Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer

Vorlesung 7:
Roter Faden:
Beispiele für Kräfte:
Gewichtskraft, Reibungskraft, Federkraft,
Windkraft, Gravitationskraft, elektromagnetische
Kraft, Zentripetalkraft, …
Heute: weiter Zentripetalkraft
Drehimpulserhaltung
Exp. hängendes Rad, Schleuderpendel,
Drehschemel
04 November 2003
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Inhalt
04 November 2003
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Inhalt
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Zum Mitnehmen aus VL 6
Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig,
einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieser
Ebene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senkrecht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben:
v=ω x r → ω=1/r2(r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r2 ω)
ω
r
v
Experimentell stellt sich ω
als nützliche dynamische
Größe heraus.
ω ist ‘axialer ‘ Vektor
(ändert Vorzeichen unter Spiegelung)
Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r
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Rotationsdynamik
Bisher Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation
durch Winkelgeschwindigkeit und
Zentripetalbeschleunigung.
Jetzt: Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen
Kräfte and kinematische Größen →
Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für
Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für
lineare Bewegung ist)
Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment
M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?
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Drehimpuls
Definiere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)=
mr2ω = J ω. J=mr2 heisst Massenträgheitsmoment .
In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkelgeschwindigkeit, ähnlich wie p = m v.
Es gilt: dL/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt
= v x mv + r x F = r x F = M
M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genannt
wird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α
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ω=1/r2(r x v)
M=r x F
r
r
v
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F
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Analogien
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Beispiel
Das Trägheitsmoment eines Turbinenrades beträgt
637 kg m2. Es fängt an zu wehen und der Wind ruft
ein Drehmoment von 147 Nm hervor.
Wie lange dauert es bis eine Drehzahl von 320 min-1
erreicht wird?
Lösung: Das Drehmoment M gibt eine Winkelbeschleunigung α=M/J. Die Anlaufzeit folgt aus ω = α t oder
ω=2πf= α/t=M/Jt oder t=2 πfJ/M=2 πx 320x 637/(60 x147)
kgm2/Nm=145 s
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Zum Mitnehmen aus VL2:
Kinematik=Beschreibung einer Bewegung
durch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
in Abhängigkeit der Zeit:
Jetzt:ϕ(t)
x(t)
ω(t)= ϕ(t)
v(t)= x(t)
α(t)= ω(t)= ϕ(t)
a(t)=v(t)=x(t)
a=constant; v=v0+at; x=x0+v0t+1/2at2
α =constant; ω = ω 0+ α t; ϕ = ϕ 0+ ω 0t+1/2 α t2
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Drehimpulserhaltung
M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr2 dω/dt
In Worten:
Das Drehmoment ist gleich der zeitlichen
Änderung des Drehimpulses.
L=mr2 ω ist der Betrag des Drehimpulses eines
umlaufenden Massenpunktes (=J ω)
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses:
Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt die
Summe der Drehimpulse eines abgeschlossenen
Systems konstant.
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Versuch Drehschemel
Trägheitsmoment für einen
spindeldürren Studenten:
∑mi r2≅0.
Gesamtträgheitsmoment
dann J=2mra2=2.2.0.8 =2.56 kgm2
Am Anfang:
Drehimpuls L=Jaωa
Nach Heranziehen der Kugeln:
L=Jeωe.
Bei Drehimpulserhaltung:
ωe=ωa (Ja/Je)=ωa(ra/re)2
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Versuch Drehschemel
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Präzessionsversuch
Beobachtung: drehendes Rad
fällt nicht, sondern dreht sich
in horizontaler Ebene.
D
R
Erklärung: Drehimpuls L hat
Tendenz sich Drehmoment M
parallel zu richten (wie Impuls
p parallel F).
Gewichtskraft übt Drehmoment
in horizontaler Richtung aus
und M=mgD=dL/dt schiebt
L in horizontale Richtung!
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Präzessionsfrequenz
Ohne Drehung: M=mg x D erzeugt Drehimpuls in
horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nach
unten bewegt. Die Änderung des Drehimpulses
bei einem drehenden Rad dL ändert Gesamtvektor L
nach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L will
sich in Richtung von M bewegen).
Es gilt: M=dL/dt
dL=L dϕ
Oder: M=Ldϕ/dt≡LωP
L=mR2 ωRad
dL
dϕ
Oder: Präzessionsfrequenz=
L
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ωP=M/L=mgD/(mR2 ωRad)
=gD/(R2 ωRad)
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Pendel als Drehbewegung
r
T
Drehmoment M = r x F = dL/dt=d(r x p)/dt
Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mr x dv/dt
Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r)
ϕ
Oder, da a x (b x c)= b (a.c) –c (a.b),
gilt -r x g = ω r2-r (r. ω) = ω r2
Fr α
(Scalarprodukt r. ω=0 da r⊥ ω (=α)
Oder -lgsin ϕ =l2 ϕ
F=mg
g=(0,0,g) (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3/(3!)+… ≅ ϕ)
Steigung 2π/√g Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ :
ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω2 sin(ωt),
√l
Methnode um g zu messen
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oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,
oder ω=√g/l =2π/T.
Schwingungsdauer T=2π√(l/g)
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Zum Mitnehmen
ω=1/r2(r x v)
M=r x F
r
r
v
F
Bewegungsgleichungen für
Translation: ∑F=dp/dt
Rotation: ∑M=dL/dt
Drehimpuls L=r x p =mr2ω=J ω
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