Aufgaben zum Energie- und Impulserhaltungssatz

1. Klausur - GK Physik Sporenberg - Jahrgst. 10/2
-
Datum: 25.03.2011
1.Aufgabe: Ein Hochspringer mit der Masse m = 70,0 kg überspringt
eine Höhe von 232 cm.
a)Welche Energie ist dazu notwendig (der Schwerpunkt liege in 75 cm
Höhe, der Schwerpunkt muss bei einem erfolgreichen Sprung 10 cm
über der Latte liegen?
b)Welche Anlaufgeschwindigkeit in m/s und km/h muss der Springer
mindestens haben, wenn man annimmt, dass die durch den Anlauf
erreichte Energie vollständig in Hubarbeit umgewandelt werden kann?
c)Wie groß müsste die Anlaufgeschwindigkeit sein, wenn nur 50% der
kinetischen Energie in Hubarbeit umgesetzt werden?
Lösung:
a) Man berechnet W = m*g*h = 70,0 kg * 9,81 m/s2 * (2,42 m – 0,75 m) = 1146,79 J
b)Energieerhaltungssatz nach v aufgelöst:
1
mv2 = m g h ⇒
2
v=
2g h
Damit ergibt sich: v = 5,72 m/s = 20,2068 km/h
c)Wieder benutzt man den Energieerhaltungssatz:
1
mv2
2
= mgh⇒
2
v=
4g h
Damit ergibt sich: v = 8,095 m/s = 28,1424 km/h
asa
2.Aufgabe: Ein Kunstspringer (m = 65,0 kg) springt ohne Wippen und Anlauf von
einem 5-Meter-Brett in das Schwimmbecken.
a)Welche Geschwindigkeit hat er nach halber Flugstrecke?
b)Aus welcher Höhe muss er abspringen, um die Geschwindigkeit v2 = 54 km/h beim
Auftreffen zu haben?
c)Auf welchen Wert müsste er seine Absprunghöhe steigern, um die 3-fache
Endgeschwindigkeit zu erreichen?
Lösung:
a) Energieerhaltungssatz nach v aufgelöst:
1
mv2 = m g h ⇒
2
v=
2g h =
2 9,81 2,5 = 7,00357
Damit ergibt sich für v: v = 7,00 m/s = 25,21 km/h
b) Energieerhaltungssatz nach h aufgelöst:
m
km
= 25,2129
s
h
1
mv2 = m g h ⇒
2
v2
h=
=
2g
54 m
3.6 s
m
2 9,81 2
s
= 11,4679 m
Die Höhe beträgt: h = 11,47 m
c) Wieder muss der Energieerhaltungssatz verwendet werden. Für die Geschwindigkeit muss jetzt aber der folgende
Wert eingesetzt werden: v = 3 * 54 / 3.6 m/s.
Es ergibt sich dann für: h = 103,21 m
asa
3.Aufgabe: Ein PKW der Masse 0,8 t wird aus der Geschwindigkeit v1 =
36 km/h auf die Geschwindigkeit v2 = 30 m/s beschleunigt.
a)Berechnen Sie die dabei verrichtete Arbeit?
b)Auf welche Geschwindigkeit in m/s und km/h könnte der PKW mit dieser
Energie aus dem Stand beschleunigt werden?
Lösung:
a)Es muss die Differenz der kinetischen Energie berechnet werden. Zuvor muss v1 = 36 km/h in m/s umgerechnet
werden. Dieses ergibt: v1 = 10 m/s
∆W =
1
1
m v2 2 −
m v12 = 320.000 J
2
2
Die dabei verrichtete Arbeit ist: W = 320.000 J = 320 kJ.
b)Hier muss folgende Gleichung gelöst werden:
320.000 J =
1
m
km
m v 2 ⇒ v = 28,28 = 101,82
2
s
h
Mit dieser Energie könnte das Auto aus dem Stand auf v = 28,28 m/s = 101,82 km/h beschleunigt werden.
asa
4.Aufgabe: Ein Körper K1 mit der Masse m1 = 1,0 kg trifft vollkommen elastisch mit einer Geschwindigkeit von 10
km/h gegen einen vor ihm bewegten Körper K2, der sich genau halb so schnell bewegt. Körper K2 hat die Masse 0,5
kg.
a)Welche Geschwindigkeit hat der Körper K1 nach dem Zusammenstoß?
b)Welche Geschwindigkeit hat der Körper K2 nach dem Zusammenstoß?
Lösung:
Für beide Teilaufgaben benötigt man die angegebenen Gleichungen und setzt die entsprechenden Werte ein.
u1 =
2 m2 v2 + (m1 − m2 ) v1
m1 + m2
u2 =
2 m1 v1 + (m2 − m1 ) v2
m1 + m2
Man erhält: u1 = 1,85 m/s = 6,67 km/h und u2 = 3,24 m/s = 11,67 km/h.
asa
5.Aufgabe: Ein Fahrradfahrer rollt
ohne zu treten (siehe Abbildung)
aus der Ruhe in der Höhe h1
beginnend einen Abhang hinunter.
a)Welche Energieumwandlungen
finden bei reibungsfreier Fahrt bis
x3 statt?
b)Formulieren Sie den
Energieerhaltungssatz mit den
Größen h1, h2, h3, v1, v2, v3 und
v4 bei reibungsfreier Fahrt.
Kennzeichnen Sie die Größen, die
den Wert Null besitzen!
c)Welche Geschwindigkeit erreicht
der Radfahrer an den Stellen x2,
x3 und x4 bei reibungsfreier Fahrt?
Die Höhen gegenüber h3 betragen:
h2 = 10,0 m, h1 = 15,0 m.
d)In welcher Höhe h5 hätte der Radfahrer bei reibungsfreier Fahrt die Hälfte seiner Maximalgeschwindigkeit erreicht?
e)Sind die in c) und d) berechneten Ergebnisse realistisch? Begründen Sie!
Wie groß ist die Reibungsarbeit, wenn der Radfahrer (m= 75 kg, Fahrradmasse = 15,5 kg) an der Stelle x4 zum
Stillstand kommt?
Lösung:
a)Potentielle Energie wird permanent in kinetische Energie umgewandelt. In x1 ist nur potentielle Energie, in x3 nur
kinetische Energie vorhanden.
b) m*g*h1 = m*g*h2+ 1/2 m v22 = ½ m v32 = m*g*h2 + ½ m v42
c)Für die Lösung wird wieder der schon mehrmals verwendete Energieerhaltungssatz benötigt:
1
mv2 = m g h ⇒
2
v=
2g h
Setzt man die entsprechenden Werte ein, so ergeben sich folgende Werte:
Bei x2 und x4 sind die Geschwindigkeiten bei reibungsfreier Fahrt natürlich gleich, also:
v2 = v4 = 9,90 m/s
Bei x3 erreicht man die Maximalgeschwindigkeit: v3 = 17,15 m/s.
d)Wieder muss der obige Energieerhaltungssatz herangezogen werden, dieses Mal aber nach h aufgelöst. Man erhält:
h = 3,75 m
e)Die Werte sind nicht realistisch, da die Reibungskräft nicht berücksichtigt wurden. Außerdem wurde die
Rotationsenergie der Räder nicht berücksichtigt.
Für die Reibungsarbeit muss die potentielle Energie von h2 nach h1 (= 5 m) berechnet werden. Diese beträgt:
Wpot = Reibungsarbeit = 4439,03 J
Formelangaben
Elastischer Stoss
u1 =
2 m2 v2 + (m1 − m2 ) v1
m1 + m2
u2 =
2 m1 v1 + (m2 − m1 ) v2
m1 + m2
Mit v werden die Geschwindigkeiten vor dem Stoß, mit u die Geschwindigkeiten nach dem Stoß bezeichnet. Falls m 2
vor dem Stoß in Ruhe ist, gilt v2 = 0.