10. Hausübung zur Quantenmechanik WS 16/17

10. Hausübung zur Quantenmechanik
WS 16/17
Abgabe am Donnerstag, den 19.1.17 in der Vorlesung
Aufgabe 28: Tunneln im Zwei-Niveau-System
Ein Teilchen bewege sich im skizzierten Doppelmuldenpotential,∗ V (x) = V1 (x) + V2 (x). Die zu V1 und V2
gehörigen normierten und reellen Grundzustandseigenfunktionen ϕ1 , ϕ2 und deren Energieeigenwerte E1 , E2
seien bekannt,
2
p
+ Vi (x) ϕi (x) = Ei ϕi (x) , i = 1, 2 .
2m
V1
V2
E2
E1
Die dann ebenfalls bekannten ‘Überlappintegrale’
+∞
Z
S=
dx ϕ1 (x)ϕ2 (x) ,
W11
−∞
W12
+∞
Z
=
dx ϕ21 (x)V2 (x) ,
−∞
+∞
Z
dx ϕ1 (x)V1 (x)ϕ2 (x) ,
=
W22
−∞
+∞
Z
=
dx ϕ22 (x)V1 (x) ,
−∞
seien klein (S 1, |W11 |, |W12 |, |W22 | klein gegen eine typische Energie des Systems).
(i) Konstruiere einen zu ϕ1 orthogonalen, normierten Zustand ϕ̃2 als Linearkombination von ϕ1 und ϕ2 . Die Zustände ϕ̃1 = ϕ1 und ϕ̃2 bilden dann eine
Orthonormalbasis des von ϕ1 und ϕ2 aufgespannten Unterraums.
(ii) Der Grundzustand ψ− (x) des Doppelmuldenpotentials ist näherungsweise eine Linearkombination der Zustände ϕ̃j , j = 1, 2, die sich durch Diagonalisierung der 2 × 2-Matrix H̃ mit Matrixelementen hϕ̃i |H|ϕ̃j i bestimmen läßt.
Wie lauten die Eigenwerte E+ und E− von H̃ und wie die zugehörigen Eigenfunktionen ψ± (x)?
Zur Vereinfachung linearisiere in den Überlappintegralen S, Wij , und führe
die Abkürzungen
1
Σ := (E1 + W11 + E2 + W22 )
2
und
1
∆ := (E1 + W11 − E2 − W22 )
2
ein.
Skizziere E+ und E− als Funktion von ∆ und diskutiere das Ergebnis!
(iii) Betrachte nun im Rahmen der oben vorgenommenen Näherungen das zeitabhängige Problem i~∂t ψ = Hψ mit der Anfangsbedingung ψ(x, 0) = ϕ1 (x).
Berechne die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand ϕ̃2 (x) zu
finden!
(9 Punkte)
∗
Vergleiche z. B. Coherent control of macroscopic quantum states in a single Cooper pair box, Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin and J. S. Tsai, Nature 398 (1999).
Aufgabe 29: Getriebener harmonischer Oszillator
Ein harmonisch gebundenes Teilchen sei im Zeitintervall [0, t0 ] einer räumlich homogenen, zeitlich veränderlichen Kraft F (t) ausgesetzt:
(√
2m~ω f (t) für t ∈ [0, t0 ]
p2
mω 2 x2
H=
+
− xF (t) , F (t) =
2m
2
0
sonst.
(i) Berechne den Zeitentwicklungsoperator UI (t, 0) im Wechselwirkungsbild!
Hinweis: Benutze die in der Vorlesung eingeführte Darstellung als zeitgeordnetes Produkt sowie die Hausübungen 7 und 10.
(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der n-te Oszillatorzustand zu Zeiten t > t0
angeregt, wenn sich der Oszillator zur Zeit t = 0 im Grundzustand befand?
(9 Punkte)