Tipler

Drehbewegungen
9
Diese Bowlingkugeln rollen auf der
Bahn und der Rückführung, ohne
zu gleiten.
'•W·le musste
..
. Kuge Iruc
" keine
führung aussehen, in der die Rollbewegung der Kugeln gestoppt
wird? (Siehe Beispiel 9.13.)
9.1
Kinematik der Drehbewegung: Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung
9.2
Die kinetische Energie der Drehbewegung
9.3
Berechnung von Trägheitsmomenten
9.4
Das zweite Newton/sehe Axiom für Drehbewegungen: Der Drehimpuls
9.5
Anwendungen des zweiten Newton/sehen Axioms
9.6
Rollende Körper
In den Kapiteln 4 und 5 haben wir die Newton'schen Gesetze untersucht,
in den Kapiteln 6 und 7 ging es um die Energieerhaltung, und in Kapitel 8
haben wir uns mit der Impulserhaltung beschäftigt. In allen diesen Kapiteln haben wir eine Reihe von Werkzeugen (d.h. Gesetze und Sätze) entwickelt, die sich beim Untersuchen neuer Situationen und beim Lösen
neuer Probleme als nützlich erwiesen haben. Wir werden diese Werkzeuge auch jetzt anwenden, wo wir uns mit Drehbewegungen (Rotationen) befassen, und werden ganz ähnliche Gesetze für die Drehbewegung
entwickeln. Hierbei kommt uns zugute, dass es eine recht umfassende
Analogie der Gesetze von Translation und Rotation gibt.
48
I
> > > 9 DREHBEWEGUNGEN
Drehbewegungen sind allgegenwärtig. Die Erde rotiert um ihre
Achse. Räder, Zahnräder, Propeller, Motoren, Antriebswellen
in Autos und an Maschinen, die CD im CD-Player, eine Eiskunstläuferin bei einer Pirouette - überall finden wir Drehbewegungen.
\
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\
~ In
diesem Kapitel werden wir einfache Drehbewegungen
untersuchen. Zunächst behandeln wir die Rotation um eine im
Raum feststehende Achse, wie man sie z. B. bei einem Kreisel
oder einem KarusseU findet, und die Rotation um eine Achse,
die sich im Raum verschiebt, ohne ihre Richtung zu ändern,
wie z. B. bei einem rollenden BaU. Allgemeinere und kompliziertere Drehbewegungen werden Gegenstand von Kapitel 10 sein.
\
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\
9.1 Eine Scheibe rotiert um eine senkrecht zu ihr stehende feste
Ach e durch ihren Mittelpunkt
9.1 Kinematik der Drehbewegung:
Winkelgeschwindigkeit und
Winkelbeschleunigung
Jeder Punkt in einem Körper, der um eine feste Achse gleichförmig rotiert, bewegt sich auf einer Kreisbahn, deren Mittelpunkt
auf der Drehachse liegt und deren Radius durch die Entfernung
des Punkts von der Drehachse gegeben ist. Eine Linie, die man
von der Achse zu einem beliebigen Punkt zieht, überstreicht in
gleichen Zeiten stets gleiche Winkel. Betrachten wir eine Kreisscheibe, die sich um eine senkrecht zu ihr stehende feste Achse
durch ihren Mittelpunkt dreht (Abbildung 9.1). rj bezeichnet
den Abstand vom Mittelpunkt der Scheibe zu ihrem i-ten Massenpunkt P j (Abbildung 9.2) und ()j ist der gegen den Uhrzeigersinn gemessene Winkel zwischen einer im Raum festgelegten
Bezugsgerade und einer Linie vom Drehpunkt zum i-ten Massenpunkt. Wenn sich die Scheibe um den Winkel d() dreht,
bewegt sich dieser Massenpunkt auf einem Kreisbogen der
Länge ds, so dass gilt:
dsj = rj d().
\
(9.1)
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\
9.2 Eine cheibe rotiert um eine Achse durch ihren Mittelpunkt. Ein
Punkt P, legt in der Zeit dt die Strecke ds, zurück, die von seinem
Abstand r, von der Drehachse abhängt. Der Drehwinkel ist für alle
Punkte aur der Scheibe gleich.
Dabei wird der Winkel d() im Bogenmaß in der Hilfseinheit
Radiant (Einheitenzeichen rad) angegeben. Die Entfernungen
dsj und rj hängen vom jeweils betrachteten Punkt ab, aber ihr
Verhältnis, der so genannte Drehwinkel, ist für alle Massenpunkte der Kreisscheibe gleich. Bei einer kompletten Umdrehung gilt für die Bogenlänge ßs j=2nrj; der Drehwinkel !).()
beträgt dann
2nr·
!).()=--' =2n rad =360° = 1 U.
rj
(Das U steht hier für Umdrehung.) Die Geschwindigkeit d() / dt ,
mit der sich der Winkel ändert, ist für alle Punktrnassen der
Scheibe gleich. Man nennt sie die Winkelgeschwindigkeit der
Scheibe und bezeichnet sie mit dem kleinen griechischen Buchstaben w (omega):
(9.2)
DEFINITION DER WINKElGESCHWINDIGKEIT
Im allgemeinen Fall, insbesondere wenn die Drehachse nicht im
Raum fixiert ist, muss man die Winkelgeschwindigkeit als eine
vektorielle Größe behandeln; wir werden in Kapitel 10 darauf
9 .1 KINEMATIK DER DREHBEWEG UNG : WINKELGESCHWINDIGKEIT UND WINKELBESCHLEUNIGUNG <<<
I
eingehen. Bei Drehungen um eine raumfeste Achse - und ausschließlich diesen Fall betrachten wir in diesem Kapitel - hat
die Winkelgeschwindigkeit nur zwei mögliche Richtungen, die
von der Drehrichtung abhängen. Bei einer Drehung gegen den
Uhrzeigersinn nimmt e zu, W ist also positiv; bei einer Drehung
im Uhrzeigersinn nimmt e ab, W ist also negativ. (Dies ist analog
zu der linearen Bewegung in einer Dimension, wo man die
Geschwindigkeit nicht als Vektor betrachten muss; sie kann
sowohl negative als auch positive Werte annehmen.) Die
Dimension der Winkelgeschwindigkeit ist die einer reziproken
Zeit (T- J ). Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit w ist S- I;
wenn mit den Hilfseinheiten Radiant oder Umdrehung gearbeitet wird , ist die Einheit Radiant pro Sekunde (rad· s - I) bzw.
Umdrehungen pro Sekunde, U ·S - I (manchmal auch Umdrehungen pro Minute, U/min). Zur Umrechnung benutzt man
den Zusammenhang:
ÜBUNG: Eine CD rotiert mit 3000 U· min -
J . Wie hoch ist
die Winkelgeschwindigkeit in Radiant pro Sekunde?
(Lösung: 314 rad·s - I ).
Die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit wird Winkelbeschleunigung a genannt:
In dieser Langzeitbelichtung zeigen die Sternspuren die scheinbare
Drehung des Himmels um den Polarstern, die wir von der rotierenden
Erde aus sehen.
(9.3)
DEFINITION DER WINKELBESCHLEUNIGUNG
Auch die Winkelbeschleunigung ist im allgemeinen Fall eine
Vektorgröße (vgl. Kapitel 10). Im vorliegenden Kapitel betrachten wir aber immer nur die Komponente der Winkelbeschleunigung: Sie ist positiv, wenn die Winkelgeschwindigkeit
w zunimmt, und negativ, wenn w abnimmt. Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist Radiant pro Sekunde pro Sekunde
(rad . S-2).
Die Größen Drehwinkel e, Drehgeschwindigkeit w und Winkelbeschleunigung a entsprechen den bei der eindimensionalen
Bewegung verwendeten Größen lineare Verschiebung Llx,
Lineargeschwindigkeit v und Linearbeschleunigung a. Da die
Größen der linearen Bewegung und der Drehbewegung ganz
ähnlich definiert sind, lässt sich vieles aus Kapitel 2 auf die
Bewegung sich drehender starrer Körper übertragen. So können
wir z. B. bei konstanter Winkelbeschleunigung a die Gleichung 9.3 über die Zeit t integrieren und erhalten
w=wo+at.
(9.4)
Dabei ist die Integrationskonstante Wo die anfängliche Winkelgeschwindigkeit. Diese Gleichung ist das Analogon zur Gleichung v = Vo + at der linearen Bewegung (vgl. Gleichung 2.12).
Bei erneuter Integration ergibt sich
(9.5)
Dies entspricht der Gleichung x = Xo + Va t + t a ~ der linearen
Bewegung, wenn man x durch e,v durch wund a durch a ersetzt
(vgl. Gleichung 2.16). Entsprechend ergibt sich, wenn man die
Zeit t aus den Gleichungen 9.4 und 9.5 ersetzt, eine Gleichung,
die Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung miteinander verknüpft:
(9.6)
Dies entspricht der Gleichung v 2 = v~ + 2a (x - x a) der linearen Bewegung (vgl. Gleichung 2.17). Insgesamt stellt man fest ,
dass die für die Drehbewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung geltenden Gleichungen dieselbe Form haben wie die
Gleichungen für die lineare Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Eine Anwendung illustriert Beispiel 9.1.
2-
50
I
»> 9 DREHBEWEGUNGEN
BEISPIEL 9.1: Ein CD-Player
Eine CD, die in das Abspielgerät eingelegt wird, wird in 5,5 sauf 500 U· min - 1 beschleunigt. a) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung unter der Annahme, dass sie konstant ist. b) Wie viele Umdrehungen vollführt die CD in diesen 5,5 s?
c) Welche Strecke hat ein Punkt auf dem Rand (6 cm vom Mittelpunkt entfernt) in den 5,5 s zurückgelegt, in der die CD
beschleunigt wird?
Problembeschreibung: Teil a entspricht der Aufgabe, bei einer linearen Bewegung die Beschleunigung zu berechnen,
wenn Zeit und E ndgeschwindigkeit gegeben sind. Um a in rad ' S - 2 anzugeben, muss man die Winkelgeschwindigkeit W in
rad · s 1 umrechnen. Teil b entspricht der Aufgabe, bei einer linearen Bewegung die zurückgelegte Entfernung zu berechnen,
wenn Zeit und E ndgeschwindigkeit gegeben sind.
Lösung:
Tellaufgabe a
1. Die Winkelbeschleunigung hängt mit der Anfangs- und
E ndwi nkelgeschwindigkeit zusammen:
W = Wo
2. Auflö e n nach a ergibt:
a =-
+a t = 0+a t
W
t
=
500 U . min- 1 2nrad 1 min
.---- .---5,5 s
1U
60 s
2
= 19,52 rad . s- 1
Tellaufgabe b
1. Der Drehwinkel hängt mit der Zeit gemäß Gleichung 9.5
zusammen:
() - 00 = Wo t + ~ a
f
= 0 +!. (9,52 rad· S- 2) . (5,5
S)2
= 144 rad
2. Rechnen Sie das in Radi ant angege bene Bogenmaß in
Umdrehungen um:
Tellaufgabe c
Die zurückgelegte E ntfernung fls ist r-mal der Dre hwinkel:
o- 00 = 144 rad · 2 ~ ~d =
122 ,9 U I
fls = r!::.O = (6 cm)· (144 rad)
= 18,64
ml
'Plauslbllltätsprüfung: Die mittl ere Winkelgeschwindigkeit in Umdrehungen pro Minute ist 250 U . min - I . In 5,5 s vollführt
• die CD (250 U/60 s) · (5,5 s) = 22,9 Umdrehungen.
Kommentar: E ine CD wird von einem Lase rstrahl von innen nach außen abgetastet (also in umgekehrter Richtung wie eine
Schallplatte). Der minimale Radius beträgt 2,4 cm, de r Radius der CD ist 6 cm. Während sich der Laser nach außen bewegt,
nimm t die U mdrehungsgeschwindigkeit der CD von 500 U ·min - I auf 200 U' min - I ab, damit die lineare (d.h. tangentiale)
Geschwindigkeit der CD an dem Punkt, wo der Laser die CD trifft, konstant bleibt.
ÜBUNG: a) Rechnen sie 500 U . min- 1 in rad·
S - 1 um.
b) Überprüfen Sie das Ergebnis von Teil b in Beispiel 9.1 mit
Hilfe der Beziehung w 2 = w~ + 2 a( 0 - ( 0 ),
(Lösung: a) 500 U . min- 1 = 52,4 rad· S- I.)
Die lineare Geschwindigkeit v( eines Massenpunkts der Scheibe
ist tangential zur Kreisbahn des Punkts gerichtet und hat den
Betrag dsJ dt. Mit Hilfe der Gleichungen 9.1 und 9.2 können
wir die "Tangentialgeschwindigkeit" des i-ten Massenpunkts
gemäß
9.2 DIE KINETISCHE ENERGIE DER DREHBEWEGUNG «<
I
Der Krebspulsar ist einer der am schnellsten rotierenden Neutronensterne, die wir kennen. Er scheint periodisch aufzuleuchten wie ein Leuchtturm, er blinkt allerdings weit schneller: etwa 30-mal pro Sekunde. Seine Drehgeschwindigkeit verlangsamt sich jedoch, wie man aus der ständig
wachsenden Zeitspanne zwischen den Lichtpulsen entnehmen kann. Die Blinkperiode nimmt pro Jahr um 10 - 5 ' zu. Die so verloren gehende
Rotationsenergie - sie entspricht der Energieabgabe von 100000 Sonnen - wird von den im magnetischen Feld des Pulsars beschleunigten
Elektronen in Form von Liebt emittiert.
mit der Winkelgeschwindigkeit der Scheibe verknüpfen, so dass
gilt:
(9.7)
In ähnlicher Weise ergibt sich die die tangentiale Beschleunigung eines Massenpunkts der Scheibe gemäß
dV'i
dw
al ,1. = -dt-' = r·I dt '
ÜBUNG: Berechnen Sie die tangentiale Geschwindigkeit
so dass für die tangentiale Beschleunigung insgesamt gilt:
al
= ra.
(9.8)
Jeder Massenpunkt auf der Scheibe erfährt gleichfalls eine
radiale Beschleunigung, die so genannte Zentripetalbeschleunigung azp , die sich auch durch die NormaJbeschleunigung an =
-azp ausdrücken lässt. Die Normalbeschleunigung ist immer
nach innen zur Drehachse hin gerichtet. Sie hat die Komponente
(siehe Gleichung 3.26)
V~.i (ri W)2
=--'
rj
rj
an ,i== -
also
2
a n ,l. = r·w
I
ÜBUNG: Ein Punkt auf dem Rand einer CD ist 6,0 cm von
der Drehachse entfernt. Berechnen Sie die Tangentialgeschwindigkeit v" die Tangentialbeschleunigung GI und die
Normalbeschleunigung an dieses Punkts, wenn die CD mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit von 300 U . min- '
rotiert.
(Lösung: VI = 188 crn/s,a l = O,a o = 5,92 .103 crn/s2 .)
eines Punkts auf der CD in Beispiel 9.1 für a) r= 2,4 cm und
eine Rotationsgeschwindigkeit von 500 U· min - 1 und
für b) r=6,0 cm und eine Rotationsgeschwindigkeit von
200 U· min - 1.
(Lösung: a) 126 crn/s, b) 126 crn/s.)
9.2 Die kinetische Energie der
Drehbewegung
Die kinetische Energie eines starren Körpers, der um eine feste
Achse rotiert , ist die Summe der kinetischen Energie aller Massenpunkte, die zusammen den Körper bilden. Die kinetische
Energie des i-ten Massenpunkts mit der Masse m i i t
!52
I
»> 9 DREH BEWEGUNGEN
Durch Summation über alle Massenpunkte und mit
ergibt sich
E kin
= L (4 mi
Vi
vn =~L(mir;w2) =K2:=m;r;)w
2
I
=
'i W
.
I
In der älteren Literatur findet man für das Trägheitsmoment
auch die Bezeichnung Drehmasse, da das Trägheitsmoment
bei der Drehbewegung etwa die Rolle spielt wie die träge
Masse bei der linearen Bewegung (vgl. dazu Abschnitt 9.3).
Die kinetische Energie berechnet sich nach der Formel
Die eingeklammerte Summe in dem Term auf der rechten Seite
nennt man das Trägheitsmoment I des Körpers bezüglich der
Drehachse:
(9.10)
DEFINITION DES TRÄGHEITSMOMENTS
(9.11)
KINETISCHE ENERGIE EINES ROTIERENDEN KÖRPERS
Beispiel 9.2 demonstriert den Zusammenhang zwischen dem
Konzept des Trägheitsmoments und der Betrachtung der Einzelrnassen für die kinetische Gesamtenergie eines Viertei1chensystems.
BEISPIEL 9.2: Ein rotierendes Teilchensystem
Ein Körper besteht aus vier punktförmigen Teilchen, jedes
von der Masse 111; //lcu die durch starre masselose Stäbe zu
einem Rechteck mit den Kantenlängen 2a und 2b verbunden sind (Abbildung 9.3). Das System rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit W um eine Achse, die wie gezeigt durch
den Mittelpunkt in der Ebene der Figur verläuft. a) Berechnen Sie mit Hilfe der Gleichungen 9.10 und 9.11 die kinetische Energie dieses Systems. b) Überprüfen Sie das Ergebnis,
indem Sie die kinetische Energie für jeden einzelnen der vier
Massenpunkte berechnen und dann summieren.
--r-2b
_ t~I~3
,,
,
:.......--- 2a ------:
9.3
,,
Problembeschreibung: Da der Körper aus vier punktförmigen Massen besteht, können wir mit Gleichung 9.10 das
Trägheitsmoment I berechnen und dann in Gleichung 9.11 einsetzen. In Gleichung 9.10 bezeichnet die radiale Entfernung
der Ma se mi von der Drehachse.
'I
Lösung:
Tellaufgabe a
1. Wenden Sie die Definition des Trägheitsmoments aus
Gleichung 9.10 an:
2. Die Ma sen m, und die Entfernungen
'I sind gegeben:
3. Durch Ein etzen erhält man das Trägheitsmoment:
4. Mit Gleichung 9. 11 berechnet man daraus die kinetische
Energie:
Tellaufgabe b
1. Um di e kineti ehe Energie des i-ten Massenpunkts zu
berechnen, benötigen wir seine Geschwindigkeit:
2. Die Mas enpunkte bewegen sich alle auf Kreisbahnen
vom Radius a. Ihre Ge chwindigkeit ist damit:
3. Setzen Sie dies in das Ergebnis von Schritt 1 ein:
VI
= ' lW = aw
(i = 1, ... , 4)
9.3 BERECHNUNG VON TRÄGHEITSMOMENTEN «<
I 2~
4. Jeder der Massenpunkte hat dieselbe kinetische Energie.
Durch Summation über alle Massenpunkte erhalten Sie die
kinetische Gesamtenergie:
5. Vergleichen Sie mit dem Ergebnis von Teilaufgabe a:
Die zwei Rechnungen ergeben dasselbe Resultat.
Kommentar: Beachten Sie, dass das Trägheitsmoment I unabhängig von der Länge bist. b hat keinen Einfluss auf die
Entfernung der Massenpunkte von der Rotationsachse.
9.4
ÜBUNG: Berechnen Sie für dasselbe System von Massenpunkten das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse, die parallel zu
der ursprünglichen Drehachse durch zwei der Massenpunkte verläuft (Abbildung 9.4). (Lösung: 1= 8mo a2 . )
9.3 Berechnung von
Träg heitsmomenten
Das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse ist ein Maß für den
Widerstand, den ein Körper einer Änderung seiner Drehbewegung um eben diese Achse entgegensetzt. Es beschreibt damit
für eine- Rotationsbewegung eine Eigenschaft von Körpern ,
die für eine Translationsbewegung durch die träge Masse eines
Körpers beschrieben wird. (Wir erinnern uns: Die träge Masse
gibt den Widerstand gegen eine Änderung des linearen Bewegungszustands an; vgl. Abschnitt 4.2.)
Das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse hängt von der
Massenverteilung des Körpers bezüglich der Drehachse ab. Je
weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist,
umso größer ist sein Beitrag zum Trägheitsmoment bezüglich
dieser Achse. Anders als die Masse, die eine innere Eigenschaft
des Körpers - und zwar nur des Körpers - ist, hängt das Trägheitsmoment auch von der Lage der Drehachse ab.
Systeme aus einzelnen Teilchen
Für Teilchensysteme aus wenigen diskreten Teilchen können wir
das Trägheitsmoment bezüglich einer gegebenen Achse direkt
aus der Definitionsgleichung 9.10 berechnen.
Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung
Im allgemeineren Fall eines Körpers mit kontinuierlicher Massenverteilung betrachten wir den Körper als aus infinitesimalen
Massenelementen zusammengesetzt. Die Summe 2:: mi'-; aus
Gleichung 9.10 geht dann in ein Integral über:
1=
J
?dm.
(9.12)
r bezeichnet hier den radialen Abstand des Massenelements dm
von der Drehachse. Mit Gleichung 9.12 lässt sich das Trägheitsmoment des Stabs in Beispiel 9.3 und weiterer Körper mit verschiedenen anderen Formen berechnen . Die Kunst ist stets,
eine passende Formel für die Massenverteilung zu finden und
sie zu integrieren. Eine Übersicht über verschiedene einfache
Körperformen bietet Tabelle 9.1.
54
I
> > > 9 DREHBEWEGUNGEN
BEISPIEL 9.3: Trägheitsmoment eines homogenen Stabs
Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines homogenen Stabs der Länge f und der Masse m bezüglich einer Achse, die
senkrecht zum Stab durch eines der Enden verläuft. Der Stab soll eine vernachlässigbare Dicke haben.
Problembeschreibung: Der Stab liegt auf der x-Achse,
ein Ende befinde t sich im Ursprung. Um das Trägheitsmome nt J bezüglich der y-Achse zu berechnen, betrachte n wir
e in Massenelement dm im Abstand x von der Achse (Abbildung 9.5). Da di e Gesamtmasse m e ntlang der Länge f
homoge n verteilt ist, ist die Masse pro Einheitslänge (die
lineare Massendichte) gegeben durch A. = m jf.
y'
•
Q
.•".'- - - - - - - e - - - - - - - - - - + 1
•
dm=m dx
•
•
t
f.
:. - - - x - - -.....
...
1
~ dx
t-x
9.5
Lösung:
f
1. Das Trägheitsmoment ist gegeben durch das Integral:
J -- Ja
r x 2 dm
2. Um da [ntegral zu berechnen, brauchen wir einen
Zusammenhang von dm und dx. Drücken Sie dm mit Hilfe
der Massendichte A. und von dx aus:
dm
= A. dx = m
f
dx
3. Setzen Sie ei n und be rechnen Sie das Integral. Wählen Sie
die Integralgrenzen so, dass das Masse neleme nt dm entlang
der Massenverteilung in Richtung von zunehmendem x
ver choben wird:
Kommentar: Das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse ist ebenfalls 1m f2; das Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse
ist null, da wir angenommen hatte n, dass der Stab eine vernachl ässigbare Dicke hat, die gesamte Masse also auf der x-Achse
konzentriert ist.
y
Trägheitsmoment eines Rings· Wir betrachten einen
Ring mit der Masse m und dem R adi us rR. Die Drehachse
steht senkrecht zur Ebene des Rings und geht durch den Mittelpunkt des Rings (Abbildung 9.6). Die Gesamtmasse ist im
Abstand r = rR von der Drehachse konzentriert. Das Trägheitsmoment ist dann
Trägheitsmoment einer Scheibe· Wir betrachten ei ne
homogene Scheibe mit dem R adius rR, die sich um ei ne zur
9.6 Ein Ring rotiert um eine feste Achse, di e senkrech t zu seiner
Ebene le ht und durch seinen Mittelpunkt verläuft. Da sich seine
gesamte Masse im Abstand 'R von der Dre hachse befindet, beträgt
ein Trägheitsmoment m~.
Scheibenebene senkrechte Achse durch ihren Mittelpunkt
dreht. Für die Scheibe kann man erwarten, dass das Trägheitsmoment kleiner ist als bei einem gleich großen Ring, für den
9.3 BERECHNUNG VON TRÄGHEITSMOMENTEN
Tabelle 9.1
«
I
Trägheitsmomente homogender Körper bezüglich verschiedener
Drehachsen
Zylinder mit dünnem Mantel
Drehach,se = Körperachse
Zylindermantel
Drehachse ..L Körperachse
durch ~ittelptmkt
Dünne KugelschaJe
Drehachse durch Mittelpunkt
Dünner Stab
Drehachse ..L Körperachse
durch Mittelpunkt
e
1 = mr 2
Massiver Zylinder
Drehachse = Körperachse
Hohlzylinder
Drehach,se = Körperachse
I
Massiver Zylinder
Drehachse ..L Körperachse
durch ,Mit
= -&. mC 2
Massive Kugel
Drehachse durch Mittelptmkt
Dünner Stab
Drehachse ..L Körperachse
durch ein Ende
Massiver Quader
Drehachse ..L Oberfläche
durch Mittelptmkt
Hohlzylinder
Drehachse ..L Körperachse
durch Mittelptmkt
I
=
r1
~m (r~ +r~) +-&.
Eine Scheibe ist ein Zylinder mit vernachlässigbarer Länge
me2
e. Mit e= 0 gelten die angegebenen Formeln für Zylinder auch für Scheiben.
wir 1 = m ~ errechnet hatten; Grund dafür ist, dass bei der
Scheibe die Masse gleichmäßig zwischen r = 0 und r = r R verteilt
ist- anders als beim Ring, wo alle Masse bei r = rR konzentriert
war. In Abbildung 9.7 ist jedes Massenelement ein Ring vom
Radius r und der Dicke dr. Das Trägheitsmoment eines jeden
einzelnen Massenelements ist ?dm. Da die Scheibe homogen
ist, ist die Massenbelegung 0 (Masse pro Einheitsfläche) konstant. Die Fläche eines Massenelements errechnet man gemäß
dA = 2.7rrdr. Demnach ist die Mas e eines Ma senelement
Damit ergibt sich für das Trägheit moment
y
9.7 Zur Berechnung des Träghe itsmome nt einer Scheibe mit dem
R adius rR. di e sich um eine senkrecht zu ihre r Ebene stehende Achse
dreht. Als Masse nelement mit der Masse dm betrachte n wir einen
Ring mit dem Radius r.
2
56
I
> > > 9 DREHBEWEGUNGEN
Der Steiner'sche Satz
I
~
I
I
dm
Die Berechnung des Trägheitsmoments lässt sich in vielen Fällen durch einen Satz vereinfachen, der das Trägheitsmoment
bezüglich einer Achse durch den Massenmittelpunkt mit dem
Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen anderen, zur ersten
parallelen Achse verknüpft (Abbildung 9.9). Dieser Satz heißt
im Deutschen nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner
(1796-1863) der Steiner'sche Satz, in der englischsprachigen
Literatur findet man ihn unter der Bezeichnung Parallel-Axis
Theorem. Wenn ein Körper der Masse m das Trägheitsmoment
I s bezüglich einer Achse durch den Massenmittelpunkt hat,
dann ist das Trägheitsmoment I bezüglich einer parallelen
Achse im Abstand h von der ersten Achse gegeben durch
I
I
I = I s +mh2 •
Im
(9.13)
STEINER'SCHER SATZ
I
I
I
I
Beispiel 9.2 und die zugehörige Übung haben bereits einen speziellen Fall dieses Satzes mit h = a, m = 4mo und I s = 4 mo a2 vorgestellt. Ein Beweis des Steiner'schen Satzes und die Beispiele 9.4 bis 9.7 schließen diesen Kapitelabschnitt ab.
9.8 Einen Zylinder, der um seine Achse rotiert, kann man als Stapel
von mehreren Scheiben mit den Massen dm betrachten. Da jede dieser
Scheiben das Trägheitsmoment i dm rft hat, ist das Trägheitsmoment
de Zylinder 4m rft·
h
'5
Beweis des Stelner'schen Satzes· Um den Steiner'schen
Satz zu beweisen, betrachten wir einen Körper, der sich um
eine Achse A dreht (Abbildung 9.11). Wir wählen den Massenmittelpunkt als Ursprung und legen die z-Achse parallel zu A.
Dann ist I das Trägheitsmoment bezüglich der Achse A und I s
das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse. Das Massenelement m; befindet sich an der Stelle (x;,y;,z;), der Schnittpunkt
der Drehachse mit der x-y-Ebene hat die Koordinaten
(XA,YA,O). Die Abstände vom Massenelement m; zur Achse A
bzw. zur z-Achse werden mit 'A ,; bzw. ' z,; bezeichnet, h ist der
Abstand zwischen den beiden Achsen. Es folgt: 'A,i ist die Entfernung von (XA,YA,O) zu (x;,y;,O), ' z,; ist die Entfernung von (0,0,0)
zu (x;,y; 0) , und h ist die Entfernung von (0,0,0) zu (XA,YA,O).
Mit diesen Bezeichnungen ergeben sich die Beziehungen
?:A,;_ (X;-XA )2 + (Y;-YA )2,.z
2 2 un d h2 -XA+YA·
_ 2
2
, z,;=X;+Y;
Damit gilt für das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse
durch den Massenmittelpunkt:
9.9 Zum Steiner' chen Satz: Ein Körper rotiert um eine Achse, die
parallel zu einer Achse durch den Mas enmittelpunkt S verläuft und
von ihr einen Abstand h hat.
sowie
I =
Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders· Wir
betrachten einen Zylinder mit dem Radius 'R, der sich um
seine Körperachse dreht. Wir können den Zylinder als ein
System von übereinander angeordneten Scheiben betrachten,
von denen jede die Masse dm und das Trägheitsmoment i dm
~ hat (Abbildung 9.8). Das Trägheitsmoment des gesamten
Zylinder ergibt ich dann als
Dabei ist m die Gesamtmasse des Zylinders.
L:m;~ ,; = L:m;(x; -XA)2 + (y; - YA)2)
= L:m;(x~ + l)
+ L:m;(~
- L:m;2x;xA -
+ y~).
L:m;2Y;YA
9 .3 BERECHNUNG VON TRÄGHEITSMOMENTEN «<
BEISPIEL 9.4 Trägheitsmoment eines Stabs bezüglich einer Achse
durch den Massenmittelpunkt
Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines gleichförmigen Stabs bezüglich der Achse yff die durch den Massenmittelpunkt verläuft (Abbildung 9.10)
y
y' l
~
e
I
r----- - ---.
l.. _ _
2
I
x
s
9.10
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Aus Beispiel 9.3 kennen wir das Trägheitsmoment 1 = ~ m
e des Stabs bezüglich einer Achse, die
2
durch ein Ende des Stabs verläuft. Mit Hilfe des Steiner'schen Satzes ist nun das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse
durch den Massenpunkt zu berechnen. In diesem Fall ist h = i e.
Lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils. die Ergebnisse selbst zu ermitteln.
Schritte
Ergebnisse
1. Wenden Sie den Steiner'schen Satz an, um das Trägheitsmoment 1 bezüglich eines Stabendes mit Hilfe von I s
auszudrücken.
1 = I s + 111 h~
2. Setzen Sie 1 = ~ m e2 (das Trägheitsmoment bezüglich
eines Stabendes) ein und lösen Sie nach I s auf.
I s = I - mir, = '\1 m (-' -
111
(f)2: ~
= I ~m e l
Kommentar: Das Trägheitsmoment eines Körpers ist am geringsten, wenn er um eine Achse durch seinen Massenmittel-
punkt rotiert, wie hier im Beispiel gesehen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Beispiel 9.3, wo der Stab um eine
Achse durch ein Ende rotiert.
ÜBUNG: Vergleichen Sie die Trägheitsmomente eines Körpers bezüglich zweier paralleler Achsen. Zeigen Sie mit de m Stei-
ner'schen Satz, dass das kleinere Trägheitsmoment das bezüglich der Achse ist, die näher am Massenmittelpunkt liegt.
Durch Ausklammern der gemeinsamen Faktoren in diesen Summen erhalten wir
+ l) - 2xA Lmixi +(Lmi)(~ + y~).
1 = Lmi (i;
2YA LmiYi
z
A
t--- - + - - y
Der erste Term ist das Trägheitsmoment Is bezüglich einer
Achse durch den Massenmittelpunkt. Der zweite und der dritte
Term lassen sich mit der Beziehung Lmixi = mxs und LmiYi
= mys vereinfachen. Weil aber gilt: Xs = Ys = 0 sind auch der
zweite und der dritte Term null. Der vierte Term ist m h 2 •
Damit ergibt sich
9.11 Zum Beweis des Steiner'schen Satzes.
1 = I s +m h2,
und das ist gen au der Steiner'sche Satz.
I 2.
58
I »> 9 DREHBEWEGUNGEN
BEISPIEL 9.5: Auto mit Schwungrad
Sie fahren ein Experimentalfahrzeug, das speziell für den Stop-and-go-Verkehr entwickelt wurde. Während in einem normalen Auto bei jedem Bremsen die kinetische Energie als Wärme dissipiert wird, wandelt der Bremsmechanismus dieses
Experimentalfahrzeugs die kinetische Energie der Linearbewegung in die Rotationsenergie eines schweren Schwungrads um.
Beim Fahren speist das Schwungrad seine kinetische Energie in den Antriebsstrang, wo es wieder in Bewegungsenergie
zunickverwandelt wird. Das Schwungrad ist 100 kg schwer und besteht aus einem Hohlzylinder (Innendurchmesser TI =
25 cm, Außendurchmesser r~ - 40 cm). Die maximale Drehzahl ist 30 000 U· min 1. In einer trüben, dunklen Nacht, noch
25 km von zuhause entfernt, geht Ihnen der Sprit aus. Das Schwungrad dreht sich mit Maximaldrehzahl. Hat es genug
Energie gespeichert, um Sie und Ihre zunehmend nervöse Großmutter nach Hause zu bringen? (Wenn Sie auf der Landstraße mit 70 km/h fahren, werden durch Luftwiderstand und Reibung 10 kW dissipiert.)
IM KONTEXT
Problem beschreibung: Die kinetische Energie berechnet man direkt aus der Formel E kin =
U (j} .
Lösung:
1. Di e kineti che Energie der Rotation ist:
2. Berechne n Sie das Trägheitsmoment des Hohlzylinders:
3. Geben ie di e Winkelge chwindigkeit w in rad· s - I an:
w = 30000 U/min
= 3140 rad
4. etzen ie die e Werte e in, um di e kineti che Energie zu
berechnen:
E kin
5. Bei einer Ge chwindigkeit von 70 km/h werden 10 kW
di ipiert. m die Energie zu berechnen , die während der
trecke von 25 km di ipiert wird , brauchen wir die Zeit, in
der die e trecke zurückgelegt wird:
tu = v ßt,
6. Es wird während 1285 s die Leistung 10 kW dissipiert; di e
dissipierte Gesamtenergie ist dann :
12,85 MJ ~13 MJ
7. Reicht die Energie für die Heimfahrt?
54,8 MJ sind gespeichert, 13 MJ werden dissipiert
·
S-l
= ~ l w2 = 54,8 MJ
also
ßt
25
= 70 h = 1285 s
Ja , die gespeicherte Energie ist mehr als ausreichend.
Komment ar: In einem Liter Treibstoff sind etwa 35 MJ Energie enthalten. Bei einem Gesamtwirkungsgrad von 10% im
Stadtverkehr werden effektiv also nur 3,5 MJ für die Fortbewegung eingesetzt. Die Energiedissipation in dem obigen Beispiel
ent pricht dann einem Treibstoffverbrauch von gut 15 U100 km .
9.3 BERECHNUNG VON TRÄGHEITSMOMENTEN «<
BEISPIEL 9.6: Einseitig aufgehängter Stab
Ein gleichförmiger dünner Stab der Länge f und der Masse 111 ist an einem Ende drehbar aufgehängt, wie in Abbildung 9.12
gezeigt. Er wird horizontal gehalten und dann losgelassen. Nehmen Sie an, die Lagerung ist reibungsfrei. Berechnen Sie
a) die Winkelgeschwindigkeit des Stabs, wenn er die vertikale Lage erreicht, und b) die Kraft, die dann auf die Lagerung
ausgeübt wird. c) Welche Anfangswinkelgeschwindigkeit muss der Stab haben, damit er in vertikaler Lage nach oben
schwingt?
Problembeschreibung: a) Während der Stab nach unten
schwingt, nimmt seine potenzielle Energie ab, und die kinetische Energie nimmt zu. Da die Lagerung reibungsfrei ist,
bleibt die mechanische Energie erhalten. b) Um die Kraft auf
die Lagerung zu berechnen, wenden wir das zweite Newton'sche Axiom für ein System an. c) Wie in Teil a wenden
wir den Erhaltungssatz für die mechanische Energie an.
~------- e ---------
+Y
••
o I--
--------------------'':' ________ !
_________ _
/
+
YS,E
- - ~
Ekin.E
+ EpOl,E =
E kin •A
I [
+ mg YS,E = 'I2 [ W 2A + mg YS ,A
Lösung:
S
Teilaufgabe a
1. Zeichnen Sie ein Diagramm mit der Anfangs- und End-
stellung des Stabs (Abbildung 9.12). Fügen Sie eine vertikale
Koordinatenachse ein; die positive y-Achse soU nach oben
zeigen und der Koordinatenursprung im Drehpunkt liegen.
2. Wenden Sie die Erhaltungssätze für die mechanische
Anfangs- und Endenergie (Ekin und EpoJ an:
9 .12
'2
3. Lösen Sie nach
WE
2
WE
+ Epol,A
auf:
4. Entnehmen Sie der Tabelle 9.1 das Trägheitsmoment [
und setzen Sie in das Ergebnis von Schritt 3 ein:
+Y
'r
,~
o
",
e/ 2
1
Teilaufgabe b
1. Zeichnen Sie das Kräftediagramm für den Stab, wenn er
beim Herunterschwingen durch die vertikale Lage geht
(Abbildung 9.13).
2. Wenden Sie das zweite Newton'sche Axiom für Systeme
auf den Stab an. Wenn sich der Stab durch den tiefsten
Punkt bewegt, erfährt der Massenmittelpunkt eine Beschleunigung an in zentripetaler (also nach oben weisender)
Richtung. Mit Fexl bezeichnen wir die äußeren Kräfte auf
den Stab, die auf die Lagerung ausgeübte Kraft ist FL :
9 .13
I
+
I 2~
260
I > > > 9 DREH BEWEGUNGEN
3. Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen der
Beschleunigung des Massenmittelpunkts und der Winkelgeschwindigkeit her, indem Sie die Formel an = rw~
anwenden. Setzen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe a für WE
ein und lösen Sie nach an auf:
an
4. Setzen Sie das Ergebnis aus Schritt 2 der Teilaufgabe b ein
und berechnen Sie die Kraft FL auf die Lagerung:
FL
Tellaufgabe c
1. Die Anfangswinkelgeschwindigkeit
WA hängt folgendermaßen mit der kinetischen Anfangsenergie zusammen:
= rw~
e 3g
3
an = 2,'7 = '2 g
3
= mg + man = mg + m '2g
= I ~ mgl
Ekin,A
= ~ I w~
+Y
YS,E
2. Zeichnen Sie ein Kräftediagramm des Stabs mit seiner
Anfangs- und Endlage (Abbildung 9.14). Fügen Sie eine
vertikale Koordinatenachse ein; die positive y-Achse soll
nach oben zeigen und der Koordinatenursprung im Drehpunkt liegen.
3. Wenden Sie den Energieerhaltungssatz mit Ekin,E = 0 und
Epol.A = 0 an, um ei nen Zusammenhang zwischen der kineti chen Anfangs- und Endenergie herzustellen:
--t<-
S
--------------------
•
+0 -' r--------------------
~I--·--e-9.14
+ E POI,E = Ekin,A + E pot,A
'2I I w2E + mgYs,E = '2I I w2A + mgYs,A
E kin,E
o+ mg . -2e =
~ I w~
+0
4. Lösen Sie nach der anfänglichen Winkelgeschwindigkeit
auf:
Kommentar: Es ist kein Zufall, dass die Lösungen für die Teilaufgaben a und c identisch sind. Die Abnahme der potenziellen Energie in Teil a ist genauso groß wie die Zunahme der potenziellen Energie in Teil b. Daher sind auch die Zunahme
der kineti chen Energie in Teil a und die Abnahme der kinetischen Energie in Teil c gleich.
9 .3 BERECHNUNG VON TRÄGHEITS MOMENTEN «<
BEISPIEL 9.7: Die Seilwinde
Über einem tiefen Brunnen befindet sich eine Seilwinde, mit der man einen Eimer herablassen und wieder hochziehen
kann. Ihre Trommel hat die Masse I11 Trul11mcl und den Radius r; sie hat die Form eines Hohlzylinders, d. h., die gesamte Masse
scheint in einem Abstand,. von der Drehachse konzentriert. Um die Trommel ist ein Seil gewunden, an dem ein Eimer mit
der Masse II/ [,mcr hängt. Das Seil hat die Masse fIIS<1i und die Länge C. Gerade als Sie den Eimer ganz nach oben gezogen
haben, rutschen Sie ab, und der Eimer fällt wieder in die Tiefe. Dabei wickelt sich das Seil bis zum Schluss von der Trommel
ab. Wie schnell bewegt sich der Eimer nach einer Strecke d, wenn d kleiner ist als die Seillänge I?
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Während der Eimer nach unten fällt , bleibt die mechanische Energie erhalten. Die anfängliche
potenzielle Energie soll null sein . Wenn der Eimer die Strecke d gefallen ist, dann ist der Massenmittelpunkt des hängenden
Seils um die Strecke d/2 gefallen. Da der hängende Teil des Seils sich mit der Geschwindigkeit v bewegt und das Seil sich
weder dehnt noch schlaff wird, muss sich das gesamte Seil mit der Geschwindigkeit v bewegen. Der Betrag von v lässt sich mit
Hilfe der Energieerhaltung berechnen.
Lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils, die Ergebnisse selbst zu ermitteln.
Schritte
1. Zeichnen Sie das System aus Winde, Seil und Eimer in
seinem Anfangs- und in seinem Endzustand (Abbildung
9.15). Fügen Sie eine y-Achse ein, der Ursprung liegt im
Mittelpunkt der Winde.
Ergebnisse
Vorher
+y
+y
o
Nachher
!Seil
0
1
d/ 2
d
s.
I
- mSeiJ
'v
9.15
2. Wenden Sie den Energieerhaltungssatz an. Die potenzielle Energie E pot soll null sein , wenn sich der Wassereimer
in seinem höchsten Punkt befindet.
3. Berechnen Sie die gesamte potenzielle Energie, wenn der
Wassereimer die Höhe d gefallen ist. Mit m ~eil bezeichnen
wir die Masse des von der Winde abgewickelten, herunterhängenden Teils des Seils.
4. Berechnen Sie die kinetische Gesamtenergie, wenn der
Eimer mit der Geschwindigkeit v fälJt. Das gesamte Seil und
die gesamte Masse der Trommel bewegen sich mit derselben
Geschwindigkeit v wie der Eimer.
. (- 2"d) + 0
= IIl bm<r g . ( - d ) + 111 S<,I g.
--
!2 Jll E..lIllcr
"~
+ !:! Jl1 St.'11
· 1,2 + ! /Il 1 mmm,-:1 1'"
~
I
261
62
I
»> 9 DREHBEWEGUNGEN
5. Setzen Sie das in den Energieerhaltungssatz (Schritt 2) ein
und lösen Sie nach v auf:
so dass
v=
(nZEimcr
6. Nehmen Sie an, das Seil ist gleichförmig; drücken Sie dann
m ' eil mit Hilfe von mSeih d und e aus:
mS Cil
+ /71S e il + nZTrommcl)
mSeil
°T=-e-
=?
7. Setzen Sie das Ergebnis aus Schritt 6 in das aus Schritt 5
ei n:
Kommentar: Weil sich die gesamte Masse der Seiltrommel mit derselben Geschwindigkeit v bewegt, lässt sich ihre kinetische Energie als ~mTrommel v 2 ausdrücken. Die kinetische Energie ist aber auch ~ [Trommel vi mit [Trommel = mTrommel rund
2
cu = vlr. Setzt man dies ein, so ergibt sich die kinetische Energie zu Ekin.Trommel = UTrommel cu = ~ mTrommel r(v 2 Ir) = ~mTrommeIV2.
9.16 Eine Scheibe wird durch zwei tangential angreifende Kräfte in
Drehung versetzt.
~
\
\
TangentiaJ- ---\
richtung
\~{~
F
,
\
(
\
\ Ft
A
9.18 Ein Teilchen mit der Mas e mit durch eine n masseJosen Stab in
sei ner Bewegung auf eine Kreisbahn mit dem Radius,. be chränkt.
Wirkt eine Kraft F auf das Tei lchen. so kann man für di e Tangentialkomponente der Kraft da zweite ewton'sche Axiom anwenden.
9.17 Zwei radial angreifende Kräfte versetzen die Scheibe nicht in
Drehung.
9.4 Das zweite Newton/sehe Axiom für
Drehbewegungen: Der Drehimpuls
Um einen Kreisel zum Rotieren zu bringen, muss man ihn
"andrehen". Abbildung 9.16 zeigt, wie eine Scheibe durch
zwei Kräfte F 1 und F 2 in Drehung versetzt wird, die am Rand
der Scheibe in tangentialer Richtung angreifen. Die Richtung
der Kräfte ist wesentlich: Würden die beiden Kräfte in radialer
Richtung wirken (Abbildung 9.17), würde sich die Scheibe
nicht drehen.
Abbildung 9.18 zeigt ein Teilchen der Masse m, das an einem
masselosen starren Stab der Länge r angebracht ist. Betrachten
wir eine Achse am anderen Ende des Stabs, um die der Stab
rotieren kann. Dann muss sich das Teilchen auf einer Kreisbahn
vom Radius r bewegen. Wenn eine einzige Kraft Fin der gezeigten Weise auf das Teilchen wirkt, dann können wir das zweite
Newton'sche Axiom auf das Teilchen anwenden. Für die tangentiale Komponente ergibt sich:
9.4 DAS ZWEITE NEWTON'seHE AXIOM FÜR DREH BEWEGUNGEN: DER DREHIMPULS «<
I 21
Wir wollen eine Gleichung ableiten, in der die Drehgrößen mitenthalten sind. Ersetzen wir a, durch ra (Gle ichung 9.8) mit
Winkelbeschleunigung a und multiplizieren beide Seiten mit r,
ergibt sich
rF,=mra .
(9.14)
Das Produkt r F, heißt das mit der Kraft F, verbundene Drehmoment M*:
(9.15)
DREHMOMENT
Setzt man die Definition des Drehmoments in Gleichung 9.14
ein, erhält man
(9.16)
Einen starren Körper, der um eine feste Achse rotiert, kann man
sich als eine Ansammlung von einzelnen Teilchen denken, von
denen sich jedes auf einer Kreisbahn bewegt. Alle Teilchen
haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit Q) und dieselbe Winkelbeschleunigung a. Mit Gleichung 9.16 gilt für das i-te dieser Teilchen
M i =mir7 a .
Dabei ist Mi das Drehmoment, das mit der Gesamtkraft auf das
i-te Teilchen verbunden ist. Summiert man beide Seiten dieser
Gleichung über alle Teilchen, ergibt sich
Drehmomentschlüssel erlauben beim Eindrehen von Rohrverbindungen die vorgegebene Kraft exakt einzuhalten.
(9. 17)
In Kapitel 8 haben wir gesehen, dass die resultierende Kraft auf
ein Teilchensystem gleich der Summe der resultierenden äußeren Kräfte ist, die auf das System wirken, weil die inneren Kräfte
(also die Kräfte, die die Teilchen des Systems aufeinander ausüben) sich paarweise neutralisieren. Die Behandlung von internen Drehmomenten , die die Teilchen des Systems aufeinander
ausüben , führt zu einem ganz ähnlichen Ergebnis: Das resultierende Drehmoment auf ein System ist gleich der Summe der resultierenden äußeren Drehmomente, die auf das System wirken.
Wir werden diesen Ansatz in Kapitel 10 weiter vertiefen. Hier
soll es genügen, Gleichung 9.17 umzuformen:
M ex, = LMeXl,i
+ .. -
= l a.
9.19 Die Kraft F erzeugt ein Drehmoment Ftr bezüglich der Dreh-
ZWEITES NEWTON 'SC HES AxiOM fÜR DREH BEWEGUNGEN
Das ist für die Drehbewegung das Analogon für das zweite
ton'sche Axiom der Linearbewegung: FeX! = m a.
ach e.
ew-
Berechnung von Drehmomenten
* Das Drehmoment ist wie die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor.
Solange das Drehmoment, wie in diesem Kapitel, nur eine Komponente besitzt, gilt M = r Ft = Ft r. Im allgemeinen Fall ist aber die
Reihenfolge von rund F t von großer Bedeutung; siehe Kapitel 10.
(Anm. des Hrsg.)
Eine Kraft F wirkt auf ei ne Scheibe, die in ihrem Mittelpunkt
drehbar gelagert ist (Abbi ldung 9.19). Die Drehach e A (in
de r Abbildung nicht sichtbar) verlä uft durch 0 und tcht senkrecht zur Zeichenebene. Die Kraft lässt sich zerlegen in ei ne
radiale und e ine tangentiale Komponente. Die po itive tangential e Richtung ist im Angriff punkt der Kraft ei ngezeichnet: r i t
der radiale Abstand zwi chen die em Punkt und der Drehach e.
Fluide*
3
Der 1936 fertig gestellte Hoover
Dam in einer Schlucht des Colorada-River an der Grenze zwischen
Nevada und Arizona ist an seiner
Basis 200 m breit, an der Krone
dagegen nur knapp 14 m .
?
Staudämme werden stets so
gebaut, dass sie am Fuß dicker sind
als an der Krone. Warum? (Siehe
Beispiel 1 3.2.)
13.1
Dichte
1 3.2
Druck in einem Fluid
1 3.3
Auftrieb und archimedisches Prinzip
13.4
Bewegte Fluide
Unter der Bezeichnung "Fluid" fasst man Gase und Flüssigkeiten zusammen. Flüssigkeiten fließen unter dem Einfluss der Schwerkraft, bis sie die
tiefstmögliche Position in ihrem Behältnis eingenommen haben. Gase
dagegen dehnen sich aus, bis sie ihr Behältnis vollständig ausgefüllt
haben. Fluide kommen in unserer Umwelt, aber auch in unserem Körper
vor. Um ihr Verhalten erklären zu können, muss man eine Menge über uns
selbst und unsere Wechselwirkungen mit der Umwelt verstehen.
~2
I
>>> 13 FLUIDE
Tabelle 13.1 Die Dichte ausgewählter
Substanzen in kg/m 3 *
105
104
103
kg/m 3
Osmium, 22,5 . 103
Gold, 19,3 . 103
Quecksilber, 13,6 . 103
Blei, 11,3 . 103
t=:::l-- - - - Kupfer, 8,93 ·103
r--ö-_ - - - Eisen, 7,96 . 103
~-- Erde (durchschnittlich), 5,52 . 103
Zement, 2,7-3,0 ·103
Aluminium, 2,70 ·103
r---F:::::::"'- - Glas (gewölmlich), 2,4-2,8 ·103
1--- - Knochen, 1,7-2,0 . 103
Ziegelstein, 1,4-2,2 ·103
Meerwasser, 1,025 .103
Wasser, 1,00 .103
Eis, 0,92 ·103
Alkohol (Ethanol), 0,806 .103
Benzin, 0,68 ·103
Holz (Eiche), 0,6-0,9 ·103
~ Wir
beginnen dieses Kapitel mit einer Untersuchung von
ruhenden Fluiden und untersuchen danach stationäre Strömungen; dabei widmen wir uns besonders den laminaren Strömungen.
In einem Gas ist die mittlere Entfernung zwischen zwei Molekülen verglichen mit der Größe eines Moleküls recht groß. Die
Moleküle üben kaum einen EinOuss aufeinander aus, außer
während der kurzen Zeitspanne ihrer Stöße. In einer Flüssigkeit
oder einem Feststoff sind die Moleküle dagegen dicht beieinander und üben Kräfte aufeinander aus, deren Stärke in der Größenordnung der molekularen Bindungskräfte ist. Moleküle in
einer Flüssigkeit bilden kurzreichweitige Bindungen aus, die
permanent gebrochen und neu formiert werden; Ursache
dafür ist die von der Temperatur abhängige kinetische Energie
der Moleküle. Diese Bindungen halten die Flüssigkeit zusammen; wären sie nicht vorhanden, würde die Flüssigkeit sofort
verdunsten, und die Moleküle würden sich als Dampf verflüchtigen. Die Stärke der Bindungen in einer Flüssigkeit hängt von
der Art der Moleküle ab, aus denen die Flüssigkeit besteht. Beispielsweise sind die Bindungen zwischen Heliummolekülen nur
sehr schwach; daher lässt sich Helium bei normalem Druck erst
bei einer Temperatur von 4,2 K oder darunter verflüssigen.
1()2
13.1 Dichte
Eine wichtige Eigenschaft jeder Substanz ist das Verhältnis von
ihrer Masse zu ihrem Volumen, das man die Dichte nennt:
10
Masse
· h
D lC t e = - - - Volumen
1
f---- - -
1----1--
-
-
Luft , 1,293
Als Formelzeichen verwendet man meist den griechischen
Buchstaben p (rho):
(13.1)
Dampf, 0,6 (100 °C)
DEFINITION DER DICHTE
1-- - -
0,1
-1-.......1._ __
_
Helium, 0,1786
Wasserstoff,0,08994
• fest
• flüssig • gasförmig
* Die Werte beziehen sich, wenn nicht anders angegeben, auf
Normalbedingungen mit T=O °C und P= 1,01 bar.
Weil das Gramm ursprünglich als die Masse von einem Kubikzentimeter Wasser definiert war, ist die Dichte von Wasser in
den so genannten cgs-Einheiten (das Einheitensystem, das auf
den Basiseinheiten Zentimeter, Gramm und Sekunde aufbaut)
genau 1 g/cm3. Im heute üblichen Internationalen Einheitensystem (SI) ergibt sich für die Dichte von Wasser
Pw
= ~.
3
cm
1 kg . (100 cm)3 = 103 k 1m 3 .
103 g
1m
g
(13.2)
Bei Präzisionsmessungen der Dichte muss man auch die Temperatur angeben, da die Dichte der meisten Materialien - auch von
Wasser - sich mit der Temperatur ändert. Gleichung 13.2 gibt
den Maximalwert für die Dichte von Wasser an; er bezieht sich
auf eine Temperatur von 4 oe. In Tabelle 13.1 ist die Dichte für
eine Reihe verschiedener Materialien aufgeführt. Beachten
Sie die logarithmische Einteilung der Achse.
Eine verbreitete Volumeneinheit für Fluide ist der Liter mit dem
Einheitenzeichen 1oder L; wegen der Verwechslungsgefahr mit
der Zahl 1 zieht man heute das L vor. Es gilt:
13.2 DRUCK IN EINEM FLUID < < <
I 3~
BEISPIEL 13.1: Berechnung der Dichte
Ein 200-ml-Messbecher ist mit Wasser von 4 C gefüllt. Wenn er auf 80 C erhitzt wird, laufen 6 9 Wasser über. Welche
Dichte hat Wasser von 80 C? (Nehmen Sie an, dass die Ausdehung des Bechers selbst vernachlässigbar ist.)
Problembeschreibung: Die Dichte von Wasser bei 80 °C beträgtp~ = mi/V; dabei gibt V = 200 ml =200 cm3 das Volumen
des Bechers und m ' die Masse der in dem Becher verbleibenden Wassermenge an. Man bestimmt m ' , indem man zunächst
die Masse des Wassers berechnet, di e anfangs in dem Becher war.
Lösung :
1. Berechnen Sie die Ausgangsrnasse m des Wassers in dem
Becher bei 4 °C; verwenden Sie die Dichte Pw = 1,00 glcrn 3 :
m = Pw V = (1,00 g/cm 3 )
2. Berechnen Sie die Masse m ' des in dem Becher verbleibenden Wassers, nachdem 6 g Wasser übergelaufen sind:
m ' = m - 6 g = 200 g - 6 g = 194 g
3. Setzen Sie den erhaltenen Wert von m ' ein, um die Dichte
von Wasser bei 80 °C zu berechnen:
.
(200 cm 3 ) = 200 g
'
I
Pw
= -m = 194 g 3 = 10,97
V
200 cm
g/c~
31
ÜBUNG: Ein massiver Metallwürfel mit der Kantenlänge 8 cm hat eine Masse von 4,08 kg. a) Welche Dichte hat der Würfel?
b) Der Würfel ist aus einem einzigen chemischen Element gefertigt. Schlage n Sie in Tabelle 13.1 nach, um zu sagen, aus
welchem Element der Würfel besteht. (Lösung: a) 7,97 kg/l , b) Eisen.)
ÜBUNG : Ein Goldbarren misst 5 cm . 10 cm . 20
Cill.
Welche Masse hat er? (Lösung: 19,3 kg.)
In dieser Einheit beträgt die Dichte von Wasser bei 4 °C gerade
1,00 kgIL =l,OO glmL.
Ist die Dichte eines Körpers kleiner als die von Wasser,
schwimmt er auf dem Wasser; ist sie größer, dann versinkt er
im Wasser. Das Verhältnis der Dichte einer Substanz zu der
von Wasser nennt man die Dichtezahl oder spezifische Dichte.
Beispielsweise hat Aluminium eine spezifische Dichte von 2,7,
d. h. , ein bestimmtes Volumen von Aluminium hat die 2,7fache
Masse des gleichen Volumens Wasser. Die spezifische Dichte
von Materialien, die in Wasser versinken, reicht von 1 bis etwa
22,5, der Dichte von Osmium. Osmium ist das Element mit
der höchsten Dichte. (Manchmal spricht man ungenau auch
von Osmium als dem "schwersten" Element.)
Die meisten Feststoffe und Flüssigkeiten dehne n sich bei Erhitzung nur wenig aus und ziehen sich auch nur wenig zusammen,
wenn man sie einem erhöhten Druck aussetzt. Da die Volume nänderungen relativ gering sind, kann man die Dichte von Festkörpern und Flüssigkeiten als näherungsweise unabhängig von
Temperatur und Druck ansehen. Beispiel 13.1 verdeutlicht die
geringen Dichteunterschiede für Wasser. Die Dichte eines
Gases dagegen hängt sehr stark von Temperatur und Druck
ab; gibt man die Dichte an, so muss ma n auch diese Variablen
angeben. Üblicherweise sind die Standardbedingungen für die
Messung von physikalischen Eigenschaften der Luftdruck auf
Meereshöhe und eine Temperatur von O°e. Die Dichte der in
Tabelle 13.1 aufgeführten Substanzen bezieht sich auf diese
Bedingungen . Beachten Sie, dass die Dichte der Flüssigkeiten
und Feststoffe erheblich höher sind als die Dichte von Gasen
(aus diesem Grund wird in der Tabelle ei ne logarithmische Teilung verwendet). Beispielsweise ist die Dichte von Wasser etwa
800-mal größer als die von Luft unter Standardbedingungen.
In der Technik arbeitet man häufig mit dem Begriff Wichte.
Diese Größe ist definiert als der Quotie nt aus der Gewicht kraft
eines Körpe rs und seinem Volumen. Die Wichte ist daher gleich
dem Produkt aus der Dichte P und der Erdbeschleunigung g:
Fa mg
pg = -V = -Y'
De r für diese Größe früher gebräuchbche Name" pezifisches
Gewicht" soll nicht me hr verwendet werden. Die Wichte von
Wasser beträgt
13.2 Druck in einem Fluid
Wenn ein Körper in ein Fluid (z. B. Wasser) eintaucht, übt da
Fluid eine Normalkraft F n auf die Körperoberfläche A au , die
in jedem Punkt senkrecht zur Oberfläche gerichtet i t, d. h. F n
und A haben gleiche Richtung. Diese Kraft, bezogen auf die Einheitsfläche, nennt man den Druck P des Fluids. Da der Druck in
Normalenrichtung der Fläche wirkt, betrachten wir im Folgenden die Normalenkomponenten, so dass gilt:
(13.3)
DEFINITION DES DRUCKS
94
I
»> 13 FLUIDE
Tabelle 13.2 Näherungswerte für den
Kompressionsmodul K von verschiedenen
Materialien
Die SI-Einheit des Drucks ist Newton pro Quadratmeter
(N/m 2 ); für diese abgeleitete Einheit benutzt man den Namen
Pascal (abgekürzt Pa):
(13.4)
Als spezieller Name für das 105 fach e e in es Pascals ist die
Bezeichnung Bar (Ei nheitenzeichen bar) zulässig; in der Meteorologie verwendet man meist die kleinere Einheit Millibar
(mbar). Es gi lt somit
650BDiamant, 620
600
1 bar = 103 mbar = 100 kPa.
200
(13.5)
Wolfram, 200
Damit ist 1 mbar = 1 hPa (Hektopascal, 100 Pa).
GN/m 2
f---+-- Stahl, 160
150
f---+-- Kupfer, 140
Eine ältere, gesetzlich nicht mehr zul ässige Druckeinheit ist die
Atmosphäre (Einheitenzeichen atm) , die den normalen Luftdruck (Normaldruck) auf Meereshöhe angibt. Es gilt die
Umrechnung:
100 f---+-- Eisen, 100
1 atm = 101325 Pa.
f---+-- Aluminium, 70
50 f---+-- Messing, 61
(13.6)
Durch den wirkenden Druck in einem Fluid wird der Körper
komprimiert. Das Verhältnis von Druckzunahme I:!..P zur relativen Volumenabnahme (I:!..V/V) wird KompressionsmoduJ K
genannt:
f---+-- Quecksilber, 27
~ Blei, 7,7
o - - ' Wasser, 2,0
(13.7)
DEFINITION DES KOMPRESSIONSMODULS
A
Das Minuszeichen in Gleichung 13.7 hat den Zweck, den Zahlenwert des Kompressionsmoduls positiv zu machen , da das
Volumen von jedem Stoff abnimmt, wenn man ihn einem steigenden äußeren Druck aussetzt.
Je schwieriger es ist, ein Material zu komprimieren , umso kleiner ist die relative Volumenabnahme -I:!.. V IV für eine gegebene
Drucksteigerung I:!..P und umso größer ist der Kompressionsmodul. Als Kompressibilität bezeichnet man den Kehrwert des
Kompressionsmoduls Ge leichter zu komprimieren ein Material
ist, umso größer ist ist die Kompressibilität); man verwendet das
Formelzeichen K (kappa). Alle Materialien - seien es Gase,
Flüssigkeiten oder Feststoffe - haben einen Kompressionsmodu!. Da Flüssigkeiten und Feststoffe sich nur schwer komprimieren lassen, weisen sie relativ hohe K-Werte auf, die nur wenig
von der Temperatur und vom Druck abhängen. Gase sind dagegen leicht komprimierbar; der Wert ihres Kompressionsmoduls
hängt stark von Tem peratur und Druck ab. Tabelle 13.2 führt die
K-Werte für verschiedene Feststoffe und Flüssigkeiten auf.
13.1 In einer Wassersäule mit der Höhe /}.h und der Querschnittsfläche A muss de r Druck P am Boden größer sein als der Druck Po am
oberen E nde, um die Gewichtskraft des darüber laste nde n Wassers
auszugleichen.
Wie jeder Sporttaucher weiß, nimmt der Wasserdruck mit steigender Tiefe zu. In ähnlicher Weise nimmt der Atmosphärendruck mit wachsender Höhe ab. Bei e iner Flüssigkeit wie Wasser, dessen Dichte näherungsweise konstant bleibt, nimmt der
Druck linear mit der Tiefe zu. Dies lässt sich herl eiten, indem
man eine Wassersäule mit der Querschnittsfläche A betrachtet
(Abbildung 13.1). Auf dem Boden lastet die Gewichtskraft der
Wassersäule mit der Höhe I:!..h; daher muss am Boden der
Druck größer sein als am oberen Ende der Wassersäule. Die
Wassersäule übt die Gewichtskraft
FG = mg = (pV)g = pA I:!..hg
13.2 DRUCK IN EINEM FLUID «<
BEISPIEL 13.2: Die Kraft auf einen Staudamm
Ein rechteckiger Staudamm ist 30 m breit; der Wasserspiegel im Stausee misst 25 m . Berechnen Sie die horizontale
Gesamtkraft auf den Damm.
Problembeschreibung: Da der Druck sich mit der Wassertiefe ändert, kann man nicht einfach den Druck mit der
Fläche des Staudamms multiplizieren, um die von den
Wasserrnassen ausgeübte Kraft zu berechnen. Betrachten
Sie stattdessen die Kraft auf einen = 30 m breiten
Streifen mit der Höhe dh und der Fläche dA = edh , der
sich in der Höhe h unterhalb der Wasseroberfläche befindet (Abbildung 13.2) und integrieren Sie von h = 0 bis
h = h o= 25 m. Der Wasserdruck in der Tiefe h beträgt
Pa. + P g h . Der atmosphärische Druck fällt aus der Rechnung heraus, weil er auf beide Seiten des Staudamms
wirkt.
e
Lösung:
1. Drücken Sie die Kraft dF auf einen Streifen der Breite
mit der Höhe dh mit Hilfe des Nettodrucks phg aus:
e
2. Integrieren Sie von h = 0 bis h = ho:
13.2
dF = P dA = P g h e dh
F
=
1
"=""dF =
"=0
3. Setzen Sie die gegebenen Werte ein und geben Sie ein
numerisches Ergebnis an:
1""
2
P g h edh = P g (h-
0
j".= -] p g eh~
2 ()
2
F = ~ pg e h~
= ~ (1000
kglm 3 ) . (981 N /kg) . (30 m) . (25 mf
= 1 9,20 .107
Komment ar: Staudämme sind typischerweise am Fuß dicker als an der Krone, weil der Wasserdruck auf den Damm mit der
Tiefe des gestauten Wassers wächst. Da der Druck auf den Damm proportional zur Wassertiere ist, gilt für den mittleren
Druck (P) = Pa. + P g ho/ 2 (das ist der Druck bei der halben Höhe des Staudamms).
aus. Wenn der Druck oben als Po und am Boden als P bezeichnet
wird, entsteht durch den Druck unterschied eine nach oben
gerichtete resuJtierende Kraft PA - PoA. Setzen wir diese Kraft
mit der Gewichtskraft der Wassersäule gleich , so ergibt sich
PA - Po A
= pA fJ.h g
oder
P = Po + p g tl.h
(p konsta nt) .
(13.8)
ÜBUNG: Wie tief muss man in einem See tauchen, damit
der Druck 2 atm beträgt? (An der Oberfläche soll der
Druck 1 atm betragen.)
(Lösung: Mit Po= 1 atm = 101 kPa , P = 2 atm, p = 1000 kgl
m 3 und g = 9,81 mJs2 erhält man fJ.h = fJ.P I p g = 10,3 m. In
einer Tiefe von 10,3 m ist der Druck doppelt so hoch wie an
der Oberfläche.)
In Bei piel 13.2 wird die Beziehung zwi ehen Kraft und Druck
für infinitesimale Kräfte dF betrachtet, die integriert die G esamtkraft ergeben.
I
39
'6
I
»> 13 FLUIDE
(a)
(b)
Die Aussage, dass der Druck in einer Flüssigkeit linear mit der
Tiefe zunimmt, ist unabhängig von der Form des Behältnisses
der Flüssigkeit. Außerdem ist der Druck an allen Punkten in derselben Tiefe gleich. Man erkennt dies, wenn man den Druck in
Punkt 1 von Abbildung 13.3 a mit dem Druck von Punkt 2 vergleicht, der sich in einer Unterwasserhöhle befindet. Vergleichen Sie zunächst den Druck in Punkt 1 und Punkt 3, einem
Punkt direkt unterhalb von Punkt 1 in derselben Tiefe wie
Punkt 2 (Abbildung 13.3 b). Betrachten Sie nun die vertikalen
Kräfte auf eine senkrechte Wassersäule der Höhe !:1h und der
Querschnittsfläche A, die die Punkte 1 und 3 verbindet. Die
nach oben gerichtete Kraft P3 A gleicht die abwärts gerichteten
Kräfte P j A und mg aus; dabei ist m = pA!:1h die Masse des Wassers in der Säule (A!:1h ist das Volumen der Säule). Dann ist P 3A
= PIA + pA !:1h g. Teilt man dies durch A , so ergibt sich
(c)
13.3 In einer Flüssigkeit ist der Druck in allen Punkten in derselben
Tiefe gleich.
Betrachten Sie nun die Kräfte auf die horizontale Wassersäule,
ebenfalls mit der Querschnittsfläche A, die die Punkte 2 und 3
verbindet (Abbildung 13.3 c). Es gibt zwei Kräfte, die Komponenten entlang der Wassersäule aufweisen, nämlich P3 A und
P2 A. Da sich diese Kräfte ausgleichen, müssen die Drücke
gleich sein: P 3 =P2 . Dann gilt
Wenn man den Druck in einem Wassergefäß erhöht, indem man
mit einem Kolben auf die Oberfläche drückt, dann nimmt der
Druck in der gesamten Flüssigkeit gleichmäßig zu. Dies ist die
Aussage des Pascal'schen Prinzips (wie auch die Druckeinheit
benannt nach dem französischen Mathematiker, Philosophen
und Naturforscher Blaise Pascal, 1623 - 1662):
Die Druckänderung einer in einem Behältnis eingeschlossenen Flüssigkeit teilt sich unverändert jedem Punkt
innerhalb der Flüssigkeit und den Wänden des Behältnisses mit.
PASCAl'SCHES PRINZIP
13.2 DRUCK IN EINEM FLUID < < <
I
BEISPIEL 13.3: Hydraulische Hebebühne
Der große Kolben in einer hydraulischen Hebebühne hat einen Radius von 20 cm. Welche Kraft muss auf den kleinen Kolben
mit dem Radius 2 cm wirken, damit ein Wagen von 1500 kg gehoben wird?
Problembeschreibung: Der Druck P, multipliziert mit der Fläche A 2 des großen Kolbens, muss die Gewichtskraft m g des
Wagens ausgleichen. Die Kraft F i auf den kleinen Kolben berechnet man aus diese m Druck mal der Fläche A I des kle inen
Kolbens.
Lösung:
1. Die Kraft F I auf den kleinen Kolben ist der Druck P,
multipliziert mit der Fläche AI:
FI = PA I
also
2. Der Druck, multipliziert mit der Fläche A 2 , ergibt die
Gewichtskraft des Wagens:
3. Setzen Sie dieses Ergebnis für P in Schritt 1 ein und
berechnen Sie F i :
F i = PA I
mg
AI
TC ?'
= - AI = mg - = mg - 1
A2
A2
TC~
= (1500 kg) . (9,81 N/kg) .
Das Pascal'sche Prinzip wird beispielsweise in hydraulischen
Anlagen wie in Abbildung 13.4 oder in Beispiel 13.3 ausgenutzt.
Al
Kleiner Kolbe n
(2
cm)2 = 1147
20 cm
NI
Großer Kolben
Abbildung 13.5 zeigt eine Anordnung von mehreren unterschiedlich geformten, oben offenen Röhren, die miteinander
verbunden sind. Man spricht hier von kommunizierenden Röhren. Auf den ersten Blick könnte man annehmen , dass der Druck
am Boden von Röhre 3 am größten und am Boden von Röhre 2
am kleinsten wäre. Denkt man diese Annahme aber zu Ende,
dann müsste das Wasser in Röhre 2 höher stehen als in den anderen Röhren. Das ist offensichtlich nicht der Fall, der Wasserspiegel in allen kommunizierenden Röhren ist gleich hoch; diesen
Effekt nennt man das hydrostatische Paradoxon.
, Der Druck hängt nur von der Wasserhöhe ab, nicht von der Form
• des Gefäßes. Daher ist der Druck, wie sich experimentell leicht
überprüfen lässt, in jedem Teil des Gefäßes in derselben Tiefe
derselbe.
1
2
3
13.4 Hydraulischer Lift. Wirkt eine kleine Kraft F I auf de n kl einen
Kolben, so erze ugt sie eine Druckänderung FI/AI> di e auf den großen
Kolben übertrage n wird . Da di e Druckände rung bei dem kle inen und
bei dem großen Kolben gleich ist, hänge n die Krä fte übe r die Beziehung F2/A 2 = FI/A I zusamme n. Weil die Fläche des großen Ko lbens vie l
größer ist als di e Fläche des kleinen Kolbens, ist di e Kra ft auf den
großen Kolben F2 = (A 2/A I )FI viel größer als F I
4
5
13.5 Kommunizierende Röhren. Der Wasserspiegel ist in alle n Teilen der Anordnung gleich hoch, un ab hängig von der unterschied lichen Form
der Röhren. Die Gewichtskraft von dem schattierte n Teil des Wassers wird durch die Gefäßwä nde ausgeglichen.
Natürlich enthalten die verschiedenen Röhre n des Gefäßes in
Abbildung 13.5 unterschiedlich viel Wasser, und somit ist auch
ihre Gewichtskraft unterschiedlich (beispielsweise wi egt das
Wasser in Röhre 4 mehr als in Röhre 2). Aber der Teil des Wassers, der sich nicht direkt über dem Grund von Röhre 4 befindet,
wird von dem horizontalen Gefäßrand "getragen". In gleicher
39
98
I
»> 13 FLUIDE
p
13.6 OfSenes Manometer zur Messung des unbekannten Drucks P.
Die Differe nz P - P al ist gleich p g h.
Man kann die Erscheinung, dass die Druckdifferenz der Tiefe in
einer Flüssigkeit proportional ist, zum Messen von unbekannten
Drücken ausnützen. Abbildung 13.6 zeigt ein einfaches Druckmessgerät, das offene Manometer, wegen seiner Form auch URohr-Manometer genannt. Das Messrohr ist oben offen, dort
herrscht der Atmosphärendruck Pa•. Das andere Ende des
Rohrs ist geschlossen, an ihm herrscht der zu messende Druck P
Die Differenz zwischen "absolutem" Druck P und dem atmosphärischen Druck P a. nennt man atmosphärische Druckdifferenz oder Überdruck Pe (der Index e kommt vom lateinischen
excedere für "überschreiten"). D er Überdruck hängt mit dem
Gewicht der überstehenden Flüssigkeitssäule gemäß Pe =
P - Pa. = P g h zusammen; dabei ist p die Dichte der im Rohr
stehenden Flüssigkei t. Den Überdruck misst man beispielsweise
an einem Autoreifen: Ist der Reifen völlig platt, so ist der Überdruck null , aber der absolute Druck im Reifen ist der Atmosphärendruck. Für Pe< Pa. soll man laut DIN übrigens nicht von
einem Unterdruck sprechen, sondern von einem negativen
Überdruck. Den absoluten Druck P erhält man aus dem Überdruck, indem man den Atmosphärendruck hinzuaddiert:
p =o
(13.9)
In der älteren Literatur und im Sprachgebrauch findet man
manchmal noch die besondere Einheit "atü" zur Messung
eines Überdrucks. Diese Bezeichnung soll nicht mehr verwendet werden.
13.7 Geschlossenes Quecksilberbarometer nach Torricelli.
Weise wiegt beispielsweise das Wasser oberhalb der Bodenöffnung von Röhre 5 weniger als das Wasser oberhalb einer gleich
großen Bodenöffnung von Röhre 1. Aber der horizontale
Gefäßrand von Röhre 5 übt eine nach unten gerichtete Kraft
auf das Wasser aus, die das geringere Gewicht genau ausgleicht.
Abbildung 13.7 zeigt ein einfaches Quecksilberbarometer zur
Messung des atmosphärischen Drucks. (Ein Barometer ist eine
spezielle Bauform eines Manometers zur Messung des Luftdrucks.) Das Messprinzip wurde von dem italienischen Naturforscher Evangelista Torricelli (1608-1647) angegeben: Das obere
Ende der Röhre ist versiegelt und evakuiert, so dass dort (bis
auf kleine Korrekturen) der Druck null herrscht. Das untere
Ende der Röhre taucht in ein Quecksilberbad, das dem Atmosphären druck ausgesetzt ist. Der Atmosphärendruck ergibt sich
dann als Pa. = P g h , wobeip die Dichte des Quecksilbers angibt.
ÜBUNG : Bei oce beträgt die Dichte von Quecksilber
13,595'103 kg/m 3• Wie hoch steht dann die Quecksilbersäule in einem Barometer bei einem Atmosphärendruck
von 1 atm=101325 Pa?
(Lösung: h = P/p g = 0,760 m = 760 mm.)
In früheren Zeiten hat man den Druck häufig in Millimeter
Quecksilbersäule (mm Hg) angegeben und diese Einheit zu
Ehren von Torricelli als Torr (Einheitenzeichen Torr) bezeichnet. Diese Einheit ist heute gesetzlich nicht mehr zulässig, die
einzige Ausnahme gilt bei der Messung des Drucks von Körperflüssigkeiten (z. B. bei Blutdruckmessungen, vgl. Beispiel 13.4).
Eine andere, ebenfalls nicht mehr zulässige Druckeinheit ist
Meter Wassersäule (m Ws). Im angelsächsischen Raum verbreitet sind noch die Einheiten inches ofmercury (Zoll Quecksilbersäule, Einheitenzeichen in Hg) und pound per square inch
(Pound pro Quadratzoll, Einheitenzeichen psi oder Ib/in 2 ). Die
verschiedenen Druckeinheiten hängen folgendermaßen miteinander zusammen:
1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr = 29,9 in Hg
= 10 m Ws = 14,7 Ib/in 2 = 101,325 kPa
= 1013,25 mbar
(13.10)
13.3 AUFTRIEB UND ARCHIMEDISCHES PRINZIP
<.
<.
I
BEISPIEL 13.4: Blutdruck in der Schlagader
Der mittlere Blutdruck in einer Schlagader des Menschen beträgt rund 100 mm Hg. Rechnen Sie diesen Wert in Pascal um .
Lösung:
Benutzen Sie de n Umrechnungsfaktor, den Sie aus Gleichung 13.10 erhalten können:
101,325 kPa
760 mm Hg
p = 100 mm Hg
= 113,3 kPal·
ÜBUNG: Rechnen Sie einen Druck von 45 kPa in
b) 0,444 atm.)
a) mm Hg und
In einem Gas ist der Zusammenhang zwischen Druck und Höhe
(oder Tiefe) komplizierter als bei einer Flüssigkeit, da die
D ichte eines Gases nicht konstant bleibt, sondern näherungsweise proportional zum Druck ist. In zunehmender Höhe über
der Meereshöhe (beispielsweise auf einem Berg oder in einem
Flugzeug) nimmt der Luftdruck ab, ähnlich wie auch der
Druck abnimmt, wenn man vom Boden eines Wasserbehälters
nach oben steigt. Allerdings nimmt hier der Druck nicht linear
mit der Höhenzunahme, sondern für einen bestimmten Höhenunterschied immer nur um einen konstanten Bruchteil ab
(Abbildung 13.8). Einen solchen Zusammenhang nennt man
einen exponentiellen Abfall (vgl. Aufgabe 32). In einer Höhe
von 5,5 km ist der Luftdruck nur halb so hoch wie auf Meereshöhe. Nimmt die Höhe noch einmal um 5,5 km auf 11 km zu
(die typische Flughöhe für Verkehrsflugze uge) , so sinkt der
Luftdruck noch einmal um die Hälfte auf ein Vi ertel des Drucks
auf Meereshöhe, usw. In den großen Höhen , in denen Verkehrsflugzeuge fliegen , muss der Druck in der Kabine eines Flugzeugs
daher ausgeglichen werden. Auch die Luftdichte nimmt mit der
Höhe ab, denn sie ist näherungsweise proportional zum Luftdruck . Folglich nimmt auch der Sauerstoffgehalt der Luft mit
wachsender Höhe ab. In gewissen Grenzen kann sich der Körper
an das verringerte Sauerstoffangebot anpassen ("akklimatisieren"), indem er vermehrt rote Blutkörperchen bildet, die de n
Sauerstoff im Blut aufnehmen und transportieren. Dies erfordert jedoch eine gewisse Zeit. Als die Olympischen Spiele
1968 in Mexiko-Stadt abgehalten wurden (die Stadt liegt über
2200 Meter hoch) , mussten di e Athleten wochenlang vorher
anreisen, um sich zu akklimatisieren. Die exponenti elle Abnahme
des Luftdrucks mit der Höhe beeinflusst auch das Bergste igen:
Bei Höhen bis etwa 4500 m, wie man sie in den Alpen findet,
lässt sich der Sauerstoffmangel durch Akklimatisieren ausgleichen; in größeren Höhen - etwa im Himalaya - ist Bergsteigen
dagegen in der Regel nur mit Sauerstoffgerät möglich.
b) Atmo phären um. (Lösung: a) 338 mm Hg,
JJ
In e inem Reifendruckmesser wird der Me stab gegen di e Kraft e ine r
Feder so weit herausgedrückt, bis die Federkraft plus di e Kraft aufgru nd des äußere n Luftdrucks die Kraft aufgrund des Reife ndrucks
gena u ausg le icht. An e ine r Skala auf dem Mes stab lässt sich dann der
Reifendruck ab lese n.
P, atm
1
1
2
13.3 Auftrieb und archimedisches
Prinzip
Wenn ein schwe re r Körper a n einer Feder aufgehängt und in
Wasser eingetaucht wird (Abbildung 13.9a), dann zeigt die
Skala an der Federwaage eine geringere Gewichtskraft an, als
wenn der Körper in Luft gewogen würde. Ursache dafür ist
eine nach oben gerichtete Kraft, die von dem Wasser auf den
Körper ausgeübt wird und die ei nen Teil der Gewichtskraft kompensiert. Dieses Phänome n heißt Auftrieb. D er Auftrieb ist noch
bes er sichtbar, wenn man bei pielsweise einen Korken in Wa -
1
4
-
-
-
-
-1- _ _ _ _ ,
1
1
1
OL-------~------------------
5,5
]]
Ir, km
13.8 Abnahme des Luftdruck mit de r Höhe übe r de r rd obe rfl äche
(genauer: übe r Mee re höh e). immt die Höhe um 5,5 km zu . so nimmt
der Luftdruck um di e H älfte ab.
39
[)O
I
»> 13 FLUIDE
m
(b)
(c)
ser eintaucht. Wenn er vollständig eingetaucht ist, dann erfährt
der Korken aufgrund des Wasserdrucks eine aufwärts gerichtete
Kraft, die sogar größer ist als seine Gewichtskraft, so dass er
nach oben beschleunigt wird. Diese Kraft, die jedes Fluid auf
einen ganz oder teilweise eingetauchten Körper ausübt, wird
als Auftriebskraft FA bezeichnet. Sie hängt nicht von der Form
oder der Zusammensetzung des Körpers ab, sondern nur von
der Dichte des Fluids. Ihr Betrag ist gleich der Gewichtskraft
der durch den Körper verdrängten Fluidmenge.
Ein Körper, der ganz oder teilweise in ein Fluid eintaucht,
erfährt eine Auftriebskraft, deren Betrag gleich der
Gewichtskraft der durch den Körper verdrängten F luidmenge ist.
ARCHIMEDISCHES PRINZIP
Dieses Ergebnis ist als archimedisches Prinzip bekannt.
(a)
13.9 a) Beim Wiegen eines Körpers, der in in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, zeigt die Federwaage eine geringere Gewichtskraft als beim
Wiegen in Luft. b) Kräftediagramm: Auf den Körper wirken die
Gewichtskraft Fa, die Federkraft FF sowie die Kräfte F I und F 2 , die
von der Flüssigkeit auf den Körper ausgeübt werden. c) Die Auftriebskraft FA = F 2 + F I ist die resultierende Kraft, die von der Flüssigkeit auf den Körper ausgeübt wird. Sie ist stets nach oben gerichtet,
da der Druck an der Unterseite des Körpers größer ist als an seiner
Oberseite.
Das archimedische Prinzip lässt sich aus den Newton'schen
Axiomen ableiten (Archimedes selbst benutzte natürlich eine
andere Herleitung, dazu später). Dazu betrachten wir die
Kräfte, die in einem Teil der Flüssigkeit wirken; im statischen
Gleichgewicht muss die resultierende Kraft null sein. Abbildung 13.9 b zeigt die senkrechten Kräfte auf einen Körper, der
beim Wiegen in eine Flüssigkeit eintaucht. Dies sind die nach
unten gerichtete Gewichtskraft Fa, die nach oben weisende
Kraft FF der Federwaage, eine nach unten gerichtete Kraft F]
aufgrund des Flüssigkeitsdrucks auf die Oberseite des Körpers
und die nach oben weisende Kraft F 2 aufgrund des Flüssigkeitsdrucks auf die Unterseite des Körpers. Da die Skala der Federwaage eine geringere Gewichtskraft anzeigt als beim Wiegen
desselben Körpers in Luft, muss die Kraft F 2 einen größeren
Betrag haben als die Kraft F I . Die Differenz der beiden Kraftbeträge ergibt den Betrag der Auftriebskraft FA =F2 + F] (Abbildung 13.9c). Ursache der Auftriebskraft ist, dass der Flüssigkeitsdruck an der Unterseite des Körpers größer ist als der
Druck an der Oberseite.
Bei der in Abbildung 13.10 gezeigten Anordnung ist die Federwaage fortgelassen und der eingetauchte Körper durch ein
gleich großes Volumen Flüssigkeit (angedeutet durch die gestrichelten Linien) ersetzt worden. Die Auftriebskraft FA =F2 + F I
auf dieses Flüssigkeitsvolumen ist dieselbe wie zuvor auf den
Körper, da die umgebende Flüssigkeit dieselbe ist. Da sich das
Flüssigkeitsvolumen im Gleichgewicht befindet, muss die resultierende Kraft null sein. Damit ist die nach oben weisende Auftriebskraft betragsmäßig gleich der nach unten gerichteten
Gewichtskraft des Flüssigkeitsvolumens:
13.10 Die gleiche Anordnung wie in Abbildung 13.9, allerdings ist
hier der Körper ersetzt durch eine Flüssigkeitsmenge vom gleichen
Volumen wie der Körper. Die Kräfte Flund F 2 aufgrund des Flüssigkeitsdrucks sind dieselben wie in Abbildung 13.9. Die Größe der
Auftriebskraft ist daher gleich der Gewichtskraft FG,F der verdrängten
Flüssigkeit.
IFAI = IFa,FI·
(13.11)
Beachten Sie, dass dieses Ergebnis nicht von der Form des eingetauchten Körpers abhängt. Wenn wir nämlich irgendeine
unregelmäßig geformte Menge Flüssigkeit nehmen, dann muss
es eine Auftriebskraft geben, die von der umgebenden Flüssigkeit auf dieses unregelmäßig geformte Volumen ausgeübt
wird; der Betrag dieser Auftriebskraft muss gleich der Gewichtskraft dieses Volumens sein. Damit haben wir das archimedische
Prinzip hergeleitet.
Dem großen Naturforscher und Philosoph Archimedes (287 212 v. ehr.) war aufgetragen worden zu bestimmen, ob die für
König Hieran II. von Syrakus angefertigte Krone wirklich aus
13 .3 AUFTRIEB UND ARCHIMEDISCHES PRINZIP «<
(a)
I
(b)
a) Die Krone und der Goldklumpen haben gleiches Gewicht. b) Die Krone verdrängt mehr Wasser als der Goldklumpen.
reinem Gold bestand oder ob dazu auch billigere Materialien
wie z. B. Silber verwendet worden waren; dabei sollte die
Krone aber nicht zerstört werden. Für Archimedes stellte sich
damit das Problem zu bestimmen, ob die Dichte der unregelmäßig geformten Krone dieselbe war wie die Dichte von Gold.
Nach der Überlieferung kam Archimedes die Erleuchtung
beim Baden, als der Zuber überlief, nachdem er hineingestiegen
war. Nackt wie er war lief er durch die Straßen von Syrakus, laut
"Heureka" ("Ich hab's gefunden") rufend. Dieser Gedankenblitz ging den Newton'schen Axiomen, mit denen wir das archimedische Prinzip hergeleitet haben, um rund 1900 Jahre voraus.
Was Archimedes gefunden hatte, war eine einfache und gen aue
Möglichkeit, die Dichte der Krone mit Hilfe einer Balkenwaage
mit der Dichte von Gold zu vergleichen. Er stellte die Waage in
ein Wasserbecken und legte die Krone auf die eine Schale, einen
Klumpen reinen Golds gleicher Masse auf die andere Waagschale. Damit war die Waage im Gleichgewicht. Als er das
Becken aber mit Wasser füllte, neigte sich die Waage, und die
Schale mit der Krone stieg nach oben. Die Auftriebskraft auf
die Krone war also größer als die auf den Goldklumpen, weil
die Krone ein größeres Wasservolumen verdrängte als der Goldklumpen. Damit war klar, dass die Dichte der Krone geringer
war als die Dichte des Goldklumpens, das Material war also
mit einem weniger dichten Metall "verlängert" worden. Der
betrügerische Goldschmied soll daraufhin hingerichtet worden
sein.
Um den historischen Bezügen Genüge zu tun, verwenden wir in
diesem Absatz ausnahmsweise den Begriff "Gewicht" , den man
sich eigentlich immer durch "Gewichtskraft" ersetzt denken
muss. Das relative Gewicht eines Körpers ist sein Gewicht, dividiert durch das Gewicht eines gleich großen Wasservolumens.
Nach dem archimedischen Prinzip ist das Gewicht dieses Wasservolumens gleich der Auftriebskraft, die der eingetauchte
Körper erfährt. Damit ist das relative Gewicht gleich dem
Gewicht des Körpers, geteilt durch die Auftriebskraft, die der
Körper in Wasser erfährt:
G . h
·
re I atlves eWlC t =
Gewicht
.
.
Auftnebskraft IU Wasser
IFol
IFAI
Fo
F o .w ·
Heißluftballons fahren bei einem Festival durch den nächtlichen
Himmel.
Fo
Fo.w
pV g
Pw V g
P
Pw
-- = --- = -
Die Beispiele 13.5 und 13.6 illustrie ren den Zusamme nhang zwischen Auftriebskraft und Dichte.
Das scheinbare Gewicht F~ e ines in ein Fluid eingetauchten
Körpers ergibt sich damit als di e Diffe re nz zwi chen dem
Gewicht IF o I und de r Auftriebskraft IFAI:
(13.13)
D araus lassen sich für Fo> O folgende Fälle ableiten:
(13.12)
Das relative Gewicht eines Körpers ist eine reine Zahl ohne Einheit, es ist identisch mit der spezifischen Dichte des Körpers.
Denn laut Definition gilt
Ist F~ > 0, so sinkt der Kö rpe r in de m F luid.
Ist
F~
= O. so schwebt de r Körper in dem Fluid .
1st F~ < 0, so schwimmt der Körper in dem Fluid.
4(
)2
I
»> 13 FLUIDE
BEISPIEL 13.5: Ist es wirklich Gold?
Ihre Freundin hat auf einer Auslandreise bei einem Straßenhändler einen teuren goldenen Ring gekauft und zweifelt jetzt, ob
er wirklich aus Gold besteht. Mit Ihren physikalischen Kenntnissen können Sie ihr aber helfen. Sie wiegen den Ring und
finden ein Gewicht von 0,158 N. Nun hängen Sie den Ring an einem Fädchen an der Waage fest und wiegen ihn erneut,
während er in ein Wasserglas hineintaucht. Bei dieser Wägung finden Sie ein Gewicht von 0,150 N . Besteht der Ring aus
reinem Gold?
IM KONTEXT
Problembeschreibung: Wenn der Ring aus reinem Gold besteht, hat er ein relatives Gewicht (d. h, eine spezifische Dichte)
von 19,3 (vgL dazu Tabelle 13.1), Mit Gleichung 13,12 können Sie das relative Gewicht des Rings bestimmen,
Lösung:
1. Gleichung 13.12 verknüpft das relative Gewicht des Rings
mit dem Verhältnis seiner Gewichtskraft IF G I zur Auf-
relatives Gewicht
= II~GII = :G
A
G,W
triebskraft IFA I, die er beim Eintauchen in das Wasser
erfährt:
2, FG,w ist gleich der Gewichtskraft minus dem scheinbaren
Gewicht F~ beim Eintauchen ins Wasser:
3, Fassen Sie Schritt 1 und 2 zusammen und lösen Sie nach
dem relativen Gewicht auf:
'h t = ~
FG =
,
G eW1C
re I atIves
l'G ,W
D
FG
r G -
I
FG
0,158 N
_
7
0,158 N - 0,150 N - 19,
4, Vergleichen Sie das relative Gewicht des Rings mit dem
relativen Gewicht von Gold (nach Tabelle 13.1 beträgt dieser Wert 19,3):
19 ,7~1 9 ,3
Der gefundene Wert für das relative Gewicht des Rings
stimmt mit einer Genauigkeit von 2% mit dem tabellierten
Wert für das relative Gewicht von Gold überein, daraus
I
schließen Sie: Der Ring besteht aus reinem Gold,
I
Kommentar: In der Formel für das relative Gewicht steht die (sehr kleine) Differenz zweier Messwerte im Nenner eines
Bruchs, Diese Differenz ist um mehrere Größenordnungen kleiner als die Messwerte selbst. Damit ist das Ergebnis höchst
empfindlich gegenüber Messfehlern, Wenn Sie das scheinbare Gewicht des Rings statt mit 0,150 N mit 0,149 N gemessen
haben (das ist eine Abweichung von nur 0,7%), dann erhalten Sie für das relative Gewicht des Rings einen Wert von 17,5 und daraus lässt sich kaum schließen, dass der Ring aus reinem Gold besteht
ÜBUNG: Ein Block aus einem unbekannten Material hat ein Gewicht von 3 N und ein scheinbares Gewicht von 1,89 N, wenn
er in Wasser eintaucht Woraus besteht der Block? (Lösung: Mit der in Schritt 3 angegebenen Formel ergibt sich ein relatives
Gewicht von 2,7, dem relativen Gewicht von Aluminium. Der Block besteht also aus Aluminium,)
Kommentar: Bei dieser Übung haben wir implizit angenommen, dass der Block massiv und homogen ist und dass er aus
einem elementaren Material besteht Ein relatives Gewicht von 2,7 könnte man auch mit einem Hohlblock aus einem
Material höherer Dichte, einer Konstruktion von mehreren Materialien verschiedener Dichte oder einer speziellen Verbindung realisieren.
ÜBUNG: Ein Aluminiumblock hat in Luft ein scheinbares Gewicht von 3 N, Welches Gewicht hat der Block? (Lösung:
3
F~ = FG - FG,L mit F G,L = PL V g und FG = PAI V g, Aus Tabelle 13.1 erhält man PL =1,293 kg/m 3 und PAI = 2,7 .103 kg/m ,
Damit haben wir drei Gleichungen und drei Unbekannte (nämlich FG, FG.L und V), Man erhält FG =3,0014 N, also
ein en Wert, der nur 0,048% größer ist als das scheinbare Gewicht in Luft Die Auftriebskräfte auf Flüssigkeiten und feste
Körper in Luft sind also im Normalfall zu vernachlässigen.)
ÜBUNG: Ein Stück Blei (relatives Gewicht laut Tabelle 13,1: 11,3) wiegt in Luft 80 N. Wie viel wiegt es, wenn es vollständig
in Wasser eintaucht? (Lösung: 72,9 N,)
Für schwimmende Körper lässt sich mithilfe der Beziehung zwischen relativem Gewicht und Dichte anhand des archimedischen Prinzips die Eintauchtiefe bestimmen , wie die Beispiele 13,7 und 13,8 zeigen.
13.3 AUFTRIEB UND ARCHIMEDISCHES PRINZIP «<
BEISPIEL 13.6: Messung des Körperfetts
Der prozentuale Anteil an Fett im Körpergewebe lässt sich schätzen, indem man die Dichte des Körpers bestimmt. Fett
ist weniger dicht als Muskeln oder Knochen. Die Dichte von Fett (ca. 0,9.10 3 kg/m 3 ) ist geringer als die Dichte des sonstigen
Körpergewebes (alles außer dem Fett), die etwa 1,1 .10 3 kg/m 3 beträgt. Bei der Dichtebestimmung misst man das
scheinbare Gewicht des Körpers, während er vollständig in Wasser eingetaucht ist; dabei muss man komplett ausatmen,
so dass die Lunge keine Luft mehr enthält (in der Praxis wird das Volumen der noch in der Lunge verbliebenen Luft geschätzt
und die Rechnung entsprechend korrigiert). Nehmen Sie an, dass Ihr scheinbares Gewicht beim Eintauchen in Wasser
5 % Ihres Gewichts beträgt. Welchen prozentualen Anteil an Körperfett können Sie damit berechnen?
Problembeschreibung: Das Gesamtvolumen der Person setzt sich zusammen aus dem Volumen des Fettgewebes plus
dem Volumen des sonstigen Körpergewebes, die Gesamtmasse ist die Summe aus der Masse des Fettgewebes plus der Masse
des sonstigen Körpergewebes. Volumen und Dichte hängen über m = P V zusammen. Der Fettanteil fFell ist gleich der
Masse des Fetts, geteilt durch die Gesamtmasse, und der Anteil des sonstigen Körpergewebes ist gleich dessen Masse, geteilt durch die Gesamtmasse. Die Summe der bei den Anteile muss 1 ergeben.
Lösung:
1. Mit den Gleichungen 13.12 und 13.13 lässt sich das rela-
FG
tive Gewicht Ihres Körpers (also das Verhältnis aus Körperdichte zur Dichte von Wasser) bestimmen:
V = V Fell
3. Weil die Dichte als Quotient aus Masse und Volumen
definiert ist, ergibt sich das Volumen als Quotient von Masse
und Dichte. Setzen Sie die entsprechenden Verhältnisse von
Masse zu Dichte in das Ergebnis aus Schritt 2 ein:
m mFett m sonSl
=--+--
4. Das Verhältnis mFett/m ist der Fettanteil freII ' und entsprechend ergibt m sons/m den Anteil Isonsl des sonstigen
Körpergewebes. Setzen Sie die daraus erhaltenen Ausdrücke
für mFell und m sonst in das Ergebnis von Schritt 3 ein:
-=--+--
P
PFeil
m
P
fFell
frett
0,05 FG = 1,05
+ V sonsl
2. Ihr Gesamtkörpervolumen ist gleich dem Volumen des
Fetts plus dem Volumen des sonstigen Körpergewebes:
5. Der Fettanteil plus der Anteil an sonstigem Gewebe muss
1 ergeben:
FG
-
P sonsl
m
f sonsl m
PFeil
P sonsl
+ fson'l = 1
1 frell 1 - fFell
-=--+_....:....:..:=
6. Teilen Sie beide Seiten des Ergebnisses von Schritt 4
durch die Gesamtmasse m ges und setzen Sie 1- fFeu für Isonst
ein:
P
7. Lösen Sie das Ergebnis aus Schritt 6 nach fFell auf:
E
_
JFell -
1 - (P,onsJp)
1 - (PsonSl / PFeil )
8. Setzen Sie das Ergebnis für P aus Schritt 1 in das Ergebnis
von Schritt 7 ein und lösen Sie nach fFell auf:
E
_
JFell -
1 - (PsonsJl ,05Pw ) _ 1 - (1,1 / 1,05 ) _ 02
, I
1 - (Pson,JPrett)
1 - (1.1 / 0,9)
9. Wandeln Sie die Zahl in eine Prozentangabe um:
100% . 0,21
PFeil
P,on'l
=121 % 1
Kommentar: Die Körperfettmessung bei elektronischen Personenwaagen funktioniert nach einem anderen, aber weniger
genauen Verfahren . Dabei nutzt man aus, dass sich die elektrisch e Leitfähigkeit von wasserhaitigern Gewebe, Fett und
Knochen unterscheidet. Unter Berücksichtigung verschiedener Modellannahmen lässt sich dann aus dem über die Fußsohlen
gemessenen Körperwiderstand der Fettanteil berechnen.
ÜBUNG: Das scheinbare Körpergewicht einer Person beträgt beim Eintauchen in das Wasserbecke n null. Wie hoch ist dann
ihr Körperfettanteil? (Lösung: 45 % .)
I
4C
)4
1
»> 13 FLUIDE
BEISPIEL 13.7: Das Floß auf dem Fluss
Ein Floß der Fläche A, der Dicke h und der Masse InF=
600 kg treibt in ruhigem Wasser; dabei taucht es 7 cm in das
Wasser ein (Abbildung 13.11). Wenn der Flößer das Floß
betritt, taucht das Floß 8,4 cm ein. Welche Masse 111\1 hat
der Flößer?
13.11
Problembeschreibung: Mit A bezeichnen wir die Fläche des Floßes. Das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist dann
Pw A d l g für das Floß allein und Pw A d z g für das System Floß - Flößer; dabei ist Pw die Dichte des Wassers, d l und d z
bezeichnen die Eintauchtiefen von 7 cm bzw. 8,4 cm. Wenn wir in beiden Fällen das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit
gleich dem Gewicht des jeweiligen Systems setzen, lassen sich A und Pw eliminieren, und wir können nach mM auflösen.
Lösung:
1. Setzen Sie die Auftriebskraft mit der Eintauchtiefe
d l = 7 cm gleich der Gewichtskraft des Floßes und die Auftriebskraft mit dz = 8,4 cm gleich der Gewichtskraft des
Systems Floß - Flößer:
2. Teilen Sie die zweite durch die erste djeser Gleichungen,
um die unbekannten Variablen A und Pw zu elimjnieren:
3. Lö en Sie nach mM auf:
mM =
(ddz
-l)m F = ( 8,4 cm -1) . (600 kg) = 1120 kgl
7,0 cm
l
BEISPIEL 13.8: Der Kork im Wasser
Kork hat eine Dichte von 200 kg/m 3 • Berechnen Sie den Bruchteil des Korkenvolumens, der in das Wasser eintaucht, wenn
der Korken auf dem Wasser schwimmt.
Problembeschreibung: V ist das Volumen des Korkens, Vu ist der Teil des Volumens, der bei einem auf dem Wasser
schwimmenden Korken untertaucht. Das Gewicht des Korkens ist PK V g, die Auftriebskraft durch das Wasser ist
Fa.w= Pw Vug·
Lösung:
1. Da ich der Korken im Gleichgewicht befindet, ist die
Fa = Fa.w
Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft:
2. Lösen Sie nach ViV auf:
PK Vg = PwVug
3
PK _ 200 kglm
V - Pw - 1000 kg/m 3
Vu
_
=
ID
LlJ
Kom ment ar: Wie man sieht, taucht nur ein Fünftel des Korkens in das Wasser ein. Dieser Anteil ist unabhängig von der
Form des Korkens.
13.4 BEWEGTE FLUIDE < < <
I
Wenn wir in den Beispielrechnungen Pw durch die Dichte PF
eines beliebige n Fluids a ustauschen, können wir den eintauchenden Teil eines Körpers bestimmen, der in einem beliebigen
Fluid treibt. Nach Gleichung 13.9 ist der eintauchende Bruchteil
eines Körpers gle ich dem Verhältnis aus der Dichte des Körpers
und der Dichte des Fluids:
(13.14)
Die Dichte von Eis beträgt 920 kglm 3 , die von Meerwasser
1025 kg/m 3 . Damit taucht von einem Eisberg ein Bruchteil von
3
920 kg/m = 0 898
1025 kg/m3
'
(13.16)
in das Meerwasser ein. Das macht Eisberge für Schiffe so gefährlich, denn wenn nur etwa 10% eines Eisbergs über der Wasseroberfläche sichtbar sind, gibt dieser kleine Teil kaum den richtigen Eindruck von der Größe des unter Wasser verborgenen
Teils. Insbesondere lässt sich kaum abschätzen, bis wohin sich
der nicht sichtbare Teil des Eisbergs erstreckt.
Wirbel bei turbulenter Strömung von heiße r Luft übe r e ine m Spiritusbrenner an de r Spitze eines roti erenden Ve ntilatorflüge ls (obe n im
Bild).
1 3.4 Bewegte Fluide
Die Strömung eines Fluids kann sehr kompliziert sein. Betrachten wir z. B. den aufsteigenden Rauch von einer Zigarette.
Zunächst steigt der Rauch in einer gleichmäßigen Strömung
nach oben, sehr bald aber setzen Turbulenzen ein, und der
Rauch beginnt zu verwirbeln. Turbulente Strömung ist sehr
schwierig zu beschreiben, selbst wenn man sich auf rein qualitative Abschätzungen beschränkt. Wir werden daher hier nur die
nichtturbulente, stationäre Strömung eines "idealen" Fluids
betrachten. "Stationär" bedeutet in diesem Zusammenhang,
dass sich die Strömungsverhältnisse nicht mit der Zeit ändern.
Ein solches Fluid soll bei seiner Strömung keine mechanische
Energie "verbrauchen" (dissipieren); es hat dann keine innere
Reibung, es ist also sozusagen reibungsfrei. Man sagt dann ,
das Fluid sei nichtviskos. Wir nehmen weiter an , dass das Fluid
inkompressibel ist, was auf die meisten Flüssigkeiten in sehr
guter Näherung zutrifft. In einem inkompressiblen Fluid ist
die Dichte im gesamten Volumen gleich.
Abbildung 13.12 zeigt eine flüssigkeitsgefüllte Röhre, deren
Querschnitt sich langsam verengt. Die Flüssigkeit fließt von
links nach rechts, und der schattierte Teil links zeigt das Flüssig-
Windka nalunte rsuchun g an e ine m Auto. Die an di e Ka rosse ri e a ngekl e bte n Fädch e n und di e Ra uchschwade n in de r Luft zeige n die
Strö mung de r Luft um die Ka rosseri e.
2'
1
l'
13.12 Eine inkompressible Flüssigkeit fließt durch eine R öhre mit vari able m Que rschnitt. Die dunkel eingezeichnete n Volumina si nd gleich .
4(
)6
I
»> 13 FLUIDE
keitsvolume n ~v, das in der Z eit ~I die Fläche A I senkrecht
durchfließt. Wenn die Flüssigke it auf di eser Fläche die
Geschwindigkeit V I hat und der Que rschnitt de r Röhre an dieser
Stelle die Größe A I besitzt, dann ist das Volum e n, das in der
Zeit M durch die Fläche fließt, gegebe n durch
Da wir das Fluid als inkompressibel ange nommen haben, muss
dasselbe Volumen während derselben Zeit ~l auch jede andere
Querschnittsfläche in der Röhre durchfließen . Das Volumen ,
das die Querschnittsfläche A 2 senkrecht durchfließt, ist rechts
schattiert dargestellt. Wenn die Geschwindigkeit des Fluids an
dieser Stelle V 2 beträgt und die Röhre dort die Querschnittsgröße A 2 hat, dann berechnet sich das Volumen gemäß ~ V =
A 2 V2 ~t. Beide Volumina müssen gleich sein, daher ergibt sich
(13.15)
Geflecht von Adern.
Die Größe A V heißt Volumenstrom Iy. Der Volumenstrom hat
die Dimension eines Volumens pro Zeit. Bei der Strömung
eines inkompressiblen Fluids ist der Volumenstrom durch jede
Querschnittsfläche des Fluids gleich:
I v = A v = konstant.
(13.16)
KONTINUITÄTSGLE ICHUNG
Gleichung 13.16 heißt Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide. Die Kontinuitätsgleichung taucht in ähnlicher
Form auch in der Elektrodynamik auf (siehe Abschnitt 25.5).
ÜBUNG: Das Blut fließt in einer Schlagader mit einem
Radius von 1 cm mit einer Geschwindigkeit von 30 cm/s.
Wie groß ist der Volumenstrom?
(Lösung: Aus Gleichung 13.16 erhalten wir Iv=vA =
9,42 .10 - 5 m 3/s. Es ist üblich, die Pumpleistung des Herzens
in Litern pro Minute anzugeben. Mit 1 m 3 = 1000 I und
1 min = 60 s ergibt sich 1v= 5,65 l/min. Innerhalb einer
Minute wird also etwa das gesamte Blutvolumen des Körpers umgewälzt.)
ÜBUNG: Das Blut fließt von einer großen Arterie mit dem
Radius 0,3 cm, in der die Strömungsgeschwindigkeit 10 cmJs
beträgt, in einen Bereich, in der der Radius aufgrund von
Ablagerungen durch Arteriosklerose auf 0,2 cm verengt ist.
Wie schnell fließt das Blut im Bereich der Verengung?
(Lösung: Wenn wir die Anfangs- und Endgeschwindigkeit
mÜ VI bzw. v 2 und die Querschnittsflächen der Blutgefäße mit
Al und A 2 bezeichnen, liefert Gleichung 13.16
V2
AJ
= -A
2
V2
=
n(0,3 cm)2
n(0,2 cm)
2
(10 cm/s) = 22,5 cmJs.
Eine Abnahme des Radius um ein Drittel erhöht also die
Fließgeschwindigkeit auf mehr als das Doppelte.)
Die Bernoulli-Gleichung Wenn ein Fluid in einer Röhre in
eine Verengung hineinfließt, gewinnt es Geschwindigkeit, weil
der Druck von hinten , der die Fluidmenge nach vorn treibt, größer ist als der der Bewegung entgegenstehende Druck von vorn.
Die Bernoulli-Gleichung verknüpft Druck, Höhe und Flie ßge-
13.4 BEWEGTE FLUIDE
'<
I
(a)
2'
1
l'
(b)
]
,
13.13 Ein Fluid fließt in einer Röhre, bei der sich nicht nur der Que rschnitt , ondcrn auch die Höhe über dem E rdboden ändert. a) Eine
bestimmte Fluidme nge befindet sich zwi ehen den Flächen l und 2. b) In der Zeit I fli eßt das Volumen weiter, 0 das es sich jetzt zwi ehen den
Flächen l ' und 2' befinde t.
schwindigkeit eines inkompressiblen Fluids in stationärer Strömung. Die Gleichung folgt aus den Newton'schen Axiomen
und lässt sich einfach mit Hilfe des Zusammenhangs zwischen
Gesamte nergie und kinetischer Energie, angewandt auf eine
bestimmte F luidmenge, herleiten.
Wir betrachten ein Fluid, das in einer Röhre fli e ßt, die nicht nur
e inen veränderlichen Querschnitt hat, ondern bei der auch die
Höhe über dem Erdboden variie rt (Abbildung 13.13). Wir wenden den Zusammenhang zwischen Gesamte ne rgie und kinetische r Energie auf die Fluidmenge an, die ich anfangs zwischen
den Flächen 1 und 2 befindet (Abbildung 13.13 a) . Wä hre nd der
Zeit I:!.t bewegt sich die Fluidmenge e ntlang de r Röhre zwi ehen
den P unkten l ' und 2' (Abbildung 13.13 b). Wir bezeichn e n mit
I:!. V das Fluidvolumen, das wä hrend der Z e it I:!.t die Fläche AI
durchströmt. I n derselben Zeit durchströmt wegen de r Konti nuitätsgleichung dasselbe Volumen auch die Fläche A ~. We iter
beze ichnen wir mit I:!.m = p I:!. V die Masse de Fluidvolumen
I:!.v. Dann kann man das Fließen der Flü sigkeit 0 de uten, al
ob eine Masse I:!.m, die sich anfangs mit der Ge chwindigkeit VI
auf de r Höhe h l bewegte, nun auf die H ö he h 2 "angehoben"
wurde und ich dort mit de r G e chwindigkeit v~ bewegt. Di e
potenzielle Energie des Fluidvolum e ns ä ndert sich demnach um
und die kinetische Energie ä nde rt ich um
I:!.Ek,n = ~ (I:!.m )
vi -1 (I:!.m )vi =~ p
V (v~ - v~).
40
8
I
»> '3 FLUIDE
1
l'
13.14 Energetische Betrachtung des Fluids, das durch eine Röhre fließt, bei der sich nicht nur der Querschnitt, sondern auch die Höhe über
dem Erdboden ändert. Die entgegengesetzten Kräfte F I =PIA I und F2 =P2 A 2 verrichten Arbeit an der Flüssigkeit. Das Resultat ist, dass ein
bestimmtes Volumen des Fluids, hier schattiert eingezeichnet, von der Höhe h , auf die Höhe h2 angehoben wird und dabei seine Geschwindigkeit
von VI in V 2 ändert.
Das Fluid hinter dem betrachteten Volumen (in Abbildung 13.14 links von dem schattierten Bereich) übt eine Kraft
F I = PI A I auf das Volumen aus, wobei PI der Druck des Fluids
an der Fläche 1 ist. Diese Kraft verrichtet die Arbeit
Nach dem Zusammenhang von Gesamtarbeit und mechanischer
Energie gilt
W = !1Epol
+ !1Ekin
und damit in diesem Fall
Zur gleichen Zeit übt das Fluid vor dem betrachteten Volumen
(in der Abbildung zur Rechten des schattierten Bereichs) eine
Kraft F2 = P2 A 2 aus, die der Fließrichtung entgegenwirkt (also
das betrachtete Volumen nach links drücken will). Diese Kraft
verrichtet die negative Arbeit
Die Gesamtarbeit, die von den beiden äußeren Kräften verrichtet wird, ist
(P! - P2 )!1 V = p!1 V g(h2
-
h t ) +tp!1 V (v~ - vi)·
Teilen wir beide Seiten durch !1 V, so erhalten wir
Nun sammeln wir alle Größen mit dem Index 1 auf der einen und
die mit dem Index 2 auf der anderen Seite; dann ergibt sich
(13.17a)
Dieses Ergebnis lässt sich auch in folgender Form angeben:
P
+ P g h + t P v 2 = konst.
(13.1 7b)
BERNOUlLl - G lEICHUNG
Die Gleichung besagt, dass diese Kombination der Größen für
jeden Punkt entlang der Röhre denselben Wert hat. Der in
den Gleichungen 13.17a und 13.17b ausgedrückte Zusammenhang heißt BernoulJi-Gleichung und gilt für die stationäre
Strömung eines nichtkompressiblen, nichtviskosen Fluids. Die
Gleichung lässt sich bis zu einem gewissen Grad auch auf kompressible Fluide wie Gase anwenden; für viskose Flüssigkeiten
muss man die Gleichung jedoch modifizieren (wir kommen darauf im Abschnitt über viskose Strömungen noch zurück). Die
Bernoulli-GJeichung wurde von dem Schweizer Mathematiker
und Physiker Daniel Bernoulli (1700-1782) aufgestellt und
hat zahlreiche Folgerungen, von denen wir im Folgenden einige
besprechen werden - beginnend mit dem leckenden Wassertank in Beispiel 13.9.
13.4 BEWEGTE FLUIDE «<
I
BEISPIEL 13.9: Der leckende Wassertank
Ein großer, oben offener Wassertank hat an einer Seite ein kleines Loch in einer Höhe h unterhalb der Wasseroberfläche. Mit
welcher Geschwindigkeit strömt das Wasser aus dem Loch heraus?
Problembeschreibung: Wir wenden die Bernoulli-
Gleichung auf die Querschnittsflächen des Tanks in der
Höhe a und b in Abbildung 13.15 an. Da der Durchmesser
des Lochs viel kleiner ist als der Durchmesser des Tanks,
können wir die Geschwindigkeit an der Wasseroberfläche
(also in Höhe a) vernachlässigen.
-,'
T
a
t
öh
b
ha
hb
13.15
Lösung:
1. Die Bernoulli-Gleichung mit
Va
=0 ergibt:
2. Die Flächen in den Höhen a und b sind gegen die
Atmosphäre hin offen, daher ist entlang bei der Flächen der
Druck gleich dem Luftdruck Pa,:
Pa = Pa,
und damit
3. Lösen Sie das Ergebnis aus Schritt 2 nach der Geschwindigkeit Vb des ausfließenden Wassers auf:
V~
und
p g h a = P g h b + ~ P v~
= 2g (ha - h b ) = 2g /lh
und damit
Kommentar: Diese Formel wurde durch Anwendung der Fallgesetze auf die ausströmende Flüssigkeit bereits 1640 von
Torricelli hergeleitet - und wird auch Torricelli'sche Ausflussformel genannt.
ÜBUNG: Das aus dem Tank ausfließende Wasser wird sofort vertikal nach oben geleitet. Wie hoch spritzt es dann? (Lösun g:
Das Wasser spritzt bis in die Höhe h, also bis zur seiben Höhe wie die Wasseroberfläche im Tank.)
Kommentar: Einen Springbrunnen, der von einem höher gelegenen Reservoir gespeist wird , nennt man einen artesischen Brunnen. Der Name leitet sich von der französischen Region Artois ab, wo durch besondere geologische Gegebenheiten eine solche natürliche Springquelle gefunden wurde.
Eine besondere Anwendung der Bernoulli-Gleichung gilt für
Fluide in Ruhe. D ann ist nämlich VI = V2= O, und man erhält
Dabei gibt /lh den Höhenunterschied zwischen den beiden
betrachteten Punkten an. Dieser Zusammenhang ist uns schon
als Gleichung 13.8 begegnet.
In Beispiel 13.9 tritt das Wasser aus dem Loch mit der Austrittsgeschwindigkeit aus, die es beim freien Fall aus der Höhe h hätte.
Diese Erkenntnis wird als Gesetz von Torricelli bezeichnet. Die
Austrittsgeschwindigkeit ist unabhängig davon, ob das Wasser
an der Seite oder am Boden austritt, wenn nur der Wasserspiegel
zuvor die gleiche Höhe h hatte.
13.16 Verengun g in einer Röhre, in der sich ein Fluid bewegt. Der
Druck ist in der Vere ngung ge ringer als im weiten Teil der R öhre, abe r
das Fluid bewegt sich dort schneller.
4C
o I
»> '3 FLUIDE
-V2
In Abbildung 13.16 fließt Wasser durch eine horizontale Röhre
mit einer Verengung. Da beide Teile der Röhre sich a uf derselben Höhe befinden, gilt h l =h 2 in Gleichung 13.17 a. Dann
nimmt die Bernoulli-Gleichung die Form
p
13.17 Die Stromlinien in einem Fluid geben die Richtung der
Strömung an, ihr Abstand die Strömungsgeschwindigkeit.
+ ~ P v2 =
(13.18)
konstant
an. Wenn das Fluid durch die Verengung fließt, ist die Querschnittsfläche A kleiner, daher muss die Geschwindigkeit v
zunehmen, damit der Volumenstrom Iv konstant bleibt. Wenn
aber die Geschwindigkeit zunimmt, dann muss - entgegen der
Intuition - der Druck abnehmen , damit auch P + ~ P v 2 konstant bleibt. Aus diesem Grund ist der Druck in der Engstelle
geringer.
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids
zunimmt, geht der Druck zurück.
VENTURI-EFFEKT
Dieses Ergebnis wird oft als Venturi-Effekt bezeichnet. Dieser
durch Gleichung 13.18 beschriebene Effekt lässt sich in zahlreichen Situationen anwenden, bei denen - wie in Beispiel 13.10 keine Höhenunterschiede berücksichtigt werden müssen.
Die Luftströmung über dem Spoiler des Formel-I-Rennwagens
erzeugt einen größeren Druck über dem Spoiler; damit erhöht sich das
effektive Gewicht des Fahrzeugs und damit die Bodenhaftung bei
hohen Geschwindigkeiten. Ein Flugzeugflügel ist gerade so entworfen,
dass der größere Druck durch die Luftströmung unter dem Flügel
entsteht, so dass das Flugzeug dadurch getragen wird.
Bei der in Abbildung 13.17 gezeigten Röhre deuten die eingezeichneten Linien eine Strömung an. Man nennt sie daher
Stromlinien. Ihre Richtung gibt die Richtung der Strömung an,
ihr Abstand symbolisiert die Strömungsgeschwindigkeit. Je
enger die Stromlinien beisammen liegen, umso schneller strömt
das Fluid; je weiter die Linien auseinander liegen, umso geringer
ist die Strömungsgeschwindigkeit. Da bei einer horizontalen
Strömung der Druck zurückgeht, wenn die Geschwindigkeit
steigt, gibt also die Abnahme des Stromlinienabstands eine
Druckabnahme an .
Mit dem Venturi-Effekt lässt sich auch das Abheben eines Flugzeugs oder die Krümmung der Bahn von einem Baseball qualitativ verstehen. Die Tragfläche eines Flugzeugs ist so geformt,
dass die Luft über der Oberseite der Tragfläche sich schneller
bewegt als die Luft unterhalb der Tragfläche. Dadurch ist der
Luftdruck auf der Oberseite geringer als auf der Unterseite,
und es entsteht eine nach oben gerichtete Kraft, die die Tragfläche und damit das Flugzeug trägt.
Abbildung 13.19a zeigt die Aufsicht auf einen sich bewegenden
Baseball mit Drall. Während der Ball sich dreht, führt er die um
ihn herumströmende Luft mit sich. Abbildung 13.19b zeigt dieselbe Situation, diesmal jedoch im Bezugssystem des Balls
betrachtet. In diesem Bezugssystem führt der Ball zwar keine
Translationsbewegung aus, aber er rotiert. Diese Drehung des
Balls verursacht eine zusätzliche Bewegung der Luft. Deren
Geschwindigkeit addiert sich auf der linken Seite des Balls zur
Geschwindigkeit der vorbeiströmenden Luft hinzu , auf der
rechten Seite subtrahiert sie sich. Daher ist die Luftgeschwindigkeit auf der Linken des Balls höher als auf der Rechten , wodurch
der Druck auf der Linken geringer ist als auf der Rechten. Daher
beschreibt der Ball eine Linkskurve. Auch der Zerstäuber in
Abbildung 13.20 nutzt den Venturi-Effekt aus.
13.4 BEWEGTE FLUIDE .... «
BEISPIEL 13.10: Titel Venturi-Rohr
Ein Venturi-Rohr, benannt nach dem italienischen Physiker
Giovanni Battista Venturi (1746 - 1822), dient zur Messung
der Durchflussgeschwind igkeit von Fluiden. Den prinzipiellen Aufbau zeigt Abbildung 13.18. Ein Fluid mit der Dichte
Pr fließt durch ein Rohr mit dem Querschnitt A I, das eine
Verengung mit dem Querschnitt A 2 hat. Die beiden Teile des
Rohrs sind durch ein U-Rohr-Manometer verbunden, das
teilweise mit einer Flüssigkeit der Dichte Pl gefüllt ist. Da die
Strömungsgeschwindigkeit im engen Teil des Rohrs höher
ist, ist der Druck dort geringer als in den anderne Teilen des
Rohrs. Die Druckdifferenz erzeugt eine Höhendifferenz t:J.h in
den beiden Schenkeln des U-Rohr-Manometers, die man
13.18
messen kann. Drücken Sie die Strömungsgeschwindigkeit
des Fluids mit Hilfe der gemessenen Höhendifferenz t:J.h und
den bekannten Größen PF :Pt und [ = A I/A z aus.
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Die Drücke PI und P2 in den beiden Abschnitten des Rohrs hängen mit den Strömungsgeschwindigkeiten VI und V2 über die Bernoulli-Gleichung zusammen. Die Druckdifferenz in den beiden Abschnitten und die
Höhendifferenz t:J.h hängen gemäß PI - P2 = P g t:J.h zusammen. Damit lässt sich V2 nach der Kontinuitätsgleichung mit Hilfe
von VI und den bei den Querschnittsflächen A I und A 2 ausdrücken.
Lösung:
Decken sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils, die Ergebnisse selbst zu ermitteln.
Schritte
Ergebnisse
1. Die beiden Abschnitte des Rohrs befinden sich auf
gleicher Höhe. DamÜ können Sie die Bernoulli-Gleichung
anwenden.
PI
2. Schreiben Sie Kontinuitätsgleichung für die beiden
Abschnitte nieder. Lösen sie nach V2 auf.
j-! PI"
,,2
und damit
AI
-
A~
3. Setzen Sie Ihr Ergebnis für V 2 in die Gleichung von
Schritt 1 ein. DamÜ erhalten Sie eine Gleichung für die
Druckdifferenz P I -P2•
Pz -r ~ PI
[UI
/ '1
P I - p , . ~ PI ( ,,~ - I '~)
1PI
(J' - 1) "i
4. Schreiben Sie die Druckdifferenz PI - P 2 mit Hilfe der
Höhendifferenz t:J.h der Flüssigkeit in dem U-Rohr-Manometer. Di e Druckdifferenz ist gleich dem Druckabfall in
einer Flüssigkeitssäule der Höhe t:J.h und dem Druckabfall in
den Fluid mit gleicher Höhendifferenz.
5. Setzen Sie die beiden Ausdrücke für P I - P 2 gleich und
lösen Sie nach VI auf.
~ PIU': . 1) " ~ = (Pt -
P lI
~ L\h
und dam it
ÜBUNG: Berechnen Sie die Durchflussgeschwindigkeit Vi> wenn gilt: t:J.h = 3 cm. [ = 4, das F luid ist Luft (PF = 1,29 kg/ m' ),
und die Flüssigkeit im U-Rohr-Manometer i t Wasser (Pu = 103 kg/ m J ). (Lösung: V I = 5,51 ml s).
Kommentar: Luft ist kein inkompressi bles Fluid, darum ka nn man di e Be rnoulli-Gleich ung und die Kontinuitätsgleichung stre ng genommen nicht anwenden. Die R echnung in di eser Übung weist also - ander als die Rechnung in Beispiel 13.9 - eine gewisse Ungenauigkeit auf.
I
41
12
I
»> 13 FLUIDE
In der Mitte des 19. Jahrhundert hat de r deutsche Physiker
Gustav Magnus (1802 -1870) den Venturi-Effekt an rotierenden Körpern untersucht, we wege n die er Effekt im deutschen
Sprachraum auch als Magnus-Effekt bezeichnet wird. Magnus
betrachtete die Bewegung von Geschossen, die aus glatten Rohren abgeschossen wurden. Heute wird die Abweichung der
Geschosse von ihrer gewöhnlichen Flugbahn dadurch unterdrückt Uedoch nicht ganz beseitigt), dass man gezogene Läufe
verwendet. Sie geben dem Ge choss einen Drall in Längsricbtung, parallel zur Bewegung des Geschosses. In den 20er Jahren
des 20. Jahrhunderts hat man auch versucht, den Magnus-Effekt
zum Antrieb von Schiffen auszunutzen. Statt mit Masten waren
die Versuchsschiffe mit senkrecht stehenden, hohen Zylindern
ausgestattet, die je nach Windrichtung durch Maschinenkraft
in Rechts- oder Linksdrehung versetzt wurden. Diese "Rotorschiffe" haben sich jedoch nicht durchsetzen können.
(a)
v
(b)
v hoch,
P niedrig
v
v niedrig,
Phoch
Obwohl die Bernoulli-Gleichung sehr nützlich für die qualitative Beschreibung vieler Eigenschaften von Fluidströmungen
ist, stimmen diese Beschreibungen oft nur sehr ungenau mit
den Messergebnissen aus Experimenten überein. Dies liegt
daran, dass die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der
Bernoulli-Gleichung streng genommen nicht gegeben sind:
Gase wie Luft sind eben nicht inkompressibel, und Flüssigkeiten
wie Wasser weisen immer eine - wenn möglicherweise auch sehr
kleine - Viskosität auf, so dass Energie dissipiert wird und die
mechanische Energie nicht erhalten bleibt. Zudem ist es oft
schwierig, eine stationäre Strömung ohne Turbulenzen aufrecht
zu erhalten; Turbulenzen aber können das Ergebnis in hohem
Maße beeinflussen. Der Übergang von stationärer zu turbulenter Strömung ist daher ein Ansatzpunkt der modernen nichtlinearen Physik.
Nach der Bernoulli-Gleichung ist
der Druck eines Fluids, das stationär durch eine lange, gerade,
ebene Röhre mit konstantem Querschnitt fließt, entlang der
Röhre konstant. In der Praxis beobachtet man jedoch einen
Druckabfall entlang der Strömungsrichtung. Man kann daraus
schließen, dass eine Druckdifferenz nötig ist, um ein Fluid
durch eine horizontale Röhre zu bewegen. Dank dieser Druckdifferenz lassen sich zwei bremsende Kräfte überwinden: die
Widerstandskraft, die die Wandung der Röhre auf die Fluidschicbt unmittelbar an der Wandung ausübt, und die Widerstandskraft, die von den mit leicht unterschiedlicher Geschwindigkeit strömenden Schichten des Fluids aufeinander ausgeübt
werden. Diese Widerstandskräfte sind letztlich Reibungskräfte
der Fluidteilchen aneinander und verursachen die Zähigkeit
oder Viskosität des Fluids. Als Folge der Viskosität ist die
Geschwindigkeit des Fluids über den Querschnitt der Röhre
nicht konstant: Sie ist in der Mitte der Röhre am größten und
am kleinsten - im Extremfall nahezu null- dort, wo das Fluid
mit der Wandung der Röhre in Kontakt ist (Abbildung 13.21).
Wir bezeichnen mit PI den Druck an Fläche 1 und mit P2 den
Druck an Fläche 2, die sich die Strecke i stromabwärts von Fläche 1 befindet. Der Druckabfalll1P = P I - P 2 zwischen den beiden Flächen ist proportional zum Volumenstrom:
Viskose Strömungen*
13.19 a) Aufsicht auf einen sich im Gegenuhrzeigersinn drehenden
Baseball. Dieser Fall tritt auf, wenn der Werfer rechtshändig ist. b) Im
Bezugssystem des Balls ruht der Ball, dreht sich jedoch, und die Luft
bewegt sich an ihm vorbei. Wegen seiner rauen Oberfläche führt der
sich drehende Ball die Luft mit sich herum. Dadurch wird die
Geschwindigkeit der vorbeiströmenden Luft auf der linken Seite höher
und auf der rechten Seite niedriger. Der Druck nimmt damit auf der
linken Seite ab und auf der rechten Seite zu. Daher beschreibt der Ball
eine Linkskurve.
(13.19)
Dabei bezeichnet Iv = v A den Volumenstrom und die Konstante R den Strömungswiderstand, der von der Länge i der Röhre,
ihrem Radius r und der Viskosität des Fluids abhängt. Gleichung 13.19 wird in Beispiel 13.11 für den Blutkreislauf angewendet.
13.4 BEWEGTE FLUIDE <<<
I
BEISPIEL 13.11: Strömungswiderstand des Bluts
Wenn das Blut von der Aorta aus durch die Hauptschlagader, die kleineren Arterien, die Kapillargefäße und die Venen
zum rechten Vorhof zurückfließt, dann fällt der Blutdruck von 100 Torr auf null ab. Der Volumenstrom beträgt 0,8 Us. Wie
groß ist dann der Gesamtsträmungswiderstand des Kreislaufsystems?
Problembeschreibung: Der Strömungswiderstand hängt über Gleichung 13.19 mit dem Druckabfall und dem Volumenstrom zusamme n. Mit Hilfe von Gleichung 13.10 lässt sich zwischen den Druckeinheiten Torr und Pascal umrechnen.
Lösung:
Schreiben Sie den Strömungswiderstand mit Hille des
Druckabfalls und des Volumenstroms, und geben Sie alle
Terme in SI-EInheiten an:
R = t1P
Iv
100 torr
0,8 fis
101 kPa
760 torr
1f
10 cm 3
3
= 116,6 kPa . s/m31
Kommentar: Wir hätten das Ergebnis mit dem Zusammenhang 1 Pa = 1 N/m 2 auch in der Form R = 16,6 kN . s/m 5 angeben
können.
Um die Viskosität eines Fluids zu definieren , betrachten wir ein
Fluid zwischen zwei parallelen Platte n im Absta nd z, die jeweils
die Fläche A aufweisen (Abbildung 13.22). Die obere Platte
wird durch eine horizontal wirkende Kraft F mit konstanter
Geschwindigkeit v gezogen, die untere Platte dagegen bleibt
in Ruhe. Für die Bewegung der oberen Platte ist eine Kraft
nötig, weil zwischen der Platte und der angrenzenden Fluidschicht Reibungskräfte wirken , die der Bewegung entgegengesetzt sind. Man kann den Vorgang also als eine Scherung auffassen. Die Geschwindigkeit des Fluids zwischen den Platten hängt
vom Abstand zur bewegten Platte ab: In der Nähe der oberen
Platte beträgt die Geschwindigkeit annähernd v, nah e der
unteren Platte dagegen fast null. In einem solchen Fall spricht
man von einer laminaren Strömung (vom lateinischen lamina
für "Blatt"), weil man die Gesamtbewegung des Fluids in die
Bewegung einzelner Fluidschichten zerlegt. Es zeigt sich, dass
die Kraft F direkt proportional zu v und A und umgekehrt proportional zum Plattenabstand z ist. Die Proportionalitätskonstante ist die Viskosität 'YJ oder Zähigkeit:
vA
F='YJ-.
z
Die SI-Einheit der Viskosität hat keinen eigenen
(13.20)
13.20 Wenn der Gummibalg an dem Zer täuber gedrückt wird , wird
Luft durch die Verengung des horizontale n Röhrche ns gepresst;
dadurch sinkt dort der Druck bis unterhalb des gewöhnlichen Luftdruck. Durch die Druckdifferenz wird die Flüssigke it im lnne re n des
Zerstäubers in die Verengung gedrück t, gerät in den Luftstrom und
wird in feine Tröpfchen zerstä ubt. E in ä hnli cher Effekt tritt im Vergaser eines Verbrennungsmotor auf.
1
2
amen, sie ist
N . s/m 2 = Pa· s. In der älteren Literatur findet man noch die cgs-
Einheit Poise mit dem Einheitenzeichen P (nach dem französischen Arzt und Physiologen Jean-Louis Mari e Poise uille,
1799 -1869). Die Einheiten sind verknüpft durch di e Bezie hung
1 Pa · s = 10 P.
v
(13.21 )
Tabelle 13.3 führt die Viskosität mehrerer Fluide bei verschiedener Temperatur a uf. Typischerweise steigt die Viskosität einer
Flüssigkeit, wenn die Temperatur abnimmt. Au diesem Grund
musste man im Winter früher ei n weniger viskoses Motoröl verwenden, um auch bei großer Kälte eine ausreichende Schmierung des Motors zu geWährleisten. Heute werden den Motorölen Additive zugesetzt, d. h. spezielle Polymere, deren Viskosität mit sinkender Temperatur abnimmt. Auf diese Wei e bleibt
die Viskosität eines modernen Motoröls über einen weiten Temperaturbereich konstant.
13.21 We nn e in visko e Fluid durch e ine Rö hre Oieß t. ist di e
Strömung geschwindigke it in der Mille de r R öhre am grö ßte n. An de r
Wandung de r Rö hre ist di e Strö mung geschwindigke it nahezu null.
4'
14
I »> 13 FLUIDE
A
Kombiniert man die Gleichungen 13.19 und 13.22, so erhält man
den Druckabfall über eine Röhre der Länge emit dem Radius r:
F
v
(13.23)
GESETZ VON HAGEN - POISEUILLE
13.22 Zwischen zwei paralJelen Platten mit gleicher Fläche A befindet sich ein viskoses Fluid. Wenn die obere Platte mit der Geschwindigkeit v relativ zur unteren bewegt wird, übt jede der Fluidschichten eine Reibungskraft auf die jeweils benachbarte Schicht aus.
Die Kraft, die benötigt wird, um die obere Platte zu bewegen, ist
direkt proportional zu v und A und umgekehrt proportional zum
Plattenabstand z.
Tabelle 13.3
Fluide
Fluid
Wasser
Blut
Motoröl (SAE lOW)
Glycerin
Luft
Viskosität verschiedener
t in oe
1/ in JBPa·s
0
20
60
37
30
0
20
60
20
1,8
1,00
0,65
4,0
200
10000
1410
81
0,018
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille Für den Strömungswiderstand R einer stationären, laminaren Strömung durch eine
Röhre der Länge e mit dem Radius r (Gleichung 13.19) lässt
sich zeigen , dass
(13.22)
Gleichung 13.23 ist im deutschen Sprachraum als das Gesetz von
Hagen-Poiseuille bekannt; e wurde von dem deutschen Wasserbauingenieur Gotthilf H. L. Hagen (1797 -1884) aufgestellt, als
er Poiseuilles Arbeiten weiterentwickelte. Im englischen
Sprachraum wird es als Poiseuille's Law bezeichnet. Beachten
Sie die l/r4 -Abhängigkeit des Druckabfalls: Wenn der Radius
der Röhre halbiert wird, dann nimmt der Druckabfall für
einen gegebenen Volumenstrom um den Faktor 16 zu . Mit anderen Worten: Man benötigt den 16fachen Druck, um ein Fluid mit
dem gleichen Volumenstrom durch die Röhre zu pumpen. Dies
ist der Grund, warum bei Verengungen der Blutgefäße der Blutdruck extrem ansteigen kann - mit allen bekannten schädlichen
Folgen für Organe, Herz- und Kreislaufsystem. Für Wasser, das
durch einen langen Schlauch fließt, ist der Druckabfall fest,
nämlich gleich der Differenz zwischen dem Wasserdruck an
der Quelle und dem Luftdruck an der anderen Seite. Der Volumenfluss ist dann proportional zu vierten Potenz des Radius.
Deshalb nimmt bei einer Halbierung des Radius der Volumenstrom um den Faktor 16 ab.
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille gilt nur für die laminare (d. h.
nichtturbulente) Strömung eines Fluids mit konstanter Viskosität. In einigen Fluiden ändert sich jedoch die Viskosität mit der
Strömungsgeschwindigkeit. Zu diesen Fluiden gehört auch Blut,
ein komplexes Gemisch aus festen Bestandteilen mit verschiedenen Formen, die im flüssigen Blutplasma suspendiert sind.
Die roten Blutkörperchen beispielsweise sind scheibenförmig;
bei niedriger Strömungsgeschwindigkeit nehmen sie im Blut
eine zufällige Orientierung ein, bei höheren Geschwindigkeiten
dagegen orientieren sie sich, um das Fließen zu erleichtern.
Daher nimmt die Viskosität von Blut ab, wenn die Strömungsgeschwindigkeit steigt, und daher ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille streng genommen auf den Blutfluss nicht anwendbar.
Das Gesetz bietet jedoch eine gute Näherungsbeschreibung,
mit dem sich die Gesetzmäßigkeiten des Blutflusses qualitativ
sehr gut verstehen lassen.
In Kapitel 25 über den elektrischen Strom I durch einen metallischen Leiter werden wir das Ohm 'sche Gesetz t1.cjJ = IR kennen
lernen; es gibt den Zusammenhang zwischen der Potenzialdifferenz llcp und dem elektrischen Widerstand R eines Drahts an.
Wie sich zeigen wird, ist das Ohm 'sche Gesetz ein Analogon
zum Gesetz von Hagen-Poiseuille llP = IvR.
Turbulenz und Reynolds-Zahl Wenn die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids einen bestimmten Grenzwert überschreitet, geht die laminare in eine turbulente Strömung über.
Die kritische Geschwindigkeit, über der die Strömung durch
eine Röhre turbulent wird, hängt von der Dichte und der Viskosität des Fluids sowie vom Radius der Röhre ab. Die wichtigste
Kennzahl zur Charakterisierung von F luidströmungen ist die
Reynolds-Zahl Re (nach dem britischen Physiker und Ingenieur
Osborne Reynolds, 1842-1912). Sie ist definiert durch
Re =2 rpv.
17
(13.24)
l3 ZUSAMMENFASSUNG «<
I
BEISPIEL 13.12: Blutfluss in der Aorta
Berechnen Sie die Reynolds-Zahl für Blut, das mit einer Geschwindigkeit von 30 cm/s durch eine Aorta mit dem Radius
1,0 cm fließt. Nehmen Sie an, dass Blut eine Viskosität von 4 mPa· s und eine Dichte von 1060 kg/m 3 hat.
Problembeschreibung: Da Re eine dimensionslose Zahl ist, können wir mit einem beliebigen Satz E inheiten rechnen,
solange er nur in sich konsistent ist.
Lösung:
Schreiben Sie in Gleichung 13.24 für die Reynolds-Zahl jede
der verwendeten Größen in SI-Einheiten.
Re
=2 rp v
17
_ 2· (0,01 m) . (1060 kg/m 3 ) . (0,3 m/s)
4 . 10- 3 Pa · s
= 1 1590 1
Kommentar: Da die Reynolds-Zahl deutlich unter 2000 liegt, wird diese Strömung eher laminar sein als turbul ent.
Dabei ist v die mittlere Strömungsgescbwindigkeit des Fluids.
Experimente baben gezeigt, dass die Strömung durch ein Rohr
bis zu einer Reynolds-Zabl von etwa 2000 meist laminar ist,
bei Werten über Re > 3000 wird die Strömung meist turbulent.
Im Zwischen bereich ist die Strömung instabil und kann von
einem Typ zum anderen übergehen. Die genaue Ausbildung
der Strömung hängt von den Anfangsbedingungen und von
technischen Details (z. B. Oberflächenrauheit der Röhre) ab.
Daher ist der kritische Wert der Reynolds-Zahl nicht allgemein
zu berechnen, sondern muss für jedes Strömungsproblem experimentell bestimmt werden. In Beispiel 13.12 wird abschließend
die Reynolds-Zahl von Blut berechnet.
Falschfarbenbild der Turbulenz von Blut, das in das Herz hin ein- un d
wieder herausfli eß t. Der systolische Ausstoß des Bluts aus der linken
H e rzka mme r in di e Aorta ist rot, die diastolische Fü llung der rechten
H e rzka mme r ist blau abgebi ldet. Die Au[nahme e ntstand mit einem
bildgebenden Magne tresona nzverfa hre n (NM R ).
Zusammenfassung
1. Fluid ist die zusammenfassende Bezeichnung für Flüssigkeiten und Gase.
2. Dichte, relative Dichte und Druck sind abgeleitete Größen, di e bei der Statik und D yna mik von Fluiden eine große Roll e spielen.
3. Das Pascal'sche Prinzip und das archimedische Prinzip lassen sich aus den Newton'schen Axiomen herleiten.
4. Die Bernoulli-Gleichung lässt sieb aus der Erhaltung de r mechanischen Gesamtenergie herlei ten .
5. * Der Venturi- und der Magnus-Effekt sind Spezialfälle de r Bernoulli -G leichung.
6.* Das Gesetz von Hagen-Poise uille beschreibt den Druckabfall e iner Strömung durch ei ne Röhre a ufgrund der Viskosität des
Fluids; mit der Reynolds-Zahl kann man vorhersagen, ob e ine Strömung lamin ar oder turbulent ist.
Thema
1. Dichte
Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
Die Dichte einer Substanz ist de r Quotient ihrer Masse und ihres Volumens:
m
p = V·
(13.1)
Di e Dichte der meisten Feststoffe und Flüssigkeiten ist annähernd unabhängig von Temperatur
und Druck, wohingegen die Dichte von Gasen sehr stark von die en Größen abhängt. Die
Wichte ist gleich der Dichte mal der Erdbesch le unigung g. Die Wichte von Wa er beträgt
9,81 NIL.
2. Relative Dichte
Die spezifische Dichte e iner Substanz ist das Verhältnis ihrer Dichte zu der Dichte von Wa er.
Ei n Körper sinkt (oder schwimmt) in einem Fluid , wenn eine Dichte größer (oder kleiner) als
die Dichte des Fluids ist.
41
1161 »> 13 FLUIDE
Der Druck eines Fluids ist die auf die Fläche bezogene Kraft, die von dem Fluid ausgeübt wird:
3. Druck
F
P- A'
(13.3)
Die SI-Einheit des Drucks ist das Pascal mit
Einheiten
1 Pa
1 N/m2 .
=
(13.4)
Weitere noch gebräuchliche Druckeinheiten sind das Bar, die Atmosphäre und das Torr:
1 atm
1 bar
Überdruck
=
103 mbar
=
(13.10)
(13.5)
100 kPa .
Der Überdruck Pe ist die Druckdifferenz zwischen dem gemessenen Druck P und dem
Atmosphärendruck P at :
= Pe + P at ·
P
In einer Flüssigkeit
= 760 mmHg = 760 torr = 101,325 kPa ,
(13.9)
In einer Flüssigkeit nimmt der Druck linear mit der Tiefe zu:
= Po + P g /).h
P
(13.8)
(p konstant).
In einem Gas
In einem Gas nimmt der Druck exponentiell mit der Höhe ab.
Kompressionsmodul
Der (negative) Quotient von Druck und relativer Volumenänderung eines Körpers heißt
Kompressionsmodul K:
/)'P
(13.7)
K =- /).V jV·
4. Pascal'sches Prinzip
Der Druck, der auf eine Flüssigkeit in einem geschlossenen Behälter wirkt, pflanzt sich
unverändert an jeden Ort der Flüssigkeit und die Wände des Behälters fort.
5. Archimedisches Prinzip
Ein Körper, der ganz oder teilweise in ein Fluid eintaucht, erfährt eine Auftriebskraft; sie ist der
Gewichtskraft des von ihm verdrängten Fluids gleich.
6. Strömende Flüssigkeiten *
Volumenstrom
Als Volumenstrom bezeichnet man das pro Zeiteinheit durch eine Fläche vom Querschnitt A
fließende Volumen eines Fluids.
Iv = Av.
Kontinuitätsgleichung
Für die stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids ist der Volumenstrom an jedem
Punkt des Fluids konstant:
Iv
Bernoulli-G leichung
= Av = konst.
(13 .16)
Für die stationäre Strömung eines imkompressiblen, nichtviskosen Fluids ohne Turbulenz bleibt
die mechanische Energie erhalten:
P
+ P g h + ~ pV2 =
konstant.
(13.17b)
Venturi-Effekt
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit in einem Fluid steigt, fällt der Druck.
Strömungswiderstand
Bei der Strömung eines viskosen Fluids durch eine Röhre ist der Druckabfall proportional zum
Volumenstrom. Die Proportionalitätskonstante ist der Strömungswiderstand R :
/)'P
Viskosität
= Iv R.
(13.19)
Die Viskosität beschreibt den Widerstand eines Fluids gegen eine Schubspannung F/A:
vA
F=T/-.
z
(13.20)
13 AUFGABEN < < <
I
Gesetz von Hagen-Poiseuille Das Gesetz von Hagen-Poiseuille verknüpft de n Strömungswiderstand R eines in ein er Röhre
fließenden viskosen , inkompressiblen Fluids mit dem auftretenden Druckabfall I!!.P; der
Strömungswiderstand selbst ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Radius r der
Röhre:
(13.23)
Laminare und turbulente
Strömung, Reynolds-Zahl
Eine Strömung ist in der Regel laminar, wenn die Reynolds-Zahl kleiner als etwa 2000 ist; bei
einem Wert von über 3000 ist sie in der Regel turbulent. Die Reynolds-ZahJ Re für die
Strömung durch ein Rohr ist gegeben durch
Re=2rpv.
(13.24 )
YJ
Aufgaben
Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben , als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten
aus dem AJlgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.
•
Einfache Aufgaben mit nur einem Rechenschritt.
• • Mittelschwere Aufgaben, können die Kombination verschiedener Konzepte erfordern.
• •• Anspruchsvolle Aufgaben.
Bei allen Aufgaben ist die Erdbeschleunigung g = 9,81 mJs2•
Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.
Verständnisaufgaben
13.1
••
Ein Stein von der Masse m mit der dreifachen
Dichte von Wasser hängt an einem Faden. Sie halten das Ende
des Fadens in der Hand und senken den Stein in einen Wasserbehälter, der fast bis zum Rand mit Wasser gefüllt ist. Der Wasserbehälter steht auf einer Waage. Als der Stein kurz über dem
Boden des Wasserbehälters ist, reißt der Faden. In dem Zeitraum, bis der Stein auf dem Boden des Behälters liegt, nimmt
die Anzeige der Waage um a) 2 mg, b) mg, c) ~ mg,
d) ~ mg, e) null zu.
13.2
••
Ein Stein wird in einen Swimming-Pool mit
gleichmäßig warmem Wasser geworfen. Welche der folgenden
Aussagen ist richtig? a) Die Auftriebskraft auf den Stein ist
null, während er sinkt. b) Die Auftriebskraft auf den Stein
nimmt zu, während er sinkt. c) Die Auftriebskraft auf den
Stein nimmt ab, während er sinkt. d) Die Auftriebskraft auf
den Stein ist konstant, während er sinkt. e) Die Auftriebskraft
auf den Stein ist zunächst nicht null, während er sinkt; wenn er
seine Endgeschwindigkeit erreicht, wird die Auftriebskraft null.
13.3
••
In einem Warenhaus schwebt ein Wasserball ,
getragen von dem Luftstrom aus einem Staubsauger. Muss der
Luftstrom unter oder über dem Ball blasen, um den Ball zu tragen? Begründen Sie Ihre Antwort.
13.4
•
Abbildung 13.23 zeigt einen kartesischen Taucher.
Er besteht aus einem kleinen, unten offenen Röhrchen , das oben
geschlossen ist und eine Luftblase enthält. Das Röhrchen befindet
sich in einer teilweise mit Wasser gefüllten Kunststoffflasche. N ormaJerweise schwebt der Taucher in der Flasche; wenn man die
Flasche kräftig drückt, sinkt er. Erklären Sie, warum.
Luftblase
Luftblase
Kartesischer --+----1
Taucher
Wasser
""'---t---
13.23 Zu Aufgabe 13.4.
13.5
••
In Beispiel 13.10 wird ein Fluid beschl eunigt,
wenn es die Verengung in einer Röhre passiert. Be nennen Sie
die Kräfte, die diese Beschle unigung bewirken.
13.6
••
Sie sitzen in eine m Boot, das auf eine m sehr kleinen See treibt. Sie nehme n den Anker aus dem Boot und werfe n
ihn ins Wasser. Wi e reagiert de r Wasserspiegel des Sees?
13.7
••
Abbildung 13.24 ze igt chemati sch den Tunnelbau eines Prärie hunds. Die Geometri e der zwe i Löcher und
ihre Lage sorge n dafür, da s ein Wind , der übe r Loch 2 bl äst,
stets eine kleinere Geschwindigkeit hat als de r Wind übe r
Loch 1. Erkl ären Sie mit de m Bemoulli -Prinzip, wi e de r Tunnel
belüftet wird , und zeichnen Sie ein, in welche Richtung die Lu ft
durch den Tunnel strömt.
41/
18
I
>>> 13 FLUIDE
13.24 Zu Aufgabe 13.7.
Dichte
13.8
•
Berechnen Sie die Masse der Luft
Raum von 4 m . 5 m . 4 m.
10
einem
Druck
13.9
•
Über der Oberfläche eines Sees herrscht ein
Luftdruck von Pa, = 101 kPa. a) In welcher Tiefe ist der Wasserdruck doppelt so hoch wie der Luftdruck? b) Über einem
Quecksilbergefäß herrscht der Druck Pa,. In welcher Tiefe ist
der Druck 2 Pa,?
13.10 • •
Wenn eine Frau in hochhackigen Schuhen läuft,
lastet ihr gesamtes Gewicht für einen kurzen Moment auf dem
Absatz von einem ihrer Schuhe. Ihre Masse beträgt 56 kg, die
Absatzfläche ist 1 cm 2 • Welchen Druck übt sie damit auf den
Boden aus?
13.11 • •
Im 17. Jahrhundert führte Blaise Pascal das folgende, in Abbildung 13.25 gezeigte Experiment durch: Ein wassergefülltes Weinfass wurde an eine lange Röhre angeschlossen.
Dann schüttete man Wasser in die Röhre, bis das Fass geborsten
war. a) Der Deckel hatte einen Radius von 20 cm, die Wassersäule in der Röhre war 12 m hoch. Berechnen Sie die Kraft auf
den Deckel. b) Der Innenradius der Röhre betrug 3 mm. Welche Masse an Wasser hat dann den Druck verursacht, der das
Fass zum Bersten brachte?
13.26 Zu Aufgabe 13.12.
Auftrieb
13.13.
Ein Block aus unbekanntem Material wiegt in
Luft 5 N und 4,55 N, wenn er in Wasser eingetaucht ist. a) Welche Dichte hat das Material? b) Nehmen Sie an, dass der Block
massiv und homogen ist; aus welchem Material besteht er?
13.14 • •
Ein homogener, massiver Körper schwimmt auf
Wasser, 80 % seines Volumens befinden sich unterhalb der Wasseroberfläche. Wenn derselbe Körper auf einer anderen Flüssigkeit schwimmt, befinden sich 72 % seines Volumens unterhalb
der Oberfläche. Berechnen Sie die Dichte des Körpers und das
relative Gewicht der Flüssigkeit.
13.15 • •
Ein Becher von der Masse 1 kg en thäl t 2 kg Wasser; der Becher steht auf einer Waage. Ein Aluminiumblock von
2 kg (Dichte von Aluminium: 2,7.103 kg/m 3 ) hängt an einer
Federwaage und taucht in das Wasser hinein (Abbildung 13.27).
Welche Werte zeigen die beiden Waagen an?
13.25 Zu Aufgabe 13.11.
Aluminium
13.12 ••
Viele Leute glauben, dass sie unter Wasser atmen
können, wenn sie das Ende eines flexiblen Schnorchelschlauchs
aus dem Wasser herausragen lassen (Abbi ldung 13.26). Sie ziehen im Allgemeinen nicht in Betracht, dass der Wasserdruck
der Ausdehnung des Brustkorbs beim Einatmen entgegenwirkt.
Nehmen Sie an, dass Sie gerade noch atmen können, wenn sie auf
dem Boden liegen und auf ihrem Brustkorb eine Last von 400 N
ruht. Wie weit dürfte sich dann Ihr Brustkorb unterhalb der Wasseroberfläche befinden, damit Sie dann noch atmen können? Ihr
Brustkorb soU eine Fläche von 0,09 m 2 haben.
13.27 Zu Aufgabe 13.15.
13 AUFGABEN «<
1 3.16 ••• Das Aräometer (Senkwaage) aus Abbildung 13.28 dient zur Messung des relativen Gewichts von Flüssigkeiten. (Mit solchen Geräten wird z.B. traditionell das Mostgewicht von Traubenmost gemessen.) Die Kugel enthält Bleischrot, und das relative Gewicht lässt sich - wenn das
Aräometer erst einmal kalibriert ist - direkt an dem Flüssigkeitsniveau an der Skala ablesen. Das Volumen der Kugel ist
20 mL, die senkrechte Skala ist 15 cm lang und hat einen Durchmesser von 5 mm, und die Masse des Glaskörpers beträgt 6 g.
a) Welche Masse an Bleischrot muss in die Kugel eingefüllt werden, damit das niedrigste messbare relative Gewicht einer Flüssigkeit 0,9 ist? b) Welches relative Gewicht darf die zu
messende Flüssigkeit maximal haben?
I
weil es so viele davon gibt. Nehmen Sie an, dass alles Blut aus der
Aorta in die Kapillaren fließt und dass es sich dort mit einer
Geschwindigkeit von 1,0 mm/s bewegt. Berechnen Sie den
Gesamtquerschnitt der Kapillaren.
13.20 ••
Ein Springbrunnen soll eine Fontäne von 12 m
Höhe erzeugen. Die Düse am Boden der Brunnenschale bat
einen Durchmesser von 1 cm. Die Pumpe befindet sich 3 m
unterhalb der Brunnenschale. Das Rohr zur Düse hat einen
Durchmesser von 2 cm. Berechnen Sie den notwendigen Pumpdruck. Nehmen Sie eine laminare, nichtviskose Strömung an.
13.21 ••
Ein Staurohr, nach dem Erfinder auch PitotRohr genannt (Abbildung 13.29), dient zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit eines Gases. Die innere Röhre stebt senkrecht zum strömenden Fluid, der Ring mit den Löchern um die
äußere Röhre dagegen wird parallel umströmt. Zeigen Sie, dass
für die Strömungsgeschwindigkeit gilt: v 2 =2gh (P - Pa)/Pü>
wenn P die Dichte der Flüssigkeit im Manometer und Pa die
Dichte des Gases ist.
13.28 Zu den Aufgaben 13.16 und 13.33.
13.17 • •
Ein großer heliumgefüllter Wetterballon ist kugelförmig, hat einen Durchmesser von 5 m und eine Gesamtmasse
von 15 kg (Ballon plus Helium plus Messausrüstung). a) Welche
Anfangsbeschleunigung erfährt der Ballon, wenn man ihn aus
Meereshöhe starten lässt? b) Die Reibungskraft auf den Ballon
ist FR =!n,:z P v2 mit dem Ballonradius r, der Luftdichte P und
der Steiggeschwindigkeit v des Ballons. Berecbnen Sie die Endgeschwindigkeit des Ballons. c) Wie lange dauert es ungefähr, bis
der Ballon eine Höhe von 10 km erreicht hat?
Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung
13.18 • •
Aus dem kreisrunden Spundloch läuft Wasser
mit einem Volumenstrom von 10,5 cm 3/s aus einem Fass nach
unten. a) Der Durchmesser des Lochs beträgt 1,2 cm; welche
Geschwindigkeit hat das Wasser? b) Mit durchfallener Höhe
wird der Wasserstrahl immer dünner. Berechnen Sie den
neuen Durchmesser des Wasserstrahis an einem Punkt 7,5 cm
unterhalb des Lochs. Nehmen Sie an, dass der Strahl noch
immer einen kreisförmigen Querschnitt hat , und vernachlässigen Sie alle Reibungskräfte auf das Wasser. c) Turbulente
Strömungen werden in diesem Fall mit einer Reynolds-Zahl
von über 2300 charakterisiert. Wie weit fällt das Wasser, bis
der Strahl turbulent wird? Deckt sich dieser Wert mit den Alltagserfahrungen?
1 3.1 9 ••
Durch eine Aorta mit 9 mm Radius fließt Blut
mit einer Geschwindigkeit von 30 cm/s. a) Berechnen Sie den
Volumenstrom in Litern pro Minute. b) Obwohl der Querschnitt eines kapillaren Blutgefäßes wesentlich kleiner ist als
der der Aorta, ist der Gesamtquerschnitt der Kapillaren größer,
13.29 Zu Aufgabe 13.21.
Strömung viskoser Flüssigkeiten
13.22 • •
Blut braucht etwa 1,0 s, um durch eine 1 mrn
lange Kapillare des menschlichen Gefäßsystems zu fließen .
Der Durchmesser der Kapillare ist 7 IJm, der Druckabfall
beträgt 2,60 kPa. Nehmen Sie eine laminare Strömung an und
berechnen Sie die Viskosität von Blut.
13.2 3 •• • Das Stokes'sche Reibungsgesetz (nach dem britischen Physiker und Mathematiker Sir Gabriel Stokes, 1819 1903) gibt die Reibungskraft auf eine Kugel in einer laminaren
Fluidströmung an; es gilt nur für sehr niedrige Reynolds-Zahlen.
Nach diesem Gesetz beträgt die Reibungskraft FR = 6 n 17 r v;
dabei ist 17 die Viskosität de Fluids und r der Radius der
Kugel. Benutzen Sie das Gesetz, um die Aufstiegsgeschwindigkeit einer Kohlendioxidblase von 1 mm Durchmesser in einem
Glas Limonade (Dichte 1,1.103 kg/m3) zu berechnen. Wie
lange sollte der Aufstieg dann in einem "typischen" Limonadenglas dauern ? Verträgt sich dieser Wert mit Ihren Alltagserfahrungen?
41
o I
»> 13 FLUIDE
Allgemeine Aufgaben
13.24 ••
Ziemlich verallgemeinert betrachtet nimmt die
Masse einer Person mit der dritten Potenz ihrer Körpergröße
zu, also gemäß m = C P h3 , wobei m die Masse, h die Körpergröße, P die Dichte des Körpers und C einen von Person zu Person unterschiedlichen "Rundlichkeitskoeffizienten" angibt.
Nehmen Sie "typische" Werte für Körpergröße und Gewicht
an und schätzen Sie C für Frauen und Männer. Rechnen Sie
13.29 • •
Zwei miteinander verbundene Behälter enthalten eine Flüssigkeit der Dichte Po (Abbildung 13.31). Die Querschnittsflächen der Behälter sind A und 3A. Berechnen Sie, wie
sich der Flüssigkeitsspiegel in den Behältern ändert, wenn man
einen Körper der Masse m und der Dichte p = 0,8 Po in einen der
beiden Behälter legt.
A
mitp=1000 kglm 3•
13.25.
Meerwasser hat einen Kompressionsmodul von
K = 2 3.109 N/m 2 . Berechnen Sie die Dichte von Meerwasser
in ei~er Tiefe, in der der Druck 800 bar beträgt. Die Dichte
von Meerwasser an der Oberfläche beträgt 1025 kglm 3 .
13.26 ••
Ein mit Wasser gefüllter Becher steht auf der linken Schale einer Balkenwaage; die Waage befindet sich im
Gleichgewicht. Ein an einem Fädchen hängender Würfel mit
4 cm Kantenlänge wird so tief in das Wasser getaucht, dass er
komplett untertaucht, aber den Boden des Bechers nicht
berührt. Vm die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen,
muss man auf die rechte Waageschale ein Massestück m auflegen. Wie groß ist m?
13.27 ••
Rohöl hat bei Normaltemperatur eine Viskosität
von etwa 0,8 Pa · s. Zwischen einem Ölfeld und dem Tanker-Terminal soll eine 50 km lange Pipeline gebaut werden. Sie soll am
Terminal Öl mit einer Rate von 500 fis anliefern; die Strömung
in der Pipeline soll laminar sein, um den Druck, mit dem das Öl
durch die Pipeline gepresst wird, zu minimieren. Nehmen Sie an,
dass Rohöl eine Dichte von 700 kg/m 3 hat, und schätzen Sie, weichen Durchmesser die Pipeline haben sollte.
13.28 • •
Mit einem Saugapparat (Schema in Abbildung 13.30) lässt sich auf einfachste Weise ein Teilvakuum in
dem Behälter erzeugen, der mit dem senkrechten Rohr bei B
verbunden ist. Solche Saugapparate werden beispielsweise mit
einem Gartenschlauch verbunden und können dann Seifenlauge
oder flüssigen Kunstdünger aus einem Behälter fördern; auch
die Wasserstrahlpumpen im chemischen Labor funktionieren
nach diesem Prinzip. Der Durchmesser bei A soll 2 cm betragen;
bei C wo das Wasser gegen den Atmosphärendruck abläuft,
beträ~t er 1 cm. Der Durchfluss beträgt 0,5 f is, der Überdruck
bei A ist 0,189 bar. Mit welchem Durchmesser der Verengung
erzeugt man einen Druck von 0,1 atm in dem Behälter? Nehmen
Sie eine nichtviskose, laminare Strömung an .
A
v
"~___B
__-J"~----C--
13.31 Zu Aufgabe 13.29.
13.30 ••
Ein V-Rohr enthält eine Flüssigkeit mit einer
unbekannten relativen Dichte. Man füllt ein Öl mit der Dichte
800 kg/m 3 in einen Schenkel des V-Rohrs, bis die Ö.~säule dort
12 cm hoch steht. Die Grenzfläche zwischen dem 01 und der
Luft steht 5 cm höher als der Flüssigkeitsspiegel im anderen
Schenkel des V-Rohrs. Berechnen Sie die relative Dichte der
Flüssigkeit.
13.31 • •
Ein Heliumballon kann eine Last von 750 N tragen. Die Hülle des Ballons hat eine Masse von 1,5 kg. a) Welches Volumen hat der Ballon? b) Nehmen Sie an, der Ballon
hätte das doppelte Volumen wie das in Teilaufgabe a berechnete.
Welche Anfangsbeschleunigung würde der Ballon dann erfahren, wenn er eine Last von 900 N trägt?
13.32 • •
Im Zusammenhang mit der Diskussion um den
Zusammenhang zwischen Luftdruck und Höhe über Meereshöhe hatten wir hergeleitet, dass die relative Abnahme des Lu~­
drucks proportional zur Höhenzunahme ist. Dies lässt .sic~ rn
einer Differenzialgleichung der Form dPIP= - C/dh mit erner
Konstanten Causdrücken. a) Zeigen Sie, dass diese Differenzialgleichung durch P(h)=Poe- Ch gelöst wird. (Dies~ Fonn.el
nennt man die barometrische Höhenformel) . b) Zeigen Sie,
dass sich für I:!.h « ho(ho = l / C) der Druckverlauf durch P (h .+
I:!.mh) ~ P(h) . (1 - I:!.h/h o) annähern lässt. c) Der Druck rn
einer Höhe von h = 5,5 km beträgt nur die Hälfte des Drucks
auf Meereshöhe. Berechnen Sie damit die Konstante C.
13. 33 • •• Wenn man das Aräometer (Senk waage) aus Aufgabe 16 (Abbildung 13.28) in eine Flüssigkeit bringt, deren relatives Gewicht größer als ein bestimmter Minimalwert ist, dann
schwebt es in der Flüssigkeit, und ein Teil der senkrechten Glasröhre ragt als Skala aus der Flüssigkeit heraus. Ein solche Aräometer soll eine Kugel von 2,4 cm Durchmesser haben, die senkrechte Glasröhre ist 20 cm lang und hat einen Durchmesser von
7 5 mm. Die Masse des Aräometers, bevor Bleischrot hineingewird beträgt 7,28 g. a) Welche Masse an Blei muss in die
Kugel gefüllt werden, damit das Aräometer in einer Flüssigkeit
mit dem relativen Gewicht von 0,78 gerade schwebt? b) Dasselbe Aräometer wird jetzt in Wasser gesteckt. Wie weit ragt
die senkrechte Röhre über den Wasserspiegel hinaus? c) Nun
steckt man das Aräometer in eine Flüssigkeit mit unbekanntem
relativen Gewicht. Die senkrechte Röhre ragt 12,2 cm über den
Flüssigkeitsspiegel hinaus. Bestimmen Sie die relative Dichte
der Flüssigkeit.
funt
13.30 Zu Aufgabe 13.28.