Blatt06

Übungen zur Vorlesung
SS 2016
Vertiefungsmodul für Lehramt I - Relativitätstheorie, Astrophysik, Kosmologie
Blatt 6
apl. Prof. Dr. Johannes Roth
Aufgabe 1
Ausgabedatum: 9.5.2013
(Freiwillig) Untere Massengrenze Weißer Zwerge
4 Punkte
Die in der Vorlesung hergeleitete Masse-Dichte-Relation für Weiße Zwerge
M (ρ) =
Me c2
Gmp
3/2 √
ρ
ρc
scheint zu implizieren, dass die Dichte bei immer kleineren Massen gegen Null geht. Dieses
unphysikalische Resultat ist darauf zurückzuführen, dass wir die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Elektronen und Ionen vernachlässigt haben. In der Tat tendiert mit
fallendem Druck die Dichte zu dem Wert gewöhnlicher atomarer Materie. Deren Stabilität ist
durch den atomaren Aufbau, d.h. durch die elektromagnetische Wechselwirkung bestimmt,
und nicht durch den Fermidruck. Die atomare Dichte können wir über die typische Dimension
von Atomen abschätzen. Die ist gegeben durch den Bohrradius rB = ~/(αme c), so dass
ρa ≈
mH
3
rB
die Dichte gewöhnlicher atomarer Materie charakterisiert. hierbei ist mH die Masse eines
Wasserstoffatoms, me die Elektronenmasse, und α = e2 /(4π0 ~c) = 1/137 die sommerfeldsche
Feinstrukturkonstante.
Zeigen Sie, dass die mittlere Dichte eines Objektes, das durch entartete Elektronen stabilisiert
ist, vergleichbar wird mit der atomaren Dichte ρa , wenn die Masse des Objektes vergleichbar
wird mit
MP = α3/2 MC ≈ 0.001M
wobei MC die Chandrasekhar-Grenzmasse ist. Die Masse MP entspricht der Grenze zwischen
Weißen Zwergen und Objekten aus gewöhnlicher Materie, wie etwa Monde und Planeten.
Übersteigt die Masse eines Objektes aus atomarer Materie diese Grenze, bricht schließlich die
atomare Struktur zusammen, und auch diese Objekt wird kollabieren bis der Fermidruck der
Elektronen es wieder stabilisiert. Ganz in der Nähe dieser Grenze liegt z.B. Jupiter mit einer
Masse von 0.00095 M .
Aufgabe 2
(Votier) Gravitationskollaps
10 Punkte
Die Kerne massereicher Sterne kollabieren am Ende ihrer Entwicklung unter der Gravitation,
falls sie keinen ausreichenden Gegendruck mehr aufbauen können. Um die Zeitskala eines solchen Kollapses zu bestimmen, betrachten wir hier ein einfaches, klassisches Modell: Wir gehen
aus von einer homogenen Kugel der Masse M , die anfänglich den Radius R0 hat und ohne
Gegendruck unter der Wirkung der newtonschen Gravitationsanziehung kollabiert. Betrachten Sie ein kleines Massenelement m auf der Kugeloberfläche. Zu Beginn des Kollapses ist
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dieses Massenelement im Abstand r = R0 vom Zentrum. Leiten Sie aus dem Energiesatz die
Bewegungsgleichung des Massenelements m her. Integrieren Sie dann diese Bewegungsgleichung, um die freie-Fall-Zeit Tf zu erhalten, nach der m bei r = 0 angekommen ist. Drücken
Sie das Ergebnis durch die anfängliche Dichteρ0 der Massenverteilung aus. Wie groß ist Tf für
einen Körper von Sonnendichte ρ0 ≈ 103 kg/m3 ? Was erhalten Sie für einen kollabierenden
stellaren Eisenkern mit ρ0 = 1012 kg/m3 ?
Aufgabe 3
(Schriftlich) Der Pulsar als Unipolarmaschine
9 Punkte
~ = B)
~ mit Radius R
Eine homogen magnetisierte Kugel (M
rotiere mit Periode P um die Symmetrieachse der Magnetisierung (paralleler Rotator).
~ r) im Inneren der
a) Berechnen Sie das elektrische Feld E(~
Kugel.
b) Berechnen Sie die elektrische Spannung V zwischen dem
Pol A und einem Schleifkontakt B am Äquator. (Ergebnis:
V = ω2 R2 B)
c) Welche Spannung ergibt sich für P = 0, 5 s, R = 10 cm,
B = 1 kG? Was erhält man für P = 0, 5 s, R = 10 km,
B = 5 · 1012 G?
Aufgabe 4
(Votier) Millisekundenpulsare
4 Punkte
Für einen extrem kurzperiodischen Pulsar werden eine Periode von P = 1, 557806 ms und
eine Periodenänderung von Ṗ = 1, 0508 · 10−19 s/s gemessen.
a) Suchen Sie auf dem Klavier denjenigen Ton, dessen Frequenz der des Pulsars am nächsten
liegt. Der Kammerton a0 hat 440 Hz.
b) Nach welcher Zeit ,,singt” bei gleichbleibendem Ṗ der Pulsar um einen halben Ton tiefer?
(Anmerkung: 1 Oktave =
ˆ 12 Halbtonschritte =
ˆ Frequenzverdopplung)
Aufgabe 5
(Votier) Überlichtgeschwindigkeiten
6 Punkte
Ausgehend von einer ruhenden Lichtquelle (Quasar), entfernen sich zwei andere Lichtquellen
(Jets mit leuchtenden Knoten) mit entgegengesetzter Geschwindigkeit v. Ein weit entfernter
Beobachter, dessen Sichtlinie den Winkel ϑ gegenüber der Bewegungsrichtung einschließt,
sieht, dass sich die beiden Objekte mit gewissen Winkelgeschwindigkeiten von der ruhenden
Quelle entfernen.
a) Auf welche (scheinbaren) Geschwindigkeiten schließt er dann bei bekannter Entfernung
der Objekte?
b) Wann treten dabei Überlichtgeschwindigkeiten auf?
c) Für welchen Winkel ϑ wird diese Geschwindigkeit maximal?
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