Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer
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Vorlesung 7: Roter Faden: Beispiele für Kräfte: Gewichtskraft, Reibungskraft, Federkraft, Windkraft, Gravitationskraft, elektromagnetische Kraft, Zentripetalkraft, … Heute: weiter Zentripetalkraft Drehimpulserhaltung Exp. hängendes Rad, Schleuderpendel, Drehschemel 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1 Inhalt 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2 Inhalt 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3 Zum Mitnehmen aus VL 6 Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig, einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieser Ebene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senkrecht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben: v=ω x r → ω=1/r2(r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r2 ω) ω r v Experimentell stellt sich ω als nützliche dynamische Größe heraus. ω ist ‘axialer ‘ Vektor (ändert Vorzeichen unter Spiegelung) Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4 Rechte-Hand-Regel Oder KorkenzieherRegel 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5 Rotationsdynamik Bisher Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation durch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung. Jetzt: Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen Kräfte and kinematische Größen → Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist) Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p? 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6 Drehimpuls Definiere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)= mr2ω = J ω. J=mr2 heisst Massenträgheitsmoment . In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkelgeschwindigkeit, ähnlich wie p = m v. Es gilt: dL/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt = v x mv + r x F = r x F = M M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genannt wird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α 04 November 2003 ω=1/r2(r x v) M=r x F r r v Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer F 7 Analogien 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8 Beispiel Das Trägheitsmoment eines Turbinenrades beträgt 637 kg m2. Es fängt an zu wehen und der Wind ruft ein Drehmoment von 147 Nm hervor. Wie lange dauert es bis eine Drehzahl von 320 min-1 erreicht wird? Lösung: Das Drehmoment M gibt eine Winkelbeschleunigung α=M/J. Die Anlaufzeit folgt aus α=ωt oder ω=2πf= α/t=M/Jt oder t=2 πfJ/M=2 πx 320x 637/(60 x147) kgm2/Nm=145 s 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9 Zum Mitnehmen aus VL2: Kinematik=Beschreibung einer Bewegung durch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit: Jetzt:ϕ(t) x(t) ω(t)= ϕ(t) v(t)= x(t) α(t)= ω(t)= ϕ(t) a(t)=v(t)=x(t) a=constant; v=v0+at; x=x0+v0t+1/2at2 α =constant; ω = ω 0+ α t; ϕ = ϕ 0+ ω 0t+1/2 α t2 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10 Drehimpulserhaltung M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr2 dω/dt In Worten: Das Drehmoment ist gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses. L=mr2 ω ist der Betrag des Drehimpulses eines umlaufenden Massenpunktes (=J ω) Satz von der Erhaltung des Drehimpulses: Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt die Summe der Drehimpulse eines abgeschlossenen Systems konstant. 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11 Versuch Drehschemel Trägheitsmoment für einen spindeldürren Studenten: ∑mi r2≅0. Gesamtträgheitsmoment dann J=2mra2=2.2.0.8 =2.56 kgm2 Am Anfang: Drehimpuls L=Jaωa Nach Heranziehen der Kugeln: L=Jeωe. Bei Drehimpulserhaltung: ωe=ωa (Ja/Je)=ωa(ra/re)2 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12 Versuch Drehschemel 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13 Präzessionsversuch Beobachtung: drehendes Rad fällt nicht, sondern dreht sich in horizontaler Ebene. D R Erklärung: Drehimpuls L hat Tendenz sich Drehmoment M parallel zu richten (wie Impuls p parallel F). Gewichtskraft übt Drehmoment in horizontaler Richtung aus und M=mgD=dL/dt schiebt L in horizontale Richtung! 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14 Präzessionsfrequenz Ohne Drehung: M=mgD erzeugt Drehimpuls in horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nach unten bewegt. Die Änderung des Drehimpulses bei einem drehenden Rad dL ändert Gesamtvektor L nach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L will sich in Richtung M bewegen). Es gilt: M=dL/dt Oder: M=Ldϕ/dt=ω dL=Ldϕ 2 Oder: ω=M/L=mgD/mR dL dϕ L 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 15 Zum Mitnehmen ω=1/r2(r x v) M=r x F r r v F Bewegungsgleichungen für Translation: ∑F=dp/dt Rotation: ∑M=dL/dt Drehimpuls L=r x p =mr2ω=J ω 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 16
