Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer

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Vorlesung 4:
Roter Faden:
Bisher: lineare Bewegungen
Heute: Kreisbewegung
Exp.: Märklin, Drehschemel, Präzession Rad
05.05.06
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1
Kreisbewegung
Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation
durch Winkelgeschwindigkeit und
Zentripetalbeschleunigung.
Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen
Kräfte and kinematische Größen →
Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für
Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für
lineare Bewegung ist)
Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment
M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?
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Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung
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Vektornotation
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4
Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig,
einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieser
Ebene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senkrecht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben:
v=ω x r → ω=1/r2(r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r2 ω)
ω
r
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v
5
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung
Zentripetalkraft=ma=
mω2r=mv2/r
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6
Zum Mitnehmen
Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r
ω
r
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v
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Zentripetalkraft am Äquator
Die Zentripetalkraft reduziert Gewichtskraft
Wo ist Effekt am Größten?
Wieviel weniger wiegen Sie dort?
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8
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung
Komponenten, d.h. Projektionen
der Kreisbewegung auf Achsen
sind sin und cos Funktionen!
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Zum Mitnehmen aus Kinematik
Kinematik=Beschreibung einer Bewegung
durch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
in Abhängigkeit der Zeit:
Jetzt:ϕ(t)
x(t)
ω(t)= ϕ(t)
v(t)= x(t)
α(t)= ω(t)= ϕ(t)
a(t)=v(t)=x(t)
a=konstant; v=v0+at; x=x0+v0t+1/2at2
α =konstant; ω = ω 0+ α t; ϕ = ϕ 0+ ω 0t+1/2 α t2
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Dynamik
Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation
durch Winkelgeschwindigkeit und
Zentripetalbeschleunigung.
Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen
Kräfte and kinematische Größen →
Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für
Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für
lineare Bewegung ist)
Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment
M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?
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Drehimpuls
Definiere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)=
mr2ω = J ω. J=mr2 heisst Massenträgheitsmoment .
In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkelgeschwindigkeit, ähnlich wie p = m v.
Es gilt: dL/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt
= v x mv + r x F = r x F = M
M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genannt
wird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α
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ω=1/r2(r x v)
M=r x F
r
r
v
F
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Analogien
J=Σmi ri2 = Massenträgheitsmoment(eng.: mass moment of inertia)
L=Jω = Drehimpuls oder Drall(eng.: angular momentum)
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Drehimpulserhaltung
M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr2 dω/dt
In Worten:
Das Drehmoment ist gleich der zeitlichen
Änderung des Drehimpulses.
L=mr2 ω ist der Betrag des Drehimpulses eines
umlaufenden Massenpunktes (=J ω)
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses:
Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt die
Summe der Drehimpulse eines abgeschlossenen
Systems konstant.
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Versuch Drehschemel
Trägheitsmoment für einen
spindeldürren Studenten:
∑mi r2≅0.
Gesamtträgheitsmoment
dann J=2mra2=2.2.0.8 =2.56 kgm2
Am Anfang:
Drehimpuls L=Jaωa
Nach Heranziehen der Kugeln:
L=Jeωe.
Bei Drehimpulserhaltung:
ωe=ωa (Ja/Je)=ωa(ra/re)2
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Versuch Drehschemel
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Präzessionsversuch
Beobachtung: drehendes Rad
fällt nicht, sondern dreht sich
in horizontaler Ebene.
D
R
Erklärung: Drehimpuls L hat
Tendenz sich Drehmoment M
parallel zu richten (wie Impuls
p parallel F).
Gewichtskraft übt Drehmoment
in horizontaler Richtung aus
und M=mgD=dL/dt schiebt
L in horizontale Richtung!
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Präzessionsfrequenz
Ohne Drehung: M=mg x D erzeugt Drehimpuls in
horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nach
unten bewegt. Die Änderung des Drehimpulses
bei einem drehenden Rad dL ändert Gesamtvektor L
nach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L will
sich in Richtung von M bewegen).
Es gilt: M=dL/dt
dL=L dϕ
Oder: M=Ldϕ/dt≡LωP
L=mR2 ωRad
dL
dϕ
Oder: Präzessionsfrequenz=
L
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ωP=M/L=mgD/(mR2 ωRad)
=gD/(R2 ωRad)
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Pendel
Rücktreibende Kraft Fr=mg sin α≅
mg α= mx= ml α
Lösung der Diff. Gleichung α=g/lα:
α
l
Fr α
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α=Asin(ωt), da α=Aω2 sin(ωt),
oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,
oder ω=√g/l.
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Pendel als Drehbewegung
ϕ
r
T
Drehmoment M = r x F = dL/dt=d(r x p)/dt
Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mr x dv/dt
Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r)
Oder, da a x (b x c)= b (a.c) –c (a.b),
gilt -r x g = ω r2-r (r. ω) = ω r2
Fr α
(Scalarprodukt r. ω=0 da r⊥ ω (=α)
Oder -lgsin ϕ =l2 ϕ
F=mg
g=(0,0,g) (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3/(3!)+… ≅ ϕ)
Steigung 2π/√g Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ :
ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω2 sin(ωt),
√l
Methnode um g zu messen
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oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,
oder ω=√g/l =2π/T.
Schwingungsdauer T=2π√(l/g)
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Zum Mitnehmen
ω=1/r2(r x v)
M=r x F
r
r
v
F
Bewegungsgleichungen für
Translation: ∑F=dp/dt
Rotation: ∑M=dL/dt
Drehimpuls L=r x p =mr2ω=J ω
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