- Eine neue Herangehensweise zur Quantengravitation

Eine neue Herangehensweise zur
Quantengravitation
Über die Masse der Fermionen und Bosonen
Axel D. Nelke
8. Februar 2016
Für die Entstehung der Masse der Fermionen und der Masseverhältnise zueinander wird ein Zusammenhang hergestellt. Es wird die Möglichkeit einer
Bewegung auf der Zeitachse für ein neues unbekanntes Teilchen als Grundlage
einer quantenmechanischen Beschreibung der Gravitation vorgestellt. Gleichzeitig wird mit einer möglichen Erklärung für die Entstehung der dunklen Materie und Energie auch der fehlende Nachweis des Gravitons erklärt. Darüber
hinaus wird die Existenz weiterer Teilchen diskutiert.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Methodik
2.1 Vorbereitungen und Bestimmung des Potentials im 4 dimensionalen Raum
2.1.1 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bewegungsgleichungen auf den Raumachsen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bewegungsgleichungen auf der Zeitachse . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Die Einsteinsche Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Zeitdilatation und Gravitationspotential . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vorbereitungen zur Schrödinger Gleichung des Ur-Teilchens . . . . . .
2.2.1 Hamilton Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Schrödinger Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Vorschlag einer Dirac Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15
3 Berechnungen und Ergebnisse
15
3.1 Berechnungen entsprechend der klassischen Physik . . . . . . . . . . . . . 15
4 Diskussion
20
1
Literatur
23
1 Einleitung
Abbildung 1: Standard Modell der Elementarteilchen (MissMJ)
Wie Abbildung 1 zeigt sind im Standardmodell die Fermionen (Quarks und Leptonen) in Generationen zusammengefasst. Die Fermionen mit gleichen Eigenschaften (z.B.
Ladung, Spin) haben als einzigen Unterschied eine von Generation zu Generation zunehmende Masse. Die Teilchen mit äquivalenten Eigenschaften in allen drei Generationen
werden im Folgenden zusammengefasst als Gruppe bezeichnet.
Die Zunahme der Masse von Generation zu Generation der Fermionen in einer Gruppe
erinnert an verschiedene Energieniveaus in einem quantenmechanischen Schwingungsmodell, zum Beispiel die Energieniveaus der Elektronen in einem Wassersto↵atom. Grundsätzlich wird in dieser Arbeit die Vorstellung damit verbunden, dass alle drei Fermionen
einer Gruppe nur durch ein Teilchen, welches jetzt neu zu definieren wäre, in verschiedenen Schwingungszuständen zurückgeführt werden kann. Dieses zu vermutende neue
Teilchen wird im Folgenden als Ur-Teilchen bezeichnet. Das Ur-Teilchen würde alle Eigenschaften der entsprechenden Generation haben. Dadurch sind diese Eigenschaften für
die jeweils drei Fermionen einer Gruppe gleich. Nur die Masse der einzelnen Fermionen ist
durch die verschiedenen Schwingungsniveaus unterschiedlich. Diese Ur-Teilchen würden
für jede Gruppe existieren, also gäbe es insgesamt drei verschiedene Ur-Teilchen. Die
2
kinetische Energie der Ur-Teilchen, gebunden in den Schwingungszuständen, entspräche
den Energieniveaus. Mit seiner in der Schwingung gebundenen Energie in dem jeweiligen Schwingungsniveau entspräche dies der dunklen Materie der einzelnen Fermionen
der jeweiligen Gruppe. Die eigene Masse dieses Ur-Teilchens, die ebenfalls zur Masse der
Fermionen nicht beiträgt, wird der dunklen Materie des Kosmos ebenfalls zugeordnet.
Grundsätzlich wird ein 4-dimensionaler Raum, bestehend aus drei Raumdimensionen
und einer Zeitdimension vorausgesetzt. Dies wird speziell deswegen angenommen, weil in
der allgemeinen und speziellen Relativitätstheorie von einer 4-dimensionalen Raumzeit
ausgegangen wird und dies jeweils zu genauen Resultaten führt.
Auf der Basis der Riemannschen Di↵erentialgeometrie wäre im 4-dimensionalen Raum
eine Veränderung der Position, auf jeder einzelnen der Achsen, möglich. Eine Veränderung
der Position auf einer der Raumachsen (z.B. x) in Bezug zur Zeitachse ct ergibt eine Gex
schwindigkeit v = ct
. Eine Veränderung einer Position auf der Zeitachse ließe sich durch
einen Bezug zu einer der Raumachsen als eine hierzu inverse Geschwindigkeit vct darstellen. Diese Geschwindigkeit wäre invers in den Dimensionen zu einer Geschwindigkeit
v auf einer der Raumachsen. Durch Zuhilfenahme der Lichtgeschwindigkeit c wäre sie
dimensionslos. Die Geschwindigkeit vct auf der Zeitachse wäre:
ct
c
= .
(1)
r
v
Eine Bewegung einer Position auf der Zeitachse kann zugelassen werden, ohne dabei eine
Verletzung der Geometrie herbeizuführen oder Einschränkungen in den mathematischen
Voraussetzungen vorzunehmen. In jedem Punkt der Raum-Zeit wird ein lokal existierendes annähernd ebenes Koordinatensystem vorausgesetzt. Es wird postuliert, dass die
gleichen Zusammenhänge der speziellen Relativitätstheorie invers existieren. Die weiteren Betrachtungen beziehen sich daher auf einen Minkowskiraum und damit bedingt,
im Unterschied zum zeitartigen Segment für v, handelt es sich für vct um das raumartige Segment. Das inverse Verhältnis zwischen dem zeitartigen und raumartigen Segment
bezieht sich nur auf die Geschwindigkeiten und nicht auf die Massen, welche identisch
behandelt werden. Auch wird vorausgesetzt, dass die Physik mit den bekannten Formeln
der klassischen Mechanik und Relativitätstheorie, im inversen Sinn in gleichem Maße für
Geschwindigkeiten vct im raumartigen Segment gültig sind.
Die Vorstellung ist nun, dass in der 4-dimensionalen Raumzeit eine aus den Raumachsen gebildete 3-dimensionale Hyperebene existiert. Diese Hyperebene umfasst das
gesamte Universum. Die Zeitachse steht orthogonal auf dieser 3-dimensionalen Hyperebene. Der Energieerhaltungssatz erfordert, dass weder Energie noch Masse diese 3dimensionale Hyperebene dauerhaft verlässt. Die einzige Einschränkung wird durch
die Unschärferelation vorgegeben, welche eine zeitlich befristete Ausnahme vom Energieerhaltungssatz möglich macht. Im 4-dimensionalem Raum ist eine Verteilung von
Masse oder Energie nur in der auf der Zeitachse als unendlich dünn erscheinenden 3dimensionalen (räumlichen) Hyperebene vorgegeben. Es wird angenommen, dass diese
Hyperebene durch den Ursprung eines Koordinatensystems des Minkowskiraumes und
damit dem Nullpunkt der Zeitachse geht und Energie oder Masse ausschließlich auf
dieser Hyperebene liegen wird. Für dieses hypothetische Modell wird die gesamte Enervct =
3
gie und Masse des Universums in ihrer Verteilung in der 3-dimensionalen Hyperebene
des Universums als einigermaßen gleichmäßig verteilt angenommen. Für die weitere Betrachtung soll es auch unerheblich sein, welche Form das Universum im 4-dimensionalen
Raum hat. Betrachtet wird ein hinreichend kleiner Bereich, so dass eine Krümmung des
Universums an dieser Stelle vernachlässigbar wird.
Für Schwingungen mit verschiedenen Energieniveaus bedarf es eines Potentials oder
einer Potentialdi↵erenz. Da bisher ein Graviton nicht nachweisbar war, ist eine gewagte
naheliegende Vermutung, dass eine Wechselwirkung ausschließlich auf der Zeitachse und
nicht auf einer oder allen drei räumlichen Achsen stattfindet. Dabei handelt es sich um
eine eindimensionale Wechselwirkung. Die Wechselwirkung einer Masse auf der Zeitachse würde mit dem dazugehörigen Eichboson, dem Graviton, stattfinden. Die homogen
verteilte Masse in der 3-dimensionalen Hyperebene hat die Möglichkeit einer Wechselwirkung mit Energie oder Masse nur auf der Zeitachse. Unter diesen Voraussetzungen wird
postuliert, dass das Ur-Teilchen sich auf der Zeitachse bewegen und die 3-dimensionale
Hyperebene auf der Zeitachse verlassen kann. Es erfährt eine Wechselwirkung in einem Gravitationsfeld, welches vom Universum auf der Zeitachse ausgeht, und wird auf
die 3-dimensionale Hyperebene zurückbewegt. Dabei wird das Ur-Teilchen beschleunigt
und hat eine zunehmende Geschwindigkeit vct in die Richtung der Hyperebene des Universums. In dem Gedankenexperiment durchquert das Ur-Teilchen die 3-dimensionale
Hyperebene. Auf der anderen Seite entfernt sich das Ur-Teilchen wieder von der Hyperebene und verliert seine Geschwindigkeit vct durch die Gravitation und kehrt im
Umkehrpunkt wieder zurück zur Hyperebene des Universums. Der Vorgang wiederholt
sich und es entsteht eine Schwingung. Auch gäbe es zu der Schwingung möglicherweise
ein Drehmoment in einer Ebene, welche durch die Zeitachse und einer der drei Raumachsen aufgespannt wird. Das Ur-Teilchen pendelt durch die 3-dimensionale Hyperebene
des Universums unter dem Einfluss des Drehmomentes nicht genau durch einen Punkt
hindurch. Durch dieses Drehmoment tritt das Ur-Teilchen immer wieder an verschiedenen Stellen der 3-dimensionalen Hyperebene hindurch, immer in einem kleinen Umfeld
um ein Zentrum, dem Durchtrittspunkt. In der 3 dimensionalen Hyperebene ist das
Ur-Teilchen damit di↵us (gleichzeitig an verschiedenen Orten) und nur mit bestimmten
unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für seinen Aufenthalt an verschiedenen Stellen
präsent. Unter dieser Vorstellung ist vielleicht eine andere Erklärung für die Heisenbergsche Unschärferelation möglich als Ausdruck dieses Drehmomentes des durch die
3-dimensionalen Hyperebene hindurch pendelnden Ur-Teilchens:
~.
p·x
Möglicherweise ist der Zusammenhang auch eine wichtige Grundlage des Tunnele↵ekts.
Das Ur-Teilchen würde über einen Umweg unter Zuhilfenahme der Zeitachse eine Potential Barriere überwinden.
Das Universum dehnt sich kontinuierlich aus, sowohl auf der Zeitachse als auch auf allen Raumachsen. Dies geschieht für alle Achsen gleichermaßen; die Lichtgeschwindigkeit
ist konstant und gibt das Verhältnis einer der Raumachsen zur Zeitachse wieder. Unter
der Voraussetzung, dass ein Teilchen, z.B. das Ur-Teilchen, auf der Zeitachse schwingen
4
kann ( in der Betrachtung äquivalent z..B. zu einer Schwingung auf einer der Raumachsen, wie dem harmonischen Oszillator) und durch eine kontinuierliche Ausdehnung
des Universums auf allen Achsen, entsteht der kontinuierliche Ablauf im raumartigen
Segment. Durch eine kontinuierliche Bewegung auf der Raumachse entsteht das gleiche
Bild z.B. wie bei einer Schwingung auf der Zeitachse im raumartigen Segment, nur mit
dem Unterschied, dass die Raum- und Zeitachse vertauscht sind. Das Schwingende UrTeilchens stellt sich im zeitartigen Segment als ein Fermion dar. Wenn auf der Raumachse
auch eine Schwingung des Fermions entsteht, wie z.B. bei einem harmonischen Oszillator,
so überlagern sich die beiden Schwingungen.
Das hier vorgestellte Modell geht von der Vorstellung aus, dass von der Lichtlinie
ausgehend Ur-Teilchen Geschwindigkeiten höher als die Lichtgeschwindigkeit annehmen
können. Dabei sind die Massen der Fermionen größer, je weiter sich die dazugehörigen
Schwingungsebenen im raumartigen Segment den Raumachsen annähern. Die Schwingungsniveaus bauen sich aber hierzu entgegengesetzt von den Raumachsen ausgehend
in Richtung der Lichtgeschwindigkeit auf, sodass das geringste Schwingungsniveau das
Fermion mit der größten Masse im zeitartigen Segment repräsentiert und im raumartigen Segment die geringste Energie aufweist und umgekehrt. Die relativistische Masse des
Ur-Teilchens im raumartigen Segment ist für das leichteste Fermion, z.B. das Elektron
am größten. Es befindet sich im höchsten Schwingungsniveau im raumartigen Segment.
In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die durch Energie oder Masse entstehende Krümmung des Raumes mit der Riemannschen Di↵erentialgeometrie nicht als Auswirkung einer Wechselwirkung beschrieben [Raschewski, 1995]. Die Veränderungen der
Krümmungen im 4-dimensionalen Raum ist der Masse als Eigenschaft zugeordnet. Durch
eine nur auf der Zeitachse bestehenden Wechselwirkung, von einer Masse ausgehend,
könnte erklärt werden, wie sich die Krümmung der Achsen ergibt. Die Amplituden einer
Schwingung auf der Zeitachse sind je nach Größe des Potentials unterschiedlich groß.
Dies könnte einer unterschiedlichen physikalischen ,,Kontraktion” oder Krümmung der
Zeitachse entsprechen. Verstärkt sich die Kraft, weil die Masse des Universums größer
ist, entspricht dies einer Verkürzung der Bewegungsauslenkung auf der Zeitachse des
obigen Beispiels.
Ein im zeitlichen Segment bewegtes Fermion mit einem schwingenden Ur-Teilchen im
räumlichen Segment, mit einer bestimmten Geschwindigkeit vct , hat im Vergleich zu einem ruhenden Teilchen ein gedrehtes Koordinatensystem. Das schwingende Ur-Teilchen
wird sich mit abnehmender Geschwindigkeit vct seiner Schwingung im raumartigen Segment stärker neigen und der 3 dimensionalen Hyperebene annähern. Für den raumartigen Abschnitt entspräche dies einer Reduzierung der Geschwindigkeit vct , und aus der
Sicht des zeitartigen Segmentes wäre dies eine Annäherung an eine unendlich hohe Geschwindigkeit v. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie würde das Ur-Teilchen eine
deutlich längere Strecke im 4-dimensionalem Raum zurücklegen um die gleiche Höhe auf
der Zeitachse zu erreichen. Es entsteht hierdurch die Verlängerung der Eigenzeit eines
Teilchens, wie dies auch von der speziellen Relativitätstheorie beschrieben wird. Die Eigenzeit des Elektrons ist am geringsten von den Leptonen. Die schwereren Fermionen
haben für ihre Schwingung eine geringere Distanz auf der Zeitachse. Es sind geringere
Schwingungsniveaus. Das Ur-Teilchen hat hierzu eine langsamere Geschwindigkeit und
5
eine geringere relativistische Massezunahme. Das bedeutet aber auch, dass die dunkle
Materie geringer ist. Die Zeitachse ist verlängert und damit die Eigenzeit.
An diesem Modell ist auch die Auswirkung einer Änderung der Gravitationskraft
durch ein z.B. zusätzliches Gravitationsfeld erkennbar. Dies würde ebenso einer stärkeren
Neigung der Bewegungsrichtung des schwingenden Ur-Teilchen entsprechen. Die Bewegungsrichtung der Schwingung des hypothetischen Ur-Teilchens nähert sich der 3dimensionalen Hyperebene durch die von ihr ausgehenden stärkeren Kraft an. Eine Vermehrung der kinetischen Energie, indem das Fermion im 3-dimensionalen Raum eine bestimmte Geschwindigkeit annimmt, führt nach der zugrunde gelegten Vorstellung auch
zu einer größeren Neigung der Oszillation eines Ur-Teilchens. Eine verstärkte Gravitationskraft auf der Zeitachse wäre vergleichsweise in der Wirkung nicht unterscheidbar
von einer Geschwindigkeit bedingten Drehung oder Neigung der Schwingung eines UrTeilchens. Das heißt, der Einfluss einer Masse und der einer Geschwindigkeit sind in
ihrer Wirkung auf das schwingende Ur-Teilchen gleich. Über eine Raumachse gibt es
keine Wechselwirkung. Das heißt auch, dass durch eine größere Gravitationskraft für
Ur-Teilchen der Abstand für die Schwingung auf der Zeitachse kleiner wird und damit
für die Fermionen die Zeitachse verlängert erscheint.
Speziell für Photonen besteht diese Überlagerung zu gleichen Teilen aus der Schwingung im räumlichen und im zeitlichen Segment. Das Verhältnis der Raum- und Zeitachsen zueinander wird durch die Lichtgeschwindigkeit festgelegt. Das heißt, die Photonen
(ohne Masse) bewegen sich auf dieser Grenze zwischen den Segmenten, weil bei einer Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit ein Gleichgewicht zwischen der Energie im räumlichen
und im zeitlichen Segment besteht.
Eine renormierbare quantenmechanische Beschreibung der Gravitation ist bisher nicht
möglich, solange keine Wechselwirkung und Schwingung beschrieben werden kann. Mit
Hilfe der obigen Vorstellung eines auf der Zeitachse schwingendes Ur-Teilchens wäre ein
eindimensionales quantenmechanisches Schwingungsmodell entwickelbar [Misner et al.,
1973, Messiah, 1990, 1991, Fredenhagen et al., 2007]. Auf anderer Grundlage gibt es
verschiedene Gedankenmodelle zur Quantengravitation [Vacaru, 2013, Hansson, 2012,
Kiefer, 2007] und einen guten Überblick über die grundlegende Problematik in nachfolgenden Arbeiten zu finden: Amelino-Camelia [2008], Amelino-Camelia et al. [2010]. Sehr
nahe an die obigen Vorstellungen kommt ein Ansatz mit einem hypothetischen als steriles Neutrino bezeichnetes Teilchen, als Erweiterung des Standardmodells [Yang, 2013,
Mavromatos, 2011b, Munyaneza and Biermann, 2007, Munyaneza, 2007].
Die Loop-Quantengravitation [Rovelli, 2011, Susskind, 2003, Thiemann, 2007] und
Stringtheorie (M-Theorie) sind bisher von breiterem Interesse und liefern eine umfassende unabhängige [Giovannini, 2008, Smolin, 2003, 2010, Hamber, 2009, Mavromatos, 2010]
Grand Unified Theory. Dabei ist immer noch kein absoluter Bezug zu bekannten Parametern (Lichtgeschwindigkeit, Plancksches Wirkungsquantum, Gravitationskonstante
usw.) möglich. Auch werden für die Stringtheorie elf Dimensionen benötigt.
Im Weiteren sind die Hintergründe für die dunkle Energie und dunkle Masse unklar
und lassen die Phantasie zu, dass es sich hierbei vielleicht um die aus Ur-Teilchen bestehende Masse und deren kinetische Energie handelt. Mit dem fehlenden Nachweis in
der uns bekannten 3 dimensionalen Welt. Auch hierzu gibt es zahlreiche Ansätze, die
6
das sterile Neutrino als Ursache vermuten. Es ist möglich, dass das Ur-Teilchen mit
dem sterilen Neutrino identisch sein könnte [Unwin, 2012, Yang, 2013, Sanders, 2010,
Mavromatos, 2011a, Enstrom et al., 1998].
Die zu beantwortenden Fragestellungen:
1. Wie könnte eine quantenmechanische Erklärung der Masse der Fermionen (Leptonen
und Quark Generationen) aussehen?
2. Gibt es eine mögliche Erklärung für den fehlenden Nachweis der Gravitonen?
3. Gibt es Hinweise für eine theoretische Zuordnung der dunklen Materie und Energie
zu den bekannten Elementarteilchen?
2 Methodik
2.1 Vorbereitungen und Bestimmung des Potentials im 4 dimensionalen
Raum
In der Stringtheorie lässt sich mit Hilfe einer erheblichen Anzahl zusätzlicher Dimensionen das bekannte Spektrum der Masseverteilung der Fermionen darstellen [Zwiebach,
2004, Krishnan, 2006, Taylor, 2006]. Ein einfacherer Ansatz für nur 4 Dimensionen wird
mit Hilfe des nachfolgenden Potentials versucht darzustellen. Für die Berechnungen wird
eine unendlich ausgedehnte 3 dimensionale räumliche Hyperebene, das Universum mit
homogener Massedichte beinhaltend, vorausgesetzt. Im Minkowskiraum, der als Grundlage für das Gedankenmodell genommen wird, ist im zeitlichen Bereich vor oder hinter
der 3-dimensionalen Hyperebene keine Masse oder Energie verteilt (d.h. nicht in positiver
und auch nicht in negativer Richtung).
Die Feldstärke für eine Gravitationswechselwirkung auf der Zeitachse, die eine 3 dimensionale Hyperebene mit einer homogenen Masseverteilung im räumlichen Bereich im
Minkowskiraum bewirkt, ist nicht bekannt.
Dieh Berechnung
des Potentials ct der Gravitation auf der Zeitachse mit der Dimeni
⇥ ⇤
s2
sion m
und
der
Feldstärke
Ect gr ms2 des Gravitationsfeldes auf der Zeitachse muss
2
mit dem räumlichen Vektor r (abhängig nur
i x, y, z) und der Zeitachse t erfolgen.
h von
kg
Hierzu muss die Flächendichte der Masse sv m3 des Universums sowie einer Proportioh 2 i
s
nalitätskonstanten kct gr kg⇧m
der Gravitation zusätzlich bekannt sein.
Es wird für die im Ergebnisteil durchgeführten Berechnungen ein Potential ct , welches linear abhängig ist vom Abstand auf der Zeitachse von der 3 dimensionalen Hyperebene, benutzt. In der Elektrostatik ist das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten,
homogen geladenen Fläche konstant und das elektrische Potential linear abhängig vom
Abstand zu dieser Fläche. Mit einer analogen Annahme werden im Ergebnisteil die Berechnungen mit einem linear vom Abstand zur 3-dimensionalen Hyperebene abhängigem
Potential ct fortgesetzt.
Komplizierend muss berücksichtigt werden, dass die Gravitation generell mit Energie,
7
nicht nur als Masse, sondern auch als kinetischer Energie wechselwirkt. Die Beschleunigung des Ur-Teilchens im Gravitationsfeld bewirkt eine Zunahme der kinetischen Energie. Die Zunahme der kinetischen Energie, die zusätzlich durch die Gravitation angezogen
wird, ergibt einen exponentiellen Energiezuwachs eines beschleunigten Ur-Teilchens.
2.1.1 Spezielle Relativitätstheorie
Für die Länge x� im bewegten System mit der zeitartigen Geschwindigkeit v und x im
ruhenden System gilt bekanntermaßen
r
v2
x� = x 1
(2)
c2
und analog für die Zeit
Für die kinetische Energie E gilt
t�= q
1
t
mc2
E=q
2
1 vc2
v2
c2
.
(3)
mc2 .
(4)
Im raumartigen Segment des Minkowskiraumes ist, gemäß der obigen Überlegungen
in der Einleitung, ein Vertauschen der Rollen von x und t entstanden. Die Geschwindigkeit im raumartigen Segment ist zur Unterscheidung von v im zeitartigen Segment
mit vct bezeichnet. Die Gültigkeit der speziellen Relativitätstheorie wird für alle Segmente des Minkowskiraumes angenommen. Damit folgt auch folgend die inverse Lorentz
Transformation der Achsen:
r
q
c2
2
t� = t 1
=
t
1 vct
(5)
v2
und
Die kinetische Energie E ct
Ect =
x
x
x� = q
=p
.
(6)
2
2
1 vct
1 vc 2
h
i
kg·s2
des Ur-Teilchens m0 ist im raumartigen Segment
2
m
m
q 0
c2 1
c2
v2
m0
m0
= p
2
2
c2
c 1 vct
E = Ect · c4 .
8
m0
,
c2
(7)
(8)
2.1.2 Bewegungsgleichungen auf den Raumachsen
Das Newtonsche Gravitationsgesetz kann approximativ hergeleitet werden aus den Gleichungen der Riemannschen Di↵erentialgeometrie. Mit diesem Ansatz ist es möglich die
Gravitationskräfte ausschließlich auf eine Veränderung der Zeitachse zurückzuführen
[Pauli, 1963b]. Anschließend, im folgenden Kapitel, wird versucht, analog eine entsprechende Herleitung für ein Äquivalent im raumartigen Segment vorzunehmen.
Mit Energie oder Masse ist im Sinne der allgemeinen Relativitätstheorie eine Raumkrümmung verbunden. Die Raumkrümmung erzeugt eine Beschleunigung in Bezug auf
eine andere Masse oder Energie, so dass ein Potential entsteht. Alle in diesem Kapitel
aufgeführten Gleichungen beziehen sich auf das zeitartige Segment des Minkowskiraumes. Das 4-dimensionale Linienelement s ist definiert durch
s 2 = x2 + y 2 + z 2
c 2 t2 ,
(9)
Das Quadrat des invarianten Linienelementes, in krummlinigen Koordinaten ausgedrückt, ist ds2 = gmn dxm dxn . Für die Entwicklung der Bewegungsgleichungen im 4dimensionalen Raum für einen Massepunkt ist die Gleichung für die geodätischen Linien
der Riemannschen Di↵erentialgeometrie entscheidend [Pauli, 1963a]. Diese ist
d2 xi
+
d2 s
dxs
=0
ds ds
i dx
r,s
r
(10)
Hier durchlaufen die Indizes i, k, r, s die Werte 1,2,3,4 und für die 4 Raum-Zeit-Komponenten
gik , welche die Matrixelemente des metrischen Tensor�s definieren, ebenso. Die Christo↵el Symbole definieren die Größen der geodätischen Komponenten für die Raumkrümmung des Bezugssystems.
Auch die bekannten nachfolgenden zwei Beziehungen sind notwendig:
i,rs
= gik
k
rs
(11)
und
1
2
✓
gir
gis
+ r
xs
x
grs
xi
◆
=
i,rs
.
(12)
Für langsame Geschwindigkeiten v und schwache Gravitationspotentiale im zeitartigen
2
Segment kann eine Vereinfachung vorgenommen werden. vc2 ist sehr klein und kann
vernachlässigt werden, und bei schwachem Gravitationsfeld weichen die Werte für gik
nur wenig von ihren Normalwerten ab. Diese sind gik = +1, für i = k = 1, 2, 3, sowie
g44 = 1 und gik = 0 für i 6= k .
Für die Berechnungen der relativistischen Feldgleichungen wird die räumliche Distanz
mit r = x + y + z eingesetzt und dadurch s mit s2 = r2 c2 t2 nach Umwandlungen
häufig für weitere Berechnungen genutzt mit:
r
c 2 t2
ds = dr 1
r2
9
oder
r
r2
1.
c 2 t2
Aus Gleichung 10 auf der vorherigen Seite wird jetzt durch r = s = 4 aus xr = ct
sowie ausxs = ct. Für i = 1, 2, 3 wird aus xi die Raumachse r:
ds = dct
d2 r
= c2 i44 .
(13)
dt2
In einem statischen Feld können die zeitlichen Ableitungen, weil sie den Wert Null
bekommen, vernachlässigt werden. Aus Formel 12 auf der vorherigen Seite wird mit
dieser Annahme
✓
◆
1
gi4
gi4
g44
1 g44
+ 4
=
= i,44 .
(14)
4
i
2
x
x
x
2 xi
Für gik ⇡ 1, wie oben bereits angenommen, geht Formel 11 auf der vorherigen Seite über
in
i,rs
Die Beschleunigung
d 2 xi
dt2
⇡
k
rs
(15)
wäre nur durch g44 bestimmt
d2 r
1 g44
=
(16)
dc2 t2
2 r
und durch einen Vergleich mit der Newtonschen Gravitationsformel ergibt dies für
1
= c2 (g44 + 1) .
(17)
2
Der Ausdruck in der Klammern wurde so gewählt, dass für den Normalwert von g44 , 1
die Beschleunigung = 0 verschwindet.
d2 r
=
.
(18)
dt2
r
Diese mögliche Entwicklung ergab die hier angenommene Idee, eine nur auf der Zeitachse existierende Kraft für diese Arbeit anzunehmen.
2.1.3 Bewegungsgleichungen auf der Zeitachse
Erneut, wie im vorhergehenden Kapitel erwähnt, wird
r
c 2 t2
ds = dr 1
r2
oder
r
r2
ds = dct
1
c 2 t2
verwendet. Aus der Formel für die geodätische Linie
10
r
s
d2 xi
i dx dx
+
=0
(19)
r,s
ds2
ds ds
wird durch eine vergleichbare Entwicklung zu der aus dem vorhergehenden Kapitel für
schwache Gravitationspotentiale und geringen Abweichungen der gik von deren Normalwerten und geringen Geschwindigkeiten vct = ctr :
d2 xi
dct dct
+ ir,s
=0.
(20)
2
dr
dr dr
Die Entwicklung hierzu wurde einzelnen nicht erneut ausgeführt. Hier wird eine ausschließliche Abhängigkeit der Beschleunigung auf der Zeitachse von g44 zugrunde gelegt,
mit der Vorstellung einer entsprechenden Krümmung des 4-dimensionalen Raumes. Mit
Formel 11 auf Seite 9 und 12 wird daraus über Formel 20 nacheinander
d2 ct
+
dr2
2
4 c
44 2
v
d2 ct
=
dr2
Das Potential auf der Zeitachse
=0,
c2
(21)
,
(22)
d2 ct
1 dg44 c2
=
,
dr2
2 dct v 2
(23)
4,44 2
v
d2 t
1 dg44 1
=
.
dr2
2 dt v 2
ct ist:
ct
=
1 1
(g44 + 1) ,
2 v2
d2 t
ct
=
.
2
dr
dt
(24)
(25)
(26)
Die Ähnlichkeit der Formeln 18 und 26 ist erkennbar. Es ist möglich, auf der Zeitachse ein Potential zu beschreiben. Die Invarianz des 4-dimensionalen Linienelements, siehe
Formel 9, ist durch die Krümmungen der anderen Raumachsen, welche sich ebenso errechnen lassen, als Konsequenz erhalten.
2.1.4 Die Einsteinsche Feldgleichung
Weitere Ausführungen mit der linearisierten Einsteinschen Feldgleichung - siehe nachfolgende Gleichung - führen zu einem möglichen Zusammenhang mit dem Matrixelement
g44 .
✓
◆
1
l
⇤ ij =  Tij
gij Tl .
(27)
2
11
Der Energie- Impuls Tensor Tij besteht bei niedrigen Geschwindigkeiten nur aus dem
Matrixelement T00 = , mit der Massendichte des Universums. Damit ist Tij = Tll =
. Die gij werden bei niedrigen Geschwindigkeiten mit ihren Normalwerten 1 bzw. -1
eingesetzt.  ist die Einsteinsche Gravitationskonstante. Durch das Einsetzen ist
Tij
1
1
T gij ⇡
2
2
.
(28)
Daraus ergibt sich
1 @2
c2 @t2
ij
@
+ 2
@r
ij
=
✓
 Tij
1
gij Tll
2
◆
=
1
 .
2
(29)
1. Bei Ortsunabhängigkeit
1 @2
c2 @t2
ij
✓
=  Tij
1
gij Tll
2
◆
1
=  .
2
(30)
Mit dem Zusammenhang  = 8⇡k
, zwischen  der Einsteinschen und k der Newc4
tonschen Gravitationskonstanten, ist
@2
1
.
00 = 
@c2 t2
2
2. Zeitunabhängig ( nach der 2. Ableitung ) gelöst ergibt die Formel 29
(31)
@2
1
.
(32)
00 = 
@r2
2
Die Lösung dieser Gleichung 32 ist bekanntlich:
˚
c2
p dv (r)
(33)
00 =
4⇡
r2
und
˚
2
p dv (r)
(34)
00 = 2 k
c
r2
und
˚
1 c2
2
p dxdydz .
=
(g
+
1)
=
k
(35)
ct
44
2 v2
c2
r2
Mit dieser zuletzt aufgestellte Gleichung wird näherungsweise eine Relation zwischen
g44 und dem Potential auf der Zeitachse hergestellt. Auch mit dieser Betrachtung ergibt
sich ein Hinweis, ein Potential auf der Zeitachse zulassen zu können.
2.1.5 Zeitdilatation und Gravitationspotential
Die Zeitdilatation in einem gegenüber einem Ruhesystem K0 rotierenden System K wird
mit der Gleichung 3 berechnet. Eine in K ruhende Uhr geht um so langsamer, je weiter
sie von der Drehachse entfernt ist.
12
Ansatz A Es ergibt sich ein Gravitationsfeld mit dem Potential für eine Zentripetalkraft. v = ! 2 r2 ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von r und der Winkelgeschwindigkeit !.
=
1 2 2
! r .
2
(36)
Eingesetzt in Formel 3 ergibt dies
mit
t�= q
t
t
=q
1 2 2
! r
1+
c2
1
2
c2
1
⇡ v2 .
2
(37)
(38)
Ansatz B Ein anderer Ansatz mit der Gleichung der geodätischen Linie
d2 xi
+
d2 s
dxs
=0
ds ds
i dx
r,s
r
(39)
ergibt über
d2 r
+
dt2
dr
(1,2,3)
(1,2,3),(1,2,3) dt
dr
=0
dt
(40)
und
d
=
dt
i
2
r,s v
⇡
1 g00 2
v
2 dr
(41)
als Ergebnis
1
⇡ g00 v 2 .
2
(42)
Das Resultat beider Ansätze lässt sich in Übereinstimmung bringen, wenn die relativistische Krümmung des Raumes mit g 00 , welche in Formel 37 fehlt, als notwendige
Korrektur eingefügt wird. Mit beiden Ansätzen wird in guter Übereinstimmung die zuvor schon unterstellte Ähnlichkeit zwischen einer Geschwindigkeitszunahme und dem
Einfluss eines Gravitationsfeldes verdeutlicht.
2.2 Vorbereitungen zur Schrödinger Gleichung des Ur-Teilchens
Mit der Behauptung der Existenz eines Potentials auf der Zeitachse, als alleinige Wechselwirkung, und mit einer Verkrümmung der Zeitachse als Folge dieser Wechselwirkung,
wird eine Veränderung entsprechend der Riemannschen Di↵erentialgeometrie, wie in der
allgemeinen Relativitätstheorie verwendet, postuliert.
Grundlage ist die räumlich-zeitlich flache und in einem hinreichend kleinem Areal
nicht gebogene Struktur des Universums. Für die potentielle Energie auf der Zeitachse
13
ist eine lineare Abhängigkeit von der Entfernung von der 3-dimensionalen Hyperebene
angenommen worden. Ein Vergleich aus der Elektrostatik mit dem Potential einer homogen geladenen Fläche zeigt, welche Vorstellung hier benutzt wurde. Aus der Formel
33 ergibt sich mit einer homogen mit Masse beladene Hyperebene im 4-dimensionalem
Raum das Potential
c2
massunivers ct .
(43)
4⇡
Der Impuls für das Ur-Teilchen im raumartigen Segment wird mit der inversen Geschwindigkeit vct definiert mit
ct
=
m0
pct = q
1
und die Energie mit
c2
v2
2
Ect
=
1
m0
1
=p
vct
2
v
1 vct c
(44)
1 2
m20
p
+
ct
c2
c4
(45)
und
2 4
Ect
c = c2 p2ct + m20 .
Aus dem bisher bekannten über die Gleichheit von Masse und Energie, muss sich
die Überlegung anschließen, dass die kinetische Energie des Ur-Teilchens eine nicht zu
vernachlässigende Rolle spielen könnte. So muss angenommen werden, dass auch diese
kinetische Energie durch die Gravitation mit der Masse des Universums wechselwirkt.
Das hat eine exponentielle Steigerung der Energie im Verhältnis zur Geschwindigkeit zur
Folge.
So könnte der klassischen Physik analog die kinetische Energie des Ur-Teilchens im
raumartigen Segment
Ect =
2
4
1
1
1
E
2 2 2
⇠· c 2 c 1
v ·
=
m
e
= m0 · e⇠·vct ·c vct
· 2
0
4
2
2
c
2
v c
2
c
mit m0 der Masse des Ur-Teilchens, der Ruheenergie
m0
c2
mit der Dimension
h 2i
⇠ = 1 der neu eingeführten Konstante mit der Dimension m
darstellen.
s2
(46)
h
kg·s
m2
i
2
und
2.2.1 Hamilton Funktion
Ein Vorschlag hierfür wäre:
1
2 2
2 2
2 2
m0 e⇠·c vct · vct
c + m0 · e⇠c vct ·
2
ct
· c2 = E
und
˚
⇣
⌘2
1
2
2
⇠c2 vct
2 2
⇠c2 vct
m
e
·
v
c
+
m
·
e
·
2k
0
0
ct
2 2
2 · m0 e⇠c vct
14
· ct = E .
(47)
2.2.2 Schrödinger Gleichung
Dies gilt ebenso für die Schrödinger Gleichung
1 ~2 d 2
+ 2k · M asseunivers · ct ·
2 mu dc2 t2
dx
=0.
(48)
Die Voraussetzung für die weiteren Berechnungen mit der gemachten Annahme inverser
Betrachtungen für x und t erfordern, dass für dx = E gilt. Dies erfolgt in direktem
Vergleich zum zeitartigen Segment.
2.2.3 Vorschlag einer Dirac Gleichung
Die Korrespondenzregel der quantenmechanischen Betrachtungsweise wird im obigen
d
Sinne verändert zu E ! ~i O und p ! i~ dct
. Mit Ect ! Ect + m0 ct ergibt dies eine
Dirac-Gleichung für das Ur-Teilchen im raumartigen Segment mit einem Potential ct
auf der Zeitachse. Für Ur-Teilchen mit einem Spin wäre dies die einzige Möglichkeit der
Vorgehensweise.

✓
◆
~
1
d
m0
O
↵ i~
+ m0 ct | (r, t) >= 0 .
(49)
i
c
dct
c2
3 Berechnungen und Ergebnisse
Um einen Überblick über die zu erwartenden Ergebnisse zu bekommen, wird in klassischer Weise die Lösung der Schrödinger Gleichung gewählt. Dieser Ansatz ist prinzipiell eigentlich nicht möglich für Teilchen mit einem Spin. Der Spin hat keinen großen
Einfluss auf die Masse der Fermionen und so wird dieser Weg für eine grobe Näherung
angenommen. Die nun zu überwindende Schwierigkeit ist, eine geeignete Lösung für die
in den vorangehenden Kapiteln gefundene Di↵erentialgleichung zu finden.
3.1 Berechnungen entsprechend der klassischen Physik
Die Vorstellung, dass ein Ur-Teilchen sich auf der Zeitachse von der 3-dimensionalen
Hyperebene entfernt und wieder zurückkehrt, wird verglichen mit einem Ball, der aus
einer bestimmten Höhe auf die Erde stürzt. Hierzu gibt es einen mathematisch sehr
aufwendigen Weg, der in Flügge [1999] auf den Seiten 92 - 95 in Aufgabe 33 beschrieben
ist.
~ d2 u
+m·g·x·u=E·u .
2m dx2
Hierin ist m · g · x das Potential der Gravitation, u ist eine gesuchte Lösungsfunktion
und die Randbedingungen sind u (0) = 0 und u (1) = 0.
Mit den Abkürzungen unter Verwendung einer Länge l und einem dimensionslosen
Parameter
15
2m2 g
1
= 3
2
~
l
und
2mE
= 2
~2
l
und einer weiteren eingeführten dimensionslosen Variablen ⇣
x
l
ergibt sich mit den neuen Randbedingungen u (
Airy-Funktion
⇣=
) = 0 und u (1) = 0 als Lösung die
u = C · Ai⇣ .
(50)
Es errechnet sich hieraus aufwendig die Energieformel
~2
(51)
2ml2
mit den folgenden Eigenwerten für die Energie, : 1 = 2, 33; 2 = 4, 08; 3 = 5, 51; 4 =
6, 78.
Im Gegensatz zum angegebenen Beispiel [Flügge, 1999], bleibt in der hier vorliegenden Situation der Wert für l konstant! Der Umkehrpunkt für die maximale Entfernung
von der 3-dimensionalen Hyperebene für das Ur-Teilchen m0 , bleibt gleich. Die Dimension der Länge l ist [s] in der vorliegenden Situation konstant. Der kinetisch bedingte
Massezuwachs gilt insbesondere am Punkt der maximalen Geschwindigkeit, dem Durchtrittspunkt durch die 3-dimensionale Hyperebene.
Es wird nun eine völlig analoge Vorgehensweise mit Gleichung 47, nach Umwandlung
von
E =
1
 · c4
2 2
2 2
2
m0 e⇠c vct · vct
· c2 + m0 · e⇠c vct ·
M asseunivers · ct
2
4⇡
E=0
(52)
über
mu = m0 · e⇠c
2 v2
ct
in
1
 · c4
2 2
m2u · vct
c + mu ·
M asseunivers · ct
2mu
4⇡
zur Schrödinger Gleichung vorgenommen.
✓
◆
d
~2 d 2
i~
(r, t) =
+ V (r, t)
dr
2m dt2
16
E=0
(r, t) .
(53)
u ist eine gesuchte Lösungsfunktion für
u (1) = 0:
mit den Randbedingungen u (0) = 0 und
1
~2
d2 u
 · c4
+
·
M asseunivers · ct · u
2
2
2 mo e⇠c vct dc2 t2
4⇡
1 ~2 d 2 u
+ 2k · M asseunivers · ct · u
2 mu dc2 t2
E=0,
E=0.
(54)
(55)
Gleichung 55 wird für eine grobe Abschätzung als ausreichend angenommen. Dieses
Vorgehen führt zu keinem mathematisch exaktem Ergebnis, aber wird für einen groben
Überblick als ausreichend angesehen. Die der Energie zugeordneten Exponentialfunktion
wird also zunächst nicht beachtet, um eine Lösbarkeit von Gleichung 54 zu ermöglichen.
Das ergibt nach der Lösung der Gleichung 55 (siehe auch Formel 51) und erneutem
Hinzufügen
EF ermion, = Ect, =
~2
1
·
2 ·
2 · m0 l2 e⇠c2 vct
.
(56)
Damit eine Übersichtlichkeit entsteht wird zur Vereinfachung für die Berechnung
b=
~2
2m0 l2
gesetzt. Dann wird aus Formel 56
Ect, = b ·
1
·
(57)
=b.
(58)
2 2
e⇠c vct
und
Ect, · e⇠c
2 v2
ct
1
Für die kinetische Energie wird zur weiteren Berechnung
1
2 2
2
Ekin,ct = m0 · e⇠c vct · vct
· c2
2
verwendet. Und für die Potentielle Energie
Epot,ct = c2 ·
ct
· m0 · e⇠c
2 v2
ct
(59)
·
(60)
und
1
2 2
2
m0 · e⇠c vct · vct
· c2 = c2 ·
2
ct
· m0 · e⇠c
2 v2
ct
·
(61)
und
1 2 2
v c = c2 ·
2 ct
17
ct
·
(62)
Der Faktor 2· ct wird ermittelt durch das Dividieren der Energieniveaus der Formeln 58
für 2 verschiedene Fermionen z.B. des Myons und des Taus. Es werden direkt die Energien
der Massen in eV verwendet. Es würden sich Umrechnungsfaktoren herauskürzen.Es geht
weiter mit
2
2
EM uon
e⇠c ·vT au
= ⇠c2 ·v2
·
ET au
M uon
e
M uon
.
(63)
T au
2 kann mit der Gleichung durch Einsetzen in
Das Quadrat der Geschwindigkeiten vct
2
Formel 62 zur Bestimmung von 2 · c ct benutzt werden.
ln(
EM uon T au
) = 2 · c2 ·
ET au M uon
ct ⇠( T au
M uon )
.
(64)
Danach lassen sich die Geschwindigkeiten mit Formel 62 berechnen, und zum Schluss
kann der Faktor b mit Formel 58 errechnet werden.
Durch die Umwandlung der potentiellen Energie eines Ur-Teilchens in kinetische Energie wird der gleiche Energiebetrag beim Durchtritt durch die 3-dimensionale Hyperebene
erreicht. Durch Formel 58 errechnet sich b durch die bekannten Energien für die Massen
der Fermionen. Die Tabelle 1 beinhaltet zusammengefasst die errechneten Werte. In der
Tabelle 2 wird nur mit den aus den Massen für Myon und Tau der Wert für den Faktor b
bestimmt und dann für das Elektron und das W ± Teilchen die Massen berechnet. Hier
ist eine grobe Übereinstimmung zu sehen.
Tabelle 1: Zusammenfassung der bekannten und übernommenen (kursiv), der er2,
rechneten Parameter (vct
ct , b); dem Quadrat der Geschwindigkei2
ten des Ur-Teilchens vct , den Eigenwerten
der Lösungsfunktion zur
Schrödingergleichung, sowie der in den Gleichungen 58 und 60 benötigten
Werte für 2 · c2 · ct und b.
Fermion (Lepton)
Masse (M eV )
⇣
⌘
s2
m2
2 ·⇣⇠ · c2 ⌘ct
2
b ms2·kg
c2 vct 2
Elektron
0,511
6,78
Myon
105,7
5,51
Tauon
1777
4,08
W ± Boson
80400
2,32
19,79
16,1
11,9
6,8
2,92
2,92
2,92
2,92
29, 7 ·
106
185, 4 ·
18
106
64, 8 ·
106
30, 3 · 106
Tabelle 2: Die Erklärungen der Parameter entsprechen denen der Tabelle 1. In dieser
Tabelle ist jedoch das für das Elektron angepasst, um ausgeglichenere Werte
für die Gravitation bei den Berechnungen zu bekommen.
Fermion (Lepton)
Masse (M eV )
⇣
⌘
Elektron
5,3
7,9 (6,78)
Myon
105,7
5,51
Tauon
1777
4,08
W ± Boson
48000
2,32
18,5
12,9
9,5
5,4
2,34
2,34
2,34
2,34
s2
m2
2 ·⇣⇠ · c2 ⌘ct
2
b ms2·kg
c2 vct 2
1, 7 ·
107
7, 5 ·
107
3, 3 ·
107
2, 1 · 107
Zur Vervollständigung ist für Quarks eine entsprechende Aufstellung der Resultate in
Tabelle 3 und 4 ersichtlich.
Tabelle 3: Zusammenfassung der bekannten und übernommenen (kursiv), der errechne2 , den
ten Parameter; dem Quadrat der Geschwindigkeiten des Ur-Teilchens vct
Eigenwerten der Lösungsfunktion zur Schrödingergleichung, sowie der in
den Gleichungen 58 und 60 benötigten Werte für 2 · c2 · ct und b.
Fermion (Quark)
Masse (M eV )
c2 · vct 2
2 ·⇣⇠ ·
b
⇣
s2
m2
c2
m2 ·kg
s2
⌘ct
⌘
d
4,8 (5-8,5)
6,78
s
104 (80-155)
5,51
b
4700 (4000-4500)
4,08
higgs Boson
125000
2,32
17,4
14,1
10,5
5,9
2,57
2,57
2,57
2,57
26·106
26·106
41·106
20·106
Tabelle 4: Zusammenfassung der bekannten und übernommenen (kursiv), der errech2,
neten Parameter, dem Quadrat der Geschwindigkeiten des Ur-Teilchens vct
den Eigenwerten der Lösungsfunktion zur Schrödingergleichung, sowie
der in den Gleichungen 58 und 60 benötigten Werte für 2c2 ct und b. Ein
unbekanntes Boson wird aus den Parametern errechnet.
Fermion (Quark)
Masse (M eV )
c2 · vct 2
⇣
s2
m2
2 ·⇣⇠ · c2 ⌘ct
2
b ms2·kg
⌘
u
2,4 (1,5-8,5)
6,78
c
1270 (1000-1400)
5,51
t
171000
4,08
unbekanntes Boson
600 - 900 ·106
2,32
30,8
25,0
18,5
10,5
4,54
4,54
4,54
4,54
8,0·1012
16,5·1012
4,6·1012
12·1012
19
4 Diskussion
Das fehlende Graviton ist vielleicht Ausdruck einer Wechselwirkung auf der Zeitachse. Es
existiert nur außerhalb unserer Zugänglichkeit. Das eine Wechselwirkung auf der Zeitachse möglich ist, lässt sich aus den bekannten Gleichungen des Kapitel 2.1 ableiten. Die aus
dieser Vorstellung errechneten Ergebnisse sind nur unter Einschränkungen zu diskutieren. Es fehlt ganz vordergründig eine genaue mathematische Lösung der Gleichung 54.
Auch ist der Ansatz lediglich eine grobe Annäherung und nicht relativistisch. Die besseren Ergebnisse würden möglicherweise die vorgeschlagene Dirac�sche-Gleichung 49 auf
Seite 15 und deren Lösung ergeben. Die Berechnungen und Ergebnisse im Kapitel 3 sind
aber trotz der Einschränkungen ermutigend.
Die Ergebnisse in den Tabellen 1, 3, 4 zeigen für ct unabhängig vom Fermion nahezu die gleichen Werte für Quarks und Leptonen. Dies bestätigt die als konstant angenommene Gravitationskraft auf der Zeitachse. Die Geschwindigkeit vct bestimmt eine
Bewegungsrichtung in einem 4-dimensionalen Koordinatensystem. Für den Wert null,
also keiner Bewegung auf der Zeitachse liegt das Ur-Teilchen auf einer Parallelen zu
oder in der 3-dimensionalen Hyperebene. In diesem Fall hat das Ur-Teilchen keine kinetische Energie. Da aber die Bewegungsrichtung senkrecht zur Zeitachse verläuft, ist auch
keine Beschleunigung zu erwarten. Erst mit dem Einsetzen einer Neigung bzw. einer Geschwindigkeit auf der Zeitachse beginnt auch die Wirksamkeit des Potentials. Je höher
die kinetische Energie ist, desto mehr führt dies zu stabileren höheren Schwingungsniveaus. Für das erste Energieniveau kommt in der Größenordnung der Masse nur das W ±
oder Z Teilchen in Frage, siehe Tabelle 1. Das Ergebnis der Berechnungen zeigt für das
W ± Teilchen die geringste Geschwindigkeit vct des Ur-Teilchens. Das W ± Teilchen ist
das massereichste im zeitartigen Segment, und das mit der geringsten im raumartigen
Segment in der Schwingung gebundenen Energie. Es ist, auch wenn es sich aufgrund des
Standardmodells nicht um ein Fermion sondern um ein Boson handelt, in dem Schwingungsmodell das erste Energieniveau des Ur-Teilchens der Leptonen. In diesem Punkt
ist eine Gemeinsamkeit zwischen Fermionen und Bosonen entstanden, die an die Theorie
der Supersymmetrie der Teilchen erinnert. Es erscheint sinnvoll den Ablauf der Wechselwirkung der Bosonen mit Fermionen und den Zerfall der Fermionen über dies niedrigste
Schwingungsniveau als Modell anzunehmen.
Aus der Formel 56 auf Seite 17 ist zu ersehen, das die Masse des Fermions nicht mit der
Energie des Schwingungsniveaus des Ur-Teilchens übereinstimmt. Man sieht auch, dass
die einem Fermion zugeführte Energie eine Verminderung der Energie des Schwingungsniveaus, der dunklen Materie zur Folge hat. Die Entwicklung der Schwingungsniveaus
zu höheren Energien im raumartigen Segment steht der gegenläufigen Abnahme der
Massen der Fermionen entgegen. Es wäre eine zunehmende Masse der Fermionen mit
der Schwingungsebene von der Lichtlinie ausgehend in Richtung der Raumachsen, der
zunehmenden Energie einer Schwingung auf der Raumachse beginnend in Richtung der
Lichtlinie entgegenzusetzen. Im Raumartigen Segment würde die Zunahme der Energie mit zunehmender Geschwindigkeit eines Ur-Teilchen entsprechend im Vergleich zum
zeitartigen Segment gleichermaßen behandelt. Das würde bedeuten, dass die Lichtgeschwindigkeit als Grenze zu unendlich hoher Energie ebenso für das raumartige Segment
20
ist. Für das zeitartige Segment ist die Lichtlinie der Beginn von hohen Geschwindigkeiten
der Ur-Teilchen mit den niedrigen Massen. Weiter geht es zu niedrigeren Geschwindigkeiten und abnehmenden Energien aber höheren Massen der Fermionen. Als Beispiel
wird die Schwingung für das Elektron diskutiert. Im raumartigen Segment ist für das
Elektron das höchste Schwingungsniveau identifiziert worden. Damit ist die Energie der
Ur-Teilchen im raumartigen Segment von allen Leptonen die Höchste. Aus der Perspektive des zeitartigen Segments ist diese Schwingung näher an der Lichtlinie, im Vergleich
zu den anderen Leptonen und damit das leichteste Lepton. Diese Diskrepanz wäre eine
Möglichkeit die dunkle Materie oder Energie zu interpretieren. Es wäre sehr viel Energie
gebunden im raumartigen Segment, die als Masse im zeitartigen Segment nicht in Erscheinung tritt. Für das nächst mögliche niedrigere Schwingungsniveau im raumartigen
Segment ist eine weitere Steigerung der Geschwindigkeit im zeitartigen Segment notwendig. Die kinetische Energie des Ur-Teilchen nimmt ab und konsekutiv auch die Masse im
raumartigen Segment. Das nächste Energieniveau der Schwingung entspricht jetzt dem
Fermion mit der Masse des Myon. Das Energieniveau wird geringer, siehe Formel 56.
Zuletzt wird ein Schwingungsniveau für das W ± Boson mit sehr niedriger Energie im
raumartigen Segment erreicht, bei deutlich größere Masse oder Energie des Fermion im
zeitartigen Segment.
Eine stärkere Gravitation führt zu einer stärkeren Neigung der Schwingungsebene.
Damit würde sich die Schwingungsebene der Raumachse annähern und die Masse des
Fermions zunehmen. Im Extrem würde eine komplette Annäherung an die Raumachse bedeuten, dass das Fermion überall auf der Raumachse gleichzeitig präsent ist und
damit unendlich oft vorkommt. Das würde einer unendlich großen Energie oder Masse gleichkommen. Dies wäre eine mögliche Erklärung für die nicht zu überschreitende
Lichtgeschwindigkeit im zeitartigen Segment. Gleichzeitig wird die Eigenzeit des Fermions endlos verlängert, gemäß der Zunahme der Neigung der Ebene, wie dies auch aus der
speziellen Relativitätstheorie bekannt ist. Etwa 95% der Masse des Universums wird der
dunklen Materie zugeordnet. Die Bewegungsenergie der Ur-Teilchens und seine Masse
wären ein Grund für die dunkle Materie. Das bedeutet aber auch nach dem oben gesagtem, dass die einem Fermion zugeführte Energie eine Verminderung der dunklen Materie
zur Folge hat. Die Masse des Fermions nimmt dabei zu.
In den obigen Berechnungen ist ein Fehler durch die fehlende Berücksichtigung der
speziellen Relativitätstheorie zu erwarten. Siehe hierzu die errechneten Werte aus Tabelle 2. Des Weiteren ist die Stabilität des vierten und letzten Energieniveaus (z.B.
des Elektrons) nicht ohne weiteres zu erklären. So könnten weitere nahe beieinanderliegende noch höhere Niveaus eingenommen werden. Dies geschieht möglicherweise nicht,
da andere Eigenschaften wie die Ladung oder der Spin des Elektrons selbst Energie
beinhalten. Diese Eigenschaften werden möglicherweise aber auch durch weitere und
andere physikalische und evtl. noch unbekannte Eigenschaften begrenzt. Auch könnten
Drehmomente unter Beteiligung der Zeitachse eine Rolle spielen. Wie aus vielen Reaktionen bekannt, ist die Leptonenzahl immer konstant. Ein Verlust der Ladung durch eine
adäquate Reaktion führt zuletzt auf ein Neutrino des jeweils zerfallenden Leptons. Dies
könnte das nicht schwingenden Ur-Teilchen der Leptonen sein. Diese Annahme könnte
durch eine andere Hypothese, die die Existenz eines sterilen Neutrinos als Kandidat für
21
die dunkle Materie fordert, gestützt werden [Munyaneza, 2007, Munyaneza and Biermann, 2007, Mavromatos, 2011b,a]. Die Neutrinos haben die Lichtgeschwindigkeit als
Ausbreitungsgeschwindigkeit und haben eine sehr geringe Energie oder Masse [Grimus,
2010]. Vielleicht die Masse des Ur-Teilchens. Nach dem hier diskutierten Gedankenmodell haben sie eine geringe Masse. Da aber bisher drei Neutrinos unterschieden werden,
wird es möglicherweise hierzu noch weitere Eigenschaften geben, die die verschiedenen
Neutrinos ausmachen. Eine etwas beruhigende Information gibt es aber. Die Neutrinos
können sich in der bekannten Neutrino-Oszillation ineinander umwandeln. Die Voraussetzung hierfür ist, dass Neutrinos eine Masse haben. Damit ist es möglich, dass das
hier vorgestellte Modell stimmt, und es sich um ein und das gleiche Ur-Teilchen für alle
drei Neutrinos der Leptonen-Generation handelt. Das W ± Teilchen besitzt kein eigenes
Neutrino und kommt auch mit verschiedenen Ladungen vor. Außerdem hat es als Boson
den Spin 1 und nicht 12 . Und es unterliegt nicht dem Gesetz der Leptonen Erhaltung.
Aufgrund der im obigen Beispiel durchgeführten Berechnungen ist aufgrund seiner Masse das W ± oder Z Teilchen ein für die Schwingung des Ur-Teilchens im Grundzustand
passender Kandidat. Denkbar wäre es, dass freie Neutrinos über eine Wandlung in ein
Ur-Teilchen zu einem W ± oder Z Teilchen führen und so an einer schwachen Wechselwirkung teilnehmen. Ein Z Teilchen könnte durch die fehlende Ladung, welche jetzt im
raumartigen Segment die Energie reduziert und damit zu einer Vergrößerung der Masse im 3-dimensionalen Raum beiträgt, siehe Formel 56, das Energieniveau zu geringerer
Geschwindigkeit vct absenken. Dies entspricht der etwas größeren Masse des Z Teilchens.
In einer Arbeit von [Jenkins and Fischbach, 2009] wird u.a. eine Veränderung des radioaktiven Zerfalls abhängig von der Menge der verfügbaren Neutrinos, die von der Sonne
kommen, vermutet. Dies könnte vermuten lassen, dass ein Neutrino-Ur-Teilchen unter
besonderen Umständen zu einem W ± Boson gewandelt wird, um dann die Reaktion
zu vermitteln. Es wäre nur ein Transportvehikel für Ladung und andere physikalische
Eigenschaften wie z.B. Drehmomente. Ein weiterer Hinweis auf diesen Zusammenhang
könnte der vermutete Neutrino freie Doppel Beta Zerfall sein [Rohdejohann, 2011]. Ganz
unabhängig von den Möglichkeiten, die Erklärungen für eine Gemeinsamkeit der 3 Leptonen zu finden, wird durch das Modell aber eine Begrenzung der Anzahl von Fermionen
zu noch massereicheren Teilchen vorgegeben. Dies wird durch die Grundschwingung des
Ur-Teilchens vorgegeben, die dem massereichsten Teilchen zugeordnet wird.
Neue Teilchen, die Ur-Teilchen sind für jede einzelne Familie der Quarks oder der Leptonen zu vermuten. Daher gibt es 3 verschiedene Ur-Teilchen, deren Eigenschaften, z.B.
die Ladung und der Spin, die Eigenschaften der Fermionen bestimmen. Auch ist eine
Veränderung dieser Eigenschaften möglich und die Neutrinos sind ein Zustand dieser
Ur-Teilchen ohne Ladung und ohne Schwingung. Eine interessante Frage nach weiteren
Teilchen ließe sich aus der Vermutung ableiten, dass auch für Quarks solche “Neutrinos”
hiernach möglich wären, die den Ur-Teilchen entsprechen. Eventuell sind dies die Gluonen. Dadurch wäre die schwache Wechselwirkung nur eine der starken Wechselwirkung
im Prinzip sehr ähnliche Wechselwirkung.
Eine andere hierzu passende Parallele ist der Erhalt der Quark Zahl. Das Higgs
Bosons passt mit seiner Masse [Negra et al., 2012] in die Gruppe der u, c, t Quarks,
als Boson des ersten Schwingungsniveaus des dazugehörigen Ur-Teilchens. Es wäre im
22
Stellenwert vergleichbar mit dem W ± oder Z Teilchen. Der hauptsächliche Zerfall des
Higgs Teilchens in die Bosonen W ± und das Quark b und Antiquark von b ergibt sich
direkt durch die Betrachtung, dass der Beginn der Generation der Quarks, in der sich
das Higgs Boson am Anfang befindet von dem b Quark als nächst höheres Energieniveau
gefolgt wird. Der Beginn der Generation der Leptonen wird durch das W ± Teilchen
bestimmt, welches grundsätzlich für Wechselwirkungen mit anderen Teilchen erreicht
werden kann, durch die Position am Beginn einer Generation. Eine weitere Position wäre
erreichbar, und das ist der Beginn der dritten Generation, welche ebenfalls ein Boson
wäre. Der Zerfall in dies noch unbekannte, deutlich schwerere Boson ist aufgrund der
sehr hohen Energie nicht so wahrscheinlich, bzw. mit 600-900 T eV fast ausgeschlossen.
Die errechneten Werte für die Massen der Fermionen und Bosonen sind mit Vorsicht zu
bewerten, aber es wäre konsequent ein weiteres Teilchen, ein Boson, zu fordern. Dies
wäre das Ur-Teilchen der d, s, b Quark Generation in seiner Grundschwingung. Seine
Masse könnte mit Abweichungen etwa 600 - 900 TeV betragen, siehe Tabelle 4. Die
Berechnungen für die Quarks sind in den Tabellen 3 und 4 zusammengefasst. Aus den
zuvor entstehenden Zusammenhängen, dass die Grundschwingungen vielleicht Bosonen
(W ± und Z , das Higgs Boson und ein unbekanntes neues Boson) darstellen ergeben
sich neue Zusammenhänge.
Eine komplett andere Art des physikalischen Zusammenhangs der Massen der Fermionen und Bosonen könnte mit diesem Modell dem bekannten Standardmodell gegenüber
gestellt werden. Zusätzlich wäre auch eine mögliche Erklärung für die beschränkte Anzahl der Fermionen und Bosonen lieferbar. Die dunkle Materie wird mit diesem Modell
jedem einzelnen Fermion zugeordnet und ist die Ursache für die durch Masse entstehende Krümmung des Raumes. Die dunkle Masse oder Energie wird durch die Trennung
zwischen dem raum- und zeitartigen Segment niemals erfassbar werden.
Literatur
Giovannini Amelino-Camelia. Quantum gravity phenomenology. arXiv:0806.0339v1, Jun
2008.
Giovannini Amelino-Camelia, Niccolo Loret, Gianluca Mandanici, and Flavio Mercati.
Gravity in quantum spacetime. arXiv:1007.0851v1, July 2010.
D Enstrom, S Fredriksson, J Hannsson, A Nicolaidis, and S Ekelin. A quark-matter
dominated universe. arXiv:astro-ph/9802236v1 [astro-ph], Feb 1998.
Siegfried Flügge. Rechenmethoden der Quantenmechanik. Number 33. Springer Verlag,
6 edition, 1999.
Klaus Fredenhagen, Karl-Henning Rehren, and Erhard Seiler. Quantum field theory:
Where we are. Lect. Notes Phys., 721:61–87, 2007. arXiv:hep-th/0603155.
Massimo Giovannini. Magnetic fields, strings and cosmology. Lect.NotesPhys., 737:
863–939, 2008. arXiv:astro-ph/0612378v1.
23
Walter Grimus. Theory of neutrino masses and mixing. arXiv:1101.0137v1[hep-ph],
Dec 2010. Lecture presented at IV International Pontecorvo Neutrino Physics School,
September 26 - October 6, 2010, Alushta, Crimea, Ukraine.
Herbert W Hamber. Quantum gravitation on the lattice. Gen.Rel.Grav, 41:817–876,
2009. arXiv:0901.0964v2 [gr-qc].
Johan Hansson. On the origin of elementary particle masses.
[physics.gen-ph], Nov 2012.
arXiv:1211.3136v1
Jere H. Jenkins and Ephraim Fischbach. Evidence for correlation between nuclear decay
rates and earth-sun distance. Astropart.Phys., 32:42–46, 2009. arXiv:0808.3283v1
[astro-ph].
Claus Kiefer. Quantum Gravity. Oxford Science Publikation, 2 edition, 2007.
Chethan Krishnan. An invitation to string theory. arXiv:hep-th/0603102, 2006. Lectures
at the Mini School inTheoretical Physics at the Government College, Kottayam, India.
Nick E Mavromatos. String quantum gravity, lorentz-invariance violation and gammaray astronomy. Int. J. Mod. Phys., 25:5409–5485, 2010. arXiv:1010.5354 [hep-th].
Nick E Mavromatos. Recent results from indirect and direct dark matter searches:
Theoretical scenarios. arXiv:1111.1563 [hep-ph], November 2011a.
Nick E Mavromatos. Neutrinos and the universe. arXiv:1110.3729v1, October 2011b.
Albert Messiah. Quantenmechanik 2. Walter de Gruyter, 3 edition, 1990.
Albert Messiah. Quantenmechanik 1. Walter de Gruyter, 2 edition, 1991.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler. Gravitation. W. H.
Freeman and Company, New York, 1973.
Faustin Munyaneza. Limits on the dark matter particle mass from black hole growth
in galaxies. arXiv:astro-ph/0702167v1 [astro-ph], Feb 2007. Proceedings of the 11th
Marcel Grossmann meeting on general relativity, 23-29 July 2006, Berlin, Germany.
Faustin Munyaneza and Peter L Biermann. Dark matter and sterile neutrinos.
arXiv:astro-ph/0702173v1 [astro-ph], Feb 2007. Proceedings of the 11th Marcel Grossmann meeting on general relativity, 23-29 July 2006, Berlin, Germany.
M. Della Negra, P. Jenni, and T. S. Virdee. Journey in the search for the higgs boson:
The atlas and cms experiments at the large hadron collider. Science, 338:1560 – 1568,
December 2012.
Wolfgang Pauli. Relativitätstheorie. Paolo Boringhieri, 1 edition, 1963a.
Wolfgang Pauli. Relativitätstheorie. Paolo Boringhieri, 1 edition, 1963b.
24
P. K. Raschewski. Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis. Verlag Harri Deutsch,
2 edition, 1995.
Werner Rohdejohann.
Neutrino-less double beta decay and particle physics.
Int.J.Mod.Phys., E20:1833–1930, 2011. arXiv:1106.1334 [hep-ph].
Carlo Rovelli. Loop quantum gravity: the first 25 years. Classical and Quantum Gravity,
28(15):153002–153036, August 2011. peer-00723006 1-7 Aug 2012.
Robert H. Sanders. The Dark Matter Problem. Cambridge University Press, 1 edition,
2010.
Lee Smolin. How far are we from the quantum theory of gravity. arXiv:hep-th/0303185,
March 2003.
Lee Smolin. Newtonian gravity in loop quantum gravity. arXiv: 1001.3668v2, February
2010.
Leonard Susskind. The anthropic landscape of string theory. arXiv:hep-th/0302219,
February 2003.
Washington Taylor. String field theory. arXiv:hep-th/0605202, May 2006.
Thomas Thiemann. Loop quantum gravity: An inside view. Lect. Notes Phys., 721:
185–263, 2007. arXiv:hep-th/0608210.
James Unwin. Hidden origin of dark matter and baryons. arXiv:1212.1425v1 [hep-ph],
Dec 2012. Prepared for submission to JHEP.
Sergiu I Vacaru. Covariant renormalizable modified and massive gravity theories on
(non) commutative tangent lorentz bundles. arXiv:1304.1079v1 [physics.gen-ph], Apr
2013. Quantum Gravity and Phenomenology at MG 13 (Stockholm, 2012).
Wei-Min Yang. A model of four generation fermions and cold dark matter and matterantimatter asymmetry. arXiv:1301.6253v2 [hep-ph], Feb 2013.
Barton Zwiebach. A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 1
edition, 2004.
25