Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer

Vorlesung 4:
Roter Faden:
Bisher: lineare Bewegungen
Heute: Kreisbewegung
Exp.: Märklin, Drehschemel, Präzession Rad
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
1
Kreisbewegung
Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation
durch Winkelgeschwindigkeit und
Zentripetalbeschleunigung.
Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen
Kräfte and kinematische Größen →
Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für
Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für
lineare Bewegung ist)
Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment
M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
2
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
3
Vektornotation
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
4
Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig,
einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieser
Ebene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senkrecht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben:
v=ω x r → ω=1/r2(r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r2 ω)
ω
r
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
v
5
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung
Zentripetalkraft=ma=
mω2r=mv2/r
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
6
Zum Mitnehmen
Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r
ω
r
05.05.06
v
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
7
Zentripetalkraft am Äquator
Die Zentripetalkraft reduziert Gewichtskraft
Wo ist Effekt am Größten?
Wieviel weniger wiegen Sie dort?
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
8
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung
Komponenten, d.h. Projektionen
der Kreisbewegung auf Achsen
sind sin und cos Funktionen!
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
9
Zum Mitnehmen aus Kinematik
Kinematik=Beschreibung einer Bewegung
durch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
in Abhängigkeit der Zeit:
Jetzt:ϕ(t)
x(t)
ω(t)= ϕ(t)
v(t)= x(t)
α(t)= ω(t)= ϕ(t)
a(t)=v(t)=x(t)
a=konstant; v=v0+at; x=x0+v0t+1/2at2
α =konstant; ω = ω 0+ α t; ϕ = ϕ 0+ ω 0t+1/2 α t2
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
10
Dynamik
Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation
durch Winkelgeschwindigkeit und
Zentripetalbeschleunigung.
Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen
Kräfte and kinematische Größen →
Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für
Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für
lineare Bewegung ist)
Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment
M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
11
Drehimpuls
Definiere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)=
mr2ω = J ω. J=mr2 heisst Massenträgheitsmoment .
In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkelgeschwindigkeit, ähnlich wie p = m v.
Es gilt: dL/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt
= v x mv + r x F = r x F = M
M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genannt
wird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α
05.05.06
ω=1/r2(r x v)
M=r x F
r
r
v
F
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
12
Analogien
J=Σmi ri2 = Massenträgheitsmoment(eng.: mass moment of inertia)
L=Jω = Drehimpuls oder Drall(eng.: angular momentum)
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
13
Drehimpulserhaltung
M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr2 dω/dt
In Worten:
Das Drehmoment ist gleich der zeitlichen
Änderung des Drehimpulses.
L=mr2 ω ist der Betrag des Drehimpulses eines
umlaufenden Massenpunktes (=J ω)
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses:
Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt die
Summe der Drehimpulse eines abgeschlossenen
Systems konstant.
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
14
Versuch Drehschemel
Trägheitsmoment für einen
spindeldürren Studenten:
∑mi r2≅0.
Gesamtträgheitsmoment
dann J=2mra2=2.2.0.8 =2.56 kgm2
Am Anfang:
Drehimpuls L=Jaωa
Nach Heranziehen der Kugeln:
L=Jeωe.
Bei Drehimpulserhaltung:
ωe=ωa (Ja/Je)=ωa(ra/re)2
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
15
Versuch Drehschemel
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
16
Präzessionsversuch
Beobachtung: drehendes Rad
fällt nicht, sondern dreht sich
in horizontaler Ebene.
D
R
Erklärung: Drehimpuls L hat
Tendenz sich Drehmoment M
parallel zu richten (wie Impuls
p parallel F).
Gewichtskraft übt Drehmoment
in horizontaler Richtung aus
und M=mgD=dL/dt schiebt
L in horizontale Richtung!
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
17
Präzessionsfrequenz
Ohne Drehung: M=mg x D erzeugt Drehimpuls in
horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nach
unten bewegt. Die Änderung des Drehimpulses
bei einem drehenden Rad dL ändert Gesamtvektor L
nach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L will
sich in Richtung von M bewegen).
Es gilt: M=dL/dt
dL=L dϕ
Oder: M=Ldϕ/dt≡LωP
L=mR2 ωRad
dL
dϕ
Oder: Präzessionsfrequenz=
L
05.05.06
ωP=M/L=mgD/(mR2 ωRad)
=gD/(R2 ωRad)
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
18
Pendel
Rücktreibende Kraft Fr=mg sin α≅
mg α= mx= ml α
Lösung der Diff. Gleichung α=g/lα:
α
l
Fr α
05.05.06
α=Asin(ωt), da α=Aω2 sin(ωt),
oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,
oder ω=√g/l.
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
19
Pendel als Drehbewegung
ϕ
r
T
Drehmoment M = r x F = dL/dt=d(r x p)/dt
Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mr x dv/dt
Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r)
Oder, da a x (b x c)= b (a.c) –c (a.b),
gilt -r x g = ω r2-r (r. ω) = ω r2
Fr α
(Scalarprodukt r. ω=0 da r⊥ ω (=α)
Oder -lgsin ϕ =l2 ϕ
F=mg
g=(0,0,g) (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3/(3!)+… ≅ ϕ)
Steigung 2π/√g Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ :
ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω2 sin(ωt),
√l
Methnode um g zu messen
05.05.06
oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,
oder ω=√g/l =2π/T.
Schwingungsdauer T=2π√(l/g)
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
20
Zum Mitnehmen
ω=1/r2(r x v)
M=r x F
r
r
v
F
Bewegungsgleichungen für
Translation: ∑F=dp/dt
Rotation: ∑M=dL/dt
Drehimpuls L=r x p =mr2ω=J ω
05.05.06
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer
21