Übungsblatt 05

LMU München
Lehrstuhl für Theoretische Nanophysik
Vorlesung: Dr. F. Heidrich-Meisner
Übungsgruppe: Robert Bamler
Sommersemester 2011
Abgabe: 08.06.2011 in der Übung
Besprechung: 09.06.2011
5. Übungsblatt Theoretische Physik im Querschnitt
02.06.2011
Aktuelles: Wie bereits auf dem letzten Übungsblatt vermerkt gilt für die Woche vor Pfingsten:
• Dienstag, 07.06.2011: Vorlesung entfällt (wurde in erster Semesterwoche vorgezogen)
• Mittwoch, 08.06.2011: reguläre Übung, Besprechung Blatt 4 und Abgabe dieses Aufgabenblattes (12:00 in Raum A 348/349)
• Donnerstag, 09.06.2011: Übung statt Vorlesung, Besprechung dieses Aufgabenblattes
(14:00 in Raum A 450)
Aufgabe 1: Bildladungen
Gegeben sei eine geerdete metallische Kugel (Radius R) mit dem Mittelpunkt am Ort r = 0.
Am Punkt r = r 0 (mit r0 > R) befinde sich eine Ladung q. Es sollen die elektrostatischen
Eigenschaften dieser Anordnung mit der Methode der Bildladungen untersucht werden. Dabei
werden bekanntlich anstelle der Felder, die von einer influenzierten Ladungsdichte verursacht
werden, die (identischen) Felder betrachtet, welche durch eine oder mehrere punktförmige
Bildladungen verursacht werden.
a) Man setze eine Bildladung q 0 am Ort r = r 00 an. Was folgt allein aus Symmetriegründen
für die Richtung des Vektors r 00 ? Geben Sie das aus diesem Ansatz folgende Potential
φ(r) für den Bereich r > R an als Funktion von r 0 , r 00 , q und q 0 .
b) Welche Randbedingung muss das Potential erfüllen? Bestimmen Sie daraus die Ladung
q 0 und den Vektor r 00 . Geben Sie das Potential als Funktion von r 0 und q an.
Zur Kontrolle:
s
q 0 = −q
r00
r0
und r00 =
R2
.
r0
c) Bestimmen Sie das elektrische Feld E(r) für r > R als Funktion von r 00 und q, und
bestimmen Sie den Anteil des Feldes der von der Ladung q herrührt und den Anteil,
der von der Influenzladungsdichte σ 0 herrührt.
d) Zeigen Sie, dass die Kraft K auf die Ladung q gegeben ist durch
K=−
q2R
r0
2
4π0 (r0 − R2 )2
e) Bestimmen Sie das elektrische Feld an der Oberfläche der Kugel als Funktion von r 0
und q.
f) Bestimmen Sie die influenzierte Ladungsdichte σ 0 (r 0 ) auf der Kugel als Funktion des
Ortes, und skizzieren Sie die Winkelabhängigkeit.
g) Zeigen Sie, dass die auf der Kugel influenzierte Gesamtladung Q0 gleich der Ladung q 0
ist. Bestimmen Sie das influenzierte Dipolmoment p0 bezüglich des Mittelpunktes.
Anstelle der geerdeten Kugel werde nun eine isolierte Kugel mit der Ladung Q betrachtet.
h) Geben Sie das Potential an. Inwiefern kann dafür das Superpositionsprinzip ausgenutzt
werden?
Aufgabe 2: Bilddipol (Meissner-Effekt)
Ein Punktdipol bei z = h mit nach oben gerichtetem magnetischen Moment m = mêz , m > 0 und Masse M befinde sich im
Gravitationsfeld mit Erdbeschleunigung g über einem Supraleiter,
der sich im Halbraum z ≤ 0 befinde (s. Skizze). Das vom Dipol
und dem Supraleiter insgesamt verursachte Magnetfeld B(r) muss
im Supraleiter, d.h. im Halbraum z < 0, identisch verschwinden
(das ist der so genannte Meissner-Effekt).
a) Die Bedingung eines verschwindenden Magnetfeldes im Halbraum z < 0 lässt sich durch
die Einführung eines Bilddipols mit magnetischem Moment mB = −mêz bei z = −h
erfüllen. Bestimmen Sie damit das magnetische Feld B im Halbraum z ≥ 0 explizit
in Zylinderkoordinaten r, z mit r = rêr + zêz . (Die Winkelkoordinate ϕ spielt wegen
der Rotationssymetrie um die z-Achse keine Rolle und kann daher o.B.d.A. gleich Null
gesetzt werden.) Hinweis: Ein Punktdipol m am Punkt r 0 erzeugt am Ort r ein magnetisches Feld
µ0 3[m · (r − r 0 )](r − r 0 ) − m|r − r 0 |2
B(r) =
4π
|r − r 0 |5
b) Zeigen Sie, dass das magnetische Feld B(r, z = 0) = B(r)êr in der Ebene z = 0 rein
radiale Richtung hat. Wieso muss die Normalkomponente Bz in diese Ebene verschwinden?
c) Berechnen Sie das Feld B B (r = 0, z) des Bilddipols auf der z-Achse und bestimmen Sie
die stabile gleichgewichtshöhe h0 des stromführenden Kreisrings über dem Supraleiter
aus dem Gleichgewicht zwischen der Schwerkraft und der repulsiven Kraft F = ∇(m ·
B B ) auf sein magnetisches Moment m im inhomogenen Feld des Bilddipols.
d) Berechnen Sie die Flächenstromdichte K der Abschirmströme auf der Oberfläche des
Supraleiters, die für das Verschwinden des Magnetfeldes im Bereich z < 0 verantwortlich
sind.
Hinweis: Eine Flächenstromdichte K in einer Fläche mit Normalenvector n führt aufgrund des Amper’schen Gesetzes zu einem Sprung des Magnetfeldes zwischen der unteren (B − ) und der oberen (B + ) der Grenzfläche
B + − B − = µ0 K × n
Aufgabe 3: Geladener Ring und Kreisstrom
Für quasistatische Probleme lauten die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
div E =
ρ
0
und
rot B = µ0 j
Für das über E = − grad Φ definierte elektrische Potential Φ ergibt sich daraus die Integraldarstellung
Z
1
ρ(r 0 )
Φ(r) =
d3 r0
4π0
|r − r 0 |
a) Zeigen Sie, dass unter Verwendung der Coulomb-Eichung (div A = 0) das durch B =
rot A definierte Vektorpotential A über die Beziehung
Z
µ0
j(r 0 )
A(r) =
d3 r0
4π
|r − r 0 |
mit der Stromdichte j zusammenhängt.
Im Folgenden sollen eine kreisförmige Ladungsverteilung mit Gesamtladung Q und ein Kreisstrom I auf einem um den Ursprung in der (x, y)-Ebene liegenden Kreis mit Radius a betrachtet werden.
b) Zeigen Sie durch Berechnung von |r − r 0 | und geeignete Entwicklung, dass für r a
1
1
a
0
≈
1
+
ê
·
ê
r
r
|r − r 0 |
r
r
gilt. r 0 liege dabei auf dem gerade definierten Kreis und êr und ê0r sind die radialen
Basisvektoren in Kugelkoordinaten (r, θ, φ) an den Orten r bzw. r 0 . Zeigen Sie ferner,
dass êr · ê0r = sin(θ) cos(φ − φ0 ) gilt.
c) Bestimmen Sie nun für die oben definierte kreisförmige Ladungsverteilung und den
Kreisstrom das elektrische Potential bzw. das Vektorpotential in führender nicht verschwindender Ordnung in a/r. Drücken Sie das Ergebnis für das Vektorpotential auch
mit Hilfe des magnetischen Moments m des Kreisstroms aus.
Hinweis: Für einen linienförmigen Strom I entlang des Weges C ergibt sich das Vektorpotential zu
Z
µ0
I
A(r) =
d r0
4π
|r − r 0 |
C