hauptsatz der wärme

Technische Thermodynamik 1
V. Der 2. Hauptsatz
Bislang: 1. H.S.: Jeder Prozess ist möglich, der Energiebilanz erfüllt.
Beispiel: Stellt man eine Tasse heißen Kaffee in einen kalten Raum,
so wird sich der Kaffee abkühlen und die abgegebene Wärme
den Energieinhalt des Raumes erhöhen.
ΔUKaffee  Q12
ΔURaum  Q12
1. HS System „Kaffee“
1. HS System „Raum“
Q12
Umkehrung: Heißer Kaffee wird durch Wärmezufuhr aus Umgebung durch
weiteres Abkühlen des bereits kalten Raumes noch heißer.
ΔURaum  Q12
ΔUKaffee  Q12
Q12
Laut 1. H.S. zulässig und doch aus Erfahrung unmöglich!
227
Technische Thermodynamik 1
V. Der 2. Hauptsatz
Beispiel 2:
Neuartiger Schiffsantrieb, der durch Wärmeentzug aus dem Meer
Arbeit gewinnt, diese der Schiffsschraube zuführt und somit das
Schiff antreibt.
 U A n tr i e b   W 1 2  Q 1 2
Schiffsschraube
0
W12
kaltes Wasser
 U M eer   Q 12
Antrieb
Q12
Auswirkung: Spur kalten Wassers.
Es gibt kein Perpetuum Mobile 2. Art.
228
Technische Thermodynamik 1
V. Der 2. Hauptsatz
Viele Formulierungen des 2. Hauptsatzes aus täglicher Erfahrung
heraus entstanden. 2. Hauptsatz ist Axiom (Erfahrungssatz)
Mit Hilfe des 2. Hauptsatzes lassen sich unterschiedliche Energieformen hinsichtlich ihrer Umwandelbarkeit in mechanische Arbeit
bewerten. (Aus Energie bei hoher Temperatur kann mehr Arbeit erzeugt
werden, als aus der gleichen Energiemenge bei niedriger Temperatur).
229
Technische Thermodynamik 1
V. Der 2. Hauptsatz
Viele Formulierungen des 2. Hauptsatzes aus täglicher Erfahrung
heraus entstanden. 2. Hauptsatz ist Axiom (Erfahrungssatz)
Mit Hilfe des 2. Hauptsatzes lassen sich unterschiedliche Energieformen hinsichtlich ihrer Umwandelbarkeit in mechanische Arbeit
bewerten. (Aus Energie bei hoher Temperatur kann mehr Arbeit erzeugt
werden, als aus der gleichen Energiemenge bei niedriger Temperatur).
Der 2. Hauptsatz liefert die theoretischen oberen Grenzwerte für
die Wirkungsgrade und Leistungszahlen häufig verwendeter
Maschinen, Apparate und Anlagen (Wärme/Kraftmaschinen, Kälteund Wärmepumpen)
230
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärme/Kraftmaschinen
Technische Thermodynamik 1
Umwandlung von Wärme in Arbeit mit Hilfe spezieller thermodynamischer Maschinen:
 Maschinen werden als Kreisprozesse betrieben
p
1
2
 Kreisprozess im Uhrzeigersinn durchlaufen
rechtsgängiger Kreisprozess
Wärme/Kraftprozess
4
3
V
p
Beispiel: Kreisprozess bestehend aus 2 Zustandsänderungen
2
1-2 (Hinweg)
2-1 (Rückweg)
1
V
231
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärme/Kraftmaschinen
2
„Hinweg“ 1-2: W 12

  pdV (>0, zugeführt)
Technische Thermodynamik 1
p
2
dW21
1
1

„Rückweg“ 2-1: W 21   pdV (<0, abgeführt)
2
Mit
folgt
W 21  W 12
W
 W 12  W 21  0
1
V
dW12
„Kreisprozess-Arbeit“
(Nettoarbeit)
Fazit:
p
2
W
Bei rechtsgängigen Kreisprozessen (WärmeKraftprozesse) kann Arbeit gewonnen werden.
1
V
232
Technische Thermodynamik 1
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärme/Kraftmaschinen
 Wärmezufuhr bei hoher Temperatur
Wärmequellen: Solarenergie, Ölbrenner,
Kernreaktor.
Hohe Temperatur
(Quelle)
Qzu
W
Zugeführte Wärme teilweise in Arbeit umgewandelt
Wärme/Kraftmaschine
Nicht in Arbeit umgewandelte Wärme bei niedriger
Temperatur abgegeben z.B. an Atmosphäre, Flüsse.
Qab
Niedrige Temperatur
(Senke)
1. Hauptsatz für Wärmekraftmaschinen
Möglichkeiten für technische Realisierung
eines Wärme-Kraftprozesses (vgl. p,v-Diagramm)
p
1
2
4
3
V
233
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärme/Kraftmaschinen
Technische Thermodynamik 1
Quelle: http://www.kfz-tech.de
234
Technische Thermodynamik 1
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärmekraftmaschinen
Fall (a) (geschlossenes System):
Arbeitsmittel in Zylinder (Masse m),
nacheinander Zustandsänderungen
1 bis 4.
p
1
2
4
3
(1)
(2)
1. Hauptsatz: Fall a
Tmax
Qzu
V
m
(1)
m
m
(3)
(4)
Qab
Fall (a)
(3)
(2)
(4)
u 2  u 1  w 12  q 12
u 3  u 2  w 23  q 23
u 4  u 3  w 34  q 34
u 1  u 4  w 41  q 41
m
0   w  q
235
Technische Thermodynamik 1
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärmekraftmaschinen
p
Fall (b) (offenes System):
Kontinuierlicher Massendurchsatz
(Massenstrom), gleichzeitiges
Durchlaufen von 4 Apparaten.
1
2
4
3
V
Fall (b)
11
1. Hauptsatz: Fall b
h2  h1  w t ,12  q12
2
2
h3  h2  w t ,23  q23
h4  h3  w t ,34  q34
4
4
h1  h4  w t ,41  q 41
33
0   wt   q
236
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärmekraftmaschinen
1. Hauptsatz:
Fall a
u2  u1  w 12  q12
u3  u2  w 23  q23
differentiell:
Technische Thermodynamik 1
Fall b
h2  h1  w t ,12  q12
h3  h2  w t ,23  q23
u 4  u3  w 34  q34
0
h4  h3  wt dh
,34  q 34
u1  u 4  w 41  q 41
h1  h4  w t ,41  q 41
0  w  q
0   wt   q
 du  0
 dw   dq
 dh  0
 dw t   dq
237
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.1 Wärmekraftmaschinen
Fall a
1. Hauptsatz:
Technische Thermodynamik 1
Fall b
h2  h1  w t ,12  q12
u2  u1  w 12  q12
u3  u2  w 23  q23
h3  h2  w t ,23  q23
u 4  u3  w 34  q34
h4  h3  w t ,34  q34
u1  u 4  w 41  q 41
h1  h4  w t ,41  q 41
0  w  q
0   wt   q
Thermischer Wirkungsgrad th:   N utz en
th
Aufw and
 th 
 th
W
Q zu

Q z u  Q ab
Q zu
 1
  Q
Q
P
zu
ab



 1


Q zu
Q zu
Q ab
Q zu
 1
q ab
q zu
Q ab
q ab
 1

q zu
Q zu
238
Technische Thermodynamik 1
V.1 Allgemeine Formulierungen
V.1.2 Formulierung des 2. H.S. nach Kelvin-Planck
Formulierung des 2. Hauptsatzes nach Kelvin-Planck:
Eine dauernde oder zyklisch funktionierende Maschine, die einem
Reservoir nur Wärme entnimmt und daraus ausschließlich Arbeit
erzeugt, ist unmöglich.
Man könnte auch sagen:
Keine Wärme/Kraftmaschine erreicht einen thermischen Wirkungsgrad von 100 %.
Eine Maschine, die dieses könnte, heißt Perpetuum Mobile 2. Art.
Daher gilt:
Es gibt kein Perpetuum Mobile 2. Art.
239
Technische Thermodynamik 1
V.1.3 Kältemaschinen und Wärmepumpen
Formulierung des 2. Hauptsatzes nach Clausius:
Wärme kann nie von selbst von einem Körper tieferer Temperatur
auf einen Körper höherer Temperatur übergehen.
Umkehrung der natürlichen Wärmestromrichtung mit speziellen
Maschinen und Apparate:
 Kreisprozess entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen
linksgängiger Kreisprozess
Wärmepumpen/Kälteprozess
p
2
Beispiel: Kreisprozess bestehend aus 2 Zustandsänderungen
1-2 (Hinweg)
2-1 (Rückweg)
1
V
240
Technische Thermodynamik 1
V.1.3 Kältemaschinen und Wärmepumpen
2
„Hinweg“ 1-2:
W 12    pdV (>0, zugeführt)
p
2
dW12
1
1

„Rückweg“ 2-1: W 21   pdV (<0, abgeführt)
2
Mit
folgt
W 21  W 12
W
1
V
dW21
 W 12  W 21  0
„Kreisprozess-Arbeit“
(Nettoarbeit)
Fazit:
p
2
W
Bei linksgängigen Kreisprozessen muss Nettoarbeit zugeführt werden.
1
V
241
Technische Thermodynamik 1
V.1.3 Kältemaschinen und Wärmepumpen
 Wärmezufuhr zu System bei niedriger Temperatur
(Wärmequellen: Umgebung, Kühlräume).
• Antrieb der Maschine erfordert positive Kreisprozessarbeit.
• Wärmeabfuhr bei hoher Temperatur (z.B. Nutzung für Heizzwecke)
Hohe Temperatur
(Senke)
Qab
Wärmepumpe
Kältemaschine
W
Qzu
Niedrige Temperatur
(Quelle)
242
Technische Thermodynamik 1
V.1.3 Kältemaschinen und Wärmepumpen
Leistungszahl 
=
genutzte Wärme
Kreisprozessarbeit
Kälteprozess:
Nutzen: zugeführte Wärme (wird Kühlgut
entzogen)
Warme Umgebung
Aufwand: Summe zu- und abgeführte
Arbeiten
Qab
Kältemaschine
W  Aufwand
Q zu
q
q zu
 zu 
 W  w q ab  q zu
Q zu
q zu
q zu



 P  w t q ab  q zu
Kältezahl:  K P 
Qzu Nutzen
Kühlraum
243
Technische Thermodynamik 1
V.1.3 Kältemaschinen und Wärmepumpen
Wärmepumpenprozess:
Nutzen: Abgegebene Wärme
Warme Umgebung
Aufwand: Summe zu- und abgeführte
Arbeiten
QabNutzen
Kältemaschine
W  Aufwand
Leistungszahl: W P 
Qzu

Kühlraum
Allgemein gilt:
WP   KP  1
Q ab
W
Q ab


q ab
w
q ab
P w


t
q ab
q ab  q zu
q ab
q ab  q zu
 1

 KP  1
 1

WP  1
angestrebt:  W P  3
244
Technische Thermodynamik 1
V.1.4 Formulierung des 2. H.S. nach Clausius
Damit kann die eingangs angegebene Formulierung des 2. Hauptsatzes
nach Clausius, mit Bezug auf Wärmepumpen- und KältemaschinenProzesse, auch wie folgt formuliert werden:
Warme Umgebung
Eine dauernde oder zyklisch funktionierende
Maschine, die einem Reservoir bei niedriger
Temperatur nur Wärme entnimmt, diese auf
höhere Temperatur anhebt und dann wieder
abgibt, ist unmöglich.
Qab=5 kJ
Kältemaschine
Wärmepumpe
W  0
Qzu=5 kJ
Kühlraum
Beispiel für einen linksgängigen
Kreisprozess, der den 2. H.S. verletzt
245
Technische Thermodynamik 1
V.2 Carnot-Prozess
<Baehr>
Alle natürlichen Vorgänge und thermodynamische Prozesse sind irreversibel.
Reversible Prozesse sind lediglich als Grenzfälle der natürlichen Prozesse
aufzufassen, die verlustfrei und unendlich langsam ablaufen.
Irreversible Zustandsänderungen können nicht rückgängig gemacht werden,
ohne dass im System oder in der Umgebung Veränderungen übrig bleiben.
Carnot-Prozess ...
• idealisierter Kreisprozess (2 reversible isotherme und 2 reversible
adiabate Zustandsänderungen.
• theoretischer Vergleichsprozess für Maschine mit größtmöglichen
thermischen Wirkungsgrad bzw. bester Leistungszahl.
• kann entweder in geschlossenem System (konstante Arbeitsmittelmasse m) oder in stationär durchströmten System (konstanter
.
Arbeitsmittelmassenstrom m) durchgeführt werden.
246
Technische Thermodynamik 1
V.2.1 Der rechtsgängige Carnot-Prozess
Der rechtsgängige Carnot-Prozeß
(1)
Qzu
Energiequelle
bei Tmax
(2)
1
2
Tmax
1-2: Isotherme Entspannung,
Tmax=const.
p
(2)
(3)
2-3: Reversible adiabate Entspannung, s2= s3
4
3
Wärmedämmung
3-4: Isotherme Verdichtung,
Tmin=const.
v
(4)
(3)
T
1
2
Qab
Qzu
Qab
Energiesenke
bei Tmin
(1)
4-1: Reversible adiabate Verdichtung, s4= s1
Wärmedämmung
(4)
3
4
= s4
=s3
s
247
Technische Thermodynamik 1
V.2.1 Der rechtsgängige Carnot-Prozess
Für die bei den Zustandsänderungen von 1 nach 4 umgesetzten Prozessgrößen
erhält man:
Zustandsänderung
1-2 (isotherm)
Tmax
2-3 (isentrop)
Wärme
Fläche 1,2,s2,s1
v 
q12  RTmax ln 2   q zu
 v1 
q23  0
(reversibel adiabat)
3-4 (isotherm)
Tmin
4-1 (isentrop)
(reversibel adiabat)
Arbeit
konstante Masse
Massenstrom
Fläche 1,2,v2,v1
Fläche 1,2,p2,p1
v 
w 12  RTmax ln 2 
 v1 
w t ,12  w12  q12
Fläche 2,3,v3,v2
w 23  cv Tmin  Tmax 
Fläche 3,4,s4,s3
v 
q34  RTmin ln 4   qab
 v3 
q41  0
Fläche 2,3,p3,p2
wt ,23  cp Tmin  Tmax 
w t ,23   w 23
Fläche 3,4,v4,v3
Fläche 3,4,p4,p3
v 
w 34  RTmin ln 4 
 v3 
w t ,34  w 34  q34
Fläche 4,1,v1,v4
w 41  cv Tmax  Tmin 
Fläche 2,3,p3,p2
wt ,41  cp Tmax  Tmin 
w t ,41   w 41
248
Technische Thermodynamik 1
V.2.1 Der rechtsgängige Carnot-Prozess
Thermischer Wirkungsgrad:
q ab
CP  1 
q zu
 v3 
RTmin ln 
v4 

 1
 v2 
RTmax ln 
 v1 
Für reversible adiabate Zustandsänderungen gilt:


T 
 min 
2-3:  Tmax 
womit folgt
1
 1

v3
,
v2
v3 v4

v 2 v1
4-1:  Tmax 
T 
 min 
bzw.
 CP  1 
1
 1
v4

v1
v3 v2

v 4 v1
Tmin
Tmax
249
Technische Thermodynamik 1
V.2.1 Der rechtsgängige Carnot-Prozess
Warum ist der Carnot-Prozess, obwohl er in der Praxis sowieso nicht erreicht
werden kann, so wichtig für die Thermodynamik?
Er gibt die Obergrenze dessen an, was theoretisch maximal erreichbar ist.
Aus dem Carnot-Wirkungsgrad lassen sich qualitative Aussagen ableiten, wie ein
Wärme/Kraftprozess mit einem möglichst großen Wirkungsgrad ablaufen muss.
Es gilt CP 
q zu  qab
q zu
bzw. CP 
Tmax  Tmin
Tmax
und es folgt
q
qzu
 ab  0
Tmax Tmin
Demnach muss die Wärmezufuhr bei möglichst hoher Temperatur und die
Wärmeabfuhr bei möglichst geringer Temperatur erfolgen.
250
Technische Thermodynamik 1
V.2.2 Der linksgängige Carnot-Prozess
Der linksgängige Carnot-Prozeß
p
1
Einem Körper wird Wärme Qzu bei Tmin entzogen,
einem Carnot-Prozess zugeführt und zusammen
mit Kreisprozessarbeit bei höherer Temperatur
Tmax wieder abgegeben:
Q ab  Q z u
Wärmepumpe: Nutzen:
Aufwand:
q ab  q z u
bzw.
2
3
q ab  T m ax  s 1  s 4 
 w  q ab  q zu
 Tmax  Tmin   s 4  s 1 
 WP
Kälteprozess: Nutzen:
Aufwand:
4
T max

T max  T min
v
T
1
4
Qab
Qzu
q z u  T m in  s 3  s 2 
 w  T
 KP 
m ax
 Tm in   s 4  s 1 
Tmin
Tmax  Tmin
2
3
s
251
Technische Thermodynamik 1
V.2.3 Folgesatz des 2. Hauptsatzes
Der Wirkungsgrad einer irreversibel arbeitenden Wärme/Kraftmaschine
ist immer kleiner als der Wirkungsgrad einer reversibel zwischen den
gleichen Wärmereservoirs arbeitenden Wärme/Kraftmaschine.
η irrev.  η rev.
Beweis: - irreversible und reversible Wärmekraftmaschine
- beiden Maschinen wird Wärme Qzu zugeführt
Hohe Temperatur
(Quelle)
Qzu
Qzu
Wirrev.
Wärme/KraftMaschine
irrev.
Qab,irrev.
Wrev.
Wärme/KraftMaschine
reversibel
Qab,rev.
Niedrige Temperatur
(Senke)
252
Technische Thermodynamik 1
V.2.3 Folgesatz des 2. Hauptsatzes
- Annahme:
Da
η irrev.  η rev.
η irrev.  η rev.
folgt
W ir r e v .  W r e v .
Q a b ,i r r e v .  Q a b ,r e v .
Hohe Temperatur
(Quelle)
Qzu
Qzu
Wirrev.
Wärme/KraftMaschine
irrev.
Qab,irrev.
Wrev.
Wärme/KraftMaschine
reversibel
Qab,rev.
Niedrige Temperatur
(Senke)
253
Technische Thermodynamik 1
V.2.3 Folgesatz des 2. Hauptsatzes
- Annahme:
Da
η irrev.  η rev.
η irrev.  η rev.
W ir r ev.  W r ev.
Q a b ,i r r e v .  Q a b ,r e v .
folgt
- Umkehrung der reversiblen Maschine (Kälteprozess)
Verletzung des 2. H.S. in der Formulierung nach Kelvin-Planck
Annahme ist falsch, vielmehr gilt:
η irrev.  η rev.
Hohe Temperatur
Hohe Temperatur
(Quelle)
(Quelle)
QQ
zu
zu
W
Wirrev.
irrev.
Wärme/KraftWärme/KraftMaschine
Maschine
irrev.
irrev.
Qab,irrev.
Q
ab,irrev.
Qzu
Qzu
KälteWärme/KraftMaschine
Maschine
reversibel
reversibel
Qab,rev.
Q
ab,rev.
Niedrige Temperatur
Niedrige Temperatur
(Senke)
(Senke)
Wrev.
Wrev.
Wirrev. - |Wrev.|
irrev. Wärme/Kraftmaschine
+
rev. Kältemaschine
Qab,rev. - Qab,irrev
Niedrige Temperatur
(Senke)
254
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Wiederholung
• Wie im Kapitel IV gezeigt wurde, gehorcht die Entropie der Definitionsgleichung:
dU pdV
dS 

T
T
dH Vdp

bzw. d S 
T
T
• Entropie eines Systems nimmt zu, wenn
- Wärme zugeführt wird
- Dissipationsarbeit (Reibung) auftritt
• Entropie eines Systems nimmt ab, wenn
- Wärme abgeführt wird
Annahme/Vorgabe: Reversible Zustandsänderung
255
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Vergleich Definitionsgleichung
dU pdV
ds 

T
T
mit 1. H.S. für geschlossene Systeme
dU  dQ  pdV  dW
bzw.
liefert
dU  pdV  dQ  dW
dS 
D is s
D is s
dQ dW D iss

T
T
2 Mechanismen verantwortlich für Entropieänderung:
- Irreversibilitäten (vgl. Dissipationsarbeit WDISS)
- Wärmetransport von/nach außen (vgl. Q).
256
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Neu !
• Wie im Kapitel IV gezeigt wurde, gehorcht die Entropie der Definitionsgleichung:
dU pdV
dS 

T
T
dH Vdp

bzw. d S 
T
T
• Entropie eines Systems nimmt zu, wenn
- Wärme zugeführt wird
- Dissipationsarbeit (Reibung) auftritt
• Entropie eines Systems nimmt ab, wenn
- Wärme abgeführt wird
Annahme/Vorgabe: Reversible / Irreversible Zustandsänderung
257
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
2
dQ
dS a 
T
äußere Entropieänderung
dW D ISS
dS i 
T
dQ
Sa  
T
1
2
innere Entropieerzeugung
dW D ISS
Si  
T
1
Entropieänderung geschlossenes System:
dS  dS i  dS a
bzw.
(F)
differentiell
2
2
1
1
ΔS  S2  S1  m s 2  s1    dS i   dS a
2
dQ
 ΔSi  
T
1
258
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Entropieänderung offenes System:
Bsp.: Ein Zu- bzw. Abstrom
dS dSa dSi


dt
dt
dt
oder integriert
oder

d
Q




d S  d S a  d S i mit d S a 
T
dP D ISS

dSi 
T
2
2
1
1
 S  m s 2  s1    d S i   dS a
d Q

  dSi  
T
1
1
2
2
259
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Sind mehrere Zu- und Abflüsse an einem stationär durchströmten,
offenen System zu berücksichtigen, so lautet die Entropiebilanz in
allgemeiner Form:
Summe aller zugeführten Entropieströme - Summe aller abgeführten
Entropieströme + Entropieerzeugung = 0
Beispiel: (1 Zu- bzw. Abstrom)
2. Hauptsatz (Entropiebilanz):
oder
260
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Sind mehrere Zu- und Abflüsse an einem stationär durchströmten,
offenen System zu berücksichtigen, so lautet die Entropiebilanz in
allgemeiner Form:
Summe aller zugeführten Entropieströme - Summe aller abgeführten
Entropieströme + Entropieerzeugung = 0
Beispiel:
 S a ( Q 1 2 )
 1,A s1,A
m
 1,B s1,B
m
 2 s2
m
.
Si (PDiss,12)
2. Hauptsatz (Entropiebilanz):
dP D iss
d Q 

 m 2s2  
0
T
T
1
1
2
m 1, A s 1, A  m 1,B s 1,B
2
Δ S i
261
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Merke
Die Entropieerzeugung und die Entropieänderung durch Wärmeübertragung können wie folgt charakterisiert werden:
•Sa
bzw S a : - Prozessgröße
- gleiches Vorzeichen wie die über Systemgrenze
transportierte Wärme
- es gilt:
•
Si
d S a bzw. d S a  0
adiabater Prozess
bzw S i : - Prozessgröße
- quantitatives Maß für den Grad der Irreversibilität
dS i bzw. d S i  0 reversibler Prozess
dS i bzw. d S i  0 irreversibler Prozess
d S i bzw. d S i  0 unmöglicher Prozess
262
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Kreisprozesse:
 dS   dS
a
  dS i
Auf Grund der Wegunbhängigkeit der Entropie (Zustandsgröße) gilt:
 dS
und es folgt
0
0   dS a   dSi
dQ

  dSi
T
dQ ab
dQ zu


  dSi
T
T
263
Technische Thermodynamik 1
V.3 Die Entropie und der 2. Hauptsatz
Man erhält daraus für einen Kreisprozess:

dQ
 T  0  
dQ z u
 T 

dQ
 T 0
bzw. allgemein:
dQ ab 

T 
reversibler Prozess
irreversibler Prozess
dQ
 T 0
Clausius´sche Ungleichung
264
Technische Thermodynamik 1
V.4 Berechnung der Entropie
V.4.1 Ideale Gase
Durch Verwenden der Definitionsgleichung für die Entropie im 1. H.S.
für geschlossene Systeme
du  dq  pdv  dw diss
folgt
du  pdv  T d sa  T d si
 Tds
mit
und
bzw.
d q  T  d sa
dwdiss  T  d si
ds 
du p
 dv
T T
Substituiert man du bzw. p/T mit Hilfe der kalorischen und thermischen
Zustandsgleichung idealer Gase p/T  Ri /v , du  cv dT
so folgt
bzw.
dT
dv
d s  cv
 Ri
T
v
T2
v2
s2  s1  c vln
 R iln
T1
v1
265
Technische Thermodynamik 1
V.4 Berechnung der Entropie
V.4.1 Ideale Gase
Verwendet man den 1.H.S. für offene Systeme
dh  dq  vdp  dw diss
mit
dq  T  dsa
und
dw diss  T  dsi
so folgt dh - vdp  Tds
Substituiert man dh bzw. v/T mit Hilfe der
kalorischen und thermischen Zustandsgleichung idealer Gase v/T  Ri /p , d h  c p dT erhält man
dT
dp
d s  cp
 Ri
T
p
T2
p2
s2  s1  cpln
 Riln
T1
p1
Gültig bei reversiblen und irreversiblen Zustandsänderungen idealer
Gase.
266
Technische Thermodynamik 1
V.4 Berechnung der Entropie
V.4.1 Ideale Gase
Absolute Entropie:
s T , v   c v  ln
s T , p   c p  ln
T
T0
T
T0
 R i  ln
v
 s0
v0
 R i  ln
p
 s0
p0
Als Entropienullpunkt wird häufig verwendet:
s0  0
für p 0  1bar
 0  0 C
T0  273,15K
267
Technische Thermodynamik 1
V.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper
Festkörper oder Flüssigkeit:
du pdv
ds 

T
T
0
folgt
mit
du  c dT
dT
ds  c
T
 T2 
s 2  s 1  c ln  
 T1 
dv  0
c  cv  cp
Absolutwert für die Entropie:
 T
dT
s  s0   c
 c  ln 
T
 T0
T0
T



Während für Flüssigkeiten sehr oft s0=s(T0=273,15 K)=0 verwendet wird,
gilt für homogene kristalline Festkörper: s0=s(T0=0 K)=0.
268
Technische Thermodynamik 1
V.5 Schlussfolgerungen aus dem 2. Hauptsatz
V.5.1 Zusammenhang zwischen Entropie und Wärme
Annahme: Reversible Zustandsänderung
TdS 
T
TdSa  TdSi
dQ
2
dWdiss =0, da reversibel
2
Q 12   TdS
1
Q12
1
S
Einfache Lösung falls isotherme Zust.änd.:
T
2
Q12   T  dS
1
2
1
Q12
T S
 T  S2  S1 
S1
S2
S
269
Technische Thermodynamik 1
V.5.1 Zusammenhang zwischen Entropie und Wärme
Annahme: Irreversible Zustandsänderung
T
Aus dem 2. Hauptsatz folgt:
TdS 
TdSa  TdSi
dQ
dWdiss
2
Q12  Wdiss ,12
2
1
Q 12  W d iss,12   T d S
1
S
Voraussetzung für Lösung des Integrals: Quasistatischer Zustandsverlauf.
270
Technische Thermodynamik 1
V.5.2 Prozesse mit adiabaten Systemen
geschlossenes System
1. H.S.:
2. H.S.:
dU  dQ  dW
U 2  U 1  W 12
dS 
dS a  dSi
0
dS 
S2 -S1  0
dSi
offenes System
d H  d Q  d P
m  h 2  h 1   P 1 2
d S  d S a  d S i
0
d S 
d S i
m  s 2 - s 1   0
„=“ für reversible Zustandsänderungen,
„>“ für irreversible Zustandsänderungen
271
Technische Thermodynamik 1
V.5.2 Prozesse mit adiabaten Systemen
Praxis: Stationär durchströmte adiabate Turbinen
  h1
m
h
1
w t,12
w t,12'
P12
2
2‘
  h2
m
s
Zustandsänderung 1 – 2‘: ideale Turbine (reversibel adiabat)
Zustandsänderung 1 – 2: reale Turbine (irreversibel adiabat)
Darstellung in h,s-Diagramm erlaubt direkte Bestimmung der umgesetzten Arbeiten: vgl. 1. H.S
h2  h1  w
t ,1 2
h 2'  h1  w
t ,1 2 '
272
Technische Thermodynamik 1
V.5.2 Prozesse mit adiabaten Systemen
Beschreibung der Arbeitsabgabe realer Expansionsmaschinen durch
Gütegrad:
h
η G ,T u r b i n e 
η G ,T u r b i n e 
gew onnene A rbeit
theoretisc h gew innbare A rbeit
- w t,1 2
- w t,1 2 '
1
1
h 2  h1
- P1 2

(
)
h 2 '  h1
- P1 2 '
wt,12
wt,12'
2
2‘
s
Wird die Turbine mit idealen Gas als Arbeitsmittel betrieben, so folgt:
d h  c pd T
η G ,T u rb in e 
c p  T 2 - T1 
c p T 2' - T1 

T2 - T1
T2' - T1
273
Technische Thermodynamik 1
V.5.2 Prozesse mit adiabaten Systemen
Entsprechend erhält man für adiabat arbeitende Verdichtungsmaschinen
h
  h2
m
2‘
2
w t,12
w t,12'
P12
1
  h1
m
s
Zustandsänderung 1 – 2‘: idealer Verdichter (reversibel adiabat)
Zustandsänderung 1 – 2: realer Verdichter (irreversibel adiabat)
 G ,V er d ich ter 
m in im a le r A rb e its a u f w a n d
ta ts ä c h lic h e r A rb e its a u fw a n d
w
h  h1
P
 G ,Ver d ich ter  t,12'  2'
(  12' )
w t,12 h 2  h 1
P12
1
ideales Gas
η G ,Ver d ich ter 
T 2' - T1
T 2 - T1
274
Technische Thermodynamik 1
V.5.3 Isentrope Prozesse
Aus 2. H.S. folgt:
dS 
dS a  dSi
0
dS a  dSi
Reversible Zustandsänderung:
Somit folgt:
dSi  0
0  dS a
bzw.
dQ  0
Fazit:
Jede reversible adiabate Zustandsänderung ist isentrop (dS=0),
d.h. die Entropie bleibt gleich.
275
Technische Thermodynamik 1
V.5.3 Isentrope Prozesse
Irreversible Zustandsänderung:
dSi  0
Somit folgt:
dS a  0 mit
damit
dS i  dS a
dS  0
Fazit:
Wird einem System gerade soviel Wärme entzogen, wie Energie
dissipiert wird, so bleibt die Entropie konstant.
276
Technische Thermodynamik 1
Beispiel
1 – 2 reversible Kompression ohne
Heizung (S=const.)
T
3
5
6
4
2
1 – 3 irreversible Kompression ohne
Heizung
1 – 4 irreversible Kompression mit
Heizung
1 – 5 reversible Kompression mit Kühlung
1
S
1 – 6 irreversible Kompression mit Kühlung
277
Technische Thermodynamik 1
V.6 Anwendung des 2. H.S. auf irreversible Prozesse
Beispiel 1: Wärmeleitung unter Temperaturgefälle (große Körper)
Bringt man zwei Körper unterschiedlicher Temperatur in
Kontakt, so fliesst Wärme vom wärmeren (Temperatur Twarm)
zum kälteren Körper (Temperatur Tkalt), nie umgekehrt.
Die Körper seien von einer adiabaten Hülle umgeben, so
dass die vom wärmeren Körper abgegebene Energie an
den kälteren übergeht. Die Körper seien so groß, dass
sich ihre Temperatur praktisch nicht ändert.
Twarm
Q12
Q12
Tkalt
Twarm
Q12
adiabat
Tkalt
Entropieänderung des warmen Körpers: Δ S warm  
Entropieänderung des kalten Körpers:
Δ S kalt 
Q 12
T warm
Q 12
Tkalt
Entropieänderung des gesamten Wärmeleitprozesses:
 1
T w ar m  Tkalt
1 
  Q 12
Δ S 12  Δ S w ar m  Δ S kalt  Q 12 

0
T w ar m  Tkalt
 Tkalt T w ar m 
2. H.S.: Δ S 1 2  Δ S a  Δ S i
irreversibler Prozess
0
278
Technische Thermodynamik 1
V.6 Anwendung des 2. H.S. auf irreversible Prozesse
Beispiel 2: Wärmeleitung unter Temperaturgefälle (kleine Körper)
Sind die Körper klein, so dass sich deren Temperatur im Laufe des Wärmeleitvorgangs ändert,
so wird sich am Ende des Prozesses eine Mischtemperatur Tm einstellen.
Es gilt:
Tkalt
keine Wärmeabgabe nach außen
1. H.S.:
dU  dQ  dW
Q12
Twarm
Q12
1
Tm
Tm
2
keine Arbeitsabgabe nach außen
U 2  U 1  0  U 2  U 1  w a r m  U 2  U 1 k a l t
m w ar m c V, w ar m T w ar m  m kalt c V,kalt T kalt
Tm 
m w ar m c V, w ar m  m kalt c V,kalt
2. H.S.:
Entropieänderung des gesamten Wärmeleitprozesses
m
Δ S 12  Δ S w ar m  Δ S kalt 

w ar m
Δ S 12  Δ S a  Δ S i
0
m w ar m c v, w ar m d T
T
m


m kalt c v,kalt d T
kalt
T
0
irreversibler Prozess
279
Technische Thermodynamik 1
V.6 Anwendung des 2. H.S. auf irreversible Prozesse
Beispiel 3: Adiabate Drossselung
Als adiabate Drosselung bezeichnet man die Druckabsenkung in einem strömenden Medium ohne Arbeitsverrichtung, z.B. infolge von Rohrreibung, Strömungshindernissen, Einbauten wie Ventile u.s.w.)
.
m
1
p1, T
p2, T
2
.
m
adiabat
1. H.S.:
2. H.S.:
w
d h  d 
 2
0
0

  g d z  d q  d w t
dh  0
0
0

0, vgl. 1. H.S.
dh vdp
d s  d s a  d s i mit d s 

 0 (allgemeine Definitionsgl.)
T
T
0
Für ideales Gas als Arbeitsmittel folgt:
v /T  R i / p
2
2
 s  s 2  s 1  R i 
1
p 
dp
 R i ln  1 
p
 p2 
280