) Bestimmen Sie mit der oben genannten Näherung den Poynting-Vektor S ε0 gilt. Welche Form besitzt also der Energiestrom beschrieben durch den Poynting-Vektor? Aufgabe 2: Durchtrennter Leiter Betrachten Sie einen Draht mit Radius a der homogen von einem Strom I durchflossen wird. Dieser Draht sei an einer Stelle durchtrennt, wobei der so entstandende Abstand w klein gegenüber dem Draht sei (w a). Der Draht verlaufe entlang der z-Achse. a) Bestimmen Sie sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld im Spalt als Funktion des Abstandes s zur z-Achse. ~ in der Spalte. b) Bestimmen Sie die elektromagnetische Energiedichte uEM und den Poynting-Vektor S In welche Richtung zeigt dieser? c) Die Energieerhaltung lässt sich mit Hilfe des Poynting Vektors as Kontinuitätsgleichung schreiben ∂ ~ (umech + uEM ) = −∇ · S ∂t wobei uEM die mechanische Energiedichte beschreibt. Überzeugen Sie sich, dass diese Gleichung hier erfüllt ist. d) Bestimmen Sie die totale Energiedichte im Spalt als Funktion der Zeit. Berechnen Sie die gesamte in den Spalt fließende Leistung durch Integration des Poynting-Vektors über eine geeignete Fläche. Überzeugen Sie sich, dass die Energiezufuhr der Zunahme der Energie im Spalt entspricht. Aufgabe 3: Energiefluss in ein Koaxialkabel Ein Kabel bestehe aus zwei zylindrischen koaxialen Mantelflächen. Die äußere Mantelfläche habe einen Radius b, eine Ladung pro Einheitslänge λ und trage einen longitudinalen Strom I. Der innere Zylinder habe einen Radius a < b und eine entgegengesetzte Ladungsdichte −λ sowie einen entgegengerichteten Strom −I. a) Bestimmen Sie die Rate mit der Energie durch den Querschnitt des Kabels strömt durch Integration des Poynting-Vektors über eine entsprechende Fläche. b) Zeigen Sie, dass ein Widerstand R der zwischen die beiden Mantelflächen geschaltet wird genau die Leistung dissipiert, die Sie in a) bestimmt haben. Aufgabe 4: Transformation des Drehimpuls Die Abbildung zeigt den Durchschnitt durch eine unendlich lange zylindrische Spule mit Radius R die ~ = B ẑ erzeugt. Hierzu koaxial im Inneren befindet sich in ihrem Inneren ein magnetisches Feld B ein isolierendes Material mit Radius a < R, magnetischer Feldkonstante µ0 und elektrischer Feldkonstante ε0 . Dieses Material ist homogen mit einer Ladungsdichte ρ > 0 durchzogen. Eine homogene Oberflächenladung ρ sorgt dafür, dass das Material elektrisch neutral ist. a) Bestimmen Sie den totalen elektromagnetischen Drehimpuls (per Einheitslänge) dieses Systems. b) Berechnen Sie das instantane Drehmoment (pro Einheitslänge) welches auf den Zylinder im Inneren wirkt während das magnetische Feld auf null reduziert wird mit der Zeitabhängigkeit B(t). c) Zeigen Sie, dass der mechanische Enddrehimpuls des Zylinders dem Drehimpuls, der in Aufgabe a) bestimmt wurde entspricht.
