3 Relativistische freie Materie-Felder

3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
3
32
Relativistische freie Materie-Felder
Das Ziel dieses Abschnittes ist es, die klassische Feldtheorie im Minkowskiraum mit dem
kanonischen Verfahren zu quantisieren.
3.1
Reelle Skalarfelder
Lagrangedichte. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
1
1
L = (∂µ φ)(∂ µ φ) − m2 φ2 .
2
2
Das kanonische Impulsfeld ist
π =
∂L
= φ̇ ,
∂ φ̇
und die Hamiltondichte ist
o
1n 2
~ 2 + m2 φ2 .
π + (∇φ)
H = π φ̇ − L =
2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Quantisierung. Die (kanonische) Quantisierung erfolgt durch den Übergang zu Feldoperatoren,
φ(x), π(x) → φ(x), π(x) ,
wobei man für den gleichzeitigen Kommutator fordert
[φ(t, ~x), π(t, ~y )] = i δ (3) (~x − ~y ) .
(3.4)
Dabei haben wir
~ = 1
gesetzt. Abgesehen von (3.4) verschwinden alle Kommutatoren,
[π(~x, t), π(~y , t′ )] = [φ(~x, t), φ(~y , t′ )] = 0 .
Bemerkung: Bei Skalarfeldern handelt es sich gemäß dem Spin-Statistik Theorem um
Bosonen, deshalb tritt in (3.4) der Kommutator auf.
Bewegungsgleichungen. Die klassischen Bewegungsgleichungen
+ m2 φ(x) = 0
(3.5)
6
repräsentieren die relativistische Energie-Impuls-Beziehung
E 2 − p~ 2 = m2 .
Da ~ = 1, müssen wir nicht (mehr) zwischen Wellenvektoren und Impulsen bzw. zwischen
Frequenzen und Energien unterscheiden, d.h. ~k = p~ und ωk = E > 0.
6 Diese
etwas gestelzte Wortwahl wurde gewählt, da Felder als unendlichdimensionale Darstellungen
der Poincaré-Gruppe aufgefaßt werden können (siehe [SU92]). Diese Diskussion wird hier jedoch nicht
weitergeführt.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
33
Fourier-Zerlegung. Wir können das klassische Feld φ als Fourier-Integral darstellen,
Z
d4 k
φ(x) =
δ(k 2 − m2 ) θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x
4
(2π)
Z
d3 k 1 =
(3.6)
a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x ,
3
(2π) 2ωk
p
wobei in der zweiten Zeile ωk = ~k 2 + m2 . Hierbei haben wir die Identität
d4 k
d3 k 1
f
=
δ(k 2 − m2 ) θ(k0 ) =: dk
(2π)3 2ωk
(2π)4
(3.7)
verwendet, die man leicht durch Nachrechnen (vgl. Übungen) verifiziert. Man spricht vom
invarianten Phasenraumelement. Die zweite Darstellung verdeutlicht, dass das Phasenraumelement relativistisch invariant ist.
Nun gehen wir zu Operatoren über. Wie bereits in (1.31), ersetzen wir die Amplituden
a(k) und a∗ (k) durch Operatoren,
Z
d4 k
φ(x) =
δ(k 2 − m2 ) θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
4
(2π)
Z
d3 k 1 =
(3.8)
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x .
3
(2π) 2ωk
Durch Zeitableitung erhält man
Z
d3 k i
a(k) e−i k·x − a† (k) ei k·x .
π(x) = −
3
2 (2π)
(3.9)
Durch Umkehrung dieser Formeln erhält man die Vertauschungsrelationen für a(k) und
a† (k),
a(k), a† (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ .
(3.10)
Die Rechnung ist völlig analog zu der, die auf (1.34) geführt hat.
Bemerkungen:
(1) Durch die Umnormierung
Z
d3 k
p
φ(x) =
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
3
(2π) 2ωk
folgt die Vertauschungsrelation
a(k), a† (k ′ ) = δ (3) ~k − ~k .
(3.11)
(3.12)
In der Literatur wird von dieser Konvention oft Gebrauch gemacht (in [PS95] werden
nochmal andere Konventionen verwendet).
(2) In den Integralen ist der Vierervektor
k bereits durch die räumlichen Komponenten
p
2
~
~k festgelegt, da k 0 = ωk =
m + k 2 . D.h., wir könnten anstatt a(k) ebensogut
a(~k) schreiben.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
34
Interpretation. Die a(k) bzw. a† (k) entsprechen (bis auf die Normierung) den Vernichtungsbzw. Erzeugungsoperatoren im Besetzungszahlformalismus.
Hamiltonoperator. Der Hamiltonoperator des Systems läßt sich schreiben (vgl. Übungen)
Z
f ωk a† (k) a(k) ,
dk
(3.13)
H =
wobei ωk =
p
~k 2 + m2 ist.
Impulsoperator. Der räumliche Impuls ergibt sich mit den Formeln der klassischen
Feldtheorie (2.53) zu (vgl. Übungen)
Z
Z
f k i a† (k) a(k) .
dk
(3.14)
Pi =
d3 x T 0i =
Viererimpuls. Die Formeln (3.13) und (3.14) lassen sich zusammenfassen zu
Pµ =
Z
f k µ a† (k)a(k) .
dk
(3.15)
Dabei ist k 0 = ωk .
Der Operator der Teilchenzahldichte ist gegeben durch
N (k) = a† (k) a(k) .
Desweiteren gilt
µ † P , a (k)
=
=
Z
Z
(3.16)
f ′ k ′µ a† (k ′ ) a(k ′ ) a† (k) − a† (k) a† (k ′ ) a(k ′ )
dk
′
f k ′µ
dk
=
Z
=
k µ a† (k) .
′
a† (k ′ ) a(k ′ ) − a† (k ′ ) a(k ′ ) a† (k) + a† (k ′ ) [a(k ′ ), a† (k)]
f k ′µ δ (3) (~k ′ − ~k)(2π)3 2ωk a† (k ′ )
dk
(3.17)
Drehimpuls. Da Skalar-Felder unter einer Lorentztransformation nicht mittransformieren,
φ′ (x′ ) = φ(x) ,
ist mit den Bezeichnungen von (2.46)
∆φ = 0 .
Daher ist der Drehimpulstensor (2.59) alleine durch den Tensor des Bahndrehimpulses
gegeben, d.h.
Jij = Lij
und
Sij = 0 .
Teilchen, die durch ein Skalarfeld beschrieben werden, haben also Spin 0.
3
35
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
3.2
Komplexe Skalarfelder
Zu den zwei reellen Skalarfeldern φ1 und φ2 betrachten wir die komplexen Felder
φ =
φ∗
=
1
√ (φ1 + i φ2 ) ,
2
1
√ (φ1 − i φ2 ) .
2
(3.18)
(3.19)
Die Lagrangedichte ergibt sich durch Addition der entsprechenden Lagrangedichten für φ1
und φ2 ,
L = (∂ µ φ† ) (∂µ φ) − m2 φ† φ .
(3.20)
Wir gehen wieder zu den entsprechenden Feldoperatoren φ1 und φ2 über. Für die Komponenten φ1 und φ2 betrachten wir die Fourierdarstellung,
Z
o
n
f ai (k) e−i k·x + a† (k) ei k·x ,
(3.21)
dk
φi =
i
wobei wieder die üblichen Vertauschungsrelationen gelten,
h
i
ai (k), a†j (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ δij .
(3.22)
Wir führen neue Operatoren ein,
a(k) =
a† (k) =
b(k) =
b† (k) =
1
√ [a1 (k) + i a2 (k)] ,
2
i
1 h †
√ a1 (k) − i a†2 (k) ,
2
1
√ [a1 (k) − i a2 (k)] ,
2
i
1 h †
√ a1 (k) + i a†2 (k) .
2
(3.23)
Nach Konstruktion sind die a- bzw. b-Operatoren verschiedene Operatoren, die physikalisch verschiedene Teilchensorten beschreiben.
Durch Einsetzen erhält man deren Vertauschungsrelationen,
a(k), a† (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ ,
(3.24)
h
i
(3.25)
b(k), b† (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ .
Die weiteren Kommutatoren verschwinden.
Mit diesen Operatoren besitzen die Felder φ und φ† die Darstellung
Z
o
n
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x ,
dk
φ(x) =
Z
†
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x .
dk
φ (x) =
(3.26)
(3.27)
Die kanonisch konjugierten Impulsfelder für das komplexe Skalarfeld ergeben sich zu7
π
=
∂L
∂ φ̇
= φ̇† .
7 Formal leiten wir hier einen Operator nach einen Operator ab. Dieses Problem umgeht man, indem
man jeweils erst zuletzt vom klassischen Feld zum Operator übergeht.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
π†
=
∂L
∂ φ̇†
= φ̇ .
36
(3.28)
Aus den Vertauschungsrelationen (3.24) und (3.25) für die a- und b-Operatoren ergeben
sich die üblichen Kommutatorregeln für die Feldoperatoren im Koordinatenraum,
[φ(t, ~x), π(t, ~y )] =
h
i
†
φ (t, ~x), π † (t, ~y ) =
i δ (3) (~x − ~y ) ,
i δ (3) (~x − ~y ) .
(3.29)
Wie bereits diskutiert (vgl. Beispiel 2 auf Seite 26), weist die Lagrangedichte eine U(1)
Symmetrie auf, unter der
φ → ei α φ und
φ∗ → ei α φ∗ .
Nach dem Noether’schen Theorem gibt es dann einen erhaltenen Strom,
n
o
jµ (x) = i φ† (x) ∂µ φ(x) − ∂µ φ† (x) φ(x) .
(3.30)
(3.31)
Wir setzen (3.26) und (3.27) ein und erhalten für den zugehörigen Operator (vgl. Übungen)
Z
Z
n
f ′ k ′ [b(k) a(k ′ ) − b(k ′ ) a(k)] e−i (k+k′ )·x
f
dk
dk
jµ =
µ
′
+ a† (k ′ ) b† (k) − a† (k) b† (k ′ ) ei (k+k )·x
′
+ a† (k) a(k ′ ) − b(k ′ ) b† (k) ei (k−k )·x
o
′
+ a† (k ′ ) a(k) − b(k) b† (k ′ ) ei (k −k)·x .
Bildet man das räumliche Integral über die 0-te Komponente, so ergibt sich (vgl. Übungen)
Z
Q =
d3 x j 0 (x)
Z
n
o
=
d3 x φ† φ̇ − φ̇† φ
Z
n
o
f a† (k) a(k) − b† (k) b(k) .
dk
(3.32)
=
Interpretation: Es macht offensichtlich wenig Sinn, j als Operator für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte zu interpretieren, da der Vakuumerwartungswert nicht positiv definit
ist. Sieht man jedoch j als Operator für die Ladungsstromdichte, so ist Q der Ladungsoperator . Desweiteren indentifizieren wir
• die Operatoren a† bzw. a als Erzeuger bzw. Vernichter für ein Teilchen und
• die Operatoren b† bzw. b als Erzeuger bzw. Vernichter für ein Antiteilchen.
Das −“-Zeichen in (3.32) repräsentiert dann das unterschiedliche Ladungsvorzeichen bei
”
beiden Teilchensorten.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
37
Hamiltonoperator. Die (klassische) Hamiltondichte ist
H = π φ̇ + π ∗ φ̇† − L .
(3.33)
Indem man die Felder durch die entsprechenden Operatoren ersetzt und über die räumlichen Koordinaten integriert, erhält man
Z
H =
d3 x H φ→φ etc.
Z
n
o
f k0 a† (k) a(k) + b† (k) b(k) + C .
dk
(3.34)
=
Hierbei ist C eine Konstante,
Z
io
h
d3 k 1 n
C =
a(k), a† (k) + b(k), b† (k)
,
3
(2π) 2
die offensichtlich divergiert. Man kann aber argumentieren, dass es sich dabei ‘nur’ um die
Nullpunktsenergie handelt, die nicht (direkt) meßbar ist.8
Normalordnung. Um den Schwierigkeiten mit den Unendlichkeiten aus dem Weg zu gehen, führt man die Normalordnung ein. Die entsprechende Vorschrift lautet (für Bosonen)
: a† (k) a(k ′ ) :
′
†
: a(k ) a (k) :
= a† (k) a(k ′ ) ,
(3.35a)
= a† (k) a(k ′ )
(3.35b)
und analog für b und b† .
Es ist offensichtlich, dass damit : H : nur die endlichen Terme in (3.34) enthält.
Wesentlich dabei ist, dass sowohl Teilchen als auch Antiteilchen positiv zur Energie(dichte) beitragen.
Fazit: Komplexe Skalarfelder beschreiben zwei Freiheitsgrade, die sich physikalisch als
Teilchen und zugehörige Antiteilchen interpretieren lassen. Sowohl Teilchen als auch Antiteilchen tragen positiv zur Energiebilanz bei, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen zur
Ladungsbilanz.
3.3
Zur Interpretation der Feldoperatoren
Im Heisenbergbild drückt sich die Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren folgendermaßen
aus:
φ(x) = φ(t, ~x) = exp (iH t) φ(0, ~x) exp(−i H t) .
(3.36)
Die Heisenberg-Gleichungen für ein reelles φ lauten
∂φ
(x) = [φ(x), H] = i π(x) ,
(3.37)
∂t
∂π
~ 2 + m2 φ(x) .
(x) = [π(x), H ] = − i −∇
(3.38)
i
∂t
Durch Einsetzen beider Gleichungen sieht man, dass der Feldoperator φ der Klein-GordonGleichung genügt,
∂2φ
~ 2 − m2 φ .
(3.39)
=
∇
∂t2
i
8 Das
ist richtig, solange man das System nicht in ein anderes einbettet.
3
38
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
Verhalten der Operatoren a und a† . Man rechnet nach, dass
bzw.
[H, a(k)]
H, a† (k)
= −ωk a(k) ,
(3.40)
†
= ωk a (k) ,
(3.41)
H a(k) = a(k) (H − ωk ) .
Durch sukzessives Anwenden sieht man, dass für jedes n gilt
H n a(k) = a(k) (H − ωk )n .
(3.42)
Diese Beziehung kann man zu einer Exponentialreihe aufsummieren, d.h. man addiert
∞
X
(i t)n
(3.42) ,
n!
n=0
und erhält
= a(k) e−i ωk t ,
= a† (k) e+i ωk t .
exp(i Ht) a(k) exp(−i Ht)
exp(i Ht) a† (k) exp(−i Ht)
(3.43a)
(3.43b)
Ganz allgemein gilt für einen beliebigen Heisenbergoperator die Relation
A(x) = exp(i P · x) A(0) exp(−i P · x) ,
wobei P mit
Pµ =
Z
(3.44)
d3 x π(x) ∂ µ φ(x)
(3.45)
das Feld des physikalischen Impulses ist (vgl. (2.53)).
Beziehung zur Schrödinger’schen Quantenmechanik.
Skalarfelder φ. Dann gilt
Z
†
f ei k·x |~ki .
dk
φ (x) |−i =
Somit ist
h−| φ(x) |~ki =
=
h−|
Z
f
dk
′
Betrachte wieder komplexe
(3.46)
o
n
′
′
a(k ′ ) e−i k ·x + b† (k ′ ) ei k ·x a† (k) |−i
e−i k·x = ϕ~k (x) ,
d.h. die Schrödinger’sche Wellenfunktion zum Wellenvektor ~k.
(3.47)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
39
Korrelationsfunktion. Betrachte ein reelles Skalarfeld φ. Man erhält für die Korrelationsfunktion
D(x − y) = h−| φ(x) φ(y) |−i
Z
f dk
f′ a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
= h−| dk
o
′
′
a(k ′ ) e−i k ·x + a† (k ′ ) ei k ·x |−i
Z
f dk
f′ h−| a(k) a† (k ′ ) |−i ei (k′ ·y−k·x)
dk
=
|
{z
}
=(2π)3 2ωk δ (3) (~
k−~
k ′)
Z
f e−i k·(x−y) .
dk
=
(3.48)
Interessanterweise verschwindet diese Korrelationsfunktion nicht, auch nicht, wenn x − y
raumartig ist, d.h. für (x−y)2 < 0. Man kann sich aber durch Nachrechnen (vgl. Übungen)
davon überzeugen, dass der Vakuumerwartungswert des Kommutators verschwindet. Man
kann sich überlegen, dass das nicht bedeutet, dass Kausalität verletzt ist. Kausalität wäre
verletzt, wenn man mit einer Messung am Punkt x eine Messung am Ort y mit raumartigem
y − x beeinflussen könnte. Diese Diskussion wird nun zunächst nicht weiter geführt; sie
macht erst dann Sinn, wenn wir Wechselwirkungen betrachten.
3.4
(i)
Zeitgeordnetes Produkt und Propagatoren
Zeitgeordnetes Produkt
Der Feldoperator φ† erzeugt wegen
Z
†
f ei k·x a† (k) |−i
dk
φ (x) |−i =
ein Teilchen am Ort ~x zur Zeit t, und wegen
Z
f ei k·x b† (k) |−i
dk
φ(x) |−i =
(3.49)
(3.50)
erzeugt φ ein Antiteilchen am Ort ~x zur Zeit t. Entsprechend erzeugt
θ(t′ − t) φ(t′ , ~x ′ ) φ† (t, ~x)
ein Teilchen zu Zeit t und vernichtet ein Teilchen zur Zeit t′ > t bzw.
θ(t − t′ ) φ† (t, ~x) φ(t′ , ~x ′ )
erzeugt ein Antiteilchen zur Zeit t′ und vernichtet ein Antiteilchen zur Zeit t > t′ .
Diese Beobachtungen motivieren die Einführung des zeitgeordneten Produkts
T φ(x′ ) φ† (x) := θ(t′ − t) φ(x′ ) φ† (x) + θ(t − t′ ) φ† (x) φ(x′ ) .
(3.51)
3
40
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
Bemerkung: Für Fermionen führen analoge Überlegungen zu einer Definition mit einem
−“-Zeichen.
”
Betrachte nun die Wirkung von x′ + m2 auf T φ φ† ,
h
i
∂φ(x′ ) †
∂ †
†
′
′
′
T
φ(x
)
φ
(x)
=
T
φ
(x)
+
δ(t
−
t)
φ(x
),
φ
(x)
,
∂t′
∂t′
|
{z
}
= 0
2
′
∂
φ(x
)
∂2 ∂φ(x′ ) †
†
†
′
′
, φ (x) .
T φ(x ) φ (x)
= T
φ (x) + δ(t − t)
∂t′
∂t′ 2
∂t′ 2
|
{z
}
(3.29)
= −i δ (4) (x′ −x)
Für Klein-Gordon-Felder gilt (siehe Gleichung (3.39))
2
∂ 2 φ(x′ )
~ ′ − m2 φ(x′ ) ,
=
∇
x
∂t′ 2
d.h. das zeitgeordnete Produkt erfüllt
x′ + m2 T φ(x′ ) φ† (x) = − i δ (4) (x′ − x) .
(3.52)
Damit ist der Vakuum-Erwartungswert
i ∆F (x′ − x) := h−| T φ(x′ ) φ† (x) |−i
(3.53)
(bis auf das Vorzeichen) eine Green’sche Funktion der Klein-Gordon-Gleichung.9
(ii)
Retardierungseigenschaften
θ-Funktion.
Die θ-Funktion besitzt die Darstellung
i
θ(τ ) = lim
εց0 2π
Z∞
dζ
e−i ζ τ
.
ζ + iε
(3.54)
−∞
9 Es sei an dieser Stelle an allgemeine Eigenschaften der Green’sche Funktion erinnert. Zu der Differentialgleichung
O ϕ(x) = j(x)
konstruiert man die Green’sche Funktion G, die (definitionsgemäß)
O G(x) = δ(d) (x)
erfüllt. Wenn diese bekannt ist, kann man spezielle Lösungen der Differentialgleichung sofort angeben,
Z
`
´
ϕspeziell (x) = G ∗ j (x) =
dd y G(x − y) j(y) .
Durch Einsetzen verifiziert man leicht, dass ϕspeziell die Differentialgleichung löst.
3
41
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
Wir benutzen den Residuensatz. Falls τ < 0, vervollständigt man das Integral durch den oberen Halbkreis. Das Kurvenintegral über die analytische Funktion verschwindet. Das Integral über den Halbkeis
mit Radius R geht ebenfalls gegen 0 für R → ∞.
Daher liefert das gesuchte Integral den Wert 0. Falls
τ > 0, muß man den Integrationsweg durch den unteren Halbkreis vervollständigen, damit das Halbkreisintegral für R → ∞ gegen 0 geht. Der Integrand hat aber eine Pol, und das gesuchte Integral
liefert nach dem Residuensatz den Wert 1.
Retardierter relavistischer Propagator.
Gleichung
+ m2 ϕ(x) = j(x) .
Im ζ
• −iε
Re ζ
Betrachte die inhomogene Klein-Gordon(3.55)
Die Green’sche Funktion G0 genügt definitionsgemäß der Gleichung
+ m2 G0 (x, x′ ) = δ (4) (x − x′ ) .
(3.56)
Aus Gründen der Translationsinvarianz hat man
G0 (x, x′ ) = G0 (x − x′ ) .
Durch Fouriertransformation sieht man, dass für die Fouriertransformierte von G0 gelten
muß
−1
−1
b 0 (k) =
=
G
2
~
k 2 − m2
ω − k 2 − m2
Aus der Quantenmechanik ist der Standard-Trick
Ersetze ω durch ω + i ε, transformiere zurück und lasse ε gegen 0 gehen.“
”
bekannt. Damit erhält man den retardierten Propagator
e ret (k)
G
=
−1
(ω + i ε)2 − ~k 2 − m2
1
1
1
,
= −
−
2ωk ω − ωk + i ε ω + ωk + i ε
wobei (wie üblich)
q
~k 2 + m2 .
ωk =
An der Struktur der obigen Darstellung als Summe von zwei Brüchen mit ω + i ε im Nenner sieht
man, dass die Bezeichnung retardiert“ gerechtfer”
tigt ist. Rechts sind die Polstellen des Propagator in
der komplexen Ebene eingezeichnet.
Unter Verwendung von (3.54) ergibt sich
Z
d4 k −i k·(x−x′ ) e
′
Gret (x − x ) = lim
e
Gret (k)
εց0
(2π)4
Im ω
|
•
−ωk − i ε
Re ω
|
•
ωk − i ε
3
42
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
=
′
− i θ(t − t ) ·
Z
o
d3 k 1 n −i ωk (t−t′ )+i ~k (~x−~x ′ )
i ωk (t−t′ )+i ~
k (~
x−~
x ′)
.
e
−
e
(2π)3 2ωk
(3.57)
Man kann man das auch umschreiben in die Form
Gret (x − x′ ) =
= −i θ(t − t′ )
Z
o
d3 k n (+)
(−)
(−) ∗ ′
(+) ∗ ′
(x
)
(x
)
−
φ
(x)
φ
φ
(x)
φ
~
~
~
~
k
k
k
k
(2π)3
(3.58)
mit den Lösungen der homogenen Klein-Gordon-Gleichung zu positiven bzw. negativen
Frequenzen,
(+)
k
=
(−)
k
=
φ~ (x)
φ~ (x)
1
~
√
e−i ωk t+i k·~x .
2ωk
1
~
√
ei ωk t+i k·~x .
2ωk
In der nicht-relativistischen Quantenmechanik konnten Propagatoren folgendermaßen dargestellt werden:
X
G(+) (x′ , x) = − i θ(t′ − t)
ψn (x′ ) ψn∗ (x) .
(3.59)
n
Vergleicht man (3.58) mit (3.59), so stört das −“-Zeichen, das die sich natürlich ergeben”
den Lösungen negativer Energie erhalten.
Feynman-Propagator. Um das Minus-Zeichen zu beseitigen, betrachtet man anstatt
Gret den Feynman-Propagator ∆F , für den gelten soll:
e F (k) =
∆
−1
.
k 2 − m2 + i ε
(3.60)
Den Nenner kann man bis auf O(ε2 ) umformen,
k 2 − m2 + i ε =
=
=
mit
(ω − ωk ) · (ω + ωk ) + i ε
ε
ε
ω − ωk − i
· ω − −ωk + i
+ O(ε2 )
2ωk
2ωk
(ω − (ωk − i ε′ )) · (ω − (−ωk + i ε′ )) + O(ε2 ) .
Im ω
ε
.
ε =
2ωk
′
−ωk + i ε′
Rechts sind die beiden Polstellen des Propagator
•
|
in der komplexen Ebene abgebildet. Wir erwarten
nun eine Mischung aus einem retardierten und einem avancierten Propagator.
e F umschreiben,
Mit der Variablen ε′ läßt sich ∆
1
1
1
e
∆F = −
+ O(ε′ 2 ) .
+
2(ωk − i ε′ ) −ω − ωk + i ε′
ω − ωk + i ε′
Re ω
|
• ′
ωk − i ε
3
43
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
Es folgen zwei kurze Nebenrechnungen,
Z
Z
′
′
dω −ei ω (t−t )
de
ω ei ωe (t−t ) i ωk (t−t′ )
lim
=
i
·
i
lim
·e
ε′ ց0
ε′ ց0
2π ω − ωk + i ε′
2π ω
e + i ε′
(3.54)
=
mit ω
e = ω − ωk , und
Z
′
dω −ei ω (t−t )
lim
ε′ ց0
2π −ω − ωk + i ε′
=
(3.54)
=
′
i θ(t − t′ ) ei ωk (t−t )
i · i lim
′
ε ց0
Z
′
de
ω ei ωe (t −t) −i ωk (t−t′ )
·e
2π ω
e + i ε′
′
i θ(t′ − t) e−i ωk (t−t ) ,
wobei die Substitution ω
e = −ω − ωk im Integral durchgeführt wurde. Man kann nun den
Feynman-Propagator des freien Skalarfelds ∆F explizit berechnen,
Z
′
d4 k e−i k·(x−x )
∆F (x − x′ ) = lim
εց0
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
Z
d3 k 1 −i ωk (t−t′ )+i ~k·(~x−~x ′ )
e
= i θ(t − t′ )
(2π)3 2ωk
Z
d3 k 1 i ωk (t−t′ )+i ~k·(~x−~x ′ )
′
e
+i θ(t − t)
(2π)3 2ωk
Z
d3 k (+)
(+) ∗
φ (x) φ~ (x′ )
= i θ(t − t′ )
k
(2π)3 ~k
Z
3
d k
(−)
(−) ∗
+ i θ(t′ − t)
(3.61)
φ (x) φ~ (x′ ) .
k
(2π)3 ~k
Interpretation: Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung mit positiver Frequenz propagieren vorwärts in der Zeit, Lösungen negativer Frequenz propagieren rückwärts in der
Zeit.
Kausalität. Die Lösungen zu negativer Frequenz werden als Antiteilchen mit positiver
Energie interpretiert. D.h. das Verschwinden einer Lösung negativer Energie wird als das
Erscheinen eines Anti-Teilchens interpretiert und umgekehrt,




Anwesenheit 
Abwesenheit















bzw.
bzw.




Abwesenheit
Anwesenheit
.
↔








eines
einer
Lösung
mit












Antiteilchens
negativer Fequenz
Wegen der Eigenschaft des zeitgeordneten Produkts propagieren Antiteilchen ebenfalls
vorwärts in der Zeit. Wir werden im Folgenden immer den Feynman-Propagator verwenden.
Bemerkung: Durch die Darstellung (3.26) und (3.27) haben wir bereits vorweggenommen, dass die Abwesenheit einer Lösung mit negativer Energie der Anwesenheit eines Antiteilchens entspricht. Hätten wir die † bei den b-Operatoren in (3.26) und (3.27) gerade
anders gesetzt, würde b† als Erzeugungsoperator für eine Lösung mit negativen Frequenzen
interpretiert werden müssen.
3
44
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
3.5
Das Dirac-Feld
Es soll die Feldtheorie von freien Spin- 12 -Teilchen entwickelt werden.
(i)
Quantisierung des Dirac-Feldes
Lagrangedichte.
Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ .
(3.62)
Hierbei bezeichnet Ψ den Dirac Vierer-Spinor und Ψ den adjungierten Spinor. γ µ sind
die Gamma-Matrizen (vgl. Anhang B.1). Man beachte, dass man einen Term ∂µ j µ zur
Lagrangedichte hinzufügen kann, ohne die Wirkung zu ändern. Mit j µ = Ψ γ µ Ψ kann
man eine Lagrangedichte erhalten, in der die Ableitungen nur auf Ψ wirken.
Euler-Lagrange-Gleichungen. Betrachte die Variation nach Ψ. Das führt auf die EulerLagrange-Gleichung
∂L
∂L
− ∂µ
= 0,
∂Ψ
∂(∂µ Ψ)
(3.63)
bzw. auf die Dirac-Gleichung
(i γ µ ∂µ − m ) Ψ(x) = 0 .
(3.64)
In gewissem Sinne rechtfertigt (3.64) die Lagrangedichte (3.62) nachträglich.
Feynman- Dagger“. Es hat sich die Abkürzung
”
p
=
i ∂ =: i γ µ ∂µ
eingebürgert.
Impulsfeld. Das kanonisch konjugierte Impulsfeld erhält man über
π(x) =
∂L
(x)
∂ Ψ̇
(3.62)
=
i Ψ† .
(3.65)
Das kanonisch konjugierte Impulsfeld hängt also von der Wahl der Form der Lagrangedichte ab. Für die Wahl (3.62) erhalten wir insbesondere
π(x) =
∂L
= 0.
˙
∂Ψ
Das deutet schon an, dass die Quantisierung nicht wie beim Skalarfeld erfolgen kann.
Hamiltondichte. Die Hamiltondichte ergibt sich (unabhängig von der Wahl der Form
der Lagrangedichte) zu
H
= π Ψ̇ − L
~ + m) Ψ
= Ψ† γ 0 (−i ~γ · ∇
(3.64)
=
Ψ† i
∂Ψ
.
∂t
(3.66)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
45
Quantisierung. Wir setzen für die Felder Fouriertransformierte mit operatorwertigen
Amplituden“ an,
”
Z
i
X h
d3 k
1
√
(3.67)
cs (k) u(s) (k) e−i k·x + d†s (k) v (s) (k) ei k·x ,
Ψ(x) =
3
(2π)
2k0 s=1,2
Z
i
X h
1
d3 k
√
c†s (k) u(s) (k) ei k·x + ds (k) v (s) (k) e−i k·x ,
(3.68)
Ψ(x) =
3
(2π)
2k0 s=1,2
wobei s die Spinausrichtung angibt und u(1,2) bzw. v (1,2) die Basisspinoren (B.9) sind. Man
beachte, dass hier für die Normierung (im Gegensatz zu der Diskussion des Skalarfeldes)
den Konventionen von [PS95] gefolgt wird.
Hamiltonoperator. Für den Hamilton-Operator ergibt sich
Z
H =
d3 x H Ψ→Ψ etc.
Z
∂Ψ
=
d3 x Ψ† i
∂t
Z
Z
Z 3 ′
3
1
1
d
k
d k
√
√
=
d3 x
3
3
(2π)
(2π)
2ωk
2ωk′
†
†
X c†s (k) u(s) (k) ei k·x + ds (k) v (s) (k) e−i k·x
s,s′
i o
h
′
′
′
′
ωk′ cs′ (k ′ ) u(s ) (k ′ ) e−i k ·x + ds′ (k ′ ) v (s ) (k ′ ) ei k ·x .
Nun verwenden wir die (algebraischen) Relationen (B.14). Damit ergibt sich
Z
i
X h
d3 k
†
†
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
.
k
H =
s
s
0
s
s
(2π)3
s=1,2
(3.69)
(3.70)
(Anti-)Vertauschungsrelationen. Fordern von Kommutationsrelationen für ds und
d†s würde auf
Z
i
X h
d3 k
?
†
†
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
+ Evac
(3.71)
k
H =
s
s
0
s
s
(2π)3
s=1,2
führen, wobei die Vakuumenergie Evac divergiert, aber wie gehabt wegdiskutiert werden
kann (mehr dazu weiter unten). Andererseits sollte das Spektrum, d.h. die Eigenwerte von
H, nach unten beschränkt sein. Das bedeutet, dass man das Spinorfeld nicht auf die selbe
Weise wie das Skalarfeld quantisieren kann. Daher fordert man die Anti-KommutatorRelationen
n
o
n
o
cs (k), c†s′ (k ′ ) = ds (k), d†s′ (k ′ ) = (2π)3 δ (3) (~k − ~k ′ ) δss′ .
Die übrigen Anti-Kommutatoren sollen verschwinden. Damit ergibt sich
Z
i
X h
d3 k
†
†
H =
c
(k)
c
(k)
+
d
(k)
d
(k)
+ Evac ,
k
s
s
0
s
s
(2π)3
s=1,2
(3.72)
(3.73)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
46
d.h. das Spektrum ist nach unten beschränkt.
Die Relationen liefern insbesondere den Fermicharakter. Wenn man auf Exaktheit keinen zu großen Wert legt, könnte man diese Argumentation als Beweis des Spin-StatistikTheorems werten; oder auch nicht.
Normalordnung. Die Schwierigkeiten mit den Unendlichkeiten können wieder durch die
Vorschrift der Normalordnung umgangen werden. Für Fermionen ergibt sich im Vergleich
zu den Bosonen (siehe Gleichung (3.35)) ein relatives −“,
”
′
′
†
†
(3.74a)
: cs (k) cs′ (k ) : = cs (k) cs′ (k )
: cs′ (k ′ ) c†s (k) :
=
− c†s (k) cs′ (k ′ ) .
(3.74b)
Entsprechende Relationen gelten für die ds und d†s′ . Mit dieser Vorschrift schreibt sich
(3.70)
Z
∂Ψ
: H : =
d3 x : Ψ† (x) i
: .
(3.75)
∂t
Wie bei der Diskussion des Skalarfeldes sind die Eigenwerte von : H : endlich (und
positiv).
Anti-Vertauschungsrelation für Ψ und Ψ† .
X
(s)
u(s)
α (k) uβ (k) = (p
+ m)αβ ,
α
X
(s)
vα(s) (k) v β (k) = (p
− m)αβ ,
Unter Verwendung von
(3.76)
(3.77)
α
wobei α und β Spinorindizes sind, ergibt sich
n
o
X Z Z d3 k d3 k ′
1
p
Ψα (~x, t), Ψ†β (~x ′ , t) =
6
′
(2π)
4k
0 k0
s,s′
h
n
o
′
′
(s′ ) ′
0
u(s)
cs (k), c†s′ (k ′ ) e−i k·x+i k ·x
α (k) uδ (k ) (γ )δβ
i
n
o
′
′
(s′ )
+ vα(s) (k) v δ (k ′ ) (γ 0 )δβ d†s (k), ds′ (k ′ ) ei k·x−i k ·x
Z
d3 k 1
=
(2π)3 2k0
h
i
′
′
~
~
(k + m) γ 0 αβ ei k·(~x−~x ) + (k − m) γ 0 αβ e−i k·(~x−~x )
Z
′
d3 k 1
~
(2k0 ) ei k·(~x−~x ) δαβ = δ (3) (~x − ~x ′ ) δαβ .
=
3
(2π) 2k0
(ii)
(3.78)
Dirac-Stromdichte
Die Lagrangedichte des freien Dirac-Feldes
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
ist invariant unter einer globalen Phasentransformation,
Ψ(x) → ei α Ψ(x) ;
(3.79)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
47
man spricht von einer (globalen) U(1)-Symmetrie.
Aus dieser Symmetrie folgt ein erhaltener Noether-Strom,
j µ (x) =
: Ψ(x) γ µ Ψ(x) : .
(3.80)
Die Normalordnung wurde gewählt, um unphysikalische Unendlichkeiten zu vermeiden. j
erfüllt
∂µ j µ = 0 .
Insbesondere gibt es eine erhaltene Ladung
Z
Q =
d3 x j 0 (x)
Z
=
d3 x : Ψ† (x) Ψ(x) :
..
.
=
Z
i
d3 k X h †
†
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
,
s
s
s
s
(2π 3 ) s
(3.81)
wobei die Summe über s die Summe über die Spineinstellungen bedeutet. D.h., wie zuvor
tragen Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzt zur Ladungsbilanz bei.
(iii)
Der Dirac-Propagator
Wir suchen eine Green’sche Funktion S zur Dirac-Gleichung, d.h.
(i ∂ − m) S(x − y) = i δ (4) (x − y) .
(3.82)
Durch Fourier-Transformation erhält man
b
(k − m) S(k)
= i.
(3.83)
(k + m) (k − m) = k k − m2 = kµ kν γ µ γ ν − m2 = k 2 − m2 .
(3.84)
Nun verwenden wir
Damit erhält man
i (k + m)
b
S(k)
= 2
k − m2
(3.85)
In Analogie zu (3.53) setzen wir für den Dirac-Propagator
(SF )αβ = h−| T Ψα (x) Ψβ (x′ ) |−i ,
(3.86)
wobei α und β Spinorindizes sind und von 1 bis 4 laufen. Man beachte, dass die Zeitordnung
für Fermionen sich gegenüber dem bosonischen Fall um ein Vorzeichen unterscheidet.
Damit ergibt sich die Darstellung
Z
d4 k −i k·x
i (k + m)
(SF )αβ =
.
(3.87)
e
(2π)4
k 2 − m2 + i ε αβ