Energie

Kapitel 3
Energie
Im Prinzip kann man die Newtonschen Gesetze, die die Kraft und die
Beschleunigung verbinden, verwenden, um ein beliebiges Bewegungsproblem, zu lösen. Die Gesetze können allgemein und in verschiedenen Bereichen benutzt werden, z.B. von der Bewegung eines
Staubkorns bis zu der der Planeten oder der Galaxien.
Die Fälle, in denen wir an der Bewegung von vielen Körpern oder
Teilchen interessiert sind, sind praktisch sehr schwierig zu lösen.
Stellen wir uns z.B. die Schwierigkeit vor, den Stoss zweier Autos in
allen Einzelheiten zu beschreiben. Eine ähnliche Schwierigkeit treffen wir z.B. an bei der Beschreibung einer Explosion.
Um solche komplizierten Bewegungen zu beschreiben, können wir
allgemeine Gesetze suchen, die aus Newtons Gesetzen folgen. Mit
deren Hilfe können wir etwas über die komplizierten Bewegungen
sagen.
Physik I
109
Energie
Im Fall der Explosion oder des Stosses der Autos kann man das
Impulserhaltungsgesetz benutzen, um etwas über die Bewegung
vorauszusagen.
In diesem Kapitel werden wir uns mit dem Begriff der Energie beschäftigen. Dieser Begriff ist wichtig, weil es ein allgemeines Prinzip
der Erhaltung der Energie gibt. Wie für den Fall der Impulserhaltung, kann die Energieerhaltung benutzt werden, um Vorgänge als
Ganzes zu definieren.
3.1 Definition der Energie
Der Begriff der Energie ist nützlich wegen des Prinzips der Energieerhaltung. Es sagt,
Bei allen Vorgängen muss die Gesamtenergie eines Systems
und seiner Umgebung erhalten werden.
Wenn die Energie eines Systems sich ändert, muss die Energie der
Umgebung sich mit demselben Betrag aber entgegengesetzem Vorzeichen ändern, so dass die Summe sich nicht ändert. Man spricht von
Energieaustauch zwischen dem System und seiner Umgebung.
Die Gesamtenergie ist die Summe von verschiedenen Teilen, die verschiedenen Formen der Energie entsprechen. Zum Beispiel,
1.
2.
3.
110
die kinetische Energie h ngt mit der Bewegung des Teilchens
zusammen;
die potentielle Energie entspricht der Energie, die mit der
räumlichen Anordnung der Körper eines Systems zueinander
zusammenhängt;
die Wärmeenergie ist mit der Temperatur des Systems verknüpft;
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Definition der Energie
4.
5.
6.
7.
die Strahlungsenergie ist die Energie, die durch Strahlen (z.B.
Licht) ausgesandt oder absorbiert wird;
die chemische Energie hängt mit dem chemischen Zustand
zusammen;
die Masse ist auch eine Form von Energie;
usw...
Die Erhaltung der Gesamtenergie ist schwieriger auszudrücken, als
die des Impulses, weil die Energie in verschiedenen Formen vorkommen kann. Man muss alle möglichen Formen betrachten, d.h.
EGesamt = EMasse + Ekin + E pot + EWärme +
EStrahlung + EChem. + usw...
= Konst.
Oft sagen wir, dass die Energie eines Teilchens nicht erhalten wird.
Wenn z.B. ein Körper durch Reibung gebremst wird, wird ein Energieaustauch mit der Oberfläche stattfinden.
Die Gesamtenergie wird erhalten, aber wir können die Energie, die
durch die Reibung den Zustand der Oberfläche ändert, nicht
ausdrücken, und wir werden deshalb sagen, dass die Energie des
Körpers, z.B. definiert als,.
E = Ekin + E pot ≠ Konst.
nicht erhalten ist. In diesem Fall haben wir nur die kinetische und die
potentielle Energie betrachtet, und wenn es z.B Reibung gibt, wird sie
nicht erhalten.
Andererseits, wenn wir wissen, dass der Austauch nur zwischen
bestimmten Formen der Energie stattfindet, können wir die Teile der
Gesamtenergie, die konstant bleiben, ignorieren.
Physik I
111
Energie
3.2 Die relativistichen Grössen
3.2.1 Die Lichtgeschwindigkeit als
Grenzgeschwindigkeit
Bei der Definition der Masse haben wir gesehen, dass in Rückstossversuchen das Verhältnis der Geschwindigkeiten der Wagen eine
konstante Zahl war, unabhängig von der Feder.
Wir haben dieses Ergebnis als
m A vB
=
mB v A
ausgedrückt, wobei mA und mB die Massen der Wagen sind.
Wir fragen jetzt, was würde in einem solchen Rückstossexperiment
geschehen, wenn wir eine der Masse kleiner und kleiner machen?
Je kleiner die Masse, z.B. mB, ist, desto schneller wird sie sich nach
dem Rückstoss bewegen.
Wenn mB nach null geht, wird ihre Rückstossgeschwindigkeit
unendlich.
Eine ähnliche Situation beobachten wir, wenn eine Kraft auf ein
Teilchen wirkt und damit das Teilchen beschleunigt.
Solange die Kraft wirkt, wird das Teilchen beschleunigt und dadurch
kann es eine beliebige Geschwindigkeit erreichen.
r
r
F = Konst ⇒ a = Konst
⇒ wenn t → ∞
112
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
⇒ v→∞
Die relativistichen Gr ssen
Im Bereich der klassischen Mechanik gibt es kein Problem mit diesen
unendlichen Geschwindigkeiten.
Experimentell beobachten wir aber etwas anderes:
Ein Teilchen der Masse m kann sich nie mit einer Geschwindigkeit grösser als die Lichtgeschwindigkeit c bewegen.
Kein Teilchen mit Masse kann eine Geschwindigkeit gleich
der Lichtgeschwindigket c erreichen, unabhängig davon
wieviel und wie lange es beschleunigt wird.
Die Lichtgeschwindigkeit c
Geschwindigkeit in der Natur.
entspricht
der
höchsten
Die Lichtgeschwindigkeit c wirkt als eine Grenzgeschwindigkeit, mit
dem Wert
299’792’458 Meter pro Sekunde
oder ungefähr
c ≈ 3 × 108 m / s
Dass die Geschwindigkeit eines Teilchens immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein muss, können wir schreiben als
v/c <1
wobei v die Geschwindigkeit des Teilchens ist.
Die Lichtgeschwindigkeit ist sehr gross im Vergleich zu unseren Alltagserfahrungen und deshalb ist es schwierig, die Existenz einer
solchen Grenzgeschwindigkeit in der Natur zu beweisen.
Physik I
113
Energie
Siehe Tabelle 1.
TABLE 1. Geschwindigkeit
Was
v/c
Wagen 100 km pro Stunde
0,000000093
Schnellstes Flugzeug (Mach 6.72)
0,0000068
Erdbewegung um die Sonne
0,000099
Elektron beschleunigt durch 1000 Volt
0,063
Um die Erde in 1 Sekunde
0,13
Elektron beschleunigt durch 1 Million Volt
0,94
Elektron beschleunigt durch 1 Milliarde Volt
0,99999988
Eine solche Grenze wurde bewiesen mit Elementarteilchen, die sich
z.B. in kosmischen Strahlen befinden und sich mit sehr hoher
Geschwindigkeit bewegen. Man hat auch Elektronen mit grossen elektrischen Spannungen beschleunigt und damit direkt bewiesen, dass
die Masse des Elektrons mit der Geschwindigkeit zunimmt.
In der Praxis kann man oft vergessen, dass es in der Natur eine höchste Geschwindigkeit gibt, aber dies hat unsere theoretischen
Konzepte verändert.
3.2.2 Die relativistische Masse
Eine Folgerung aus der Existenz einer Grenzgeschiwindigkeit ist,
dass für hohe Geschwindigkeiten das Verhältnis, das wir im
Rückstossexperiment gefunden haben, nicht mehr gelten wird!
m A vB
≠
mB v A
für hohe Geschwindigkeiten
Das Verhältnis gilt nur wenn die Geschwindigkeiten der Körper relativ zur Lichtgeschwindigkeit klein sind.
114
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Die relativistichen Gr ssen
Wir drücken dieses Ergebnis aus als
m A vB
=
mB v A
gilt nur wenn vA / c << 1, und vB / c << 1
Wir haben von der Gleichung mA/mB = vB/vA gesprochen, als wir das
Impulserhaltungsgesetzt eingeführt haben.
Müssen wir aus der Beobachtung, dass die Gleichung nicht mehr gilt,
wenn die Geschwindigkeiten der Teilchen hoch sind, schliessen, dass
das Impulserhaltungsgesetz auch nicht mehr gilt, wenn die Impulse
der Teilchen sehr gross sind?
Wir retten das Impulserhaltungsgesetz mit einer neuen Definition der
Masse der Teilchen.
Wir sagen, dass die Masse eines Teilchens sich mit seiner Geschwindigkeit ändert.
Zuerst hat Einstein am Anfang des 20. Jahrhunderts eine solche Beziehung zwischen Masse und Geschwindigkeit geschrieben
m=
m0
1 − v2 / c2
wobei m0 die Ruhemasse des Teilchens ist.
Die Ruhemasse m0 ist die Masse des Teilchens, wenn es sich in Ruhe
befindet.
Physik I
115
Energie
2 2
Wir bemerken, dass 1 ⁄  1 – v ⁄ c  immer grösser als eins ist.


Die Masse eines Teilchens wird deshalb immer mit der Geschwindigkeit zunehmen.
Aus der Beziehung zwischen Masse und Energie folgt, dass es bei der
Beschleunigung eines Teilchens, eine Erhöhung seiner Geschwindigkeit und eine Zunahme seiner Masse gibt!
Beispiel 1. Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit
von 110 Km pro Stunde. Wieviel hat seine Masse zugenommen?
v / c ≈ ( 30 m / s) / ( 3 × 10 8 m / s) ≈ 10 −7
⇒ m / m0 ≈ 1 + 5 × 10 −15 ≈ 1, 000000000000005
Beispiel 2. Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Gegenstand sich bewegen, um seine Masse zu verdoppeln?
m / m0 = 2
⇒
1− v2 / c2 =
1
2
⇒ v ≈ 0.87c
Wir bemerken, dass die Änderung der Masse praktisch unmessbar ist,
solange die Geschwindigkeit des Teilchens viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.
Wir definieren den Lorentz Faktor γ
γ =
116
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
1
1 − v2 / c2
Die relativistichen Gr ssen
so, dass die Masse eines Teilchens gleich
m = γm0
ist. Siehe Tabelle 2
.
TABLE 2. Lorentz
Faktoren
1–v ⁄c
2
v
0
2
1
γ = (1 – v ⁄ c )
2
2
1
– --2
1
4 −13
×10
1+4×10−13
1000 km/Stunde
1—
c/10
0.995
1.005
c/2
0.87
1.15
0.994c
1/9
9
c
0
unendlich
Der Lorentz Faktor ist sehr nützlich. Wir werden ihn oft benutzen,
wenn wir die Theorie der Relativität studieren.
3.2.3 Der relativistische Impuls
Mit der neuen Definition der Masse wird das Impulserhaltungsgesetz
immer gelten.
Man spricht vom relativistischen Impuls:
r
r
r
p = mv = γm0 v
Natürlich, solange die Geschwindigkeit des Teilchens ist klein relativ
zur Lichtgeschwindigkeit, wird der Lorentz Faktor γ ≈ 1 und dann
gilt die “klassische” Definition des Impulses.
Physik I
117
Energie
D.h., der klassische Impuls ist eine Näherung des Impulses eines
Teilchens, der gilt, wenn die Geschwindigkeit des Teilchens viel
kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.
Wasserstoffkern
(anfänglich in Ruhe)
P
P
P
Relativistische Impulserhaltung in Kernvorgängen: hier der
Stoss eines Protons mit einem Wasserstoffkern. Nach dem Stoss werden
zwei Protonen gemessen.
FIGURE 1.
Dass die Erhaltung der relativistischen Impulse gilt, hat man z.B. mit
der Messung von Kernvorgängen bewiesen.
Wir betrachten z.B. den Stoss zwischen einem Proton und einem
Wasserstoffkern. Siehe Abb. 1. Anfänglich ist der Kern in Ruhe und
das Proton bewegt sich, es hat einen Impuls. Man kann beweisen,
dass die Summe der Anfangsimpulse gleich der Summe der Endimpulse ist. Der Gesamtimpuls ist in einem solchen Stoss erhalten.
3.3 Die Masse-Energie Äquivalenz
Auf die Erde kommt von der Sonne die grösste Menge von nützlicher
Energie, meistens in Form von Strahlungsenergie (Licht).
Die Sonne stösst eine enorme Menge von Strahlungsenergie aus.
Siehe Abb. 2.
118
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Die Masse-Energie quivalenz
Wenn die Sonne wie eine Kugel aus Kohle brennem würde, würde sie
nur ungefähr 5000 Jahre lang leben.
Die Sonne. Wir wissen, dass die Sonne mit derselben Rate
während ungefähr 5 Milliarden Jahre gebrannt hat.
FIGURE 2.
Wir wissen jedoch, dass die Sonne mit derselben Rate während
ungefähr 5 Milliarden Jahre gebrannt hat, und sie soll noch während 5
Milliarden Jahren brennen.
Zuerst hat Einstein 1905 erklärt, wie die Sonne eine solche Menge
von Strahlungsenergie ausstossen kann, mit seiner berühmten Beziehung zwischen Masse und Energie: die Masse-Energie Äquivalenz
Gleichung,
E = mc 2
wobei E die Energie, m die Masse und c die Lichtgeschwindigkeit ist.
Physik I
119
Energie
Diese Gleichung drückt aus, dass Masse eine Form von Energie ist.
Die MKS Einheit der Energie ist Joule (J)
m2
kg.m
1 J = 1 kg 2 = 1  2  .m = 1 N .m

s
s 
Eine 100 Watt Glühbirne braucht 100 Joule pro Sekunde.
Wenn wir eine Masse von 1 Kilogramm ganz in Energie umwandeln
könnten, folgt aus der Masse-Energie Beziehung, dass die gewonnene
Energie
E = mc 2 ≈ (1 Kg)(3 × 108 m / s)2 = 9 × 1016 J
wäre. Masse enthält eine enorme Menge von Energie! Wenn 1 kg
ganz in Energie umgewandelt werden könnte, könnte damit eine
Stadt wie Zürich für ungefähr 50 Jahre beleuchtet werden.
3.4 Die kinetische Energie
Wir haben gesehen, dass die Masse eines Teilchens mit der
Geschwindigkeit zunimmt und sehr gross wird, wenn das Teilchen
sich der Lichtgeschwindigkeit nähert.
Wenn wir die Gleichung für die Zunahme der Masse mit der
Geschwindigkeit
m=
120
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
m0
1 − v2 / c2
Die kinetische Energie
mit der Beziehung zwischen Masse und Energie
E = mc 2
kombinieren, erhalten wir die Gesamtenergie des Teilchens
E = mc 2 =
m0c 2
1− v / c
2
2
= γm 0c 2
Die Ruheenergie wird definiert als die Energie des Teilchens, wenn es
sich in Ruhe befindet. Sie ist gleich
E0 = m0 c 2
Wenn das Teilchen sich bewegt, erhält es zusätzliche Energie. Die
zusätzliche Energie, die ein Teilchen gewinnt, wenn es sich bewegt,
ist seine kinetische Energie, und ist gleich
E kin = E − E 0
= mc 2 − m0c 2
= (Gesamtenergie) − ( Ruheenergie)
Die kinetische Energie kann mit Hilfe des Lorentz Faktors geschrieben werden
Ekin = mc 2 − m0 c 2
= γm0 c 2 − m0 c 2
= (γ − 1)m0 c 2
Physik I
121
Energie
3.4.1 Langsam bewegte Teilchen
Für Teilchen, die sich langsam bewegen, benutzen wir die Näherung
(1 + α )β
≈ 1 + βα
(α << 1)
woraus folgt
1 v2
2 c2
1
1 v2
≈1+
2 c2
1 − v2 / c2
1 − v2 / c2 ≈ 1 −
Die Gleichung kann für Geschwindigkeiten v<≈0,1c benutzt werden.
Siehe Tabelle 3.
TABLE 3. Numerischer Vergleich
zwischen genauer und genäherter
Gleichung
122
v
2/c2)-1/2
γ=(1—v
1+v2/2c2
0,01c
1,00005003
1,000050000
0,1c
1,005037
1,005000
0.2c
1,0206
1,0200
0,3c
1,048
1,045
0,5c
1,148
1,125
0,7c
1,41
1,25
0,9c
2,30
1,40
0,99c
7,1
1,49
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Die kinetische Energie
In diesem Fall ist die Gesamtenergie des Teilchens gleich
E = mc 2


1

= m0c 2 
2
2
 1− v / c 
genaue Gleichung

v2 
≈ m0c 2 1 + 2 
 2c 
genäherte Gleichung
 v2 
≈ m0c 2 + m0c 2  2 
 2c 
1
≈ m0c 2 + m0v 2
2
Diese Gleichung gilt für Teilchen, die sich mit einer Geschwindigkeit
kleiner als ≈0,1c bewegen.
Wir haben die Gleichung E=mc2 als Summe von zwei Teilen geschrieben; der Teil der Ruhemasse und der kinetische Teil:
1
E = m0c 2 ( Ruheenergie) + m0v 2 ( kinetische Energie)
2
Solange die Geschwindigkeit eines Teilchens weniger als ≈0,1c ist, ist
seine kinetische Energie viel kleiner als seine Ruhemasseenergie.
Beispiel: Wir betrachten eine Gewehrkugel der Masse 10 g,
die sich mit einer Geschwindigkeit von 300 Meter pro
Sekunde bewegt. Bestimme ihre kinetische und Ruhemasseenergie.
Physik I
123
Energie
Kinetische Energie:
1
m0 v 2
2
1
= × (0, 01kg) × (300 m / s)2
2
= 450 Joule
Ekin =
Die Energie ist hoch genug, so dass die Kugel eine Planke
durchdringt.
Ruhemasseenergie;
E0 = m0 c 2
= (0, 01kg) × (3 × 108 m / s)2
= 9 × 1014 Joule
Diese Energie ist gleich der freigelassenen Energie einer mittelgrossen Atombombe.
3.5 Potentielle Energie der Gravitation
Wir fahren nun weiter mit unserer Untersuchung der Teile der Gesamtenergie.
Wir betrachten einen Ball, der von einer Höhe h frei fallen gelassen
wird. Siehe Abb. 3.
124
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Potentielle Energie der Gravitation
Ruhe
m0
Geschwindigkeit v1=0
kinetische Energie = 0
h
m0 kinetische Energie =
1m v 2
2 0 2
v2
Freier Fall eines Körpers. Wenn der Körper frei fällt, wird seine
kinetische Energie zunehmen. Die potentielle Energie, die im Körper
gespeichert wird, wenn er gehoben wird, wird sich in kinetische Energie
umwandeln.
FIGURE 3.
Bevor der Körper losgelassen wird, ist er in Ruhe v1=0 und deshalb
besitzt er keine kinetische Energie.
Bevor er auf dem Boden landet, bewegt sich der Körper mit der
Geschwindigkeit v2 und besitzt die kinetische Energie (1/2)m0v22.
Deshalb suchen wir die zusätzliche Form der Energie, d.h. die potentielle Energie, die im Körper gespeichert wird, wenn er auf eine Höhe
h gehoben wird, und die sich in kinetische Energie umwandeln wird.
Physik I
125
Energie
Mit den Gleichungen der gleichförmig beschleunigten Bewegung finden wir eine Beziehung zwischen der Höhe und der Geschwindigkeit
v2.
h=
1 2
gt
2
v2 = gt
und
2
v2
1 v 
h = g 2  = 2
2  g
2g
⇒
1 2
v2 = gh
2
Wenn wir diese Gleichung mit m0 multiplizieren, erhalten wir
1
m0 v22 = m0 gh
2
Am Anfang wird die Gesamtenergie des Körpers gleich
E1 = m0 c 2 + m0 gh
sein, und am Ende ist sie gleich
E2 = m0 c 2 +
1
m0 v22
2
Die Gesamtenergie E in einem bestimmen Punkt der Höhe h ist gleich
1
E = m0 c 2 + m0 v 2 + m0 gh
{ 2
123
123 potentielle
Ruhemass
kinetische
Aus der Energieerhaltung folgt dass E=E1=E2.
126
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Die Arbeit
Beim freien Fall wird sich die potentielle Energie in kinetische Energie umwandeln. Die Ruhemasse ändert sich nicht und kann vernachlässigt werden.
Was passiert, wenn der Körper auf dem Boden landet? Die kinetische
Energie wird sich in andere Formen umwandeln, z.B. in Schallenergie, Wärmeenergie, Bodendeformationsenergie, usw...
3.6 Die Arbeit
3.6.1 Bewegung in einer Dimension
Im Beispiel des frei fallenden Balls haben wir bewiesen, dass die
potentielle Energie der Gravitation gleich
E pot (h) = mgh
ist, wobei m die Masse des Balls ist (wir nehmen an, dass die
Geschwindigkeit des Balls sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist).
Das Ball fällt frei wegen der Gravitationskraft, die einen Betrag mg
besitzt.
Wir bemerken, dass der Betrag der Abnahme der potentiellen Energie
und der, der Zunahme der kinetischen Energie, einander gleich sind,
mit einem Wert
( mg) × h = ( Kraft ) × (Verschiebung)
Physik I
127
Energie
Wir definieren die Arbeit, die eine Kraft an einem Körper leistet, als
das Produkt der Komponente der Kraft längs der Verschiebung und
der Verschiebung, d.h. das Skalarprodukt der Vektoren
r r r r
W = F ⋅ ∆r = F ∆r cosθ
wobei θ der Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem Verschiebungsvektor ist.
Die Arbeit ist deshalb eine skalare Grösse. Sie nimmt einen positiven
Wert an, wenn die Kraft und die Verschiebung in dieselbe Richtung
zeigen, und einen negativen Wert, wenn sie entgegengestezte Richtungen haben. Siehe Abb. 4.
∆x
mg
∆x
mg
v
∆x
mg
W>0
FIGURE 4.
W<0
W=0
Arbeit, die eine Kraft an einem Körper leistet.
Die Einheit der Arbeit ist Joule (J) weil
kg.m
m2
1 N .m = 1  2  .m = 1 kg 2 = 1 J
 s 
s
Die Arbeit besitzt deshalb dieselbe Einheit wie die Energie.
128
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Die Arbeit
3.6.2 Bewegung in mehreren Dimensionen
Wir betrachten z.B. den Fall einer Bewegung in mehreren Dimensionen.
Die Kraft wird als eine Funktion des Ortsvektors geschrieben, die den
Kraftvektor F am Punkt r darstellt:
r r r
F ≡ F(r )
Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Bahn im Raum. Siehe Abb. 5.
Die Arbeit wird berechnet entlang der Bahn und zwischen zwei Punkten 1 und 2.
F(r)
F(r)
F(r)
y
r1
r2
ey
x
ex
Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Bahn in zwei
Dimensionen, die zwei Punkte 1 und 2 verbindet. Die Kraft wird als eine
Funktion des Ortsvektors definiert. Die Arbeit wird berechnet entlang der
Bahn.
FIGURE 5.
Die Bahn zwischen den zwei Punkten 1 und 2 wird in differentielle
Strecken dr unterteilt, entlang denen die Kraft als konstant betrachtet
Physik I
129
Energie
werden kann. Die geleistete Arbeit dW entlang dieser differentiellen
Strecke ist gleich
r r
dW = F ⋅ dr
Die gesamte geleistete Arbeit W wird berechnet als das Linienintegral von F entlang die Bahn zwischen den Punkten 1 und 2
r
r2
r
r2
r
r1
r
r1
r r r
W12 = ∫ dW = ∫ F(r ) ⋅ dr
Arbeit der Gewichtskraft. Wir berechnen die Arbeit der Gewichtskraft mit Hilfe des Linienintegrals.
r r
rr
r
r
r
r
F ( r ) = − mg ey = mg
und
r = xex + yey
Die von der Gewichtskraft geleistete Arbeit ist gleich
r
r2
r
r
r1
r
r1
r r r r2 r r
W12 = ∫ F ( r ) ⋅ dr = ∫ mg ⋅ dr =
r
r
r 2 r
r r r
r r
= mg ⋅ ∫ dr = mg ⋅ ( r2 − r1 ) = mg ⋅ ∆r =
r
r1
rr
r
r
r
= − mg ey ⋅ ( ∆xex + ∆yey ) = − mg ∆y =
r
= − mg( y 2 − y1 )
( g ≡ g > 0)
(
)
Das Ergebnis hängt nur vom Unterschied y2-y1 zwischen den Höhen
der beiden Endpunkte ab.
Für den Fall des frei fallenden Balls, erhalten wir mit y2=0, y1=h,
W12 = − mg(0 − h) = mgh
130
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
( g > 0)
Das Arbeit-Energie Theorem
Die geleistete Arbeit hat einen positiven Wert, weil die nach unten
gerichtete Gewichtskraft und die Verschiebung von y=h bis y=0 in
derselben Richtung zeigen.
Wenn der Ball vom Boden auf die Höhe h hochgezogen wird (d.h.
y2=h, y1=0), hat die geleistete Arbeit einen negativen Wert, weil in
diesem Fall die Gewichtskraft entgegengesetzt der Bewegung ist (d.h.
man muss ziehen, um den Ball hochzuheben.)
Arbeit der Federkraft. Wir betrachten die von der Federkraft
geleistete Arbeit. Es gilt für kleine Verschiebungen (Hookesches
Gesetz)
Fx = − kx
wobei der Ursprung der x-Achse die Gleichgewichtslage ist. Die
geleistete Arbeit zwischen der (eindimensionalen) Verschiebungen x1
und x2 ist gleich
x2
x2
1
W12 = ∫ F( x )dx = − k ∫ xdx = − k ( x22 − x12 )
2
x1
x1
3.7 Das Arbeit-Energie Theorem
Wir beginnen mit Newtons zweitem Gesetz in der vektoriellen Form
r
r r
r
r r
F = ma
⇒ F ⋅ dr = ma ⋅ dr
r
r
r
r2
r2
r2 r
r r
r r
dv r
⇒ ∫ F ⋅ dr = m ∫ a ⋅ dr = m ∫
⋅ dr
r
r
r dt
r1
r1
r1
Wenn wir eine dreidimensionale Bewegung betrachten, erhalten wir
Physik I
131
Energie
r
r
r2
dv
dv r
dv 
 dv
m∫
⋅ dr = m ∫  x dx + y dy + z dz
r dt
r  dt
dt
dt 
r1
r1
r
r2
y2
z2
 x 2 dv
dvy
dv 
x
= m ∫
dx + ∫
dy + ∫ z dz
dt
dt 
 x1 dt
y1
z1
Nun bemerken wir, dass gilt
vx
x2
vx
2
2
dvx
dx
1 2
2
∫x dt dx = v∫ dt dvx = v∫ vx dvx = 2 (vx 2 − vx1 )
1
x
x
1
1
und deshalb
r
dv r 1
m∫
⋅ dr = m vx22 − vx21 + vy22 − vy21 + vz22 − vz21
r dt
2
r1
r
r2
(
)


1  2
2
2
2
2
2
= m v x 2 + v y 2 + v z 2 − v x 1 − v y1 − v z 1 
42
44
3 14
42
44
3
2  14
r
r


− v12
v 22
=
1 r2 1 r2
mv2 − mv1
2
2
Die Arbeit, die an einem Körper geleistet wird, ist gleich der
Änderung seiner kinetischen Energie.
r
r2
r r 1 r
1 r
W12 = ∫ F ⋅ dr = mv22 − mv12
r
2
2
r1
132
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Allgemeine potentielle Energie
Im Fall, dass viele Kräfte auf das Teilchen wirken, ist die Änderung
der kinetischen Energie gleich der gesamten Arbeit, die von allen
Kräften geleistete wird
r
r2
r
r
r1
r
r1
r
r
r
r1
r
r1
r
r
r r r2 r r
r 2 r r 2 r r
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ F1 + F2 + ... ⋅ dr = ∫ F1 ⋅ dr + ∫ F2 ⋅ dr + ...
(
)
3.8 Allgemeine potentielle Energie
3.8.1 Konservative und nicht-konservative Kr fte
Wir haben zwei bestimmte Beispiele der geleisteten Arbeit berechnet:
(1) die Arbeit der Gravitationskraft, (2) die Arbeit der Federkraft:
W12 = − mg( h2 − h1 )
1
W12 = − k ( x22 − x12 )
2
In beiden Fällen hängt das Ergebnis nur von Anfangs- und Endpunkt
der Bahn ab, d.h. die Arbeit ist unabhängig vom zurückgelegten Weg.
Wenn ein Ball vom Boden auf die Höhe h hochgezogen wird, hat die
von der Gravitationskraft geleistete Arbeit einen negativen Wert, weil
die Gewichtskraft entgegengesetzt der Bewegung ist. Man muss ziehen, um den Ball hochzuheben.
Wir sagen, dass die von der Gravitationskraft geleistete Arbeit im
Körper als potentielle Energie der Gravitation gespeichert wird. Da
die Arbeit einen negativen Wert hat, wenn wir den Körper nach oben
Physik I
133
Energie
ziehen, definieren wir die Änderung der potentiellen Energie mit
einem negativen Vorzeichen
W = − ∆E pot = − mg( h − 0) = − mgh
⇒ E pot ( h ) = mgh
Die gespeicherte potentielle Energie wird in kinetische Energie
umgewandelt, wenn der Körper frei nach unten fällt.
Beispiele:
Gravitationskraft:
E pot ( h ) = mgh
⇒
W12 = −( E pot ( h2 ) − E pot ( h1 )) = − mg( h2 − h1 )
⇒
1
W12 = −( E pot ( x 2 ) − E pot ( x1 )) = − k ( x 22 − x12 )
2
Federkraft:
E pot ( x ) =
1 2
kx
2
In beiden Beispielen, die wir betrachtet haben, ist die von der Kraft
geleistete Arbeit vom zurückgelegten Weg unabhängig.
Deshalb können wir die potentielle Energie als eine Funktion von
Anfangs- und Endpunkt des Wegs definieren.
Es folgt aus der Definition der potentiellen Energie und ihrer Beziehung zur Arbeit, dass die geleistete Arbeit entlang einem geschlossenen Weg gleich null ist.
Wenn wir einen Ball vom Boden auf die Höhe h hochziehen und ihn
nachher wieder auf den Boden bringen, ist die geleistete Arbeit gleich
null.
Wir unterteilen alle Kräfte der Natur in zwei Gruppen:
134
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Allgemeine potentielle Energie
1) konservative Kräfte, wie die Gravitationskraft oder die
Federkraft. Für diese Art von Kräften können wir eine potentielle
Energie definieren. Die geleistete Arbeit entlang einem geschlossenen
Weg ist gleich null.
2) nicht-konservative Kräfte, wie die Reibungskräfte. In diesem
Fall kann keine potentielle Energie definiert werden. Wir bemerken,
dass die von einer Reibungskraft geleistete Arbeit vom Weg abhängt.
Je weiter wir einen Körper bewegen, der eine Reibungskraft spürt,
desto mehr Arbeit wird geleistet. Wenn wir den Körper an den
Anfangspunkt zurückbringen, ist die geleistete Arbeit nicht gleich
null.
3.8.2 Mechanische Energie
Aus dem Arbeit-Energie Theorem folgt
r
r2
r
r 1 r2 1 r2
F
∫rr Ges ⋅ dr = 2 mv2 − 2 mv1 = ∆Ekin
1
Die Gesamtarbeit der konservativen Kräfte kann mit Hilfe einer
potentiellen Energie berechnet werden
r
r2
r
r
F
∫ konservative ⋅ dr = − ∆Epot
r
r1
Die Summe der kinetischen Energie und der potentiellen Energie
eines Systems wird als mechanische Gesamtenergie Emech bezeichnet:
Emech = Ekin + E pot
Physik I
135
Energie
Falls nur konservative Kräfte wirken, d.h.
r
r
FGes = Fkonservativ
erhalten wir
∆E kin = − ∆E pot
⇒ ∆( E kin + E pot ) = 0
E mech = E kin + E pot = konst.
d.h. die mechanische Energie wird erhalten, wenn nur konservative
Kräfte wirken.
Wenn nicht-konservative Kräfte wirken gilt
r
r2
r
r
r
+
F
konservative
nk ⋅ dr = ∆Ekin
∫ (F
r
r2
r
r1
)
r
r
r
r 2 r
r
∫ Fkonservative ⋅ dr + ∫ Fnk ⋅ dr = ∆Ekin
r
r1
r
r1
− ∆E pot + Wnk = ∆Ekin
und man kann die Veränderung der mechanischen Energie berechnen
Wnk = ∆Ekin + ∆E pot = ∆( Ekin + E pot ) = ∆E
Die Änderung der mechanischen Energie ist gleich der Arbeit, die
von nicht-konservativen Kräften geleistet wird.
136
Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Allgemeine potentielle Energie
3.8.3 Beziehung zwischen Kraft und potentieller
Energie
Allgemein können wir die geleistete Arbeit zwischen zwei Punkten 1
und 2 schreiben, als die Differenz der potentiellen Energie, gemessen
an den Punkten 1 und 2
r
r
W12 = − ∆E pot = − E pot ( r2 ) − E pot ( r1 )
(
)
Es ist klar, dass die Funktion Epot vom Ort abhängt.
Aus der Definition der potentiellen Energie folgt
r
∆E pot
r2
r r
r
r
= E pot ( r2 ) − E pot ( r1 ) = −W12 = − ∫ F ⋅ dr
r
r1
Für eine infinitesimale Verschiebungen dr folgt daraus
r r
dE pot = − F ⋅ dr
Wenn die Kraft in der x-Richtung wirkt, d.h.,
r
r
F = Fx ex
erhalten wir
r r
r
r
r
r
dE pot = − Fx ex ⋅ dr = − Fx ex ⋅ ( dxex + dyey + dzez ) = − Fx dx
Die Kraft ist somit die negative Ableitung der potentiellen Energie
nach dem Ort x:
Fx = −
Physik I
dE pot
dx
137
Energie
Wir finden z.B. für die Federkraft
Fx = −
dE pot
d 1

= −  kx 2  = − kx

dx
dx  2
Wenn die Kraft in einer beliebigen Richtung zeigt, d.h.,
r
r
r
r
F = Fx ex + Fy ey + Fzez
müssen wir den sogenannten Gradienten benutzen, der die Ableitung der potentiellen Energie nach den drei Raumkoordinaten ist
r
r
 ∂E pot r ∂E pot r ∂E pot r 
F = −
ex +
ey +
ez  ≡ −∇E pot
 ∂x
∂y
∂z

wobei wir den Nabla-Operator für die partiellen Ableitungen der
potentiellen Energie eingeführt haben.
Die partielle Ableitung einer Funktion, die von mehreren Variablen
abhängt, ist die Ableitung nach einer Variablen, wenn die anderen
konstant bleiben.
z.B.
f ( x, y ) = x 2 y 3
2
∂f df ( x, y = konst.)
3 d( x )
=
=y
= 2 xy 3
⇒
∂x
dx
dx
und
∂f df ( x = konst., y )
d( y 3 )
=
= x2
= 3x 2 y 2
∂y
dy
dy
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Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
Allgemeine potentielle Energie
Die Gradientenoperation ist die Umkehrung des Linienintegrals
r
r2
r r
r
r
E pot ( r2 ) − E pot ( r1 ) = − ∫ F ⋅ dr
r
r1
3.8.4 Allgemeine potentielle Energie der
Gravitationskraft
Als wir die potentielle Energie der Gravitationskraft berechnet haben,
haben wir benutzt, dass die Gewichtskraft konstant und gleich mg ist.
Wir wissen, dass dies nur in der Nähe der Erde gilt. Allgemein ist die
Gravitationskraft gleich
r
r
GMm r
F=− 2
r r
wobei M die Masse der Erde, und r der Abstandsvektor zwischen der
Lage der Masse m und dem Erdzentrum ist.
Wir wollen nun beweisen, dass die allgemeine potentielle Energie,
die der Gravitationskraft entspricht, gleich
r
GMm
GMm
E pot (r ) = − r = −
r
r
ist. Der Ortsvektor kann mit Hilfe seiner Komponenten ausgedrückt
werden
r
r
r
r
r = xex + yey + zez
Physik I
139
Energie
Wir müssen beweisen, dass gilt
r
r
 ∂E pot r ∂E pot r ∂E pot r 
F = −
ex +
ey +
ez  ≡ −∇E pot
 ∂x
∂y
∂z

d.h.,
r ? r  GMm 
r  1
F =− ∇ −
 = GMm∇ 

 r
r 
Um den Gradienten zu bestimmen, berechnen wir jede Komponente
r  1 ∂ 1 r
∂ 1r ∂ 1r
e +
e +
e
∇  =
 r  ∂x r x ∂y r y ∂z r z
Wir erhalten
(
)
∂ 1 ∂
∂
1
2
2
2 −1 / 2
=
=
+
+
x
y
z
(
) =
1
2
/
∂x r ∂x ( x 2 + y 2 + z 2 )
∂x
−3 / 2
1 2
x + y 2 + z 2 ) (2 x )
(
2
x
=− 3
r
=−
und eine ähnliche Herleitung gibt
∂ 1
y
=− 3
∂y r
r
und
∂ 1
z
=− 3
∂z r
r
und deshalb haben wir bewiesen, dass gilt
r
r
r  1
r
r
r
1 r
1 r
∇  = − 3 xex + yey + zez = − 3 = − 2
 r
r
r r
r
(
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Physik I, WS 00/01, Prof. A. Rubbia
)
Allgemeine potentielle Energie
Wenn wir diese Beziehung benutzen, um die Kraft zu berechnen, finden wir
r
r
r  1
GMm r
F = GMm∇  = − 2
 r
r r
Physik I
141
Energie
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