m - Albino Troll

Elektrotechnik 1 (Beispiele)
TU Wien
Elektrotechnik
WS 2007
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
1.
Zeit. Raum. Bewegung....................................................................................................... 7
1.1.
Laufweg des Lichts .................................................................................................... 7
1.2.
Atomare Abmessungen .............................................................................................. 7
1.3.
Entfernungen .............................................................................................................. 7
1.4.
Richtungen ................................................................................................................. 8
1.5.
Körper auf Kreisbahn ................................................................................................. 9
2. Körper und Teilchen. Masse und Stoffmenge.................................................................. 10
2.1.
Mittlere Massendichte .............................................................................................. 10
2.2.
Teilchendichte in Kochsalz, Germanium und Kupfer.............................................. 10
2.3.
Atome je Elementarwürfel ....................................................................................... 11
2.4.
Atomare Masseneinheit............................................................................................ 11
2.5.
Ionen in einer Lösung............................................................................................... 11
3. Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder........................................................... 12
3.1.
Bremsen eines Fahrzeuges ....................................................................................... 12
3.2.
Neutronensterne ....................................................................................................... 12
3.3.
Beschleunigen eines Elektrons................................................................................. 13
3.4.
Coulomb-Wechselwirkung zweier Elektronen ........................................................ 14
3.5.
Coulomb-Kraft und Gravitationskraft...................................................................... 15
4. Arbeit und Leistung. Energie. Wärme und Temperatur................................................... 15
4.1.
Normalprojektion ..................................................................................................... 15
4.2.
Homogenes Kraftfeld ............................................................................................... 16
4.3.
Zuggarnitur............................................................................................................... 17
4.4.
Crash-Testanlage...................................................................................................... 18
4.5.
Handhabungsgerät.................................................................................................... 18
4.6.
Wasserkraftwerk....................................................................................................... 19
4.7.
Brunnenpumpe ......................................................................................................... 19
4.8.
Energiestrom der Sonne ........................................................................................... 20
4.9.
Solarthermisches Kraftwerk..................................................................................... 21
4.10.
Anschlussleistung eines Durchlauferhitzers......................................................... 21
5. Schwingungen und Wellen. Licht .................................................................................... 22
5.1.
Kenngrößen einer harmonischen Schwingung......................................................... 22
5.2.
Schallwelle ............................................................................................................... 22
5.3.
Elektromagnetische Welle........................................................................................ 23
5.4.
Ultrakurzwellenbereich ............................................................................................ 23
5.5.
Strahlstärke............................................................................................................... 23
6. Elektrische Ladungen, Ströme und Spannungen.............................................................. 24
6.1.
Raumladungsdichte .................................................................................................. 24
6.2.
Ladung und Stromstärke .......................................................................................... 24
6.3.
Laden und Entladen.................................................................................................. 25
6.4.
Driftgeschwindigkeit................................................................................................ 26
6.5.
Faraday-Konstante ................................................................................................... 26
6.6.
Ladungstransport durch Ionen.................................................................................. 26
6.7.
Wasserstofferzeugung .............................................................................................. 27
6.8.
Herstellen von Kupferfolie....................................................................................... 27
6.9.
Vernickelung eines Blechteils.................................................................................. 28
6.10.
Das Elektronvolt................................................................................................... 28
6.11.
Reihenschaltung von Widerständen ..................................................................... 29
6.12.
Parallelschaltung von Widerständen .................................................................... 30
6.13.
Leistung an einem Ohmschen Widerstand........................................................... 30
6.14.
Reichenschaltung Diode-Widerstand................................................................... 33
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 2 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
6.15.
Stromaufnahme von Glühlampen......................................................................... 33
6.16.
Reihenschaltung von Glühlampen ....................................................................... 34
6.17.
Stromaufnahme einer Zuggarnitur ....................................................................... 35
6.18.
Antrieb eines Schiffskrans ................................................................................... 35
6.19.
Schleifmaschinenantrieb ...................................................................................... 36
6.20.
Beschleunigungsantrieb ....................................................................................... 36
7. Physikalische Größen, Einheiten und Dimensionen ........................................................ 37
7.1.
Abgeleitete Dimensionen ......................................................................................... 37
7.2.
Abgeleitete Einheiten ............................................................................................... 38
7.3.
Einheiten des elektrostatischen cgs-Systems ........................................................... 38
7.4.
Aufstellen einer Zahlenwertgleichung ..................................................................... 39
7.5.
Aufstellen einer Größengleichung ........................................................................... 40
7.6.
Stefan-Boltzmann-Gesetz (nicht im Buch) .............................................................. 41
7.7.
Atomares Einheitensystem (au, nicht im Buch)....................................................... 42
7.8.
Loschmidt-Konstante (nicht im Buch)..................................................................... 43
8. Stromkreise und einfache Stromkreiselemente ................................................................ 44
8.1.
Anwendung der Kirchhoff-Regeln........................................................................... 44
8.2.
Verzweigter Strom ................................................................................................... 45
8.3.
Erweitern einer Schaltung ........................................................................................ 46
8.4.
Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 46
8.5.
Dreieck-Stern-Umwandlung .................................................................................... 47
8.6.
Stern-Polygon-Umwandlung.................................................................................... 48
8.7.
Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 49
8.8.
Ersatzwiderstand ...................................................................................................... 49
8.9.
Ersatzwiderstand eines Zweitors.............................................................................. 50
8.10.
Widerstandskette .................................................................................................. 50
8.11.
Teilerregeln .......................................................................................................... 51
8.12.
Spannungsteiler .................................................................................................... 51
8.13.
Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen ................................................... 52
8.14.
Erforderliche Quellenspannung............................................................................ 52
8.15.
Erforderlicher Widerstand.................................................................................... 53
8.16.
Abgegebene Leistung von Spannungsquellen...................................................... 53
8.17.
Ersatzquelle einer Batterie ................................................................................... 54
8.18.
Grundstromkreis................................................................................................... 54
8.19.
Äquivalenz von linearen Quellen......................................................................... 55
8.20.
Ersatzschaltung des aktiven Zweipols.................................................................. 56
8.21.
Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle .................................................... 57
8.22.
Ersatzquellen ........................................................................................................ 58
8.23.
Messfehler bei Strommessung ............................................................................. 59
8.24.
Messfehler bei Spannungsmessung...................................................................... 60
8.25.
Messbereichserweiterung ..................................................................................... 61
8.26.
Wirkungsgrad einer Spannungsquelle.................................................................. 61
8.27.
Leistungsumsatz im Grundstromkreis.................................................................. 62
8.28.
Nichtlineare Quellen ............................................................................................ 63
8.29.
Schaltung mit Stromquelle ................................................................................... 64
8.30.
Strommessgerät .................................................................................................... 65
8.31.
Spannungsmessgerät ............................................................................................ 65
8.32.
Teilerschaltung ..................................................................................................... 66
8.33.
Belasteter Spannungsteiler ................................................................................... 67
8.34.
Verlustleistung eines Photowiderstandes ............................................................. 68
8.35.
Glühlampen mit Vorwiderstand ........................................................................... 69
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 3 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.36.
Lampenschaltung ................................................................................................. 70
8.37.
Stromkreis mit Lichtbogen................................................................................... 70
8.38.
Überbrücktes T-Glied........................................................................................... 71
8.39.
Wheatstone-Brücke .............................................................................................. 72
8.40.
Brückenschaltung zur Messwertumsetzung ......................................................... 73
8.41.
Thomsonbrücke.................................................................................................... 74
8.42.
Transistorverstärker in Emitterschaltung ............................................................. 75
8.43.
Transistorverstärker in Kollektorschaltung.......................................................... 76
8.44.
Verstärkerschaltung.............................................................................................. 77
8.45.
Zweitorparameter ................................................................................................. 78
8.46.
Parameter einer Ersatzquelle................................................................................ 79
8.47.
Umsetzung und Übertragung einer Messgröße.................................................... 80
8.48.
Nichtlineares Stromkreiselement ......................................................................... 81
8.49.
Ersatzschaltung für eine Diode ............................................................................ 83
8.50.
Schaltung mit Diode............................................................................................. 84
8.51.
Diodenschaltung als UND-Gatter ........................................................................ 85
8.52.
Schaltung mit Dioden........................................................................................... 86
8.53.
Gleichrichter......................................................................................................... 87
8.54.
Gleichrichterschaltung ......................................................................................... 88
8.55.
Gleichrichter mit Zusatzspannung ....................................................................... 88
8.56.
Abschneiden einer positiven Spitze ..................................................................... 89
8.57.
Schaltung mit Dioden und Spannungsquellen ..................................................... 90
8.58.
Einfache Spannungsstabilisierung........................................................................ 91
8.59.
Spannungsquelle................................................................................................... 92
8.60.
Stromquelle .......................................................................................................... 93
9. Das elektrische Feld ......................................................................................................... 94
9.1.
Elektrostatisches Feld............................................................................................... 94
9.2.
Elektrostatische Abschirmung.................................................................................. 94
9.3.
Tropfengenerator...................................................................................................... 95
9.4.
Streifenleitung .......................................................................................................... 95
9.5.
Bauvolumen eines Kondensators ............................................................................. 96
9.6.
Metallpapier-Kondensator........................................................................................ 97
9.7.
Drehkondensator ...................................................................................................... 98
9.8.
Kapazitive Anordnung mit verschiebbarer Platte .................................................... 99
9.9.
Plattenanordnung.................................................................................................... 100
9.10.
Elektromechanischer Wandler ........................................................................... 101
10.
Schaltungen mit Kondensatoren................................................................................. 102
10.1.
Anfangsstrom über einen Schalter ..................................................................... 102
10.2.
Umladevorgang .................................................................................................. 103
10.3.
Spannungsaufteilung in einer RC-Schaltung ..................................................... 104
10.4.
Spannungssprung an RC-Schaltung ................................................................... 105
10.5.
Brückenschaltung mit Kondensator ................................................................... 106
10.6.
Umladung ........................................................................................................... 107
10.7.
Kondensator-Reihenschaltung ........................................................................... 108
10.8.
Rechteckimpuls an RC-Kombination................................................................. 109
10.9.
Wechselanteil einer Spannung ........................................................................... 110
10.10.
Ausfiltern des Mittelwertes ................................................................................ 111
10.11.
Differentiation durch RC-Glied ......................................................................... 112
10.12.
Integration durch RC-Glied................................................................................ 113
10.13.
Operationsverstärker .......................................................................................... 114
10.14.
Periodisches Rechtecksignal an RCD-Kombination.......................................... 116
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 4 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.15.
Laden eines Kondensators mit Spannungsbegrenzung ...................................... 117
10.16.
Laden eines Kondensators mit Parallelzweig..................................................... 118
10.17.
Ladungspumpe ................................................................................................... 119
10.18.
Schaltung mit veränderlicher Kapazität ............................................................. 120
10.19.
Kondensatormikrophon...................................................................................... 121
10.20.
Influenz............................................................................................................... 122
11.
Ergänzendes zum elektrischen Feld ........................................................................... 123
12.
Verteilte elektrische Ströme ....................................................................................... 123
12.1.
Kupferdraht mit Silberüberzug........................................................................... 123
12.2.
Erforderlicher Leitungsquerschnitt .................................................................... 124
12.3.
Überspannungsableiter ....................................................................................... 125
12.4.
Stromeinspeisung in Platte ................................................................................. 126
12.5.
Widerstand eines keilförmigen Leiters .............................................................. 127
12.6.
Widerstand einer Scheibenhälfte........................................................................ 128
12.7.
Umlenkung ......................................................................................................... 129
12.8.
Stromführung über einen Blechkegel................................................................. 130
12.9.
Flächenstromdichte ............................................................................................ 131
12.10.
Flächenstromverteilung...................................................................................... 131
13.
Elementare Methoden der Berechnung elektrischer Felder ....................................... 132
13.1.
Elektrisches Moment eines Moleküls ................................................................ 132
13.2.
Elektrsiches Moment einer Ladungsanordnung................................................. 132
13.3.
Dipolantenne ...................................................................................................... 133
13.4.
Drei Punktladungen............................................................................................ 134
13.5.
Quadrupol........................................................................................................... 135
13.6.
Elektrisches Feld zweier Linienleiter................................................................. 136
13.7.
Bündelleiter ........................................................................................................ 137
13.8.
Dreileiteranordnung ........................................................................................... 139
13.9.
Geladene Kreislinie ............................................................................................ 141
13.10.
Elektronenoptische Anordnung.......................................................................... 143
13.11.
Maximalfeldstärke an Doppelleitung ................................................................. 144
13.12.
Kugelkondensator............................................................................................... 145
13.13.
Halbgefüllter Kugelkondensator ........................................................................ 145
13.14.
Überschusselektronen......................................................................................... 146
13.15.
Widerstand in einer Flüssigkeit.......................................................................... 146
13.16.
Kapazität zweier Metallkugeln........................................................................... 147
13.17.
Störung eines Homogenfeldes............................................................................ 147
13.18.
Abschätzung der Leitfähigkeit ........................................................................... 148
13.19.
Ohmsche Beeinflussung..................................................................................... 149
13.20.
Zählrohr.............................................................................................................. 150
13.21.
Entwurf eines Hochspannungskondensators...................................................... 151
13.22.
Größtspannung eines Kabels.............................................................................. 152
13.23.
Querleitwerte eines Koaxialkabels..................................................................... 153
13.24.
Auslegung eines Koaxialkabels ......................................................................... 154
13.25.
Hochspanungsdurchführung............................................................................... 155
13.26.
Kabel mit geschichtetem Dielektrikum.............................................................. 156
13.27.
Koaxialkabel mit Führungsscheiben .................................................................. 157
13.28.
Zylindrische Anordnung .................................................................................... 158
13.29.
Geschwindigkeitsverteilung ............................................................................... 159
13.30.
Elektronen auf Kreisbahn................................................................................... 160
13.31.
Potentialsteuerung .............................................................................................. 161
13.32.
Teilkapazitäten dreier koaxialer Rohre .............................................................. 162
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 5 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.33.
Joule-Verluste in Blechteilen ............................................................................. 163
13.34.
Stromführung über Metallplatte ......................................................................... 164
13.35.
Widerstand eines Engebereichs.......................................................................... 165
13.36.
Joule-Verluste in einer Hülse ............................................................................. 166
13.37.
Grabenkondensator............................................................................................. 167
13.38.
Kapazitätsbeitrag einer Abschrägung................................................................. 168
13.39.
Kreiszylinder im Transversalfeld ....................................................................... 169
13.40.
Influenzierte Ladungsverteilung ........................................................................ 170
13.41.
Rotationsellipsoid............................................................................................... 171
13.42.
Spiegelung einer Punktladung an einer Ebene................................................... 172
13.43.
Spiegelung einer Punktladung an einer Kugel ................................................... 174
13.44.
Maximalspannung einer Metallkugel................................................................. 177
13.45.
Schrittspannung.................................................................................................. 178
13.46.
Kräfte an Punktladungen.................................................................................... 179
13.47.
Draht vor Metallplatte ........................................................................................ 180
13.48.
Feldstärke an einem Erdseil ............................................................................... 181
13.49.
Doppelleitung über dem Erdboden .................................................................... 182
13.50.
Drahtring vor Platte............................................................................................ 184
14.
Globale und lokale Eigenschaften elektrischer Felder............................................... 185
14.1.
Flächenladungsdichte ......................................................................................... 185
14.2.
Elektrisches Feld an einer Grenzfläche.............................................................. 185
14.3.
Stromübertritt zwischen Metallen ...................................................................... 186
14.4.
Sprung der elektrischen Feldstärke .................................................................... 186
14.5.
Metallkugel in Grenzfläche................................................................................ 187
14.6.
Kondensator mit inhomogenen Dielektrikum .................................................... 188
14.7.
Restspannung eines Kondensators ..................................................................... 190
14.8.
Halbleiterübergang ............................................................................................. 192
14.9.
Dielektrische Schicht mit Raumladungszone..................................................... 193
14.10.
Kondensator mit verschiebbarem Dielektrikum ................................................ 194
14.11.
Kapazitive Dickenkontrolle................................................................................ 195
14.12.
Feldstärke in Raumladungsschicht..................................................................... 196
14.13.
Ladungsaufteilung.............................................................................................. 197
14.14.
Raumladungswolke ............................................................................................ 198
14.15.
Vakuumröhre...................................................................................................... 199
14.16.
Inhomogene Leitfähigkeit .................................................................................. 200
14.17.
Elektretmikrophon.............................................................................................. 202
14.18.
Grenzflächenladung ........................................................................................... 203
14.19.
Durchschlagspannung ........................................................................................ 204
14.20.
Strom durch Oxidschicht.................................................................................... 205
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 6 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
1. Zeit. Raum. Bewegung
1.1.
Laufweg des Lichts
Welche Strecke legt das Licht während einer Nanosekunde im leeren Raum zurück?
s = c0 ⋅ t = 2,998 ⋅108 ms −1 ⋅10 −9 s = 0,2998m
1.2.
Atomare Abmessungen
Welche ungefähren Durchmesser schreiben wir Atomkernen und ganzen Atomen zu?
Angenommen, Sie könnten den Durchmesser eines Atomkerns auf 10cm vergrößern.
Welchen Durchmesser hätte dann etwa ein Atom?
DK ≈ 10 −15 m
DA ≈ 10 −10 m
10 −1 m
= 1014
−15
10 m
10 −10 m ⋅1014 = 10 4 m
1.3.
Entfernungen
Wie groß ist der Erdumfang, der Abstand zwischen Erde und Mond und zwischen Erde und
Sonne? Wie lange braucht ein Signal, das sich mit der maximal möglichen Geschwindigkeit
ausbreitet, um diese Strecken zu durchlaufen?
Erdumfang
Mond-Erde
Sonne-Erde
400.000km
385.000km
1,5 ⋅1011 m
tUE =
4 ⋅107 m
UE
≈
= 0,133s
3 ⋅108 ms −1
c0
t EM =
RME 3,85 ⋅108 m
≈
= 1,28s
3 ⋅108 ms −1
c0
t ES
RES 3,85 ⋅108 m
=
≈
= 500 s
3 ⋅108 ms −1
c0
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 7 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
1.4.
Richtungen
Eine beliebige Richtung e lässt sich in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem durch
eine Entwicklung der Art e = cos(α x )ex + cos(α y )e y + cos(α z )ez angeben.
i)
αx αy αz geometrisch
ii)
Berechnen Sie αx, αy und αz für die Richtung des Ortsvektors rQP eines Punktes
Q, (xQ , yQ , zQ ) = (2,31m;1,98m; 0,47m ) , in Bezug auf den Punkt
P, ( xP , y P , z P ) = (1,19m; 3,05m;1,26m ) .
rQP = (2,31m − 1,19m )ex + (1,98m − 3,05m )e y + (0,47m − 1,26m )ez
= 1,12mex − 1,07 me y − 0,79mez
rQP = 1,12² m² + 1,07² m² + 0,79² m² = 1,739m
eQP =
rQP
rQP
= 0,64ex − 0,62e y − 0,45ez
123 123 123
cos (α x )
( )
cos α y
cos (α z )
α x = arccos(0,64 ) = 0,88
α y = arccos(0,62) = 0,90
α z = arccos(0,45) = 1,10
iii)
Zeigen Sie, dass für eine Entwicklung dieser Art gilt:
cos ²(α x ) + cos ² (α y ) + cos ²(α z ) = 1
r = r ⋅ e = r ⋅ cos α x ⋅ ex + r ⋅ cos α y ⋅ e y + r ⋅ cos α z ⋅ ez
Æ Betrag bilden (Pythagoras, nur ohne Wurzel angeschrieben)
r ² = r ² ⋅ (cos α x )² + r ² ⋅ (cos α y )² + r ² ⋅ (cos α z )²
1 = cos ²α x + cos ²α y + cos ²α z
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 8 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
1.5.
Körper auf Kreisbahn
Ein Körper (Sie können ihn als Punktmasse annehmen.) durchläuft eine Kreisbahn mit dem
Radius r = 1,5m gleichförmig in der Umlaufzeit T = 0,6s. Geben Sie für jeden Punkt der
Kreisbahn die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und deren Richtung an.
t2 − t p =
α
⋅T
2π
Die Zeitdifferenz ist gleich der Umlaufzeit T mal dem
eingeschlossenen Teilwinkel α (des gesamten Winkels 2π).
v = lim
2→ P
r2 − rp
t2 − t P
Man lässt die Größe des Differenzvektors r2 P gegen 0
streben, um den genauen Wert zu erhalten.
r ⋅ sin α
⋅ eP
α ⋅T
2π
Der Differenzvektor kann aus dem Radius r und dem Winkel α (der gegen 0 strebt) berechnet
werden.
#
v = lim
α →0
sin(α) kann für sehr kleine α, z.B. lim
α →0
mit α angenähert werden.
2πr sin α
⋅
⋅ eP
α →0 T
α
2πr
α 2πr
= lim ⋅
⋅ eP =
⋅ eP = 15,7 ms −1 ⋅ eP
α →0 α
T
T
= lim
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 9 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
2. Körper und Teilchen. Masse und Stoffmenge
2.1.
Mittlere Massendichte
Vergleichen Sie die mittleren Massendichten von Erde, Mond und Sonne.
RE = 6,37 ⋅106 m
mE = 5,97 ⋅10 24 kg
Massen: mM = 7,35 ⋅10 22 kg
Radien: RM = 1,74 ⋅106 m
mS = 1,99 ⋅1030 kg
RS = 6,91 ⋅108 m
5,97 ⋅10 24 kg
mE
=
= 5,51 ⋅103 kgm −3
3
4π
VE
6,37 ⋅106 m
3
7,35 ⋅1022 kg
m
ρM = M =
= 3,3 ⋅103 kgm −3
3
4π
VM
6
1,74 ⋅10 m
3
1,99 ⋅1030 kg
m
ρS = S =
= 1,44 ⋅103 kgm −3
3
4π
VS
8
6,91 ⋅10 m
3
ρE =
(
)
(
(
2.2.
)
)
Teilchendichte in Kochsalz, Germanium und Kupfer
Berechnen Sie die Dichte der Atome (Anzahl der Atome durch Volumen) in NaCl, Ge und
Cu. Verwenden Sie dazu die stoffmengenbezogenen Massen M Na = 23g / mol ,
M Cl = 35 g / mol , M Ge = 73g / mol , M Cu = 64 g / mol und die Massendichten
ρ NaCl = 2,16 g / cm3 , ρGe = 5,36 g / cm3 , ρCu = 8,92 g / cm3 .
m = n ⋅ M = ρ ⋅V
N = n⋅ NA
M NaCl = 1M Na + 1M Cl = 58 g / mol
n
ρ
=
V M
N n
2,16 g / cm3
1
ρ
= ⋅ N A = NaCl ⋅ N A =
⋅ 6,02 ⋅10 23
= 2,24 ⋅1022 cm −3
V V
M NaCl
mol
58 g / mol
Æ mal Faktor 2, weil Na + Cl, deshalb doppelt so viele Atome
= 4,48 ⋅10 22 cm −3
5,369 g / cm3
ρGe
⎛N⎞
⋅ NA =
⋅ 6,02 ⋅10 23 mol −1 = 4,42 ⋅10 22 cm −3
⎜ ⎟ =
73g / mol
⎝ V ⎠Ge M Ge
Æ etwa gleich viele Atome wie bei NaCl
8,92 gcm −3
⎛N⎞
⋅ 6,02 ⋅10 23 mol −1 = 8,39 ⋅10 22 cm −3
⎜ ⎟ =
−1
V
64
gmol
⎝ ⎠Cu
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
2.3.
Atome je Elementarwürfel
NaCl, Ge und Cu kristallisieren in kubischen Gittern. Wie viele Atome sind bei diesen
Substanzen im Elementarwürfel enthalten? Die Gitterkonstanten (= Seitenlängen der
Elementarwürfel) betragen a NaCl = 5,63 ⋅10 −10 m , aGe = 5,65 ⋅10 −10 m , aCu = 3,6 ⋅10−10 m .
Verwenden Sie Ergebnisse aus Aufgabe 2.2.
Anzahl der Atome im Elementarwürfel = Anzahldichte der Atme mal Elementarvolumen.
N
N
N E = VE = a 3
V
V
(
)
3
N ENaCl = 4,48 ⋅10 22 cm −3 ⋅ 5,63 ⋅10 −10 m = 8
(
⋅ (3,6 ⋅10
)
3
N EGe = 4,42 ⋅10 22 cm −3 ⋅ 5,65 ⋅10 −10 m ≈ 8
N ECu = 8,39 ⋅10 22 cm −3
2.4.
−10
)
3
m ≈4
Atomare Masseneinheit
Die Definition des Mol fixiert zusammen mit der Avogadro-Konstanten den Wert der
atomaren Masseneinheit 1u, der den 12ten Teil der Masse eines Atoms des Nuklids 12C
angibt. Bestimmen Sie diesen Wert.
N
NA
n=
m nM
M
0,012kg / mol
=
=
=
= 1,99 ⋅10 −26 kg
23
−1
N
N
N A 6,022 ⋅10 mol
1u =
0,012kg/mol weil 12C,
bei 13C wären es
0,013kg/mol
1 m
⋅ = 1,66 ⋅10 −27 kg
2 N
2.5.
Ionen in einer Lösung
In 1l chemisch reinem Wasser wird 1mg Kochsalz gelöst. Wie groß sind dann die
Teilchendichten der positiven Natriumionen und der negativen Chlorionen in der Lösung?
Cl: M = 35,5 g / mol
Na: M = 23,0 g / mol
m = nNa ⋅ M Na + nCl ⋅ M Cl = n ⋅ (M Na + M Cl )
Die n sind für gleiche Teilchenverteilung gleich.
n=
m
N
=
M Na + M Cl N A
N
NA ⋅m
6,02 ⋅10 23 mol ⋅10−3 g
=
=
= 1,03 ⋅10 22 m −3 = 1,03 ⋅1016 cm −3
−3 3
V (M Na + M Cl ) ⋅ V
58,5 g ⋅ mol ⋅10 m
= Anzahl der Moleküle = Anzahl der Na-Atome = Anzahl der Cl-Atome
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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3. Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder
3.1.
Bremsen eines Fahrzeuges
Ein Fahrzeug der Masse m = 800kg fährt auf einer geraden Straße mit der Schnelligkeit v =
100km/h. Berechnen Sie den Impuls des Fahrzeuges und die mittlere Kraft, die aufgebracht
werden muss, um das Fahrzeug innerhalb eines Zeitintervalls von Δt = 7s anzuhalten.
p = m⋅v
Da wir hier jedoch keine Vektorangaben haben, müssen wir mit skalaren
Größen rechnen.
103 m
kgm
p = m ⋅ V = 800kg ⋅100 ⋅
= 22,2 ⋅103
3600s
s
3
Δv Δp 22,2 ⋅10 kgm
kgm
F = m⋅a = m⋅
=
=
= 3134 2 = 3134 N
2
Δt Δt
7s
s
3.2.
Neutronensterne
Die sogenannten Neutronensterne besitzen etwa die Masse unserer Sonne ( ≈ 2 ⋅1030 kg ) und
typische Durchmesser von etwa 20km. Ihre mittlere Massendichte ist ungefähr die eines
Atomkerns.
Wie groß ist diese mittlere Massendichte?
i)
Wie schwer wäre nach dem Gravitationsgesetz von Newton ein Gewichtsstück der
ii)
Masse von 1kg an der Oberfläche eines Neutronensterns?
Wie schwer wäre 1mm³ Neutronensternmaterie auf der Erde und welchen
iii)
Durchmesser besäße eine Eisenkugel derselben Masse?
i)
Da wir nur den Durchmesser gegeben haben, müssen wir das Volumen des
4π
Neutronensterns mit der Kugelformel berechnen: V =
3
ii)
3
⎛d ⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
m
mN
3mN ⋅ 8 6 ⋅ 2 ⋅1030 kg
kg
ρN = N =
=
=
= 4,77 ⋅1017 3
3
3
4
4π 3
VN
4πd N
m
π (2 ⋅10 m )
RN
3
mm
Nm 2 1kg ⋅ 2 ⋅1030 kg
F = G 1 2 2 = 6,67 ⋅10 −11
⋅
= 3,335 ⋅1011 N
2
4
RN
kg 2
(2 ⋅10 m)
Achtung: Im Buch steht eine andere Lösung, weil mit 10km Radius statt 20km
gerechnet wurde.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
iii)
Wir berechnen zuerst die Masse der Neutronensternmaterie:
3
kg
m = ρ ⋅V = 4,77 ⋅1017 3 ⋅ 10 −3 m = 4,77 ⋅108 kg
m
Um zu erhalten, wie schwer der die Materie auf der Erde ist, müssen wir die
Gewichtskraft berechnen (nicht die Masse):
m
FE = m ⋅ g = 4,77 ⋅108 kg ⋅ 9,81 2 = 4,68 ⋅109 N
s
(
)
Für die Berechnung der Eisenkugel brauchen wir zusätzlich die ρ Fe = 7,9 ⋅103
kg
.
m3
3
3
π ⋅ d Fe
4π ⎛ d Fe ⎞
mFe = ρ ⋅ VFe = ρ Fe ⋅
⎜
⎟ = ρ Fe ⋅
3 ⎝ 2 ⎠
6
d Fe = 3
3.3.
m ⋅ 6 3 4,77 ⋅108 kg ⋅ 6
=
= 48,67m
ρ ⋅π
π ⋅ 7,9 ⋅103 kg / m3
Beschleunigen eines Elektrons
Angenommen, ein freies Elektron ( me = 9,11 ⋅10−31 kg , Q = −e ) besitzt momentan die
Geschwindigkeit Null und wird in einem elektrischen Feld der Stärke E = (100 N / C )e
beschleunigt. In welche Richtung beginnt sich das Elektron zu bewegen? Welche
Geschwindigkeit erreicht es nach Durchlaufen einer Strecke von 1cm und wie lang braucht es
dazu?
F = Q E = −e E = −eE e Es bewegt sich entgegen der Richtung des elektrischen Feldes.
Die Kraft F = −eE e ist auch gleich F = m ⋅ a .
me ⋅ a = −eE e
a=−
e
E
me
v = at
1
s = at 2
2
(Integrieren )
v = 2as = 2
t=
v
=
a
1,6 ⋅10 −19 C ⋅102 kgm −2
m
e
⋅10 m = 0,59 ⋅106
Es = 2
−31
2
9,11 ⋅10 kgs C
me
s
e
Es
me
m
= 2 e s = 3,37 ⋅10 −8 s
e
e⋅ E
E
me
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
3.4.
Coulomb-Wechselwirkung zweier Elektronen
Skizzieren Sie maßstäblich richtig den Verlauf des Betrages der Kraft, mit der zwei
Elektronen in Abständen von 0,5 ⋅10−10 m bis 5,0 ⋅10−10 m einander nach dem Coulomb-Gesetz
abstoßen.
Noch einige zusätzliche Angaben:
ε 0 = 8,854 ⋅10 −12 F / m
q = 1,602 ⋅10 −19 As
Radius eines durchschnittlichen Atoms = 0,5 ⋅10−10 m
F=
1 Q1Q2
e …positives Vorzeichen weil Abstoßung
4πε 0 r 2
F (r ) =
(
)
2
q 2 1,602 ⋅10 −12 C Nm 2 1
m2
−28
=
⋅
=
2
,
306
⋅
10
N
4πε 0 r 2
4π ⋅ 8,854 ⋅10 −12 C 2 r 2
r2
1
Wir berechnen jetzt einige Werte, um die Abhängigkeit vom Radius skizzieren zu können:
2,306 ⋅10 −28 Nm 2
= 9,23 ⋅10 −8 N
F (0,5 ⋅10−10 m) =
2
−10
(0,5 ⋅10 m)
F (5 ⋅10 −10 m) = 9,23 ⋅10 −10 N
F (1 ⋅10−10 m) = 2,3 ⋅10 −8 N
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
3.5.
Coulomb-Kraft und Gravitationskraft
Zwei gleichartige Teilchen stehen über die Coulomb-Kraft und über die Gravitationskraft
miteinander in Wechselwirkung. Wie groß müsste das Verhältnis Ladung durch Masse sein,
wäre der Betrag der Coulbomb-Kraft gleich dem der Gravitationskraft? Wie groß ist dieses
Verhältnis für Elektronen?
m2
1 Q2
⋅ 2 =G 2
r
4πε 0 r
Q2
= G ⋅ 4π ⋅ ε 0
m2
2
m2
C
⎛Q⎞
−12 C
−11
⋅ 6,67 ⋅10 N 2 = 8,61 ⋅10 −11
⎜ ⎟ = G ⋅ 4π ⋅ ε 0 = 4π ⋅ 8,854 ⋅10
2
Nm
kg
kg
⎝m⎠
Verhältnis für ein Elektron:
Qe−
q 1,602 ⋅10 −19 C
C
=
=
= 1,76 ⋅1011
−31
me− me 9,11⋅10 kg
kg
4. Arbeit und Leistung. Energie. Wärme und Temperatur
4.1.
Normalprojektion
Berechnen Sie den Wert FS der Kraft F = (1,28 N )ex + (− 4,13N )e y + (0,11N )ez auf die
Verschiebungsrichtung es = 0,71ex + 0,63e y − 0,31ez . Sie können dazu die Formel
Fs = Fx cos(α x ) + Fy cos(α y ) + Fz cos(α z ) verwenden. Wie ist diese Formel zu begründen?
Fs = (1,28 ⋅ 0,71 − 4,13 ⋅ 0,62 − 0,11⋅ 0,31)N = −1,73N
mathematische Begründung dafür:
Fs = F cos(α )
Diese Darstellung lässt sich auf entsprechend dem kartesischen Koordinatensystem zerlegen:
Fx = F cos α Fx
( )
( )
Fy = F cos α Fy
( )
Fz = F cos α Fz
Der Cosinus des Winkels von Fs ergibt sich aus den Multiplikationen der Einzelwinkel (für
alle Achsen): cos(α ) = cos α Fx cos(α x ) + cos α Fy cos(α y ) + cos α Fz cos(α z )
( )
( )
( )
Wir setzen in die Formel Fs = F cos(α ) ein:
Fs = F cos α Fx cos(α x ) + cos α Fy cos(α y ) + cos α Fz cos(α z )
[ ( )
( )
( )
= F cos(α ) + F cos(α ) + F cos(α )
( )
]
und heben z.B. Fx = F cos α Fx heraus – dadurch erhalten wir:
Fs
x
x
y
y
z
z
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
4.2.
Homogenes Kraftfeld
Zeigen Sie, dass ein räumlich konstantes Feld (Feldstärke an jedem Ort gleich) konservativ
ist.
konservatives Kraftfeld: Die Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve ist Null.
Wir zeichnen ein konstantes Kraftfeld, und zerlegen es in Feldrichtung in diskrete
Teilstrecken Δx. Nun zeichnen wir eine beliebige geschlossene Kurve (mit Bezugssinn) ein.
Da wir als Beweis nur endliche Werte addieren können, nähern wir die Kurve mit Hilfe des
Teilstreckenrasters an. (Was eine geschlossene eckige Kurve ergibt.) Bewegen wir uns auf
unserem Raster in Feldrichtung, gewinnen wir Arbeit, bewegen wir uns gegen die
Feldrichtung, benötigen wir Arbeit, bewegen wir uns normal auf die Feldrichtung, wird keine
Arbeit benötigt (Normalprojektion = 0). Wir beweisen die Richtigkeit für diese eckige
Annäherung, da die Aussage auch für eine beliebig feine Zerlegung gelten muss (Δx Æ 0)
n
A(C ) = ∑ f sk ⋅ sk
k =1
Da wir ein konstantes Kraftfeld haben, ist f in jedem Punkt gleich und kann herausgehoben
werden:
n
A(C ) = f ∑ sk
k =1
Wir beginnen beim Startpunkt (mit Pfeil markiert) in Bezugsrichtung zu addieren. Ich werde
nur immer gleich die Strecken addieren und nicht die Strecke aus den Koordinaten berechnen
(2 − 1) = 1, 6 − 3 = 3, etc. Immer wenn wir uns normal zur Feldrichtung bewegen wird keine
Kraft benötigt.
A = f ⋅ (1 + 1 + 3 + 1 − 1 − 3 − 1 − 1) = f ⋅ 0 = 0
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
4.3.
Zuggarnitur
Der elektrische Antrieb einer Zuggarnitur nimmt beispielsweise während eines Fahrspiels die
Leistung (Siehe Skizze) auf (1MW = 106W ) .
i)
Wie groß ist die während dieses Fahrspiels insgesamt verbrauchte elektrische
Energie?
ii)
Wie groß ist die mittlere aufgenommene Leistung?
t2
W = ∫ P(t )dt = ∑ Pk ⋅ Δtk
k
t1
I. Wir berechnen jeweils die Fläche unter der Kurve:
Wgses = W1 + W2 + W3
120 s ⋅ 7 MW
= 420 MJ
2
W2 = 2MW ⋅ 600s = 1,2GJ
W1 =
W3 =
Wges
− 7 MW ⋅ 60s
= −210MJ
2
= 420MJ + 1,2GJ − 210MJ = 1,41GJ
Die Lösung kann auch mittels Integration erfolgen:
120 s
120 s
7 MW
7 MW t ²
7 MW ⋅1202 s 2 1 7 MW ⋅120s
W1 = ∫
⋅ t ⋅ dt =
⋅
=
⋅ =
120s
120s 2 0
120s
2
2
0
II. Für die mittlere Leistung müssen wir auch die Zeit berücksichtigen, in der keine
Leistung benötigt wird (Stillstand).
W
1,41GJ
P = ges =
= 1,68MW
t ges
840s
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
4.4.
Crash-Testanlage
In einer Crash-Testanlage wird ein Fahrzeug samt Schlitten, m = 900kg, über einen
elektrischen Linearmotor durch eine Strecke s = 20m mit der konstanten Kraft F = 5kN
gleichförmig beschleunigt.
i)
Wie groß ist die dazu nötige elektrische Energie in kWh bei Vernachlässigung
aller Verluste?
ii)
Wie groß ist die erreichte Endgeschwindigkeit?
Währen des anschließenden Aufprallvorganges wird das Fahrzeug innerhalb einer Strecke
von s1 = 80cm zum Stillstand gebracht.
iii)
Wie groß ist die mittlere Kraft, die dabei auf einen fiktiven, angegurteten
Insassen, m1 = 80kg, wirkt?
I. Wel = F ⋅ s = 5 ⋅103 N ⋅ 20m = 105 Nm = 105 J = 105Ws = 105W ⋅
h
= 0,0278kWh
3600
II.
Wkin = Wel =
m ⋅ v2
2
2Wel
2 ⋅105 kgm 2
m
=
= 14,9
2
900kgs
m
s
III. Die kinetische Energie muss gleich der Kraft auf den Insassen sein (Kraft erzeugt
Gegenkraft).
m1 ⋅ v 2
= F1 ⋅ s1
2
v=
(
m1v 2 80kg ⋅ 14,9ms −1
F1 =
=
2s1
2 ⋅ 0,8m
4.5.
)
2
= 11,1kN
Handhabungsgerät
Von einem Handhabungsgerät H (siehe
Skizze) sollen Werkstücke der Masse m =
20kg entlang einer vertikalen Kreisbahn
vom Ort 1 an den Ort 2 gebracht werden,
wobei
500 Stück/Stunde zu fördern sind. Wie
groß ist die dafür benötigte mittlere
Leistung? Vernachlässigen Sie für diese
Abschätzung alle Energieverluste.
Da wir wissen, dass normal auf die Kraftrichtung (g also nach unten) keine Arbeit benötigt
wird, sind die 2,5m belanglos und wir weiters wissen, dass wir Arbeit, die wir zu viel
reinstecken (Kreisbogen geht über Punkt 2) wieder zurückbekommen, können wir einfach nur
mit der Höhe rechnen.
W1 = m ⋅ g ⋅ h
P = W1
Stück
Stück
m
500
= mgh
= 20kg ⋅ 9,81 ⋅ 3m ⋅
= 81,8W
s²
t
t
3600 s
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
4.6.
i)
Wasserkraftwerk
Berechnen Sie den Energiestrom, der einem Wasserdurchsatz von 1m³/s bei einer
Fallhöhe von 1m in einer Wasserturbine zukommt.
Angenommen, in einer Turbinen-Generator-Einheit werden ca. 70% des primären
Energiestroms in eine elektrische Leistung von 150MW umgesetzt. Wie groß ist
bei einer Fallhöhe von 43m der erforderliche Wasserdurchsatz?
ii)
I. Die Dichte von Wasser wird als bekannt vorausgesetz.
W pot = mgh
P=
W mgh ρ ⋅ V ⋅ g ⋅ h
kg 1m³
m
=
=
= 1000 ⋅
⋅ 9,81 ⋅1m = 9810W
t
t
t
m³ 1s
s²
II.
Pmech ⋅η = η
ρ ⋅V ⋅ g ⋅ h
t
= Pel
150 ⋅106 kgm 2 m3 s 2
V
Pel
m3
=
=
=
508
t η ⋅ g ⋅ h 0,7 ⋅1000kg ⋅ 43m ⋅ 9,81m ⋅ s 3
s
4.7.
Brunnenpumpe
Eine elektromotorisch angetriebene Brunnenpumpe soll Wasser aus 6m Tiefe mit einem
Volumenstrom von 2000 l/h fördern. Der Wirkungsgrad der Pumpe beträgt etwa 40%, der des
Motors etwa 70%. Ein Motor welcher Leistung (= abgegebene mechanische Leistung) ist
dazu erforderlich?
mgh Vρgh
=
=
P=
η Pt
η Pt
kg
m
⋅ 9,81 2 ⋅ 6m
3
m
s
= 82W
0,4 ⋅ 3600s
2m3 ⋅1000
Achtung: Da die vom Motor abgegebene mechanische Leistung gefragt ist, ist der
Wirkungsgrad des Motors selbst egal. Dieser η M wäre nur von Bedeutung, wenn die vom
Motor aufgenommene Leistung gefragt wäre.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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4.8.
Energiestrom der Sonne
Die Sonne sendet insgesamt einen Energiestrom von 3,85 ⋅10 26W aus.
i)
ii)
iii)
I.
II.
Wie groß ist die Energiestromdichte an der Sonnenoberfläche? (Sonnenradius
RS = 6,91 ⋅108 m )
Wie groß ist die Stromdichte der Sonnenenergie beim Eintritt in die
Erdatmosphäre auf der Verbindungslinie Erde-Sonne? (Abstand
RSE = 1,5 ⋅1011 m )
Etwa 30% der insgesamt auf die Erdatmosphäre treffenden Sonnenstrahlung
werden sofort reflektiert. Wie groß ist ungefähr der Storm an Sonnenenergie,
der die Erdoberfläche erreicht? Was passiert letztlich mit diesem
Energiestrom?
PS
PS
3,85 ⋅ 10 26 W
SS =
=
=
AS 4πRS2 4π 6,91 ⋅ 108 m
(
= 64,2
MW
m2
Wir haben die Energiestromdichte an der Sonnenoberfläche berechnet. Wir
können die Energiestromdichte an der Erdoberfläche also direkt über den
Radius der Erde von der Sonne und dem Energiestrom berechnen, oder über
die bereits bekannte Dichte an der Sonnenoberfläche.
⎛ R
PS
S S ⋅ 4πRS2
=
= S S ⎜⎜ S
SE =
2
2
4πRSE
4πRSE
⎝ RSE
III.
)
2
2
2
⎞
W ⎛ 6,91 ⋅108 m ⎞
kW
⎟⎟ = 64,2 ⋅106 2 ⎜⎜
⎟⎟ = 1,36 2
11
m ⎝ 1,5 ⋅10 m ⎠
m
⎠
Wir berechnen den Flächeninhalt der Erde (als Kreis angenommen, Wölbung
wird vernachlässigt).
2
W
PE = (1 − refl )S EπRE2 = 0,7 ⋅1,36 ⋅103 2 π 6,37 ⋅106 m = 1,21⋅1017 W
m
Dieser Energiestrom wird wieder von der Erde abgestrahlt.
(
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
)
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4.9.
Solarthermisches Kraftwerk
In einem solarthermischen Kraftwerk wird
Sonnenenergie der Energiestromdichte S über
nachgeführte Spiegel Sp in der Form parabolischer
Zylinder (siehe Skizze) der Länge (senkrecht zur
Zeichenebene) L = 4m und der Weite a = 1m jeweils
ein Rohr R (Länge L) zugeführt, das entlang der
Brennlinie verläuft. Das Rohr wird von Wasser
( c = 4,19kJ /(kgK ) ) mit dem Volumenstrom
V& = 0,1 l / s durchsetzt. Nehmen Sie einen Spiegel- und
Absorptionswirkungsgrad von zusammen 75% an und
berechnen Sie die Temperaturerhöhung des Wassers
nach Durchlaufen des Rohres.
Der Spiegel konzentriert das Licht der Höhe a (1m) auf die Länge L (4m) des Rohres R. Die
effektive Fläche ist also A = a ⋅ L = 4m 2 .
Thermische Leistung: P = ηaLS =
ρ ⋅ V ⋅ c ⋅ Δϑ
t
= ρ ⋅ V& ⋅ c ⋅ Δϑ
Temperaturerhöhung:
kW
ηaLS
m 2 = 5,73K = 5,73°C
Δϑ =
=
l kg
kWs
V&ρc
0,1 ⋅1 ⋅ 4,19
s l
kgK
0,75 ⋅1m ⋅ 4m ⋅ 0,8
4.10.
Anschlussleistung eines Durchlauferhitzers
Angenommen, Sie wollen einen elektrischen Durchlauferhitzer ohne Speicher entwerfen, der
einen Wasserstrom von 0,1 l/s von 10°C auf 60°C erwärmt. Wie groß ist die mindestens
erforderliche elektrische Anschlussleistung? (Spezifische Wärmekapazität von Wasser:
c = 4,19kJ /(kgK ) )
Wtherm = m ⋅ c ⋅ Δϑ
W m ⋅ c ⋅ Δϑ ρ ⋅ V ⋅ c ⋅ Δϑ
kg
m3
J
=
=
= ρ ⋅ V& ⋅ c ⋅ Δϑ = 1000 3 ⋅ 0,1 ⋅10 −3
⋅ 4,19 ⋅103
⋅ 50 K
t
t
t
m
s
kgK
= 20,95kW
Pel =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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5. Schwingungen und Wellen. Licht
5.1.
Kenngrößen einer harmonischen Schwingung
Die Schwingung in einem Punkt einer schallabstrahlenden Fläche werde durch
α = (3µm ) ⋅ sin 9,43 ⋅103 s −1 t beschrieben. Geben sie die Amplitude, die Schwingungsbreite,
die Frequenz, die Kreisfrequenz und die Periodendauer dieser Schwingung an.
[(
Amplitude
Schwingungsbreite
Kreisfrequenz
Frequenz
aˆ = 3µm
2aˆ = 6µm
ω = 9,43 ⋅103 s −1
ω 9,43 ⋅103 s −1
f =
=
= 1,5kHz
2π
2π
T=
Periodendauer
5.2.
)]
1
= 0,67ms
f
Schallwelle
Stellen Sie eine harmonische Schallwelle in Luft (Ausbreitungsgeschwindigkeit c ≈ 340m / s )
mit der Verschiebungsamplitude aˆ = 10µm und der Frequenz f = 440 Hz durch eine
Sinusfunktion dar.
a = aˆ sin (kx − ωt )
aˆ = 10 µm
ω = 2πf = 2π ⋅ 440 Hz = 2,76 ⋅103 s −1
k=
ω
c
=
2,76 ⋅103 s −1
= 8,13m −1
340ms −1
(
a = 10 µm 8,13m −1 ⋅ x − 2,76 ⋅103 s −1 ⋅ t
)
⎡ ⎛ x t ⎞⎤
Kann auch mit der Formel a = aˆ sin ⎢2π ⎜ − ⎟⎥ berechnet werden.
⎣ ⎝ λ T ⎠⎦
c 340ms −1
=
= 0,77m
f
440s −1
1
1
T= =
= 2,27 ms
f 440s −1
λ=
⎡ ⎛ x
t
⎞⎤
a = 10µm ⎢2π ⎜
−
⎟⎥
⎣ ⎝ 0,77 m 2,27ms ⎠⎦
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
5.3.
Elektromagnetische Welle
In einer elektromagnetischen Sinuswelle der Frequenz f = 10GHz liegen der erste und der
26. Nulldurchgang in einem Abstand von 3,47mm. Berechnen Sie die Kreiswellenzahl und
die Wellenlänge.
Achtung: 26 Nulldurchgänge entsprechen 25 Halbwellen!
nλ =
26 − 1
= 12,5
2
12,5 ⋅ λ = 3,47mm → λ =
2π
3,47mm
= 0,2776mm
12,5
2π
= 22633,95m −1
−3
λ 0,2776 ⋅10 m
Achtung: Obwohl in der Angabe 3,47mm steht, wird im Buch bei der Lösung mit 347mm
gerechnet.
k=
=
5.4.
Ultrakurzwellenbereich
Der UKW-Bereich des Hörfunks benutzt das Frequenzband von 87,5MHz bis 108MHz.
Welchem Wellenlängenbereich entspricht das?
λ1 =
c0
3 ⋅108 ms −1
=
= 3,43m
f1 87,5 ⋅106 s −1
λ2 =
c0 3 ⋅108 ms −1
=
= 2,78m
f 108 ⋅106 s −1
Das Frequenzband von 87,5MHz bis 108MHz liegt im Wellenlängenbereich von 2,78m bis
3,43m.
5.5.
Strahlstärke
Eine annähernd punktförmige Strahlungsquelle emittiert räumlich gleichmäßig verteilt den
Energiefluss P = 73 J / s in den umgebenden Raum. Wie groß ist die Strahlstärke?
Strahlstärke I =
P 73W
W
=
= 5,81
Ω 4πsr
sr
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 23 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
6. Elektrische Ladungen, Ströme und Spannungen
6.1.
Raumladungsdichte
Zur Erhöhung der Ladungsträgerkonzentration in halbleitendem Silizium (1cm³ Silizium
enthält 5⋅1022 Atome) werden in das Kristallgitter der 4-wertigen Si-Atome z.B. 5-wertige
Phosphoratome eingebaut (n-Dotierung). Die P-Atome stellen das überschüssige
Valenzelektron zur Stromleitung ab. Eine typische Dotierungsrate ist ein P-Atom in einer
Million Si-Atome. Wie groß ist die mittlere Ladungsdichte des Gitters allein?
N Si 106
=
Np
1
nSi = 5 ⋅1022 cm −3
n p = 10−6 ⋅ nSi = 10 −6 ⋅ 5 ⋅10 22 cm −3 = 5 ⋅1016 cm −3
ne, frei = n p → ρ e , frei = −e ⋅ ne , frei = −16 ⋅10 −19 C ⋅ 5 ⋅1016 cm −3 = −8 ⋅10 −3
→ ρ Gitter = − ρ e, frei = 8 ⋅10 −3
6.2.
C
cm3
C
cm3
Ladung und Stromstärke
Durch den Querschnitt eines Leiters wird elektrische Ladung mit den in der Skizze
dargestellten Zeitverläufen verschoben.
i)
ii)
Berechnen Sie für jeden Fall
die Stromstärken in den
einzelnen Zeitabschnitten.
Zeichnen Sie maßstabsgerecht
die jeweiligen Zeitverläufe der
Stromstärken.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Kurve 1:
I1 =
10 −3 C
= 10 −3 A
1s
Kurve 2:
10 −3 C
= 10 −3 A
1s
I2 = 0A
I1 =
I 3 = −2
10 −3 A
= −2 ⋅10 −3 A
1s
Kurve 3:
Q(t ) = Qˆ sin (ωt )
I (t ) = Q& (t ) = Qˆ cos(ωt ) ⋅ ω = Iˆ cos(ωt )
142
4 43
4
mal innerer Ableitung
ω=
2π
T
Iˆ = Qˆ ⋅ ω = 10 −3 C ⋅
6.3.
2π
= 314,16mA
20 ⋅10 −3 s
Laden und Entladen
Mit einer Hochspannungsquelle wird elektrische Ladung über einen Ladestrom getrennt, der
30s lang mit einer mittleren Stärke von 10-5A fließt. In einer Funkenentladung, die etwa 10-6s
dauert, gleicht sich die Ladung wieder aus. Wie groß ist die mittlere Stärke des
Entladestromes?
Da sich die beiden Vorgänge ausgleichen, muss gelten: I1t1 = I 2t2
t
30 s
I 2 = I1 1 = 10 −5 A −6 = 300 A
t2
10 s
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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6.4.
Driftgeschwindigkeit
In einer Kupferschiene mit dem rechteckigen Querschnitt 1cm × 7cm fließt ein Gleichstrom
der Stärke I = 300 A . Berechnen Sie die zugehörige Driftgeschwindigkeit der
Leitungselektronen. (Cu: ρ = 8,9 g / cm³ , M = 64 g / mol , jedes Atom stellt im Mittel ein
Leitungselektron zur Verfügung)
Dichte der Leitungselektronen:
N N A ρ 6,022 ⋅10 23 mol −1 ⋅ 8,9 gcm −3
ne =
=
=
= 8,37 ⋅10 22 cm −3
−1
V
M
64 gmol
elektrische Stromdichte:
I
J = = −e ⋅ ne ⋅ vD
A
Driftgeschwindigkeit:
− 300 A
I
cm
µm
=
= −3,2 ⋅10−3
= −32
vD = −
2
−19
22
−3
Aene 7cm ⋅1,6 ⋅10 As ⋅ 8,37 ⋅10 cm
s
s
6.5.
Faraday-Konstante
Beim Ladungstransport in Flüssigkeiten spielt die Faraday-Konstante F = eN A eine Rolle.
Berechnen Sie den Wert.
F = eN A = 1,602 ⋅10 −19 C ⋅ 6,022 ⋅10 23 mol −1 = 96486C / mol
6.6.
Ladungstransport durch Ionen
Beim sogenannten Galvanisieren werden positiv geladene Metallionen als Ladungsträger
benutzt. Sie wandern zur negativ geladenen Elektrode (Kathode) und bilden dort einen
dünnen Überzug. Wie groß ist die zu transportierende Ladungsmenge, um auf diese Weise
1,118mg einwertigen Silbers (Ionenladung = e) an der Kathode abzuscheiden?
( M Ag = 0,108kg / mol )
Masse m = nM
Q = eN = n ⋅ e ⋅ N A =
Stoffmenge n = N / N A
Faraday-Konstante F = eN A
m
1,118 ⋅10 −6 kg ⋅ mol
C
⋅F =
⋅ 9,6486 ⋅10 4
= 1,00C
M Ag
0,108kg
mol
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6.7.
i)
ii)
Wasserstofferzeugung
Berechnen Sie die Elektrizitätsmenge, die nötig ist, um 1kg Wasserstoffgas (H2)
durch Elektrolyse von Wasser (Abscheiden von H+-Ionen, M = 1g/mol) zu
gewinnen.
Wie groß ist die dazu benötigte elektrische Energie in kWh, wenn die Spannung an
der Elektrolysezelle 2V beträgt?
i)
Q = I ⋅t = e ⋅ N = n ⋅e ⋅ NA =
m
103 g
1
⋅e⋅ NA =
⋅1,6 ⋅10 −19 As ⋅ 6,022 ⋅10 23
= 9,63 ⋅107 C
M
1g / mol
mol
ii)
W = U ⋅ I ⋅ t = U ⋅ Q = 2V ⋅ 9,63 ⋅107 As = 192,6 MJ = 192,6 ⋅106Ws = 192 ⋅106
6.8.
Wj
= 53,5kWh
3600
Herstellen von Kupferfolie
Zur Herstellung einer Kupferfolie werden zweiwertige Kupferionen an einer langsam
rotierenden Trommel galvanisch abgeschieden (Skizze). Wie groß ist die
Abzugsgeschwindigkeit v einzustellen, wenn eine Stromstärke von 30A gewählt wird?
(Kupfer: M = 63,7 g / mol , ρ = 8,9 g / cm³ )
Volumenstrom
m&
V& = = b ⋅ δ ⋅ v
Massenstrom
m& = n& M =
Ladungsstrom
I = 2eN&
v=
=
ρ
N& M
NA
(Weil es zweiwertige Kupferionen sind)
m&
M N&
M
I
=
=
ρ ⋅ b ⋅ δ N A ρbδ 2eN A ρbδ
63,7 gmol −1 ⋅ 30 A
cm
m
= 0,0742
= 2,67
3
−1
−3
−3
2 ⋅ 96,4 ⋅10 Asmol ⋅ 8,9 gcm ⋅15cm ⋅10 cm
s
h
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6.9.
Vernickelung eines Blechteils
Ein Metallblech von insgesamt 200cm² Oberfläche soll in einem Nickelsalzelektrolyten mit
einer galvanisch abzuscheidenden Nickelschicht versehen werden. Zur Abscheidung des
Nickels wird die Stromstärke I = 5A eingestellt, wobei die Stromausbeute für die Reduktion
der Ni2+-Ionen 85% beträgt. Nach welcher Zeit hat die Nickelschicht eine Dicke von 50µm
erreicht? (Nickel: ρ = 9,0 g / cm³ , M = 58,7 g / mol )
Abzuscheidende Masse:
9 ⋅10 −3 kg ⋅ 200 ⋅10−4 m 2 ⋅ 50 ⋅10 −6 m
m = ρAd =
= 9 ⋅10 −3 kg
−6
3
10 m
Anzahl der Ni2+-Ionen:
N A m 6,022 ⋅10 23 mol −1 ⋅ 9 ⋅10 −3 kg
=
= 9,23 ⋅10 22
N=
−3
−1
58,7 ⋅10 kgmol
M
Ladungsmenge:
Q = 2eN = η ⋅ I ⋅ t
2eN 2 ⋅1,6 ⋅10 −19 As ⋅ 9,23 ⋅10 22
t=
=
= 6951,94 s
0,85 ⋅ 5 A
ηI
6.10.
Das Elektronvolt
Zur Angabe von Energiemengen wird bei mikroskopischen Prozessen häufig die Einheit
Elektronvolt (1eV) verwendet. Sie ist erklärt als Energiemenge, die ein Teilchen mit der
Elementarladung e beim Durchlaufen einer Spannung von 1V erhält. Drücken Sie 1eV in der
Einheit Joule aus.
1eV = e ⋅ U = 1,602 ⋅10 −19 As ⋅1V = 1,602 ⋅10 −19 Ws = 1,602 ⋅10 −19 J
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 28 / 205
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6.11.
Reihenschaltung von Widerständen
Durch die in der Skizze dargestellten Reihenschaltung von Widerständen fließt ein
Gleichstrom I = 20mA.
i)
ii)
i)
Wie groß sind die Teilspannungen U1, U2, U3 (Bezugssinne beachten!) und wie
groß ist die Gesamtspannung U?
Wie groß sind die Leistungen an den einzelnen Widerständen und wie groß ist
die Gesamtleistung?
U1 = R1 ⋅ I = 10Ω ⋅ 20mA = 0,2V
U 2 = R2 ⋅ (− I ) = −120Ω ⋅ 20mA = −2,4V
U 3 = R3 ⋅ I = 120Ω ⋅ 20mA = 2,4V
U = U1 − U 2 + U 3 = 0,2V + 2,4V + 2,4V = 5V
ii)
P1 = U1 I = 4mW
P2 = −U 2 I = 48mW
P3 = −U 3 I = 48mW
P = P1 + P2 + P3 = 4mW + 48mW + 48mW = 100mW
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 29 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
6.12.
Parallelschaltung von Widerständen
An der in der Skizze dargestellten Parallelschaltung von Widerständen liegt die Spannung
U = 5V.
i)
ii)
Wie groß sind die Teilströme I1, I2, I3? (Bezugssinne beachten!)
Wie groß sind die Leistungen an den einzelnen Widerständen und wie groß ist
die Gesamtleistung?
i)
ii)
I1 =
U
5V
=
= 500mA
R1 10Ω
I2 =
−U
− 5V
=
= −416,7 mA
R2 120Ω
I3 =
U
5V
=
R3 120Ω = 416,7 mA
P1 = U ⋅ I1 = 5V ⋅ 500mA = 2,5W
P2 = U ⋅ (− I 2 ) = 5V ⋅ (+ 416,7mA) = 208mW
P3 = U ⋅ I 3 = 5V ⋅ 416,7mA = 208mW
P = P1 + P2 + P3 = 2,5W + 208mW + 208mW = 2,92W
6.13.
Leistung an einem Ohmschen Widerstand
Zwischen den Anschlüssen eines Ohmschen Widerstandes von R = 1Ω liegen elektrische
Spannungen mit den in Skizzen angegebenen Zeitverläufen.
i)
ii)
iii)
Berechnen Sie für jeden Fall die Stromstärken und die Momentanleistungen.
Wie groß ist jeweils die mittlere Leistung?
Zeichnen Sie maßstabsgerecht die Zeitverläufe der Ströme und
Momentanleistungen.
Wie groß sind die mittleren Leistungen, wenn Sie
a. den n-fachen Widerstandswert bei gleichen Spannungsverläufen
verwenden
b. die Scheitelwerte der Spannungen bei gleichem Widerstand auf den nfachen Wert erhöhen?
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 30 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
Spannungsverlauf 1:
U 1V
=
= 1A
R 1Ω
P = P = U ⋅ I = 1V ⋅1A = 1W
I=
Widerstand auf den n-fachen Wert erhöhen:
U2
P=
n⋅R
P
Pneu =
n
Spannung um das n-fache erhöhen:
Pneu = n 2 P
Spannungsverlauf 2:
U 1V
=
= 1A
R 1Ω
U − 1V
I2 = − =
= −1 A
R
1Ω
P1 = U ⋅ I1 = 1V ⋅1A = 1W
I1 =
P2 = −U ⋅ I 2 = −1V ⋅ (− 1A)
P=
P1 + P2 2W
=
= 1W
2
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
mittlere Leistung bei n-fachem Widerstand:
P1 P2
+
n
n = 1P
P neu =
n
2
mittlere Leistung bei n-facher Spannung:
(nU )2 + (− nU )2
n 2 P1 + n 2 P2
R
R
Pneu =
=
= n2 P
2
2
Spannungsverlauf 3:
U 1V
=
= 1A
R 1Ω
U − 1V
I2 = − =
= −1 A
1Ω
R
P1 = I1 ⋅ U = 1W
I1 =
P2 = I 2 ⋅ (− U ) = 1W
P=
5ms ⋅ P1 + 5ms ⋅ P2 1W
=
= 0,5W
20ms
2
Es ergeben sich wieder die gleichen Faktoren wie bei den anderen Beispielen.
Spannungsverlauf 4:
U (t ) Uˆ sin (ωt ) 1V sin (ωt )
=
=
= 1A sin (ωt )
R
R
1Ω
P (t ) = U (t ) ⋅ I (t ) = 1V sin (ωt ) ⋅1A sin (ωt ) = 1W sin 2 (ωt )
I (t ) =
Die Faktoren ergeben sich wieder gleich.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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6.14.
i)
ii)
Reichenschaltung Diode-Widerstand
Zeichnen Sie maßstabsgerecht die Spannungs-Strom-Kennlie der Reihenschaltung
(Skizze) einer Diode D mit der idealisierten Spannungs-Strom-Kennlinie
(Skizze 2) und eines 2Ω Widerstandes für den Bereich 0 ≤ I ≤ 1A .
Welche Leistungen werden jeweils im Widerstand und in der Diode für I = 0,5A
und für I = 1A umgesetzt?
i)
U = U D + U R = 0,7V + 2Ω ⋅ I
Für das Zeichnen des Diagramms ist
wesentlich
U max = 0,7V + 2Ω ⋅1A = 2,7V
ii)
PD0 , 5 A = 0,7V ⋅ 0,5 A = 350mW
PD1 A = 0,7V ⋅1A = 700mW
PR0 , 5 A = I 2 ⋅ R = (0,5 A) ⋅ 2Ω = 500mW
2
PR1 A = 1A2 ⋅ 2Ω = 2W
6.15.
Stromaufnahme von Glühlampen
Auf einer Glühlampe für einen Autoscheinwerfer sind z.B. die Daten 12V, 15W angegeben.
Wie groß ist die zugehörige Stromstärke?
P =U ⋅I → I =
P 15W
=
= 1,25 A
U 12V
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 33 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
6.16.
Reihenschaltung von Glühlampen
Zwei Glühlampen 12V, 15W bzw. 12V, 40W besitzen Spannungs-Strom-Kennlinien
(Skizze). Angenommen, Sie schalten die beiden Lampen in Reihe an 12V (Skizze 2).
i)
ii)
iii)
Welche Werte von Stromstärke und Spannung kommen jeder der beiden
Lampen etwa zu?
Wie groß ist ungefähr die jeweils aufgenommene Leistung?
Welche der beiden Lampen leuchtet heller?
15W
40W
grafische Lösung aus dem Buch:
Da die abgelesenen Spannungswerte der beiden Lampen (1,2V und 7,5V) beim grafisch
ermittelten Strom nicht 12V ergeben, lässt sich daraus schließen, dass die Kennlinie U = U1 +
U2 nicht richtig eingezeichnet ist.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 34 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
grafische Ermittlung der Werte:
Man verschiebt ein Lineal parallel zur Spannungsachse und ermittelt bei den Schnittpunkten
mit den U-I-Kennlinien der Glühbirnen jeweils die Spannungen. Ist deren Summe gleich der
Gesamtspannung (12V), so kann man auf der Stromachse den korrekten Wert für I ablesen
(und natürlich die Spannungen U1 und U2 notieren).
Wir rechnen mit den Werten aus dem Buch weiter:
P1 = U1 ⋅ I = 11V ⋅1,15 A = 12,65W
P2 = U 2 ⋅ I = 1V ⋅1,15 A = 1,15W
Am hellsten wird die 15W Lampe leuchte, weil sie am nahesten bei ihrer geforderten
Leistung betrieben wird. Wäre sie darüber, würde sie natürlich abbrennen.
6.17.
Stromaufnahme einer Zuggarnitur
Eine elektrisch betriebene Zuggarnitur hat auf ebener Strecke bei 80km/h den Fahrwiderstand
(Bremskraft) 22,5kN zu überwinden. Wie groß ist bei einer Gleichspannungsversorgung von
850V die dabei auftretende Stromstärke, wenn der Wirkungsgrad des Antriebs 85% beträgt?
Pmech = F ⋅ v = 22,5kN ⋅ 80km / h = 22,5 ⋅103 N ⋅ 80
1000m
= 500kW
3600s
Die mechanische Leistung muss gleich der elektrischen sein:
η ⋅ Pel = Pmech
Pel = U ⋅ I
Pel Pmech 500 ⋅103VA
I=
=
=
= 692,02 A
U η ⋅ U 0,85 ⋅ 850V
Achtung: Im Buch wird entgegen der Angabe mit 750V gerechnet.
6.18.
Antrieb eines Schiffskrans
Der elektrische Gleichstromantrieb eines Schiffskrans ist so ausgelegt, dass eine Last von
100t mit der Geschwindigkeit 0,5m/s gehoben werden kann (Nennbetrieb). Der
Gesamtwirkungsgrad beträgt ca. 75%, die Spannung des Bordnetzes ist 600V
(Nennspannung). Wie groß ist der Motorstrom im Nennbetrieb?
Pmech = Fv = mgh
η ⋅ Pel = Pmech
Pel = U ⋅ I
I=
Pel Pmech mgh 105 kg ⋅ 9,81ms −2 ⋅ 0,5ms −1
=
=
=
= 1090 A
ηU
ηU
U
0,75 ⋅ 600V
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 35 / 205
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6.19.
Schleifmaschinenantrieb
Der Antriebsmotor einer
Schleifmaschine (Skizze) wird
über einen Gleichspannungszwischenkreis mit U = 270V
gespeist, wobei die maximale
Stromaufnahme mit I = 40A
begrenzt ist. Berechnen Sie die
von der Schleifscheibe
maximal aufzubringende
Umfangskraft, wenn der Motor
und die Getriebe zusammen
den Wirkungsgrad η = 78% besitzen.
ηPel = η ⋅U ⋅ I = Pmech = F ⋅ v = F ⋅ 2π ⋅ n ⋅
F=
ηUI 0,78 ⋅ 270V ⋅ 40 A
=
= 64,35 N
10 4
Dπn
0,25m ⋅ π ⋅
D
= F ⋅ D ⋅π ⋅ n
2
60 s
6.20.
Beschleunigungsantrieb
In einer Werkzeugmaschine soll ein Gleichstrommotor einen Schlitten der Masse m = 50kg
aus dem Stillstand gleichförmig beschleunigen (Skizze). Nach einer Wegstrecke s = 1m soll
die Geschwindigkeit v = 4m/s betragen. Welche Spannung U muss das Speisegerät maximal
liefern, wenn während des Vorgangs ein konstanter Strom von I = 10A eingeprägt wird, der
Widerstand des elektrischen Kreises mit R = 2Ω anzusetzen ist und andere Verluste
(Reibungsverluste) vernachlässigt werden können?
v 2 (4m / s )
v = 2as → a =
=
= 8m / s 2
2s
2 ⋅1m
kgm
F = m ⋅ a = 50kg ⋅ 8m / s 2 = 400 2 = 400 N
s
kgm 2
Pmech = F ⋅ v = 400 N ⋅ 4m / s = 1600 3 = 1600W
s
2
2
Pe = Pmech + PR = 1600W + I R = 1600W + (10 A) ⋅ 2Ω = 1800W
2
U=
Pe 1800W
=
= 180V
I
10 A
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 36 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
7. Physikalische Größen, Einheiten und Dimensionen
7.1.
Abgeleitete Dimensionen
Stellen Sie die physikalischen Dimensionen der Massendichte, der Kraft, der elektrischen
Feldstärke, der Energie, der elektrischen Ladungsdichte, der elektrischen Spannung und des
elektrischen Widerstandes als Potenzprodukte der Basisdimensionen der Länge, Masse, Zeit
und elektrischen Stromstärke dar.
ρm =
m
m
= 3 = L−3 M
V
s
F = m⋅a =
E =
F
ms
= 2
= LMT −3 I −1
Q
t It
A = Fs =
ρQ =
U =
m⋅s
= LMT −2
2
t
ms ⋅ s
= L2 MT −2
t2
Q
It
= 3 = L−3TI
V
s
A
ms 2
= 2
= L2 MT −3 I
Q
t ⋅ It
U
ms 2
= 3
= L2 MT −3 I −2
R =
I
t I ⋅I
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 37 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
7.2.
Abgeleitete Einheiten
Geben Sie die kohärenten SI-Einheiten für den elektrischen Widerstand, die Leistung, die
Arbeit, die elektrische Ladung, die Kraft, die elektrische Flächenladungsdichte und die
elektrische Feldstärke jeweils als Potenzprodukt der SI-Basiseinheiten (abgekürzte
Schreibweise) und als Potenzprodukt der Einheiten Meter, Sekunde, Volt und Ampere an.
2
[R] = 1 kgm
2 3
=1
V
A
As
2
[P ] = 1 kgm3 = 1VA
s
2
[A] = 1 kgm2 = 1VAs
s
[Q] = 1As = 1As
VAs
[F ] = 1 kgm
=1
2
s
m
[σ ] = 1 As2 = 1 As2
m
m
[E ] = 1 kgm3 = 1 V
As
m
7.3.
Einheiten des elektrostatischen cgs-Systems
Das elektrostatische cgs-System verwendet als Basiseinheit für die Länge, die Masse und die
Zeit die Werte 1cm, 1g, 1s. Abgeleitete Einheiten sind u.a. 1dyn = 1gcm/s² für die Kraft und
1 erg = 1gcm²/s² für die Arbeit. Die Proportionalitätskonstante 1/(4πε0) im Coulomb-Gesetz
wird als 1 angenommen und damit auf die Einführung einer elektrischen Basiseinheit
verzichtet. Geben Sie die kohärenten Einheiten der elektrischen Ladung, der Stromstärke, der
Spannung und des Widerstandes dieses Einheitensystems als Potenzprodukte der
Basiseinheiten an.
Coulomb Gesetz: F =
[ ] [ ]
1 Q1Q2
e → Q 2 = Fr 2
4πε 0 r 2
1
2
3
=1
[Q] = [
]
1
1
3
F ⋅ r 2 = (1dyn )2 ⋅ (1cm ) = (1g )2 (1cm )2 (1s )
−1
[I ] = ⎡⎢ Q ⎤⎥ = (1g )2 (1cm)2 (1s )−2
1
3
⎣t ⎦
1
3
1
1
[U ] = ⎡⎢ A ⎤⎥ = (1erg )(1g )− 2 (1cm)− 2 (1s )−2 = (1g )2 (1cm)2 (1s )−1
⎣Q ⎦
[R ] = ⎡⎢U ⎤⎥ = (1cm)−1 (1s )
⎣I ⎦
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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7.4.
Aufstellen einer Zahlenwertgleichung
Die Elektrotheorie der Metalle liefert für den Zusammenhang zwischen der elektrischen
Leitfähigkeit γ, der Wärmeleitfähigkeit λ und der absoluten Temperatur T das WiedemannnFranz-Lorenz-Gesetz
λ π2 ⎛k ⎞
=
⎜ ⎟
γT
3 ⎝e⎠
2
wobei k = 1,381 ⋅10−23 J / K die Boltzmann-Konstante und e die Elementarladung bedeuten.
Leiten Sie daraus auf formal korrekte Weise eine Zahlenwertgleichung ab, die Zahlenwerte
von λ in Bezug auf die Einheit W/(Kcm) durch Zahlenwerte von γ und T in Bezug auf die
Einheiten m/(Ωmm²) bzw. K darstellt.
2
W
m
π 2 ⎛ 1,381 ⋅10 −23 J ⎞
⎟⎟ ⋅ γ m / Ωmm2
⎜⎜
TK ⋅ K
λW / Kcm ⋅
=
−19
3 ⎝ 1,602 ⋅10 KAs ⎠
Kcm
Ωmm 2
λW / Kcm
π 2 ⎛ 1,381 ⎞
2
K ⋅10 −2 m W 2 s 2
mAK
⋅ 2 2 2⋅
⋅γ
=
⎟ ⋅10
⎜
2 ⋅ TK
3 ⎝ 1,602 ⎠
W
K A s V ⋅10−6 m 2 m / Ωmm
−8
Alle Größen müssen sich aufheben:
K m W 2 s 2 mAK m W 2 s 2 mA
W 2 s 2 A V 2 A3
⋅ 2 2 2⋅
=
⋅
⋅
=
⋅ =
=1
W K A s Vm 2 W A2 s 2 V m 2 WA2 s 2 V V 2 A3
λW / Kcm = 2,445 ⋅10−4 ⋅ γ m / Ωmm ⋅ TK
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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7.5.
Aufstellen einer Größengleichung
Angenommen, Sie finden in der Literatur für einen nichtlinearen elektrischen Widerstand die
Angabe R = 2,36U 0, 25 , R in kΩ, U in kV
Leiten Sie daraus eine Größengleichung der Form
⎛I ⎞
U
= f ⎜⎜ ⎟⎟ mit U0 = 1kV ab, die keine
U0
⎝ I0 ⎠
Zahlenfaktoren enthält. Wie groß ist I0?
R = RkΩ ⋅1kΩ → RkΩ =
R
, wobei R0 gleich 1kΩ ist.
R0
U = U kV ⋅1kV = U kV ⋅U 0
0 , 25
RkΩ = 2,36 ⋅ U kV
R
⎛ U ⎞
= 2,36⎜
⎟
1kΩ
⎝ 1kV ⎠
0 , 25
⎛ U ⎞
R = 2,36kΩ⎜
⎟
⎝ 1kV ⎠
0 , 25
Im Verbraucherbezugssystem ergibt sich R =
⎛U ⎞
1
U
⋅
= ⎜⎜ ⎟⎟
I 2,36kΩ ⎝ U 0 ⎠
1 ⎞
U ⎛U
=⎜ ⋅
⎟
U 0 ⎝ I 2,36kΩ ⎠
U
I
1
4
4
Æ U rausziehen:
U
1
⎞
⎛
= U 4⎜
⎟
U0
⎝ I ⋅ 2,36kΩ ⎠
4
4
U ⎛U ⎞ ⎛
U0
⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜
⎟
U 0 ⎝ U 0 ⎠ ⎝ I ⋅ 2,36kΩ ⎠
−3
⎛U ⎞
U0
⎞
⎛
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
⎟
⎝ I ⋅ 2,36kΩ ⎠
⎝ U0 ⎠
4
4
Wir bilden den Kehrwert:
3
⎛ U ⎞ ⎛ 2,36kΩ ⋅ I ⎞
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
U
U
0
0
⎠
⎝ ⎠ ⎝
4
4
4
U ⎛ 2,36kΩ ⎞ 3 ⎛ I ⎞ 3
=⎜
⋅ I ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
U 0 ⎝ 1kV
⎠
⎝ I0 ⎠
1kV
1
=
A = 0,424 A
I0 =
2,46kΩ 2,36
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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7.6.
Stefan-Boltzmann-Gesetz (nicht im Buch)
Nach dem Gesetz von Stefan Boltzmann strahlt die Oberfläche eines ideal schwarzen Körpers
der absoluten Temperatur T einen Wärmestrom der Dichte q = σ ⋅ T 4 ab, wobei die StefanBoltzmann-Konstante σ mit der Boltzmann-Konstante k = 1,381 ⋅10−23 J / K , der Planck2π 5 k 4
Konstante h = 6,626 ⋅10 Js und der Lichtgeschwindigkeit c0 gemäß σ =
⋅
15 h 3c02
zusammen hängt. Leiten Sie daraus auf formal korrekte Art eine Zahlenwertgleichung ab, in
die Zahlenwerte der Temperatur in Bezug auf die Celsius-Skala einzusetzen sind und die
W
liefert.
Zahlenwerte der Wärmestromdichte in Bezug auf die Einheit
cm²
−34
W
W
= qW / cm ² ⋅ 10 4
m²
cm ²
+ 273 ,15 ) ⋅ 1K
q = qW / cm ² ⋅
T = (T° C
(
)
4
2π 5
1,381 ⋅ 10 − 23
J 4s2
⋅
⋅
σ =
3
2
15
K 4 J 3s 3m 2
6 ,626 ⋅ 10 − 34 ⋅ 2 ,998 ⋅ 10 8
W
= 5, 676 ⋅ 10 −8 2 4 ... Stefan − Boltzmann − Ko nstante
m K
W
4
= σ ⋅ (T° C + 273 ,15 ) K 4
qW / cm ²
cm ²
W 10 − 4 m 2 4
4
K
qW / cm ² = 5 , 676 ⋅ 10 − 8 (T° C + 273 ,15 )
m2K 4 W
(
qW / cm ² = 5 , 676 ⋅ 10
−8
) (
)
(T° C + 273 ,15 )
4
T° C ⎞
⎛
= 0 , 0316 ⎜ 1 +
⎟
273 ,15 ⎠
⎝
4
Anmerkung: Potenziert man derart große oder kleine Zahlen, kann es vorkommen, dass der
Taschenrechner falsche Ergebnisse ausgibt. Man sollte diese also getrennt berechnen z.B.
(6,626 ⋅10 )
−34 4
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7.7.
Atomares Einheitensystem (au, nicht im Buch)
Zur Berechnung in der Atom- und Molekularphysik werden an Stelle der SI-Basiseinheiten
Meter, Sekunde und Kilogramm manchmal als Basiseinheiten für die Länge, die Zeit und die
h
h
, die Atomsekunde 1s * =
und die
Masse der Bohr Radius 1u0 =
me c0α 2
mel0α
h
, h = 6,626 ⋅10−34 Js
Elektronenmasse 1me = 9,1095 ⋅10−31 kg verwendet, wobei h =
2π
2
e
(Planck Konstante) und α =
(Feinstrukturkonstante) bedeuten.
4πε 0 hc0
I)
drücken Sie die Längeneinheit 1a0 und die Zeiteinheit 1s* durch die SIBasiseinheiten aus.
Geben Sie die kohärente Einheit für die Energie in diesem atomaren
II)
Einheitensystem an.
i)
α=
(1,6022 ⋅10 ) ⋅ 2π
−19 2
4π ⋅ 8,854 ⋅10 −12 ⋅ 6,626 ⋅10 −34 ⋅ 2,998 ⋅10
⋅
8
A2 s 2Vms
= 7,297 ⋅10 −3
AsVAs 2 m
1a0 =
6,626 ⋅10 −34
VAs 2 s
⋅
= 0,529 ⋅10 −10 m
2π ⋅ 9,1095 ⋅10 −31 ⋅ 2,998 ⋅108 ⋅ 7,297 ⋅10 −3 kgm
1s * =
a0
0,529 ⋅10 −10
=
s = 2,419 ⋅10 −17 s
c0 ⋅ α 2,998 ⋅108 ⋅ 7,297 ⋅10−3
ii)
[W ]au = [m]au ⋅ [L]2au
[t ]au
2
(
2
⎛a ⎞
2
= me ⎜ *0 ⎟ = me (c0 ⋅ α )
⎝s ⎠
)
2
= 9,1095 ⋅10 −31 ⋅ 2,998 ⋅108 ⋅ 7,297 ⋅10 −3 ⋅ kg
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
m²
= 4,360 ⋅10 −18 J (1Hartre)
s²
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7.8.
Loschmidt-Konstante (nicht im Buch)
Die Loschmidt-Konstante n0 lässt sich durch n0 =
p0
definieren, wobei
k ⋅ T0
k = 1,3807 ⋅10 −23 J / K die Boltzmann-Konstante und p0 = 1,013 ⋅105 Pa dem Normaldruck
bzw. T0 = 273,15K die Normaltemperatur bezeichnen.
Wie ist n0 im Zusammenhang mit der Zustandsgleichung p ⋅ V = N ⋅ k ⋅ T eines
i)
idealen Gases (Druck p, Volumen V, Teilchenzahl N, Temperatur R) zu
interpretieren?
Berechnen Sie n0.
ii)
i)
speziell p0 ⋅ V0 = N ⋅ k ⋅ T0 →
R0 =
p0
N
=
k ⋅ T0 V0
1 N ⋅k N
⋅
= …Teilchendichte eines idealen Gases unter Normalbedingungen
k V0
V0
ii)
n0 =
1,013 ⋅105
NK
⋅ 2
= 2,686 ⋅10 25 m −3
−23
1,3807 ⋅10 ⋅ 273,15 m NmK
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8. Stromkreise und einfache Stromkreiselemente
8.1.
Anwendung der Kirchhoff-Regeln
Die in der Skizze dargestellte Schaltung aus idealen Spannungsquellen und Widerständen
besitzt z = 6 Zweige.
i)
ii)
iii)
Stellen Sie für die k = 4 Knoten A bis D die Knotengleichungen auf. Wie
viele davon sind voneinander unabhängig? (Hinweis: Eliminieren Sie
nacheinander die Zweigströme I6, I5 usw.)
Geben Sie für die Fenster die Maschengleichung an. Können Sie noch eine
weitere, davon unabhängige Maschengleichung finden?
Zeigen Sie, dass die voneinander unabhängigen Knoten- und
Maschengleichungen zusammen mit den Elementgleichungen (Ohmsches
Gesetz) genau ausreichen, um alle Zweigströme zu berechnen.
Zuerst müssen wir die Bezugssinne willkürlich festlegen:
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
i) Die 4 Knoten
I 4 + I5 + I6 = 0
− I1 − I 2 − I 4 = 0
I 2 + I3 − I5 = 0
Bei den Formeln müssen die Bezugssinne beachtet werden.
I1 − I 3 − I 6 = 0
ii) Die Maschen
U1 − U 4 + U 6 = U q1
− U 2 + U 4 − U 5 = −U q2
Alle anderen Maschen hängen von diesen ab.
U 3 + U 5 − U 6 = U q3
iii)
Wir haben 6 Zweigströme, also 6 Unbekannte.
Wir können 6 mal das Ohmsche Gesetz anwenden, um die Spannungen U1 bis U6 in die
Ströme I1 bis I6 umzurechnen. Weiters haben wir 3 unabhängige Knotengleichungen und 3
unabhängige Maschengleichungen Æ 6 unabhängige Gleichungen für 6 unbekannte.
8.2.
Verzweigter Strom
Durch den 5Ω-Widerstand der in der Skizze dargestellten Kombination von ohmschen
Widerständen fließt ein Wechselstrom der Stärke I = (6 A)sin (ωt ) .
i)
ii)
Berechnen Sie die Ströme in den beiden anderen Widerständen, die Spannung
zwischen A und B und die Spannung zwischen B und C.
Wie groß ist der zeitliche Mittelwert der in den drei Widerständen zusammen
umgesetzt wird?
i) Ströme und Spannungen
Die Spannung an 5Ω und 15Ω ist die gleiche.
5Ω
U 5Ω = 5Ω ⋅ 6 A sin ωt = 15Ω ⋅ I15Ω → I15Ω =
6 A = 2 A sin ωt
15Ω
I10 Ω = I 5Ω + I15Ω = 8 A sin ωt
U AB = U10 Ω = 10Ω ⋅ 8 A sin ωt = 80V sin ωt
U BC = U 5Ω = U15Ω = 5Ω ⋅ 6 A sin ωt = 30V sin ωt
ii) Mittlere Leistung
Momentanleistung: P = I10Ω (U AB + U BC ) = 8 A ⋅110V ⋅ sin 2 ωt = 880W sin 2 ωt
Pˆ 880W
mittlere Leistung:
P= =
= 440W
2
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.3.
Erweitern einer Schaltung
Wie und mit welchem Widerstand ist die Schaltung (Skizze) zu erweitern, damit der
Ersatzwiderstand
um 5% größer wird
i)
um 5% kleiner wird
ii)
Wir berechnen zuerst den Widerstand der Schaltung:
Rges = 200Ω // (130Ω + 70Ω ) = 100Ω
Wollen wir den Gesamtwiderstand erhöhen, brauchen wir einen Serienwiderstand:
Rges ⋅1,05 = Rges + R+5% → R+5% = 0,05 Rges = 5Ω
Wollen wir den Gesamtwiderstand kleiner machen, brauchen wir einen Parallelwiderstand:
R R
0,95 Rges = −5% ges
R−5% + Rges
0,95 =
1+
R−5%
R−5% + Rges
1
= 0,95
Rges
R−5%
R−5% =
0,95
Rges = 19 Rges = 1,9kΩ
0,05
8.4.
Ersatzwiderstand
Berechnen Sie den Ersatzwiderstand für die in der Skizze angegebene
Widerstandskombination.
Man kann das Beispiel über Ersatzschaltungen lösen, indem man immer Widerstände zu
neuen zusammenfasst. Mit etwas Übung kann man einfach hinsehen und das Netzwerk von
hinten nach vorne auflösen:
Rges = ((5k 6 + 3k 3) // 1k + 4k 6 ) // (2k 2 + 3k 3 // 3k 3) + 1k = 3,26kΩ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.5.
Dreieck-Stern-Umwandlung
Eine Dreieckschaltung von Widerständen (Skizze) soll durch eine bezüglich der
Anschlussklemmen 1, 2, 3 äquivalente Sternkonfiguration ersetzt werden. Berechnen Sie die
Widerstandswerte der Sternschaltung aus denen der Dreiecksschaltung. Zeigen Sie, dass bei
einer Rückwärtsumwandlung analoge Beziehungen für die Leitwerte gelten.
R10 + R20 = R12 // (R31 + R23 )
R20 + R30 = R23 // (R12 + R31 )
R30 + R10 = R31 // (R12 + R23 )
R20 = R12 // (R31 + R23 ) − R10 ⎫
⎬
R30 = R31 // (R12 + R23 ) − R10 ⎭
R12 // (R31 + R23 ) − R10 + R31 // (R12 + R23 ) − R10 = R23 // (R12 + R31 )
2 R10 = R12 // (R31 + R23 ) + R31 // (R12 + R23 ) − R23 // (R12 + R31 )
R (R + R23 ) R31 (R12 + R23 ) R23 (R12 + R31 )
+
2 R10 = 12 31
−
R12 + R31 + R23 R12 + R31 + R23 R12 + R31 + R23
2 R10 =
R10 =
R12 R31 + R12 R23 + R31R12 + R31R23 − R23 R12 − R23 R31
R12 + R31 + R23
R12 R31
2 R12 R31
=
R12 + R31 + R23 R12 + R31 + R23
Die Widerstände im Zähler sind die Widerstände, die beim Dreieck vom zu berechnenden
Punkt weggehen. Daraus folgt:
R12 R23
R20 =
R12 + R23 + R31
R30 =
R23 R31
R12 + R23 + R31
Bei der Rücktransformation (Stern-Dreieck) ersetzt man die Widerstände durch deren
Leitwerte.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.6.
Stern-Polygon-Umwandlung
Eine Sternumwandlung von n Widerständen gemäß der Skizze lässt sich bezüglich der
Klemmen 1, 2 … n äquivalent, in eine vollständige Polygonschaltung von m(n − 1) / 2
Widerständen umwandeln.
Leiten Sie die Umwandlungsformel
i)
n
Gk 0Gr 0
Gkr =
GS = ∑ Gl 0 für die Leitwerte ab.
GS
l =1
ii)
Warum ist die umgekehrte Umwandlung nur im Fall n = 3 möglich?
i) Formel herleiten
Dem Anschluss k wird der Strom
I k = Gk 0U k 0 = Gk 0 (ϕ k − ϕ 0 )
zugeführt, wobei die Sternspannung Uk0 als Differenz ϕ k − ϕ 0 der „Knotenpotentiale“
dargestellt wird. Weiters ist
n
n
1 n
I r = 0 …Knotenregel
→ ϕ0 =
Gr 0ϕ r Gs = ∑ Gl 0
∑
∑
Gs r =1
r =1
l =1
Damit folgt
⎞ G n
⎛
1 n
I k = Gk 0 ⎜⎜ ϕ k − ∑ Gr 0ϕ r ⎟⎟ = k 0 ∑ Gr 0 (ϕ k − ϕ0 )
Gs r =1
⎠ Gs l =1
⎝
also
n
n
G G
I k = ∑ k 0 r 0 U kr entspricht: I k = ∑ GkrU kr
Gs
r =1
r =1
ii)
Die Umkehrung ist i.a. nicht möglich, da sich
n(n − 1)
Bedingungen zur Bestimmung von n
2
Widerständen ergeben.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 48 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.7.
Ersatzwiderstand
Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Schaltung aus der Skizze mit Hilfe der Formel für
die Dreieck-Stern-Umwandlung.
Wir wandeln die linken drei Widerstände von einem Dreieck in einen Stern um (man könnte
es ebenso gut mit den rechten machen):
RD = 220 + 1k + 100 = 1320Ω
R10 =
200Ω ⋅100Ω
= 16,67Ω
RD
R20 =
220Ω ⋅1kΩ
= 166,7Ω
RD
R30 =
100Ω ⋅1kΩ
= 75,76Ω
RD
Rges = R10 + (R20 + 130Ω ) // (R30 + 220Ω ) = 164,77Ω
8.8.
Ersatzwiderstand
Berechnen Sie den Ersatzwiderstand für
die in der Skizze dargestellte
Kombination, wenn alle
Einzelwiderstände den gleichen Wert T
besitzen.
Wir wandeln die drei rechten Widerstände von einem Dreieck in einen Stern um, wir könnten
auch die drei linken nehmen.
R⋅R
R2 R
=
=
RS =
R + R + R 3R 3
RAB =
R⎞ R
1⎛
⎜R+ ⎟+ = R
2⎝
3⎠ 3
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.9.
Ersatzwiderstand eines Zweitors
Gegeben ist die Schaltung aus der Skizze.
Berechnen Sie den Widerstand RAB bei
i)
a. offenem Ausgang CD
b. kurzgeschlossenem Ausgang CD
ii) Berechnen Sie den Widerstand RCD bei
a. offenem Eingang AB
b. kurzgeschlossenem Eingang AB
i)
offener Ausgang: RAB = ((2 R // 2 R + R ) // 2 R + 2 R ) // 2 R = 2 R // 3R = 1,2 R
Kurzschluss am Ausgang: RAB = (R // 2 R + 2 R ) // 2 R = 1,14 R
ii)
offener Eingang: RCB = ((2 R + 2 R ) // 2 R + R ) // 2 R // 2 R = 0,7 R
Eingang kurzgeschlossen: RCB = (2 R // 2 R + R ) // 2 R // 2 R = 0,67 R
8.10.
Widerstandskette
Berechnen Sie allgemein den
Eingangswiderstand R der unendlichen
Widerstandskette aus der Skizze.
Hinweis: R ändert sich nicht beim
Hinzufügen eines weiteren
Kettengliedes.
Da sich R durch hinzufügen eines weiteren Elements nicht ändert, können wir folgende
Ersatzschaltung ansetzen:
R = R1 // (R2 + R ) =
R1 (R2 + R )
R1 + R2 + R
R 2 + RR1 + RR2 = R1 R2 + RR1
R 2 + RR2 + R1R2 = 0
R=
(
)
⎞
1
1 ⎛
4R
− R2 + R22 + 4 R1R2 = R2 ⎜⎜ 1 + 1 − 1⎟⎟
2
2 ⎝
R2
⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.11.
Teilerregeln
Berechnen Sie den Strom durch den 47Ω-Widerstand in der Skizze.
mit der Spannungsteilerregel
i)
ii)
mit der Stromteilerregel
Mit Spannungsteilerregel:
47Ω // 220Ω
U2 = Uq
= 38V
47Ω // 220Ω + 2Ω
U
38V
IR = 2 =
= 0,81A
R2 47Ω
Mit Stromteilerregel:
Uq
I=
R1 + R2 // R3
IR = I
R3
R2 + R3
8.12.
Spannungsteiler
Um wie viel % ändert sich in der Schaltung aus der Skizze das Spannungsteilerverhältnis
U
α = 2 , wenn
U1
der Widerstand R2
i)
der Widerstand R1
ii)
beide Widerstände
iii)
um je 2% vergrößert werden?
U1 U 2
=
R1 U1
U 2 R2
=
=α
U1 R1
R2 steigt um 2%:
R (1 + 0,02 ) R2
(1 + 0,02)
α1 = 2
=
α ändert sich um 2%.
R1
R1
R1 steigt um 2%:
R2
R
α2 =
= 2 ⋅ 0,98
α ändert sich um -2%
R1 (1 + 0,02) R1
beide steigen um 2%:
R (1 + 0,02 ) R2
α3 = 2
=
α ändert sich nicht
R1 (1 + 0,02 ) R1
Der Widerstand bei der Spannungsquelle ändert nichts an dem Verhältnis.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.13.
Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen
Gegeben ist die Widerstandskombination aus der Skizze.
Berechnen Sie den Gesamtwiderstand zwischen den Anschlüssen A und B.
i)
In welchem der Widerstände wird die größte Leistung umgesetzt, wenn
ii)
zwischen den Anschlüssen A und B ein Strom der Stärke I fließt? (Raten Sie
zuerst!)
R = 10Ω // 2Ω + 5Ω // 15Ω = 5,42Ω
Raten: Die Größte Leistung wird nicht in den großen Widerständen (10E und 15E) auftreten,
da hier der kleinste Strom fließt. Der Strom rinnt also hauptsächlich durch 2Ω und 5Ω. Da der
5Ω der größere ist, wird hier die meiste Leistung verbraten werden.
I1 = I
2Ω
2Ω + 10Ω
2
⎛1 ⎞
P1 = ⎜ ⋅ I ⎟ ⋅ R2 = 0,28Ω ⋅ I 2
⎝6 ⎠
10Ω
I2 = I
10Ω + 2Ω
2
⎛ 10 ⎞
P2 = ⎜ I ⎟ R2 = 1,39W
⎝ 12 ⎠
P3 = 2,88W
P4 = 0,94W
8.14.
Erforderliche Quellenspannung
Wie groß muss in der Schaltung aus der Skizze der
Wert der Quellenspannung sein, damit durch den 5ΩWiderstand ein Strom der Stärke 14A fließt?
Durch die beiden 10Ω Widerstände fließen jeweils
7A (doppelter Widerstand – halber Strom).
I ges = 14 A + 2 ⋅ 7 A = 28 A
Wir errechnen die erforderliche Spannung aus dem Strom und dem Gesamtwiderstand:
U = 28 A(2Ω + 10Ω // 10Ω // 5Ω ) = 126V
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.15.
Erforderlicher Widerstand
Wie groß müssen Sie in der Schaltung aus der Skizze
den Wert des Widerstandes R jeweils wählen, damit
zwischen den Anschlüssen A und B die Spannungen U
= 25V, 50V, 75V, 100V, 125V auftreten?
Wir berechnen den Innenwiderstand der Quelle:
Ri = 2Ω + 20Ω // 50Ω = 16,29Ω
Weiters benutzen wird die Formel für
Spannungsquellen:
R
U = U q − Ri I = U q − i U
R
RU = RU q − RiU
R (U − U q ) = − RiU
R=−
RiU
=−
U −Uq
Ri
Ri
=
Uq Uq
1−
−1
U
U
Wir erhalten folgende Werte:
U
25V
50V
75V
100V
125V
R
5,43Ω
16,3Ω
48,9Ω
∞ (Leerlauf)
negatives R nicht möglich !
8.16.
Abgegebene Leistung von Spannungsquellen
Wie groß ist in der Schaltung aus der Skizze die
von jeder der beiden idealen Spannungsquellen
abgegebenen Leistung?
Rges = 7,6Ω + 4Ω // 6Ω = 10Ω
Uq2
Uq1
20V
= 2A > 0
10Ω
Pq1 = U q1 ⋅ I = 50W > 0
I=
Pq 2 = U q 2 ⋅ (− I ) = −10W < 0
Die Quelle 2 (5V) also Leistung auf.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 53 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.17.
Ersatzquelle einer Batterie
An den Polen einer Taschenlampenbatterie werden mit Hilfe eines einstellbaren
Lastwiderstandes folgende Daten gemessen:
I
U
0,2
4,0
0,4
3,5
0,6
3,0
A
V
Geben Sie die Parameter einer linearen Ersatzquelle für die Batterie an. Wie groß ist die
maximal abgebbare Anschlussleistung?
Wir zeichnen die Kennlinie in ein Diagramm ein.
Aus dem Schnittpunkt mit der Spannungsachse
erhalten wir U0 und aus dem Anstieg den
Widerstand.
U 0 = 4,5V
Ri =
ΔU 0,5V
=
= 2,5Ω
ΔI
0,2V
Die maximale Abgabeleistung erhalten wir bei
Leistungsanpassung (Ra = Ri):
2
U0 Ik Uq
Pmax =
⋅ =
= 2,03W (wenn die Kennlinie bis dort linear ist)
2 2 4 Ri
8.18.
Grundstromkreis
Berechnen und zeichnen Sie maßstabgerecht für den in der
Skizze angegebenen Grundstromkreis die Zusammenhänge
⎛R ⎞
U
i)
= f ⎜⎜ a ⎟⎟
Uq
⎝ Ri ⎠
ii)
i) U =
⎛R ⎞
I
= g ⎜⎜ a ⎟⎟
IK
⎝ Ri ⎠
Ra
U
Ra / Ri
=
Uq →
Ra + Ri
U q 1 + Ra / Ri
ii)
I=
Uq
Ri + Ra
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Ik =
Uq
Ri
→
1
I
=
I k 1 + Ra / Ri
Seite 54 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.19.
Äquivalenz von linearen Quellen
Es sind die beiden Quellen aus der Skizze zu untersuchen.
Geben Sie die beschreibenden Gleichungen (Zusammenhang von
i)
Anschlussspannung und Anschlussstrom) für eine ideale Spannungsquelle mit
Reihenwiderstand und für eine ideale Stromquelle mit Parallelwiderstand an.
Welche Bedingungen müssen die Parameter U1, Ri, Iq und Ri′ erfüllen, damit
ii)
sich die beiden Quellen bezüglich der äußeren Anschlüsse völlig gleich
verhalten?
Zeigen Sie, dass diese Äquivalenz nicht für den inneren Leistungsumsatz gilt.
iii)
i) Beschreibende Gleichungen
Spannungsquelle:
U = U q − I ⋅ Ri
Stromquelle:
U = I q ⋅ Ri′ − I ⋅ Ri′
ii) Parameter für gleiches Verhalten
Wir machen einen Koeffizientenvergleich:
Ri = Ri′
U q = I q ⋅ Ri′
iii)innere Leistungen
Spannungsquelle:
Pq = U q ⋅ I
PV = Ri ⋅ I 2
Stromquelle:
Pq′ = U ⋅ I q
U q2
U2
2
PV =
= (I q − I ) ⋅ Ri =
−Uq ⋅ I
Ri
Ri
Pq ≠ Pq′
PV ≠ PV′
Um die Aussage zu widerlegen genügt mathematisch auch ein einziger Gegenbeweis. Wir
sehen uns einfach beide Quellen im Leerlauf an. Bei der Spannungsquelle rinnt kein Strom
(Æ keine Leistung), bei der Stromquelle rinnt Iq durch den Widerstand (Æ Leistung auch im
Leerlauf)
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 55 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.20.
Ersatzschaltung des aktiven Zweipols
Ersetzen Sie die in der Skizze dargestellte Schaltung bezüglich der äußeren Anschlüsse
durch eine ideale Spannungsquelle Uq mit Reihenwiderstand Ri
i)
durch eine ideale Stromquelle Iq mit Parallelwiderstand Ri′
ii)
iii)
Zeigen Sie, dass die Ersatzschaltungen für die Berechnung des inneren
Leistungsumsatzes nicht brauchbar sind.
i) Ersatzspannungsquelle
Uq = US
R2
R2 + R1
Ri = R1 // R2 =
R1 R2
R1 + R2
ii) Ersatzstromquelle
Ri = R1 // R2 =
Iq =
R1 R2
R1 + R2
US Ua
=
R1
Ri
iii) ESB für P brauchbar?
Spannungsquelle:
Stromquelle:
PU = I 2 Ri
PI = (I q − I ) Ri
2
ursprüngliche Schaltung:
PS = R1 ⋅ I12 + R2 (I 2 − I ) =
2
(U − U S )2 + U 2
R1
R2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
=
R12
I q2 + Ri I 2
R1 + R2
Seite 56 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.21.
Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle
Beim Ersetzen einer Kombination aus konstanten Widerständen und idealen unabhängigen
Spannungs- und Stromquellen durch eine ideale Spannungsquelle mit Reihenwiderstand oder
durch eine ideale Stromquelle mit Parallelwiderstand kann man so vorgehen:
Berechnen des Ersatzwiderstandes der Ersatzquelle. Dazu werden alle
i)
unabhängigen Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und alle unabhängigen
Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt.
Berechnen der Ersatz-Quellenspannung. Dazu wird der Leerlauf an den
ii)
Ausgangsklemmen angenommen. Oder:
Berechnen des Ersatz-Quellenstroms. Die Ausgangsklemmen werden dazu
iii)
kurzgeschlossen.
Bestimmen Sie nach dieser Methode
(ii) die Ersatzspannungsquelle (Uq, Ri)
und (iii) die Ersatzstromquelle (Iq, Ri′ )
für die Schaltung aus der Skizze.
i) Ersatzwiderstand (Innenwiderstand der
Ersatzquelle)
Ri = R5 + R2 // (R1 + R4 )
Der R3 ist völlig irrelevant, da der Ri der
idealen Stromquelle schon ∞ ist.
ii) Ersatzquellenspannung
U q1 : U q = U q1
R2
R1 + R4 + R2
U q2 : U q = U q2
R1 + R4
R1 + R4 + R2
I q 3 : U q = I q 3 ⋅ (R1 + R4 ) // R2
U qges = U q1
R2
R1 + R4
+ Uq2
R1 + R4 + R2
R1 + R4 + R2
+ I q 3 ⋅ (R1 + R4 ) // R2
iii) Ersatzquellenstrom
Wir berechnen das einfach aus der bereits bekannten Ersatzspannung: I q =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Uq
Ri
Seite 57 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.22.
Ersatzquellen
Die Ermittlung einzelner Ströme und Spannungen in einer Schaltung linearer
Stromkreiselemente kann häufig durch folgende Methode vereinfacht werden:
Auftrennen der Schaltung an der Stelle der gesuchten Größen (zwei Pole
i)
„freilegen“)
Bestimmen je einer Ersatzquelle für die beiden resultierenden Zweipole.
ii)
Berechnen der gesuchten Größe aus der Zusammenschaltung der beiden
iii)
Ersatzquellen.
Berechnen Sie auf diese Weise den Strom I in der Schaltung aus der Skizze.
Wir wandeln nacheinander alle Schaltungsteile in Ersatzspannungsquellen um:
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 58 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
Diese Quellen werden wiederum zusammengefasst:
Ri = 2 // 5,35 = 1,46Ω
U ⎞
⎛U
⎛ 20 10,37 ⎞
U q = Ri ⎜⎜ q1 + q 2 ⎟⎟ = 1,46Ω⎜ +
⎟ A = 17,43V
5,35 ⎠
⎝ 2
⎝ Ri1 Ri 2 ⎠
I=
(15 − 17,43)V
(10 + 1,46)Ω
8.23.
= −0,21A
Messfehler bei Strommessung
Im Stromkreis aus der Skizze ist der Strom durch
den Widerstand R4 mit einem Amperemeter
zwischen den Klemmen A und B zu messen. Wie
groß darf der Instrumentenwiderstand R1 des
Amperemeters höchstens sein, damit der Messfehler
durch das Einfügen des Instruments höchstens 0,5%
beträgt.
Wir erstellen zuerst ein ESB:
Ri = (R1 + R2 ) // R3 + R4 = 30Ω
ohne Amperemeter:
U
I0 = q
(Kurzschlussstrom)
Ri
mit Amperemeter:
Uq
IM =
Ri + RA
max. Fehler:
I − I0
Ri
RA
f = M
=
−1 =
< 0,005
I0
Ri + RA
Ri + RA
RA < 0,005(RA + Ri )
0,095 ⋅ RA < 0,005 Ri
RA <
30Ω ⋅ 0,005
= 0,15Ω
0,095
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 59 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.24.
Messfehler bei Spannungsmessung
In der Schaltung aus der Skizze soll die Spannung zwischen den Punkten A und B mit einem
Voltmeter gemessen werden. Wie groß muss der Innenwiderstand RU des Voltmeters sein,
damit der Messfehler durch das Anschließen des Instruments höchstens 0,5% beträgt?
Wir erstellen ein Ersatzschaltbild:
Ri = 10k // (10k + 2k ) = 5,45kΩ
Ausgangsspannung für unendlichen Widerstand: U 0 = U q′
Ausgangsspannung für R: U m = U q′
Fehlerbetrag:
f =
Um −U0
=
U0
U q′
R
R + Ri
R
− U q′
R + Ri
R
R − (R + Ri )
Ri
=
−1 =
=
U q′
R + Ri
R + Ri
R + Ri
f (R + Ri ) = Ri
fR = Ri − fRi
fR = Ri (1 − f )
R=
(1 − 0,005) = 1,85MΩ
Ri (1 − f )
= 5,45kΩ ⋅
f
0,005
Es ist ratsam, solche Beispiele immer über Ersatzquellen zu lösen (ich habe es direkt über
Spannungsteiler versucht und man wird nur verwirrt und gibt dann auf).
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 60 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.25.
i)
ii)
Messbereichserweiterung
Ein Voltmeter besitze den Innenwiderstand RU. Sein Messbereich soll durch einen
Vorwiderstand RV auf den p-fachen Wert vergrößert werden. Wie groß muss RV
sein?
Ein Amperemeter besitze den Innenwiderstand RI. Sein Messbereich soll durch
einen Parallelwiderstand (Shunt) RS auf den p-fachen Wert vergrößert werden.
Wie groß muss RS sein?
i) Spannungsteiler:
RV ( p − 1)U
=
→ RV = ( p − 1)RU
RU
U
ii) Stromteiler:
RS
I
R
=
→ RS = 1
RI ( p − 1)I
p −1
8.26.
Wirkungsgrad einer Spannungsquelle
Der Wirkungsgrad η einer Spannungsquelle mit
Innenwiderstand (Skizze) ist erklärt als das
Verhältnis der abgegebenen, im Außenwiderstand
umgesetzten Leistung Pa zu von der idealen Quelle
erzeugten Leistung Pq. Stellen Sie den
P
Wirkungsgrad η = a als Funktion des
Pq
Widerstandsverhältnisses Ra/Ri dar.
Ra
P
UI
U
Ra
Ri
η= a =
=
=
=
Pq U q I U q Ra + Ri 1 + Ra
Ri
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 61 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.27.
Leistungsumsatz im Grundstromkreis
Eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand ist durch feste Werte Uq und Ri charakterisiert.
U q2
heißt „angebotene Leistung“ der Quelle.
Die Größe P0 =
Ri
i)
ii)
iii)
Berechnen Sie die von der idealen Quelle umgesetzte Leistung P, die nach
außen abgegeben, in Ra umgesetzte Leistung Pa und die innere
Verlustleistung Pi = Pq − Pa , alles als Funktion des Widerstandsverhältnisses
Ra/Ri. Stellen Sie diese Kurve in einem gemeinsamen Diagramm für das
R
Intervall 0 ≤ a ≤ 5 grafisch dar.
Ri
Für welchen Wert Ra/Ri ist die abgegebene Leistung Pa maximal
(Leistungsanpassung)? Wie groß ist diese „verfügbare Leistung“ im
Verhältnis zur „angebotenen Leistung“ P0?
P
Wie groß ist im Fall der Leistungsanpassung der Wirkungsgrad η = a der
Pq
Spannungsquelle?
Kurzschreibweisen (zur besseren Lesbarkeit, und zum Zeichnen):
U q2
R
P0 =
r= a
Ri
Ri
i)
Quellenleistung:
Pq =
U q2
Ra + Ri
=
P0
1+ r
2
Ra
Ri2
⎛ Ra ⎞ 1
U
r
⎟⎟
= U q2 ⎜⎜
= U q2
= P0
2
Ra
Ra + Ri ⎠ Ra
(1 + r )2
⎛ Ra Ri ⎞
⎝4
14
244
3
⎜⎜ + ⎟⎟
Spannungsteiler
⎝ Ri Ri ⎠
(1 + r )P0 − P0 r = P0
P
Pr
innere Verlustleistung Pi = Pq − Pa = 0 − 0 2 =
1 + r (1 + r )
(1 + r )2
(1 + r )2
abgegebene Leistung
Pa =
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 62 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
ii) maximale Leistung
Pa = P0
r
maximal für r = 1 Æ Ra = Ri Æ Pa,max = P0/4
(1 + r )2
iii) Wirkungsgrad
r = 1 :η =
8.28.
1
Pa
r
=
= = 50%
Pq 1 + r 2
Nichtlineare Quellen
Bei welchem Wert des Widerstands R wird von der in der Skizze angegebenen Quelle die
größte elektrische Leistung geliefert? Wie groß ist diese?
Wir berechnen den Maximalwert für die
flachere Gerade:
P = IU = I (10V − 62,5Ω ⋅ I )
dP
= 10V − 2 ⋅ 62,5Ω ⋅ I = 0
dI
I = 80mA
Æ liegt außerhalb des Bereichs
Wir berechnen den Maximalwert für die
steilere Gerade:
dP
= 27,5V − 2 ⋅ 500Ω ⋅ I = 0
dI
I = 27,5mA
Æ liegt nicht mehr auf der steileren Geraden
Der Maximalwert muss also beim Schnittpunkt der beiden Geraden liegen. Das hätte man
natürlich auch gleich sehen können, dass dort die größte Fläche eingeschlossen ist, aber
wegen der Übung wär’s gewesen…
P = 40mA ⋅ 7,5V = 0,3W
7,5V
R=
= 187,5Ω
40mA
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 63 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.29.
Schaltung mit Stromquelle
Gegeben ist die Schaltung aus der Skizze.
Berechnen Sie die Stromstärke im
i)
Zweig BC.
Zwischen den Klemmen A und B
ii)
soll ein zusätzlicher Widerstand
angeschlossen werden, dessen Wert
dem Innenwiderstand der
ursprünglichen Schaltung entspricht
(Anpassung). Wie groß ist dieser
Widerstand? Geben Sie den Strom
durch den neuen Widerstand an.
i) Strom durch RBC
Ersatzschaltbild für Klemmen BC:
Ri = 5k 6 // (1k + 3k 3 + 4k 7 ) = 3,45kΩ
1k
= 1,37mA
14k 6
U q = 5k 6 ⋅1,37mA = 7,67V
I1 = 20mA
I RBC =
Uq
Ri + RBC
7,67V
= 1,14mA
6,75Ω
ii) Festlegen einer Ersatzspannungsquelle für AB:
Ri = 4k 7 // (3k 3 + 1k + 3k 3 // 5k 6 ) = 2,71kΩ
1k
20mA = 1,81mA
11,08k
U q = 4k 7 ⋅1,81mA = 8,49V
I1 =
Der angeschlossene Widerstand muss aus
2,71kΩ sein.
I=
Uq
2 Ri
=
8,49V
= 1,57mA
2 ⋅ 2,71kΩ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 64 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.30.
Strommessgerät
Ein Messwerk (oberer Zweig in der Skizze)
besitzt den Innenwiderstand Ri = 40Ω und bei
I = 0,6mA den Vollausschlag der Anzeige.
Bestimmen Sie die Nebenwiderstände R1 und
R2 für die angegebenen Strommessbereiche.
Zweig für 3mA:
R1 und R2 liegen parallel 40Ω. Da durch 40Ω 0,6mA fließen, müssen durch R1 + R2 2,4mA
fließen. Die Spannung an R1 + R2 ist gleich URi
R1 + R2 =
U Ri
2,4mA
=
0,6mA ⋅ 40Ω
= 10Ω
2,4mA
Zweig für 150mA
Wir setzen einen Stromteiler an (Strom verhält sich wie Widerstände, durch die er nicht rinnt)
0,6mA
0,6mA
R1
(R1 + R2 + Ri ) = 0,6mA 50Ω = 0,2Ω
=
→ R1 =
150mA R1 + R2 + Ri
150mA
150mA
Wir setzen wieder in die Formel oben ein:
R2 = 10Ω − 0,2Ω = 9,8Ω
8.31.
Spannungsmessgerät
Das Messwerk M aus der Skizze wird als Voltmeter mit einstellbarem Messbereich
verwendet. Es besitzt den Innenwiderstand Ri = 40Ω und für I = 0,6mA den Vollausschlag der
Anzeige. Bestimmen Sie die Vorwiderstände R1, R2, R3 für die angegebenen
Spannungsmessbereiche.
Spannung am Innenwiderstand: U i = Ri I max = 40Ω ⋅ 0,6 A = 24mV
60mV − 24mV 36mV
R1 =
=
= 60Ω
0,6mA
0,6mA
3V − 60mV 2,94V
R2 =
=
= 4,9kΩ
0,6mA
0,6mA
30V − 3V
27V
R3 =
=
= 45kΩ
0,6mA
0,6mA
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 65 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.32.
Teilerschaltung
Wie sind in der Schaltung aus der Skizze die Teilwiderstände R1 und R2 einzustellen, damit
die Stromstärke durch den Verbraucherwiderstand genau Iv =1A beträgt?
Ohmsches Gesetz:
Uq
R ⋅ (R2 + RV )
= Ri + 1
I
R1 + R2 + RV
Stromteiler:
IV
R1
=
I
R1 + R2 + RV
⎡
R ⋅ (R + RV ) ⎤ R1 + R2 + RV Ri (R1 + R2 + RV )
= ⎢ Ri + 1 2
=
+ R2 + RV
⎥
IV
I ⋅ IV ⎣
R1 + R2 + RV ⎦
R1
R1
10V
2Ω(R1 + R2 + 6Ω )
= 10Ω =
+ R2 + 6Ω
1A
R1
Uq
=
Uq ⋅ I
10ΩR1 = 2Ω(R1 + R2 + 6Ω ) + R2 R1 + 6ΩR1
10ΩR1 = 2ΩR1 + 2ΩR2 + 2Ω ⋅ 6Ω + R2 R1 + 6ΩR1
R1 + R2 = 10Ω → R2 = 10Ω − R1
10ΩR1 = 2ΩR1 + 2Ω ⋅10Ω − 2ΩR1 + 2Ω ⋅ 6Ω + 10ΩR1 − R12 + 6ΩR1
R12 + 10ΩR1 − 2ΩR1 + 2ΩR1 − 10ΩR1 − 6ΩR1 − 2Ω ⋅10Ω − 2Ω ⋅ 6Ω = 0
R12 − 6ΩR1 − 32Ω 2 = 0
2
p
⎛ p⎞
R11, 2 = − ± ⎜ ⎟ − q = −3Ω ± 9Ω 2 + 32Ω 2 = 3Ω ± 6,403Ω → R1 = 9,403Ω
2
⎝2⎠
Die negative Lösung ist irrelevant.
R2 = 10Ω − R1 = 0,5969Ω
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 66 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.33.
Belasteter Spannungsteiler
Ein Spannungsteiler gemäß Skizze liegt an der starren
Spannung U0 = 120V. Er soll bei Belastung mit dem Strom
I = 0,3A die Spannung U = 42V liefern und bei Belastung mit
I = 0,7A die Spannung U = 39V. Welche Werte sind für die
Widerstände R1 und R2 zu wählen.
U 0 = U R1 + U
⎛
U ⎞
U R1 = R1 ⎜⎜ I + ⎟⎟
R2 ⎠
⎝
⎛
R ⎞
einsetzen: U 0 = R1I + U ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ , muss für jedes Wertepaar gültig sein, U0 = konst.
⎝ R2 ⎠
⎛ R ⎞
⎛ R ⎞
R1 ⋅ 0,3 A + 42V ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ = R1 ⋅ 0,7 A + 39V ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟
⎝ R2 ⎠
⎝ R2 ⎠
⎛ R ⎞
R
3V ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ = 0,4 AR1 → 3V + 3V 1 = 0,4 AR1
R2
⎝ R2 ⎠
⎛ R ⎞
U 0 = R1 I + U ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟
⎝ R2 ⎠
120V = R1 0,3 A + 42V + 42V
R1
R2
78VR2 = 0,3 AR1 R2 + 42VR1 → 78VR2 − 0,3 AR1R2 = 42VR1
R2 =
42VR1
78V − 0,3 AR1
3V + 3V
3V +
R1
= 0,4 AR1
42VR1
78V − 0,3 AR1
3VR1 (78V − 0,3 AR1 )
= 0,4 AR1
42VR1
3V ⋅ 42V ⋅ R1 + 3V ⋅ 78V ⋅ R1 − 3V ⋅ 0,3 A ⋅ R12 = 42V ⋅ 0,4 A ⋅ R12
360V 2 R1 = 17,7VAR12
360V
= 20,339Ω
17,7 A
42VR1
= 1,881Ω
R2 =
78V − 0,3 AR1
R1 =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 67 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.34.
Verlustleistung eines Photowiderstandes
In der in der Skizze skizzierten Schaltung für eine
Lichtschranke ist der Photowiderstand R1 in einen
Spannungsteiler eingebunden. R1 ändert sich zwischen
10MΩ bei völliger Dunkelheit und 100Ω bei maximaler
Beleuchtungsstärke. R3 stellt den Eingangswiderstand für den
nachgeschalteten Grenzwertmelder dar. Wie groß ist die
maximale Verlustleistung, die der Photowiderstand
aufzunehmen hat?
Ersatzquelle (besser als mit Spannungsteiler):
Ri = R2 // R3 = 5kΩ
Uq =
R3
U = 4V
R2 + R3
Maximale Verlustleistung für R1 = Ri = 5kΩ
Die 5k liegen im Wertebereich des Photowiderstands:
Pv ,max =
U q2
4 Ri
= 0,8mW
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 68 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.35.
Glühlampen mit Vorwiderstand
Eine Glühlampe mit der Nennspannung UN = 12V, der Nennleistung PN = 40W und dem
zugehörigen Nennstrom IN = PN/UN soll an einem 12V-Netz über einen Vorwiderstand mit
der halben Nennleistung betrieben werden. Die Spannungs-Strom-Kennlinie der Lampe wird
angenähert durch:
3
⎛ I ⎞
⎛ I ⎞
U
= 0,25⎜⎜ ⎟⎟ + 0,75⎜⎜ ⎟⎟
UN
⎝ IN ⎠
⎝ IN ⎠
Bestimmen Sie den Wert des Vorwiderstandes und die insgesamt von der Schaltung
aufgenommene Leistung.
I=
PN
= 3,3 A
UN
Lampe:
P
kI
1⎛ I
=
= ⎜⎜
PN k N I N 4 ⎝ I N
2
⎞ 3⎛ I ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎠ 4 ⎝ IN ⎠
4
2
⎛ I ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = x
⎝ IN ⎠
1 1
3
= x + x2
2 4
4
x1 = −1, verwerfen
P
P= N
2
2
3
2
I=
I N = 2,72 A
3
PN
U = 2 = 7,35V
I
x2 =
Widerstand:
(12 − 7,3)V = 1,71Ω
R=
2,72 A
PG = 12V ⋅ 2,72 A = 32,7W
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 69 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.36.
Lampenschaltung
Zwei Glühlampen mit den Nenndaten (8V, 10W) bzw. (4V, 6W) sollen gemeinsam mit genau
diesen Daten an einem 12V Netz betrieben werden. Das ist mit nur einem zusätzlichen
Widerstand möglich. Geben Sie die Schaltung, den Widerstand und die im Widerstand
zusätzlich verbrauchte Leistung an.
Wie man sich die Schaltung am besten überlegt: U1 + U2 ist genau 12V, der Widerstand muss
also parallel zu einer Lampe liegen. Da die 2. Lampe mehr Strom benötigt, muss der
Widerstand den zusätzlichen Strom quasi an der 1. Lampe vorbeischleusen.
10W
= 1,25 A
8V
6W
I2 =
= 1,5 A
4V
I1 =
I R = I 2 − I1 = 0,25 A
R=
U1
8V
=
= 32Ω
I R 0,25 A
PR = U1I R = 8V ⋅ 0,25 A = 2W
8.37.
Stromkreis mit Lichtbogen
In der Anordnung aus der Skizze wird aus einer starren Gleichspannungsquelle über einen
einstellbaren Widerstand R ein Lichtbogen B gespeist, dessen Strom-Spannungskennlinie
näherungsweise durch den in der zweiten Skizze angegebenen hyperbolischen
Zusammenhang mit festen Werten U1, I1 darstellbar ist. Berechnen und skizzieren Sie,
qualitativ richtig, die Werte der bezogenen Stromstärke i = I/I1 als Funktion des bezogenen
Widerstandes r = RI1/U1 für einen festen Wert der bezogenen Speisespannung u = Uq/U1.
U q = RI + U B = RI + U1I1 / I
Uq
U1
=
RI1 I I1
+
U 1 I1 I
u = ri +
i=
1
i
u + u 2 − 4r
2r
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 70 / 205
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8.38.
Überbrücktes T-Glied
Zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen des überbrückten T-Gliedes aus der Skizze
bestehen allgemein die Beziehungen
U1 = Z11 I1 + Z12 I 2
U 2 = Z 21 I1 + Z 22 I 2
Geben Sie die speziellen Werte der vier Parameter Z1k an.
Wir legen noch sämtliche Ströme fest (davon nur I3 unabhängig!):
Maschen ansetzen:
8Ω ⋅ I 3 + 8Ω(I 2 + I 3 ) − 4Ω(I1 − I 3 ) = 0 → I 3 = 0,2 I1 − 0,4 I 2
U1 = 4Ω(I1 − I 3 ) + 10Ω(I1 + I 2 ) = (4 + 10 − 0,8)Ω ⋅ I1 + (10 + 1,6)Ω ⋅ I 2
= 13,2Ω ⋅ I1 + 11,6Ω ⋅ I 2
U 2 = 8Ω(I 2 + I 3 ) + 10Ω(I1 + I 2 ) = (10 + 1,6)Ω ⋅ I1 + (8 + 10 − 3,2)Ω ⋅ I 2
= 11,6Ω ⋅ I1 + 14,8Ω ⋅ I 2
Die Lösungen erhalten wir aus einem Koeffizientenvergleich mit den Formeln der Angabe:
Z11 = 13,2Ω Z12 = Z 21 = 11,6Ω Z 22 = 14,8Ω
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 71 / 205
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8.39.
Wheatstone-Brücke
Berechnen und skizzieren Sie für feste Werte U1, R2, R3,
R4 der in der Skizze angegebenen Brücke die
Abhängigkeiten:
i)
U(R1) für R5 → ∞
I(R1) für R5 = 0
ii)
U = U 4 − U1 =
R2 R4 − R1R3
R4 1 − x
Uq = Uq
(R1 + R2 )(R3 + R4 )
R3 + R4 1 + ax
x=
R1 R3
R2 R4
a=
R4
R3
I=
U 1− x
R2 R4 − R1R3
Uq = q
R1 R2 (R3 + R4 ) + R3 R4 (R1 + R2 )
R3 1 + bx
x=
R1 R3
R2 R4
b=
R2 R4 ⎛ 1
1
1 ⎞
⎜⎜ + + ⎟⎟
R3 ⎝ R2 R3 R4 ⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 72 / 205
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8.40.
Brückenschaltung zur Messwertumsetzung
In einer Kraftmesseinrichtung wird die Kraft über
zwei geeignet platzierte Dehnungsmessstreifen
zuerst in Widerstandsänderungen +ΔR bzw. –ΔR
und dann über die in der Skizze dargestellten
Brückenschaltung in die Spannung UM umgesetzt.
Geben Sie die Beziehung zwischen UM und ΔR
für feste Werte Iq, R und RM an.
Wir bezeichnen die Ströme:
I q = I1 + I 2
U M = RM I M
Wir stellen die Maschen auf:
(R + ΔR )I1 − (R − ΔR )I 2 − RM I M = 0
R(I1 + I M ) − R(I 2 − I M ) + RM I M = 0
subtrahieren das ganze (einige Schritte ausgelassen):
ΔR (I1 + I 2 ) = ΔRI q = 2(RM + R )I M
UM =
Iq
⎛
R ⎞
⎟⎟
2⎜⎜1 +
⎝ RM ⎠
ΔR
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 73 / 205
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8.41.
Thomsonbrücke
Die Thomsonsche Widerstandsbrücke aus der Skizze
dient zur Messung eines Widerstandes Rx durch den
Vergleich mit dem Normalwiderstand RN. Dabei
lassen sich die Widerstände gemeinsam gemäß
R3 = kR2 und R4 = kR1 mit festem, bekanntem k
einstellen. Leiten Sie die Abgleichbedingung
(UM = 0) für die Brücke ab.
Wir transformieren die Thomson Brücke in eine Wheatstonebrücke (Stern-Dreieck):
RL R2
R3 = kR4 R4 = kR1 Ra =
Rb = kRa
RL + (k + 1)R2
Abgleichbedingung für Wheatstonebrücke (Spannungsteilerregel):
(RN + Ra )R4 = (Rx + Rb )R1
(RN + Ra )kR1 = (Rx + Rb )R1
(RN + Ra )k = Rx + kRa
Rx = kRN
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 74 / 205
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8.42.
Transistorverstärker in Emitterschaltung
Ein Transistorverstärker V in
Emitterschaltung mit der in der
Skizze angegebenen
Ersatzschaltung wird am Eingang
1,2 mit einer linearen
Spannungsquelle betrieben.
Ersetzen Sie die gesamte Schaltung
durch eine lineare Quelle bezüglich
des Ausgangs 3,4.
Wir zeichnen uns wieder alle Ströme ein:
und erstellen alle Maschen:
U A = 56Ω ⋅ I1 − 3846Ω(301I B − I1 ) = 3902kΩ ⋅ I1 − 1158kΩ ⋅ I B
U q = 1,5kΩ(I 2 + I B ) + 1,5kΩ ⋅ I 2 = 3kΩ ⋅ I 2 + 1,5kΩ ⋅ I B
U q = 1,5kΩ(I 2 + I B ) + 1kΩ ⋅ I B + 56Ω ⋅ I1 = 56Ω ⋅ I1 + 1,5kΩ ⋅ I 2 + 2,5kΩ ⋅ I B
aus den Formeln ergibt sich:
I1 = 8,077 ⋅10 −3 S ⋅ U q + 2,442 ⋅10 −5 S ⋅ U A
I B = 2,722 ⋅10 −5 S ⋅ U q − 7,813 ⋅10 −7 S ⋅U A
Das setzen wir in U A = −560Ω(I A − I B + I1 ) ein:
U A = −552Ω ⋅ I A − 4,45U q …Formel für die Ersatzquelle
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.43.
Transistorverstärker in Kollektorschaltung
Ein Transistorverstärker V in Kollektorschaltung mit der in der Skizze angegebenen
Ersatzschaltung wird am Ausgang mit einem 10Ω-Widerstand belastet. Geben Sie die
Beziehung zwischen den Eingangsgrößen U1 und I1 an.
Wir erstellen ein ESB (Die rechten drei Widerstände liegen parallel. Achtung: Einer ist als
Leitwert angegeben):
Ohmsches Gesetz:
U1 = 1kΩ ⋅ I B + 7,66Ω ⋅ 301 ⋅ I B = 3,3kΩ ⋅ I B
U1 = 600Ω(I1 − I B )
Wir setzen ein:
U1 = 508Ω ⋅ I1
Die Schaltung verhält sich also am Eingang wie ein 508Ω Widerstand.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.44.
Verstärkerschaltung
Bei der Beschreibung des Kleinsignalverhaltens eines Transistorverstärkers ergibt sich die
Ersatzschaltung nach der Skizze. Berechnen Sie für eine sinusförmige Wechselspannung US
mit der Amplitude Uˆ S = 10mV die Amplituden von Ii, Ui, IA, UA.
Wir erstellen eingangs- und ausgangsseitig ein ESB:
Ri = 1k // 470k + 1k 6 ≈ 1k + 1k 6 = 2,6kΩ
R7 = 50k // 4k 7 // 5k 6 = 2,43kΩ
U S′ =
R2
US ≈ US
R1 + R2
Ohmsches Gesetz:
U A = − R7 β ⋅ I B
(U ′ − αU A )
IB = S
Ri
einsetzen:
αU A = U S′ − Ri I B = −αβ R7 I B
U S′
U
US
≈ S ≈
IB =
Ri − αβ R7
Ri
R1 + R3
U i = R3 I B − αU A = (R3 + αβ R7 )I B ≈
Ii =
R3
US
R1 + R3
U S −Ui
US
≈
R1
R1 + R3
U A = − βR7 I B ≈ −
βR7
R1 + R3
US
βR7
UA
≈−
US
R6
R6 (R1 + R3 )
Ergebnisse: Iˆi = 3,9 µA Uˆ i = 6,15mV
IA =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
IˆA = 0,18mA Uˆ A = 1,03V
Seite 77 / 205
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8.45.
Zweitorparameter
Eine Verstärkerschaltung (Skizze) lässt sich allgemein durch die Beziehungen
U1 = Z11 I1 + Z12 I 2
U 2 = Z 21 I1 + Z 22 I 2
beschreiben. Bestimmen Sei für den konkreten Fall die Werte der vier Parameter Zik.
Ströme festlegen:
Masche:
1kΩ(I 3 − I1 ) + 100Ω ⋅ I 3 + 10Ω(I 2 + 91I 3 ) = 0
201I 3 = 100 I1 − I 2
Wir eliminieren den Strom I3:
I − 100 I1 ⎞
⎛
U1 = 1kΩ(I1 − I 3 ) = 1kΩ⎜ I1 + 2
⎟ = 502Ω ⋅ I1 + 4,98Ω ⋅ I 2
201 ⎠
⎝
100 I1 − I 2 ⎞
⎛
U 2 = 10Ω(I 2 + 91I 3 ) = 10Ω⎜ I 2 + 91
⎟ = 453Ω ⋅ I1 + 5,47Ω ⋅ I 2
201 ⎠
⎝
Koeffizientenvergleich:
Z11 = 502Ω Z12 = 4,98Ω Z 21 = 453Ω Z 22 = 5,47Ω
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 78 / 205
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8.46.
Parameter einer Ersatzquelle
Die Quellen im eingerahmten Schaltungsteil der Skizze sind linear gesteuert. Bestimmen Sie
die Parameter Uq und Ri einer Ersatzspannungsquelle.
Masche:
U1 + αU 2 − R1I1 = 0
U 2 = − R2 (I 2 + βI1 ) = − R2 I 2 −
R2
β (U1 + αU 2 )
R1
⎛ R2
⎞
R
⎜⎜1 + αβ ⎟⎟U 2 = − 2 βU1 − R2 I 2
R1
⎝ R1
⎠
R
β 2
R2
R1
U2 = −
U1 −
I
R2
R2 2
1 + αβ
1 + αβ
R1
R1
Koeffizientenvergleich mit Ersatzspannungsquellenformel U 2 = U q − Ri I 2 :
R2
R1
Uq = −
U
R2 1
1 + αβ
R1
β
Ri =
R2
1 + αβ
R2
R1
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 79 / 205
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8.47.
Umsetzung und Übertragung einer Messgröße
Das Sensorelement S aus der Skizze setzt eine Messgröße in die Widerstandsänderung ΔR
um. In der Brücke entsteht daraus die Differenzspannung Du, die für eine möglichst
störungsfreie Übertragung in ein Stromsignal umgewandelt wird. Geben Sie die Spannung UM
als Funktion von ΔR an.
Stromteilerregel:
2R
I1 =
Iq
4 R + ΔR
2 R + ΔR
I2 =
Iq
4 R + ΔR
Daraus erhalten wir die Differenzspannung:
ΔR
U d = R ( I 2 − I1 ) = I q R
4 R + ΔR
Diese Spannung wird in den proportionalen Strom γU d umgesetzt.
U M = RM γU d =
γRM I q
4
ΔR
ΔR
1+
4R
Anmerkung:
Diese Art von Übertragung wird dazu benutzt, um Signale über große Strecken zu übertragen,
da der Spannungsabfall an der Leitung (am RL) keinen Einfluss hat.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 80 / 205
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8.48.
Nichtlineares Stromkreiselement
Die Skizze zeigt die Spannungs-Strom-Kennlinie einer Tunneldiode (TD).
i)
Die TD liege in Reihe mit einem Widerstand von 100Ω. Bestimmen Sie
graphisch die Spannungsaufteilung, wenn an der Reihenschaltung eine
Gesamtspannung von 0,5V liegt.
ii)
Durch die Parallelschaltung der TD mit einem 100Ω-Widerstand fließt ein
Gesamtstrom von 4mA. Bestimmen Sie graphisch die Stromaufteilung.
iii)
Konstruieren Sie die U-I-Kennlinien
a. der Reihenschaltung der TD mit einem Widerstand von 100Ω
b. der Parallelschaltung der TD mit einem Widerstand von 100Ω
Wir erhalten drei Lösungen:
U R = 0,45V → U D = 0,05V
U R = 0,40V → U D = 0,10V
U R = 0,12V → U D = 0,38V
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 81 / 205
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Wir erhalten wieder drei Lösungen:
I D = 3,65mA → I R = 0,35mA
I D = 2,70mA → I R = 1,30mA
I D = 0,65mA → I R = 3,35mA
„Gescherte“ Kennlinie:
(a)
(b)
(c)
(d)
U-I-Zusammenhang für die Reihenschaltung U = UR + UD
U-I-Zusmamenhang für die Parallelschaltung I = IR + ID
Gegebener UD-ID-Zusammenhang für die Diode
UR-IR-Zusammenhang für den Widerstand UR = RIR
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.49.
Ersatzschaltung für eine Diode
Die U-I-Kennlinie einer „realen“ Diode lässt sich durch drei Geradenstücke annähern. Dazu
gehört di ein der Skizze dargestellte Ersatzschaltung mit idealen Elementen und U Z > U S > 0 .
Geben Sie den jeweiligen Ausdruck für die Funktion I(U) in den Bereichen
i)
U > U S , − U Z < U < U S und U < −U Z an.
Skizzieren Sie die Kennlinie I(U).
ii)
1) DF leitet
U = U S + I F ⋅ RF + U DF = RL (I − I F )
IF =
RL I − U S
>0
RL + RR
RL I − U S > 0
I>
US
RL
I=
U U −US US
+
>
RL
RF
RL
U > US
DZ sperrt weil U > 0
2) DZ leitet
U
U ⎛ −U −UZ ⎞ U U +UZ
⎟⎟ =
I=
− IZ =
−⎜
+
RL
RL ⎜⎝ RZ
RL
RZ
⎠
14243
IZ
für IZ > 0
U < −U Z
DF sperrt
3) DZ und DF sperren
−UZ <U <US
I=
U
RL
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 83 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.50.
Schaltung mit Diode
Nehmen Sie für die Dioden in der Schaltung
aus der Skizze die Schwellenspannung mit
0,7V an und berechnen Sie die Werte von I,
U1, U2 und UA für Uq = 5V; -5V und -15V.
allgemeine Bedingungen:
I ≥ 0 …kein negativer Strom durch die Diode
U D ≤ U S = 0,7V …Diodenspannung nicht größer als 0,7V
−U S +U
R1 + R 2
I =
U
U
E
−U
U
q
> − 9 , 3V
U
1
= IR
U
2
= IR
U
A
= U
E
S
+U
q
A
> 0
> 0
2
2
−U
q
a) Uq = 5V
10V − 0,7V + 5V
I=
= 2,1mA
6,8kΩ
U1 = 9,67V
U 2 = 4,63V
U A = −0,37V
b) Uq = -5V
10V − 0,7V − 5V
I=
= 0,63mA
6,8kΩ
U1 = 2,91V
U 2 = 1,39V
U A = 6,39V
c) Uq = -15V
Die Diode sperrt.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
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8.51.
Diodenschaltung als UND-Gatter
Zeigen Sie, dass die in der Skizze dargestellte
Diodenschaltung eine logische UND-Verknüpfung
realisiert. Wie groß sind die Pegel zu wählen und welche
Werte der Ausgangsspannung ergeben sich damit?
(Schwellenspannung 0,7V)
Bedingungen: I ≥ 0,U D1 ≤ U S ,U DS ≤ U S ,U S = 0,7V
1) D1 und D2 leiten
U D1 = U D 2 = U S
U q = RI + U S + U E1 = RI + U S + U E 2 → U E1 = U E 2
I=
(U
− U S − U E1 )
> 0 → U E1 = U E 2 < U q − U S = 9,3V
R
U A = U q − RI = U E1, 2 + U S < 10V
q
2) D1 leitet, D2 sperrt
U D1 = U S U D 2 < U S
U q = RI + U S + U E1 → I =
(U
U q = RI + U D 2 + U E 2 → U D 2
− U S − U E1 )
>0
R
= U S + U E1 − U E 2 < U S
q
U E1 < U E 2
U E 2 > U E1
U E1 < U q − U S = 9,3V
U A = U E1 + U S < 10V
3) D1 sperrt, D2 leitet (wie 2, nur D1 und D2 vertauscht)
U E1 > U E 2
U E 2 < U q − U S = 9,3V
U A = U E 2 + U S < 10V
4) beide sperren
I =0
U D1 < U S U D 2 < U S
U q = U D1 + U E1 → U D1 = U q − U E1 < U S
U q = U D2 + U E 2 → U D2 = U q − U E 2 < U S
U E1 > U q − U S = 9,3V
U E 2 > U q − U S = 9,3V
U A = U q = 10V
Die „Low“ Pegel sind < 9,3V, die „High“ Pegel > 9,3V. „High“ ist nur, wenn beide Eingänge
„High“ sind. Æ bei positiver Logik UND-Gatter
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 85 / 205
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8.52.
Schaltung mit Dioden
In der Schaltung aus der Skizze kann für die Dioden eine Schwellenspannung von 0,7V und
ein Bahnwiderstand von 10Ω angenommen werden. Bestimmen Sie die Werte der
Spannungen U10, U20 und des Stromes ID1.
Annahme, beide Dioden leiten:
I D1 > 0 I D 2 > 0 U D1 = U D 2 = U S = 0,7V
U q = R1I + U S + RF I D1
0 = U S + RF I D1 − (R2 + RF )I D 2 − U S
I = I D1 + I D 2
Annahme einsetzen:
(R1 + RF )I D1 + R1I D 2 = U q − U S
RF I D1 − (R2 + RF )I D 2 = 0
I D2
Uq −US
= 19,1mA
⎛
R1 ⎞
⎟⎟
R1 + RF ⎜⎜1 +
⎝ R2 + RF ⎠
Uq −US
= 0,034mA
=
(
R1 + RF )(R2 + RF )
R1 +
RF
I D1 =
Was ergibt:
U10 = U S + RF I D1 = 0,7V + 0,19V = 0,89V
U 20 = U S + RF I D 2 = 0,7V + 0,0003V = 0,70V
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 86 / 205
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8.53.
Gleichrichter
Am Eingang des Gleichrichters aus der Skizze liegt eine sinusförmige Wechselspannung mit
der Amplitude Uˆ E = 10V . Vernachlässigen Sie die Schwellenspannung der Dioden und
bestimmen Sie
i)
den Zeitverlauf und den Maximalwert der Ausgangsspannung UA
die Maximalwerte der an den Dioden in Sperrrichtung auftretenden
ii)
Spannungen (Spitzensperrspannung)
i) Zeitverlauf und Maximalwert von UA
a) UE > 0
UE
3 UE
=−
>0
R // (2 R )
2 R
RI
U
U A = RI = D = E
3
2
U
U sp = U E − U A = E
2
ID =
b) UE < 0
UE
3 UE
=−
>0
R // (2 R )
2 R
RI
U
U A = RI = D = − E
3
2
U
U sp = −U E − U A = − E
2
ID = −
Insgesamt:
U
U A = E = 5V sin (ωt )
2
Uˆ A = 5V
ii) Spitzensperrspannung Uˆ sp = 5V für allgemeine RA U A =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
RA
UE
R + RA
Seite 87 / 205
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8.54.
Gleichrichterschaltung
An den beiden Eingängen der Schaltung aus der Skizze liegen die sinusförmigen
Wechselspannungen UE1 und UE2 = UE1. Geben Sie den Zeitverlauf der Ausgangspannung UA
an.
a) UE > 0 D1 leitet, D2 sperrt
UA = UE
U D 2 = −U E − U A = −2U E < 0
b) UE < 0 D1 sperrt, D2 leitet
U A = −U E
U D1 = U E − U A = 2U E < 0
insgesamt:
U A = U E = Uˆ sin (ωt )
8.55.
Gleichrichter mit Zusatzspannung
Am Eingang der Schaltung aus der Skizze liegt eine
sinusförmige Wechselspannung mit der Amplitude Û E .
Skizzieren Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung
für Uˆ E > U q > 0 und für Uˆ E < U q . Die
Schwellenspannung der Diode kann vernachlässigt
werden.
UE = Uq +UD +U A
U A = RI ≥ 0
Diode leitet: U D = 0 U A = U E − U q > 0
Diode sperrt: I = 0 U A = 0 U D = U E − U q < 0
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 88 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.56.
Abschneiden einer positiven Spitze
Bestimmen Sie in der Schaltung aus der Skizze den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für
eine sinusförmige Eingangsspannung UE der Amplitude Û E , und zwar für Uˆ E > U q und für
Uˆ < U . Vernachlässigen Sie dazu die Schwellenspannung der Diode.
E
q
U E = RI + U D + U q
U A = UD +Uq
Diode leitet:
UD = 0
I=
(U
E
−Uq )
R
>0
UE > Uq
U A = Uq
Diode sperrt:
I =0
U D = UE −Uq < 0
UE < Uq
UA = UE
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 89 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.57.
Schaltung mit Dioden und Spannungsquellen
Am Eingang der Schaltung aus der Skizze liegt eine dreieckförmige Wechselspannung der
Amplitude 10V. Die Schwellenspannung der Dioden sind in den Spannungsquellen bereits
enthalten, brauchen also nicht berücksichtigt zu werden. Bestimmen Sie die Zeitverläufe der
Ausgangsspannung UA und des Eingangsstromes I.
R = 10kΩ U q1 = 6V
U q 2 = 8V
U E = RI + U A U A = U D1 + U q1 = −U D 2 − U q 2
D1 leitet, D2 sperrt
U A = U q1
I=
U D2
(U
− U q1 )
> 0 → U E > U q1
R
= −U A − U q 2 = −(U q1 + U q 2 ) < 0
E
D1 und D2 sperren
I = 0 UA = UE
U D1 = U E − U q1 < 0
U D 2 = −U E − U q 2 < 0 → −U q 2 < U E < U q 2
D1 sperrt, D2 leitet
U A = −U q 2
I=
U D1
(U
+ U q2 )
< 0 → U E < −U q 2
R
= U A − U q1 = −(U q1 + U q 2 ) < 0
E
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 90 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.58.
Einfache Spannungsstabilisierung
Die Eingangsspannung U1 der Schaltung aus der Skizze schwankt im Bereich von 2,5V bis
3,7V. In welchem Bereich schwankt dabei die Ausgangsspannung U2, wenn Sie jede der
beiden Dioden durch die Schwellenspannung 0,7V und den Ersatzwiderstand 70mΩ
darstellen können?
ESB:
Dioden leiten, weil U1 > 2US
⎛ U U − 2U S ⎞
⎟ +U2
U1 = R1 ⎜⎜ 2 + 2
2 RF ⎟⎠
⎝ R2
R
R
R
U1 + 1 U S = 1 U 2 + 1 U 2 + U 2
2 RF
R2
RF
R1
US
RF
= 1,44V ...1,48V
U2 =
R
R
1+ 1 + 1
R2 2 RF
U1 +
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 91 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.59.
Spannungsquelle
Wie groß ist für die Schaltung aus der Skizze die an den Ausgangsklemmen maximal
abgebbare Leistung? Nehmen Sie für jede Diode eine Schwellenspannung von 0,7V an.
U = U q − R (I + I D )
Dioden leiten:
U = 2U S = 1,4V
ID =
(U
q
− 2U S )
R
−I >0→ I <
(U
q
− 2U S )
R
= 0,26 A
Dioden sperren:
U = U q − RI
IK =
Uq
R
= 0,4 A
U = 2U D = U q − RI ≤ 2U S → I ≥
(U
q
− 2U S )
R
= 0,26 A
Die maximale Leistung tritt im Knickpunkt auf:
Pmax = 1,4V ⋅ 0,26 A = 0,36W
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 92 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
8.60.
Stromquelle
Die Schaltung aus der Skizze soll
bezüglich der Ausgangsklemmen 1,2 eine
Konstantstromquelle darstellen (Der
strichliert eingegrenzte Bereich ist eine
Bauelement-Ersatzschaltung). Wie groß ist
die gelieferte Stromstärke I, und bis zu
welchem Spannungswert U ist der
Konstantstrombetrieb möglich?
Vernachlässigen Sie die
Schwellenspannung.
Für hinreichend kleine Werte von U leitet D1 und sperrt Db.
ESB:
10V = (I 2 − 1,11I )5kΩ + (I 2 − I )5kΩ = 10kΩI 2 − 5kΩ ⋅ 2,11I → I 2 − 1056 I = 1mA
1kΩ ⋅1,11I = 5kΩ(I 2 − 1,11I ) → I 2 = 1,33I
Aus den beiden Beziehungen für I2 folgt 1,33I – 1,056I = 1mA
I = 3,6mA
Aus U D 2 = U − 10V + 1kΩ ⋅1,11I = U − 6V ≤ 0 folgt U ≤ 6V
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 93 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
9. Das elektrische Feld
9.1.
Elektrostatisches Feld
Der Körper 1 aus der Skizze wird durch kurzzeitigen Kontakt mit einer Spannungsquelle
gegenüber Erde (2) elektrisch aufgeladen und anschließend in eine leitfähige, ungeladene,
isoliert aufgestellte Hülle (3) gebracht.
i)
ii)
Skizzieren Sie, qualitativ richtig,
Potentialflächen und Flussröhren
innerhalb und außerhalb der Hülle.
Die Hülle wird nun über einen Draht mit
Erde verbunden („geerdet“). Wie ändert
sich das elektrische Feld?
i)
ii) Abgesehen von Störungen in der Umgebung der Öffnung bleibt das elektrostatische Feld
im Innenraum unverändert, der Außenraum wird dagegen feldfrei.
9.2.
Elektrostatische Abschirmung
Das Paar entgegengesetzt gleich groß geladener Körper aus der 1. Skizze befinden sich (a)
außerhalb, (b) innerhalb einer metallenen Hülle F (Faraday-Käfig). Skizzieren Sie, qualitativ
richtig, das elektrische Feld (Potentialflächen und Flussröhren) für beide Fälle innerhalb und
außerhalb der Hülle.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 94 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
9.3.
Tropfengenerator
In dem in der Skizze dargestellten
elektrostatischen Generator werden Wassertropfen
vor dem Abreißen durch Influenz auf etwa
QT = 10 pC elektrisch geladen und in einem
flachen, isoliert aufgestellten Metallbehälter
aufgefangen. Wie groß ist die Spannung U
zwischen dem Behälter und Erde nach einer
Stunde, wenn je Sekunde 5 Tropfen fallen?
Tropfen pro Stunde: N = 5 ⋅ 3600 = 1,8 ⋅10 4
Gesamtladung: Q = NQT = 1,8 ⋅10−7 C
εε A
Kapazität: C ≈ 0 r = 17,7 pF
l
Q
Spannung: U = = 10,2kV
C
9.4.
Streifenleitung
Ein dielektrischer Streifen laut Skizze ist beidseitig metallische beschichtet („Sandwich“).
Berechnen Sie die längenbezogene Kapazität.
Weil d << b ist der Kapazitätsbelag:
εA εbl
C=
=
d
d
C εb 8,8 pF / m ⋅ 2,5 ⋅1mm
=
= 2,21nF / m
C′ = =
0,01mm
l
d
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 95 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
9.5.
Bauvolumen eines Kondensators
Nach dem in der Abbildung skizzierten Aufbauprinzip
von Kondensatoren werden einseitig metallisierte
Kunststoffschichten gestapelt. Wie groß ist für einen so
ausgeführten Kondensator mit C = 1,5µF das mindestens
erforderliche Bauvolumen?
C = nC0 = n
εA
dk
Mit Dicke der Metallschicht:
V = nA(d M + d K ) =
C
ε 0ε r
d K (d M + d K ) = 1,4 ⋅10 −7 m3 = 140mm3
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 96 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
9.6.
Metallpapier-Kondensator
Durch Aufwickeln zweier Metallfolienstreifen mit einer aktiven Breite von 15mm wird ein
Wickelkondensator hergestellt. Als Dielektrikum werden imprägnierte Papierstreifen mit
einer effektiven Dicke von 8µm und einer Dielektrizitätszahl von ε R = 5 verwendet.
Wie groß ist für die Kapazität von 220nF die erforderliche Streifenlänge?
i)
Wie groß ist die zulässige Betriebsspannung, wenn das Dielektrikum die maximale
ii)
Feldstärke Emax = 200kV / cm sicher aufnehmen kann?
Der Leiter auf der linken und der rechten Seite der Folie in der Mitte ist der gleiche! (Linie
folgen) Æ Parallelschaltung
C=
ε 0ε r A
d
allgemeine Formel
2εA
bl
= 2ε
d
d
220 ⋅ 10− 9 ⋅ 8 ⋅ 10− 6
Cd
l=
=
m = 1,33m
2bε 2 ⋅ 5 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 15 ⋅ 10− 3
C=
Man benötigt also 1,33m pro Streifen (2 Metallfolienstreifen + 2 Papierstreifen)
U max = Emax d =
220 ⋅ 103V
⋅ 8 ⋅ 10− 6 m = 160V
−2
10 m
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 97 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
9.7.
Drehkondensator
Berechnen Sie für den in der Skizze angegebenen Kreisplatten-Drehkondensator die Kapazität
als Funktion des Drehwinkels α zuerst allgemein, dann für r = 5mm, R = 20mm, d = 0,2mm
und n = 10.
ESB:
Kapazität pro Rotorplatte: C = 2C0
C0 =
ε 0 A0
d
) 2απ = (R − r )α2
nε (R − r )α
C = 2C n =
(
A0 = πR 2 − πr 2
2
2
0
2
2
0
d
10 ⋅ 8,8 pF / m ⋅ 20 2 − 52 ⋅10 −6 m 2 / rad
pF
C=
⋅ α = 1,66
⋅α
−3
0,2 ⋅10 m
rad
(
)
1
1
pF
=
→ C = 2,89
⋅α
rad 57,7Grad
Grad
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 98 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
9.8.
Kapazitive Anordnung mit verschiebbarer Platte
In der skizzierten Plattenanordnung aus der Abbildung mit der
wirksamen Plattenfläche A ist die mittlere Platte parallel zu sich selbst
aus der Mittellage verschiebbar (Lagekoordinate x). Berechnen und
skizzieren Sie den Verlauf der Kapazität C12 als Funktion von x/a ohne
Berücksichtigung von Randstörungen.
ESB:
C12 =
ε0 A
a+x
+
ε0 A
a−x
=
2ε 0 Aa
2ε A 1
= 0
2
x2
a3
⎛ x ⎞
1
−
a 2 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ 12
C0
a2
⎝ a ⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 99 / 205
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9.9.
Plattenanordnung
Die Plattenanordnung aus der Skizze wird zunächst wie angegeben geladen. Nach Trennung
von den Spannungsquellen wird dann die mittlere Platte zur oberen hin verschoben (2.
Skizze). Wie groß sind die sich jetzt einstellenden Spannungen U1′ und U 2′ ?
nachher (Achtung: U1 und U2 wurden vertauscht Æ Schreibfehler, der ignoriert wird)
ESB:
Q1 ≠ Q2
oben ist Fall A, unten Fall B:
A:
Q1 = C1U1
Q2 = C2U 2
B:
Q1 = C1′U1′
Q2 = C2′ (U 2′ − U1′ )
C1U1 = C1′U1′
C1
l′
ε A/l
= U1 0 1 = U1 1 = 9U1 = 900V
l1
C1′
ε 0 A / l1′
C2 (U 2 − U1 ) = C2′ (U 2′ − U1′ )
U1′ = U1
1
C (U − U1 )
C
U 2′ = 2 2
+ U1 1 = 9 (U 2 − U1 ) + U1 ⋅ 9 = 911V
C2′
C1′ 1
1
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 100 / 205
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9.10.
Elektromechanischer Wandler
Die Skizze zeigt das Prinzip eines elektromechanischen Wandlers. Wird der Plattenabstand
zwischen den Werten x1 und x3 periodisch vergrößert und verkleinert, so wird, wie die
Analyse zeigt, bei vernachlässigter Streuung sowie ideal angenommenen Dioden und
Spannungsquellen in einem vollständigen Zyklus der rechts angegebene Kreisprozess
durchlaufen. Bestimmen Sie für gegebene Werte U1, U2, x1, x3, A und einen vollständigen
Zyklus
die von der Quelle 1 gelieferte Arbeit
i)
die der Quelle 2 zugeführte Arbeit
ii)
die an dem System durch die Plattenverschiebung verrichtete mechanische Arbeit.
iii)
1 Æ 2: D1 und D2 sperren, keine Ladung verschoben.
2 Æ 3: D1 sperrt, D2 leitet; U = U2, Ladung ΔQ2 = ε 0 A(U1 / x1 − U 2 / x3 ) durch Quelle 2 gegen
U2 verschoben, Energie W23 = U 2 ΔQ2 an Quelle 2 abgegeben.
3 Æ 4: D1 und D2 sperren; keine Ladungen verschoben.
4 Æ 1: D1 leitet, D2 sperrt; U = U1, Ladung ΔQ1 = ε 0 A(U 2 / x3 − U1 / x1 ) = − ΔQ2 durch Quelle
1 mit U1 verschoben, Energie − W41 = −U1ΔQ1 von Quelle 1 geliefert.
Damit werden die Energiebeträge
i) − W41 = ε 0 A(U1 / x1 − U 2 / x3 )U1 von Quelle 1 geliefert
ii) W23 = ε 0 A(U1 / x1 − U 2 / x3 )U 2 an Quelle 2 abgegeben
Die zugeführte mechanische Arbeit ist (Energieerhaltung):
iii) Wmech = W23 + W41 = ε 0 A(U1 / x1 − U 2 / x3 )(U 2 − U1 )
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 101 / 205
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10. Schaltungen mit Kondensatoren
10.1.
Anfangsstrom über einen Schalter
An der RC-Kombination aus der Skizze liegt über lange Zeit bei geöffnetem Schalter S die
Gleichspannung 10V. Zum Zeitpunkt t = 0 wird S geschlossen.
Wie groß ist der Strom IS, über den Schalter unmittelbar nach dem Schließen von S?
i)
Welchen Wert nimmt IS, lange Zeit nach dem Schließen von S an?
ii)
Zustand bei t = 0-
180Ω fällt weg (100nF Unterbrechung)
Wir erstellen ein ESB für diesen Zeitpunkt: 180Ω fällt weg, weil 100nF = Unterbrechung
4,7 + 220
= 9,7V = U C (0 + )
2 + 150 + 220 + 4,7
U (0 + )
I S (0 + ) = C
= 44mA
220
U C (0 − ) = 10V
Zustand bei t = ∞
I S (t = ∞ ) =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
10V
= 27mA
372Ω
Seite 102 / 205
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10.2.
Umladevorgang
Eine Stromquelle speist die in der Skizze dargestellte RC-Kombination mit dem Gleichstrom
Iq .
Der Schalter S ist über lange Zeit
i)
geöffnet. Wie groß ist die
Kondensatorspannung UC?
ii)
Zum Zeitpunkt t = 0 wird der
Schalter S geschlossen. Welche
Werte nehmen die
Kondensatorspannung UC, ihre
Änderungsrate U& C und der Strom I2
unmittelbar danach an?
Wie groß sind UC und I2 lange Zeit nach dem Schließen von S?
iii)
Skizzieren Sie den Zeitverlauf von UC während des Umladevorganges.
iv)
i)
Schalter S über lange Zeit bis t = 0- geöffnet: UC(0-) = R1Iq
ii)
Schalter bei t = 0 geschlossen. Keine sprunghaften Änderungen
von Kondensatorladungen über Kreise mit Widerständen
U C (0 + ) = U C (0 − ) = R1 I q
I 2 (0 + ) =
U C (0 + ) R1
=
Iq
R2
R2
RI
U (0 + ) U C (0 + ) ⎞
1
1⎛
⎟⎟ = − 1 q
−
U& C (0 + ) = I C (0 + ) = ⎜⎜ I q − C
C
C⎝
R1
R2 ⎠
R2C
iii)
Lange Zeit nach dem Schließen von S (t Æ ∞) ist
U C (∞ ) = (R1 // R2 )I q
I 2 (∞ ) =
R1
Iq
R1 + R2
iv)
Zeitverlauf von UC mit τ = (R1 // R2 )C
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 103 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.3.
Spannungsaufteilung in einer RC-Schaltung
Relativ lange Zeit nach dem Anlegen einer
Gleichspannung U soll sich in der Schaltung aus der
Skizze die Spannung UC = 10V einstellen. Berechnen
Sie den dazu erforderlichen Wert von U.
t Æ ∞ Æ IC = 0 Æ unbelasteter Spannungsteiler
Am Knoten in der Mitte ist die Summe der Ladungen gleich Null:
− Q1 + Q2 + Q3 = 0
− C1U1 + C2U 2 + C3U 3 = 0
1
U = UC + U3
3
2
U = U2 −U3
3
1
U3 = U −UC
3
U2 = U −UC
⎛1
⎞
− C1U C + C2 (U − U C ) + C3 ⎜ U − U C ⎟ = 0
⎝3
⎠
C + C2 + C3
U = UC 1
= 19,3V
C3
C2 +
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 104 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.4.
Spannungssprung an RC-Schaltung
An den Eingang der RC-Schaltung aus der Skizze wird eine Gleichspannung von 10V gelegt.
Berechnen Sie den Anfangswert und den Endwert der Ausgangsspannung
(Ausgangsstrom = 0) und skizzieren Sie, maßstäblich richtig, ihren Zeitverlauf.
U A (0 − ) = 0
U C (0 − ) = 0
U C (0 + ) = 0
U A (0 + ) = U E = 10V
U A (t → ∞ ) = U E
2,5k
= 2V
12,5k
Wir berechnen noch die Zeitkonstante:
τ = C ⋅10k // 2,5k = 0,2ms
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 105 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.5.
Brückenschaltung mit Kondensator
Der Schalter S in der Skizze ist zunächst lange Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt t = 0
geschlossen.
i)
Berechnen Sie den Wert der Spannung UA am leer laufenden Ausgang unmittelbar
vor, unmittelbar nach und lange Zeit nach dem Schließen des Schalters.
ii)
Skizzieren Sie, maßstäblich richtig, den Zeitverlauf von UA. Berechnen Sie die
zugehörige Zeitkonstante.
t = 0-: UC = 0
UA = 0
t = 0+: UC = 0
U2 = U
U3 = U
t Æ ∞: IC = 0
U 2 = R2 I C = 0
UC = U
100
= 2,5V
400
U A = U C − U 3 = −2,5V
300
UA = −
U 2 + U1 = U 1 = U
= 7,5V
{
400
=0
τ = C ⋅ R2 = 200Ω ⋅ 50µF = 10ms
ESB dafür:
Wir zeichnen den Ladevorgang:
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 106 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.6.
Umladung
In dem in der Skizze dargestellten elektrischen Ersatzkreis einer Zellmembran ist der Schalter
S relativ lang geöffnet und wird dann geschlossen. Berechnen Sie den Wert der Spannung U12
vor, unmittelbar nach und lange Zeit nach dem Schalten. Berechnen Sie die für den
Ausgleichsvorgang maßgebende Zeitkonstante uns skizzieren Sie den Zeitverlauf von U12.
t = 0U12 = U q1 = 70mV
t = 0+
U C (0 − ) = U C (0 + ) = 70mV = U12
tÆ∞
Strom durch Kondensator Null
U − U q1
80mV − 70mV
10mV
I = q2
=
=
= 5,26µA
6
R1 + R2
1,2 ⋅ 10 Ω + 700kΩ 1,9MΩ
U12 = U q 2 − IR2 = 80mV − 5,26µA ⋅ 700kΩ = 76,32mV
oder über Superpositionsprinzip (Helmholz):
R1
R2
U12 = U q 2
+ U q1
R1 + R2
R2 + R1
τ = C ⋅ R1 // R2 = 1,11ms
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 107 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.7.
Kondensator-Reihenschaltung
Zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten 0,1µF und 2,2µF sind jeweils für die
Betriebsspannung 100V zugelassen. An welcher maximalen Spannung kann ihre
Reihenschaltung betrieben werden?
Q1 = Q2
Achtung: Es gilt: C1 < C2 → U1 > U 2
C1U1 = C2U 2
U = U1 + U 2 → U1 = U − U 2 , U 2 = U − U 1
C1 (U − U 2 ) = C2U 2
C1U − C1U 2 = C2U 2
U=
U 2 (C1 + C2 )
C
100V (0,1µF + 2,2 µF )
= U2 2 + U2 =
= 2300V
C1
C1
0,1µF
C1U1 = C2 (U − U1 )
U=
U1 (C1 + C2 ) 100V (0,1µF + 2,2µF )
=
= 104,5V
C2
2,2µF
Das Ergebnis ist natürlich die kleinere Spannung.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 108 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.8.
Rechteckimpuls an RC-Kombination
Skizzieren Sie, maßstäblich richtig, den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für die
Schaltung in der Skizze.
Uq = UC + U A
t = 0U A (0 − ) = U C (0 − ) = 0
t = 0+
UC = 0
U A = U q = 10V
I=
UA
= I C = 10mA
R2
I
V
10V
=
U& C = C = 100
C
ms 0,1ms
t>0
τ = C ⋅ R1 // R2 = 0,1ms
Umladevorgang 5τ
5τ = 0,5ms
0,5ms < 1ms
1k
U A = Uq
= 10mV
1k + 1M
U C ≈ U q = 10V
t = 1ms
Uq = 0
U C = 10V
U A = U q − U C = −10V
t > 1ms
I, U gegen 0 mit τ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 109 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.9.
Wechselanteil einer Spannung
Am Eingang des RC-Gliedes aus der Skizze liegt die angegebene Spannung UE. Geben Sie
den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA unter der Voraussetzung T/2 << 5RC an.
•
•
•
eingeschwungener Zustand
alle Größen verlaufen zeitlich periodisch
I = 0 unabhängig von T << τ
T
T
C dU C
C
1
1
I = ∫ i (t )dt = ∫ C ⋅ U& C (t )dt = ∫
dt = (U C (t + τ ) − U C (t )) = 0
T 0
T 0
T
dt
T
Der Mittelwert des Stromes bei solchen Schaltungen ist 0.
T << 10RC = 10τ
U C ≈ U C = const …für träge Vorgänge T << τ
Q ≈ const
QC = const
I =0
U A = U E −UC = I ⋅ R = 0
U E = UC
U A = U E −UC = U E −U E
UE =
1⎛ T
T⎞ 1
⎜U1 + U 2 ⎟ = (U1 + U 2 )
T⎝ 2
2⎠ 2
Wechselanteil der Spannung. Gleichanteil wird
unterdrückt.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 110 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.10.
Ausfiltern des Mittelwertes
An der RC-Kombination aus der Skizze liegt die angegebene rechteckförmige Spannung UE.
i)
Prüfen Sie, ob die Bedingung f >> 1/(10τ) erfüllt ist.
ii)
Geben Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA zuerst allgemein, dann für
U1 = 5V und die Werte k = 0; 1/3; 1/2; 2/3 und 1 an.
f >>
1
10τ
I =0
U E = UC
1
1
<<
T
10τ
T << 10τ
…gültig für alle periodischen Vorgänge mit C
τ = RC = 0,1s
1
= 1Hz → Bedingung erfüllt
10τ
UC ≈ UC → U A = U E −U E
100 Hz >>
UE =
1
(U1kT − U1 (1 − k )T ) = U1 (2k − 1)
T
0 < t < kT
kT < t < T
A1 = A2
U A+ = U1 − (2k − 1)U1
U A− = −U1 − (2k − 1)U1
⎛T
⎞
⎜ ∫ U A dt = 0 ⎟
⎜
⎟
⎝0
⎠
0 < t < kT
kT < t < T
0
10
0
1/3
6,6
-3,3
1/2
5
-5
2/3
3,3
-6,6
1
0
-10
Die 10V und -10V liegen jedoch nur 0s an Æ Rechnung richtig.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 111 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.11.
Differentiation durch RC-Glied
Am Eingang des RC-Gliedes aus der Skizze liegt die angegebene periodische Spannung UE.
Bestimmen Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für die Grenzfälle hoher und
niedriger Frequenz, d.h.
i)
f >> 1/(10τ)
ii)
f << 1/(10τ)
I =0
U A = U E −UC = 0 → U E = UC
…allgemein
i) T << 10τ
UC ≈ UC
U A = UE −UE
UE =
1 ⎛ U1kT U1 (1 − k )T ⎞ U1
+
⎜
⎟=
2
T⎝ 2
⎠ 2
… Die beiden Terme sind die Fläche unter der Kurve (Dreiecke)
ii) T >> 10τ
U C ≈ U E …schnelles System
C wird vollständig aufgeladen
U A = RI = RCU& C ≈ τU& E
U
UA =τ 1
0 < t < kT
kT
U1
kT < t < T
UA =τ
(1 − k )T
Problem: Je besser der Differenzierer ist, je kleiner wird die Ausgangsamplitude.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 112 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.12.
Integration durch RC-Glied
Bestimmen Sie für die rechteckförmige Wechselspannung UE am Eingang des RC-Gliedes
aus der Skizze den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA unter der Voraussetzung
f >> 1/(10τ)
T << 10τ
I =0
U A = U E −UC = 0 → U E = UC
UA ≈UA = 0
U R = RI ≈ U E
I = CU& A ≈
UE
R
U
1
U& A ≈
UE = E
τ
RC
Erweiterung:
IR ≈ U E − U E
RCU& ≈ U − U
A
E
E
U −U E
U& A ≈ E
RC
1
U A = ∫ U E − U E dt
τ
(
)
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 113 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
Zusammenfassung:
T << 10τ
U A = U E − U E …mittelwertfrei
T >> 10τ
U A = τU& E …Differenzierer
T << 10τ
U −UE
…Integrierer
U& A ≈ E
τ
T >> 10τ
UA ≈ UE
10.13.
Operationsverstärker
Eine gesteuerte Spannungsquelle nach dem in der Skizze dargestellten Muster kann als
vereinfachtest Modell für einen Differenzverstärker dienen. Der Grenzfall Rd Æ ∞, v Æ ∞
definiert, für einen bestimmten Bereich der Ausgangsspannung, einen idealen
Operationsverstärker.
i)
Geben Sie für den mit den zwei Widerständen R1 und R2 nach der Skizze
beschalteten Verstärker die Beziehung zwischen UA und UE an, zuerst für endliche
Werte Rd und v, dann für den Grenzfall des idealen Operationsverstärkers.
ii)
Geben Sie für die beiden RC-Beschaltungen aus den Skizzen eines idealen
Operationsverstärkers die Beziehungen zwischen Eingangsspannung und
Ausgangsspannung an.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 114 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
i)
U A −Ud ⎛ 1 ⎞ U A
= ⎜1 + ⎟
R2
⎝ v ⎠ R2
U −Ud UE U A
IE = E
=
+
R1
R1 vR1
I2 =
I2 + IE =
Ud
U
=− A
Rd
vRd
Daraus folgt:
R
UE
UA = − 2
R1
1⎛ R R ⎞
1 + ⎜⎜1 + 2 + 2 ⎟⎟
v ⎝ R1 Rd ⎠
für v Æ ∞:
R
U A = − 2 U E …invertierender Verstärker
R1
ii)
U
CU& E + A = 0
τ = RC
R
U A = −τU& E …invertierender Differentiator
1
U& A = − U E …invertierender Integrator
τ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 115 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.14.
Periodisches Rechtecksignal an RCD-Kombination
Am Eingang der in der Skizze dargestellten RCD-Kombination mit einer zusätzlichen
Spannungsquelle liegt die angegebene periodische Rechteckspannung UE. Wie verläuft die
Ausgangsspannung UA? Vernachlässigen Sie die Schwellenspannung der Diode.
Diode leitet: τ = 0
Diode sperrt: τ = RC = 0,1s
1
10τ = 1s >> 3 = 1ms → T << 10τ
10
Diode leitet:
τ = 0 (R = 0 )
U E = −20V
U C = U E + U q = −15V
U A = U E − U C = −20V − (−15V ) = −5V
Diode sperrt:
U E = 10V
U d = U C − U E − U q = −15V − 10V − 5V = −30V < 0
System wird träge!
U C ≈ const.
U A = U E − U C = 10V − (− 15V ) = 25V
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 116 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
10.15.
Laden eines Kondensators mit Spannungsbegrenzung
Am Eingang der Schaltung aus der Skizze wird, beginnend mit t = 0, ein konstanter Strom
eingeprägt. Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Spannung UA am leer laufenden
Ausgang. Nehmen Sie dazu für die Diode eine Schwellenspannung von 0,7V an und
vernachlässigen Sie deren Bahnwiderstand.
Der Diodezweig sperrt für U D = U A − U q < U s , d.h. für U A < U q + U s = 5,7V und leitet für
U A = 5,7V . Selbst bei der Größtspannung U A = 5,7V am Widerstand ist
I R = U A / R = 11,4 µA gegen I = 10mA vernachlässigbar, sodass I C ≈ I . Daraus folgt wegen
I = const
Q I
C ⋅ 5,7V 100 µF ⋅ 5,7V
= t für 0 ≤ t ≤ t1 =
=
= 57ms
C C
I
10mA
U A = 5,7V für t ≥ t1
UA =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 117 / 205
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10.16.
Laden eines Kondensators mit Parallelzweig
Am Eingang der Schaltung der Skizze wird zur Zeit t = 0 sprungartig ein konstanter
Gleichstrom von 1,5mA eingeprägt. Skizzieren Sie, maßstäblich richtig, den Zeitverlauf der
Spannung am leer laufenden Ausgang. Nehmen Sie für die Diode eine Schwellenspannung
von 0,7V an.
Der Diodenzweig ist für U A < U s = 0,7V gesperrt, d.h. der Kondensator wird zunächst mit
konstanter Stromstärke I geladen.
I
t
C
U C 0,7V ⋅10µF
t1 = s =
= 4,67ms
I
1,5mA
0 ≤ t ≤ t1 : U A =
Dann übernimmt der Diodenzweig einen Strom der Stärke I R =
U A −Us
.
R
t ≥ t1 : Der Kondensator wird mit der Zeitkonstanten τ = RC = 330Ω ⋅10µF = 3,3ms bis zur
Spannung U A = U S + RI = 1,195V ≈ 1,2V weiter aufgeladen.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 118 / 205
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10.17.
Ladungspumpe
Die Kapazität des Kondensators C1 aus der Skizze wird wie angegeben periodische geändert.
Berechnen Sie den stationären Wert der Ausgangsspannung dieser „Ladungspumpe“ für
T << RC2. Nehmen Sie dazu die Dioden als ideal an.
Q von Quelle in C1, wenn D1 leitet
Q von C1 in C2, wenn D2 leitet
T << RC2 …keine merkbaren Entladungen durch R im Ausgangskreis
C = 10C0
Annahme: D1 leitet
Q = CU
Q...stetig
C...unstetig
U ...unstetig
Q1 = 10C0U E
C1 = C0
D1 sperrt, D2 leitet
ohne C2:
Q1 = const = 10C0U E = C0U A
U A = 10U E
mit C2 im eingeschwungenen Zustand:
C2 auf UA geladen
U C1 = U C2 = U A
U A = 10U E
U C2 = U A = const weil T << RC2
Kontrolle der Annahmen:
D1 leitet
C = C0
Q = C0U E = C1U1
C1 = 10C0
C0U E U E
=
10C0
10
D1 leitet noch immer
U1 =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 119 / 205
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10.18.
Schaltung mit veränderlicher Kapazität
Die Kapazität C des Kondensators aus der Skizze wird wie angegeben periodische geändert.
Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA für den Fall
T2 << RC0. Nehmen Sie dazu die Diode als ideal an.
Träges System.
U A = U C ≈ const innerhalb T1 & T2
C = 10C0 Æ D leitet
Q
Q
UA = UE = =
= 5V
C 10C0
C = C0 Æ D sperrt
Q Q U E ⋅10C0
UA = =
=
= 10U E = 50V
C C0
C0
Kontrolle der Annahmen:
C = C0
D leitet
Q
UA = UE =
= 5V
C0
C = 10C0
UA =
U E C0
= 0,5V
10C0
Diode würde weiterleiten.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 120 / 205
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10.19.
Kondensatormikrophon
Berechnen Sie für das in der Abbildung skizzierte Modell eines Kondensatormikrophons den
Zeitverlauf der Spannung UR für relativ große Frequenzen, d.h. Ω > 1/(RC). (Hinweis: Die
Kondensatorladung ist für relativ große Frequenzen konstant = C0U, wenn C0 Kapazität für
xˆ = 0 bedeutet.)
Q = const = C0U = C ( xˆ = 0) ⋅ U
C=
ε0 A
x
=
ε0 A
x0 + xˆ cos(Ωt )
Q = CU C = C (U R + U ) ≈ C0U
C0U
⎛C
⎞
− U = U ⎜ 0 − 1⎟
C
⎝C
⎠
xˆ
V
U R = cos(Ωt ) ⋅ U = 2,5
⋅ xˆ cos(Ωt )
µm
x0
U R = UC −U =
ab welcher Frequenz gilt das?
1
1
>>
τ
T
T << τ
QC ≈ const
2πf >>
f >>
1
RC0
1
= 29 Hz
2πRC0
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 121 / 205
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10.20.
Influenz
Das Dreileitersystem aus der Skizze ist zunächst ungeladen und durch die Teilkapazitäten
C10 = 80pF C20 = 70pF C12 = 50pF
gekennzeichnet. Wenn zwischen die Leiter 1 und 0 die elektrische Spannung U10 = 3kV
gelegt wird, wie groß ist dann die durch Influenz sich einstellende Spannung U20 zwischen
den Leitern 2 und 0?
C10 = 80pF
C20 = 70pF
C12 = 50pF
U10 = 3kV
U20 = ?
Influenz = Ladungsverschiebung
∑ Q = const → Q
2
=0
Q2 = 0 = ψ 20 −ψ 12
ψ 20 = ψ 12
C20U 20 = C12U12 = C12 (U10 − U 20 )
U 20 = U10
C12
= 125kV
C20 + C12
Ist leichter aus dem ESB zu berechnen (kapazitiver Spannungsteiler):
U2 = U
C1
C1 + C2
C10 spielt hat auf den Spannungsteiler keinen Einfluss.
Wir berechnen noch Q1:
Q1 = Q12 + Q10 ≠ 0
(beim ESB rechts oben)
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 122 / 205
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11. Ergänzendes zum elektrischen Feld
keine Beispiele…
12. Verteilte elektrische Ströme
12.1.
Kupferdraht mit Silberüberzug
Ein dünner Kupferdraht ( γ = 56 ⋅106 S / m ) wird mit einer
Silberschicht ( γ = 60 ⋅106 S / m ) der Dicke δ überzogen (Skizze).
Wie groß muss δ sein, damit sich der ursprüngliche
Gleichstromwiderstand halbiert?
Leitwert ohne Überzug:
γ A
G1 = Cu Cu
l
Leitwert mit Überzug:
γ A + γ Ag AAg
G2 = Cu Cu
= 2G1
l
γ Cu ACu + γ Ag AAg
=2
γ Cu ACu
l
l
γ Cu ACu + γ Ag AAg = 2γ Cu ACu
γ Ag AAg = γ Cu ACu
AAg =
γ Cu
γ
ACu AAg = Cu ACu
γ Ag
γ Ag
2
2
d 2π
γ
⎛d
⎞
⎛d ⎞
⎜ + δ ⎟ π − ⎜ ⎟ π = Cu ⋅
2 24
γ Ag 4
⎝14
⎠
⎝2⎠
3
d2
+ dδ +δ 2
4
(dδ + δ )π = γγ
2
δ1, 2 = −
Cu
Ag
⋅
d 2π
4
→ δ 2 + dδ −
γ Cu d 2
⋅
=0
γ Ag 4
⎞
⎞
d
d 2 γ Cu d 2
d ⎛ d γ Cu
d ⎛⎜ γ Cu
±
+
⋅
= − ±⎜
+1⎟ =
+ 1 − 1⎟ = 39 µm
{
⎟ negative 2 ⎜ γ Ag
⎟
2
4 γ Ag 4
2 ⎜⎝ 2 γ Ag
⎠ Lösung ⎝
⎠
egal
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 123 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.2.
Erforderlicher Leitungsquerschnitt
Für eine Gleichstrom-Doppelleitung, bestehend aus zwei Kupferleitern ( γ = 56 ⋅106 S / m ), ist
eine längenbezogene Verlustleistung von maximal 2,5W/m zulässig. Die Leitung soll einen
Verbraucher mit 200V versorgen, der dabei die Leistung 4,6kW aufnimmt. Wie groß muss die
Querschnittsfläche jedes der beiden Leiter mindestens sein?
1
2I 2
den Widerstandsbelag der Einzelleitung, so ist PV′ = 2 R′I 2 =
der
γΑ
γA
P 4,6kW
Verlustbelag der Doppelleitung. Daraus folgt mit der Stromstärke I = =
= 20,91A
U
220V
die erforderliche Querschnittsfläche
2
2I 2
2(20,91A)
A=
=
= 6,25mm 2
γPV′ 56 Am ⋅ 2,5 VA
Vmm 2
m
Bedeutet R′ =
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 124 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.3.
Überspannungsableiter
Aus einem nichtlinear elektrisch leitfähigen Material,
beschrieben durch die Gleichungen
J = γ (E )E
⎛E⎞
γ (E ) = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ E1 ⎠
2 , 57
S
m
E= E
E1 = 356kV / m
wird ein Überspannungsableiter in Form einer Kreisscheibe mit den angegebenen
Abmessungen hergestellt (Skizze). Geben Sie die Spannungsabhängigkeit des elektrischen
α&
⎛U ⎞
Widerstandes in der Form R (U ) = ⎜⎜ ⎟⎟ Ω an und zeichnen Sie diesen Verlauf, maßstäblich
⎝ U1 ⎠
richtig, für den Bereich 0 < U ≤ 10kV .
Randstörungen vernachlässigt:
l ⎛ E1 ⎞
R=
=⎜ ⎟
γA ⎝ E ⎠
2 , 57
l ⎛El⎞
Ωm = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
A ⎝U ⎠
2 , 57
⎛U ⎞
0,005m
Ωm
= ⎜⎜ 1 ⎟⎟
2
(0,02m ) π ⎝ U ⎠
4
⎛ U
Wir setzen ein (Zahlenwertgleichung): RΩ = ⎜⎜
⎝ 5,225kV
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
⎞
⎟
⎟
⎠
2 , 57
Ω
−2 , 58
= 79,05 U kV
− 2 , 57
Seite 125 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.4.
Stromeinspeisung in Platte
In eine große Metallplatte der Dicke δ und der Konduktivität γ wird laut Skizze ein
elektrischer Strom der Stärke I eingespeist. Wie groß ist dann die zwischen den Punkten 1 und
2 zu messende elektrische Spannung?
Radialsymmetrische Stromverteilung,
radialsymmetrische Spannungsverteilung
J=
I
I
=
eρ
A 2πρδ
E=
J
=
γ
Ι
2πρδγ
ρ2
ρ2
ρ1
1
U = ∫ E ρ dρ =
ρ2
I
1
2π weil voller Kreis
eρ = E ρ eρ
I
1
∫ρ 2πδγ ⋅ ρ dρ =
I
ρ2
dρ =
⋅ln ρ ρ
2πδγ ρ∫ ρ
2πδγ
1
=
1
=
I
2πδγ
(ln ρ 2 − ln ρ1 ) =
⎛ρ ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ = −0,883mV
2πδγ ⎝ ρ1 ⎠
I
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 126 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.5.
Widerstand eines keilförmigen Leiters
Berechnen Sie allgemein den elektrischen
Widerstand des in der Abbildung skizzieren,
keilförmigen Blockes bei annähernd radialer
Durchströmung (Leitfähigkeit γ des Blockes <<
Leitfähigkeit des Elektrodenmaterials).
Radial gerichtetes Feld, unabhängig von der Axialkoordinate.
Winkel β in Radiant!
I = J (ρ )ρβl → J =
E=
J
γ
ρ2
=
I
e = E (ρ )eρ
βlργ ρ
U = ∫ E (ρ )dρ =
ρ1
I
e
β lρ ρ
ρ2
I
I 1
∫ρ βlγ ⋅ ρ dρ = βlγ
1
ρ2
1
∫ρ
ρ1
dρ =
⎛ρ ⎞
I
ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = RI
β lγ ⎝ ρ 2 ⎠
⎛ρ ⎞
⎛ρ ⎞
I ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
U
⎝ ρ1 ⎠ = ⎝ ρ1 ⎠
R= =
I
Iβlγ
β lγ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 127 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.6.
Widerstand einer Scheibenhälfte
Bei der in der Abbildung skizzierten,
halben Kreisringscheibe aus schwach
leitfähigem Material wird über
metallische Elektrodenflächen E Strom
zu- bzw. abgeführt. Berechnen Sie den
zugehörigen elektrischen Widerstand.
Hinweis: Nehmen Sie die Stromlinien
halbkreisförmig an.
Mit Annahme der kreisförmigen Stromlinien und den Bezeichnung aus der folgenden Skizze
gilt:
J = J (ρ )eα
E = E (ρ )eα
J =γE
Weiters:
U
E= 0
ρ
π
U =∫
U = ρπE (ρ ) =
0
U0
ρ
π
ρdα = U 0 ∫ dα = U 0π
0
ρπ
J (ρ )
γ
D
2
D
2
2
2
{
γhU
I = h ∫ J (ρ )dρ =
π
d
∫
d
ln
dρ
γhU ⎛ D ⎞
ln⎜ ⎟
=
ρ
π
⎝d⎠
D
d
und
sind die Radien
2
2
D
d
− ln
2
2
Der Wirksame Widerstand ist:
π
U
Uπ
=
= 1,364kΩ
R= =
I
⎛ D ⎞ 0,2 S ⋅ 5 ⋅10 −3 m ⋅ ln (10 )
Uγ ln⎜ ⎟
m
⎝d⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 128 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.7.
Umlenkung
In einer Strombahn liegt die in der
Abbildung skizzierte Umlenkung, die aus
zwei Werkstoffen der (gegenüber den
Metallleitern relativ kleinen) Leitfähigkeit γ1
bzw. γ2 besteht. Berechnen Sie allgemein den
Widerstand, den die Umlenkung in der
Strombahn darstellt.
Wir nehmen kreisbogenförmige Stromlinien
an und führen folgende Bezeichnungen ein:
J = J (ρ )eα
E = E (ρ )eα
J = γ (ρ )E
Weiters sind mit den Voraussetzungen über die Leitfähigkeiten die Flächen α = 0 und α =
π
2
Potentialflächen für das innere elektrische Feld, sodass
U
E (ρ ) =
, ρ1 < ρ < ρ3
ρ
π
2
π
γU
J (ρ ) = 1 , ρ1 < ρ < ρ 2
π
ρ
J (ρ ) =
2
γ 2U
ρ
π
2
weil Viertelkreis (Winkel in Radiant)
, ρ 2 < ρ < ρ3
2
Die Verknüpfung mit dem Gesamtstrom wird hergestellt:
ρ3
ρ3
ρ2
ρ2
ρ2
U 2
U 2
I = b ∫ J (ρ )dρ = b ∫ J α ,1dρ + b ∫ J α , 2 dρ = b ∫ γ 1
dρ + b ∫ γ 2
dρ
ρ1
=
ρ1
ρ2
ρ1
ρπ
ρ1
ρπ
⎛ ρ 3 ⎞⎤
⎛ ρ2 ⎞
bU ⎡
⎢γ 1 ln⎜⎜ ⎟⎟ + γ 2 ln⎜⎜ ⎟⎟⎥
π /2⎣
⎝ ρ 2 ⎠⎦
⎝ ρ1 ⎠
Der wirksame Widerstand: R =
U
π /2
=
I
⎡
⎛ρ ⎞
⎛ ρ ⎞⎤
b ⎢γ 1 ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + γ 2 ln⎜⎜ 3 ⎟⎟⎥
⎝ ρ1 ⎠
⎝ ρ 2 ⎠⎦
⎣
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 129 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.8.
Stromführung über einen Blechkegel
Gemäß der Skizze ist ein Leiter mit
Kreisquerschnitt über ein
kreiskegelförmiges Zwischenstück aus
Aluminiumblech mit einem Rohr
elektrisch leitend verbunden. Berechnen
Sie den elektrischen Widerstand des
Zwischenstückes in der Strombahn.
Ausgehend von Stromlinien entlang der Kegelerzeugenden gilt mit den Bezeichnungen aus
der zweiten Skizze:
d
D−d
+ x tan (α ) tan (α ) =
2πδρ
2
2H
J
I
x
H
Es = s =
s=
s1 =
γ
2πγδρ
cos(α )
cos(α )
Js =
I
ρ=
Wir drücken die Spannung aus:
s1
H
I
dx
U = ∫ Es ds =
∫
d
2πγδ sin (α ) 0 x +
0
2 tan (α )
Und errechnen daraus den Widerstand
⎡ 2H ⎤ ⎛ D ⎞
⎡ 2 H tan (α ) ⎤
1+ ⎢
ln⎜ ⎟
ln ⎢1 +
⎥
d
⎣ D − d ⎥⎦ ⎝ d ⎠
⎣
⎦
=
=
2πγδ sin (α )
2πγδ
2
H
U I
dx
1
R= =
∫
d
I
I 2πγδ sin (α ) 0 x +
2 tan (α )
2
⎛4⎞
1 + ⎜ ⎟ ln (4 )
⎝3⎠
R=
= 10,8µΩ
2π ⋅ 34 ⋅103 S
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 130 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
12.9.
Flächenstromdichte
In eine dünne, leitfähige Schicht wird ein
elektrischer Strom der Stärke I eingespeist
(Skizze). Leiten Sie eine Formel für die
Flächenstromdichte in der Umgebung der
Einspeisestelle ab.
Aus der Drehsymmetrie folgen folgende Bezeichnungen:
K = K (ρ )eρ
2π weil Kreis
I = 2πρK (ρ )
also für die Flächenstromdichte:
I
K=
eρ
2πρ
12.10.
Flächenstromverteilung
Am Rand einer dünnen, leitfähigen Platte wird ein elektrischer
Strom der Stärke I eingespeist (Skizze). Leiten Sie eine Formel für
die Flächenstromdichte in der Umgebung der Einspeisestelle ab.
gleichförmige Verteilung des
Flächenstroms über den
Winkelbereich 0 < α < π
K = K (ρ )eρ
π
I = ∫ K (ρ )ρdα = ∫ K (ρ )ρdα = πρK (ρ )
π weil Halbkreis
0
K=
I
πρ
eρ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 131 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13. Elementare Methoden der Berechnung elektrischer
Felder
13.1.
Elektrisches Moment eines Moleküls
Berechnen Sie das elektrische Moment („elektrisches
Dipolmoment“) des in der Skizze dargestellten,
gleichschenkligen (hypothetischen) Moleküls.
Die Gesamtladung des betrachteten Systems (Molekül) = 0 Æ Elektrisches Moment
unabhängig vom Bezugspunkt. Bezeichnungen festlegen:
⎛α ⎞
p = el1 + el2 = ea cot⎜ ⎟e
⎝2⎠
= 1,60 ⋅10 −19 C ⋅1,53 ⋅10 −10 m ⋅ cot (50°)e = 1,91 ⋅10 −29 Cme
13.2.
Elektrsiches Moment einer Ladungsanordnung
Gegen ist eine Punkladungsverteilung laut Skizze
i)
Wählen Sie die Ladung im Ursprung so, dass
das elektrische Moment der ganzen
Ladungsanordnung unabhängig von einem
Bezugspunkt ist.
ii)
Berechnen Sie dieses elektrische Moment.
i)
ii)
Das elektrische Moment p ist unabhängig vom Bezugspunkt, wenn die
Gesamtladung verschwindet:
Q0 + 2e + 2e − e = 0 → Q0 = −3e = −4,806 ⋅10 −19 C
Bezugspunkt im Ursprung
(
3
)
p = ∑ d k Qk = 0,4µmex ⋅ 2e + 0,6 µme y ⋅ 2e − 0,4µmex + 0,6µme y + 0,5µmez e
(
k =1
) (
)
= 0,4 µmex + 0,6µme y − 0,5µmez e = 6,408ex + 9,612e y − 8,010ez ⋅10 −26 Cm
p = pe
p = 1,406 ⋅10 −25 Cm
e = 0,456ex + 0,684e y − 0,570ez
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 132 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.3.
Dipolantenne
Berechnen Sie für die in der Skizze angegebene Linienladungsverteilung mit τ = const
allgemein das elektrische Moment bezüglich des Ursprungs.
Nach Definition ist das elektrische Moment das Ladungsmoment erster Ordnung also
bezüglich des Ursprungs:
l
2
p = ∑ rk Qk = ∫ z ez (− τ )dz =
k
0
0
1 ⎛ 2 l/2
1
⎜ z 0 − z 2 −l / 2 ⎞⎟τ ez = l 2τ ez
⎝
⎠
2
4
Da die Gesamtladung der Verteilung verschwindet, ist das elektrische Moment unabhängig
vom Bezugspunkt.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 133 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.4.
Drei Punktladungen
Berechnen Sie für die in der Skizze gegebene Anordnung von Punktladungen das Potential
und die elektrische Feldstärke in der Näherung r >> l, d.h. für große Abstände vom Ursprung.
Die Gesamtladung ist gleich Null, r >> l bedeutet Dipolnäherung mit dem elektrischem
− ex + e y
Moment p = −Ql ex − Ql e y = −Ql ex + e y , d.h. p = p e mit p = Ql 2 und e =
2
(
(
)
)
Bedeutet r = r er = xex + y e y + z ez den Ortsvektor, so ist die Komponente von p in Richtung
er : pr = pr er ; pr = p cos(α ) = − p
genaue Rechnung:
x+ y
, wobei α den Winkel zwischen e und er angibt.
2r
(
⎡ 1
ex + e y
cos α = e ⋅ er = ⎢−
2
⎣
)⎤⎥ ⋅ ⎡⎢⎣ 1r (xe + ye
⎦
x
y
)
⎤ −1
(x + y )
+ z ez ⎥ =
2r
⎦
Damit folgt für das elektrostatische Potential:
1 pr
p
x+ y
Ql x + y
ϕ=
=−
⋅
=−
⋅
2
2
4πε 0 r
4πε 0 r
4πε 0 r 3
2r
und für die elektrische Feldstärke:
3 p − p Ql 2
3 cos(α )er − e
E= r 3 =
4πε 0 r
4πε 0 r 3
[
]
wobei
cos(α ) = −
(
x+ y
2r
1
x ex + y e y + z ez
r
e +e
e=− x y
2
er =
)
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 134 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.5.
Quadrupol
Berechnen Sie für die in der Skizze gegebene Anordnung von Punktladungen im leeren Raum
das Potential an Orten in Abständen r >> l vom Ursprung.
Mit den eingeführten Bezeichnungen lässt sich der reziproke Abstand
1
gemäß
rP1
∞
∂⎞ 1
1
1⎛
= ∑ ⎜ − l ⎟ ; r = x2 + y2 + z 2
rP1 n=0 n! ⎝ ∂z ⎠ r
n
zu
2
⎤
1 1 lz l 2 ⎡ ⎛ z ⎞
= + 3 + 3 ⎢3⎜ ⎟ − 1⎥ + K
rP1 r r
2r ⎣⎢ ⎝ r ⎠
⎦⎥
entwickeln.
Analog ist (l → −l )
2
⎤
1
1 lz l 2 ⎡ ⎛ z ⎞
= − 3 + 3 ⎢3⎜ ⎟ − 1⎥ − K
rP 2 r r
2r ⎣⎢ ⎝ r ⎠
⎦⎥
Für das elektrostatische Potential der Ladungsanordnung gilt daher:
2
⎤ 1 ⎡⎛ l ⎞ 4 ⎤ ⎫⎪
Q ⎛ 2 1
Q ⎧⎪ l 2 ⎡ ⎛ z ⎞
1 ⎞
⎜
⎟
− +
+
=
ϕ (P ) =
⎨ ⎢3⎜ ⎟ − 1⎥ + O ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎬
4πε 0 ⎜⎝ r rP 1 rP 2 ⎟⎠ 4πε 0 ⎪⎩ r 3 ⎣⎢ ⎝ r ⎠
⎦⎥ r ⎣⎢⎝ r ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭
Mit Berücksichtigung von l/r << 1 also:
2
⎤ Ql 2 3 cos 2 (ϑ ) − 1
Ql 2 ⎡ ⎛ z ⎞
ϕ (P ) =
3
1
⋅
−
⎟
⎜
⎢
⎥=
4πε 0 r 3 ⎢⎣ ⎝ r ⎠
r3
⎥⎦ 4πε 0
wobei cos(ϑ ) =
z
r
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 135 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.6.
Elektrisches Feld zweier Linienleiter
Parallel zur z-Achse verlaufen, wie in der
Skizze dargestellt, zwei entgegengesetzt
gleichförmig geladene Linienleiter.
Berechnen Sie für τ > 0 allgemein den Betrag
und die Richtung (Einsvektor) der
elektrischen Feldstärke im Punkt P,
gekennzeichnet durch die kartesischen
Koordinaten (x,y,z) = (2a,a,0).
Die Überlagerung der Teilfelder der beiden Linienleiter gemäß Skizze.
τ e1
τ ρ1
E1 =
=
2πε 0 ρ1 2πε 0 ρ12
E2 = −
τ e2
τ ρ2
= −−
2πε 0 ρ 2
2πε 0 ρ 22
liefert mit
ρ1 = a ex + e y , ρ12 = 2a 2
ρ2
( )
= a (3e + e ),
x
y
ρ 22 = 10a 2
den Ausdruck
2 ⎞
τ ⎡ ex + e y 3ex + e y ⎤
τ ⎛1
⎥=
⎢
−
E=
⎜ ex + e y ⎟
2πε 0 a ⎢ 2
10 ⎥ 2πε 0 a ⎝ 5
5 ⎠
⎦
⎣
oder E = E e mit
E=
e=
τ
2π 5ε 0 a
ex + 2e y
5
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 136 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.7.
Bündelleiter
Eine Doppelleitung bestehe aus je zwei miteinander elektrisch verbundenen Teilleitern
(Skizze). Geben Sei eine Formel für die längenbezogene Kapazität in der Näherung
d << a << D an.
Vorwissen:
Um das Beispiel lösen zu können, sollte folgendes Wissen erarbeitet werden.
A = 2πρl
D=
Δψ
τ
eρ =
eρ
A
2πρ
D = ε0 E
E (ρ ) =
τ
eρ
2πε 0 ρ
ρ0
ϕ (ρ ) − ϕ (ρ 0 ) = ∫ Eρ dρ =
ρ
τ
2πε 0
ρ0
1
τ
∫ρ ρ dρ = 2πε
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
⎛ρ ⎞
ln⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ ρ ⎠
0
Seite 137 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
Bezeichnungen laut Skizze. Bezugspunkt 0,
Teilleiter 1 und 2 und Teilleiter 3 und 4
miteinander elektrisch verbunden:
ϕ0 = 0, ϕ1 = ϕ 2 , ϕ3 = ϕ 4 . Aus
Symmetriegründen gilt ϕ 4 = −ϕ1 , U = 2ϕ1
und für die Ersatz-Linienladungen
τ 3 = −τ 2 , τ 4 = −τ 1 . Das Potential in einem
allgemeinen Punkt P folgt durch
Überlagerung der Beiträge aller Teilleiter zu
⎛ρ ⎞
⎛ ρ 01 ⎞
⎛ρ ⎞
⎛ ρ ⎞⎤
1 ⎡
⎟⎟ + τ 2 ln⎜⎜ 02 ⎟⎟ + τ 3 ln⎜⎜ 03 ⎟⎟ + τ 4 ln⎜⎜ 04 ⎟⎟⎥
⎢τ 1 ln⎜⎜
2πε 0 ⎣
⎝ ρ P1 ⎠
⎝ ρP2 ⎠
⎝ ρ P 4 ⎠⎦
⎝ ρP3 ⎠
τ 3 = −τ 2 , τ 4 = −τ 1
ϕ (P ) =
=
⎛ ρP4 ⎞
⎛ ρ ⎞⎤
1 ⎡
⎟⎟ + τ 2 ln⎜⎜ P 3 ⎟⎟⎥
⎢τ 1 ln⎜⎜
2πε 0 ⎣
⎝ ρ P1 ⎠
⎝ ρ P 2 ⎠⎦
Punkt P speziell an Teilleiter 1 gelegt, d << a << D:
d
ρ P1 = , ρ P 2 ≈ a, ρ P 3 ≈ D, ρ P 4 ≈ D
2
1 ⎡
⎛ 2D ⎞
⎛ D ⎞⎤ U
ϕ1 =
τ 1 ln⎜
⎟ + τ 2 ln⎜ ⎟⎥ =
⎢
2πε 0 ⎣
⎝ d ⎠
⎝ a ⎠⎦ 2
Punkt P speziell an Teilleiter 2 gelegt, d << a << D:
d
ρ P1 = a, ρ P 2 = , ρ P 3 ≈ D, ρ P 4 ≈ D
2
1 ⎡
⎛D⎞
⎛ 2 D ⎞⎤ U
ϕ2 =
τ 1 ln⎜ ⎟ + τ 3 ln⎜
⎟⎥ =
⎢
2πε 0 ⎣
⎝a⎠
⎝ d ⎠⎦ 2
ϕ1 = ϕ 2 bedeutete demnach τ 1 ≈ τ 2 . Nun gilt Q′ = C ′U mit Q′ = τ 1 + τ 2 , also τ 1 ≈ τ 2 =
Daraus folgt U =
Q′
.
2
Q′ ⎛ 2 D 2 ⎞ Q ′ ⎛ 2 D ⎞
⎟=
ln⎜
ln⎜
⎟
2πε 0 ⎜⎝ ad ⎟⎠ πε 0 ⎝ 2ad ⎠
Daraus ergibt sich der Kapazitätsbelag:
πε 0
2πε 0
, oder wenn wir eine neue Länge d e = 2ad definieren zu C ′ =
C′ =
2
⎛ 2D ⎞
⎛ 2D ⎞
⎟⎟
⎟⎟
ln⎜⎜
ln⎜⎜
ad
d
⎠
⎝
⎝ e ⎠
d.h. der Kapazitätsbelag ist über wie für die gewöhnliche Doppelleitung mit einem ErsatzLeiterdurchmesser d e zu berechnen.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 138 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.8.
Dreileiteranordnung
Gemäß der Skizze verlaufen drei Leitungen mit
Kreisquerschnitt (Durchmesser d) parallel zueinander im
leeren Raum mit dem gegenseitigen Abstand a >> d.
i)
Berechnen Sie die längenbezogenen
Teilkapazitäten
ii)
Zwischen den Leitern liegen die
phasenverschobenen Sinusspannungen
U12 = Uˆ cos(ωt + 2π / 3) U 23 = Uˆ cos(ωt ) U 31 = Uˆ cos(ωt − 2π / 3)
Stellen Sie die elektrische Feldstärke an der z-Achse durch den
Dreiecksmittelpunkt nach Betrag und Richtung als Zeitfunktion dar.
i)
Mit dem Bezugspunkt im Ursprung, dem Umkreisradius ρ 0 =
a
und τ 1 + τ 2 + τ 3 = 0 ist das
3
Potential in einem allgemeinen Punkt P
⎛ ρ ⎞⎤
⎛ ρ0 ⎞
⎛ ρ ⎞
1 ⎡
⎟⎟ + τ 2 ln⎜⎜ 0 ⎟⎟ + τ 3 ln⎜⎜ 0 ⎟⎟⎥
ϕ (P ) =
⎢τ 1 ln⎜⎜
2πε 0 ⎣
⎝ ρ P1 ⎠
⎝ ρP2 ⎠
⎝ ρ P 3 ⎠⎦
d
⎞
⎛
und speziell für P am Leiter 1 ⎜ ρ P1 = , ρ P 2 ≈ 2, ρ P 3 ≈ a ⎟
2
⎠
⎝
1 ⎡ ⎛ 2a ⎞
τ
⎛ 1 ⎞⎤
⎛ 2a ⎞
ϕ1 =
τ1⎜
⎟ + (τ 2 + τ 3 ) ln⎜
⎟⎥ = 1 ln⎜ ⎟
⎢
2πε 0 ⎣ ⎝ 3d ⎠
⎝ 3 ⎠⎦ 2πε 0 ⎝ d ⎠
Analoge Ausdrücke gelten für φ2 und φ3. Aus τ 1 = C12′ U12 + C13′ U13 und wegen der Symmetrie
′ + C13′ := Ct′ folgt weiters
C12′ = C23
⎛ 1a ⎞
ln⎜ ⎟
d
τ 1 = Ct′(U12 + U13 ) = Ct′(2ϕ1 − ϕ 2 − ϕ3 ) = Ct′ ⎝ ⎠ (2τ 1 − τ 2 − τ 3 )
2πε 0
mit 2τ 1 − τ 2 − τ 3 = 3τ 1 also für die Teilkapazitätsbeläge
2 πε 0
Ct′ =
3 ⎛ 2a ⎞
ln⎜ ⎟
⎝ d ⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 139 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
ii) Richtungen laut Skizze
e1 = −e y , e2 =
1
2
(
)
3 ex + e y , e3 =
(
1
− 3 ex + e y
2
)
Für die elektrische Feldstärke an der z-Achse gilt
1
3
(τ 2 − τ 3 )ex − 3τ 1 e y
E=
τ 1 e1 + τ 2 e2 + τ 3 e3 =
2πε 0 ρ 0
4πε 0 a
(
[
)
]
Nun ist
τ 2 − τ 3 = Ct′(U 21 + U 23 − U 31 − U 32 ) = 3Ct′U 23 , τ 1 = Ct′(U12 − U 31 )
somit
E=
[
]
[
9Ct′Uˆ
3Ct′
cos(ωt )ex − sin (ωt )e y
3U 23 ex − 3 (U12 − U 31 )e y =
4πε 0 a
4πε 0 a
]
oder E = E e(t ) mit
9Ct′Uˆ
, e(t ) = cos(ωt )ex − sin (ωt )e y
E=
4πε 0 a
Die elektrische Feldstärke besitzt demnach an der z-Achse einen zeitlich konstanten Betrag
und eine Richtung senkrecht zur z-Achse, die mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 140 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.9.
Geladene Kreislinie
Eine Kreislinie im leeren Raum (Skizze) ist gleichförmig mit der Linienladungsdichte τ
belegt. Berechnen und skizzieren Sie die Verläufe des Potentials und der Feldstärke entlang
der z-Achse.
Aus dem Überlagerungsprinzip folgt mit den Bezeichnungen aus der Skizze für das Potential
1 τds
1
τ
, τ = const
E (P ) =
ds
ϕ (P ) =
∫
∫
4πε 0 C r
4πε 0 C r 2
wobei für jeden festen Punkt P auf der z-Achse
r = a 2 + z 2 = const ,
∫ ds = 2πa
C
also
ϕ (z ) =
τ
2ε 0
1
⎛z⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝a⎠
2
Dass der Vektor e im Punkt P nicht auf die z-Achse fällt
ist egal. Es hebt sich nämlich auf, weil das Feld in P aus
jeder Richtung des Kreises wirkt.
Genau:
s = a ⋅ α ds = a ⋅ dα
2π
ϕ (z, ρ = 0) =
1
4πε 0
2π
∫
α
=0
τ ⋅a
a2 + z2
dα =
τ
⋅
4πε 0
α
⎛z⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝a⎠
=
2
α =0
τ
⎛z⎞
2ε 0 1 + ⎜ ⎟
⎝a⎠
2
e = cos(ϑ )ez + sin (ϑ )eρ = cos(ϑ )ez + sin (ϑ ) cos(α )e y + sin (ϑ )sin (α )ez
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 141 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
Verlauf von φ entlang der z-Achse.
Ähnlich gilt für die elektrische Feldstärke
1 eτds
E=
, τ = const , e = cos(ϑ )ez + sin (ϑ )eρ
4ε 0 C∫ r 2
wegen
cos(ϑ ) =
z
,
r
z
∫ eds = 2πa r e
z
C
also
E = E ( z )ez =
τ
4πε 0
2π
0
(
)
a ⋅ dα
τ
cos ϑ ez + sin ϑ cos α e y + sin ϑ sin α ez =
2
2
2ε 0 a
+z
∫a
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
z
a
⎡ ⎛z⎞
⎢1 + ⎜ ⎟
⎢⎣ ⎝ a ⎠
2
⎤
⎥
⎥⎦
3
2
ez
Seite 142 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.10.
Elektronenoptische Anordnung
In einer elektronenoptischen Anordnung gemäß der Skizze sind zwei gleichgroße, koaxiale,
dünne Kreisringe mit dem Radius a entgegengesetzt elektrisch geladen. Wie ist das Verhältnis
b/a zu wählen, damit der Betrag der elektrischen Feldstärke im Mittelpunkt P maximal wird?
Wie groß ist dieser Betrag und wie ist die Richtung der Feldstärke in P?
[
]
τ cos(α )ez + sin (α )eρ
τ eds
ds
= 2∫
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2
C
C
E (P ) = 2 ∫
also
E (P ) =
Q cos(α )
Qb
Q
⎛b⎞
ez =
e =
f ⎜ ⎟e z
2
2 z
2
2πε 0 r
2πε 0 r
2πε 0 a ⎝ a ⎠
mit
3
f (ζ ) = ζ (1 + ζ ) 2 , ζ =
−
f (ζ ) besitzt für ζ =
E (P ) =
b
a
1
2
b
=
den Maximalwert
. In diesem Fall ist
a
2
3 3
Q
ez
3 3πa 2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 143 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.11.
Maximalfeldstärke an Doppelleitung
Wo tritt im Feldraum der Doppelleitung laut Skizze der Maximalwert des Betrages der
elektrischen Feldstärke auf und wie groß ist dieser unter Berücksichtigung von d << D?
Aus der für d << D gültigen Beziehung
C′ ≈
πε 0
⎛ 2D ⎞
ln⎜
⎟
⎝ d ⎠
für den Kapazitätsbelag und aus der Spannung U ist der Ladungsbelag Q′ = C ′U zu
berechnen. Daraus folgt
Q′
U
kV
E
≈
≈
= 15,1
d
max
cm
⎛ 2D ⎞
2πε 0
d ln⎜
⎟
2
⎝ d ⎠
Der Maximalwert des Betrages der elektrischen Feldstärke tritt in den in der Skizze mit P
markierten Punkten auf:
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 144 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.12.
Kugelkondensator
Das Dielektrikum des in der Abbildung skizzierten
Kugelkondensators kann maximal die elektrische Feldstärke
Emax aufnehmen. Wie groß muss bei gegebenem
Außendurchmesser D der Innendurchmesser d gewählt
werden, damit eine möglichst große Spannung U angelegt
werden kann? Wie groß ist dann die Kapazität?
Der maximale Feldstärkebetrag Emax = E
max
, E = Er er tritt an der inneren Kugel auf, wobei
(Satz vom elektrischen Hüllenfluss, Kugelsymmetrie)
⎛ d2
⎞
1 ⎞ 1
Q ⎛ 1
2
−
Q = πd εEr (d / 2), U =
⎟ = Er (d / 2 )⎜⎜ − d ⎟⎟
⎜
4πε ⎝ D / s d / 2 ⎠ 2
⎝D
⎠
Die Funktion
⎛
d2 ⎞
1
U = Emax ⎜⎜ d − ⎟⎟, 0 < d < D
D⎠
2
⎝
nimmt für feste Werte Emax und D bei d =
folgt aus U = −
13.13.
Q
2πεD
=−
D
ein Maximum an. Die zugehörige Kapazität
2
Q
zu C = 2πεD mit ε = ε 0ε r .
C
Halbgefüllter Kugelkondensator
Der Raum zwischen den beiden leitfähigen Kugelschalen
in der Skizze ist zur Hälfte mit einem Dielektrikum der
Permitivitätszahl ε r = 5 gefüllt. Zwischen den Elektroden
liegt die Spannung U = 4kV. Berechnen Sie die
Ladungsverteilung auf der inneren Schale.
Die Spannungsverteilung ist kugelsymmetrisch, d.h. mit der Radialkoordinate r, a ≤ r ≤ b gilt
K
⎛1 1⎞
ϕ (r ) = . Die Konstante K ist aus U = ϕ (b ) − ϕ (a ) = K ⎜ − ⎟ zu bestimmen. Daraus folgt
r
⎝b a⎠
ba 1
ba er
Uab
Uab
=−
ϕ (r ) = −U
, E (r ) = −U
, K=
2
b−a r
b−a r
a −b
b−a
Flächenladungsdichte an der inneren Schicht ist im nicht gefüllten Bereich
b
µC
σ 0 = ε 0 Er (a ) = −ε 0U
= −3,54 2
a (b − a )
m
und im gefüllten Bereich
µC
σ 1 = ε r ε 0 Er (a ) = ε rσ 0 = −17,7 2
m
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 145 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.14.
Überschusselektronen
Eine Kupfer-Vollkugel, Durchmesser d = 1cm, kann in Luft höchstens so stark negativ
geladen werden, dass sich an der Oberfläche die Durchbruchsfeldstärke ED ≈ 3MV / m
ausbildet. Berechnen Sie für diesen Zustand das Verhältnis N eü / N e der Anzahl der
Überschusselektronen zur Gesamtzahl der Leitungselektronen (Jedes Kupferatom stellt im
Mittel ein Leitungselektron zur Verfügung, ρ = 8,9 g / cm3 , M = 64 g / mol ).
Kugelsymmetrisches elektrisches Feld, konstante (negative) Flächenladungsdichte σ an der
Kugeloberfläche: σ = −ε 0 ED , Q = σA . Damit ist die Anzahl der Überschusselektronen
Q ε0 2
N eü =
= πd ED = 52,1 ⋅109
−e e
Andererseits folgt aus m = ρV = Mn =
MN
,
NA
N ≈ N e die Gesamtzahl der
Leitungselektronen zu
ρN A
ρN A π 3
Ne =
V=
d = 4,38 ⋅10 22
M
M 6
Das gesuchte Verhältnis ist demnach
N eü 6ε 0 ED M
=
= 1,19 ⋅10 −12
N e eN A d ρ
13.15.
Widerstand in einer Flüssigkeit
Eine metallische Kugelelektrode mit isolierter Zuleitung befindet
sich laut Skizze in einem Metallbehälter, der mit einer Flüssigkeit
der relativ kleinen Konduktivität γ gefüllt ist. Die Abstände von den
Behälterwänden sind groß gegenüber dem Kugeldurchmesser.
Leiten Sie eine Formel für den elektrischen Widerstand zwischen
den Anschlüssen ab.
In der Umgebung der Kugelelektrode bildet sich ein kugelsymmetrische Strömungsfeld mit
der Stromdichte, der Feldstärke und dem Potential
1
dϕ
I
I
J=
e, E=
e =−
er , ϕ =
2 r
2 r
4πr
4πγr
dr
4πγr
aus. Da die Behälterwände weit entfernt sind, spielt die Abweichung von der Kugelsymmetrie
in relativ großen Abstand keine Rolle, d.h., die elektrische Spannung zwischen der
Kugelelektrode und dem Behälter wird nahezu vollständig in der Umgebung der Kugel
aufgebracht:
1
I
U
U≈
, R= ≈
ϕ Behälter = 0
d
I
2
πγ
d
4πγ
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 146 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.16.
Kapazität zweier Metallkugeln
Berechnen Sie die Kapazität der beiden in Luft befindlichen
Metallkugeln aus der Skizze. Berücksichtigen Sie dabei D >>
d1, d2.
ϕ (P ) =
Q ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
4πε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠
⎛
⎞
⎜
Q
1
1
1
1 ⎟
Q ⎛1 1 ⎞
⎜ −
⎟≈
⎜ + ⎟
U = ϕ1 − ϕ 2 ≈
−
+
4πε 0 ⎜ d1 D − d1 D − d 2 d 2 ⎟ 2πε 0 ⎜⎝ d1 d 2 ⎟⎠
⎜
⎟
2
2
2 ⎠
⎝ 2
Q = CU liefert dann
2πε 0
C≈
1 1
+
d1 d 2
13.17.
Störung eines Homogenfeldes
Eine der beiden in der Skizze dargestellten Metallplatten
besitzt eine halbkugelförmige Erhebung mit dem Radius
a << l. Berechnen Sie den Verlauf der elektrischen
Feldstärke an dieser Platte.
Unter der Voraussetzung a << l entspricht das
gesuchte elektrische Feld aus Symmetriegründen dem
einer leitenden Kugel im ursprünglich homogenen
Feld der Stärke E0 = E0 ez , E0 = −U / l . Mit den
Bezeichnungen aus der Skizze ist daher:
r ≥ a,
⎡ ⎛ a ⎞3 ⎤
π⎞
⎛
z = 0 ⎜ϑ = ⎟ : E = E0 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ez
2⎠
⎝
⎣⎢ ⎝ r ⎠ ⎦⎥
r = a,
z = a cos(ϑ ) :
E = 3E0 cos(ϑ )er
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 147 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.18.
Abschätzung der Leitfähigkeit
Zur Abschätzung der elektrischen Leitfähigkeit eines Materials werden gemäß Skizze zwei
metallische Prüfspitzen mit dem Spitzenradius r0 = 0,1mm aufgesetzt. Zwischen diesen
beiden Elektroden wird der Widerstand R = 20kΩ gemessen, und zwar unabhängig vom
Abstand L, solange L >> r0 gilt. Wie groß ist die so ermittelte Leitfähigkeit?
Überlagerung zweier kugelsymmetrischer Strömungsfelder laut Skizze, wobei nur die
Nahbereiche der Kontaktstellen maßgebend sind:
I
I ⎛ 1 1⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ ≈
U (r ) =
= const für r >> r0
2πγ ⎝ r0 r ⎠ 2πγ r0
R∞ =
U
1
=
I 2πγr0
Im vorliegenden Fall ist R = 2 R∞ also
1
γ =
= 0,159S / m
πr0 R
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 148 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.19.
Ohmsche Beeinflussung
Zwischen den in der Skizze markierten Erdungspunkten 1 und 2 einer energietechnischen
Anlage fließt ein elektrischer Gleichstrom der Stärke I. Die Punkte 3 und 4 sind als
Erdungspunkte einer Signalleitung vorgesehen. Berechnen Sie für die Abschätzung der
möglichen ohmschen Beeinflussung die Spannung U34.
Eine Überlagerung der kugelsymmetrischen Felder laut Skizze 2.
I
1
I
I
J=
e E= J=
e ϕ (P ) =
2 r
2 r
2πr
γ
2πγr
2πγr
liefert für die Potentiale in den Punkten 3 und 4
I
I
I
I
ϕ3 =
ϕ4 =
−
−
2πγr13 2πγr23
2πγr14 2πγr24
und damit für die gesuchte Spannung
I ⎛1 1
1
1 ⎞ 1
⎜⎜ − − + ⎟⎟ =
U 34 = ϕ3 − ϕ 4 =
2πγ ⎝ r13 r23 r14 r24 ⎠ πγ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
⎛1
1
⎜ −
⎜a
a2 + l 2
⎝
⎞
⎟ = 71,66V ≈ 70V
⎟
⎠
Seite 149 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.20.
Zählrohr
Die Intensität ionisierender Strahlung lässt sich über Stoßionisation z.B. mit
kreiszylindrischen Zählrohren nach dem in der Skizze angegebenen Prinzip messen.
Berechnen Sie für die skizzierte Anordnung die Werte der elektrischen Feldstärke am Draht
und an der Innenseite des Metallrohrs.
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze 2, Q = CU und dem Ausdruck
2πε 0l
C=
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
für die Kapazität (ohne Randstörungen) gilt für die Radialprojektion der Feldstärke in dem
kreiszylindrischen elektrischen Feld
Q
U
Eρ = l =
2πε 0 ρ
⎛D⎞
ρ ln⎜ ⎟
⎝d⎠
speziell also
d
ρ = : Eρ =
2
V
2U
= 3,47 M
m
⎛D⎞
d ln⎜ ⎟
⎝d⎠
V
D
2U
ρ = : Eρ =
= 0,046M
m
2
⎛D⎞
D ln⎜ ⎟
⎝d⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 150 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.21.
Entwurf eines Hochspannungskondensators
Entwerfen Sie einen Hochspannungs-Zylinderkondensator der Kapazität 30pF für eine
Maximalspannung von 140kV. Für die wirksame axiale Länge stehen 450mm zur Verfügung.
Als Dielektrikum ist SF6-Gas ( ε r ≈ 1 , maximal zulässige Feldstärke 60kV/cm) vorgesehen.
Geben Sie die kleinstmöglichen Elektrodendurchmesser an.
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze folgt unter
Vernachlässigung von Randstörungen aus
C=
2πε 0l
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
zunächst
⎛ D ⎞ 2πε 0l 2π ⋅ 8,854 pF / m ⋅ 0,45m
ln⎜ ⎟ =
=
= 0,834
C
30 pF
⎝d⎠
also
D
= 2,304
d
Der Feldstärkebetrag ist maximal am Innenzylinder
Emax
Q
l
UC
2U
l
=
=
=
d
d
⎛D⎞
2πε 0
2πε 0
d ln⎜ ⎟
2
2
⎝d⎠
Daraus ergibt sich
2U
2 ⋅140kV
=
= 55,9mm
⎛ D ⎞ 60kV / cm ⋅ 0,834
Emax ln⎜ ⎟
⎝d⎠
D = 2,304d = 128,8mm
d=
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 151 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.22.
Größtspannung eines Kabels
Die Polyäthylenisolierung ( ε r ≈ 2,26 ) des in der Skizze
angegebenen Koaxialkabels kann eine elektrische Feldstärke von
höchsten 18,1MV/m aufnehmen. Wie groß ist die zugehörige
Maximalspannung?
Der Maximalbetrag Ei der Radialfeldstärke Eρ tritt an der Kontur
des Innenleiters (Durchmesser d) auf. Die längenbezogene
Ladung folgt aus σ i = εEi zu Q′ = dπεEi .
d=
D=
ρ 0 …Bezugsradius im Dielektrikum
Q′ …längenbezogener Ladungsbetrag
E (ρ ) =
Q′ 1
eρ
2πε ρ
[[Dn ]] = σ i
d
D
<ρ<
2
2
⎛
⎝
d⎞
⎟ …maximales Feld bei maximaler Krümmung Ei = Emax
2⎠
d
d⎞
⎛
= επd E ⎜ ρ = ⎟
Q′ = σ i 2π
2
{
1⎝42423⎠
σ i = εE ⎜ ρ =
Umfang des
Innenleiters
= Emax =18,1MV / m
Zu dem kreiszylindrischen elektrischen Feld gehört der logarithmische Potentialverlauf
ϕ (ρ ) =
Q′ ⎛ ρ 0 ⎞ επdEi ⎛ ρ 0 ⎞ Ei d ⎛ ρ 0 ⎞
ln⎜ ⎟ =
ln⎜ ⎟ =
ln⎜ ⎟
2πε ⎜⎝ ρ ⎟⎠
2πε ⎜⎝ ρ ⎟⎠
2 ⎜⎝ ρ ⎟⎠
d
D
<ρ<
2
2
und daraus folgt für die Spannung
⎛d ⎞
⎛D⎞ Ed ⎛D⎞
U = ϕ ⎜ ⎟ − ϕ ⎜ ⎟ = i ln⎜ ⎟ = 188kV
2 ⎝d⎠
⎝2⎠
⎝2⎠
Wie erwartet muss der Bezugsradius ρ 0 wegfallen.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 152 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.23.
Querleitwerte eines Koaxialkabels
In einem Koaxialkabel mit dem Durchmesser d und D des Innen- bzw. Außenleiters besitzt
das Dielektrikum die (kleine) Leitfähigkeit γ. Leiten Sie die Formel für den längenbezogenen
Querleitwert ab.
Bedeutet I ′ den längenbezogenen, radial nach außen fließenden Strom, so sind mit den
Bezeichnungen aus der Skizze die Stromdichte und die zugehörige Feldstärke
I′
1
I′
J=
eρ E = J =
eρ
2πρ
2πγρ
γ
Über die Spannung
D/2
I′ ⎛ D ⎞
ln⎜ ⎟
U = ∫ E ρ dρ =
2πγ ⎝ d ⎠
d /2
folgt dann der Querleitwertbelag zu
I′
2πγ
G′ = =
U
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 153 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.24.
Auslegung eines Koaxialkabels
Ein Koaxialkabel (Außendurchmesser D, Innendurchmesser d) mit Polyäthylenisolierung
( ε r ≈ 2,26 ) soll so ausgelegt werden, dass für eine gegebene Betriebsspannung die
Maximalfeldstärke möglichst klein wird. Wie groß ist das Verhältnis D/d zu wählen? Wie
groß ist dann die längenbezogene Kapazität?
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze gilt zunächst für den
Kapazitätsbelag
2πε
C′ =
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
Die Maximalfeldstärke tritt am Innenleiter auf und beträgt
Q′
C ′U
2U
=
=
Ei =
d πεd
⎛D⎞
2πε
d ln⎜ ⎟
2
⎝d⎠
2U
als Funktion von d für feste Werte U und D, in der unteren Abbildung
f (d )
skizziert, besitzt ein Minimum (f(d) ein Maximum) im Intervall 0 < d < D:
Ihr Verlauf Ei =
⎛D⎞
f (d ) = d ln⎜ ⎟
⎝d⎠
D
= e = 2,718
d
⎛D⎞
⎛D⎞
f ′(d ) = ln⎜ ⎟ − 1 = 0 → ln⎜ ⎟ = 1
⎝d⎠
⎝d⎠
Somit ist der Kapazitätsbelag
2πε
C′ =
= 2πε = 125,7 pF / m
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 154 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.25.
Hochspanungsdurchführung
Das Dielektrikum der kreiszylindrischen Hochspannungsdurchführung aus der Skizze
(Längenmaße in mm) besteht aus zwei koaxialen Schichten. Berechnen und skizzieren Sie,
quantitativ richtig, den Verlauf der elektrischen Feldstärke über der Radialkoordinate.
Der Satz vom elektrischen Hüllenfluss liefert in Verbindung mit der Kreiszylindersymmetrie
und den Bezeichnungen aus der zweiten Skizze
d
Q′
< ρ < 2d :
D = D(ρ )eρ , D(ρ ) =
2πρ
2
d
Q′
E = E1 (ρ )eρ , E1 (ρ ) =
<ρ<d:
2πε1 ρ
2
Q′
d < ρ < 2d :
E = E2 (ρ )eρ , E2 (ρ ) =
2πε 2 ρ
wobei ε 1 = 2ε , ε 2 = ε , ε = 2,5ε 0 . Über die Spannung
D/2
U=
Q′ ⎡ 1
⎤
∫ E (ρ )dρ = 2πε ⎢⎣ 2 ln(2) + ln(2)⎥⎦
d /2
Q′
U
=
= 96,2kV , insgesamt also
2πε ln 8
10mm < ρ < 20mm : E1 (ρ ) = 48,1kV / ρ
folgt dann
20mm < ρ < 40mm : E2 (ρ ) = 96,2kV / ρ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 155 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.26.
Kabel mit geschichtetem Dielektrikum
Das Dielektrikum des in der Abbildung skizzierten
Koaxialkabels besteht aus zwei Schichten
unterschiedlicher Permitivität. Zwischen dem Innenleiter
und dem Außenleiter liegt die elektrische Spannung U =
5kV. Wo tritt in dem Querschnitt der größte Betrag der
elektrischen Feldstärke auf und wie groß ist dieser?
Der Satz vom elektrischen Hüllenfluss liefert in Verbindung mit der Kreiszylindersymmetrie
Q′
Dρ =
2πρ
d0
d
Q′
< ρ < 1 : Eρ =
2
2
2πε1ρ
d1
d
Q′
< ρ < 2 : Eρ =
2
2
2πε 2 ρ
wobei
d 0 = 20mm, d1 = 30mm. d 2 = 40mm
Aus
U=
d2 / 2
∫ Eρ dρ =
d0 / 2
Q′
2πε 0
⎡ 1 ⎛ d1 ⎞ 1 ⎛ d 2 ⎞⎤
ln⎜⎜ ⎟⎟⎥
⎢ ln⎜⎜ ⎟⎟ +
ε
d
ε
⎣ r1 ⎝ 0 ⎠ r 2 ⎝ d1 ⎠⎦
folgt mit dem angegebenen Spannungswert
Q′
= 25,489kV
2πε 0
Q′
25,489kV
⎛d ⎞
=
= 5,10kV / cm
Eρ ⎜ 0 ⎟ =
d
5 ⋅1cm
⎝ 2 ⎠ 2πε ε 0
0 r
2
Q′
25,489kV
⎛d ⎞
Eρ ⎜ 1 + ⎟ =
=
= 6,80kV / cm
d
⎝ 2 ⎠ 2πε ε 1 2,5 ⋅1,5cm
0 r
2
Der Größtwert des Betrages der elektrischen Feldstärke tritt am Innenrand des äußeren
Dielektrikums auf und ist 6,80kV/cm.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 156 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.27.
Koaxialkabel mit Führungsscheiben
Das in der Skizze im Längsschnitt dargestellte Koaxialkabel besitzt in regelmäßigen
Abständen dielektrische Führungsscheiben. Um wie viel Prozent wird dadurch der mittlere
Kapazitätsbelag gegenüber einem leeren Kabel erhöht?
Die Kapazität einer Teilung der Länge D ist
2πε 0 ⎛ D 4 ⎞
C=
⎜ε r + D ⎟
⎛ D⎞⎝ 5 5 ⎠
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
längenbezogen also
4⎞
2πε 0
⎛ε
C ′ = C0′ ⎜ r + ⎟, C0′ =
⎛D⎞
⎝ 5 5⎠
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
wobei C0′ den Kapazitätsbelag des leeren Kabels angibt. Die relative Erhöhung beträgt
demnach
C ′ − C0′ ε r − 1
=
= 90%
5
C0′
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 157 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.28.
Zylindrische Anordnung
Entlang der Achse des kreiszylindrischen Metallrohres M aus
der Skizze verläuft der kreiszylindrische Metallstab S. Das
dazwischen liegende Dielektrikum ist axial zweigeteilt
(Konduktivität γ1 und γ2 deutlich kleiner als die Konduktivität
der Metallteile) und ist innen und außen gut kontaktiert.
Berechnen Sie allgemein für gegebene Materialwerte,
Abmessungen und die Spannung
i)
die elektrische Feldstärke E (ρ , z )
die elektrische Stromdichte J (ρ , z )
die elektrische Stromstärke I
ii)
iii)
Randstörungen sind zu vernachlässigen.
i) Die elektrische Feldstärke (Kreiszylindersymmetrie)
K
E = eρ
ρ
ist stetig an der Grenzfläche z = l. Die Konstante K bestimmt sich aus der gegebenen
Spannung über
D/2
⎛D⎞
U = − ∫ Eρ dρ = − K ln⎜ ⎟
⎝d⎠
d /2
somit
U eρ
d
D
E (ρ , z ) = −
,
<ρ < , 0< z<L
2
2
⎛D⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
wobei Randstörungen bei z = 0 und z = L nicht berücksichtigt werden.
ii)
J =γE
J (ρ , z ) = −
d
D
γ 1U eρ
,
<ρ < , 0< z<l
2
2
⎛D⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
J (ρ , z ) = −
d
D
γ 2U eρ
<ρ , l<z<L
,
2
2
⎛D⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
iii)
I = 2πρ
U 1
[γ 1l + γ 2 (L − l )] = 2πU [γ 1l + γ 2 (L − l )]
⎛D⎞ ρ
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
ln⎜ ⎟
⎝d⎠
⎝d⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 158 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.29.
Geschwindigkeitsverteilung
Der Raum zwischen den beiden konzentrischen metallenen
Kreiszylinderelektroden aus der Skizze ist evakuiert. Elektronen
werden an der inneren Elektrode (Kathode K) mit vernachlässigbar
kleiner Geschwindigkeit emittiert und laufen, beschleunigt durch das
elektrische Feld zufolge der anliegenden Spannung U zur äußeren
Elektrode (Anode A). Berechnen Sie die Geschwindigkeitsverteilung
v(ρ) unter Vernachlässigung der Raumladung.
Aus der allgemeinen Form des Potentialverlaufs für die vorliegende Symmetrie
⎛ ρ ⎞
ϕ (ρ ) = K ln⎜⎜ ⎟⎟, K = const
⎝ ρ0 ⎠
folgt mit ϕ (a ) = 0 und ϕ (b ) = U zunächst
⎛ρ⎞
ln⎜ ⎟
a
ϕ (ρ ) = U ⎝ ⎠
⎛b⎞
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
Die Elektronen bewegen sich radial nach außen. Die Energieerhaltung liefert
(nichtrelativistisch), wegen v(a ) ≈ 0 und ϕ (a ) = 0
1
1
me v 2 (ρ ) − eϕ (ρ ) = me v 2 (a ) − eϕ (a ) = 0
2
2
also
⎛ρ⎞
⎛ρ⎞
ln⎜ ⎟
ln⎜ ⎟
e
a
a
v(ρ ) = 2 U ⎝ ⎠ = v(b ) ⎝ ⎠
me
⎛b⎞
⎛b⎞
ln⎜ ⎟
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
⎝a⎠
mit der Endgeschwindigkeit
e
v(b ) = 2 U
me
Eine grafische Darstellung des bezogenen
Geschwindigkeitsverlaufs für unterschiedliche
Radienverhältnisse a/b zeigt die folgende
Skizze.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 159 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.30.
Elektronen auf Kreisbahn
Im Raum zwischen den beiden konzentrischen metallenen Kreiszylindern aus der Skizze
sollen Elektronen ( m = 9,110 ⋅10 −31 kg ) mit der Geschwindigkeit v = 107 m / s auf Kreisbahnen
gehalten werden. Wie groß ist die dazu erforderliche elektrische Spannung U?
Aus der allgemeinen Form der elektrischen Feldstärke für die vorliegende Symmetrie
K
E = eρ , K = const
ρ
folgt zunächst über die Spannung
b
dρ
⎛b⎞
U = ∫K
= K ln⎜ ⎟
ρ
⎝a⎠
a
der Ausdruck
U eρ
E=
⎛b⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
wobei a = 20mm, b = 60mm. Die Bewegungsgleichung
v2
eU eρ
− m eρ = F = − e E = −
ρ
⎛b⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
liefert dann
2
−31
m
⎛ b ⎞ 9,11 ⋅10 kg
14 m
U = v 2 ln⎜ ⎟ =
⋅
10
ln (3) = 624,7V
−19
e
s2
⎝ a ⎠ 1,602 ⋅10 C
unabhängig vom Bahnradius.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 160 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.31.
Potentialsteuerung
Bei einer kreiszylindrischen Hochspannungsdurchführung laut Skizze wird zur Herabsetzung
der elektrischen Feldstärke am Innenleiter in das Dielektrikum eine Metallfolie M koaxial
eingelegt, deren Spannung gegenüber den beiden anderen Leitern durch einen
(Ersatz-)Spannungsteiler fixiert ist („Potentialsteuerung“). Wie groß ist das Verhältnis R1/R2
zu wählen, wenn der Feldstärkebetrag Ei am Innenleiter den Wert 20kV/cm nicht
überschreiten soll?
Unter Verwendung der Bezeichnungen aus der Skizze verläuft die radial gerichtete Feldstärke
d
d
im Bereich i < ρ < M gemäß
2
2
di
d ⎞
⎛
E (ρ ) = Ei 2
Ei = E ⎜ ρ = i ⎟
2⎠
ρ
⎝
Draus folgt
U1 =
dM
2
∫ E (ρ )dρ = E
i
di
2
di ⎛ d M
ln⎜
2 ⎜⎝ d i
⎞
⎟⎟ = 18,3897kV
⎠
und, mit der Spannungsteilerregel
R1 U1
U1
18,4kV
=
=
=
= 0,582
R2 U 2 U − U1 50kV − 18,4kV
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 161 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.32.
Teilkapazitäten dreier koaxialer Rohre
Zwischen den drei koaxialen, dünnwandigen Metallrohren aus der Skizze befinden sich
Dielektrika unterschiedlicher Permitivität. Berechnen Sie die längenbezogenen
Teilkapazitäten dieses Dreileitersystems.
Die längenbezogenen Teilkapazitäten Cik′ = Cki′ des Dreileitersystems sind durch
(1) Q1′ = C12′ U12 + C13′ U13
′ U 21 + C23
′ U 23
(2) Q2′ = C21
′ U 31 + C32
′ U 32
(3) Q3′ = C31
definiert. Sie lassen sich am bequemsten durch Herstellen spezieller Verbindungen
berechnen:
a)
U12 = U , U 23 = 0 ; Raum zwischen Rohren 2 und 3 feldfrei,
d.h. Q3′ = 0 . Rohre 1 und 2 bilden ein Zweileitersystem,
Q2′ = −Q1′ . Aus Gleichung (2) und (3) folgt damit
′ U bzw. 0 = −C31
′ U , also
− Q1′ = −C21
2πε 0
′ =
C12′ = C21
= 80,3 pF / m
⎛ D2 ⎞
ln⎜⎜ ⎟⎟
⎝ D1 ⎠
′ =0
C13′ = C31
b)
U12 = 0, U 23 = U ; Raum zwischen Rohren 1 und 2 feldfrei,
d.h. Q1′ = 0 . Rohre 2 und 3 bilden ein Zweileitersystem,
Q3′ = −Q2′ . Aus Gleichung (1) und (2) folgt damit 0 = C13U
′ U , also
bzw. Q2′ = C23
′ =0
C13′ = C31
′ = C32
′ =
C23
2πε 0ε r
= 343,0 pF / m
⎛ D3 ⎞
ln⎜⎜ ⎟⎟
⎝ D2 ⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 162 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.33.
Joule-Verluste in Blechteilen
In den in der Abbildung skizzierten Anordnung wird elektrischer Strom der Stärke I über zwei
sektorförmige Blechteile (Blechdicke δ, Kondunktivität γ) vom Innenleiter in den
rohrförmigen Außenleiter geführt. Leiten Sie eine Formel ab für die gesamten Joule-Verluste
in diesen Blechteilen.
Unter Annahme einer radialsymmetrischen Strömung in den Blechteilen (Skizze) mit der
Stromdichte
I
I
J = 2 =
= γE
ρ
δρ
π
πδρ
ρ
2
folgt für die Spannung zwischen Innen- und Außenrand
D/2
I
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
U = ∫ E ρ dρ =
πγδ ⎝ d ⎠
d /2
Die gesamten Joule-Verluste (beide Teile) sind daher
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
d
P = UI = ⎝ ⎠ I 2
πγδ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 163 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.34.
Stromführung über Metallplatte
In zwei Kreisbohrungen einer großen, dünnen Metallplatte ist je ein Kontaktbolzen
eingeschweißt (Skizze). Berechnen Sie allgemein den elektrischen Widerstand der Platte in
der Strombahn.
Aus dem Überlagerungsprinzip folgt mit den Bezeichnungen aus der Skizze für die
Stromdichte in einem allgemeinen Plattenpunkt
I ⎛⎜ e1 e2 ⎞⎟
−
J=
2πδ ⎜⎝ ρ1 ρ 2 ⎟⎠
und speziell entlang der Verbindungslinie C,
⎛
⎞
I ⎜ 1
1 ⎟
a−d
⎜
⎟e x , x ≤
+
J (x ) =
2πδ ⎜ a + x a − x ⎟
2
⎜
⎟
2
⎝2
⎠
Damit lässt sich über die Feldstärke E =
J
γ
die Spannung zwischen den Bolzen berechnen,
⎛
⎞
⎜ 1
1 ⎟
I
⎛ 2a − d ⎞
⎜
⎟dx =
+
ln⎜
U = ∫ E x dx =
⎟
∫
2πγδ a−d ⎜ a + x a − x ⎟
πγδ ⎝ d ⎠
a −d
−
−
⎜
⎟
2
2 ⎝ 2
2
⎠
a −d
2
I
a −d
2
R = U/I liefert schließlich unter Verwendung von d << a für den wirksamen Widerstand
⎛ 2a ⎞
ln⎜ ⎟
d
R= ⎝ ⎠
πγδ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 164 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.35.
Widerstand eines Engebereichs
Berechnen Sie näherungsweise den Widerstand des Engebereichs der in der Abbildung
(Längenmaße in mm) skizzierten Leiterbahn.
Der Gesamtwiderstand setzt sich zusammen aus dem Widerstand des Engebereichs + zweimal
dem Widerstand der Keilförmigen Leiterbahnen:
Unter Verzicht auf die genauere Beschreibung der Strömung in den Übergangsbereichen folgt
unter den Annahmen eines radialsymmetrischen Feldes und dem näherungsweisen Ersatz der
Trapeze durch Kreissektoren laut Skizze
J
I
I
Jρ =
, Eρ = ρ =
αρd …Querschnittsfläche
αρd
γ
γραd
tan (α ) = 0,5 → α = 0,464; d = 0,1mm
für die Teilspannung U1 und den zugehörigen Teilwiderstand R1 also
ρ
ρ2
⎛ρ ⎞
I 21
I
U1 = ∫ Eρ dρ =
dρ =
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
∫
γαd ρ1 ρ
γαd ⎝ ρ1 ⎠
ρ1
⎛ρ ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
ρ
U
R1 = 1 = ⎝ 1 ⎠ = 0,619mΩ
I
γαd
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 165 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
Der Widerstand des rechteckförmigen Mittelstücks (Skizze), berechnet in der Näherung eines
homogenen Strömungsfeldes, ist
l
R2 =
= 0,357 mΩ
γbd
Der Gesamtwiderstand des Engebereiches daher
R ≈ 2 R1 + R2 = 1,6mΩ
13.36.
Joule-Verluste in einer Hülse
In der in der Skizze gezeichneten Anordnung wird einer Platte über einen Bolzen und eine
kreiszylindrische Hülse (Innendurchmesser d, Außendurchmesser D, Länge l, Konduktivität
γ) Gleichstrom der Stärke I zugeführt. Leiten Sie eine Formel für den gesamten Joule-Verlust
in der Hülse ab.
Unter der Annahme einer radialsymmetrischen Stromverteilung in der Hülse unabhängig von
der Axialkoordinate (gerechtfertigt, wenn die Konduktivität des Hülsenmaterials deutlich
kleiner ist als die Konduktivität des Bolzenmaterials) folgt mit der Radialkoordinate ρ für die
Stromdichte und die Feldstärke
I
J
I
J=
eρ , E = =
e
2πρl
γ 2πργl ρ
und damit für die Spannung
D
2
U = ∫ Eρ dρ =
d
2
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
2πγl ⎝ d ⎠
I
Daher sind die Joule-Verluste
⎛D⎞
ln⎜ ⎟
d
P = UI = ⎝ ⎠ I 2
2πγl
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 166 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.37.
Grabenkondensator
In einer mikroelektronischen Grabenstruktur laut Skizze wird ein Kondensator wie angegeben
realisiert. Wie groß ist die längenbezogene Kapazität?
Die Kapazitätsbeläge der Grabenwände und des Grabenbodens sind
εb
2πε
CW′ ≈ , C B′ ≈
d
⎛a+d ⎞
n⎜
⎟
⎝ a ⎠
Zusammen ist
⎡
⎤
⎢ 2b
⎥
π
⎥
C ′ = 2CW′ + C B′ ≈ ε 0ε r ⎢ +
⎢ d ln⎛1 + d ⎞ ⎥
⎜
⎟
⎢⎣
⎝ a ⎠ ⎥⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
π
2⋅3
⎢
⎥ = 5,998 ⋅103 pF / m
≈ 8,854 pF / m ⋅10
+
⎛ 0,1 ⎞ ⎥
⎢ 0,1
ln⎜1 + ⎟ ⎥
⎢
⎝ 0,1 ⎠ ⎦
⎣
C ′ ≈ 6 pF / m
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 167 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.38.
Kapazitätsbeitrag einer Abschrägung
In der mikroelektronischen Struktur laut Skizze (Querschnitt) verläuft eine seitlich
abgeschrägte Leiterbahn parallel zu einem leitenden Halbraum (Modell). Der Beitrag Cs′ der
schrägen Seitenfläche zur längenbezogenen Kapazität ist näherungsweise zu berechnen.
Nehmen Sie dazu kreisbogenförmige Feldlinien an und bestimmen Sie den längenbezogenen
elektrischen Fluss Ψs′ . Das Dielektrikum ist isotrop mit der Dielektrizitätszahl ε r .
Mit der Annahme kreisbogenförmiger Feldlinien und den Bezeichnungen aus der Skizze folgt
aus der Spannung U = Eα αρ die Flussdichte
εU
, ε = ε 0ε r
Dα = εEα =
αρ
und daraus der längenbezogene elektrische Fluss
ρ2
εU ⎛ ρ 2 ⎞
ψ s′ = ∫ Dα dρ =
ln⎜⎜ ⎟⎟
α
⎝ ρ1 ⎠
ρ1
Über ψ s′ = Qs′ = Cs′U ergibt sich dann der Kapazitätsbelag der Abschrägung zu
Cs′ =
ε ⎛ h2 ⎞
ln⎜1 + ⎟
α ⎜⎝ h1 ⎟⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 168 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.39.
Kreiszylinder im Transversalfeld
Ein kreiszylindrisches Rohr aus leitfähigem Material wird in ein ursprünglich homogenes,
transversales elektrisches Feld großer Ausdehnung gebracht (Skizze). Geben Sie die
Ausdrücke für das resultierende Potential und die zugehörige Feldstärke an. Wo tritt der
Maximalwert auf und wie groß ist er? (Hinweis: Überlagern Sie das Feld eines Liniendipols
mit dem Homogenfeld.)
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze gilt für das Potential und die Feldstärke des
Liniendipols
p′ cos(ϑ )
p′ 2 cos(ϑ )eρ − e y
ϕ=
, E=
ρ2
2πε 0 ρ
2πε 0
und des Homogenfelds
ϕ = − E0 y = − E0 ρ cos(ϑ ), E = E0 e y
Die Überlagerung der beiden Potentiale liefert zunächst
⎛ p′ 1
⎞
− E0 ρ ⎟⎟ cos(ϑ )
ϕ = ⎜⎜
⎝ 2πε 0 ρ
⎠
Soll das Potential an der Kontur ρ = a verschwinden, muss p′ gemäß p′ = 2πa 2ε 0 E0
gewählt werden. Damit wird
⎧⎪ y ⎛ a ⎞ 2
⎡ ⎛ a ⎞2 ⎤
⎡ ⎛ a ⎞ 2 ⎤ ⎫⎪
ϕ = − E0 y ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥, E = E0 ⎨2 ⎜⎜ ⎟⎟ eρ + ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ e y ⎬
⎪⎩ ρ ⎝ ρ ⎠
⎣⎢ ⎝ ρ ⎠ ⎦⎥
⎣⎢ ⎝ ρ ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭
Der Maximalwert des Feldstärkebetrages tritt an den Erzeugenden ϑ = 0 und ϑ = π des
Zylinders ρ = a auf, E
= 2 E0 .
max
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 169 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.40.
Influenzierte Ladungsverteilung
Ein insgesamt ungeladenes, metallisches Kreiszylinderrohr wird in ein ursprünglich
homogenes, transversales elektrisches Feld großer Ausdehnung gebracht (Skizze). Für ρ > A
stellt sich dann die Feldstärke
⎧⎪ y ⎛ a ⎞ 2
⎡ ⎛ a ⎞ 2 ⎤ ⎫⎪
E (P ) = E0 ⎨2 ⎜⎜ ⎟⎟ eρ + ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ e y ⎬
⎢⎣ ⎝ ρ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ρ ⎝ ρ ⎠
ein. Berechnen Sie die durch Influenz auf dem Rohr entstehenden Ladungsverteilungen.
Es entsteht eine Flächenladungsverteilung an der äußeren Grenzfläche ρ = a . Der Rest des
Rohrs bleibt ladungsfrei.
ρ = a + : y = a sin (α ), E = E0 2 sin (α )eρ
Die zugehörige Flächenladungsdichte ist
σ = Dρ = 2ε 0 E0 sin (α )
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 170 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.41.
Rotationsellipsoid
Das elektrische Feld eines geladenen, gestreckten Rotationsellipsoids aus leitfähigem Material
(Halbachse a und b, Exzentrizität e = a 2 − b 2 / a ) im sonst leeren Raum lässt sich aus dem
Feld eines geladenen Geradenstücks ableiten.
iii)
Wie groß ist die Kapazität des Ellipsoids im leeren Raum
(Verallgemeinerung des Ausdrucks für eine Kugel)?
iv)
Das Ellipsoid besitze gegenüber dem weit entfernten Bezugsort φ = 0 die
Spannung U. Wie groß ist die Gesamtladung und wie groß sind die
Flächenladungsdichten in den Scheiteln und entlang des Gürtels?
Für ein gestrecktes Rotationsellipsoid (Skizze) gilt
r1 + r2 = L = const („Gärtnerkonstruktion“ einer
Ellipse), wenn r1 und r2 die Abstände eines
Punktes P von den Brennpunkten bedeuten. Liegt
P im Scheitel, so ist speziell r1 = a − l / 2 ,
r2 = a + l / 2 , also L = 2a . Für P am Gürtel ist
andererseits r12 = r22 = (l / 2) + b 2 , also
2
L = 2r1 = 2 (l / 2 ) + b 2 = 2a . Daraus folgt
2
a 2 − b 2 = (l / 2 ) oder, mit der Exzentrizität
2
e = a 2 − b 2 / a , die Beziehung l = 2ae .
i)
Die Potentialflächen eines gleichförmig geladenen, dünnen Stabes sind konfokale gestreckte
Rotationsellipsoide. Somit lässt sich das elektrische Feld eines elektrische leitfähigen,
geladenen gestreckten Rotationsellipsoids im Außenraum durch das Feld des geladenen
Stabes beschreiben. Aus
τ
Q
Q
Q
⎛ L+l ⎞
ϕ (P ) =
ln⎜
, ϕ (P ) = U =
⎟, τ = =
l 2ae
C
4πε 0 ⎝ L − l ⎠
folgt die gesuchte Kapazität
Q
e
τl
4πε 0 ⋅ 2ae
=
C= =
=
CK
U ϕ (P )
⎛ 2a + 2ae ⎞
+
e
1
ln⎜
⎟ ln
⎝ 2a − 2ae ⎠
1− e
wobei C K = 4πε 0 a die Kapazität einer Kugel mit dem Radius a angibt.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 171 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
ii)
Die Gesamtladung beträgt Q = CU . Der Ausdruck
E (P ) =
(
)
τ 2l e1 + e2 U
=
4πε 0 L2 − l 2
a
e1 + e2
1+ e 2
1 − e 2 ln
1− e
e
(
)
für die elektrische Feldstärke am Ellipsoid liefert die Flächenladungsdichten im Scheitel
wegen e1 + e2 / 2 = es zu
εU
e
σ S = ε 0 Es = 0
a
1+ e
1 − e 2 ln
1− e
(
)
(
)
(
)
und am Gürtel wegen e1 + e2 / 2 = 1 − e 2 eρ zu
σ G = ε 0 EG = 1− e 2 σ S
13.42.
Spiegelung einer Punktladung an einer Ebene
Vor einer leitfähigen Ebene befindet sich im leeren Raum die
Punktladung Q (Skizze).
Bestimmen Sie die Verteilung der influenzierten
i)
Oberflächenladungen.
Wie groß ist die Kraft auf die Punktladung nach
ii)
Betrag und Richtung („Spiegelkraft“)?
Das elektrische Feld im betrachteten Halbraum lässt sich
über die Anordnung von Ersatzladungen im leeren Raum
laut Skizze berechen („Spiegelungsmethode“):
Q ⎛⎜ eP1 eP 2 ⎞⎟
Q
E (P ) =
eP1 − eP 2
− 2 ⎟=
2
⎜
4πε 0 ⎝ rP1 rP 2 ⎠ 4πε 0 r 2
1
1
eP1 = − l ez + ρ eρ , eP 2 = l ez + ρ eρ
r
r
l
eP1 − eP 2 = −2 ez , r = l 2 + ρ 2
r
(
(
)
(
)
)
also ist in der Ersatzanordnung an der Ebene z = 0
Q
1
E ( P ) = E z ez , E z = −
3
2
2πε 0l
⎡ ⎛ ρ ⎞2 ⎤ 2
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ l ⎠ ⎥⎦
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 172 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
i)
In der ursprünglichen Anordnung gilt damit für die Flächenladungsdichte (Skizze)
Q
σ0
σ = ε 0 Ez = −
, σ0 =
3
2πl 2
⎡ ⎛ ρ ⎞2 ⎤ 2
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ l ⎠ ⎥⎦
ii)
Wegen der Gleichwertigkeit der elektrischen Felder der ursprünglichen Anordnung und der
Ersatzanordnung im Bereich z > 0 ist die gesuchte Kraft direkt über das Coulomb-Gesetz zu
berechen:
Q1Q2
Q2
=
−
=
F1 =
e
F
e
,
F
1 z
1
2 z
16πε 0l 2
4πε 0 (2l )
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 173 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.43.
Spiegelung einer Punktladung an einer Kugel
An den Orten 1 und 2 im leeren Raum befinden sich Punktladungen Q1 bzw. Q2 (Skizze).
Zeigen Sie, dass die Kugel K eine Potentialfläche (φ = 0) darstellt, falls die
i)
Beziehungen a = bc Q1 = − c / bQ2 gelten.
ii)
Setzen Sie nun eine dritte Punktladung Q3 = -Q1 in den Kugelmittelpunkt 0.
Außerhalb von K ergibt sich dann das elektrische Feld einer Punktladung (Q2) vor
einer leitfähigen, insgesamt ungeladenen Kugel. Geben Sie die Verteilung der auf
der Leiterkugel influenzierten Flächenladung für den Fall b = 2a an (Rechnung
und Skizze).
Bestimmen Sie die Kraft zwischen der ungeladenen Leiterkugel und der
iii)
Punktladung als Funktion des Abstandes d = b – a (Skizze, Vergleich mit
Coulomb-Kraft).
i)
Aus der Skizze folgt
1 ⎛ Q1 Q2 ⎞
⎜ +
⎟
ϕ (P ) =
4πε 0 ⎜⎝ rP1 rP 2 ⎟⎠
ϕ (P ) = 0 bedeutet demnach
1 ⎞
Q1 Q2 ⎛
c 1
⎟Q2 = 0
+
= ⎜⎜ −
+
rP1 rP 2 ⎝
b rP1 rP 2 ⎟⎠
rP1
c
=
= const definiert nun als geometrischen Ort der Punkt in der Ebene
rP 2
b
einen Kreis, im Raum eine Kugel. Aus der speziellen Lage P = P0,
rP1 a − c
c
=
=
rP 2 b − a
b
Die Beziehung
folgt schließlich die Beziehung a = bc
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 174 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
ii)
Ohne Zusatzladung Q3 in 0 (Skizze) gilt mit
a
Q1 = −Q , Q2 = 0 für die Feldstärke
b
Q ⎡ a cos(α1 ) cos(α 2 ) ⎤
E (P ) = Er er , Er = −
−
⎢
⎥
4πε 0 ⎣ b r12
r22 ⎦
Aus den geometrischen Beziehungen
r12 = a 2 + c 2 + 2ac cos(ϑ )⎫⎪ c 2 = r12 + a 2 − 2r1a cos(α1 )
⎬ 2
2
2
r22 = a 2 + b 2 + 2ab cos(ϑ )⎪⎭ b = r2 + a − 2r2 a cos(α 2 )
folgt
a = r1 cos(α1 ) − c cos(ϑ ) ⎫
a2
a
, r1 = r2
c
=
⎬
a = r2 cos(α 2 ) − b cos(ϑ )⎭
b
b
und damit
Q b2 − a 2
Er = −
4πε 0 ar23
a
in 0 ist dann
b
Q ⎛ a 1 b2 − a 2 ⎞
Q ⎡ (b − a )b(b + a ) ⎤
⎜⎜
⎟⎟ =
−
Er =
⎢1 −
⎥
2
3
4πε 0 ⎝ b a
ar2 ⎠ 4πε 0 ab ⎣
r23
⎦
wobei
Mit Zusatzladung Q3 = −Q1 = Q
r2 = a 2 + b 2 + 2ab cos(ϑ )
Für b = 2a gilt speziell
r2 = a 5 + 4 cos(ϑ )
Die gesuchte Flächenladungsdichte auf der Kugel folgt dann aus σ = ε 0 Er zu
⎤
5 Q
1⎡
6
⎢
− 1⎥, σ 0 = −
σ = σ0
3
8 πa 2
5 ⎢ [5 + 4 cos(ϑ )]2 ⎥
⎣
⎦
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 175 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
iii)
Die Kraft F2 = Fz ez an der Ladung im Punkt 2 lässt sich aus der Coulomb-Wechselwirkung
des Ersatzladungssystems berechnen. Aus
1 ⎡ Q1Q2
Q2Q3 ⎤
Q2 a ⎡ 1
1⎤
Fz =
−
−
=
− 2⎥
⎢
⎢
2
2
2 ⎥
4πε 0 ⎣ (b − c )
b ⎦ 4πε 0 b ⎣ (b − c ) b ⎦
folgt
2
Q 2 a 3 (a + d ) + d (2a + d )
Fz =
, d =b−a
4πε 0 (a + d )3 (2a + d )2 d 2
oder
(1 + δ )2 + (2 + δ )δ , F = Q , δ = d
Fz = F0
0
4πε 0 a 2
a
(1 + δ )3 (2 + δ )2 δ 2
[
]
Bei kleinen und großen Abständen gilt
1
d << 1 : Fz ≈ F0
(2δ )2
2
d >> 1 : Fz ≈ F0 5
δ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 176 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.44.
Maximalspannung einer Metallkugel
Auf einer Isolatorsäule sitzt eine Metallkugel (Skizze), die gegenüber Erde die Spannung U =
2MV aufnehmen soll. Wie groß muss der Kugeldurchmesser mindestens sein?
(Durchschlagsfeldstärke der Luft ca. 30kV/cm)
Annahme: Die Kugel ist so weit vom Boden (und anderen leitenden Körpern) entfernt, dass
sich die Ladung annähernd gleichförmig über die Kugeloberfläche verteilt. Ist die
U
d
mit dem Kugelradius a =
Isolatorsäule elektrische nicht polarisiert, so folgt aus Er =
a
2
2U
2 ⋅ 2MV
d min =
=
= 1,33m
Ermax 30kV / cm
Überprüfung der Annahme (Skizze):
2
Q
Q
Q ⎡ ⎛ a ⎞ ⎤
+
=
Er ( P ) ≈
⎟ ⎥
⎢1 + ⎜
4πa 2 4π (2h + a )2 4πa 2 ⎣⎢ ⎝ 2h + a ⎠ ⎦⎥
Die Abweichung von der Kugelsymmetrie durch den zweiten
Term in der eckigen Klammen beträgt nur etwa 1%. Die
Näherung ist daher gerechtfertigt.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 177 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.45.
Schrittspannung
Wie tief muss der isoliert gespeiste Kugelerder K aus der Skizze mindestens eingegraben sein,
damit die Schrittspannung US im Abstand h / 2 (Ort der größten Tangentialfeldstärke ES)
für den angegebenen Fall den Wert 30V nicht übersteigt?
Ersatzordnung nach Skizze: Zwei Punktquellen gleicher Stärke im ganzen Raum konstanter
Leitfähigkeit γ. Aus der Stromdichte und der Feldstärke im betrachteten Punkt
I
1
I
Js =
, Es = J s =
2
γ
3 3πh
3 3πγh 2
ergibt sich mit
U
30V
Es ≈
=
= 37,5V / m
Δs 0,8m
die erforderliche Tiefe
I
h=
≈ 18,1m
3 3πγEs
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 178 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.46.
Kräfte an Punktladungen
Vor einer leitfähigen Schicht befinden sich gemäß der Skizze zwei entgegengesetzt gleiche
Punktladungen. Berechnen Sie allgemein die Kräfte auf die beiden Ladungen nach Betrag und
Richtung.
Die gesuchten Kräfte lassen sich über die Ersatzanordnung (Skizze) im leeren Raum aus dem
Coulomb-Gesetz berechnen. Es gilt
ey
ex + e y ⎤
Q 2 ⎡ ex
Q2
2 2 − 1 ⎛⎜ ex + e y ⎞⎟
F1 =
−
+
=
−
⎢−
2
2
2⎥
2
4πε 0 ⎣⎢ (2a ) (2a )
2 ⎜⎝
2 ⎟⎠
2 2 ⋅ 2a ⎦⎥ 4πε 0 (2a )
also
F1 = F e1 , F2 = F e2
mit dem Betrag
2 2 −1
Q2
F=
2
2
4πε 0 (2a )
und den Richtungen (Einsvektoren)
e +e
e +e
e1 = − x y , x y
2
2
(
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
)
Seite 179 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.47.
Draht vor Metallplatte
In der Anordnung laut Skizze verläuft ein gerader Metalldraht parallel zu einer Metallplatte.
Zwischen diesen beiden Leitern liegt eine elektrische Spannung von 5kV. Berechnen Sie den
Maximalwert des Betrages der elektrischen Feldstärke an der Platte.
Ersatzanordnung laut Skizze: Zwei dünne,
parallele Drähte im leeren Raum. Daraus folgt
Q′
E0 = − E0 ez , E0 = 2
2πε 0 h
Der Ladungsbelag ist aus
2πε 0
Q′ = C ′U , C ′ =
⎛ 4h ⎞
ln⎜ ⎟
⎝ d ⎠
zu berechnen, also
2U
2 ⋅ 5kV
E0 =
=
= 1,36kV / cm
⎛ 4h ⎞ 2cm ln (40 )
h ln⎜ ⎟
⎝ d ⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 180 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.48.
Feldstärke an einem Erdseil
Die Grafik zeigt ein parallel zur Erdoberfläche verlaufendes, geerdetes Leiterseil, d.h. die
Spannung zwischen der Leitung und Erde ist Null. Nehmen Sie das ungestörte elektrische
Erdfeld mit 130V/m an und berechnen Sie näherungsweise die elektrische Feldstärke an der
Oberfläche des Erdseils.
Ersatzanordnung laut Skizze: Zwei parallele, längenbezogen
mit ± Q1′ geladene Leiterseile im leeren Raum. Die
Spannung 2U1 zwischen den Seilen wird so gewählt, dass
sich nach Überlagerung des ursprünglichen Homogenfeldes
die Spannung Null ergibt, also 2U1 = E0 2h . Für die
Ersatzanordnung gilt dann
− Q1′ = C ′ ⋅ 2U1 =
πε 0
E0 2h
⎛ 4h ⎞
ln⎜ ⎟
⎝ d ⎠
und somit für die Feldstärke am oberen Leiterseil (d << h)
Q1′
2h E0
E1 =
=−
≈ −62kV / m
d
d ⎛ 4h ⎞
2πε 0
ln⎜ ⎟
2
⎝ d ⎠
Wegen E1 >> E0 ist dies bereits die gesuchte Feldstärke an der Oberfläche des Erdseils.
Obwohl das Seil geerdet ist, stellt sich demnach an seiner Oberfläche ein erheblicher
Feldstärkebetrag ein.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 181 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.49.
Doppelleitung über dem Erdboden
Zwei Leitungen mit Kreisquerschnitt (Durchmesser d = 20mm) verlaufen laut Abbildung
parallel zueinander im Abstand D = 2m in einer Höhe h = 4m über dem Erdboden.
Wie groß sind die Teilkapazitäten?
i)
Zwischen den Leitern liegen die Spannungen U12 = U = 30kV, U10 = -U20 = U/2.
ii)
Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke am Boden.
Ersatzanordnung im leeren Raum laut Skizze mit den Ersatz-Linienladungen τ1 und τ2.
i)
Wir der Feldpunkt P an die Leiter 1 bzw. 2 gelegt, so liefert dies die Potentialwerte
⎛ (2h )2 + D 2 ⎞⎤
1 ⎡
4h
⎟⎥
⎢τ 1, 2 ln⎛⎜ ⎞⎟ + τ 2,1 ln⎜
ϕ1, 2 =
⎜
⎟⎥
d
D
2πε 0 ⎢
⎝ ⎠
⎝
⎠⎦
⎣
Aus der Definition der längenbezogenen Teilkapazitäten
′ U 20 + C21
′ U 21
τ 1 = C10′ U10 + C12′ U12 , τ 2 = C20
′ die Ausdrücke
′ , C12′ = C21
folgen mit C10′ = C20
τ +τ
τ −τ
C10′ = 1 2 , C10′ + 2C12′ = 1 2
ϕ1 + ϕ 2
ϕ1 − ϕ 2
und daraus mit obigen Potentialwerten
2πε 0
′ =
C10′ = C20
= 6,87 pF / m
⎡ 4h ⎛ 2h ⎞ 2 ⎤
ln ⎢
⎜ ⎟ + 1⎥
⎢d ⎝D⎠
⎥
⎣
⎦
⎡ ⎛ 2h ⎞ 2 ⎤
2πε 0 ln ⎢ ⎜ ⎟ + 1⎥
⎥
⎢ ⎝D⎠
⎦
⎣
′
′
C12 = C21 =
= 1,85 pF / m
⎡
⎤
4h
⎥
⎡ 4h ⎛ 2 h ⎞ 2 ⎤ ⎢
⎢
⎥
d
ln ⎢
⎜ ⎟ + 1⎥ ln ⎢
⎥
2
⎢d ⎝D⎠
⎥ ⎢ ⎛ 2h ⎞
⎥
⎣
⎦
+
1
⎜ ⎟
⎢⎣ ⎝ D ⎠
⎥⎦
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 182 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
ii)
Die Ersatzanordnung liefert mit den
Bezeichnungen aus der Skizze
τ 2h τ 2 2h
−
E ( P ) = E z ez , E z = − 1
2πε 0 ρ12 2πε 0 ρ 22
wobei τ 2 = −τ 1 und
2
D⎞
D⎞
⎛
⎛
ρ = h + ⎜ x + ⎟ , ρ 22 = h 2 + ⎜ x − ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
2
1
2
2
also
⎡
⎤
⎢
⎥
τ 2h
1
1
⎥ = τ1
−
Ez = 1 ⎢
2
2
2πε 0 ⎢ 2 ⎛
D⎞
D ⎞ ⎥ 2πε 0
⎛
2
⎢h + ⎜ x − ⎟ h + ⎜ x + ⎟ ⎥
2⎠
2⎠ ⎦
⎝
⎝
⎣
4hDx
2
⎡⎛
⎤ ⎡⎛
⎤
D⎞
D⎞
2
2
⎢⎜ x + ⎟ + h ⎥ ⎢⎜ x − ⎟ + h ⎥
2⎠
2⎠
⎣⎢⎝
⎦⎥ ⎣⎢⎝
⎦⎥
2
Nach Einführung der bezogenen Koordinate ξ und der bezogenen Höhe η
x
h
ξ=
, η=
D/2
D/2
lässt sich das Ergebnis in der Form
16ηξ
τ1
E z = E0
, E0 =
2
2
2
2
2πε 0 D
(ξ + 1) + η (ξ − 1) + η
[
][
]
schreiben. Im vorliegenden Beispiel ist η = 4
C′ U
⎛ C′
⎞
τ 1 = 10 + C12′ U = ⎜ 10 + C12′ ⎟U = 0,159µC / m
2
⎝ 2
⎠
und damit E0 = 1,43kV / m .
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 183 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
13.50.
Drahtring vor Platte
Parallel zur einer leitfähigen Platte liegt eine kreisförmige Drahtschleife (Skizze). Die
Kapazität der Anordnung ist C = 1,5pF. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke in P nach
Betrag und Richtung.
Die Ersatzanordnung im leeren Raum (Skizze) – zwei koaxiale entgegengesetzt gleichförmig
geladene Kreisschleifen – liefert für die gesuchte Feldstärke zunächst
− ez cos(α ) + eρ sin (α )
τ
τ cos(α )
E (P ) = 2
Dπ ez
=−
2
∫
r
4πε 0 C
2πε 0 r 2
Mit
2
h
⎛D⎞
Q = τDπ = CU , r = h 2 + ⎜ ⎟ = 21,2mm, cos(α ) =
r
⎝2⎠
folgt dann
CU h
E (P ) = −
ez = −339kV / mez
2πε 0 r 3
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 184 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14. Globale und lokale Eigenschaften elektrischer Felder
14.1.
Flächenladungsdichte
An der Grenzfläche eines stromfreien Leiters zu
einem Dielektrikum mit ε r = 2,3 herrscht die
elektrische Feldstärke
E = − 30ex + 40e y − 20ez kV / m Wie groß ist dort
der Betrag der Flächenladungsdichte?
(
)
An einem stromfreien Leiter liegt die elektrische Feldstärke notwendig senkrecht zur
Oberfläche (Skizze), Et = 0 . Daraus folgt
En = ± E x2 + E y2 + E z2 = ±53,85kV / m
σ = Dn = ε 0ε r En = ±1,097 ⋅10 −6 C / m 2
also σ = 1,10 µC / m 2
14.2.
Elektrisches Feld an einer Grenzfläche
Der Halbrum z < 0 sei von einem Dielektrkum
mit ε r = 2 ausgefüllt; er herrsche dort die
elektrische Feldstärke
E = − 30ex + 40e y − 20ez kV / m . Bestimmen Sie
die Feldstärke im angrenzenden Halbraum z > 0,
wenn sich dort ein Dielektrikum mit ε r = 6,5
befindet und die Grenzfläche Ladungsfrei ist.
(
)
An der Grenzfläche z = 0 (Skizze) liefert die Sprungbedingung Et = 0
(
)
Et− = − 30ex + 40e y kV / m = Et+
Aus der Sprungbedingung D = 0 folgt weiters, zusammen mit den Materialgleichungen
±
±
D =ε±E
Dn− = ε − En− = Dn+ = ε + En+
wegen en = ez also
2
ε− −
Ez = −
20kV / m = −6,15kV / m
+
ε
6,5
Insgesamt ist demnach
E z+ =
+
(
)
E = − 30ex + 40e y − 6,15ez kV / m
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 185 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.3.
Stromübertritt zwischen Metallen
Durch eine Kontaktfläche zwischen Kupfer (γ = 58m / (Ωmm 2 )) und
Messing (γ = 14m / (Ωmm 2 )) tritt elektrischer Strom der Dichte 200 A / cm 2 .
Wie groß ist die sich einstellende Flächenladungsdichte? Nehmen Sie die
Permitivitätszahlen beider Metalle zu 1 an und machen Sie den
Zusammenhang zwischen der Stromrichtung und dem Vorzeichen der
Flächenladungsdichte deutlich.
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze folgt aus der Sprungbedingung zum Satz von der
Erhaltung der elektrischen Ladung (stationärer Fall, σ& = 0 ), aus dem lokalen Ohmschen
Gesetz und aus der Sprungbedingung zum Satz vom elektrischen Hüllenfluss
en J = 0 : J n1 = J n 2 = J n
J = γ E : J n = γ 1 En1 = γ 2 En 2
⎛1
σ = en D = ε 0 (En 2 − En1 ) = ε 0 ⎜⎜
⎝γ2
−
1⎞
⎟J
γ 1 ⎟⎠ n
Bei Stromübertritt vom besser zum schlechter leitenden Metall ist die Flächenladungsdichte
positiv. Ist im vorliegenden Kontakt (1) Kupfer und (2) Messing, so gilt
⎛1 1⎞
pF ⎛ 1 1 ⎞ Ωmm 2
A
C
⋅ 200 2 = 0,960 p 2
σ = ε 0 ⎜⎜ − ⎟⎟ J n = 8,854
⎜ − ⎟
m ⎝ 14 58 ⎠ m
cm
m
⎝γ2 γ2 ⎠
14.4.
Sprung der elektrischen Feldstärke
Auf der einen Seite der Grenzfläche zwischen
zwei schwach leitfähigen Dielektrika (Skizze)
ist die elektrische Feldstärke
E1 = E1x ex + E1 y e y + E1z ez
bekannt. Berechnen Sie daraus die Feldstärke
E2 auf der anderen Seite der Grenzfläche im
stationären Zustand.
Mit der Normalenrichtung en = e y gilt im stationären Fall (σ& = 0 )
Et = 0 → E2 x = E1x , E2 z = E1z
J n = J 2 y − J1 y = γ 2 E2 y − γE1 y = 0
insgesamt also
E2 = E1x ex +
γ1
E e + E1z ez
γ 2 1y y
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 186 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.5.
Metallkugel in Grenzfläche
In der Grenzfläche zweier ausgedehnter dielektrischer Körper ist laut Skizze eine Metallkugel
platziert. Berechnen Sie deren Kapazität gegenüber der weit entfernten zweiten Elektrode.
Mit dem Ursprung im Kugelmittelpunkt gilt wegen der Radialsymmetrie und der Bedingung
Et = 0
K
r2
wobei K = const im ganzen Feldraum. Aus
∞
K
K
U = ∫ 2 dr =
d /2
d r
E = Er er , Er =
2
Ud
für die von der Kugel ausgehenden elektrischen Teilflüsse also
2
x < 0 : ψ 1 = 2πr 2 Dr = 2πε1Ud / 2
folgt dann K =
x > 0 : ψ 2 = 2πr 2 Dr = 2πε 2Ud / 2
Damit ist
d
Q = ψ 1 + ψ 2 = 2π (ε 1 + ε 2 ) U = CU
2
C = π (ε 1 + ε 2 )d
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 187 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.6.
Kondensator mit inhomogenen Dielektrikum
Das Dielektrikum des in der Abbildung skizzierten Kondensators besteht aus zwei
unterschiedlichen, schwach leitfähigen Schichten.
Geben Sie eine Ersatzschaltung aus idealen Kondensatoren und Widerständen an.
i)
Es liegt (über lange Zeit) eine Gleichspannung U = 220V an den Klemmen. Geben
ii)
Sie die elektrischen Feldstärken in den beiden Schichten
a. unter Vernachlässigung
b. unter Berücksichtigung der Leitfähigkeit an.
Die lang anliegende Gleichspannungsquelle wird vom Kondensator getrennt und
iii)
die Kondensatorklemmen werden kurzzeitig kurzgeschlossen. Wie ist der
Zeitverlauf der Spannung zwischen den wieder offenen Klemmen?
i)
C1 =
C2 =
ε r1ε 0 A
l1
ε r 2ε 0 A
l2
= 3,54 µF , R1 =
= 8,85µF =
l1
= 2,50 MΩ
γ1A
5
l
1
C1 , R2 = 2 = 1,25MΩ = R1
2
γ2A
2
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 188 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
ii)
a) Unter Vernachlässigung der Leitfähigkeiten
C2
V
1 U
εr2
U1 =
U=
U , E1 =
= 15,7 M
ε
C1 + C2
m
ε r1 + ε r 2
1 + r1 l1
εr2
U2 =
C1
V
1 U
ε r1
U=
U , E2 =
= 6,3M
ε
C1 + C2
m
ε r1 + ε r 2
1 + r 2 l2
ε r1
b) Unter Berücksichtigung der Leitfähigkeiten
R1
1 U
V
γ2
U1 =
U=
U , E1 =
= 14,7 M
γ
R1 + R2
m
γ1 + γ 2
1 + 1 l1
γ2
R2
1 U
V
γ1
U2 =
U=
U , E2 =
= 7,3M
γ
R2 + R1
m
γ1 + γ 2
1 + 2 l2
γ1
iii)
Lange Zeit nach dem Anlegen der Gleichspannung U = 220V ist
R1
R2
U1− =
U = 147V , U 2− =
U = 73V
R1 + R2
R2 + R1
Unmittelbar nach dem Kurzschluss bleibt − Q1 + Q2 erhalten (Skizze), d.h., mit U1+ + U 2+ = 0
Q1 − Q2 = C1U1− − C2U 2− = C1U1+ − C2U 2+ = (C1 + C2 )U1+
Daraus folgt
U1+ = −U 2+ =
C1U1− − C2U 2− τ 1 − τ 2
=
U = −10,51V
C1 + C2
τ
mit
ε1
= 8,85s
γ1
ε
τ 2 = R2C2 = 2 = 11,07 s
γ2
τ = (R1 + R2 )(C1 + C2 ) = 46,46s
τ 1 = R1C1 =
Skizze der Zeitverläufe: U1 und U2 klingen exponentiell mit den Zeitkonstanten τ1 bzw. τ2 ab.
Nach dem Kurzschluss kann sich demnach für τ 1 ≠ τ 2 zwischen den wieder offenen Klemmen
des Kondensators eine nicht unerhebliche Spannung aufbauen, die allmählich wieder
verschwindet.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 189 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.7.
Restspannung eines Kondensators
Bei einem Kondensator laut Skizze (aktive Fläche A = 3,5m², Elektrodenabstand d = 1mm)
befindet sich zwischen dem schwach leitfähigen Dielektrikum (ε r = 10; γ ≈ 10−12 S / m ) und
einer Elektrode eine leere Schicht (Dicke δ = 0,1mm).
i)
Geben Sie eine Ersatzschaltung mit idealen Kondensatoren und Widerständen an.
An den ungeladenen Kondensator wird die Gleichspannung U =500V gelegt.
ii)
Geben Sie den Zeitverlauf der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum und in der
leeren Schicht an.
Der Kondensator liegt lange Zeit an U = 500V. Dann werden die Klemmen von
iii)
der Quelle getrennt und kurzzeitig miteinander verbunden (Kurschluss). Geben Sie
den Zeitverlauf der Spannung zwischen den wieder offenen Klemmen an.
i)
ε rε 0 A
= 0,344 µF
d −δ
d −δ
R1 =
= 257 MΩ
γA
ε A
C2 = 0 = 0,310 µF
δ
C1 =
ii)
Unmittelbar nach dem Anlegen der Spannung stellen sich Teilspannungen und damit
Feldstärken ein gemäß
C2
U1
V
U1 =
U = 237V , E1 =
= 0,263M
C1 + C2
d −δ
m
U2 =
C1
U
V
U = 263V , E2 = 2 = 2,63M = 10 E1
δ
C1 + C2
m
Lange Zeit nach dem Anlegen der Spannung findet keine Umladung mehr statt I R = 0 →
U1 = 0, E1 = 0
U 2 = 500V , E2 =
U2
δ
= 5,0 M
V
m
Der Übergang zwischen dem Anfangszustand und dem Endzustand erfolgt nach
Exponentialfunktionen mit der Zeitkonstanten τ = R1 (C1 + C2 ) = 168s
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 190 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
iii)
Vor dem Kurzschluss ist
U1− = 0, U 2− = U = 500V
Während des (kurzzeitigen) Kurzschlusses ändert sich Q1 − Q2 nicht. Somit gilt, wegen
U1+ + U 2+ = 0
Q1 − Q2 = C1U1− − C2U 2− = C1U1+ − C1U 2+ = (C1 + C2 )U1+
U1+ = −U 2− = −
C2
U = −237V
C1 + C2
Anschließend bleibt der Wert von Q2 und damit U 2 = U 2+ = 237V erhalten, während U1 mit
der Zeitkonstanten τ 1 = R1C1 = 88,4 s verschwindet (Skizze)
Kommentar: Kurzzeitiges „Entladen“ des Kondensators reicht nicht aus. Die Spannung an
den Klemmen kehrt wieder!
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 191 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.8.
Halbleiterübergang
An der Grenze zwischen zwei unterschiedlich dotierten Halbleitern bildet sich eine
Raumladungszone, vereinfacht durch den in der Skizze angegebenen Verlauf der
Ladungsdichte ρ(x). Die Raumladungszone ist insgesamt neutral, d.h. ρ + l + + ρ −l − = 0 .
Skizzieren Sie den dazugehörigen Verlauf der Feldstärke und des Potentials (für konstante
Permitivität).
In den raumladungsfreien Bereichen – sie entsprechen stromfreien Leitern – ist E = 0, D = 0 .
Anwenden des Satzes vom elektrischen Hüllenfluss liefert
− l − < x < 0 : Dx = ρ − (l − + x )
0 < x < l+ :
(
Dx = ρ − l − + ρ + x = − ρ + l + − x
)
und es gilt
dDx
dϕ
= ρ,
= − Ex
dx
dx
Verlauf der Feldstärke E x =
Dx
ε
und des
Potentials laut Diagramm.
ρ +l +
ρ −l −
E0 =
=−
ε
ε
+ +
ρ l + −
ρ −l − + −
(
(l + l )
l +l )= −
ϕ1 =
2ε
2ε
ρ− −
(l + x )
− l − < x < 0 Ex =
ε
ρ+ +
+
E
=
−
(l − x )
0< x<l
x
ε
[[Dx ]] = σ = 0
dϕ
Potential:
dx
= − Ex
ϕ (x = l − ) = 0
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
ϕ (x = l + ) = ϕ1
Seite 192 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.9.
Dielektrische Schicht mit Raumladungszone
Eine dielektrische Schicht der Dicke l ist laut Skizze beidseitig mit
metallischen Elektroden belegt, zwischen denen die elektrische
Spannung U angelegt wird. Vor einer der beiden Elektroden stellt sich
einen Raumladungszone der Dicke lR ein. Die Anordnung ist insgesamt
ungeladen.
Berechnen Sie allgemein die Werte der Flächenladungsdichte
i)
an den beiden Elektroden.
Berechnen und skizzieren Sie die Verläufe der Flussdichte
ii)
D(x), der Feldstärke E(x) und des Potentials φ(x) für ρR < 0.
i)
Anwenden des Satzes vom elektrischen Hüllenfluss (Skizze)
liefert mit D = Dx ex , E = E x ex für die beiden Bereiche
0 < x < lR : Dx = σ 1 + ρ R x
l R < x < l : Dx = σ 1 + ρ R l R
Aus E x =
Dx
ε
l
und U = ∫ E x dx =
0
1⎡
⎛ l ⎞⎤
σ 1l + ρ R lR ⎜ l − R ⎟⎥ folgt
⎢
ε⎣
2 ⎠⎦
⎝
ε
⎛ l ⎞
− ⎜1 − R ⎟lR ρ R
l ⎝ 2l ⎠
und über die Neutralitätsbedingung σ 1 + ρ R lR + σ 2 = 0
εU lR
σ2 = −
− lR ρ R
l
2l
σ1 =
ii)
Verläufe für ρ R < 0 in der Skizze
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 193 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.10.
Kondensator mit verschiebbarem Dielektrikum
Zwischen den Elektroden eines Plattenkondensators laut Skizze ist eine Platte aus isotropem,
nichtlinear dielektrischem Material verschiebbar angeordnet. Geben Sie die Ladung an als
Funktion der Verschiebung x, 0 ≤ x < b , und der Spannung U. Vernachlässigen Sie
Randeffekte.
Unter Vernachlässigung der Randstörungen ist im ganzen Feldraum zwischen den Platten
U
(Skizze) E =
und damit
d
D1 = ε 0 E = σ 1
(
)
D2 = ε 0ε r 1 + αE 2 E = σ 2
Die Gesamtladung ergibt sich daraus zu
2
⎡
ε 0 ab ⎧⎪ x
⎛ U ⎞ ⎤⎛ x ⎞⎫⎪
Q = axσ 1 + a (b − x )σ 2 =
⎨ + ε r ⎢1 + α ⎜ ⎟ ⎥⎜1 − ⎟⎬U , 0 ≤ x < b
d ⎪⎩ b
⎝ d ⎠ ⎥⎦⎝ b ⎠⎪⎭
⎢⎣
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 194 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.11.
Kapazitive Dickenkontrolle
Zur Kontrolle der Dicke einer Papierbahn wird ein Plattenkondensator (Elektrodenfläche
0,4m², Elektrodenabstand 1mm) verwendet. Dazu wird die Papierbahn (ε r = 2,3) durch den
Feldraum gezogen. In welchem Intervall bewegt sich die Kapazität, wenn die Papierdicke mit
± 10% um den Nennwert d = 0,2mm schwankt?
Mit den Bezeichnungen aus der Skizze ist ohne Berücksichtigung von Randstörungen
ε A
C1 = 0
l −δ
εε A
C2 = 0 r
δ
C=
C0
⎞δ
⎟⎟
⎠l
A
wobei C0 = ε 0 = 3,54nF . Weiters gilt für
l
⎛
1 ⎞δ
δ = 1,1d = 0,22mm : 1 − ⎜⎜1 − ⎟⎟ = 0,876
⎝ εr ⎠ l
⎛
1
1 − ⎜⎜1 −
⎝ εr
⎛
1 ⎞δ
δ = 0,9d = 0,18mm : 1 − ⎜⎜1 − ⎟⎟ = 0,898
⎝ εr ⎠ l
Die Kapazität schwankt daher zwischen den Werten
Cmin = 3,94nF
Cmax = 4,04nF
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 195 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.12.
Feldstärke in Raumladungsschicht
Zwischen zwei kurzgeschlossenen, elektrisch sehr gut leitfähigen Elektroden befinde sich
gemäß Skizze eine isolierende Schicht, die eine konstante Raumladungsdichte trägt.
Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke im Bereich 0 < x < 3l.
Anwenden des Satzes vom elektrischen Hüllenfluss (Skizze) liefert mit D = Dx ex , E = E x ex
D x = σ 1 + ρx′
Ex =
1
ε
(σ 1 + ρx′)
Aus der Sprungbedingung
l
1⎛
1
⎞
U = ∫ E x dx′ = ⎜ σ 1l + ρl 2 ⎟ = 0
ε⎝
2
⎠
0
lassen sich zusammen mit der Neutralitätsbedingung σ 1 + ρl + σ 2 = 0 die
Flächenladungsdichten berechnen:
1
σ 1 = σ 2 = − ρl
2
Somit ist
ρl ⎛ x ′ ⎞
Ex =
⎜ 2 − 1⎟
2ε ⎝ l
⎠
oder, unter Verwendung der ursprünglichen Längenkoordinate x,
⎛ 2x ⎞
E x = E0 ⎜ − 3 ⎟, l < x < 2l
⎝ l
⎠
wobei
V
V
ρl
= 11,29k = 11,29M
E0 =
2ε 0
m
µm
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 196 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.13.
Ladungsaufteilung
Das in der Anordnung laut Skizze zwischen den beiden Metallbelägen befindliche
Dielektrikum besteht aus zwei Schichten. Die eine Schicht ist schwach leitfähig, die andere
sehr gut isolierend. An die Elektrode wird eine Gleichspannung U gelegt. Wie groß sind
jeweils die Ladungen, die sich nach langer Zeit auf den Metallbelägen einstellen? Was
bedeutet hier „nach langer Zeit“?
Bezeichnungen laut Skizze. Lange Zeit nach dem Anlegen der Spannung ist
IR = 0
U 2 = RI R = 0
U1 = U
und damit
Q2 = C2U 2 = 0
Q1 = C1U =
ε 0ε r1 A
l1
U = 0,44µC
„lange Zeit“ bedeutet hier
t > 5τ = 5 R(C1 + C2 ) = 5
⎞
ε 0 ⎛ l2
⎜⎜ ε r1 + ε r 2 ⎟⎟ = 719 s = 12 min
γ 2 ⎝ l1
⎠
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 197 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.14.
Raumladungswolke
Vor einer negativ geladenen Leiteroberfläche befinde sich eine Wolke positiv geladener Ionen
(Skizze). Der Verlauf des Potentials werde durch ϕ ( x) = ϕ0 e − x / λD mit ϕ0 = −100V und einer
Debye-Länge λD = 10 µm beschrieben.
i)
Skizzieren Sie maßstabgerecht den Verlauf des Potentials und der Feldstärke als
Funktion von x.
Geben Sie Betrag, Richtung und ort der maximalen Feldstärke an.
ii)
Wie groß ist die Flächenladungsdichte auf der Leiteroberfläche?
iii)
i)
E = E x ex
x
dϕ ϕ0 − λD
Ex = −
=
e
dx λD
ii)
Die Feldstärke nimmt ihren maximalen Betrag Emax =
ϕ0
V
bei x = 0 an und besitzt
= 107
λD
m
dort die Richtung − ex
iii)
Die Flächenladungsdichte an x = 0 berechnet sich zu
As
V
C
σ = Dx = ε 0 E x = −8,85 ⋅10−12
⋅107 = −88,5µ 2
Vm
m
m
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 198 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.15.
Vakuumröhre
Die Skizze zeigt das stark vereinfachte, eindimensionale Modell einer Vakuumröhre. Eine der
Elektroden, die Glühkathode, emittiert Elektronen, sodass sich eine Raumladungswolke
4
einstellt. Die Rechnung liefert für das elektrostatische Potential ϕ ( x) = U ( x / a )3 . Leiten Sie
daraus Ausdrücke für die elektrische Feldstärke E ( x ) und für die Raumladungsdichte ρ (x)
ab. Wie hängt ρ von φ ab?
Mit dem gegebenen Ausdruck für das Potential folgt für die Feldstärke
1
dϕ
U 4 ⎛ x ⎞3
E = E x ex , E x = −
=−
⎜ ⎟
dx
a 3⎝a⎠
und für die Raumladungsdichte
2
dD
dE
ε U 4 ⎛ a ⎞3
ρ = x = ε0 x = − 02 ⎜ ⎟
dx
dx
a 9⎝ x⎠
3
x ⎛ ϕ ⎞4
Elimination von x mit Hilfe von = ⎜ ⎟ liefert die Abhängigkeit der Raumladungsdichte
a ⎝U ⎠
vom Potential zu
1
3
K
4ε U2
ε U 4 ⎛U ⎞2
ρ = − 0 2 ⎜⎜ ⎟⎟ =
, K =− 0 2
a 9⎝ϕ ⎠
9 a
ϕ
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 199 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.16.
Inhomogene Leitfähigkeit
Zwischen zwei ebenen Metallelektroden befinde sich laut Skizze ein
l = 5mm dicke Schicht eines Materials, dessen elektrische
Leitfähigkeit angenähert durch
γ (x ) =
γ0
x
a
mit γ 0 = 1S / m, a = 20mm erfasst wird. Durch die Schicht fließt ein
elektrischer Strom der Dichte J = 10A/cm². Die elektrische
Feldstärke in den Metallelektroden kann vernachlässigt werden.
Berechnen und skizzieren Sie
den Verlauf des Potentials ϕ (x) und den Wert der elektrischen Spannung U.
i)
ii)
den Verlauf der Dichte der Joule-Verluste p(x).
die Verteilung der elektrischen Ladung (Raumladungsdichte ρ(x) in der Schicht
iii)
und Flächenladungsdichten an den Elektroden).
1+
i)
Mit J = J ex , E = E ( x )ex ergibt sich für die Feldstärke und daraus für die Spannung
E (x ) =
J
⎛ x⎞ J
= ⎜1 + ⎟
γ (x ) ⎝ a ⎠ γ 0
E (0) = 1,00
V
, E (l ) = 1,25kV / cm
cm
l
l ⎞J
⎛
U = ∫ E ( x )dx = l ⎜1 + ⎟ = 562,5V
⎝ 2a ⎠ γ 0
0
dϕ
= − E ( x ) liefert dann das zugehörige Potential
dx
⎛ l + x ⎞ J (l − x )(2a + l + x )
U
ϕ (x ) = (l − x )⎜1 +
⎟ =
l (2a + l )
2a ⎠ γ 0
⎝
Der Zusammenhang
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 200 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
ii)
Die Dichte der Joule-Verluste
2
J2
⎛ x⎞J
p(x ) =
= ⎜1 + ⎟
γ (x ) ⎝ a ⎠ γ 0
W
W
p (0 ) = 10,0k 3 , p (l ) = 12,5k 3
cm
cm
iii)
Für die Ladungsverteilung ergibt sich
dD
dE ε 0 J
C
ρ=
= ε0
=
= 44,3 p 3
dx
dx aγ 0
cm
σ 1 = ε 0 E (0) =
ε0J
C
= 88,5 p 2
γ0
cm
⎛
⎝
1 ⎞ ε0J
C
= −110,7 p 2
a ⎠ γ0
cm
σ 2 = −ε 0 E (l ) = −⎜1 + ⎟
Die Neutralitätsbedingung σ 1 + ρl + σ 2 = 0 ist damit erfüllt.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 201 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.17.
Elektretmikrophon
In einem Elektretmikrophon nach dem Prinzip der Skizze ist die elektrische Platte auf der
einen Seite metallisch beschichtet und trägt auf der anderen Seite die gebundene
Flächenladung σ. Berechnen Sie für den Ruhezustand die elektrische Feldstärke im
Dielektrikum (ε r = 5,2 ) und im Zwischenraum (ε r = 1) .
Im Ruhezustand ist mit den Bezeichnungen aus der Skizze
I =0
U = RI = 0
U = E1l1 + E2l2 = 0
Weiters folgt aus Dn = D2 − D1 = σ
ε r E1 − E2 = −
σ
ε0
Somit gilt
E1 = −
E2 = −
σ
ε0
εr +
l1
l2
= −2,35M
V
m
l1
V
E1 = 4,71M
l2
m
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 202 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.18.
Grenzflächenladung
Zwischen den beiden in der Skizze dargestellten parallelen Plattenelektroden (Fläche A)
befindet sich eine Flüssigkeit (Leitfähigkeit γ, Permitivität ε) und darüber eine Luftschicht.
Das System ist zunächst ungeladen, und zum Zeitpunkt t = 0 wird durch Schließen des
Schalters S eine Gleichspannung U angelegt. Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf
der Flächenladungsdichte σ an der Flüssigkeit-Luft-Grenzfläche.
Ersatzschaltung laut Skizze mit
b
ε A
εA
C1 = 0 , C2 = , R =
a
b
γA
Dann ist zu den Zeiten
t = 0− : Q2 − Q1 = 0, σ = 0
t = 0+ : Noch kein merkbarer Ladungstransport über R2, Q2 − Q1 = 0, σ = 0
CU
εU
t → ∞ : U 2 = 0, U1 = U , Q2 − Q1 = −Q1 = −C1U = σ ∞ A, σ ∞ = − 1 = − 0 t
A
a
Mit der Zeitkonstanten
b ⎛ ε A εA ⎞ 1 ⎛ b
⎞
τ = R2 (C1 + C2 ) = ⎜ 0 + ⎟ = ⎜ ε 0 + ε ⎟
b ⎠ γ⎝ a
γA ⎝ a
⎠
ergibt sich der Zeitverlauf der Flächenladungsdichte
t
− ⎞
⎛
τ
σ = σ ∞ ⎜⎜1 − e ⎟⎟
⎠
⎝
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 203 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.19.
Durchschlagspannung
Zwischen zwei ebenen Metallelektroden befinden sich laut Skizze eine Glasplatte und Luft.
Wie groß darf die anliegende Spannung höchstens sein, wenn kein Durchschlag auftreten
soll? (Durchschlagfeldstärken: Luft ca. 30kV/cm, Glas ca.290kV/cm).
Aus der Sprungantwort Dn = 0 folgt mit den Bezeichnungen aus der Skizze
EL = ε r EG = 6,5EG
d.h., die Durchschlagsfeldstärke der Luft ist maßgebend. Die anliegende Spannung darf
demnach höchstens
⎛
l ⎞
U = EL lL + EG lG = ⎜⎜ lL + G ⎟⎟ EL = 17,3kV
εr ⎠
⎝
betragen.
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 204 / 205
Nach Prechtl, Adalbert, Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik
14.20.
Strom durch Oxidschicht
An einem Stromübergang laut Skizze tritt wegen einer dünnen Oxidschicht zwischen den
Kontaktstücken eine Kontaktspannung Uc auf, die im betrachteten Stromdichtebereich als
angenähert konstant mit 1,4V angenommen werden kann. Berechnen und skizzieren Sie den
Verlauf der Verlustleistung an der Kontaktstelle in Abhängigkeit vom übertragenen Strom.
Bei annähernd gleichförmiger Stromverteilung ist
I = JA = (5 bis 15)A / cm 2 ⋅1,5cm 2 = (7,5 bis 22,5)A
und damit die Verlustleistung
P = U c I = 1,4V ⋅ (7,5 bis 22,5)A = (10,5 bis 31,5)W
Elektrotechnik ausgearbeitete Beispiele
Seite 205 / 205