3 Relativistische freie Materie–Felder

3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
3
33
Relativistische freie Materie–Felder
Das Ziel dieses Abschnittes ist es, die klassische Feldtheorie im Minkowskiraum mit dem
kanonischen Verfahren zu quantisieren.
3.1
Reelle Skalarfelder
Lagrangedichte.
Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
1
1
(∂µ φ)(∂ µ φ) − m2 φ2 .
2
2
L =
(3.1)
Das kanonische Impulsfeld ist
π =
∂L
= φ̇ ,
∂ φ̇
(3.2)
und die Hamiltondichte ist
H = π φ̇ − L =
Quantisierung.
operatoren,
�
1� 2
� 2 + m2 φ 2 .
π + (∇φ)
2
(3.3)
Die (kanonische) Quantisierung erfolgt durch den Übergang zu Feld-
φ(x), π(x) → φ(x), π(x) ,
wobei man für den gleichzeitigen Kommutator fordert (vgl. (1.29))
[φ(t, �x), π(t, �y )] = i δ (3) (�x − �y ) .
(3.4a)
Dabei haben wir
� = 1
gesetzt. Abgesehen von (3.4a) verschwinden alle Kommutatoren,
[π(t, �x), π(t� , �y )] = [φ(t, �x), φ(t� , �y )] = 0 .
(3.4b)
Bemerkung: Bei Skalarfeldern handelt es sich gemäß dem Spin–Statistik–Theorem um
Bosonen, deshalb tritt in (3.4a) der Kommutator auf.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
Bewegungsgleichungen. Die klassischen Bewegungsgleichungen
�
�
� + m2 φ(x) = 0
34
(3.5)
repräsentieren3 die relativistische Energie–Impuls–Beziehung
E 2 − p� 2 = m2 .
Da � = 1, müssen wir nicht (mehr) zwischen Wellenvektoren und Impulsen bzw. zwischen
Frequenzen und Energien unterscheiden, d.h. �k = p� und ωk = E > 0.
Fourier–Zerlegung. Wir können das klassische Feld φ als Fourier–Integral darstellen,
�
�
�
d4 k
δ(k 2 − m2 ) Θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x
φ(x) =
4
(2π)
�
�
d3 k 1 �
=
a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x ,
(3.6)
3
(2π) 2ωk
�
wobei in der zweiten Zeile ωk = �k 2 + m2 . Hierbei haben wir die Identität
d3 k 1
d4 k
�
δ(k 2 − m2 ) Θ(k0 ) =: dk
=
3
(2π) 2ωk
(2π)4
(3.7)
verwendet, die man leicht durch Nachrechnen (vgl. Übungen) verifiziert. Man spricht vom
invarianten Phasenraumelement. Die zweite Darstellung verdeutlicht, dass das Phasenraumelement relativistisch invariant ist.
Nun gehen wir zu Operatoren über. Wie bereits in (1.39), ersetzen wir die Amplituden
a(k) und a∗ (k) durch Operatoren,
�
�
�
d4 k
δ(k 2 − m2 ) Θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
φ(x) =
4
(2π)
�
�
d3 k 1 �
=
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x .
(3.8)
3
(2π) 2ωk
Durch Zeitableitung erhält man
�
�
d3 k �
i
a(k) e−i k·x − a† (k) ei k·x .
π(x) = −
3
2 (2π)
(3.9)
Durch Umkehrung dieser Formeln erhält man die Vertauschungsrelationen für a(k) und
a† (k),
�
a(k), a† (k � )
�
�
�
= (2π)3 2ωk δ (3) �k − �k � .
(3.10)
Die Rechnung ist völlig analog zu der, die auf (1.43) geführt hat.
3 Diese etwas gestelzte Wortwahl wurde gewählt, da Felder als unendlichdimensionale Darstellungen
der Poincaré–Gruppe aufgefaßt werden können (siehe [SU92]). Diese Diskussion wird hier jedoch nicht
weitergeführt.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
35
Bemerkungen:
(1) Durch die Umnormierung
φ(x) =
�
�
d3 k
(2π)3
2ωk
�
�
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
folgt die Vertauschungsrelation
�
�
�
�
a(k), a† (k � ) = δ (3) �k − �k .
(3.11)
(3.12)
In der Literatur wird von dieser Konvention oft Gebrauch gemacht (in [PS95] werden
nochmal andere Konventionen verwendet).
(2) In den Integralen ist der Vierervektor
k bereits durch die räumlichen Komponenten
�
2
�
�k festgelegt, da k 0 = ωk =
m + k 2 . D.h., wir könnten anstatt a(k) ebensogut
�
a(k) schreiben.
Interpretation. Die a(k) bzw. a† (k) entsprechen (bis auf die Normierung) den Vernichtungsbzw. Erzeugungs–Operatoren im Besetzungszahlformalismus.
Hamiltonoperator. Der Hamiltonoperator des Systems läßt sich schreiben (vgl. Übungen)
�
� ωk a† (k) a(k) ,
H =
(3.13)
dk
�
�k 2 + m2 ist.
wobei ωk =
Impulsoperator. Der räumliche Impuls ergibt sich, indem man in den Formeln der
klassischen Feldtheorie (2.58) die Felder durch die entsprechenden Operatoren ersetzt.
Man findet (vgl. Übungen)
�
�
�
� k i a† (k) a(k) .
Pi =
d3 x T 0i �φ→φ etc. =
(3.14)
dk
Viererimpuls.
�
Pµ =
Die Formeln (3.13) und (3.14) lassen sich zusammenfassen zu
� k µ a† (k)a(k) .
dk
(3.15)
Dabei ist k 0 = ωk .
Der Operator der Teilchenzahldichte ist gegeben durch
N (k) = a† (k) a(k) .
Des Weiteren gilt
�
µ
†
P , a (k)
�
=
�
�
�
�
� k �µ a† (k � ) a(k � ) a† (k) − a† (k) a† (k � ) a(k � )
dk
(3.16)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
=
Drehimpuls.
ren,
�
�
� k �µ
dk
=
�
=
k µ a† (k) .
�
��
36
�
�
a† (k � ) a(k � ) − a† (k � ) a(k � ) a† (k) + a† (k � ) [a(k � ), a† (k)]
� k �µ δ (3) (�k � − �k)(2π)3 2ωk a† (k � )
dk
(3.17)
Da Skalar–Felder unter einer Lorentztransformation trivial transformie-
φ� (x� ) = φ(x) ,
ist mit den Bezeichnungen von (2.51)
Δφ = 0 .
Daher ist der Drehimpulstensor (2.65) alleine durch den Tensor des Bahndrehimpulses
gegeben, d.h.
Jij = Lij
und
Sij = 0 .
Teilchen, die durch ein Skalarfeld beschrieben werden, haben also Spin 0.
3.2
Komplexe Skalarfelder
Zu den zwei reellen Skalarfeldern φ1 und φ2 betrachten wir die komplexen Felder
φ
=
φ∗
=
1
√ (φ1 + i φ2 ) ,
2
1
√ (φ1 − i φ2 ) .
2
(3.18a)
(3.18b)
Die Lagrangedichte ergibt sich durch Addition der entsprechenden Lagrangedichten für φ1
und φ2 ,
L = (∂ µ φ† ) (∂µ φ) − m2 φ† φ .
(3.19)
Wir gehen wieder zu den entsprechenden Feldoperatoren φ1 und φ2 über. Für die Komponenten φ1 und φ2 betrachten wir die Fourierdarstellung,
�
�
�
� ai (k) e−i k·x + a† (k) ei k·x ,
φi =
dk
(3.20)
i
wobei wieder die üblichen Vertauschungsrelationen gelten,
�
�
�
�
ai (k), a†j (k � ) = (2π)3 2ωk δ (3) �k − �k � δij .
(3.21)
Wir führen neue Operatoren ein,
a(k)
=
a† (k)
=
b(k)
=
1
√ [a1 (k) + i a2 (k)] ,
2
�
1 � †
√ a1 (k) − i a†2 (k) ,
2
1
√ [a1 (k) − i a2 (k)] ,
2
(3.22a)
(3.22b)
(3.22c)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
b† (k)
=
�
1 �
√ a†1 (k) + i a†2 (k) .
2
37
(3.22d)
Nach Konstruktion sind die a- bzw. b–Operatoren verschiedene Operatoren, die physikalisch verschiedene Teilchensorten beschreiben.
Durch Einsetzen erhält man deren Vertauschungsrelationen,
�
�
�
�
a(k), a† (k � ) = (2π)3 2ωk δ (3) �k − �k � ,
(3.23a)
�
�
�
�
(3.23b)
b(k), b† (k � ) = (2π)3 2ωk δ (3) �k − �k � .
Die weiteren Kommutatoren verschwinden.
Mit diesen Operatoren besitzen die Felder φ und φ† die Darstellung
�
�
�
� a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x ,
φ(x) =
dk
�
�
�
†
� b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x .
φ (x) =
dk
(3.24a)
(3.24b)
Die kanonisch konjugierten Impulsfelder für das komplexe Skalarfeld ergeben sich zu4
�
∂L ��
π =
= φ̇† ,
(3.25a)
∂ φ̇ �φ→φ etc.
�
∂L ��
†
= φ̇ .
(3.25b)
π =
∂ φ̇∗ �
φ→φ etc.
Aus den Vertauschungsrelationen (3.23a) und (3.23b) für die a- und b–Operatoren ergeben sich die üblichen Kommutatorregeln für die Feldoperatoren im Koordinatenraum,
�
[φ(t, �x), π(t, �y )]
�
φ† (t, �x), π † (t, �y )
=
=
i δ (3) (�x − �y ) ,
i δ (3) (�x − �y ) .
(3.26a)
(3.26b)
Wie bereits diskutiert (vgl. Beispiel 2 auf Seite 27), weist die Lagrangedichte eine U(1)
Symmetrie auf, unter der
φ → ei α φ
und
φ∗ → e−i α φ∗ .
Nach dem Noether’schen Theorem gibt es dann einen erhaltenen Strom,
�
�
�
�
jµ (x) = i φ∗ (x) ∂µ φ(x) − ∂µ φ∗ (x) φ(x) .
(3.27)
(3.28)
Wir setzen (3.24a) und (3.24b) ein und erhalten für den zugehörigen Operator (vgl. Übungen)
�
�
�
�
�
� k � [b(k) a(k � ) − b(k � ) a(k)] e−i (k+k� )·x
jµ =
dk
dk
µ
4 Formal leiten wir hier einen Operator nach einen Operator ab. Dieses Problem umgeht man, indem
man — wie angedeutet — jeweils erst zuletzt vom klassischen Feld zum Operator übergeht.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
38
�
�
�
+ a† (k � ) b† (k) − a† (k) b† (k � ) ei (k+k )·x
�
�
�
+ a† (k) a(k � ) − b(k � ) b† (k) ei (k−k )·x
�
�
�
�
+ a† (k � ) a(k) − b(k) b† (k � ) ei (k −k)·x .
Bildet man das räumliche Integral über die 0–te Komponente, so ergibt sich (vgl. Übungen)
�
Q =
d3 x j 0 (x)
�
�
�
= i d3 x φ† φ̇ − φ̇† φ
�
�
�
� a† (k) a(k) − b† (k) b(k) .
=
(3.29)
dk
Interpretation: Es macht offensichtlich wenig Sinn, j als Operator für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte zu interpretieren, da der Vakuumerwartungswert nicht positiv definit
ist. Sieht man jedoch j als Operator für die Ladungsstromdichte, so ist Q der Ladungsoperator . Des Weiteren indentifizieren wir
• die Operatoren a† bzw. a als Erzeuger bzw. Vernichter für ein Teilchen und
• die Operatoren b† bzw. b als Erzeuger bzw. Vernichter für ein Antiteilchen.
Das −“–Zeichen in (3.29) repräsentiert dann das unterschiedliche Ladungsvorzeichen bei
”
beiden Teilchensorten.
Hamiltonoperator.
Die (klassische) Hamiltondichte ist
H = π φ̇ + π ∗ φ̇∗ − L .
(3.30)
Indem man die Felder durch die entsprechenden Operatoren ersetzt und über die räumlichen Koordinaten integriert, erhält man
�
�
H =
d3 x H �φ→φ etc.
�
�
�
� k0 a† (k) a(k) + b† (k) b(k) + C .
=
dk
(3.31)
Hierbei ist C eine Konstante,
�
��
� �
d3 k 1 ��
†
†
a(k),
a
(k)
+
b(k),
b
(k)
,
C =
(2π)3 2
deren Erwartungswert divergiert. Man kann aber argumentieren, dass es sich dabei ‘nur’
um die Nullpunktsenergie handelt, die nicht (direkt) meßbar ist.5
Normalordnung. Um den Schwierigkeiten mit den Unendlichkeiten aus dem Weg zu
gehen, führt man die Normalordnung ein. Die entsprechende Vorschrift lautet (für Bosonen)
5 Das
ist richtig, solange man das System nicht in ein anderes einbettet.
3
39
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
: a† (k) a(k � ) :
: a(k � ) a† (k) :
=
=
a† (k) a(k � ) ,
a† (k) a(k � )
(3.32a)
(3.32b)
und analog für b und b† .
Es ist offensichtlich, dass damit : H : nur die endlichen Terme in (3.31) enthält.
Wesentlich dabei ist, dass sowohl Teilchen als auch Antiteilchen positiv zur Energie(dichte) beitragen.
Fazit: Komplexe Skalarfelder beschreiben zwei Freiheitsgrade, die sich physikalisch als
Teilchen und zugehörige Antiteilchen interpretieren lassen. Sowohl Teilchen als auch Antiteilchen tragen positiv zur Energiebilanz bei, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen zur
Ladungsbilanz.
3.3
Zur Interpretation der Feldoperatoren
Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren.
keit der Feldoperatoren durch
Im Heisenbergbild ist die Zeitabhängig-
φ(x) = φ(t, �x) = exp (i H t) φ(0, �x) exp (−i H t)
(3.33)
gegeben. Die Heisenberg–Gleichungen für ein reelles φ lauten
∂φ
(x) = [φ(x), H] = i π(x) ,
(3.34a)
∂t
�
�
∂π
� 2 + m2 φ(x) .
(x) = [π(x), H] = − i −∇
(3.34b)
i
∂t
Durch Einsetzen beider Gleichungen sieht man, dass der Feldoperator φ der Klein–Gordon–
Gleichung genügt,
�
�
∂2φ
� 2 − m2 φ .
= ∇
(3.35)
2
∂t
i
Verhalten der Operatoren a und a† .
bzw.
�
[H, a(k)]
�
H, a† (k)
=
=
Man rechnet nach, dass
−ωk a(k) ,
ωk a† (k) ,
(3.36)
(3.37)
H a(k) = a(k) (H − ωk ) .
Durch sukzessives Anwenden sieht man, dass für jedes n gilt
H n a(k) = a(k) (H − ωk )n .
(3.38)
Diese Beziehung kann man zu einer Exponentialreihe aufsummieren, d.h. man addiert
∞
�
(i t)n
(3.38) ,
n!
n=0
und erhält
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
40
a(k) e−i ωk t ,
a† (k) e+i ωk t .
(3.39a)
(3.39b)
exp (i H t) a(k) exp (−i H t)
exp (i H t) a† (k) exp (−i H t)
=
=
Ganz allgemein gilt für einen beliebigen Heisenbergoperator die Relation
A(x) = exp(i P · x) A(0) exp(−i P · x) ,
wobei P mit
Pµ =
�
d3 x π(x) ∂ µ φ(x) − L |φ→φ
etc.
(3.40)
η0µ
(3.41)
das Feld des physikalischen Impulses ist (vgl. (2.58)).
Beziehung zur Schrödinger’schen Quantenmechanik.
Skalarfelder bzw. deren Feldoperatoren φ. Dann gilt
�
� ei k·x |�k� .
φ† (x) |−� =
dk
Somit ist
�−| φ(x) |�k�
�
�
dk
�
�
�
�
a(k � ) e−i k ·x + b† (k � ) ei k ·x
=
�−|
=
e−i k·x = ϕ�k (x) ,
Betrachte wieder komplexe
(3.42)
�
a† (k) |−�
(3.43)
d.h. �−| φ(x) |�k� ist die Schrödinger’sche Wellenfunktion zum Wellenvektor �k.
Korrelationsfunktionen. Betrachte ein reelles Skalarfeld φ und den zugehörigen Feldoperator φ. Man erhält für die Korrelationsfunktion
D(x − y)
=
=
=
=
�−| φ(x) φ(y) |−�
�
��
�
� dk
�� a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
�−| dk
��
�
�
�
|−�
a(k � ) e−i k ·y + a† (k � ) ei k ·y
�
� dk
�� �−| a(k) a† (k � ) |−� ei (k� ·y−k·x)
dk
��
�
�
k−�
k �)
=(2π)3 2ωk δ (3) (�
�
� e−i k·(x−y) .
dk
(3.44)
Interessanterweise verschwindet diese Korrelationsfunktion nicht, auch nicht, wenn x − y
raumartig ist, d.h. für (x−y)2 < 0. Man kann sich aber durch Nachrechnen (vgl. Übungen)
davon überzeugen, dass der Vakuumerwartungswert des Kommutators verschwindet. Man
kann sich überlegen, dass das nicht bedeutet, dass Kausalität verletzt ist. Kausalität wäre
verletzt, wenn man mit einer Messung am Punkt x eine Messung am Ort y mit raumartigem
y − x beeinflussen könnte. Diese Diskussion wird nun zunächst nicht weiter geführt; sie
macht erst dann Sinn, wenn wir Wechselwirkungen betrachten.
3
3.4
(i)
41
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
Zeitgeordnetes Produkt und Propagatoren
Zeitgeordnetes Produkt
Der Feldoperator φ† erzeugt wegen
�
� ei k·x a† (k) |−�
φ† (x) |−� =
dk
(3.45a)
ein Teilchen am Ort �x zur Zeit t, und wegen
�
� ei k·x b† (k) |−�
φ(x) |−� =
dk
(3.45b)
erzeugt φ ein Antiteilchen am Ort �x zur Zeit t. Entsprechend erzeugt
Θ(t� − t) φ(t� , �x � ) φ† (t, �x)
(3.46a)
ein Teilchen zu Zeit t und vernichtet ein Teilchen zur Zeit t� > t bzw.
Θ(t − t� ) φ† (t, �x) φ(t� , �x � )
(3.46b)
erzeugt ein Antiteilchen zur Zeit t� und vernichtet ein Antiteilchen zur Zeit t > t� .
Diese Beobachtungen motivieren die Einführung des zeitgeordneten Produkts
T φ(x� ) φ† (x)
=
=
Θ(t� − t) φ(x� ) φ† (x) + Θ(t − t� ) φ† (x) φ(x� )
�
falls t� > t ,
φ(x� ) φ† (x)
†
�
falls t > t� .
φ (x) φ(x )
(3.47)
Bemerkung: Für Fermionen führen analoge Überlegungen zu einer Definition mit einem
−“–Zeichen.
”
Betrachte nun die Wirkung von �x� + m2 auf T φ(x� ) φ† (x),
�
�
�
∂φ(x� ) †
∂ �
†
†
�
�
�
)
φ
(x)
=
T
T
φ(x
φ
(x)
+
δ(t
−
t)
φ(x
),
φ
(x)
,
(3.48a)
∂t�
∂t�
��
�
�
= 0
�
�
�
2
�
∂
φ(x
)
∂2 �
∂φ(x� ) †
†
†
�
�
= T
T φ(x ) φ (x)
φ (x) + δ(t − t)
, φ (x) . (3.48b)
∂t�
∂t� 2
∂t� 2
�
��
�
(3.26)
= −i δ (4) (x� −x)
Freie Skalarfelder genügen der Klein–Gordon–Gleichung (siehe Gleichung (3.35))
� 2
�
∂ 2 φ(x� )
� x� − m2 φ(x� ) ,
∇
=
2
∂t�
d.h. das zeitgeordnete Produkt erfüllt die Operator–Identität
�
��
�
�x� + m2 T φ(x� ) φ† (x) = − i δ (4) (x� − x) .
(3.49)
Damit ist der Vakuum–Erwartungswert
i ΔF (x� − x) := �−| T φ(x� ) φ† (x) |−�
(3.50)
3
42
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
(bis auf das Vorzeichen) eine Greensche Funktion der Klein–Gordon–Gleichung.6
(ii)
Retardierungseigenschaften
Θ–Funktion.
Die Θ–Funktion besitzt die Darstellung
i
Θ(τ ) = lim
ε�0 2π
�∞
dζ
e−i ζ τ
.
ζ + iε
(3.51)
−∞
Wir benutzen den Residuensatz. Falls τ < 0, vervollständigt man das Integral durch den oberen Halbkreis. Das Kurvenintegral über die analytische Funktion verschwindet. Das Integral über den Halbkeis
mit Radius R geht ebenfalls gegen 0 für R → ∞.
Daher liefert das gesuchte Integral den Wert 0. Falls
τ > 0, muß man den Integrationsweg durch den unteren Halbkreis vervollständigen, damit das Halbkreisintegral für R → ∞ gegen 0 geht. Der Integrand hat aber eine Pol, und das gesuchte Integral
liefert nach dem Residuensatz den Wert 1.
Retardierter relativistischer Propagator.
Gleichung
�
�
� + m2 ϕ(x) = j(x) .
Im ζ
• −iε
Re ζ
Betrachte die inhomogene Klein–Gordon–
Die Greensche Funktion G0 genügt definitionsgemäß der Gleichung
�
�
� + m2 G0 (x� , x) = δ (4) (x� − x) .
(3.52)
(3.53)
Aus Gründen der Translationsinvarianz hat man
G0 (x� , x) = G0 (x� − x) .
Durch Fouriertransformation sieht man, dass für die Fouriertransformierte von G0 gelten
muß
� 0 (k) =
G
−1
−1
=
2
�
k 2 − m2
ω − k 2 − m2
Aus der Quantenmechanik ist der Standard–Trick
6 Es sei an dieser Stelle an allgemeine Eigenschaften der Greensche Funktion erinnert. Zu der Differentialgleichung
O ϕ(x) = j(x)
konstruiert man die Greensche Funktion G, die (definitionsgemäß)
O G(x) = δ (d) (x)
erfüllt. Wenn diese bekannt ist, kann man spezielle Lösungen der Differentialgleichung sofort angeben,
�
�
�
dd y G(x − y) j(y) .
ϕspeziell (x) = G ∗ j (x) =
Durch Einsetzen verifiziert man leicht, dass ϕspeziell die Differentialgleichung löst.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
43
Ersetze ω durch ω + i ε, transformiere zurück und lasse ε gegen 0 gehen.“
”
bekannt. Damit erhält man den retardierten Propagator
� ret (k)
G
−1
=
(ω + i ε)2 − �k 2 − m2
�
�
1
1
1
,
−
−
2ωk ω − ωk + i ε ω + ωk + i ε
=
wobei (wie üblich)
�
�k 2 + m2 .
ωk =
An der Struktur der obigen Darstellung als Summe von zwei Brüchen mit ω + i ε im
Nenner sieht man, dass die Bezeichnung retardiert“ gerechtfertigt ist. Die Polstellen des
”
retardierten Propagators in der komplexen Ebene sind in Abbildung 1(a) eingezeichnet.
Unter Verwendung von (3.51) ergibt sich
�
d4 k −i k·(x� −x) �
Gret (x� − x) = lim
e
Gret (k)
ε�0
(2π)4
�
�
d3 k 1 � −i ωk (t� −t)+i �k (�x � −�x)
i ωk (t� −t)+i �
k (�
x � −�
x)
= − i Θ(t� − t) ·
.
−
e
e
(2π)3 2ωk
(3.54)
Man kann man das auch umschreiben in die Form
Gret (x� − x) =
=
�
−i Θ(t − t)
�
�
d3 k � (+) � (+) ∗
(−) �
(−) ∗
(x)
(x)
−
φ
(x
)
φ
(x
)
φ
φ
�
�
�
�
k
k
k
k
(2π)3
(3.55)
mit den Lösungen der homogenen Klein–Gordon–Gleichung zu positiven bzw. negativen
Frequenzen,
(+)
k
=
(−)
k
=
φ� (x)
φ� (x)
1
�
√
e−i ωk t+i k·�x ,
2ωk
1
�
√
ei ωk t+i k·�x .
2ωk
(3.56a)
(3.56b)
In der nicht–relativistischen Quantenmechanik konnten Propagatoren dargestellt werden
über die Relation
�
G(+) (x� , x) = − i Θ(t� − t)
ψn (x� ) ψn∗ (x) .
(3.57)
n
Vergleicht man (3.55) mit (3.57), so stört das −“–Zeichen, das die sich natürlich ergeben”
den Lösungen negativer Energie erhalten.
Feynman–Propagator. Um das Minus–Zeichen zu beseitigen, betrachtet man anstatt
Gret den Feynman–Propagator ΔF , für den
� F (k) =
Δ
−1
k 2 − m2 + i ε
(3.58)
3
44
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
gelten soll. Den Nenner kann man bis auf O(ε2 ) umformen,
k 2 − m2 + i ε
=
=
=
(ω − ωk ) · (ω + ωk ) + i ε
�� �
�
��
�
�
ε
ε
· ω − −ωk + i
+ O(ε2 )
ω − ωk − i
2ωk
2ωk
(ω − (ωk − i ε� )) · (ω − (−ωk + i ε� )) + O(ε2 ) .
mit
Im ω
|
•
−ωk − i ε
Im ω
−ωk + i ε�
•
|
Re ω
|
•
ωk − i ε
(a) Retardierter Propagator.
Re ω
|
• �
ωk − i ε
(b) Feynman–Propagator.
Abbildung 1: Vergleich der Pol–Strukturen des (a) retardierten Propagators und (b) Feynman–
Propagators.
ε� =
ε
.
2ωk
Die beiden Polstellen des Feynman–Propagator in der komplexen Ebene sind in Abbildung 1(b) dargestellt. Wir erwarten nun eine Mischung aus einem retardierten und einem
avancierten Propagator.
� F umschreiben,
Mit der Variablen ε� läßt sich Δ
�
�
1
1
1
�F = −
Δ
+ O(ε� 2 ) .
+
2(ωk − i ε� ) −ω − ωk + i ε�
ω − ωk + i ε�
Es folgen zwei kurze Nebenrechnungen,
�
�
�
�
dω −ei ω (t −t)
d�
ω ei ω� (t −t) i ωk (t� −t)
lim
=
i
·
i
lim
·e
ε� �0
ε� �0
2π ω − ωk + i ε�
2π ω
� + i ε�
(3.51)
=
mit ω
� = ω − ωk , und
�
�
dω −ei ω (t −t)
lim
ε� �0
2π −ω − ωk + i ε�
=
(3.51)
=
�
i Θ(t� − t) ei ωk (t −t)
i · i lim
�
ε �0
�
�
d�
ω ei ω� (t−t ) −i ωk (t� −t)
·e
2π ω
� + i ε�
�
i Θ(t − t� ) e−i ωk (t −t) ,
wobei die Substitution ω
� = −ω − ωk im Integral durchgeführt wurde. Man kann nun den
Feynman–Propagator des freien Skalarfelds ΔF explizit berechnen,
�
�
d4 k e−i k·(x −x)
ΔF (x� − x) = lim
ε�0
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
=
=
�
d3 k 1 −i ωk (t� −t)+i �k·(�x � −�x)
e
(2π)3 2ωk
�
d3 k 1 i ωk (t� −t)+i �k·(�x � −�x)
e
+ i Θ(t − t� )
(2π)3 2ωk
�
d3 k (+) � (+) ∗
�
i Θ(t − t)
φ (x ) φ� (x)
k
(2π)3 �k
�
3
d k
(−)
(−) ∗
+ i Θ(t − t� )
φ (x� ) φ� (x) .
k
(2π)3 �k
i Θ(t� − t)
45
(3.59)
Interpretation: Lösungen der Klein–Gordon–Gleichung mit positiver Frequenz propagieren vorwärts in der Zeit, Lösungen negativer Frequenz propagieren rückwärts in der
Zeit.
Kausalität. Die Lösungen zu negativer Frequenz werden als Antiteilchen mit positiver
Energie interpretiert. D.h. das Verschwinden einer Lösung negativer Energie wird als das
Erscheinen eines Anti–Teilchens interpretiert und umgekehrt,




Anwesenheit 
Abwesenheit















bzw.
bzw.




Abwesenheit
Anwesenheit
.
↔







eines



 einer Lösung mit 








Antiteilchens
negativer Fequenz
Deswegen propagieren Antiteilchen ebenfalls vorwärts in der Zeit. Diese Eigenschaft kommt
auch in der Definition des des zeitgeordneten Produkts zum Tragen. Insbesondere werden
wir im Folgenden immer den Feynman–Propagator verwenden.
Bemerkung: Durch die Darstellung (3.24) haben wir bereits vorweggenommen, dass
die Abwesenheit einer Lösung mit negativer Energie der Anwesenheit eines Antiteilchens
entspricht. Hätten wir die † bei den b–Operatoren in (3.24) gerade anders gesetzt, würde
b† als Erzeugungsoperator für eine Lösung mit negativen Frequenzen interpretiert werden
müssen.
Fazit: Antiteilchen
• propagieren vorwärts in der Zeit;
• tragen positiv zur Gesamtenergie bei;
• tragen entegengesetzt zu Teilchen zur Ladung bei.
3.5
Das Dirac–Feld
Es soll die Feldtheorie von freien Spin–1/2–Teilchen entwickelt werden.
(i)
Quantisierung des Dirac–Feldes
Lagrangedichte.
Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ .
(3.60)
3
46
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
Hierbei bezeichnet Ψ den Dirac Vierer–Spinor und Ψ den adjungierten Spinor. γ µ sind die
γ–Matrizen (vgl. Anhang B.1). Man beachte, dass man einen Term ∂µ j µ zur Lagrangedichte hinzufügen kann, ohne die Wirkung zu ändern. Mit der Wahl j µ = Ψ γ µ Ψ erhält
man eine Lagrangedichte, in der die Ableitungen nur auf Ψ wirken.
Euler–Lagrange–Gleichungen.
Euler–Lagrange–Gleichung
Betrachte die Variation nach Ψ. Das führt auf die
∂L
∂L
− ∂µ
= 0,
∂Ψ
∂(∂µ Ψ)
(3.61)
bzw. auf die Dirac–Gleichung
(i γ µ ∂µ − m ) Ψ(x) = 0 .
(3.62)
In gewissem Sinne rechtfertigt (3.62) die Lagrangedichte (3.60) nachträglich.
Feynman– Dagger“. Es hat sich die Abkürzung
”
p
=
i
∂� =: i γ µ ∂µ
�
eingebürgert.
Impulsfeld.
π(x) =
Das kanonisch konjugierte Impulsfeld erhält man über
∂L
(x)
∂ Ψ̇
(3.60)
=
i Ψ† .
(3.63)
Das kanonisch konjugierte Impulsfeld hängt also von der Wahl der Form der Lagrangedichte ab. Für die Wahl (3.60) erhalten wir insbesondere
π(x) =
∂L
= 0.
˙
∂Ψ
Das deutet schon an, dass die Quantisierung nicht wie beim Skalarfeld erfolgen kann.
Hamiltondichte. Die Hamiltondichte ergibt sich (unabhängig von der Wahl der Form
der Lagrangedichte) zu
H
=
=
π Ψ̇ − L
� + m) Ψ
Ψ† γ 0 (−i �γ · ∇
(3.62)
=
Ψ† i
∂Ψ
.
∂t
(3.64)
Quantisierung. Wir setzen für die Felder Fouriertransformierte mit operatorwertigen
Amplituden“ an,
”
�
�
� �
d3 k
1
†
(s)
i k·x
(s)
−i k·x
√
Ψ(x) =
(k)
v
(k)
e
(k)
u
(k)
e
+
d
c
, (3.65a)
s
s
(2π)3 2k0 s=1,2
�
�
� �
d3 k
1
√
Ψ(x) =
c†s (k) u(s) (k) ei k·x + ds (k) v (s) (k) e−i k·x , (3.65b)
3
(2π)
2k0 s=1,2
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
47
wobei s die Spinausrichtung angibt und u(1,2) bzw. v (1,2) die Basisspinoren (B.9) sind.
Wesentlich ist, dass — wie bei der Modenzerlegung des komplexen Skalarfeldes (3.24)
— die †“ in einer Weise gesetzt werden, die es erlaubt, cs bzw. ds als Vernichter von
”
Teilchen bzw. Antiteilchen zu interpretieren. D.h., in Analogie zum komplexen Skalarfeld,
interpretieren wir
• die Operatoren c†s bzw. cs als Erzeuger bzw. Vernichter für Fermionen und
• die Operatoren d†s bzw. ds als Erzeuger bzw. Vernichter für Antifermionen.
Man beachte auch, dass hier für die Normierung (im Gegensatz zu der Diskussion des
Skalarfeldes) den Konventionen von [PS95] gefolgt wird.
Hamiltonoperator. Für den Hamilton–Operator ergibt sich
�
�
H =
d3 x H �Ψ→Ψ etc.
�
∂Ψ
=
d 3 x Ψ† i
∂t
� 3 �
�
�
3
d k
1
1
d
k
√
√
=
d3 x
3
3
(2π)
(2π)
2ωk
2ωk�
�
�
�†
�
�†
� ��
c†s (k) u(s) (k) ei k·x + ds (k) v (s) (k) e−i k·x
s,s�
�
��
�
�
�
�
ωk� cs� (k � ) u(s ) (k � ) e−i k ·x + d†s� (k � ) v (s ) (k � ) ei k ·x
.
Nun verwenden wir die (algebraischen) Relationen (B.14). Damit ergibt sich
�
�
� �
d3 k
†
†
k
(k)
.
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
c
H =
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
(3.66)
(3.67)
(Anti-)Vertauschungsrelationen. Fordern von Kommutationsrelationen für ds und
d†s würde auf
�
�
� �
d3 k
?
(3.68)
c†s (k) cs (k) − d†s (k) ds (k) + Evac
k0
H =
3
(2π)
s=1,2
führen, wobei die Vakuumenergie Evac divergiert, aber wie gehabt wegdiskutiert werden
kann (mehr dazu weiter unten). Andererseits sollte das Spektrum, d.h. die Eigenwerte von
H, nach unten beschränkt sein. Das bedeutet, dass man das Spinorfeld nicht auf die selbe
Weise wie das Skalarfeld quantisieren kann. Daher fordert man die Anti –Kommutator–
Relationen
�
cs (k), c†s� (k � )
�
=
�
ds (k), d†s� (k � )
�
= (2π)3 δ (3) (�k − �k � ) δss� .
(3.69)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
Die übrigen Anti–Kommutatoren sollen verschwinden. Damit ergibt sich
�
�
� �
d3 k
†
†
(k)
d
(k)
+ Evac ,
(k)
c
(k)
+
d
c
k
H =
s
s
0
s
s
(2π)3
s=1,2
48
(3.70)
d.h. das Spektrum ist nach unten beschränkt.
Die Relationen liefern insbesondere den Fermicharakter. Wenn man auf Exaktheit keinen
zu großen Wert legt, könnte man diese Argumentation als Beweis des Spin–Statistik–
Theorems werten; oder auch nicht.
Normalordnung. Die Schwierigkeiten mit den Unendlichkeiten können wieder durch die
Vorschrift der Normalordnung umgangen werden. Für Fermionen ergibt sich im Vergleich
zu den Bosonen (siehe Gleichung (3.32)) ein relatives −“,
”
†
�
†
�
�
�
: cs (k) cs (k ) : = cs (k) cs (k ) ,
(3.71a)
: cs� (k � ) c†s (k) : = − c†s (k) cs� (k � ) .
(3.71b)
Entsprechende Relationen gelten für die ds und d†s� . Mit dieser Vorschrift schreibt sich
(3.67)
�
∂Ψ
: .
(3.72)
: H : =
d3 x : Ψ† (x) i
∂t
Wie bei der Diskussion des Skalarfeldes sind die Eigenwerte von : H : endlich (und
positiv).
Anti–Vertauschungsrelation für Ψ und Ψ† .
�
(s)
u(s)
α (k) uβ (k) = (p
� + m)αβ ,
α
�
(s)
vα(s) (k) v β (k) = (p
� − m)αβ ,
Unter Verwendung von
(3.73)
(3.74)
α
wobei α und β Spinorindizes sind, ergibt sich
�
�
� � d3 k d3 k �
1
�
Ψα (�x, t), Ψ†β (�x � , t) =
6
(2π)
4k0 k0�
s,s�
�
�
�
� �
(s� ) �
0
u(s)
cs (k), c†s� (k � ) e−i k·x+i k ·x
α (k) uδ (k ) (γ )δβ
�
�
�
� �
(s� )
+ vα(s) (k) v δ (k � ) (γ 0 )δβ d†s (k), ds� (k � ) ei k·x−i k ·x
�
d3 k 1
=
(2π)3 2k0
��
�
�
�
�
�
�
�
�
(k� + m) γ 0 αβ ei k·(�x−�x ) + (k� − m) γ 0 αβ e−i k·(�x−�x )
�
�
d3 k 1
�
(2k0 ) ei k·(�x−�x ) δαβ = δ (3) (�x − �x � ) δαβ .
=
3
(2π) 2k0
Insgesamt finden wir also, dass
(3.75)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
�
(ii)
Ψα (�x, t), Ψ†β (�x � , t)
�
= δ (3) (�x − �x � ) δαβ .
49
(3.76)
Dirac–Stromdichte
Die Lagrangedichte des freien Dirac–Feldes
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
ist invariant unter einer globalen Phasentransformation,
Ψ(x)
Ψ(x)
→ ei α Ψ(x) ,
→ e−i α Ψ(x) .
(3.77a)
(3.77b)
D.h., genau wie beim komplexen freien Skalarfeld hat die Lagrangedichte eine (globale)
U(1)–Symmetrie.
Aus dieser Symmetrie folgt ein erhaltener (klassischer) Noether–Strom,
j µ (x) = Ψ(x) γ µ Ψ(x) .
(3.78)
Für den entsprechenden Operator setzt man
j µ (x) =
: Ψ(x) γ µ Ψ(x) : .
(3.79)
Die Normalordnung wurde gewählt, um unphysikalische“ Unendlichkeiten zu vermeiden.
”
Die klassische Stromdichte j erfüllt
∂µ j µ = 0 .
Wir nehmen nun an, dass die zugehörige Ladung auch auf dem Quanten–Niveau erhalten
ist.7 Dann ist der Operator für die erhaltene Ladung
�
Q =
d3 x j 0 (x)
�
=
d3 x : Ψ† (x) Ψ(x) :
..
.
=
�
�
d3 k � � †
cs (k) cs (k) − d†s (k) ds (k) ,
3
(2π ) s
(3.80)
wobei die Summe über s die Summe über die Spineinstellungen bedeutet. D.h., wie zuvor
tragen Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzt zur Ladungsbilanz bei.
7 Dies ist im Allgemeinen nicht notwendigerweise richtig. Wenn ein klassischer Erhaltungssatz durch
Quanteneffekte verletzt wird, spricht man von einer Anomalie. Anomalien werden im zweiten Teil der
Vorlesung diskutiert.
3
50
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE–FELDER
(iii)
Der Dirac–Propagator
Wir suchen eine Greensche Funktion S zur Dirac–Gleichung, d.h.
(i ∂� − m) S(x − y) = i δ (4) (x − y) .
(3.81)
Durch Fourier–Transformation erhält man
�
(k� − m) S(k)
= i.
(3.82)
Nun verwenden wir
(k� + m) (k� − m) = k� k� − m2 04 = kµ kν γ µ γ ν − m2 04 =
Damit erhält man
�
k 2 − m2
�
04 . (3.83)
i (k� + m)
�
S(k)
= 2
k − m2
(3.84)
In Analogie zu (3.50) setzen wir für den Dirac–Propagator
(SF )αβ = �−| T Ψα (x) Ψβ (x� ) |−� ,
(3.85)
wobei α und β Spinorindizes sind und von 1 bis 4 laufen. Man beachte, dass die Zeitordnung
für Fermionen sich gegenüber dem bosonischen Fall um ein Vorzeichen unterscheidet.
Um die Zeitordnung zu gewährleisten, muss man die selbe Polstruktur wie beim Feynman–
Propagator fordern. Damit ergibt sich der Dirac–Propagator im Ortsraum
�
�
�
i (k� + m)
d4 k −i k·x
.
(3.86)
e
(SF )αβ =
(2π)4
k 2 − m2 + i ε αβ
Dieser propagiert sowohl Teilchen als auch Anti–Teilchen vorwärts in der Zeit.