Übung 04: Frequenzspektrum, Interferenz

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 4
Abgabe: 24.03. bzw. 28.03.2017
Frequenzspektrum, Interferenz
1
Mathematische Grundlagen (20 Pkt.)
Wir haben die Fouriertransformation einer Funktion f (t1 , . . . , tn ) definiert als
Z
Z
1
F[f ] = fˆ(ω1 , . . . , ωn ) =
dt
.
.
.
dtn f (t1 , . . . , tn ) ei(ω1 t1 +...+ωn tn )
1
(2π)n
und die inverse Fouriertransformation als
Z
Z
−1 ˆ
F [f ] = f (t1 , . . . , tn ) = dω1 . . . dωn fˆ(ω1 , . . . , ωn ) e−i(ω1 t1 +...+ωn tn ) .
(1)
(2)
(a) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Fouriertransformation der Faltung zweier Funktionen f (t1 , . . . , tn )
und g(t1 , . . . , tn ) proportional zum Produkt der Fouriertransformationen der gefalteten Funktionen ist
F[(f ∗ g)] ∝ F[f ] · F[g],
(3)
wobei der Vorfaktor von Ihnen geeignet zu bestimmen ist.
(b) (5 Pkt.) Beweisen Sie, dass die Fourier(rück)transformierte A(t) des Spektrums Â(ω) rein
reell ist, wenn das Spektrum die Bedingung
Â(ω) = Â∗ (−ω)
(4)
erfüllt.
(c) (6 Pkt.) Berechnen Sie die Fourierrücktransformation L(t) der spektralen Verteilung
L̂(ω) =
1 −a|ω|
e
.
2π
(d) (4 Pkt.) Berechnen Sie die Fouriertransformation der Rechtecksfunktion
(
1 f ür |t| < a
R(t) =
0 sonst.
1
(5)
(6)
2
Frequenzspektrum eines Lorentz’schen Pulses (50 Pkt.)
Die hohen Datenübertragungsraten des Internets sind durch optische Kommunikationsverfahren
möglich geworden, die auf der Encodierung von Information auf in Glasfasern propagierende
Lichtpulse beruhen. Hohe Taktraten benötigen zwingend entsprechend kurze Pulse, die wiederum
auf Lichtquellen mit passenden Frequenzspektren basieren. In dieser Aufgabe befassen wir uns mit
dem Frequenzspektrum eines solchen Pulses.
Wir betrachten einen Puls elektromagnetischer Strahlung im Vakuum, der sich in positive zRichtung ausbreite. Das magnetische Feld habe lediglich eine x-Komponente, die zum Zeitpunkt
t = 0 mit der reellen Amplitude H0 und dem reellen Parameter a laute
hω
i
2a2
0
H(z, t = 0) = H0 2
sin
z
+
φ
.
(7)
a + z 2 /c2
c
(a) (12 Pkt.) Erstellen Sie jeweils einen Graphen des ortsabhängigen Magnetfeldes (x-Komponente)
zum Zeitpunkt t = 0 für den Fall φ = 0, sowie φ = π/2 und φ = π. Erklären Sie in wenigen
Worten, warum ω0 die Trägerfrequenz genannt wird. Identifizieren Sie die Einhüllende des
Pulses und tragen Sie diese separat in Ihren Graphen ein. Argumentieren Sie, warum φ die
carrier-envelope Phase genannt wird.
Hinweis: Tragen Sie die dimensionslose Grösse H(x, t = 0)/H0 auf der Ordinate gegen die
dimensionslose Grösse zω0 /c auf der Abszisse auf. Geeignete Parameter für Ihren Graphen
sind der Wertebereich zω0 /c = −50 . . . 50 und aω0 = 2. Machen Sie sich klar, warum die
Normierung der Achsen auf dimensionslose Grössen sinnvoll ist!
(b) (3 Pkt.) Welche Einheit trägt der Parameter a. Beschreiben Sie in knappen Worten die
Eigenschaft des Pulses, die von a bestimmt wird.
(c) (5 Pkt.) Wie lautet das zeit- und ortsabhängige reelle Feld H(z, t) des Pulses?
Hinweis: Verwenden Sie das Prinzip von d’Alembert.
(d) (optional) Überprüfen Sie durch explizite Rechnung, ob Ihr Feld H(z, t) aus der vorherigen
Teilaufgabe die Wellengleichung erfüllt.
(e) (10 Pkt.) Berechnen Sie das Frequenzspektrum des Pulses Ĥ(z, ω).
(f) (5 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen des Frequenzspektrums Ĥ(z = 0, ω). Wählen Sie die
Phase φ geeignet, um ein rein reelles Frequenzspektrum zu erhalten.
Hinweis: Halten Sie Ihre Achsen durch geeignete Normierung dimensionslos. Tragen Sie
hierzu auf der Abszisse ωa auf und auf der Ordinate H(z = 0, ω)/(H0 a). Wählen Sie den
Parameter a als a = 2/ω0 .
(g) (5 Pkt.) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe (e) indem Sie sicherstellen, dass Ihr
Frequenzspektrum notwendigerweise zu einem rein reellen Feld im Zeitraum führt.
(h) (10 Pkt.) Suchen Sie das elektrische Feld des Pulses. Machen Sie hierzu einen Ansatz
basierend auf Ihrem Wissen bezüglich der Transversalität propagierender elektromagnetischer
Wellen. Überprüfen Sie durch explizite Rechnung, ob Ihr elektrisches Feld den Maxwell’schen
Rotationsgleichungen standhält, die den Zusammenhang zwischen dem elektrischen und dem
magnetischen Feld im quellfreien Gebiet diktieren.
2
3
Interferenz einer zylindrischen mit einer ebenen Welle (30 Pkt.)
Ein zeitlich mit Kreisfrequenz ω entlang eines unendlich langen Drahtes oszillierender Strom
generiert eine auslaufende zylindrische Welle. Wir betrachten einen solchen Draht, der im Vakuum
entlang der z-Achse ausgerichtet sei und den Radius a besitze. In grossem Abstand (viel grösser
als Drahtradius und Wellenlänge) vom Draht lautet das komplexe elektrische Feld
r
a ikρ
E1 (ρ) = E0
e nz ,
(8)
ρ
p
wobei ρ = x2 + y 2 die radiale Koordinate, E0 eine reelle elektrische Feldamplitude und nz den
Einheitsvektor entlang der z-Achse bezeichnen.
(a) (3 Punkte) Bestimmen Sie das reelle elektrische Feld E1 (ρ, t).
(b) (6 Punkte) Verwenden Sie eine der Maxwell-Gleichungen um das komplexe Magnetfeld H(ρ)
in grossem Abstand vom Draht zu bestimmen.
Hinweis: Machen Sie Gebrauch von dem entsprechenden Operator in einem passenden
Koordinatensystem. Berücksichtigen Sie lediglich jenen Teil des Feldes, der am langsamsten
mit dem Abstand zum Draht abfällt.
(c) (3 Punkte) Berechnen Sie die zeitgemittelte Intensität hI(ρ)i im Fernfeld des Drahtes.
(d) (3 Punkte) Berechnen Sie die abgestrahlte Leistung dP/dz pro Längeneinheit des Drahtes.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Einheiten.
Der zylindrischen Welle werde nun eine ebene Welle der Form
r
a i(ky+ϕ)
E2 (y) = E0
e
nz
y0
(9)
überlagert, wobei ϕ eine konstante Phase, E0 wiederum die reelle elektrische Feldamplitude, und
p
a/y0 einen Skalierungsfaktor bezeichnen.
(e) (5 Punkte) Zeigen Sie, dass für die Intensitätsverteilung I(x, y, z) in der Ebene y = y0 im
Grenzfall ky0 1 und x y0 gilt
2
E02 a
kx
I(x, y0 , z) =
1 + cos
−ϕ .
(10)
Z y0
2y0
(f) (2 Punkte) Wie muss die Phase ϕ gewählt werden, damit die Intensität in Ausbreitungsrichtung
der ebenen Welle maximal wird?
(g) (8 Punkte) Skizzieren Sie die normierte Intensitätsverteilung I(x, y0 , 0)/I2 entlang der x-Achse
in der Ebene y = y0 im Fall ϕ = 0, wobei I2 die Intensität
der ebenen Welle sei. Tragen Sie
q
auf der Horizontalen die dimensionslose Grösse x 2yk0 auf. Beschriften Sie Ihre Achsen,
markieren Sie auf der Ordinate die Minimal- und die Maximalintensität (in q
Einheiten von I2 )
und geben Sie auf der Abszisse die beiden ersten Minima (in Einheiten von 2yk0 ) in positiver
x-Richtung an.
3