Paus

Kapitel 36: Gleichstrom: Leitungsmechanismen
447
Wird der Transport durch Elektronen oder Defektelektronen (s. u.) besorgt,
ist q± = ±e, betragsmäßig also gleich der Elementarladung e. Erfolgt der
Transport dmch Ionen mit der Wertigkeit z±, dann gilt q± = z± . e.
36.2.2
Der Hall-Effekt
Die Leitfähigkeitsmessung macht bloß eine Aussage über das Produkt aus
Ladung, Ladung trägerkonzentration und Beweglichkeit. Man möchte aber
natürlich diese Größen einzeln kennen. Da hilft z. B. der Hall-Effekt l weiter;
er liefert das Vorzeichen der Ladungsträger und deren Konzentration.
Beim Hall-Effekt untersucht man die Wirkung eines magnetischen Feldes
iJ auf die Ladungsträger in einem stromdmchßossenen Leiter (Fig. 36.3a).
Dmch den quaderförmigen Leiter im Feld B 11 fließe ein Strom I (.711 y).
ehmen wir an, der Stromtransport werde dmch positive Ladungsträger besorgt (Fig. 36.3b), dann ist deren Geschwindigkeit parallel zm Stromdichte
J. Sie erfahren im B-Feld eine Lorentzkraft, die sie in x-Richtung treibt.
Zwischen zwei in dieser Richtung angebrachten Elektroden entsteht dadmch
die sogenannte Hall-Spannung UH bzw. ein elektrisches Hall-Feld EH, das
antiparallel gerichtet ist. Bei negativen Ladungsträgern (Fig. 36.3c) sind
und J antiparallel gerichtet: Die auf sie wirkende Lorentzkraft ist wieder
parallel x gerichtet; das Hall-Feld EH ist diesmal parallel x. Die Polarität
der Hall-Spannung zeigt also an, mit welchem Ladungsvorzeichen man es
zU tun hat.
z
v
v
x
Quantitativ kann man festhalten: Die Ladungsträger werden dmch die Larentzkraft so lange zu den x-Elektroden getrieben, bis zwischen dieser Larentzkraft und der entstehenden elektrischen Feldkraft Gleichgewicht erreicht ist. Vektoriell gilt dann:
--<
q . EH
Mit GI. (36.9) ersetzt man sodann
=
-q. (--<--<)
v x B .
= - n.1 q' (--<
J x B--<) =
Hall-Kon tante:
-K H
z
-x
vdmch J und gelangt zu:
+x
Elektrisches Hall-Feld:
--<
EH
Fig. 36.3: (a) Hall-Effekt: Fließt ein Strom;
in y-Rlchtung durch einen Leiter, der sich in
einem l\Iagnetfeld B 11 befindet, dann wird
zwischen den x-Flächen des Leiter tücks die
sogenannte Hall-Spannung UH registriert.
(b) Aufsicht auf das Leiter tück in Richtung
des B-Feldes: Bei po itiven Ladungsträgern
ist das elektri che Hall-Feld EH parallel
gerichtet.
(c) Gleiche Aufsicht: Bei negativen Ladung trägern ist das Hall-Feld parallel
gerichtet.
·
(--<
J x B--<)
1
KH=nq
(36.14)
(36.15)
Das Vorzeichen der Hall-Konstanten K H liefert
das Vorzeichen der Ladungsträger, ihr B etrag die
Ladungsträgerkonzentration.
Für die experimentelle Auswertung schreiben wir GI. (36.14) in eine einfachere Betragsgleichung um. Mit den geometrischen Abmessungen der
Hall-Probe (d,
siehe Fig. 36.3) erhält man:
e,
1
Edwin Herbert Hall 1855-1938
Teil C: Elektrik
448
Kapitel 36: Gleichstrom: Leitungsmechanismen
15r-- - - - - - - - - - - - - - - , 1 . 2
!~
:I:
0:
10
0.8
"0
C
cl
"0
c
~<I>
0.6 ~
~ 5
0.4
(ij
0.2 ,~
"0
I
UH
J
-=KH·_·B.
R.
d·R.
~
~
Hall-Spannung:
~
'"Cl
mit
--'
Fig. 36.4: Ungewöhnliche Feldabhängigkeit
von Hall- und Längswiderstand, RH = UH / I
u. R y = U/I . Nach Gl. 36.16 wäre RH ~
B; das ist bei kleinen B-Feldstärken auch
der Fall. Bei 2-dimensionalen Elektronenleitern (MOSFET-Transistoren und gewissen
Halbleiter-Heterostrukturen; Probendicke in
Feldrichtung nur d ~ 10 nm) tritt bei sehr tiefen Temperaturen der sog. Quanten-Hall/v.Klitzing-Effekt auf: Die lineare Abhängigkeit
bei kleinen Feldstärken wi.rd bei hohen Feldern von Sprüngen von der Größe tlRH =
(1/i)(h/e 2 ), (i = 1,2,3 . .. ) abgelöst, die wie
das Verschwinden des Längswiderstands Ry
im Bereich der Plateaus von der Quantisierung der Elektronenbewegung in Feldrichtung
herrührt. Der Quanten-Hall-Effekt liefert u.a.
den heutigen Widerstandsstandard (vgl. Kap.
18; Literatur im Anhang). 2
UH =KH
B
RH = K H . -
d
J·B
=RH·J
d
· --
(36.16)
als Hall- Widerstand.
Hier wurde das Hallsehe Gesetz auf eine dem Ohrnschen Gesetz nachempfundene Form gebracht. Wir wollen nur festhalten, daß der sogenannte
Hall-Widerstand RH der magnetischen Flußdichte proportional ist. Ein interessantes Sonderverhalten zeigen spezielle, sog. zweidimensionale Leiter,
bei denen die Probendicke in B-Feldrichtung so gering ist, daß Quanteneffekte auftreten (Quanten-Hall-Effekt; s. Fig. 36.4). Zur Bestimmung
der uns hier mehr interessierenden Hall-Konstanten K H einer unbekannten
Probe hat man also UH , J , d und die magnetische Feldstärke B zu messen,
letztere z. B. durch Induktion. Im Demonstrationsexperiment lassen sich
die Proportionalitäten
UH '" J bei festgehaltenem B,
UH
'"
B
bei festgehaltenem J
mit guter Genauigkeit bestätigen. Zusammenfassend bleibt festzuhalten:
1. Die Messung der Leitfähigkeit", liefert das Produkt n . q . b von Anzahl-
dichte, Ladung und Beweglichkeit der Ladungsträger;
2. die Messung der Hall-Konstanten K H liefert n· q und Vorzeichen von q.
Mit den Ergebnissen aus derartigen Experimenten lassen sich nun die verschiedenen Leitertypen untersuchen. Bevor diese Ergebnisse im folgenden Abschnitt näher beschrieben werden, bleibt noch zu vermerken: Das
Hall-Gesetz (36.14)/(36 .16) gestattet, wenn man die Hall-Konstante einmal
kennt, in einfacher Weise durch eine Strom-Spannungsmessung die Bestimmung von magnetischen Feldstärken. Dies ist eine der wichtigsten Anwendungen der sogenannten Hall-Sonden.
36.3 Diskussion der wichtigsten Leitertypen
36.3.1
Metallische Leiter
Leitfähigkeits- und Hall-Experimente zeigen, daß der Stromtransport in
den meisten Metallen von negativ geladenen Elektronen getragen wird. In
Tab. 36.1 sind die Leitfähigkeiten und Hallkonstanten für einige Metalle
zusammengestellt. Man erkennt :
(1) Die Hall-Konstanten sind meist negativ; als Ladungsträger kommen
nur Elektronen in Frage. 3
2
3
Teil C: Eleh-trik
Die abgebildete Meßkurve wurde dankenswerterweise von Herrn Dr. J. Schurf,
Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig, zur Verfügung gestellt.
Es gibt auch Metalle mit positiven Hall-Konstanten (s. Zahlenwerte in Tab. 36.1).
In ihnen wird die Stromleitung überwiegend durch positive Defektelektronen ge-
Kapitel 36: Gleichstrom: Leitungsmechanismen
449
Tab. 36. 1: Spezifische Leitfähigkeit r;. und Hall-Konstante K H einiger Metalle bei Zimmertemperatur; in der dritten Spalte ist die Konzentration n der Ladungsträger angegeben, die man mit
der Atornkonzentration nA vergleichen kann; desweiteren sind die Beweglichkeiten b der Ladungsträger, ihre Austrittsarbeit {f> aus dem Metall und der Temperaturkoeffizient Cl: des elektrischen
Widerstands angeführt. In vielen Metallen sind negative Elektronen die Ladungsträger; es gibt
aber auch solche, in denen die Defektelektronenleitung überwiegt (siehe fußnote S. 448). Bei den
AJkaliatomen stimmt die Regel" J edes Atom liefert ein Elektron zur Strornleitung" sehr genau.
Sonst können erhebliche Abweichungen auftreten. Ein extremes Beispiel stellt das Halbmetall
Wismut dar.
Metall
KH
r;.
in
n- 1 m- 1
1
KH lel
in m- 3
n='--
m3
in-
e
NLP
nA=M
in m- 3
b =r;.KH
m2
inVs
{f>
Cl:
in eV
in K-l
x 106
xlO- 1O
X 10 28
x 10 28
x lO- 4
Na
K
21,1
13,9
-2,5
-4,2
2,50
1,49
2,54
1,32
-53
-58
2,75
2,30
5,5
5,4
Cu
Ag
Al
58,8
62,1
36,5
-0,55
-0,85
-0,30
11 ,3
7,34
20,8
8,45
5,86
6,02
-32
-53
-11
465
4,26
4,28
4,33
4,10
4,67
Bi
0,86
-0,0054
0,001
2,82
-46
4,22
4,45
W
Zn
Cd
Fe
18,8
16,9
13,8
10,2
+1,18
+0,33
+ 0,60
+0,25
5,29
18,9
10,4
25 ,0
6,31
6,57
4,63
8,48
+22
+5,6
+8,3
+2,6
4,55
4,33
4,22
4,63
4,83
4,20
4,26
6,57
x lO- 3
(2) Mit der Elementarladung q = -e = -1,602 . 10- 19 C und mit Hilfe
der Hall-Konstanten (36. 15) läßt sich die Anzahldichte n der Elektronen
ermitteln. Wir wählen Kupfer als Beispiel und rechnen betragsmäßig (vgl.
Tab. 36.1):
~
3
K H = -1 = 0,55 . 10- 10 -m
ne
C
28
3
n = 11 ,3' 10 m- ~ 11 . 10 22 cm- 3.
Mit dieser Anzahldichte vergleichen wir die Anzahldichte der Kupferatome
= 8,92 g/cm 3 , der relativen
Atommasse M = 63 ,55 mit Hilfe der Loschmidtzahl N L (= 6 ,02 . 10 23
Atome pro Mol) ausrechnen können. 4
im Gitter, die wir aus der Massendichte P
1 mol Cu ~ 63 ,55 g ~ 7,1 2 cm3 ~ 6,02 . 10 23 Atome.
Die Anzahldichte der Cu-Atome beträgt also
neu =
N LP
M
23
6 ,02 . 10 . 8,91
=
63,55
= 8,46 . 1022 cm -3 =
8,46 . 10 28 m -3.
Vergleichen Sie dies mit der oben ausgerechneten Elektronenkonzentration!
Offenbar gibt jedes Kupferatom im Mittel 1,5 Elektronen ans Gitter ab.
tragen, die bei der Besprechung der Halbleiter erläutert werden.
Definition der relat iven Atommasse und der Masseneinheit mol siehe Kalorik.
4 Zur
Teil C: Elektrik
336
Kapitel 27: Magnetisches Feld und Induktion
elektrischen Ladung: Im elektrischen Fall verlaufen die Feldlinien von der
(+ )-Ladung zur (- )-Ladung.
(+ ) entspräche N,
(- )
entspräche
S.
Das verleitet zu dem Versuch, einen magnetischen N-Pol vom S-Pol zu
trennen, also einen Pol zu isolieren. Die wiederholte Teilung eines Stabmagneten führt aber immer wieder zu Teilmagneten mit einem N - und einem
S-Pol. Das geht so fort bis in die kleinsten atomaren und nuklearen Dimensionen; immer verbleibt man mit einem magnetischen Dipol. Elementare
atomare Teilchen wie Elektronen, Protonen, Neutronen etc. besitzen ein
magnetisches Dipolmoment, sind also , elementare Magnetnadeln" .
Es gibt keine magnetischen Monopole. Die kleinste
magnetische Einheit ist ein Dipol.
2
2
L-_-j
I 1------'
Fig. 27. 2: Homogene und inhomogene Feldbereiche bei einer langgestreckten Zylinderspule,
mit der die einführenden Demonstrationsexperimente durchgeführt werden.
Auch heute noch befindet man sich auf der Suche nach magnetischen Monopolen; man ist der Meinung, daß man zu ihrer Erzeugung eine sehr hohe
Energie benötigt, so hoch, daß sie mit den größten Teilchenbeschleunigern,
mit denen man den oben beschriebenen Teilungsprozeß weitertreibt, derzeit nicht erreichbar ist. Wir müssen mit magnetischen Dipolen Vorlieb
nehmen und halten einstweilen fest, daß sie in magnetischen Feldern Drehmomente erfahren, die sie parallel zu den Feldlinien einzustellen versuchen
- genau wie es im Kap. 24 bei elektrischen Dipolen in elektrischen Feldern
festgestellt wurde.
27.2
I
H
(a)
H
I
I
I
I
x
(b)
-Q/2
+Q/2
x
Fig. 27.3: (a) Ortsabhängigkeit der Feldstärke H längs der Achse einer langen Spule. Sie
ist im Innern der Spule konstant , an den Enden genau halb so groß wie im Innern und fällt
nach außen schnell auf Null ab.
(b) Idealisierte Ortsabhängigkeit der Feldstärke, die für die einfache Interpretation mancher
experimenteller Ergebnisse recht nützlich ist
(Rechteckfunktion ) .
Teil C: Elektrik
Das homogene Magnetfeld
einer langen Spule
Zur quantitativen Erfassung des magnetischen Feldes, der Definition und
Messung der magnetischen Feldstärke, die mit dem Buchstaben H bezeichnet werden soll, verwendet man am besten die durch elektrische Ströme
erzeugten Magnetfelder. Leider erzeugt die einfachste elektrische Anordnung - ein langer, gerader, stromdurchfiossener Draht - ein inhomogenes
Feld. Fig. 27.1b zeigt jedoch: Das Feld im Innern langer, gleichmäßig gewickelter Spulen ist praktisch homogen. Das ist in Fig. 27.2 noch einmal
schematisch festgehalten: Bereich (1) . Sonst ist das Feld überall inhomogen, insbesondere in den Endbereichen (2). Genau wie im elektrischen Fall
beim Plattenkondensator wird man annehmen, daß man diese Randbereiche vernachlässigen kann, wenn die Spule nur lang genug ist. Des weiteren
macht man die Feststellung, daß in den Bereichen (3) die dort herrschenden
Feldstärken viel kleiner sind als im Bereich (1) .
Mit den im folgenden zu erarbeitenden Methoden kann man das magnetische Feld längs der Achse einer langen Spule, die im einfachsten Fall einlagig
gewickelt ist und dann ein Solenoid genannt wird , sowohl berechnen - etwa
mit dem Biot-Savartschen Gesetz -, als auch messen, z. B. durch Induktion.
Das Ergebnis zeigt Fig. 27.3 . Uber einen weiten Bereich ist das magnetische
••
Feld in der Spule konstant; an den Rändern, wo es inhomogen wird, nimmt
seine Stärke ab (Fig. 27.3b); genau am Rand ist es gerade halb so groß wie
in der Mitte. Das Feld greift in den Außenraum; die Feldlinien sind, da es
keine magnetischen Ladungen gibt, geschlossene Linien, die von einem Ende der Spule startend in einem weiten Bogen durch den Raum zum anderen
Spulenende verlaufen und durch die Spule zum Ausgangspunkt zurückkehren. Für viele einfache Fälle kann man die Ortsabhängigkeit der Feldstärke
längs der Spulenachse wie in Fig. 27.3c durch einen rechteckigen Verlauf
idealisieren.
Um die magnetische Feldstärke definieren und im homogenen Bereich (1)
quantitativ angeben zu können, benötigt man wie im elektrischen Fall einen
Feldindikator. Dort tat u. a. eine elektrische Ladung gute Dienste. Wegen
des Fehlens magnetischer Monopole wird man hier aber mit Dipolen, also
kleinen Permanentmagneten vorliebnehmen müssen. Dipole erfahren, wie
wir bereits gesehen haben, im magnetischen Feld ein mechanisches Drehmoment. Die Stärke des Drehmoments wird als Maß für die Stärke des
wirkenden Feldes genommen. Wie bei der Untersuchung des elektrischen
Feldes ist auch hier das quantitative Drehmomentengesetz, insbesondere
die Winkelabhängigkeit des Drehmoments nicht bekannt. Die Experimente
müssen also so geführt werden, daß diese Abhängigkeit nicht benötigt wird.
/ ' \- - - - -:;>-.......
rt
-
----'>--/
magnet.
~.~------Q-------.
Fig. 27.4: Der Magnetometerversuch, mit
dem man zu einer quantitativen Formulierung
für die magnetische Feldstärke gelangt. Ein
magnetischer Dipol ist im homogenen Feld
einer langen Spule drehbar gelagert und durch
eine Feder elastisch an eine ullage gebunden
(weitere Erklärungen im Text).
Die experimentelle Anordnung dazu zeigt Fig. 27.4. Im homogenen, magnetischen Feld einer langen, einlagig gewickelten Spule befindet sich ein
kleiner Permanentmagnet (magnetischer Dipol). Er ist genau senkrecht zu
den Feldlinien ausgerichtet und um eine horizontale Achse drehbar gelagert.
Eine Spiralfeder, die einem linearen Drehmomentengesetz gehorcht, verbindet den Magneten mit einem Zeiger, der um die gleiche Achse drehbar ist.
Versucht sich der Magnet nun im Feld auszurichten, wird der Zeiger so weit
in entgegengesetzter Richtung verdreht, bis der Magnet wieder genau senkrecht zum Feld steht (gestrichelte Linie). Der Zeigerausschlag ist dann ein
Maß für das vom Feld auf den Dipol ausgeübte Drehmoment und damit
auch ein Maß für die Stärke des magnetischen Feldes. Die Feldspule besitzt
die Länge e, die Querschnittsfläche A und die Windungszahl n; sie wird von
einem Strom I durchflossen. Die systematische Variation dieser Parameter
führt zu folgendem Zusammenhang:
Magnetische Feldstärke im Innern einer langen Spule:
n
H= 1·-
e
· IleIt:
' -A
EIn
m
Die magnetische Feldstärke im Innern einer langen
Spule ist dem Spulenstrom I und der Windungsdichte
n/e proportional. Der Proportionalitätsfaktor wird zu
1 und dimensions los festgelegt. Dies führt auf die Einheit A/m für die magnetische Feldstärke. Die Querschnittsfiäche A der Spule geht nicht ein.
(27.1 )
•
Teil C: Elektrik
338
Kapitel 27: Magnetisches Feld und Induktion
In den Einheiten der Feldstärken zeigt sich eine erste formale Analogie zwischen Elektrik und Magnetik:
V
elektrische Feldstärke E in -
m
......
A
magnetische Feldstärke Hin m
Es wird sich später noch mehrfach zeigen: Formal gelangt man von den
Gleichungen der Elektrik zu denen der Magnetik durch die einfache Substitution U ...... I. Wir wollen aber betonen, daß dies nur eine formale Analogie
ist, die man gerne als Gedächtnisstütze verwendet, die man aber aus physikalischen Gründen nicht konsequent aufrechterhalten kann, wie wir später
erkennen werden.
27.3
Die elektromagnetische Induktion
27.3.1
Qualitative Befunde zum Induktionsgesetz
Wir beginnen mit dem einfachen Experiment, das in Fig. 27.5 skizziert ist:
Eine Spule, in der man durch Einschaltung eines Stromes ein magnetisches
Feld erzeugen kann, steht einer zweiten Spule so gegenüber, daß die magnetischen Feldlinien in sie hineingreifen können. Der erste Kreis heißt Primärkreis, die erste Spule Primärspule; der zweite Kreis ist der Sekundärkreis
mit der Sekundärspule, die an ein Galvanometer angeschlossen ist.
Man macht folgende Feststellungen:
Spule 1
Spule 2
• Beim Ausschalten des Stromes im Primärkreis zeigt das Galvanometer
einen gleich großen Ausschlag in entgegengesetzter Richtung.
R
I
• Obwohl die beiden Kreise elektrisch nicht miteinander verbunden sind,
reagiert das Galvanometer im Sekundärkreis auf das Einschalten des
Stromes im Primärkreis mit einem Ausschlag. Man sagt: Es wird im
Sekundärkreis eine Spannung induziert.
• Wenn das Magnetfeld der Primärspule eingeschaltet ist und sich nicht
mehr ändert, zeigt das Galvanometer auch keinen Ausschlag mehr.
1I1I
Fig. 27.5: Zwei Spulen stehen koaxial einander gegenüber. Wird in der Primärspule (Spule 1) das magnetische Feld verändert, registriert dies das Galvanometer im Sekundärkreis (Spule 2), obwohl keine leitende Verbindung zwischen den beiden Kreisen besteht.
• Das Galvanometer registriert eine Induktionsspannung, wenn bei eingeschaltetem Feld die Lage der Primärspule oder die der Sekundärspule
geändert wird.
• Das Galvanometer registriert eine Induktionsspannung, wenn man die
Form der Sekundärspule zB. durch Zusammenquetschen ändert.
Kurz zusammengefaßt: Im Sekundärkreis wird eine Induktionsspannung
registriert bei Feldänderung - F01mänderung - Lageänderung. Die einzige Verbindung zwischen Primär- und Sekundärspule wird dabei durch das
magnetische Feld vermittelt. Dieses kann man auch bereits in dem qualitativen Experiment der Fig. 27.5 gezielt verändern: Durch gleichmäßiges
Verstellen des Vorwiderstands im Primärkreis mit einem kleinen Motor gelingt es, das magnetische Feld zeitlich linear von einer Stärke H 1 auf eine
andere Stärke H 2 > H 1 zu bringen. Solange sich das magnetische Feld
derart zeitlich linear ändert, zeigt das Galvanometer im Sekundärkreis eine
konstante Spannung an, die umso größer ist, je schneller die Feldänderung
erfolgt (Fig. 27.6).
Teil C: Elektrik