R1jj(R2 - Christiani

13 Schaltungen von Widerstanden
13.7 Vereinfachung von Widerstandsnetzwerken
13.7.1 Problemstellung und Methodik
Voraussetzung: Das Netzwerk ist ein Zweipol und besteht nur aus ohmschen Widerstanden.
Dann mu ein Quotient von Spannung und Strom, eben der Ersatzwiderstand, Denition
50, existieren.
Problemstellung: Das Netzwerk soll durch einen (einzigen) Ersatzwiderstand elektrisch
ununterscheidbar (Denition 31) dargestellt werden.
Methodik: Es werden im Netzwerk Serien- und Parallelschaltungen von Widerstanden
gesucht. Diese werden jeweils zu einem einzigen (Teil-)Ersatzwiderstand zusammengefat.
Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis nur noch ein einziger (Gesamt-)Ersatzwiderstand vorhanden ist.
Anmerkung: O. a. Methodik ist honungslos aussichtslos, wenn das Netzwerk zwar viele ohmsche Widerstande enthalt, aber keine zwei davon in Serie oder parallel geschaltet
sind: Alle sind sonstwie (Denition 49) geschaltet. Wenn man auf eine Reduktion auf
einen einzelnen Ersatzwiderstand nicht verzichten mochte, solle man die Stern-DreieckTransformation auf geeignete Netzwerkteile anwenden. Daraufhin mussen sich Serien- oder
Parallelschaltungen ergeben, die zusammenfabar sind.
13.7.2 Beispiele
1. Suche den Ersatzwiderstand zu untenstehendem Widerstandsnetzwerk.
R1
a
b
R3
R2
R4
a
Abb. 13.18
Schaltungsbeschreibung:
Der Widerstand R1 liegt uber den (endgultigen) Zweipolklemmen a und b.
Die Widerstande R3 und R4 sind parallel geschaltet.
Der Widerstand R2 liegt in Serie zur Parallelschaltung (R3jjR4).
Daher kann der Ersatzwiderstand symbolisch deniert werden:
Rges R1 jj (R2 (R3 jjR4 ))
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Fleischmann, Basiswissen Elektrotechnik: Vogel Buchverlag: ISBN 3-8023-1781-5
13.7 Vereinfachung von Widerstandsnetzwerken
Algebrasch heit das:
Rges = RR1; ((RR2 ;;RR34 ))
1
mit:
2
34
R34 R3 jjR4 = RR3; RR4
3
4
2. Zahlenbeispiel dazu.
Angabe
R1 = 1 k% R2 = 2 k% R3 = 3 k% R4 = 4 k%
(allgemein: Rj = j k%, j = 1 2 3 4:)
Losung
R34 = RR3; RR4 = 33kk; 44kk % = 171 k%
3
4
Rges = RR1 ;((RR2 ;;RR34 )) = 11;(2(2;;1171)
71) k% = 0788 k%
1
2
34
3. Suche den Ersatzwiderstand zu untenstehendem Widerstandsnetzwerk (WheatstoneBrucke).
R1
a
A
B
R4
b
R3
R2
R5
C
Abb. 13.19
Schaltungsbeschreibung
Keine zwei Widerstande sind in Serie, keine zwei parallel geschaltet.
Es ist das Dreieck ABC in der Schaltung bezeichnet. Fur die Dreieck-Stern-Umwandlung, Formel (40), gelten folgende Korrespondenzen:
RAB R1
RBC R3
RCA R2
Zeichne das Dreieck in den elektrisch identischen Stern um und vereinfache in der
Folge standardmaig.
Losung
Umzeichnung der Schaltung:
Fleischmann, Basiswissen Elektrotechnik: Vogel Buchverlag: ISBN 3-8023-1781-5
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28 Komplexe Wechselstromtechnik: Systemtheorie
28.15 Beispiele zur Netzwerkanalyse
1. Allgemeiner komplexer Spannungsteiler
Schaltung:
Z1
U1
Z2
U2
U0
Abb. 28.28
Problemstellung:
Berechne alle drei moglichen Spannungsverhaltnisse.
Losung:
Ersatzimpedanz nach Formel (375):
Z = Z1 ; Z2
Spannungsverhaltnisse nach Formel (376):
U 0 = Z = Z1 ; Z2 = 1 ; Z2
U 1 Z1
Z1
Z1
U 0 = Z = Z1 ; Z2 = 1 ; Z1
U 2 Z2
Z2
Z2
U 1 = Z1
U 2 Z2
Benutzt man die Spannungsteilerregel, so hat der Strom Urlaub.
2. Spezieller komplexer Spannungsteiler (RL-Grundglied)
Schaltung:
I
L
UL
U0
R
616
UR
Abb. 28.29
Fleischmann, Basiswissen Elektrotechnik: Vogel Buchverlag: ISBN 3-8023-1781-5
28.15 Beispiele zur Netzwerkanalyse
Problemstellung:
Benutze die Spannungsteilerregel fur alle drei moglichen Spannungsverhaltnisse und
normiere auf Biegen und Brechen.
Zeichne das Schema des Zeigerdiagrammes.
Losung:
Ersatzimpedanz nach Formel (375), (351) und (348):
Z ges = Z L ; Z R = R ; j!L
Normierung von Z ges nach Formel (381):
Z
Z
Z Norm n ges o = Rges = 1 ; j ! RL
< Z ges
Frequenznormierung:
Deniere die in der Schaltung vorhandene Zeitkonstante , siehe z. B. Abschnitt 24.4.4,
Formel (235):
RL
Deniere die fur die Impedanz Z ges bzw. Z Norm charakteristische Kreisfrequenz !0
nach Formel (380):
!0 1
Bilde die normierte Frequenz " nach Formel (379):
" !!
0
Setze diesen ganzen Plunder in die Gleichung fur die normierte Impedanz Z Norm ein
und erhalte:
Z Norm = 1 ; j "
Der unglaubliche Vorteil der Normierungen ist frappant: Dieser zweifellos ungemein
einfache Ausdruck beschreibt die Menge aller Serienschaltungen beliebiger ohmscher
Widerstande mit beliebigen verlustlosen Spulen.
Anwendung der Spannungsteilerregel
RL-Tiefpa:
U 0 = Z ges = R ; j!L = 1 ; j ! L = 1 ; j "
UR
ZR
R
R
Man staunt, das war doch schon da!
RL-Hochpa:
U 0 Z ges R ; j!L
1
R
1
U L = Z L = j!L = 1 ; j ! L = 1 j ! L = 1 j "
R
Fleischmann, Basiswissen Elektrotechnik: Vogel Buchverlag: ISBN 3-8023-1781-5
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